5
babilonskih in grških matematikov starega veka, ki so skušali čim natančneje izračunati razmerje med obsegom in premerom kroga in pri tem dobili bolj ali manj dobre racionalne približke.
Približki števila π skozi zgodovino
Ahmesov papirus (–2000) Arhimed (–240)
Vang Fan (229–267) Ariabhata (530) Bhaskara (1150) Fibonacci (1202) Tycho Brache (1580) Ludolf van Ceulen (1596) Jurij Vega (1794)
30 ∙ 141421296 = 42˙4263889
Število π pa ni edino iracionalno število, s katerim so se v zgodovini veliko ukvarjali. Na posebnem oddelku knjižnice ameriške univerze Yale med 45 000 glinastimi tablicami hranijo tudi tablico z oznako YBC 7289, staro več kot 3000 let. Iz klinopisa na njej lahko preberemo odličen približek za iracionalno število √2.
Druga pomagala so bile formule za približne izračune, npr. r
√n = √a2 + r ≐ a + 2a + 1 ali bolj zapletena r (2a ) r √n = √a + r ≐ a + 2a + r . 2 (2a)
CA
2
Korene nekaterih naravnih števil so v starih časih potrebovali tudi arhitekti. Eno od pomagal sta jim predstavljala dva kroga s polmerom 1 in s središčno razdaljo 1.
k=0
9801 ≐ 3˙14159273001 2 ∙ 1103 ∙ √2
Ramanujan je s svojim odkritjem formule za izračun števila π dopolnil delo mnogih indijskih, 256 81 = 316 10 1 3 71 < π < 3 7 377 120 ≐ 3,1416 142 45 ≐ 3,1555 62 832 ≐ 3,1416 20 000 3927 ≐ 3,141818 1250
88 ≐ 3,1409 √785 izračuna število π na 35 decimalk natančno izračuna število π na 140 decimalk, od katerih zadnje 4 niso bile pravilne
RA
√2 √5
• število 30 predstavlja dolžino stranice kvadrata, • števila 1, 24, 51 in 10 dajo v decimalnem zapisu vrednost –1˙41421296,
√3
NA
Σ
(4k)!(1103 + 26 390k) k!43964k
Števila na tablici so napisana v šestdesetiškem sestavu:
• števila 42, 25 in 35 pa dajo vrednost 42˙4263889, kar je ravno dolžina diagonale kvadrata s stranico a = 30.
LO V
1 2√2 = π 9801
∞
ZL
Eno od osupljivih Ramanujanovih odkritij je tudi formula za izračun števila π, ki dá že pri k = 0 neverjetno natančen približek z absolutno napako manjšo od 0˙00000008. S to formulo je William Gosper leta 1985 izračunal π na 17 milijonov decimalk natančno.
ZL
NA
DE
LO V
V Angliji se je že prej bolehnemu Ramanujanu zaradi pretiravanja z delom zdravje še poslabšalo. Včasih je namreč tudi po trideset ur zapisoval svoja matematična dognanja in potem za dvajset ur padel v globok spanec. Zelo bolan se je vrnil v Indijo in tam umrl za tuberkulozo, star komaj
3600
IČI
CA
32 let. Kljub zgodnji smrti je zapustil obsežen matematični opus v štirih debelih beležnicah. Ker je bil papir drag, je račune in izpeljave ponavadi pisal na tablico s kredo, na papir pa le končne izsledke, večinoma brez dokazov. Matematiki se še danes ukvarjajo z Ramanujanovo zapuščino in počasi odkrivajo, da vse njegove trditve držijo.
RA
Srinivasa Ramanujan, indijski mladenič tamilskega rodu brez končane srednje šole, je konec leta 1912 zbral pogum in svoja matematična odkritja poslal trem najvidnejšim angleškim matematikom v Cambridge. Samo eden od njih, Godfrey Harold Hardy, je postal pozoren na Ramanujanove izreke, ker česa podobnega še ni videl niti ni znal dokazati. Neznanega pisca je povabil v Anglijo, in ta je vabilo sprejel. Tako se je začela odkrivati življenjska zgodba enega izmed največjih matematičnih genijev moderne dobe, ki pa je imel v šoli težave, ker je bil v matematiki mnogo prehiter in je zaradi tega zanemarjal druge predmete.
25 42 + 60 + 35 = 42˙4263889
IČI
Realna števila
24 1 + 60 + 51 + 10 = 1˙41421296 3600 21 600
DE
130
Srinivasa Ramanujan (1887–1920)
30 1, 24, 51, 10 42, 25, 35
131