19
Na primeru preverimo distributivnostna zakona.
Kartezični produkt (nepraznih) množic A in B je množica urejenih parov (x, y), pri čemer je x ∈ A in y ∈ B.
U = {n; 0 ≤ n < 20, n ∈ ℕ} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A × B = {(x, y); x ∈ A ⋀ y ∈ B }
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} C = {0, 5, 10, 15}
Urejen par (a, b) je enak urejenemu paru (b, a) le, če je a = b. A × B) = m(A A ) · m(B B). Za končni množici velja: m(A Zgled 9
(A A ∩ C) ∪ (B B ∩ C) = {5} ∪ {5} = {5}
CA
• (A A ∩ B) ∪ C = {2, 3, 5, 7} ∪ {0, 5, 10, 15} = {0, 2, 3, 5, 7, 10, 15}
(A A ∪ C) ∩ (B B ∪ C) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15} ∩ {0, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 17, 19} = = {0, 2, 3, 5, 7, 10, 15}
A = {40, 41, …, 45} in B = {b, m, r}
ZL
⇒ m(A A ∪ B) = 2 + 9 – 1 = 10
RA
A ∩ B = {14} ⇒ m(A A ∩ B) = 1
Zgled 10
Zapišimo presek množic A ∩ B, če je A = {p; 3 ≤ p < 20, p praštevilo} in B = {2n; n ≤ 10, n ∈ ℕ}.
Najprej narišemo univerzalno množico in v njej dve množici S U S G in G, ki imata neprazen presek. Nato v presek (modro obarvana množica) napišemo število 5, to so študentje, ki se ukvarjajo 5 15 25 z obema dejavnostma. Zeleno obarvana množica predstavlja razliko množic S – G z močjo 25. To so študentje, ki se ukvarjajo 55 s športom, ne pa z glasbo. Podobno nam oranžno obarvana množica z močjo 15 pomeni študente, ki se ukvarjajo z glasbo, ne pa s športom. Moč unije S ∪ G je torej 45. Z nobeno od omenjenih dejavnosti pa se ne ukvarja 100 – 45 = 55 študentov.
DE
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Na vprašalnik o prostočasnih dejavnostih je 30 od 100 študentov odgovorilo, da se ukvarjajo s športom, 20 se jih ukvarja z glasbo, z obema dejavnostma pa se jih ukvarja 5. S pomočjo Vennovega diagrama izračunajmo, koliko študentov se ukvarja s športom, ne pa z glasbo, in koliko študentov se ne ukvarja niti z glasbo niti s športom.
Šahovska plošča je primer uporabe kartezičnega produkta A × B = {a, b, c, d, e, f, g, h} × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Vsaka poteza pomeni prehod figure od enega urejenega para do drugega. Oglejmo si sliko in ugotovimo, s katero figuro »črni igralec« matira »belega igralca«. Zapišimo sedanjo in prejšnjo pozicijo te figure.
LO V
LO V
A = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Zgled 8
b
»Črni igralec« matira »belega igralca« s kraljico. Ta je na položaju (h, 4), prišla pa je s položaja (d, 8). Tu gre za zelo lahek način zmage in zato se ji reče neumnežev mat.
Najprej zapišimo množice z elementi:
A ∩B=∅
A × B = {(40, b), (40, m), (40, r), (41, b), …, (45, r)}
NA
NA
Preverimo: A ∪ B = {4, 9, 14, 19, 24, 28, 29, 34, 39, 44}. Zgled 7
m
m(A A × B) = m(A A ) · m(B B) = 6 · 3 = 18
B = {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44} ⇒ m(B B) = 9
r
Napišimo kartezični produkt množic A in B in preštejmo njegove elemente.
IČI
IČI
Množica A vsebuje vsa soda naravna števila, manjša od 33, ki so deljiva s 7; množica B pa vsa števila, manjša od 47, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 4. Zapišimo obe množici in izračunajmo moč njune unije. A = {14, 28} ⇒ m(A A) = 2
V modnem katalogu trgovske hiše ponujajo moške srajce različnih številk (40, 41, …, 45) in barv (bela, modra, rdeča). Poglejmo si, katere so vse možne kombinacije moških srajc glede na velikost in barvo ter koliko jih je. Kartezični produkt nato predstavimo s točkami na mreži.
CA
• (A A ∪ B) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19} ∩ {0, 5, 10, 15} = {5}
ZL
Distributivnostna zakona:
Zgled 6
Urejeni par (a, b) je matematični objekt, kjer je pomemben vrstni red elementov. Prvi element je a, drugi pa b.
RA
Zgled 5
DE
18
a b c d e f g h 8 tjn lnjt8 7 oooo ooo7 6 6 5 5 o 4 pw4 3 3 p 2 ppppp p2 1 rhbqkbhr1 a b c d e f g h
40 41 42 43 44 45 Zgledi za kartezični produkt so tudi mnoge razvedrilne miselne igre, na primer šah, štiri v vrsto in potapljanje ladjic, ki potekajo na pravokotni igralni plošči, razdeljeni na x · y polj. Polje na plošči določimo s križiščem izbranega stolpca in izbrane vrstice – to pa je ravno urejeni par (x, y).
Naloge 14. Zapišite moč množic A , B in C. Množica A je množica vseh lihih naravnih števil, manjših od 20. Množica B je množica vseh praštevil, manjših od 20. Množica C je množica vseh deliteljev števila 20.
15. Dani sta množici A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} in B = {3, 6, 9, 12, 15}. Z naštevanjem elementov zapišite množice C = A ∩ B, D = A ∪ B, E = A \B B, ℱ = B\A A.