Ű kako rešujemo sistem več linearnih enačb.
V problemu lahko nastopa tudi več neznank. Če iščemo vrednosti za tri neznanke, potrebujemo tri enačbe.
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
A: z = 20 – x – y z = 20 – 5 – 8 z=7 Čokolada stane 8 € (x = 8), vrečka bombonov 5 € (y = 5) in piškoti 7 € (z = 7). II. Zdaj se tega primera lotimo še z Gausovo eliminacijsko metodo oz. z izločanjem neznank tako, da enačbe množimo z določenimi števili in jih med seboj seštevamo tako, da »odpade« katera od neznank. Zaradi boljše preglednosti pišemo števila pred neznanko (koeficiente) v kvadratno shemo. Vrstni red enačb lahko zamenjamo.
CA
Sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami x, y in z ima obliko:
Dobljeni vrednosti za dve neznanki (x in y) vstavimo v enačbo, v kateri smo na začetku izrazili prvo neznanko (v našem primeru z):
ai, bi, ci, di ∈ ℝ; i = 1, 2, 3
A: 1x + 1y + 1z = 20 B: 3x + 1y + 2z = 43 C: 1x + 4y + 2z = 42
IČI
Rešitev sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami (če obstaja) je urejena trojica števil (x, y, z), ki hkrati zadoščajo vsem trem enačbam sistema.
A: 1x + 1y + 1z = 20 B: 3x + 1y + 2z = 43 –A + C: 3y + z = 22
A: 1x + 1y + 1z = 20 –3A + B: –2y – z = –17 –A + C: 3y + z = 22
1 1 1 20 0 –2 –1 –17 0 3 1 22
Drugo enačbo pomnožimo s 3, tretjo z 2 in ju seštejemo.
A: 1x + 1y + 1z = 20 –3A + B: –2y – z = –17 3(–3A + B) + 2(–A + C): –z = –7
1 1 1 20 0 –2 –1 –17 0 0 –1 –7
Dobili smo sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami. I. Najprej rešimo ta primer z zamenjalnim načinom: Iz ene od enačb (denimo iz enačbe A) izrazimo eno neznanko (npr. z): A: z = 20 – x – y B: 3x + 1y + 2(20 – x – y) = 43 C: 1x + 4y + 2(20 – x – y) = 42
Vstavimo jo (z) v preostali dve enačbi (B in C). Dobili smo dve enačbi z dvema neznankama.
B: 3x + 1y + 40 – 2x – 2y = 43 C: x + 4y + 40 – 2x – 2y = 42
Uredimo.
B: C:
x–y=3 + –x + 2y = 2
y=5
Seštejemo enačbi in dobimo vrednost za y.
Vstavimo izračunano vrednost za neznanko y v eno od enačb B ali C in izračunamo x. B: x – 5 = 3 x = 8
ZL
RA
NA
Ko smo enačbe preoblikovali tako, da smo v shemi pod diagonalo dobili same ničle, lahko rešitve enostavno preberemo. Še prej drugo in tretjo vrstico pomnožimo z (–1):
LO V
Sestavimo enačbe: A: 1x + 1y + 1z = 20 B: 3x + 1y + 2z = 43 C: 1x + 4y + 2z = 42
x + y + z = 20 2y + z = 17 z=7
1 1 1 20 0 2 1 17 0 0 1 7
Metodo reševanja sistema enačb, pri kateri neznanke sistematično izločamo, imenujemo Gaussova eliminacijska metoda po matematiku Karlu Fridrichu Gaussu (1776–1855).
Iz zadnje vrstice razberemo: z = 7.
DE
LO V
Označimo neznanke: x – cena čokolade y – cena vrečke bombonov z – cena piškotov
Enačbo A pomnožimo z (–1) in seštejemo z enačbo C. Enačbo A pomnožimo z (–3) in seštejemo z enačbo B.
ZL
NA
RA
Trije prijatelji so šli v trgovino. Anže je kupil eno čokolado, eno vrečko bombonov in ene piškote in plačal 20 €. Bine si je privoščil tri čokolade, eno vrečko bombonov in dvoje piškote in je za vse plačal 43 €. Cene pa je za eno čokolado, štiri vrečke bombonov in dvoje piškote plačal 42 €. Koliko stane čokolada, koliko bonboni in koliko piškoti?
1 1 1 20 3 1 2 43 1 4 2 42 1 1 1 20 3 1 2 43 0 3 1 22
Take sisteme rešujemo podobno kot sisteme dveh enačb z dvema neznankama. Zgled 1
CA
Spoznali boste:
IČI
Reševanje sistema več linearnih enačb
DE
156
Iz predzadnje vrstice: 2y + z = 17 ⇒ 2y + 7 = 17
⇒ y=5
Iz prve vrstice: x + y + z = 20 ⇒
⇒ x=8
x + 5 + 7 = 20
Dobimo enak rezultat kot z zamenjalnim načinom.
157