4x + 3y = 13 7x –2y = 1
Rešimo dani sistem enačb z zamenjalnim načinom.
4
4 13 y=– 3 x+ 3 4 13 7x – 2(– 3 x + 3 ) = 1 8 26 7x + 3 x – 3 = 1
13
y=– 3 x+ 3
Iz prve enačbe lahko razberemo, da je y = 2x + 3. To pomeni, da lahko v drugo enačbo namesto y zapišemo 2x + 3:
4
LO V
+ Enačbi seštejemo.
V eno od enačb (denimo 3x + 4y = 5) vstavimo dobljeno vrednost za x in izračunajmo še y: 3 ∙ 3 + 4y = 5
4y = –4 y = –1
Rešitev sistema je urejeni par (3, –1).
x=1
4
13
9
y=– 3 ∙1+ 3 = 3 =3
ZL
Rešitev: (1, 3)
2x – 3y = 4 b) 2x – 3y = 4 –4x + 6y = 1 –4x + 6y = –8 4x – 6y = 8 4x – 6y = 8 + –4x + 6y = 1 –4x + 6y = –8 0 = 9
4 ∙ 1 + 3y = 13 3y = 9 y=3 Rešitev: (1, 3)
Koliko rešitev ima posamezni sistem enačb? a)
21x – 6y = 3
x=1
Sistem dveh enačb z dvema neznankama ima natanko eno rešitev (x, y). Lahko pa se zgodi, da nima nobene rešitve ali jih ima neskončno mnogo. Zgled 1
8x + 6y = 26
x=1
LO V
NA
Pomnožimo prvo enačbo z (–2).
7x – 2y = 1
29x = 29
Sami presodite, kateri način je bil v tem primeru najbolj enostaven.
Rešimo dani sistem enačb z metodo nasprotnih koeficientov.
4x + 3y = 13
29x = 29
RA
RA
Pri reševanju sistema z metodo nasprotnih koeficientov pomnožimo eno enačbo (ali obe) s takim številom, da dobimo pred isto neznanko v obeh enačbah nasprotna koeficienta. Potem enačbi seštejemo in s tem izločimo eno neznanko.
Metoda nasprotnih koeficientov
–29x = –29
Rešitev: (1, 3)
ZL
y=8
21x + 8x – 26 = 3
7 1 6 y= 2 ∙1– 2 = 2 =3
IČI
y = 2 ∙ 52 + 3
x=3
1
IČI
1
y = 2x + 3
–5x = –15
7
NA
5
Zdaj, ko imamo x, ne bo težko poiskati tudi y:
–8x – 4y = –20 3x + 4y = 5
13
–8x + 26 = 21x – 3
x= 4 = 2 =2 2
4x + 2y = 10 3x + 4y = 5
1
– 3 x + 3 = 2 x – 2 /∙ 6
Dobili smo eno samo enačbo z eno samo neznanko x.
CA
10
7
y= 2 x– 2
4x = 10
Zgled 1
Zamenjalni način
Primerjalni način
y – 3 = 2x 2x + y = 13
2x + (2x + 3) = 13
151
Rešimo dani sistem enačb na vse tri načine.
+
0=0
Sistem enačb Sistem enačb ima neskončno nima nobene rešitve. mnogo rešitev.
DE
Zgled 1
Zgled 2
CA
Pri reševanju sistema na zamenjalni način izrazimo eno neznanko iz ene enačbe in jo v drugi enačbi zamenjamo s tem izrazom.
DE
150
S takimi primeri se bomo ukvarjali v poglavju Linearna funkcija.