Ű kaj je moč množice, Ű kaj je potenčna množica,
a A
a ∈ A, b ∉ A
b
Zgled 1
Preberemo: a je element množice A , b ni element množica A .
Če imajo vsi elementi kake množice lastnost L, bomo to pisali ∀x Lx (∀ je univerzalnostni kvantifikator; beremo ga za vsak). Lahko pa je v množici kak element, ki ima lastnost P; okrajšava za to je ∃x Px (∃ je eksistencialnostni kvantifikator; beremo ga obstaja oz. eksistira).
A
RA
Če ima neka množica A toliko elementov, kot je naravnih števil, je števno neskončna. Njena moč je alef nič: m(ℕ) = ℵ0. Alef je prva črka hebrejske abecede.
B
Moč podmnožice B ⊆ A je manjša ali enaka moči množice A ; m(B B) ≤ m(A A ). Moč prave podmnožice B ⊂ A je manjša moči množice A ; m(B B) < m(A A ). ∀A A: A ⊆ A
Vsaka množica je podmnožica same sebe.
∀A A: ∅ ⊂ A
Prazna množica je podmnožica vsake množice.
NA
Moč množice naravnih števil
U
ZL
Če množica B ni enaka množici A rečemo, da je B prava podmnožica množice A in označimo B ⊂ A .
Množici sta enaki, če imata iste elemente oziroma če je prva množica podmnožica druge množice in hkrati druga množica podmnožica prve množice.
LO V
RA
NA
U
LO V
Množice ponavadi ponazarjamo z Vennovimi diagrami. Univerzalno množico bomo označevali s pravokotnikom, ostale množice pa z ovali.
IČI
IČI
ZL
B ⊆ A ⇔ ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A
Množice bomo označevali z velikimi pisanimi črkami z začetka abecede: A , B, C, D …
A ). Število elementov končne množice A je moč končne množice: m(A
Včasih imajo nekateri elementi v množici še dodatno skupno lastnost – sestavljajo podmnožico.
B je podmnožica množice A , če za vsak element iz B velja, da je tudi element množice A .
Prvi zgled podajanja je primeren le za množice, ki imajo končno mnogo elementov – to so končne množice. Drugi zgled pa je tipičen za množice z neskončno mnogo elementi – to so neskončne množice, saj pri teh elementov sploh ne moremo našteti.
Da je a element množice ℳ, označimo z a ∈ ℳ, da b ni element množice ℳ, pa z b ∉ ℳ.
V vseh zgledih smo elemente nabirali iz množice naravnih ali množice celih števil. Bili sta dovolj močni za rešitev posameznih nalog. Tudi sicer si bomo vedno vnaprej zamislili dovolj močno univerzalno množico U, iz katere bomo izbirali elemente. Za delo bomo potrebovali tudi množico, ki nima nobenega elementa in ji rečemo prazna množica. Označimo jo { } ali ∅.
CA
Ű kako računamo z množicami.
CA
Množica je skupina reči, ki jih izberemo iz znane večje skupine reči (univerzalna množica) glede na neko skupno lastnost. Množica je določena: • če lahko naštejemo vse njene elemente ali • če poznamo pravilo, ki pove, kateri elementi iz univerzalne množice so v množici.
Množica je končna. Njeni elementi so našteti v poglavju Praštevila in sestavljena P) = 168. števila; m(P
Ű kaj je množica, Ű kakšne vrste množic poznamo,
15
č) Množica praštevil, manjših od 1000.
Spoznali boste:
Znak ∀ pomeni za vsak, torej mora trditev veljati za vse elemente. Znak ∃ pomeni obstaja, torej mora trditev veljati za vsaj en element.
A = B ⇔ (A A ⊆ B) ⋀ (B B ⊆ A) Zgled 2
Zapišimo vse podmnožice množice A = {a, b, c, d} in jih preštejmo.
DE
Množice in računanje z njimi
DE
14
Zapišimo moč množic.
∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d},{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}
a) Množica nenegativnih ostankov pri deljenju s 7.
Vseh podmnožic je 16.
To je končna množica – ima 7 elementov; ℕ7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, m(ℕ7) = 7. b) Množica naravnih večkratnikov števila 3. V3 = {n; n = 3k, k ∈ ℕ} ima neskončno mnogo elementov, in sicer toliko, kolikor je V3) = ℵ0. naravnih števil, kar pomeni m(V c) Vsi skupni delitelji števil 52 in 130. Skupni delitelji sestavljajo končno množico s 4 elementi D = {1, 2, 13, 26}; m(D D) = 4.
Vse podmnožice množice A sestavljajo potenčno množico množice A . PA = {X; X ⊆ A } n
m(A A ) = n ⇒ m(PA PA ) = 2
Potenčna množica ne more biti prazna – vsebuje vsaj prazno množico. Z množicami računamo podobno kot z izjavami.
Preiskujte moč potenčne množice