a2 + b2 a 2ab + ay = b
809. Dana je enačba a(x + 16) = 4(a2 + x). a) Rešite enačbo; a ∈ ℚ, a ≠ 4. b) Za katero racionalno število a bo rešitev enačbe enaka –8?
a2 + b2
ay = b – a ∙ 2ab
810. Dana je enačba 3(x + 2) = a2 + a(1 – x). a) Rešite enačbo; a ∈ ℚ, a ≠ 3. b) Za katero racionalno število a bo rešitev enačbe enaka 0?
CA
Rešimo sistem treh enačb s tremi neznankami ter parametrom a.
IČI
ax – y + z = 1 –x + ay – z = a2 x – y + az = 3
Od prve enačbe najprej odštejemo tretjo, dobimo: (a – 1)x + (1 – a)z = –2
ZL
Potem pa prvo enačbo, pomnoženo z a, prištejemo drugi enačbi, dobimo: (a2 – 1)x + (a – 1)z = a2 + a
(
2
RA
Tako smo dobili system dveh enačb z dvema neznankama – odstranili smo neznanko y. (a – 1)x + (1 – a)z = –2 + (a2 – 1)x + (a – 1)z = a2 + a
NA
(a + a – 2)x = a + a – 2
Faktoriziramo levo in desno stran enačbe.
(a + 2)(a – 1) x = (a + 2)(a – 1)
LO V
Ta enačba ima neskončno rešitev pri a = –2 ali a = 1 ter enolično rešitev x = 1 pri a ≠ –2 in a ≠ 1. Rešitev x = 1 vstavimo v prvo in tretjo enačbo sistema in dobimo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama. +
DE
a – y + z = 1 /∙ (–1) 1 – y + az = 3 z(a – 1) = a + 1
Prvo enačbo pomnožimo z –1 in jo prištejemo k drugi.
Dobimo linearno enačbo s spremenljivko z. a+1
a+1
Ta enačba s parametrom a ima rešitev z = a – 1 , če je a ≠ 1. Vrednosti x = 1 in z = a – 1 vstavimo v prvo enačbo in dobimo: a+1
y=a∙1+ a–1 –1 a2 – a + a + 1 – a + 1 a–1 a2 – a + 2 y= a–1 a2 – a + 2 a + 1 Rešitev sistema je 1, a – 1 , a – 1 ; a ≠ 1, –2.
y=
(
)
) (
)
(
1
815. Za kateri racionalni števili a in b je x = 3 in y = –2 rešitev sistema ax + by = 5 in (1 – a)x + (b – 1)y = –8?
)
812. Dana je enačba a(x – a) = 4 x – 2 (a + 4) .
Koeficienta pri z imata nasproten znak, zato enačbi lahko seštejemo.
2
811. Obravnavajte enačbe glede na vrednosti parametrov a, b, k in m iz množice racionalnih števil. a) a(x – 16) = 4(a2 + x) b) ax = a2 – 2(a – x) c) m(x – 3) = m2 + 3x č) k2(x – 1) = kx – 1 3 2 1 d) x(a2 + 2)(x + 1) = ax + 2 – 4 4 – a – 2x2 e) a(ax – 2) = b(bx – 2)
814. Rešite sistem enačb. x + 2y – 4z = 2a –x + 5y – 3z = 5a 3x – 6y – 4z = –4a
CA
2
IČI
2
816. Obravnavajte sistem enačb. a) mx + y = 2, x + my = m2 + 1 b) x + y = a, x + z = b, y + z = c c) x – y + z = 2b, x + y – z = 2c, –x + y + z = – 2a
ZL
2
RA
(a2ab+ b , b2ab– a ); a, b ≠ 0. 2
813. Dana je enačba a(ax + 1) = b(bx + 1), kjer sta a in b poljubni od nič različni realni števili. a) Za a = 2 in b = –3 rešite enačbo. b) Obravnavajte enačbo glede na vrednosti parametrov a in b.
a) Obravnavajte enačbo glede na vrednost parametra a; a ∈ ℚ. b) Za katero racionalno število a bo rešitev enačbe x = –1?
NA
Rešitev sistema je urejeni par
Delimo z a.
LO V
2b2 – a2 – b2 2b 2b2 – a2 ay = 2b b2 – a2 y = 2ab
ay =
Zgled 3
165
Naloge
DE
164