181
Rešitev ponazorimo na številski premici in jo zapišimo z intervalom.
Naloge
a) [0, 3] ∩ [2, 5]
934. Napišite tri racionalna in tri iracionalna števila iz intervala (1, 3).
Na številski premici narišemo oba intervala. Iz definicije in s slike je jasno, da so v preseku vsa števila med 2 in 3, vključno s številoma 2 in 3, to pa je ravno zaprti interval [2, 3].
CA
[0, 3] ∩ [2, 5] = [2, 3].
–2 –1
0
1
2
3
IČI
b) (–1, 1) ∪ (0, 3)
4
ZL
S slike obeh intervalov na številski premici in iz definicije ugotovimo, da so v uniji vsa števila od –1 do 3, to je odprti interval (–1, 3):
RA
(–1, 1) ∩ (0, 3) = (–1, 3). c) [–5, 2) ∩ (–1, 3] = (–1, 2)
NA
[–5, 2) ∪ (–1, 3] = [–5, 3]
–6 –5 –4 –3 –2 –1 +
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
943. Zapišite unije intervalov. a) [–2, 2] ∪ [0, 5] b) (–5, 0) ∪ (–2, 3) c) [–2, 3] ∪ (5, 7) č) (–5, –2) ∪ [–3, 0] d) [–3, 2) ∪ [2, 6) e) (–∞, 1] ∪ [1, ∞) 944. Zapišite vsa cela števila iz unije in preseka intervalov. a) (–4, 1] in [0, 3) b) [0, 3) in (1, 4] c) [–3, 1) in (1, 3] č) (–4, –1) in [2, 4]
936. Ali so naslednje trditve pravilne? a) √26 ∈ [0, 5] b) 4,99 ∈ (0, 5) c) [0, 5] ⊂ (0, 5) č) {1, 2, 3} ⊂ [2, 5] π d) – 4 ∈ [0, 5]
e) Interval [0, 5) vsebuje število 0, število 5 pa ne. f) Moč intervala [1, 3] je 3.
937. Napišite vsa praštevila iz intervala (√8, 5π). Zaprti interval, pri katerem krajišči sovpadata, je točka: [a, a] = {a}.
4
č) ℝ – [2, 5) = (0, 2) ∪ [5, ∞)
–1
Pravilen rezultat je (–1, 3), ne pa (3, –1), kajti pri zapisu intervala mora biti prvo število manjše od drugega.
935. Zapišite najmanjše in največje celo število z danega intervala. a) [0, 10] b) (0, 10) c) [–5, 2] č) (–3, 3) d) (–8, –1) e) (–∞, 1] f) (–√2, √5] g) [π, 5˙3)
CA
6
IČI
5
9
Odprti interval z enakima krajiščema pa prazna množica: (a, a) = { }.
938. Dane množice zapišite z intervali: a) {x ∈ ℝ; 3 < x} b) {x ∈ ℝ; x < 1} c) {x ∈ ℝ; –2 ≤ x} č) {x ∈ ℝ; x ≤ 3}
945. Zapišite vsa naravna števila iz unije in preseka intervalov. a) (–5, 2] in [0, 4) b) [–3, 1] in [1, 5] c) [–5, –2] in [2, 4]
ZL
4
946. Z intervalom zapišite na sliki prikazana intervala ter njun presek in unijo. a) I
RA
3
NA
2
939. Množice zapišite z intervali in jih predstavite na številski premici. a) {x ∈ ℝ; 2 < x < 5} b) {x ∈ ℝ; –4 ≤ x ≤ 3} c) {x ∈ ℝ; –3 < x ≤ 4} č) {x ∈ ℝ; –5 ≤ x < 0} d) {x ∈ ℝ; 1 < x ≤ 6} e) {x ∈ ℝ; x > 3} f) {x ∈ ℝ; x ≤ –4}
LO V
1
Ne pozabite, da so na intervalu [0, 3] poleg celih števil 0, 1, 2 in 3, še vsa druga pozitivna realna števila, ki so manjša od 3.
942. Zapišite preseke intervalov. a) [–1, 1] ∩ [0, 2] b) (–5, –3) ∩ (–4, –2) c) [2, 5) ∩ [5, 8] č) [–1, 0) ∩ (–1, 3)
DE
0
LO V
Zgled 1
DE
180
940. Zapišite množico vseh nenegativnih realnih števil, ki so manjša od 6, ter iskano množico predstavite na številski premici. 941. Naj bo množica A množica realnih števil, ki so manjša od –2, množica B pa množica negativnih realnih števil, ki so večja od –7. a) Dani množici zapišite s simboli in ju predstavite na številski premici. b) Zapišite unijo in presek množic A in B ter ju grafično predstavite. c) Z intervali zapišite množici A – B in B – A .
–4
–3
–2
–1 0
1
2
3
4
3
4
5
6
–1 0
1
2
3
4
J –2
–1 0
1
2
–6
–5
–3
–2
b)
I –4
J –4
–3
–2
–1 0
1
2
947. Zapišite z intervali. b) ℝ+ ∪ (–2, 4) a) ℝ+ ∩ (–2, 2) – č) (–∞, 3) ∩ [–3, ∞) c) ℝ – [–1, 1) d) ℝ+ – [2, 4] 948. Dane so množice A = {x ∈ ℝ; x ≥ 2}, B = (–1, 4) in C = {x ∈ ℕ; x < 6}. Ponazorite jih na številski premici in zapišite množice: A ∩ B, A ∩ C, A ∪ B, A \B B in C\B B.