16
U
Komplement množice A glede na izbrano univerzalno množico U je množica elementov univerzalne množice, ki ne pripadajo množici A . Ac = {x; x ∈ U ⋀ x ∉ A }
17 Razlika množic A in B vsebuje tiste elemente iz množice A , ki niso hkrati tudi elementi množice B.
U A
A – B = {x; x ∈ A ⋀ x ∉ B}
A
B
Razliko lahko označimo tudi z A \ B B.
(A A c)c = A U A B
A ∩ B = ∅ ⇒ m(A A ∩ B) = 0
A ∪U=U
RA
A ∪ Ac = U
NA
Presek množic A in B je množica elementov, ki hkrati pripadajo obema množicama. A ∩ B = {x; x ∈ A ⋀ x ∈ B}
Moč unije disjunktnih množic je vsota moči. Zgled 3
U = {x; x ∈ ℤ ⋀ x ≥ –5 ⋀ x < 16}
U A
A = {x; x ∈ ℕ ⋀ x|12} B = {x; x = 5k, k ∈ ℤ, k ≥ –1}
B
Najprej naštejemo elemente množic U, A in ℬ: U = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Presek je komutativna in asociativna operacija:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
LO V
A ∩B=B∩A
ℬ = {–5, 0, 5, 10, 15}
(A A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B B ∩ C)
S temi podatki lahko izračunamo:
A ∩∅=∅ A ∩U=A c
A ∩A =∅
DE
A ∩ℬ=∅
DE
Velja pa tudi:
A ∪ ℬ ={–5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15} A – ℬ = {1, 2, 3, 6, 12} = A A c = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15} Zgled 4
Presek in unijo povezujeta distributivnostna zakona:
A ∩ B = {2, 3, 4, 7}
(A A ∩ B) ∪ C = (A A ∪ C) ∩ (B B ∪ C)
c
c
(A A ∩ B) = A ∪ B
c
Komplement preseka je unija komplementov.
c
c
c
Komplement unije je presek komplementov.
(A A ∪ B) = A ∩ B
Zapišimo množici A in B, če poznamo njuno unijo, presek in razliko. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(A A ∪ B) ∩ C = (A A ∩ C) ∪ (B B ∩ C)
Presek in unijo povezujeta tudi De Morganova zakona:
Zapišimo presek, unijo in razliko množic A , B ter množico A c.
RA
A ∪∅=A
ZL
⇒ m(A A ∪ B) = m(A A ) + m(B B)
ZL
Velja pa tudi:
IČI
Množici, ki nimata nobenega skupnega elementa, sta disjunktni.
IČI
(A A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B B ∪ C)
m(A A ∪ B) = m(A A ) + m(B B) – m(A A ∩ B)
NA
A ∪B=B∪A
CA
Moč unije in preseka
LO V
Unija je komutativna in asociativna operacija:
A – B = A ∩ Bc A –B≠B–A
CA
Unija množic A in B je množica elementov, ki pripadajo ali množici A ali množici B ali obema. A ∪ B = {x; x ∈ A ⋁ x ∈ B}
Vsi izreki teorije množic, v katerih nastopata samo unija in presek, so v parih (če zamenjamo vse unije s preseki in obratno, spet dobimo veljavno trditev).
A – B = {1, 5, 6} Pomagajmo si z Vennovim diagramom. Iz njega preberemo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ℬ = {2, 3, 4, 7, 8, 9}
5 A
1
U 4
3 7 9 B 2 8 6