Issuu

Obseg in ploščina trikotnika

Tri nekolinearne točke A, B in C v ravnini določajo trikotnik ABC. Njegov obseg in ploščino bomo izračunali samo s koordinatami oglišč.

Spoznali boste:

Ploščina trikotnika je torej: S = S1 + S2 – S3.

V to formulo vstavimo vse tri izračune za ploščine trapezov:

Kadar tri točke ležijo na isti premici, pravimo, da so kolinearne (lat. linea črta). V tem primeru določajo izrojen trikotnik s ploščino 0.

Kadar pa tri točke ne ležijo na isti premici, so nekolinearne in določajo trikotnik.

Obseg trikotnika je vsota dolžin stranic – to pa je vsota razdalj med tremi pari oglišč:

o = d(A, B) + d(B, C) + d(A, C)

Pri izračunu ploščine bo več dela. Trikotnik ABC bomo vklenili v tri trapeze in z metodo »šivilja in škarjice« dobili iskano število oz. bomo od vsote ploščin zelenega in rumenega trapeza odšteli ploščino modrega trapeza.

Tako dobljeni rezultat je lahko pozitiven, kar pomeni, da je trikotnik ABC pozitivno orientiran (njegova oglišča si sledijo v smeri, ki je nasprotna gibanju kazalca na uri), rezultat pa je lahko tudi negativen – trikotnik je negativno orientiran (oglišča si sledijo v smeri gibanja kazalcev na uri).

Zato pri izračunu ploščine upoštevamo še orientacijo:

S = 1 2 ∙ (±1) ∙ x2 – x1 y2 – y1 x3 – x1 y3 – y1

Če je trikotnik pozitivno orientiran, potem v izračunu vzamemo +1, Če je trikotnik negativno orientiran, potem v izračunu vzamemo -1.

Zgled 1

DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA

Osnovnici zelenega trapeza sta enaki y1 in y3, višina je enaka kar dolžini stranice (x3 – x1), zato je njegova ploščina S1 = 1 2 (y1 + y3)(x3 – x1).

Osnovnici rumenega trapeza sta enaki y2 in y3, višina je enaka (x3 – x2), zato je njegova ploščina S2 = 1 2 (y2 + y3)(x3 – x2).

Osnovnici modrega trapeza sta enaki y1 in y2, višina je enaka (x2 – x1), zato je njegova ploščina S3 = 1 2 (y1 + y2)(x2 – x1).

Spomnimo se, da je ploščina trapeza enaka 1 2 (a + c)v kjer sta a in c njegovi osnovnici, v pa višina.

Zgled 2

Izračunajmo obseg in ploščino trikotnika ABC, ki ga določajo točke A(–1, 2), B(3, –1), C(1, 3).

Obseg je enak vsoti:

o = d(A, B) + d(B, C) + d(C, A) = 5 + 2√5 + √5 = 5 + 3√5

Trikotnik je pozitivno orientiran. Ploščina je:

S = 1 2 3 – (–1) –1 – 2 1 – (–1) –3 – 2 = 1 2 4 –3 2 –1 = 1 2 (4 + 6) = 5

Izračunajmo dolžino višine na stranico c v zgornjem trikotniku.

Ploščina trikotnika je 5, c = d(A, B) = 5.

Iz formule S = c ∙ vc 2 izrazimo višino: vc = 2S c = 2 5 5 = 2

Zgled 3

Ali so točke M(1, –1), N(2, 1) in P(–1, –5) kolinearne?

Če so točke kolinearne, je ploščina trikotnika MNP enaka 0:

S = 1 2 (±1) 1– –2 –2 –4 = 0

M, N in P so kolinearne točke.

Izrazu, zapisanemu v obliki a b c d

pravimo determinanta in pomeni razliko med produktoma števil po eni in drugi diagonali: ad – bc

slika pozitivno in negativno orientiranega trikotnika.