111
Algebrski ulomki
Spoznali boste: Ű kaj so to algebrski ulomki,
a)
Ulomke, pri katerih v števcu in/ali v imenovalcu nastopajo algebrski izrazi, imenujemo algebrski ulomki. Z algebrskimi ulomki računamo kot z običajnimi ulomki: jih seštevamo, odštevamo, množimo in delimo, krajšamo in razširjamo … Pri računanju z algebrskimi ulomki privzamemo, da je imenovalec različen od nič.
Ű kako z algebrskimi ulomki računamo.
b) a + 1 + a – 2 = (a + 1)(a – 2) + (a + 1)(a – 2) = (a + 1)(a – 2) = (a + 1)(a – 2) = (a + 1)(a – 2)
Poenostavimo algebrske ulomke. 2 3 1 8a 9ab2 2b2 8a + 9ab2 – 2b2 – 2 = 3 + 2 3 + 2 3 – 2 3 = 12a b 12a b 12a2b3 3ab 4ab 6a b 12a b 2
1
2(a – 2)
a+1
2a – 4 + a +1
3a – 3
1
1
a+3
a–3
a+3–a+3
6
4
6
10
x=2
Ulomek nima pomena, če je imenovalec enak 0.
NA
LO V
5(3x + 1) = 22(x – 2)
a2 – 1 a + 3 (a – 1)(a + 1) ∙ = ∙ –a+3 =–a+1 = a+1 a–1 3–a a–3 9 – a2 1 – a (3 – a)(3 + a)
f)
3x 11x 3x 7x ∙ 6y 3x ∙ 55 11x : = – : – = = ( –5y ) : ( –7x 5y 6y ) ( 5y ) ( 5y ∙ 11x ) 5y ∙ 42 14y
h) Zgled 4
(
( ) 2( ) x–2 x+1
–1
–1
=
2b 6a b c a) 3 5 11 = 5c2 15a b c 3 6 9
Za krajšanje algebrskih ulomkov veljajo ista pravila kot za krajšanje številskih ulomkov. Krajšali smo s 3a3b5c9. b)
x3 – 3x2 – 9x + 27 x2(x – 3) – 9(x – 3) (x – 3)(x2 – 9) (x – 3)(x – 3)(x + 3) = = = =x+3 x2 – 6x + 9 (x – 3)2 (x – 3)2 (x – 3)2
Razstavili smo števec in imenovalec in nato krajšali z (x – 3)2.
Naloge
2 + x –4 2
= x+1
2∙ x–2
2x – 4 + 4 x–2 2(x + 1) x–2
520. Zapišite z ulomki: 2 : a, (3a) : 5, (–4a) : (5b), 3x, x : (x – 1), (x – 4) : (–2x), (x + 6) : (x – 1) 4x 2
1
4–x
521. K ulomkom x, 1 , x , – 3x , x + 2 zapišite nasprotne ulomke. 2x
2x(x – 2)
= (x – 2)2(x + 1) =
DE
Okrajšajmo.
a2 + a a(a + 1) = = a a2 – 1 (a + 1)(a – 1) a – 1
Razrešimo algebrski dvojni ulomek.
7x = 49
Zgled 2
)
2 a–3 2 (a – 3)(a + 4) : = = = 2 a–3 a–4 a2 – 16 a2 + a – 12 (a – 4)(a + 4)
2 + x –4 2
15x + 5 = 22x – 44 x=7
CA
e)
IČI
3a3 4b3 3a3 ∙ 4b3 1 ∙ 2b 2b ∙ = = = 2 2b2 9a5 2b2 ∙ 9a5 1 ∙ 3a2 3a
g) (a2 + a) : (a2 – 1) =
2
3x + 1 22 = 5 x–2
4x – 12 + 6x – 10x = x(x – 3)
ZL
Ulomek ima vrednost 0, če je števec enak 0.
č) Za kateri x ima ulomek vrednost 4 5 ?
10x
RA
x–2=0
6x
NA
IČI
RA
c) Za katere x ulomek nima pomena?
4(x – 3)
d)
LO V
1
x=– 3
ZL
Ulomek ima vrednost 0, če je števec enak 0.
10
Razlika števil ni komutativna, velja pa 3 – x = –(x – 3) in to tu uporabimo.
3(–2) + 1 –5 1 V dani algebrski ulomek vstavimo x = –2 in dobimo: –2 – 2 = –4 = 1 4 .
b) Za katere x ima dani ulomek vrednost 0?
6
–12 12 = x2 – 3x 3x – x2
=
a) Izračunajmo vrednost ulomka za x = –2.
3x + 1 = 0
4
č) x + x – 3 + 3 – x = x + x – 3 – x – 3 = x(x – 3) + x(x – 3) – x(x – 3) =
3x + 1
Dan je algebrski ulomek x – 2 .
3(a – 1)
c) a – 3 – a + 3 = (a – 3)(a + 3) – (a – 3)(a + 3) = (a – 3)(a + 3) = (a – 3)(a + 3)
CA
Zgled 1
Zgled 3
Preiskujte algebrske ulomke
DE
110
522. Za algebrski izraz x – 5 izračunajte številske vrednosti za dane vrednosti spremenljivke x. a) x = 3 c) x = 0 č) x = 5 d) x = – 5
x x+1
523. Okrajšajte ulomke. a) 6x
b)
3a3 6a2
c)
x4 x6
č)
15a2 3a
d)
12a4b2 18a2b
e)
248m2n4 62mn2
g)
36u3v 108u4v
g) –
h)
–a3b2c4 a2b2c4 ∙ a
i)
4x
88a2b3c 121ab3c2
128x3y2z4 72x4y3z