Naloge
Trditev A ⇒ B je težko dokazati v tej obliki, zato izjavo zapišemo v enakovredni obliki ¬B ⇒ ¬A ali z besedami: če n ni sodo število (je liho število), njegov kvadrat tudi ni sodo število (je liho število).
1. Dana je množica M = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18}. Ugotovite pravilnost izjav A in B. Izjava A: Vsako število iz množice M je deljivo s 3 ali s 4. Izjava B: Le dve števili iz množice M nista deljivi z 8.
p p p p p p p p
¬(B ⋀ C) p p p n p p p n
3. Izračunajte logično vrednost sestavljene izjave pri vseh vrednostih enostavnih izjav A in B. Ali sta dani izjavi tavtologiji? Odgovor utemeljite. a) (A ⇒ B) ⋁ A b) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⋁ A)
NA
Ugotovimo, da je izjava tavtologija.
Video razlaga zgleda
LO V
Vrstni red operacij v izjavnem računu
Podobno kot pri računanju s števili ni vseeno, kakšen je vrstni red različnih računskih operacij, zato moramo tudi v izjavnem računu poleg oklepajev upoštevati vrstni red operacij oz. prioriteto izjavnih povezav. Najvišjo prioriteto ima negacija, zato jo najprej izvedemo, sledijo zapored konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca. Če moramo zapored izvesti več enakih izjavnih povezav, velja pravilo združevanja od leve proti desni. Zgled 9
V izjavni povezavi ¬A ⋀ B ⇔ ¬A ⇒ B ⇒ ¬B ⋀ C ⇒ ¬A ⋁ B ⋀ C z oklepaji nakažimo vrstni red računanja. ((¬A) ⋀ B) ⇔ ((((¬A) ⇒ B) ⇒ ((¬B) ⋀ C)) ⇒ ((¬A) ⋁ (B ⋀ C)))
CA
⋁
8. Dokažite trditvi. a) Če je n2 liho število, potem je n liho število. b) Če je n3 sodo število, potem je n sodo število. 9. Preverite, ali sta izjavi A ⋁ B ⋁ C in ¬(A ⋁ B ⇒ C) enakovredni.
Video razlaga naloge
10. Pokažite, da je izjava tavtologija. ((A ⋀ ¬B) ⇒ (C ⋀ ¬C)) ⇒ (A ⇒ B)
RA
A⇒B p p p p n n p p
2. Zapišite 1, če je izjava resnična, in 0, če je izjava neresnična. A: Število 39 je praštevilo. B: Najmanjši skupni večkratnik števil 6 in 8 je 24. C: Največji skupni delitelj števil 36 in 54 je 9.
4. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij v izjavi A ⇒ ¬B ⋀ A in s pravilnostno tabelo ugotovite njeno logično vrednost.
NA
C n p n p n p n p
ZL
B n n p p n n p p
RA
A n n n n p p p p
IČI
Preverimo vrednost izjave (A ⇒ B) ⋁ (¬(B ⋀ C)) pri vseh vrednostih osnovnih izjav A, B in C.
7. Ugotovite pravilnost izjav. a) x < 3 ⇒ x < 4 b) x ≥ 4 ⇒ x > 4 c) a ≤ b ⇒ a – b ≤ 0
IČI
CA
Zgodi se, da je kaka sestavljena izjava pravilna pri vseh naborih vrednosti osnovnih izjav. Take izjave so v matematiki zelo pomembne; to so namreč aksiomi in izreki. Takim izjavam pravimo tavtologija.
Izreki in aksiomi imajo največkrat obliko implikacije: A1 ⋁ A2 ⋁ A3 ⋁ … ⇒ B ali z besedami: pri hkrati izpolnjenih predpostavkah ali pogojih Ai sledi posledica B.
5. Ugotovite, pri katerih vrednostih osnovnih izjav so pravilne dane izjave. a) ¬A ⋁ ¬B b) ¬A ⇒ ¬B c) A ⋀ ¬B ⇒ ¬A č) (¬A ⋁ B) ⇔ A
LO V
n2 = (2k – 1)2 = 4k2 – 4k + 1 = 2(2k2 – 2k) + 1
f) Naravno število n je praštevilo natanko tedaj, ko ima natanko dva delitelja. g) Če je število n deljivo z 8, potem je deljivo s 4.
ZL
n = 2k – 1
Zgled 8
13
Dokažimo trditev: če je kvadrat števila n sodo število, je tudi n sodo število.
6. Izjave zapišite s simboli. a) Če je produkt dveh števil enak nič, je vsaj eden od faktorjev enak nič. b) Premici v ravnini sta vzporedni ali pa se sekata. c) Produkt treh števil je pozitiven natanko tedaj, ko sta dva faktorja negativna ali ko so vsi faktorji pozitivni. č) Paralelogram je enakostraničen natanko tedaj, ko je romb ali kvadrat. d) Če je presek premice in krožnice neprazen, potem je premica sekanta ali tangenta. e) Če je p praštevilo, potem ga lahko napišemo v obliki 4k + 1 ali 4k + 3.
DE
Zgled 7
DE
12
11. Ugotovite, ali so izjave tavtologije. a) (A ⋀ B) ⇒ A b) A ⇒ (A ⋁ B) c) (A ⋀ (A ⇒ B)) ⇒ B č) (A ⇒ B) ⇒ (B ⇒ A) d) B ⇔ (¬A ⋁ ¬B) e) A ⋀ ¬B ⇒ ¬C ⇒ ¬(¬A ⋁ C ⇒ B) 12. Z oklepaji nakažite vrstni red operacij in narišite pravilnostne tabele izjav. a) A ⇒ B ⋀ ¬C ⇔ A ⋁ ¬B b) A ⇒ B ⇒ C ⇒ ¬B ⇔ ¬A c) B ⋁ ¬C ⋁ A ⋀ C ⋀ ¬B ⋀ B č) ¬C ⇔ A ⇒ B ⇒ ¬ A ⋀ B ⋁ C d) ¬B ⋁ C ⋁ A ⇔ C ⇔ C ⋀ A 13. Izračunajte vrednost sestavljene izjave (A ⋀ B) ⋁ ¬A ⋁ ¬B ⋀ C ⋀ A, če so dane izjave A: (2a + 3)2 ≥ 0, B: (x – 1)|(x2 – 1), C: (x2 – 1) = (x2 – 1)3. Dodatne naloge