Razdalja med dvema točkama v ravnini
V pravokotnem koordinatnem sistemu izberimo točki A(x1, y1) in B(x2, y2) ter izračunajmo njuno razdaljo oz. dolžino daljice AB.
Iz slike vidimo, da je ta razdalja enaka hipotenuzi pravokotnega trikotnika s katetama |x2 – x1| in |y2 – y1|. Seveda bomo za izračun uporabili Pitagorov izrek: d2 = |
Lastnosti razdalje:
1. d(A, B) ≥ 0
Razdalja med poljubnima točkama A in B je vedno nenegativno število.
2. d(A, B) = 0 ⇔ A = B
Razdalja je enaka 0 samo v primeru, če točki A in B sovpadata.
3. d(A, B) = d(B, A)
Razdalja od točke A do točke B je enaka razdalji od točke B do točke A
4. d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
Razdalja od A do C je manjša ali enaka vsoti razdalj od A do B in od B do C.
To lastnost imenujemo trikotniška neenakost. Enakost velja, kadar točka C leži med točkama A in B.
Iz znanih koordinat krajišč A in B daljice AB lahko na preprost način izračunamo tudi razpolovišče daljice: S(
Spoznali boste:
Oznaka za razdaljo d je prva črka latinske besede distantia ki pomeni razdalja.
Zgled 1
V trikotniku ABC z oglišči A(–4, 5), B(2, 2) in C(1, 6) izračunajmo
dolžino težiščnice na stranico AB.
Razpolovišče S stranice AB ima koordinati:
xs = –4 + 2 2 = –1
ys = 5 + 2 2 = 7 2
S(–1, 7 2 )
Dolžina težiščnice je razdalja med razpoloviščem S in ogliščem C:
tc = d(S, C) = (1 + 1)2 + (6 – 7 2 )2 = √41 2
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
Abscisa in ordinata razpolovišča S sta aritmetični sredini abscis in ordinat krajišč daljice AB. O tem se lahko prepričamo tako, da izračunamo razdalji
d(A, S) in d(B, S) ter ugotovimo, da sta enaki.
Razdalji d(A, S) in d(S, B) sta enaki: d
Zgled 2
Aritmetična sredina dveh vrednosti a in b je enaka a +
stranice z nasprotnim ogliščem.
Točka S(– 1 2 , 2) je razpolovišče daljice AB. Določi koordinati točke B, če sta koordinati točke A(–3, –1).
Označimo koordinati točke B: B(xB, yB)
Abscisa točke S je aritmetična sredina abscis točke
xS = xA + xB 2 –1 2 = –3 + xB 2
Izračunamo: xB = 2
Ordinata točke S je aritmetična sredina ordinat točke
yS = yA + yB 2 2 = –1 + yB 2
Izračunamo: yB = 5
Neznano krajišče daljice je točka B(2, 5).
1042. Natančno izračunajte razdaljo med točkama.
a) A(4, 9), B(1, 5)
b) C(3, –3), D(–3, –5)
c) E(4, 2), F(6, 6)
č) G(–3, 2), H(–5, –7)
d) K(–3, 2), L(–3, –7)
e) M(1, –4), N(1, 3)
f) P(– 1 2 , 0), Q( 5 3 , 0)
g) R(–2, 0), S(√2, 0)
1043. Izračunajte oddaljenost točke T(–2, 4) od abscisne osi, ordinatne osi in koordinatnega izhodišča.
1044. Po koordinatnem sistemu se robot Alfa lahko giblje le vodoravno ali navpično, robot Omega pa se premo giblje lahko v katerikoli smeri. Koliko daljšo pot bi opravil robot Alfa, če morata robota priti iz točke A(–2, –4) v točko B(6, 11)?
Naloge
V trikotniku je težiščnica daljica, ki veže razpolovišče
