227
O funkciji ne moremo govoriti, kadar:
Zgled 10
• kakšen element iz množice A preslika v dva ali več elementov v množici B
NA
Če v množici B obstajajo elementi, ki niso slike nobenega originala, pravimo, da funkcija ni surjektivna.
ni injektivna ni surjektivna ni bijektivna Zgled 9
je injektivna ni surjektivna ni bijektivna
IČI
Funkcija f tudi ni injektivna, ker se v vsak y, ki je manjši od 3, preslikata dva originala (npr. x = 0 in x = 4 se preslikata v 3). Če bi definicijsko območje skrčili z ℝ na interval [2, ∞), bi postala bijektivna. Tako »popravljena« funkcija f: x
(–∞, 3]
ZL
f: [2, ∞)
–|x – 2| + 3
postane surjektivna in injektivna hkrati, torej bijektivna. Zgled 11
Dani so množici A = {0, 1, 2} in B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ter funkcijski predpis f(x) = 2x + 1, ki iz A slika v B. Ali je funkcija injektivna? Kaj pa surjektivna? Funkcija je injektivna, ker se poljubna dva različna elementa iz množice A preslikata v različna elementa v množici B. Funkcija pa ni surjektivna, ker so v množici B elementi 0, 2 in 4, ki niso slike nobenega elementa iz A .
LO V
Funkcija iz množice A v množico B je lahko bijektivna samo v primeru, če imata množici A in B enako moč, torej enako število elementov. To je potrebni, ni pa zadostni pogoj za bijektivnost.
LO V
Funkcija je bijektivna, če je surjektivna in injektivna hkrati – če je vsak element iz B slika natanko enega elementa iz A .
CA
Če bi množico B zožili z ℝ na interval (–∞, 3], bi postala surjektivna.
RA
RA
Funkcija, ki preslikuje iz množice A v množico B, je injektivna, če se dva poljubna različna originala iz množice A preslikata v različni sliki v množici B oz. če je vsak element iz B slika kvečjemu enega elementa iz A . Če imata dva originala isto sliko, pa funkcija ni injektivna.
ℝ ni surjektivna, ker y, ki so večji od 3, niso slike nobenega originala.
NA
ZL
Funkcija, ki preslikuje iz množice A v množico B, je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti, to je množica vseh slik funkcije, enaka množici B (Zf = B) oz. če je vsak element iz B slika vsaj enega elementa iz A .
ℝ, f(x): –|x – 2| + 3. Ali je ta funkcija surjektivna, injektivna?
Graf te funkcije zgleda takole:
Funkcija f: ℝ
CA
IČI
Drugi trije predpisi so funkcije; imajo celo posebne lastnosti. Drugi je surjektiven, tretji injektiven in zadnji bijektiven.
Dana je funkcija f: ℝ
DE
• predpis ne preslika vseh elementov iz množice A
DE
226
Naloge ni injektivna je surjektivna ni bijektivna
je injektivna je surjektivna je bijektivna
1093. Za f(x) = 4x – 1 dopolnite tabelo: x –5 –4 –3 –2 –1 f(x)
0
1094. Za funkcijo f: ℝ tabelo.
ℝ, f: x
1
2
3
4
5
Ali je funkcija, katere graf je na sliki, injektivna? Na grafu si zamislimo vse vzporednice z abscisno osjo. Če katera od vzporednic dvakrat ali večkrat seka graf funkcije, funkcija ni injektivna. f(x1) = f(x2) = f(x3); x1, x2 in x3 imajo enake slike, zato funkcija ni injektivna.
x f(x)
–1
1 – 2
0
1 2
1
x3 – 2 izpolnite 2
1095. Realni funkciji f: A ℝ in g: A ℝ; A = {x ∈ ℤ; –4 ≤ x ≤ 4} tabelirajte od –4 do 4 s korakom 1 in zapišite njuni definicijski območji in zalogi vrednosti. b) g(x) = (x + 2)(x – 5) a) f(x) = x2 Video razlaga naloge