184
185
Sistemi linearnih neenačb
c) x + 3 < x + 5 Če na obeh straneh neenačbe odštejemo x in 3, dobimo izjavo 0 < 2, ki je vedno resnična. To pomeni, da tako neenačbo rešijo vsi x ∈ ℝ. Množica rešitev je (–∞, ∞).
Če imamo dve neenačbi, rešimo vsako posebej, rešitev pa je presek obeh rešitev. Zgled 1
č) x + 5 < x + 3
Rešimo sistem neenačb 3x + 7 < –x – 1 ≤ x + 9 Najprej napišimo sistem tako, da se bo videlo dve neenačbi:
Če na obeh straneh neenačbe odštejemo x in 5, dobimo izjavo 0 < –2, ki ni nikoli resnična. To pomeni, da taka neenačba nima nobene rešitve.
3x + 7 < –x – 1 –x – 1 ≤ x + 9
Množica rešitev je prazna množica ∅.
Na levi strani izpostavimo x.
NA
(1 – a) x < a – 1
Neenakost moramo deliti z 1 – a, vendar je ta izraz lahko pozitiven, negativen ali 0: • če je 1 – a > 0 oz. a < 1, se znak neenakosti ohrani in dobimo rešitev x < –1,
LO V
• če je 1 – a < 0 oz. a > 1, se znak neenakosti obrne in sledi x > –1, • če je a = 1, ne dobimo rešitve, ker za noben x ne velja 0 ∙ x < 0. Obravnavajmo in rešimo neenačbo a2x – a < 7ax – 12x – 3. a2x – a < 7ax – 12x – 3
DE
Zgled 2
Ločimo neznanke od konstant.
a2x – 7ax + 12x < a – 3
Na levi strani izpostavimo x.
(a2 – 7a + 12) x < a – 3
Kvadratni izraz razcepimo po Viètovem pravilu.
(a – 3) (a – 4) x < a – 3
Glede na različne vrednosti števila a dobimo različne rešitve: • pri a = 3 ne dobimo rešitve, ker za noben x ne velja 0 ∙ (–1) ∙ x < 0, • pri a = 4 vsak x reši neenačbo, saj dobimo 1 ∙ 0 ∙ x < 1, • če je a > 4 ali a < 3, delimo neenačbo s produktom dveh pozitivnih oz. dveh negativnih 1 številk, zato se neenačaj ohrani x < a – 4 , • če delimo z a ∈ (3, 4), delimo z negativnim številom, zato se znak neenakosti obrne 1 x < a – 4.
x < –2
x ≥ –5
–6
CA
–2x ≤ 10
–5
–4
–3
–2
–1
0
ZL
Ker morata obe neenakosti veljati hkrati, dobimo za rešitev odprt interval [–5, –2).
Naloge 955. Rešite neenačbe in rešitve predstavite s točkami na številski premici. a) x – 3 < 4 b) 2x + 5 > –1 c) 1 – 3x ≤ x – 7 č) 8 + 2x ≥ 6 + 5x
NA
x – ax < a – 1
4x < –8
956. Rešite neenačbe: a) 24 – 2(1 – x) < 3(3 + 5x) b) (x – 4)2 > 4 + (x – 2)(x + 2) c) 32x – 6(4 + 7x – 5) < 24 – (9x + 21) č) 3(x – 6) – 2(4x + 5) ≤ 12
LO V
(1 – a) x < a – 1 Najprej odpravimo oklepaje in ločimo neznanke od konstant.
–x – 1 ≤ x + 9
957. Rešite neenačbe in rešitve predstavite s točkami na številski premici. a) 3 + (x + 2)2 > (x – 3)(x + 3) b) (x – 1)3 < (x – 1)(x2 + x + 1) – 3(x2 – 1) c) (2x – 3)(4x + 9) – 7x < (3x – 5)(4x + 3) – 4x2 č) 21 – (3 + 2x)2 ≥ 4(9 – x2)
DE
Obravnavajmo neenačbo (1 – a) x < a – 1.
RA
Zgled 1
ZL
IČI
Podobno kot enačbe obravnavamo tudi neenačbe, je pa ena pomembna razlika. Pri enačbah se vprašamo, ali je izraz, s katerim želimo deliti, enak 0 ali je različen od 0. Pri neenačbah pa se bomo vprašali, ali je izraz, s katerim želimo deliti, večji od nič, enak nič ali manjši od nič. Če namreč neenačbo delimo z negativnim številom, se neenačaj obrne.
3x + 7 < –x – 1
958. Rešite neenačbe. x
3x – 2 x >1+ 2 5 x 1–x x+2 b) 6 + 2 – 3 < 10 x+1 x+2 c) 1 – 2 – 3 ≥ 5x
a) 4 +
3
x – 1 2x + 2 1 + 3 ≥ –2 2 4 2–x d) 4 – 3 > 2x + 3
č)
RA
Obravnavanje linearnih neenačb
IČI
CA
Obe neenačbi rešimo:
959. Rešite neenačbe. a) 1 + (2√3)2 > x√3 + (1 + √3)2 – √12 3 b) 1,5 + (2 – √5)2 – x√5 > 2 ∙ 5–1 ∙ (√–125) – √80
c) (x – π)2 – 2π2 < (x – π)(x + π) + 2 – 4x č) (x – √2)(x + √2) + 2x > (x + √2)2 + 2 960. Spodnje množice zapišite tako, da naštejete vse njihove elemente ali pa jih zapišite z intervalom: A = {x ∈ ℕ; –2x + 3 ≥ –5}, B = {x ∈ ℕ; x2 + 5x = 6}, C = {x ∈ ℝ; –2 < x ≤ 5} in D = {x ∈ ℝ; (x – 4)2 ≤ x2}, 961. Množici A in B sta podmnožici celih števil. Množica A je množica rešitev neenačbe 3(x – 2) < x + 2, množica B pa množica rešitev neenačbe x – 3 ≤ 2(x – 1). Zapišite množici A in B ter njun presek.