CA
Zgled 1
V bazenu je 5 litrov vode. Vsako sekundo vanj pritečejo še trije litri. Zapišimo zvezo med količino vode v bazenu (y) in pretečenim časom(x):
IČI
y = 3x + 5
Definicijsko območje te funkcije je množica vseh pozitivnih realnih števil, saj je pretečen čas lahko 0,5 sekunde, √7 ali 100 sekund.
ZL RA NA LO V
Kadar sta količini y in x povezani z zvezo y = kx, pri čemer je k neko realno število (ki se ne spreminja), pravimo, da sta količini x in y premo sorazmerni: kolikorkrat večji je x, tolikokrat večji je y.
Število k se imenuje diferenčni količnik funkcije (ali tudi smerni koeficient), število n je začetna vrednost funkcije oz. n = f(0).
IČI
Video razlaga naloge
Zapišimo spreminjanje količine vode v bazenu v obliki tabele: pretečen čas [sec] količina vode [L]
Zgled 2
1,0 8
1,5 9,5
2,0 11
2,5 12,5
3,0 14
3,5 15,5
Ob poplavi je voda zalila kletni prostor 80 cm visoko. Klet je dolga 3,5 metra in široka 2,4 metra. Gasilci prostovoljnega društva so s črpalko, ki prečrpa 120 litrov vode na minuto, lastnika spet spravili v dobro voljo. Poglejmo, kako je potekalo črpanje vode. Čas črpanja [min] Količina vode [m3]
0 6,72
10 5,52
20 4,32
30 3,12
40 1,92
50 0,72
60 ?
Najprej smo črpanje merili vsakih 10 minut, ker pa je po petdesetih minutah ostalo v kleti le še 720 litrov vode, bo očitno izčrpana prej kot v naslednjih desetih minutah. Zato smo začeli količino prečrpane vode od petdesete minute naprej meriti vsako minuto. Čas črpanja [min] Količina vode [m3]
51 0,60
52 0,48
53 0,36
54 0,24
233
Ű
ZL
CA
1133. Naj bo f: ℝ ℝ funkcija podana 1 s predpisom f(x) = – 2 x + n, kjer je n realno število. a) Za n = 4 izračunajte f(–3) in ničlo funkcije f. b) Izračunajte n, če je f(6) = 8. c) Izračunajte n, če je f –1(4) = 6 in je f –1 inverzna funkcija funkcije f.
RA
1130. Za funkcijo f(x) = 2x + 4 zapišimo predpis za inverzno funkcijo f –1 in v isti koordinatni sistem narišimo grafa funkcij f in f –1.
Spoznali boste:
Linearna funkcija je realna funkcija realne spremenljivke, definirana s predpisom: f(x) = k ∙ x + n; k, n ∈ ℝ
NA
1132. Dana je funkcija f(x) = 0,5x + 2. Poiščite predpis za inverzno funkcijo f –1 ter v istem koordinatnem sistemu narišite grafa obeh funkcij. Ali sta obe funkciji naraščajoči?
Linearna funkcija
LO V
1129. Dana je funkcija f: ℝ ℝ; f(x) = –x + 4. a) Funkcijo tabelirajte na intervalu [–4, 4] s korakom 1 in zapišite ničle, presečišče grafa z ordinatno osjo ter narišite njen graf. b) Ugotovite, ali je funkcija injektivna oz. surjektivna.
DE
1131. K funkciji f(x) = –3x + 1 poiščite predpis za inverzno funkcijo f –1.
2
DE
232
55 0,12
56 0
Gasilci so vodo izčrpali v 56 minutah (primer je idealiziran), zato je definicijsko območje naše funkcije Df = [0, 56], zaloga vrednosti funkcije pa Zf = [0, 6˙72]. Zdaj bomo dogajanje prevedli v matematični jezik. Čas črpanja je neodvisna spremenljivka t, količina vode v kleti pa odvisna spremenljivka V. V času t = 0 oz. preden gasilci vklopijo črpalko, je v kleti V(0) = V0 = 6,72 m3 vode, kar je začetna vrednost naše funkcije V. Vrednost funkcije se v enakih časovnih razmikih enakomerno manjša (je očitno padajoča funkcija).