V to formulo vstavimo vse tri izračune za ploščine trapezov: 1
a b c d pravimo determinanta in pomeni razliko med produktoma števil po eni in drugi diagonali: ad – bc.
y2 – y1 y3 – y1
Zato pri izračunu ploščine upoštevamo še orientacijo: 1
S = 2 ∙ (±1) ∙
x2 – x1 y2 – y1 x3 – x1 y3 – y1
ZL
Kadar pa tri točke ne ležijo na isti premici, so nekolinearne in določajo trikotnik.
CA
Tako dobljeni rezultat je lahko pozitiven, kar pomeni, da je trikotnik ABC pozitivno orientiran (njegova oglišča si sledijo v smeri, ki je nasprotna gibanju kazalca na uri), rezultat pa je lahko tudi negativen – trikotnik je negativno orientiran (oglišča si sledijo v smeri gibanja kazalcev na uri).
IČI
Kadar tri točke ležijo na isti premici, pravimo, da so kolinearne (lat. linea črta). V tem primeru določajo izrojen trikotnik s ploščino 0.
1 x –x S= 2 2 1 x3 – x1
Če je trikotnik pozitivno orientiran, potem v izračunu vzamemo +1,
Zgled 1
NA
o = d(A, B) + d(B, C) + d(A, C)
Izračunajmo obseg in ploščino trikotnika ABC, ki ga določajo točke A(–1, 2), B(3, –1), C(1, 3). Obseg je enak vsoti:
Pri izračunu ploščine bo več dela. Trikotnik ABC bomo vklenili v tri trapeze in z metodo »šivilja in škarjice« dobili iskano število oz. bomo od vsote ploščin zelenega in rumenega trapeza odšteli ploščino modrega trapeza.
NA
Obseg trikotnika je vsota dolžin stranic – to pa je vsota razdalj med tremi pari oglišč:
RA
Če je trikotnik negativno orientiran, potem v izračunu vzamemo -1.
o = d(A, B) + d(B, C) + d(C, A) = 5 + 2√5 + √5 = 5 + 3√5
LO V
Trikotnik je pozitivno orientiran. Ploščina je: –1 – 2 1 4 =2 2 1 – (–1) –3 – 2
1 3 – (–1)
S= 2 Zgled 2
LO V
IČI
Izrazu, zapisanemu v obliki
1
1 S = 2 ((x2 – x1)(y3 – y1) – (y2 – y1)(x3 – x1))
RA
ZL
1
S = 2 (y1 + y3)(x3 – x1) + 2 (y2 + y3)(x2 – x3) – 2 (y1 + y2)(x2 – x1) =
CA
Tri nekolinearne točke A, B in C v ravnini določajo trikotnik ABC. Njegov obseg in ploščino bomo izračunali samo s koordinatami oglišč.
Ű
217
Ploščina trikotnika je torej: S = S1 + S2 – S3.
–3 1 = 2 (4 + 6) = 5 –1
Izračunajmo dolžino višine na stranico c v zgornjem trikotniku.
DE
Obseg in ploščina trikotnika
Spoznali boste:
DE
216
Ploščina trikotnika je 5, c = d(A, B) = 5. c∙v
Iz formule S = 2 c izrazimo višino: 2S
2∙5
vc = c = 5 = 2 Osnovnici zelenega trapeza sta enaki y1 in y3, višina je enaka kar dolžini 1 stranice (x3 – x1), zato je njegova ploščina S1 = 2 (y1 + y3)(x3 – x1). Osnovnici rumenega trapeza sta enaki y2 in y3, višina je enaka (x3 – x2), 1 zato je njegova ploščina S2 = 2 (y2 + y3)(x3 – x2). Osnovnici modrega trapeza sta enaki y1 in y2, višina je enaka (x2 – x1), 1 zato je njegova ploščina S3 = 2 (y1 + y2)(x2 – x1).
Spomnimo se, da je ploščina trapeza enaka 1 (a + c)v, kjer sta 2 a in c njegovi osnovnici, v pa višina.
Zgled 3
Ali so točke M(1, –1), N(2, 1) in P(–1, –5) kolinearne? Če so točke kolinearne, je ploščina trikotnika MNP enaka 0: 1
S = 2 (±1)
1– –2
–2 =0 –4
M, N in P so kolinearne točke.
slika pozitivno in negativno orientiranega trikotnika.