števil
Množica racionalnih števil ℚ je na prvi pogled močnejša od možice celih
števil ℤ, saj je med poljubnima racionalnima številoma a b in c d vsaj še eno racionalno število – njuna aritmetična sredina 1 2 ( a b + c d ). Dokažimo trditev
a b < 1 2 ( a b + c d ) < c d za primer, ko je a b < c d ; b, d > 0.
Dokaz
Dokaz poteka v dveh korakih.
1. Pokažimo, da je a b < 1 2 ( a b + c d )
Trditev bo držala, če se izkaže, da
1
2. Pokažimo, da velja 1 2 ( a b + c d ) < c d
Trditev bo držala, če se izkaže, da je c d –1 2 ( a b + c
Posledica prejšnje trditve je dejstvo, da je med poljubnima racionalnima številoma neskončno mnogo racionalnih števil oz. da je množica ℚ povsod gosta.
Pri tem pa nas presenečata dve trditvi:
1. Množica ℚ je po moči enaka množici ℤ (množici imata enako število elementov).
2. Ob predpostavki, da smo vsa racionalna števila upodobili na številski premici (ℚ je povsod gosta), na številski množici kljub temu ostane več prostih mest, kot so jih zasedle slike racionalnih števil. Ta množica števil so iracionalna števila.
Prvi trditvi bomo kar verjeli, drugo trditev pa bomo pojasnili tako, da bomo na številski premici narisali sliko števila, za katero se bo izkazalo, da ni racionalno število. To število je dolžina diagonale kvadrata s stranico 1.
Spoznali boste:
Ű katera števila sestavljajo množico realnih števil,
Ű moč množice realnih števil,
Ű iracionalna števila,
Ű realno os.
DELOVNA RAZLIČICA
Izrek: √2 je iracionalno število.
Dokaz
Izvedli ga bomo s predpostavko, da je racionalno število, kar nas bo pripeljalo do protislovja. Privzemimo torej, da lahko √2 zapišemo v obliki okrajšanega ulomka.
√2 = p q ; D(p q) = 1 Enakost kvadriramo.
p2 q2 = 2 Pomnožimo s q2
p2 = 2q2 Če je kvadrat števila sodo število, je tudi število samo sodo, zato zapišemo p = 2m.
4m2 = 2q2 Delimo z 2.
q2 = 2m2 Iz istega razloga kot prej je tudi število q sodo, q = 2n.
Iracionalna števila so vsi kvadratni koreni števil, ki niso popolni kvadrati, tretji koreni števil, ki niso popolni kubi, število π itd. Množico iracionalnih števil označimo z ��.
Množici racionalnih in iracionalnih števil sta disjunktni (nimata nobenega skupnega elementa), njuna unija je množica realnih števil: ℚ ∪ �� = ℝ.
Množica realnih števil je unija negativnih realnih števil, števila 0 in pozitivnih realnih števil. ℝ = ℝ– ∪ {0} ∪ ℝ+
Za številske množice velja: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Množica realnih števil je močnejša od množice racionalnih števil.
Vsaki točki na številski premici ustreza natanko eno realno število in obratno, vsakemu realnemu številu ustreza natanko ena točka na številski premici.
Odslej bomo številsko premico imenovali realna os.
Množica pozitivnih realnih števil: ℝ+ = {x ∈ ℝ; x > 0}
Množica negativnih realnih števil: ℝ– = {x ∈ ℝ; x < 0}
Množica nenegativnih realnih števil: ℝ0 + = {x ∈ ℝ; x ≥ 0}
Množica nepozitivnih realnih števil: ℝ0 – = {x ∈ ℝ; x ≤ 0}
Množica ℝ je linearno urejena z relacijo »biti manjši« oz. »biti večji«:
• a < b, če in samo če je a – b < 0
• a > b, če in samo če je a – b > 0
Relacija urejenosti ima naslednje lastnosti:
1. a < b, če in samo če je a + c < b + c
DELOVNA RAZLIČICA
2. če je a < b in b < c, je tudi a < c
Trditev A ⇒ B lahko dokažemo z enakovredno izjavo: ¬B ⇒ ¬A
Pri zapisu p q = 2m 2n se nam morajo naježiti lasje, saj smo vendar predpostavili, da je ulomek okrajšan. Ker nas je predpostavka pripeljala do protislovja, je resnična izjava ravno negacija naše predpostavke. Število torej ni racionalno število. Števila, ki niso racionalna, so iracionalna.
3. če je a < b in c > 0, je ac < bc
4. če je a < b in c < 0, je ac > bc