Dve spremenljivi količini (označimo ju z x in y) sta lahko med seboj odvisni. Poglejmo si nekaj primerov: x y
Spoznali boste:
Funkcije poimenujemo s črkami: f, g, h …
f: A B Funkcija f preslikuje iz množice A v množico B.
f: x ↦ y Funkcija f elementu x iz A priredi element y v B.
Elemente množice A imenujemo originali in sestavljajo definicijsko območje funkcije D f . Njihove slike so elementi v množici B in sestavljajo zalogo vrednosti funkcije Zf . Množica B lahko vsebuje elemente, ki niso slike nobenega originala.
dolžina stranice kvadrata ploščina kvadrata količina natočenega goriva (1 L goriva stane 1,4 €) znesek, ki ga plačamo na črpalki čas hoje s konstantno hitrostjo (5 km/h) število prehojenih kilometrov
Spremenljivka y je odvisna od spremenljivke x, zato spremenljivko x imenujemo neodvisna, spremenljivko y pa odvisna spremenljivka.
Za kakšno odvisnost gre, nam pove predpis ali funkcija, kar zapišemo y = f(x).
Ploščina kvadrata y je odvisna od dolžine stranice kvadrata x y = f(x) = x 2 Znesek na črpalki y je odvisen od količine natočenega goriva x y = f(x) = 1,4x Število prehojenih kilometrov y je odvisno od časa hoje x y = f(x) = 5x
Zgled 1
S pomočjo zgornjih funkcij izračunajmo:
a) Kolikšna je ploščina kvadrata, če je stranica kvadrata 4 enote.
f(x) = x 2
f(4) = 42 = 16
b) Kolikšen znesek bomo plačali na črpalki, če smo natočili 50 litrov goriva.
f(x) = 1,4 x
f(50) = 1,4 ∙ 50 = 70 €
c) Koliko kilometrov bomo prehodili, če bomo hodili 3 ure in pol.
f(x) = 5x
DELOVNA RAZLIČICA
f(3,5) = 5 ∙ 3,5 = 17,5 km
Na funkcijo lahko pogledamo tudi z drugega zornega kota. Vzemimo množico A , v kateri so vse vrednosti, ki jih lahko zavzame neodvisna spremenljivka. V množici B naj bodo vrednosti odvisne spremenljivke.
Funkcija (preslikava, transformacija) iz množice A v množico B; A , B ≠ ∅, je predpis, ki vsakemu elementu x množice A priredi en sam, natančno določen element y množice B.
Dogovorimo se, da bosta odslej množici A in B enaki množici realnih
števil ℝ, če ne bomo rekli kako drugače.
Funkcijo lahko predstavimo tudi
a) s tabelo – v prvi stolpec vnesemo vrednosti neodvisne spremenljivke x, v drugi stolpec zapišemo njihove slike y oz. vrednosti funkcije pri danih x. Tak zapis funkcije je mogoč le, če ima množica A končno mnogo elementov. Sicer pa je pomanjkljiv.
b) s puščičnim diagramom – v množici A in B napišemo vse njune elemente. S puščicami ponazorimo, v katere elemente množice B se preslikajo elementi množice A . Tudi ta zapis je popoln le, če sta množici A in B končni.
Zgled 2
Naj bo A = {–2, –1, 0, 1, 2} in B = ℝ, predpis funkcije pa f(x) = x +1. Predstavimo funkcijo s tabelo in puščičnim diagramom.
y = x + 1
DELOVNA RAZLIČICA
Graf funkcije je množica vseh urejenih parov (x, y), kjer prvi element x preteče celotno definicijsko območje funkcije, drugi element y pa je slika pripadajočega x: torej y = f(x).
Γf = {(x, y); x ∈ D f in y = f(x)}
Urejene pare iz te množice lahko narišemo tudi v koordinatnem sistemu. Vsakemu elementu (x, f(x)) iz zgornje množice pripada v koordinatnem sistemu točka, katere abscisa je x, ordinata y pa je njegova slika f(x).
V steklene posode različnih valjastih oblik točimo vodo. Premer kroga vodne gladine je odvisen od višine, do katere smo natočili vodo.
