Issuu

c) x + 3 < x + 5

Če na obeh straneh neenačbe odštejemo x in 3, dobimo izjavo 0 < 2, ki je vedno resnična. To pomeni, da tako neenačbo rešijo vsi x ∈ ℝ.

Množica rešitev je (–∞, ∞).

č) x + 5 < x + 3

Če na obeh straneh neenačbe odštejemo x in 5, dobimo izjavo 0 < –2, ki ni nikoli resnična. To pomeni, da taka neenačba nima nobene rešitve.

Množica rešitev je prazna množica ∅.

Obravnavanje linearnih neenačb

Podobno kot enačbe obravnavamo tudi neenačbe, je pa ena pomembna razlika. Pri enačbah se vprašamo, ali je izraz, s katerim želimo deliti, enak 0 ali je različen od 0. Pri neenačbah pa se bomo vprašali, ali je izraz, s katerim želimo deliti, večji od nič, enak nič ali manjši od nič. Če namreč neenačbo delimo z negativnim številom, se neenačaj obrne.

Zgled 1

Obravnavajmo neenačbo (1 – a) x < a – 1.

Sistemi linearnih neenačb

Če imamo dve neenačbi, rešimo vsako posebej, rešitev pa je presek obeh rešitev.

Zgled 1

Rešimo sistem neenačb 3x + 7 < –x – 1 ≤ x + 9

Najprej napišimo sistem tako, da se bo videlo dve neenačbi:

3x + 7 < –x – 1 –x – 1 ≤ x + 9

Zgled 2

(1 – a) x < a – 1 Najprej odpravimo oklepaje in ločimo neznanke od konstant.

x – ax < a – 1 Na levi strani izpostavimo x.

(1 – a) x < a – 1

Neenakost moramo deliti z 1 – a, vendar je ta izraz lahko pozitiven, negativen ali 0:

• če je 1 – a > 0 oz. a < 1, se znak neenakosti ohrani in dobimo rešitev x < –1,

• če je 1 – a < 0 oz. a > 1, se znak neenakosti obrne in sledi x > –1,

• če je a = 1, ne dobimo rešitve, ker za noben x ne velja 0 ∙ x < 0.

Obravnavajmo in rešimo neenačbo a2 x – a < 7ax – 12x – 3.

a2 x – a < 7ax – 12x – 3 Ločimo neznanke od konstant.

a2 x – 7ax + 12x < a – 3 Na levi strani izpostavimo x.

(a2 – 7a + 12) x < a – 3 Kvadratni izraz razcepimo po Viètovem pravilu.

DELOVNA RAZLIČICA

(a – 3) (a – 4) x < a – 3

Glede na različne vrednosti števila a dobimo različne rešitve:

• pri a = 3 ne dobimo rešitve, ker za noben x ne velja 0 ∙ (–1) ∙ x < 0,

• pri a = 4 vsak x reši neenačbo, saj dobimo 1 ∙ 0 ∙ x < 1,

• če je a > 4 ali a < 3, delimo neenačbo s produktom dveh pozitivnih oz. dveh negativnih številk, zato se neenačaj ohrani x < 1 a – 4 ,

• če delimo z a ∈ (3, 4), delimo z negativnim številom, zato se znak neenakosti obrne

x < 1 a – 4 .

Obe neenačbi rešimo:

3x + 7 < –x – 1 –x – 1 ≤ x + 9

4x < –8 –2x ≤ 10 x < –2 x ≥ –5

Ker morata obe neenakosti veljati hkrati, dobimo za rešitev odprt interval [–5, –2).

955. Rešite neenačbe in rešitve predstavite s točkami na številski premici.

a) x – 3 < 4

b) 2x + 5 > –1

c) 1 – 3x ≤ x – 7

č) 8 + 2x ≥ 6 + 5x

956. Rešite neenačbe:

a) 24 – 2(1 – x) < 3(3 + 5x)

b) (x – 4)2 > 4 + (x – 2)(x + 2)

c) 32x – 6(4 + 7x – 5) < 24 – (9x + 21)

č) 3(x – 6) – 2(4x + 5) ≤ 12

957. Rešite neenačbe in rešitve predstavite s točkami na številski premici.

a) 3 + (x + 2)2 > (x – 3)(x + 3)

b) (x – 1)3 < (x – 1)(x 2 + x + 1) – 3(x 2 – 1)

DELOVNA RAZLIČICA

c) (2x – 3)(4x + 9) – 7x < (3x – 5)(4x + 3) – 4x 2

č) 21 – (3 + 2x)2 ≥ 4(9 – x2)

958. Rešite neenačbe.

a) x 4 + 3x – 2 5 > 1 + x 2

b) x 6 + 1 – x 2 –x + 2 3 < 10

c) 1 – x + 1 2 –

959. Rešite neenačbe.

a) 1 + (2√3)2 >

960. Spodnje množice zapišite tako, da naštejete vse njihove elemente ali pa jih zapišite z intervalom: A =

; –2x + 3 ≥ –5}, B = {x ∈ ℕ

961. Množici A in B sta podmnožici celih števil. Množica A je množica rešitev neenačbe 3(x – 2) < x + 2, množica B pa množica rešitev neenačbe x – 3 ≤ 2(x – 1). Zapišite množici A in B ter njun presek.

Naloge