Issuu

Reševanje sistema

več linearnih enačb

V problemu lahko nastopa tudi več neznank. Če iščemo vrednosti za tri neznanke, potrebujemo tri enačbe.

Sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami x, y in z ima obliko:

Spoznali boste:

Ű kako rešujemo sistem več linearnih enačb.

Rešitev sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami (če obstaja) je urejena trojica števil (x, y, z), ki hkrati zadoščajo vsem trem enačbam sistema.

Take sisteme rešujemo podobno kot sisteme dveh enačb z dvema neznankama.

Zgled 1

Trije prijatelji so šli v trgovino. Anže je kupil eno čokolado, eno vrečko bombonov in ene piškote in plačal 20 €. Bine si je privoščil tri čokolade, eno vrečko bombonov in dvoje piškote in je za vse plačal 43 €. Cene pa je za eno čokolado, štiri vrečke bombonov in dvoje piškote plačal 42 €. Koliko stane čokolada, koliko bonboni in koliko piškoti?

Označimo neznanke: Sestavimo enačbe:

x – cena čokolade

y – cena vrečke bombonov

z – cena piškotov

A: 1x + 1y + 1z = 20

B: 3x + 1y + 2z = 43

C: 1x + 4y + 2z = 42

Dobili smo sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami.

I. Najprej rešimo ta primer z zamenjalnim načinom:

Iz ene od enačb (denimo iz enačbe A) izrazimo eno neznanko (npr. z):

A: z = 20 – x – y Vstavimo jo (z) v preostali dve enačbi (B in C).

B: 3x + 1y + 2(20 – x – y) = 43 Dobili smo dve enačbi z dvema neznankama.

C: 1x + 4y + 2(20 – x – y) = 42

Dobljeni vrednosti za dve neznanki (x in y) vstavimo v enačbo, v kateri smo na začetku izrazili prvo neznanko (v našem primeru z):

A: z = 20 – x – y

z = 20 – 5 – 8

z = 7

Čokolada stane 8 € (x = 8), vrečka bombonov 5 € (y = 5) in piškoti 7 € (z = 7).

II. Zdaj se tega primera lotimo še z Gausovo eliminacijsko metodo oz. z izločanjem neznank tako, da enačbe množimo z določenimi števili in jih med seboj seštevamo tako, da »odpade« katera od neznank. Zaradi boljše preglednosti pišemo števila pred neznanko (koeficiente) v kvadratno shemo. Vrstni red enačb lahko zamenjamo.

A: 1x + 1y + 1z = 20

B: 3x + 1y + 2z = 43

C: 1x + 4y + 2z = 42

A: 1x + 1y + 1z = 20

B: 3x + 1y + 2z = 43 –A + C: 3y + z = 22

A: 1x + 1y + 1z = 20

–3A + B: –2y – z = –17 –A + C: 3y + z = 22

A: 1x + 1y + 1z = 20 –3A + B: –2y – z = –17

3(–3A + B) + 2(–A + C): –z = –7

DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA

B: 3x + 1y + 40 – 2x – 2y = 43 Uredimo.

C: x + 4y + 40 – 2x – 2y = 42

B: x – y = 3 + Seštejemo enačbi in dobimo vrednost za y.

C: –x + 2y = 2

y = 5

Vstavimo izračunano vrednost za neznanko y v eno od enačb B ali C in izračunamo x

B: x – 5 = 3

x = 8

Enačbo A pomnožimo z (–1) in seštejemo z enačbo C.

Enačbo A pomnožimo z (–3) in seštejemo z enačbo B. 1 1 1 20 3 1 2 43 0 3 1 22

Drugo enačbo pomnožimo s 3, tretjo z 2 in ju seštejemo. 1 1 1 20 0 –2 –1 –17 0 3 1 22

Ko smo enačbe preoblikovali tako, da smo v shemi pod diagonalo dobili same ničle, lahko rešitve enostavno preberemo. Še prej drugo in tretjo vrstico pomnožimo z (–1):

x + y + z = 20

2y + z = 17 z = 7

Iz zadnje vrstice razberemo:

z = 7.

Iz predzadnje vrstice:

2y + z = 17 ⇒ 2y + 7 = 17 ⇒ y = 5

Iz prve vrstice:

x + y + z = 20 ⇒ x + 5 + 7 = 20 ⇒ x = 8

Dobimo enak rezultat kot z zamenjalnim načinom.

Metodo reševanja sistema enačb, pri kateri neznanke sistematično izločamo, imenujemo Gaussova eliminacijska metoda po matematiku Karlu Fridrichu Gaussu (1776–1855).