Zgled 1
Spoznali boste: Ű
Razpolovišče S stranice AB ima koordinati:
Dolžina težiščnice je razdalja med razpoloviščem S in ogliščem C:
Zgled 2
xA + xB 2 1 –3 + xB –2 = 2
Oznaka za razdaljo d je prva črka latinske besede distantia, ki pomeni razdalja.
Izračunamo: xB = 2 yA + yB 2 –1 + yB 2= 2
LO V
( x +2 x – x ) + ( y +2 y – y ) = ( x 2– x ) + ( y 2– y ) x +x y +y x –x y –y d(S, B) = (x – 2 ) + (y – 2 ) = ( 2 ) + ( 2 ) d(A, S) =
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
LO V
yS =
Izračunamo: yB = 5
Neznano krajišče daljice je točka B(2, 5).
Naloge
)
Razdalji d(A, S) in d(S, B) sta enaki:
NA
Ordinata točke S je aritmetična sredina ordinat točke A in točke B:
Iz znanih koordinat krajišč A in B daljice AB lahko na preprost način izračunamo tudi razpolovišče daljice:
Abscisa in ordinata razpolovišča S sta aritmetični sredini abscis in ordinat krajišč daljice AB. O tem se lahko prepričamo tako, da izračunamo razdalji d(A, S) in d(B, S) ter ugotovimo, da sta enaki.
RA
xS =
4. d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Razdalja od A do C je manjša ali enaka vsoti razdalj od A do B in od B do C. To lastnost imenujemo trikotniška neenakost. Enakost velja, kadar točka C leži med točkama A in B.
(
ZL
Abscisa točke S je aritmetična sredina abscis točke A in točke B:
3. d(A, B) = d(B, A) Razdalja od točke A do točke B je enaka razdalji od točke B do točke A.
x +x y +y S 1 2 2, 1 2 2
(1 )
Točka S – 2 , 2 je razpolovišče daljice AB. Določi koordinati točke B, če sta koordinati točke A(–3, –1). Označimo koordinati točke B: B(xB, yB)
NA
2. d(A, B) = 0 ⇔ A = B Razdalja je enaka 0 samo v primeru, če točki A in B sovpadata.
√41 2
IČI
CA
RA
1. d(A, B) ≥ 0 Razdalja med poljubnima točkama A in B je vedno nenegativno število.
)
7 2
CA
(
tc = d(S, C) = (1 + 1)2 + 6 – 2 =
IČI
ZL
Lastnosti razdalje:
V trikotniku je težiščnica daljica, ki veže razpolovišče stranice z nasprotnim ogliščem.
–4 + 2 = –1 2 5+2 7 ys = 2 = 2 7 S(–1, 2 )
Iz slike vidimo, da je ta razdalja enaka hipotenuzi pravokotnega trikotnika s katetama |x2 – x1| in |y2 – y1|. Seveda bomo za izračun uporabili Pitagorov izrek: d(A, B) = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
213
xs =
V pravokotnem koordinatnem sistemu izberimo točki A(x1, y1) in B(x2, y2) ter izračunajmo njuno razdaljo oz. dolžino daljice AB.
d2 = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
V trikotniku ABC z oglišči A(–4, 5), B(2, 2) in C(1, 6) izračunajmo dolžino težiščnice na stranico AB.
Aritmetična sredina dveh vrednosti a in b je enaka a + b . 2
DE
Razdalja med dvema točkama v ravnini
DE
212
1042. Natančno izračunajte razdaljo med točkama. a) A(4, 9), B(1, 5) b) C(3, –3), D(–3, –5) c) E(4, 2), F(6, 6) č) G(–3, 2), H(–5, –7) d) K(–3, 2), L(–3, –7) e) M(1, –4), N(1, 3)
( 1 ) (5 )
f) P – 2 , 0 , Q 3 , 0
g) R(–2, 0), S(√2, 0)
1043. Izračunajte oddaljenost točke T(–2, 4) od abscisne osi, ordinatne osi in koordinatnega izhodišča. 1044. Po koordinatnem sistemu se robot Alfa lahko giblje le vodoravno ali navpično, robot Omega pa se premo giblje lahko v katerikoli smeri. Koliko daljšo pot bi opravil robot Alfa, če morata robota priti iz točke A(–2, –4) v točko B(6, 11)?