962. Rešite sisteme neenačb, rešitve zapišite z intervali in jih predstavite na številski premici.
a) 14 – 3x ≤ –4(x – 4), x + 5 6 ≤ 1 3 (6x –1 2 )
b) 3x – 5 < x + 3 < 2x + 4
c) –2(2x + 7) > –3x
2(1 + 5x)
963. Poiščite vrednosti x, za katere velja:
a) (5(x – 1) > (4 – x)3 + 7) ⋁ (2x + 3 < 4 –– 5(x – 4))
b) (12 + 3(x – 4) > 5x + 2) ⋁ (
)
964. Za katere vrednosti realnega števila a leži vrednost izraza 3a – 8 na intervalu (1, 25)?
965. Obravnavajte neenačbo (a2 + b2)x + b2 – a2 < 2abx.
966. Dana je neenačba mx + 2m > x + 2m2 , kjer je m ∈ ℝ; m > 1 in x neznanka.
a) Rešite neenačbo.
b) Za katera realna števila m je množica rešitev te neenačbe x > 6?
967. Dana je neenačba – 2 3 x –k 12 ≥ 5k 4 kjer je x neznanka in k poljubno realno število.
a) Rešite neenačbo.
b) Za katero realno število k bo x ≤ 1 rešitev neenačbe?
968. Dana je neenačba a(x – a) < 3(2a – (x – 3)); a ∈ ℝ, a > –3.
a) Rešite neenačbo.
b) Za katero realno število a bodo rešitev neenačbe vsa realna števila, ki so manjša od 5?
970. Dana je neenačba ax + 6 > x – 2; a ∈ ℝ, a > 1.
a) Rešite neenačbo.
b) Za katero realno število a bodo rešitev neenačbe vsa realna števila, ki so večja od –4?
971. Za kateri števili a in b bodo rešitve sistema neenačb x 4 –2(1 – x) 3 < a + 3x 2 in x 2 – 1 < b – x 3 vsa realna števila iz intervala (–8, 2)?
972. V množici realih števil glede na realno število a obravnavajte neenačbo a(a – 1) – 2 > x(1 + a).
973. Dana je neenačba ax + 5 ≤ (a + 1)2 – 4(x + 1), a, x ∈ ℝ.
a) Obravnavajte neenačbo.
b) Za katero realno število a bo množica A = (–∞, 0] rešitev neenačbe?
974. Dana je enačba 3(a – 2x) – 36 = 5a – 8(x – a), kjer je a realno število.
a) Za a = –2 rešite enačbo.
b) Za katero realno število a bo 8 rešitev enačbe?
c) Za katera realna števila a bo rešitev enačbe negativno število?
975. Obravnavajte neenačbe glede na vrednosti parametrov a, b in m.
a) a(x – a) ≤ 3(2a – (x – 3))
b) 2x – 2(3b – 4) ≤ b(x – b)
c) mx > 2(x – (3m – 4)) + m 2 č) a(x + 1) < a2 – (x + 2)
Absolutna vrednost
Realnemu številu a lahko izračunamo (priredimo) absolutno vrednost tako, da izračunamo oddaljenost slike tega realnega števila od izhodišča.
Zgled 1
Zapišimo absolutno vrednost točk, katerih sliki sta označeni na številki premici.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
|4| = 4, saj je število 4 oddaljena za 4 od izhodišča.
|–2| = 2, saj je število –2 oddaljena za 2 od izhodišča.
Absolutna vrednost nenegativnega števila je kar število sámo, absolutna vrednost negativnega števila pa je to negativno število, pomnoženo z –1.
a = a; a ≥ 0 –a; a < 0
Lastnosti absolutne vrednosti
• |a| ≥ 0 za vsak a ∈ ℝ, ker je razdalja lahko le nenegativna.
• |a| = 0 samo v primeru, ko je a = 0.
• |–a| = |a|; števili a in –a ležita na realni osi simetrično glede na izhodišče, zato imata isto absolutno vrednost.
• |a · b| = |a| · |b|; absolutna vrednost zmnožka je enaka zmnožku absolutnih vrednosti.
• |a + b| ≤ |a| + |b|; absolutna vrednost vsote je manjša ali enaka vsoti absolutnih vrednosti (trikotniška neenakost).
Dokaz
Trikotniško neenakost bomo dokazali tako, da bomo pokazali, da je izraz = |a + |b – |
Spoznali boste:
Ű kaj je to absolutna vrednost,
Ű kako absolutna vrednost predstavimo na številski premici,
Ű kako računamo z absolutno vrednostjo.
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
| vedno pozitiven ali enak nič.
969. Dana je neenačba 3(a – 3x) + x ≤ 5a – 3(x – a) + 25; a ∈ ℝ
a) Rešite neenačbo.
b) Za katera števila a so rešitve neenačbe negativna števila?
976. Dana je neenačba mx – m2 < 3(x – 1) – 2m; m ∈ ℝ
a) Obravnavajte neenačbo glede na vrednosti parametra m
b) Za kateri m bo rešitev neenačbe interval (–1, ∞)?
Če sta a in b nenegativni števili, je nenegativna tudi njuna vsota. Torej je
Če sta a in b negativni števili, je negativna tudi njuna vsota ter a|
Nazadnje naj bosta a in b nasprotno predznačeni števili. Vzemimo na primer, da je a pozitivno, b pa negativno število. Odvisno od znaka vsote a + b je:
a + b ≥ 0, potem I = a + (–b) – (a +
potem
>
Pokazali smo, da je izraz I za vse vrednosti a in b pozitiven ali enak nič, in s tem dokazali trikotniško neenakost.
Trikotniško pravilo v geometriji
V neizrojenem trikotniku je vsota dolžin dveh stranic večja od dolžine tretje stranice.
