√22 = 12 + 12
√52 = 22+ 12
√102 = 32+ 12
1
1
1
2 √5
1
0
1
Ponazorimo na številski premici √21.
IČI
CA
Pomagamo si s pravokotnim trikotnikom. Poskušamo poiskati pravokotni trikotnik, z eno stranico dolžine √21, drugi dve stranici pa takšne dolžine, da ju brez težav odmerimo. Po krajšem ali daljšem prizadevanju se nam posreči najti pravokotni trikotnik, ki ima hipotenuzo 5, eno kateto 2, drugo pa √21, saj je po Pitagorovem izreku velja √212 = 52 – 22. Preostane nam samo še konstrukcija takega trikotnika.
0
√21
1
NA
Naloge
3 Tudi iracionalnemu številu npr. √2 pripada točka na številski premici, vendar je samo z ravnilom in šestilom ni mogoče narisati. Enako velja tudi za iracionalno število π.
LO V
645. Na številski premici narišite točke, ki predstavljajo števila: a) √13 b) –√10 c) √20
n–2 A 2
B √n
Č √n3 + 3
D
1 n2 + 2
646. Na številski premici narišite točke, ki predstavljajo števila: 1 a) 3√2 c) – 3 √15 1
643. Če je n celo število, katero od spodnjih števil ne more biti nikdar celo število ? 2 C n+1
a) √100 = 10, ker je 102 = 100.
č) √–49 ne obstaja, ker ni realnega števila, katerega kvadrat bi bil negativen.
3 √0 = x, če in samo če je x3 = a
642. Preverite pravilnost trditev. a) 0,5 je racionalno število.
√8 e) 2 je racionalno število. π f) 2 je racionalno število.
Izračunajmo kvadratne korene danih števil.
Kubični koren danega števila a je število x, katerega kub je število a.
644. Zapišite kvadratne korene števil 0, 1, 2, 3, 4, –4, jih izračunajte in predstavite na številski premici.
c) √121 je celo število. č) √9 je 3 ali pa –3. d) 0,123 je iracionalno število.
Zgled 1
Video razlaga zgleda
641. Napišite tri naravna števila, tri pozitivna racionalna in tri pozitivna iracionalna števila, ki so manjša od π.
1 b) 5 je realno število.
x = √a, če in samo če je x2 = a
c) √0 = 0, ker je 02 = 0.
RA
√21
Kvadratni koren danega nenegativnega števila a (a ≥ 0) je tako nenegativno število x, katerega kvadrat je število a.
b) √6,25 = 2,5, ker je 2,52 = 6,25.
ZL
5
2
Ű kako racionaliziramo imenovalec.
3 √10
2
RA
0
Ű kako delno korenimo,
NA
√2
Ű kako izračunamo kubični koren števila,
b) 5 √17
3
č) 4 (√17 + √10)
647. Pokažite, da √5 ne moremo zapisati z okrajšanim ulomkom.
Zgled 1
Izračunajmo kubične korene danih števil.
LO V
1
135
Ű kako izračunamo kvadratni koren števila,
CA
c)
korenski znak
√a
IČI
b)
Spoznali boste:
3 a) √8 = 2, ker je 23 = 8.
korenjenec
Računanje kvadratnega korena je obratna operacija kvadriranju: √100 = 10, ker je 102 = 100. Premislite: √100 ≠ –10, čeprav je (–10)2 = 100. Zakaj?
ZL
a)
0
Zgled 2
Kvadratni in kubični koren
Samo z uporabo Pitagorovega izreka narišimo dana števila na številski premici.
korenski eksponent korenski znak
√a 3
korenjenec
Računanje kubičnega korena je obratna operacija kubiranju.
3 b) √–27 = –3, ker je (–3)3 = –27.
3 c) √0,008 = 0,2, ker je 0,23 = 0,008
DE
Zgled 1
DE
134
Pravila za korenjenje: (√a)2 = a; a ≥ 0
3 3 (√a) =a
√a = a; a ≥ 0
√a = a
√a ∙ b = √a ∙ √b; a, b > 0
3 3 3 √a ∙ b = √a ∙ √b
2
a √a = ; a ≥ 0, b > 0 b √b Dokaz: a, b ≥ 0 √a = u ⇒ a = u2, √b = v ⇒ b = v2 ab = u2v2 = (uv)2 ⇒ √ab = uv Torej √ab = √a ∙ √b.
3
Koren produkta (količnika) je enak produktu (količniku) korenov: √a ∙ b = √a ∙ √b.
3
Koren vsote (razlike) ni enak vsoti (razliki) korenov: √a + b ≠ √a + √b.
3
3
a √a = ;b≠0 b 3√b Če pravilo √a = a razširimo tudi na negativna števila, dobimo √a2 = |a|. 2
O tem se prepričamo že pri a = b = 1, saj je na levi strani rezultat √1 + 1 = √2, na desni pa √1 + √1 = 2.