Množica realnih števil
Ű moč množice realnih števil,
(
)
Za številske množice velja: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
IČI
Trditev bo držala, če se izkaže, da je 1 a + c – a > 0.
Množica realnih števil je močnejša od množice racionalnih števil.
)
)
(
)
)
Vsaki točki na številski premici ustreza natanko eno realno število in obratno, vsakemu realnemu številu ustreza natanko ena točka na številski premici.
RA
(
(
ZL
(
Posledica prejšnje trditve je dejstvo, da je med poljubnima racionalnima številoma neskončno mnogo racionalnih števil oz. da je množica ℚ povsod gosta.
NA
Odslej bomo številsko premico imenovali realna os.
Pri tem pa nas presenečata dve trditvi:
Izrek: √2 je iracionalno število.
ℝ+ = {x ∈ ℝ; x > 0}
Množica negativnih realnih števil:
ℝ– = {x ∈ ℝ; x < 0}
Množica nepozitivnih realnih števil:
ℝ0+ = {x ∈ ℝ; x ≥ 0} ℝ0– = {x ∈ ℝ; x ≤ 0}
LO V
LO V
Prvi trditvi bomo kar verjeli, drugo trditev pa bomo pojasnili tako, da bomo na številski premici narisali sliko števila, za katero se bo izkazalo, da ni racionalno število. To število je dolžina diagonale kvadrata s stranico 1.
Množica pozitivnih realnih števil: Množica nenegativnih realnih števil:
1. Množica ℚ je po moči enaka množici ℤ (množici imata enako število elementov). 2. Ob predpostavki, da smo vsa racionalna števila upodobili na številski premici (ℚ je povsod gosta), na številski množici kljub temu ostane več prostih mest, kot so jih zasedle slike racionalnih števil. Ta množica števil so iracionalna števila.
100 ℕ 2 1 0
–2
ZL
2 b d b 1 a + c – a = 1 ∙ ad + bc – a = ad + bc – 2ad = bc – ad > 0, ker je po predpostavki ad < bc oz. bc – ad > 0. 2 b d b 2 bd b 2bd 2bd 2. Pokažimo, da velja 1 a + c < c . 2 b d d Trditev bo držala, če se izkaže, da je c – 1 a + c > 0. d 2 b d c 1 a – + c = c – 1 ∙ ad + bc = 2bc – ad – bc = bc – ad iz istega razloga kot prej. d 2 b d d 2 bd 2bd 2bd
Množica ℝ je linearno urejena z relacijo »biti manjši« oz. »biti večji«:
1
• a < b, če in samo če je a – b < 0 • a > b, če in samo če je a – b > 0
Relacija urejenosti ima naslednje lastnosti: 0
1
√2
Trditev A ⇒ B lahko dokažemo z enakovredno izjavo: ¬B ⇒ ¬A.
Dokaz Izvedli ga bomo s predpostavko, da je racionalno število, kar nas bo pripeljalo do protislovja. Privzemimo torej, da lahko √2 zapišemo v obliki okrajšanega ulomka. √22 = p ; D(p, q) = 1 Enakost kvadriramo. q p =2 Pomnožimo s q2. q22 p = 2q2 Če je kvadrat števila sodo število, je tudi število samo sodo, zato zapišemo p = 2m. 4m2 = 2q2 Delimo z 2. q2 = 2m2 Iz istega razloga kot prej je tudi število q sodo, q = 2n. Pri zapisu p = 2m se nam morajo naježiti lasje, saj smo vendar predpostavili, da je ulomek okrajšan. q 2n Ker nas je predpostavka pripeljala do protislovja, je resnična izjava ravno negacija naše predpostavke. Število torej ni racionalno število. Števila, ki niso racionalna, so iracionalna.
1. a < b, če in samo če je a + c < b + c 2. če je a < b in b < c, je tudi a < c 3. če je a < b in c > 0, je ac < bc 4. če je a < b in c < 0, je ac > bc
ℝ+ = {x; x > 0}
CA
)
)
1
ℝ– = {x; x < 0}
ℝ = ℝ– ∪ {0} ∪ ℝ+
c d
IČI
d
1 a c + 2 b d
RA
(
2 b
(
a b
0
NA
b
Množica realnih števil je unija negativnih realnih števil, števila 0 in pozitivnih realnih števil.
Ű realno os.
DE
Dokaz Dokaz poteka v dveh korakih. 1. Pokažimo, da je a < 1 a + c .
Množici racionalnih in iracionalnih števil sta disjunktni (nimata nobenega skupnega elementa), njuna unija je množica realnih števil: ℚ ∪ 𝕀 = ℝ.
Ű iracionalna števila,
)
CA
(
)
Iracionalna števila so vsi kvadratni koreni števil, ki niso popolni kvadrati, tretji koreni števil, ki niso popolni kubi, število π itd. Množico iracionalnih števil označimo z 𝕀.
Ű katera števila sestavljajo množico realnih števil,
a c števil ℤ, saj je med poljubnima racionalnima številoma b in d vsaj še eno 1 a c racionalno število – njuna aritmetična sredina 2 b + d . Dokažimo trditev a 1 a c c a c + < < za primer, ko je < ; b, d > 0. b 2 b d d b d
(
133
Spoznali boste:
Množica racionalnih števil ℚ je na prvi pogled močnejša od možice celih
DE
132
–45
3 √ 16
2 3
ℤ
ℚ 0,23
7,45 π
√3
ℝ √11