Obravnava linearnih
enačb in sistemov linearnih enačb
Spoznali boste:
Ű kaj so parametri,
Ű kako obravnavano enačbe,
Ű kako obravnavamo sisteme enačb.
Zgled 4
V enačbah lahko nastopajo poleg neznank in konstant tudi parámetri –to so števila, ki lahko zavzamejo različne vrednosti in vplivajo na rešljivost enačbe.
Enačbo rešujemo kot običajno toliko časa, dokler ne pridemo do deljenja z izrazom, ki vsebuje parameter. Takrat začnemo z obravnavo, saj z 0 ne smemo deliti. Poglejmo nekaj primerov.
Zgled 1
Rešimo enačbo ax = 12, pri čemer je a parameter in x neznanka.
Če želimo izračunati x, moramo enačbo deliti z a: ax = 12 /: a. Na tem mestu se začne obravnava:
• če je a ≠ 0, potem lahko delimo in dobimo: x = 12 a .
• če pa je a = 0, potem ne moramo deliti in se enačba glasi: 0 ∙ x = 12. Ker noben x ne ustreza tej enačbi, prvotna enačba v primeru, da je a = 0, nima rešitve, kar zapišemo: x ∈ ∅.
Zgled 2
Rešimo enačbo ax + 1 = a2 – x.
ax + x = a2 – 1 Enačbo uredimo.
x(a + 1) = a2 – 1 Izpostavimo neznanko.
x(a + 1) = a2 – 1 /: (a + 1) Radi bi delili z (a + 1).
Obravnavamo:
• Če je (a + 1) ≠ 0 oz. a ≠ –1, lahko delimo in dobimo rešitev: x = a2 – 1 a + 1 = (a – 1)(a + 1) a + 1 = a – 1.
• Če je (a + 1) = 0 oz. a = –1, vstavimo a v enačbo: x(–1 + 1) = (–1)2 – 1 in poračunamo: x ∙ 0 = 0. Enačbi ustreza vsako realno število x, zato zapišemo rešitev: x ∈ ℝ.
Zgled 3
• Če je a – 2 = 0 oz. a = 2, dobimo 0 ∙ x = 4 ∙ 4, kar ni mogoče, zato v tem primeru ne dobimo rešitve; x ∈ ∅.
• Če je a – 2 ≠ 0 oz. a ≠ 2, lahko delimo z a – 2 in dobimo rešitev x = (a + 2)(a2 – 2a + 4) a + 1 .
Rešimo enačbo ax – 7a2 = 35ab – 5bx z dvema parametroma.
ax – 7a2 = 35ab – 5bx Ločimo neznanke od konstant.
ax + 5bx = 35ab + 7a2 Na levi strani izpostavimo x, na desni pa 7a.
(a + 5b)x = 7a(a + 5b) Vprašamo se, v katerem primeru smemo enačbo deliti, da dobimo rešitev.
• Če je a + 5b = 0, sledi 0 ∙ x = 0 ∙ 7a in rešitev je neskončno mnogo; x ∈ ℝ
• Če je a + 5b ≠ 0 oz. a ≠ –5b, dobimo rešitev x = 7a