Z dosedanjim znanjem bomo znali rešiti tudi nekatere kvadratne enačbe ali enačbe višjih stopenj. To so enačbe, v katerih neznanka nastopa z drugo ali celo višjo potenco. Takih enačb se lotimo malo drugače.
(x – 3)(x + 2) = 0
Upoštevamo, da je enačbo razcepna.
x – 3 = 0 ali x + 2 = 0
Dobimo dve rešitvi.
(
)
2 h) x – 3 3 – x = 3(x – 1)
NA
697. Pokažite, da je število –3 rešitev enačbe 7(5 – 2x) = 11 ∙ (–2)2 – 3(2x – 5). 698. Rešite enačbe. a) (x – 2)(x + 3) = x(x – 1) b) 2(x – 4)(x – 2) – x(2x – 5) = 2 c) (x – 3)2 + 4(2 – x) = 3 – (x – 1)(4 – x) č) (2 – x)(x + 2) – 3 + 5(x + 4)(x – 1) = 4(x – 1)2 d) (a + 4)3 – a(a + 6)(a – 4) = 10a2 e) (8a2 – 3)(a + 4) – (2a – 1)3 = 2(22a2 – 1)
1+x
4x – 2
3x
x+6
x+3
3x – 1
2x
1
2
2
3
3
e) x – 1 + x + 1 = x 1
1
1
x–3
x+4
2x2
x+2
x–3
6x + 4
g) 2x – 1 + 2x + 1 – x + 2 = 0 h) x + 2 + x – 1 = x2 + x – 2 i) x – 5 + 1 – x = x2 – 6x + 5 1–x
8 – 5x
x
x
20
x
j) x + 2 = x2 – 2x – 8 + 4 – x k) x + 3 = x2 + x – 6 – 2 – x 2–x
x
17
l) x + 3 – 2 – x = x2 + x – 6 x – 20
25
701. Rešite enačbe.
x 2x – 1 1 a) 3 + 2 = 6 x x–5 1 b) 4 + 2 + 8 = 1 a 1 – 3a 1 c) 4 + 2 = 3 x x – 1 2x + 9 č) 3 – 2 = 6
4x2 + 2x 2x + 1 n) 8x3 + 1 – 4x2 + 1 = 0 x + 29 x–3 o) x3 – 27 + 1 = x + 39 x
710. Rešite enačbe. a) x(2 + (–2)3) = 5((–3)0 ∙ (–2)1 – x) b) (x – 5)2 + 13 = 1 – (x – 5)(x + 5) c) 4 + 2(x – 2)2 = 6(4 – x) 11
10
2
č) 3 + x – 1 – 2x – 1 – 4x2 – 4x + 1 = 0
1
703. Dana je enačba x – 2 – 3 = 0.
d) (x – 1)2 = 2(2– x) e) (x – 2)3 = x(x2 + 12) – 36
Rešite jo in napravite preizkus.
704. Pokažite, da enačba
x+1 2 x = + nima rešitve. (x – 1)2 x2 – 2x + 1 x – 1
711. Dane so množice racionalnih števil A, B in C. Zapišite njihove elemente in elemente množice C – B. x
705. Rešite enačbo.
(x +2 1 + 2x –+2x1 ) : ( 1–1 x + 1+1 x – 1 + 2x2 + x ) = 0 2
709. Rešite razcepne enačbe. a) (5x – 2)2 – (2x – 1)(2x + 1) = 47 + x b) x2(4 + 5x) = x(x + 2)2 – 3x(x – 1)(x + 1) c) (32 – (2x)2)2 + x2(1 – x)(1 + 24x) = 5(3x3 + 2) č) a(a + 6)2 – a(a – 4)2 = a(21a – 8) d) 9(x2 + 8) = 8(1 + 6x) e) (1 + 3x)3 = 3x(3x + 2)2 – 12x – 17 f) (–2x2)(8 – x) = x(x – 8)
5
m) x2 – 25 + x3 – 25x = 5x – x2
mM
1 1 1 g) a + b = f ; b
1–x
f) x – 3 – x + 2 = x2 – x – 6
700. Iz danih enakosti izrazite količino, ki je zapisana ob njej. a) m = ρ ∙ V; V
f) F = G r2 ; m
CA
d) x – 2 = x + 2 + 2 – x
(x + 2)3 – x(x – 5)(x + 5) + 20 = 6x(x – 1) + x.
