Zgled 5
Vzemimo zdaj točki, sliki števil a in b na številski premici. Oddaljenost med njima je enaka b – a, če je a < b, in a – b, če je a > b. |b – a| 0
a
189
Rešimo enačbo |x + 4| = 2x – 1. • Če je izraz v absolutni vrednosti nenegativen, torej x + 4 ≥ 0, oziroma x ≥ –4, imamo enačbo x + 4 = 2x – 1
b
Ker se števili b – a in a – b razlikujeta samo v predznaku, saj je b – a = –(a – b), sta njuni absolutni vrednosti enaki |b – a| = |a – b|.
|a – b| ≥ ||a| – |b||
–x = –5
|a – b| ≠ |a| – |b|
x=5 Ker 5 zadosti pogoju x ≥ –4, je število 5 rešitev enačbe.
Razdalja med številoma a in b je enaka |b – a|. Izračunajmo vrednosti izrazov.
–(x + 4) = 2x – 1
a) ||2 – 5| – |–7|| = ||–3| – 7| = |3 – 7| = |–4| = 4
–x – 4 = 2x – 1
CA
–3x = 3
b) |5 + √3| + |√3 – 2| = 5 + √3 – (√3 – 2) = 5 + √3 – √3 + 2 = 7
x = –1
IČI
IČI
Število 5 + √3 je pozitivno in zato |5 + √3| = 5 + √3. Ker je √3 < √4 oziroma √3 < 2, je število √3 – 2 negativno in zato |√3 – 2| = –(√3 – 2).
Ker –1 ne zadosti pogoju x < –4, število –1 ni rešitev dane enačbe.
Zgled 3
3a = 24
in 3a = –24
a1 = 8
a2 = –8
• Za x < –2: –(x – 3) – (2x + 4) = 8 –x + 3 – 2x – 4 = 8 –3x = 9
Rešimo enačbo |x – 3| = 7.
x = –3
LO V 7 enot
• Za –2x ≤ x ≤ 3:
–(x – 3) + (2x + 4) = 8 –x + 3 + 2x + 4 = 8
7 enot
x=1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
DE
• Za 3 < x:
• Pri algebrskem reševanju se držimo definicije. Izraz znotraj navpičnih črt je nenegativen za x ≥ 3. V tem primeru dobimo linearno enačbo x – 3 = 7 z rešitvijo x1 = 10. Če je x < 3, je izraz med navpičnima črtama negativen, zato ga moramo pomnožiti z –1. Dobimo linearno enačbo –(x – 3) = 7 z rešitvijo x2 = –4.
x – 3 + 2x + 4 = 8 3x = 7
1
x=2 3 Samo prvi dve rešitvi zadoščata tudi pogojem, tako da je množica rešitev: ℛ = {–3, 1}.
Obravnavajmo izraz |2a – 6| – 2a + 3. Izraz 2a – 6 ima vrednost nič pri a = 3. Za a ≥ 3 je izraz enak |2a – 6| – 2a + 3 = 2a – 6 – 2a + 3 = –3. Za a < 3 je izraz enak |2a – 6| – 2a + 3 = –(2a – 6) – 2a + 3 = –4a + 9.
ZL
Enačbo rešimo v treh delih:
• Če enačbo rešujemo geometrijsko, iščemo tiste točke na realni osi, ki se od 3 razlikujejo za 7; to je točka, ki je od 3 oddaljena za 7 enot na desno, in točka, oddaljena od 3 za 7 enot na levo. Tako dobimo rešitvi x1 = 10 in x2 = –4.
Zgled 4
Rešimo enačbo |x – 3| + |2x + 4| = 8.
RA
Rešimo enačbo |3a| = 24.
NA
Zgled 2
Zgled 6
RA
Ker je 3 < π, je 3 – π negativno število in je |3 – π| = –(3 – π) = π – 3. Tudi √2 – 142 je negativno število in zato |√2 – 142| = –(√2 – 142) = 142 – √2.
Enačba ima eno rešitev. Njena rešitev je x = 5.
NA
ZL
c) |3 – π|+ |√2 – 142| = π – 3 + 142 – √2 = π – √2 + 139
LO V
Zgled 1
CA
• Za x + 4 < 0, oziroma x < –4, dobimo enačbo
DE
188
Zgled 7
Poiščimo realna števila x, za katera je |x – 2| < 1. Ker je |a – b| razdalja med a in b, je |x – 2| razdalja med x in 2. Ker mora biti le–ta manjša od 1, je x ∈ (1, 3). 0
1
2
3
4