Zgled 2 Zgled 3
Vsota štirih števil je 121. Prvo število je za 9 večje od drugega, tretje število je za 5 manjše od drugega, četrto število je trikratnik prvega. Izračunajmo vsa štiri neznana števila.
Števila označimo z a, b, c in d in zapišimo enačbe:
a + b + c + d = 121
a = b + 9
c = b – 5
d = 3a ⇒ d = 3(b + 9)
Sledi: (b + 9) + b + (b – 5) + 3(b + 9) = 121
6b + 31 = 121 ⇒ a = 15 + 9 = 24
6b = 90 c = 15 – 5 = 10 b = 15 d = 3 ∙ 24 = 72
Število linearnih enačb z več neznankami je lahko tudi večje od tri. Če imamo n neznank, potrebujemo n enačb. Tak sistem lahko rešimo na več načinov.
Rešimo sistem štirih enačb s štirimi neznankami.
x + 3y + 2z – w = 2
2x + 2y – z – 2w = 3
2x + 2y + 3z + w = 3
3x – y + 2z + 3w = 2
Skupaj bomo sistem rešili z Gaussovo eliminacijsko metodo, sami pa ga lahko rešite še z zamenjalnim načinom.
x y z w št.
1 3 2 –1 2
Koeficiente prve vrstice prepišemo, potem pa v prvem stolpcu »pridelamo« 0 tako, da:
• od druge vrstice odštejemo dvakratnik prve vrstice,
• od tretje vrstice odštejemo dvakratnik prve vrstice,
Neznanka x je ostala samo v 1. enačbi, v vseh ostalih je koeficient pred x enak 0. Sedaj koeficiente iz prve in druge vrstice prepišemo, potem pa v drugem stolpcu »pridelamo« 0 tako, da:
• od tretje vrstice odštejemo drugo vrstico,
• tretjo vrstico množimo s 5, četrto pa z –2 in ju seštejemo.
1 3 2 –1 2
0 –4 –5 0 –1
0 0 4 3 0
0 0 3 3 3
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
• od četrte vrstice odštejemo trikratnik prve vrstice.
1 3 2 –1 2
0 –4 –5 0 –1
0 –4 –1 3 –1
0 –10 –4 6 –4
Zgled 4
Koeficiente iz prve, druge in tretje vrstice prepišemo, potem pa v tretjem stolpcu »pridelamo« 0 tako, da:
• tretjo vrstico pomnožimo s 3, četrto z –4 in ju seštejemo.
1 3 2 –1 2
0 –4 –5 0 –1
0 0 4 3 0
0 0 0 –3 –12
Iz zadnje vrstico preberemo, da je –3w = –12, torej w = 4.
Iz tretje vrstice preberemo, da je 4z + 3w = 0. Ko upoštevamo, da je w = 4, dobimo, da je z = –3.
Iz druge vrstice preberemo, da je –4y – 5z + 0w = –1. Izračunamo y = 4.
Iz prve vrstice x + 3y + 2z – w = 2 (ob upoštevanju, da je w = 4, z = –3 in y = 4) izračunamo, da je x = 0.
Rešitev sistema je torej (0, 4, –3, 4).
Naloga rešena z računalniškim programom
Samostanski pisar je imel v sobi dve sveči; ena je bila centimeter daljša od druge.
Daljšo svečo je prižgal ob 15.00, ko se je že mračilo, krajšo pa ob 17.00. Ob 21.00 sta bili goreči sveči enako dolgi. Krajša sveča je dogorela ob 22.30, daljša pol ure kasneje. Takrat je odšel spat. Koliko sta bili sveči dolgi, preden ju je prižgal?
Prvi premislek nam pove, da sta sveči različno hitro goreli, saj sta bili ob 21.00 enako dolgi, ugasnili pa sta v razmiku pol ure.
Za reševanje si bomo pripravili tabelo.
Dolžina [cm] Hitrost gorenja [cm/h] Začetek gorenja Konec gorenja Dolžina ob 21.00 [cm] Začetna dolžina [cm]
Daljša sveča L + 1 x 15.00 23.00 6x 8x Krajša sveča L y 17.00 22.30 4y 5,5y
Zdaj lahko nastavimo tri enačbe.
(1) (L + 1) – 6x = L – 4y Sveči sta bili ob 21.00 enako dolgi.
(2) (L + 1) – 8x = 0 Daljša sveča je ugasnila ob 23.00, gorela je 8 ur.
(3) L – 5,5y = 0 Krajša sveča je ugasnila ob 22.30, gorela je 5,5 ur.