č) r1 ∙ F1 = r2 ∙ F2; r2 d) N – (m1 + m2)g = 0; m1 e) v = v0 + (t – t0)a; t0
x
708. Rešite razcepne enačbe. a) x2 = 2x + 8 b) (x + 2)2 + 3(x + 2) + 2 = 0 c) (x–5)(x+5) = 11 č) (x–1)(x+4)+(x–2)2 = x d) (x+2)2 = 2(x–4)(x+4)+36 e) x3 = 2x(7x – 12) f) x4 + 2x3 – 2x = x2 g) 2(x – 4)(x + 4) – (x + 2)2 + 36 = 0 h) x(x + 5)2 – (x2 – 3x)(x + 4) + x(x – 3)(x + 3) = 14x
č) x + 4 + 4 – x = x – 4
2
F b) k = s ; s F F c) S1 = S2 ; S2 1 2
x+2
c) x + 1 – x = 0
699. Pokažite, da je število – 3 rešitev enačbe
LO V
696. Rešite enačbe. a) 4(x – 1) = 8 b) (–2)(5 – x) = 3(4 + x) c) 4(2 – a) = 5(2a – 3) – 5 č) 2(x – 1) = 5 + 2x d) 11 – 2(b – 5) = (–3)(3 – b) e) 4(2 – 2(x + 2)) = 5 – (–2)(x – 3) f) 5(2 + x) – 3(3 + x) = 2x + 1 g) 2(x – 3) – 2 + 3x2 = 3(x + 2)2
RA
Naloge
x–3
b) x + 4 = x – 5
ZL
x1 = 3, x2 = –2
x+4
a) x – 2 = 2
IČI
Razstavimo.
702. Rešite enačbe.
IČI
x2 – x – 6 = 0
707. Rešite enačbe: a) x – (5x – (x + 2)) = 8 b) (3x + 2)2 – 8x(x + 1) – (x – 4)(x + 4) = 4 c) (x – 1)2 – 2x(x – 3) = 9 – x2 č) (x – 3)2 – (x + 1)2 = 3(x – 1)
( )
a∙b=0⇔a=0⋁b=0
2
ZL
Enačbo preuredimo.
2
RA
x2 – 6 = x
( 2x + 1x –+2x4 ) : (1 + 8x ) = x 1+ 4
NA
Rešimo enačbo x – 6 = x.
)
LO V
Zgled 1
(
DE
2
706. Pokažite, da so rešitve enačbe vsa od 0 različna realna števila.
3y y – 4 1 d) 2 – 5 + 2 = 5 1 3 z–4 e) 2 ∙ 4 – 5 = 2–1 2 3–u u–3 f) –2 5 – 3 ∙ 4 = 1 – 10 3 –1 5 x – 3 36x g) x – 2 + 1 6 = 2 ∙ 2 – 24
CA
S štirimi osnovnimi računskimi operacijami preoblikujemo enačbo v enakovredno enačbo, ki ima vse člene na levi strani, na desni strani pa ostane samo 0. Levo stran potem razcepimo na same linearne faktorje (to se včasih da, vedno pa ne). Produkt linearnih faktorjev pa je enak 0 samo v primeru, če je vsaj eden od faktorjev enak 0. Kvadratno enačbo tako prevedemo na dve linearni enačbi, enačbo tretje stopnje na tri linearne enačbe … Taki enačbi rečemo razcepna enačba.
DE
144
2
1–x
5
A = {x; 4 – 3 – 6 = 0} B = {x; x2 – x = 2} C = {x; x3 – 2x2 – x + 2 = 0}
145