Z dosedanjim znanjem bomo znali rešiti tudi nekatere kvadratne enačbe ali enačbe višjih stopenj. To so enačbe, v katerih neznanka nastopa z drugo ali celo višjo potenco. Takih enačb se lotimo malo drugače.
S štirimi osnovnimi računskimi operacijami preoblikujemo enačbo v enakovredno enačbo, ki ima vse člene na levi strani, na desni strani pa ostane samo 0. Levo stran potem razcepimo na same linearne faktorje (to se včasih da, vedno pa ne). Produkt linearnih faktorjev pa je enak 0 samo v primeru, če je vsaj eden od faktorjev enak 0. Kvadratno enačbo tako prevedemo na dve linearni enačbi, enačbo tretje stopnje na tri linearne enačbe … Taki enačbi rečemo razcepna enačba.
Zgled 1
Rešimo enačbo x 2 – 6 = x.
x 2 – 6 = x Enačbo preuredimo.
x 2 – x – 6 = 0 Razstavimo.
(x – 3)(x + 2) = 0 Upoštevamo, da je enačbo razcepna.
x – 3 = 0 ali x + 2 = 0 Dobimo dve rešitvi.
x1 = 3, x2 = –2
Naloge
696. Rešite enačbe.
a) 4(x – 1) = 8
b) (–2)(5 – x) = 3(4 + x)
c) 4(2 – a) = 5(2a – 3) – 5
č) 2(x – 1) = 5 + 2x
d) 11 – 2(b – 5) = (–3)(3 – b)
e) 4(2 – 2(x + 2)) = 5 – (–2)(x – 3)
f) 5(2 + x) – 3(3 + x) = 2x + 1
g) 2(x – 3) – 2 + 3x 2 = 3(x + 2)2
h) x – 3( 2 3 – x) = 3(x – 1)
697. Pokažite, da je število –3 rešitev enačbe
7(5 – 2x) = 11 ∙ (–2)2 – 3(2x – 5).
698. Rešite enačbe.
699. Pokažite, da je število – 2 3 rešitev enačbe
(x + 2)3 – x(x – 5)(x + 5) + 20 = 6x(x – 1) + x.
700. Iz danih enakosti izrazite količino, ki je zapisana ob njej.
a) m = ρ ∙ V; V
b) k = F s ; s
c) F1 S1 = F2 S2 ; S2 č) r1 ∙ F1 = r2 ∙ F2; r2
d) N – (m1 + m2)g = 0; m1 e) v = v0 + (t – t0)a; t0
d) 3y 2 –y – 4 5 + 2 = 1 5 e) 1 2 ∙ ( 3 4 –z – 4 5 ) = 2–1
f) –2 2 5 – 3 ∙ 3 – u 4 = 1 – u – 3 10
g) ( 3 x – 2 )–1 + 1 5 6 = 2 ∙ x – 3 2 –36x 24
702. Rešite enačbe.
a) x + 4 x – 2 = 2
b) x – 3 x + 4 = x + 2 x – 5
c) x x + 1 –1 + x x = 0 č) 4x – 2 x + 4 + 3x 4 – x = x + 6 x – 4 d) x + 3 x – 2 = 3x – 1 x + 2 + 2x 2 – x e) 1 x – 1 + 2 x + 1 = 3 x f) 2 x – 3 –3 x + 2 = 1 – x x2 – x – 6 g) 1 2x – 1 + 1 2x + 1 –1 x + 2 = 0 h) x – 3 x + 2 + x + 4 x – 1 = 2x 2 x2 + x – 2 i) x + 2 x – 5 + x – 3 1 – x = 6x + 4 x2 – 6x + 5 j) 1 – x x + 2 = 8 – 5x x2 – 2x – 8 + x 4 – x k) x x + 3 = 20 x2 + x – 6 –x 2 – x l) 2 – x x + 3 –x 2 – x = 17 x2 + x – 6 m) x – 20 x2 – 25 + 25 x3 – 25x = 5 5x – x2 n) 4x 2 + 2x 8x3 + 1 –2x + 1 4x2 + 1 = 0 o) x – 3 x3 – 27 + 1 = x + 29 9 x + 3
706. Pokažite, da so rešitve enačbe vsa od 0 različna realna števila.
( 2 x + 1 – 2x x2 + 4 ) : (1 + 8 x ) = 1 x2 + 4
707. Rešite enačbe:
a) x – (5x – (x + 2)) = 8
b) (3x + 2)2 – 8x(x + 1) – (x – 4)(x + 4) = 4 c) (x – 1)2 – 2x(x – 3) = 9 – x 2 č) (x – 3)2 – (x + 1)2 = 3(x – 1)