Ű kaj so parametri,
Zgled 4
Ű kako obravnavamo sisteme enačb.
ax – 7a2 = 35ab – 5bx
CA
RA
Izpostavimo neznanko.
x(a + 1) = a2 – 1 /: (a + 1)
Radi bi delili z (a + 1).
Obravnavamo: a2 – 1 (a – 1)(a + 1) = a – 1. • Če je (a + 1) ≠ 0 oz. a ≠ –1, lahko delimo in dobimo rešitev: x = a + 1 = a+1 • Če je (a + 1) = 0 oz. a = –1, vstavimo a v enačbo: x(–1 + 1) = (–1)2 – 1 in poračunamo: x ∙ 0 = 0. Enačbi ustreza vsako realno število x, zato zapišemo rešitev: x ∈ ℝ. Zgled 3
Rešimo enačbo ax – 8 = a3 + 2x. Najprej ločimo člene z neznankami od konstant.
3
Na levi izpostavimo x, desno stran pa zapišemo kot produkt (vsota kubov).
ax – 2x = a + 8
(a – 2)x = (a + 2)(a2 – 2a + 4) Pregledamo vse možnosti za faktor (a – 2), s katerim moramo deliti enačbo.
IČI
ZL
Drugo enačbo uredimo.
2ay + y = 7
Izpostavimo y.
y(2a + 1) = 7
Obravnavamo:
NA
1
7
7a
a+4
• Če je (2a + 1) ≠ 0 oz. a ≠ – 2 , potem delimo in je y = 2a + 1 in x = 4 – 2a + 1 = 2a + 1 . 1
• Če je (2a + 1) = 0 oz. a = – 2 , potem ne smemo deliti. Dobimo y ∙ 0 = 7 in enačba ter posledično tudi sistem nima rešitve. Zgled 2
Rešimo sistem enačb z dvema parametroma a, b ≠ 0. a(x + y) = b b(x – y) = a
Preoblikujemo system. Prvo enačbo pomnožimo z b, drugo pa z a.
ax + ay = b bx – by = a
abx + aby = b2 abx – aby = a2
+
2abx = a2 + b2
3
ax – 8 = a + 2x
Iz prve enačbe izrazimo x in ga vstavimo v drugo enačbo.
2(4 – ay) – y = 1
NA
LO V
x(a + 1) = a – 1
Rešimo sistem enačb:
x = 4 – ay
Rešimo enačbo ax + 1 = a2 – x.
Enačbo uredimo.
Vprašamo se, v katerem primeru smemo enačbo deliti, da dobimo rešitev.
x + ay = 4 2x – y = 1
• če pa je a = 0, potem ne moramo deliti in se enačba glasi: 0 ∙ x = 12. Ker noben x ne ustreza tej enačbi, prvotna enačba v primeru, da je a = 0, nima rešitve, kar zapišemo: x ∈ ∅.
2
(a + 5b)x = 7a(a + 5b)
RA
CA
IČI
Zgled 1
Rešimo enačbo ax = 12, pri čemer je a parameter in x neznanka.
ax + x = a2 – 1
Na levi strani izpostavimo x, na desni pa 7a.
Tudi v enačbah sistemov lahko nastopajo parametri, od katerih je odvisna rešitev.
Če želimo izračunati x, moramo enačbo deliti z a: ax = 12 /: a. Na tem mestu se začne obravnava: 12 • če je a ≠ 0, potem lahko delimo in dobimo: x = a .
Zgled 2
ax + 5bx = 35ab + 7a
• Če je a + 5b = 0, sledi 0 ∙ x = 0 ∙ 7a in rešitev je neskončno mnogo; x ∈ ℝ. • Če je a + 5b ≠ 0 oz. a ≠ –5b, dobimo rešitev x = 7a.
ZL
Zgled 1
Ločimo neznanke od konstant.
2
V enačbah lahko nastopajo poleg neznank in konstant tudi parámetri – to so števila, ki lahko zavzamejo različne vrednosti in vplivajo na rešljivost enačbe. Enačbo rešujemo kot običajno toliko časa, dokler ne pridemo do deljenja z izrazom, ki vsebuje parameter. Takrat začnemo z obravnavo, saj z 0 ne smemo deliti. Poglejmo nekaj primerov.
Rešimo enačbo ax – 7a2 = 35ab – 5bx z dvema parametroma.
LO V
Ű kako obravnavano enačbe,
DE
Obravnava linearnih enačb in sistemov linearnih enačb
• Če je a – 2 = 0 oz. a = 2, dobimo 0 ∙ x = 4 ∙ 4, kar ni mogoče, zato v tem primeru ne dobimo rešitve; x ∈ ∅. (a + 2)(a2 – 2a + 4) . • Če je a – 2 ≠ 0 oz. a ≠ 2, lahko delimo z a – 2 in dobimo rešitev x = a+1
Spoznali boste:
DE
162
2
2
a +b
x = 2ab
Enačbi seštejemo. Rešitev dobimo le, če sta a in b oba različna od 0. Ta x vstavimo v eno od zgornjih enačb in izračunamo še drugo neznanko.
163