A ⇒ B: Če 3 deli število 5, potem deli tudi število 7.
(A ⋁ B) ⋁ C = A ⋁ (B ⋁ C)
V prvih štirih primerih zgornjega zgleda so implikacije pravilne, ker so pravilni tako pogoji kot posledice. Zadnji primer v zgledu pa je primer, ko je implikacija pravilna pri nepravilni predpostavki in nepravilni posledici. Implikacija je nepravilna le v primeru, ko je pogoj pravilen, posledica pa nepravilna.
ZL
Implikacija izjav A in B je sestavljena izjava, ki jo lahko beremo na različne načine. A ⇒ B Če velja A, potem velja B. Iz A sledi B.
RA
Izjava A je pogoj ali privzetek, izjava B pa (logična) posledica izjave A.
A⇒B p p n p
Izjave povežimo z logičnimi povezavami. Nato izjave opišimo še z besedami. a) A: Število n je deljivo s 6. B: Število n je deljivo s 3.
LO V
Zgled 5
B n p n p
NA
Implikacija je nepravilna le, če je pogoj pravilen in posledica nepravilna; v vseh ostalih primerih je implikacija pravilna.
A n n p p
A ⇒ B: Če je število n deljivo s 6, potem je n deljivo s 3. Obratno ne velja. b) A: a < b B: b < c C: a < c
A ⋀ B: (a < b) ⋀ (b < c) (A ⋀ B) ⇒ C: Če je a manjše od b in je b manjše od c, potem je a manjše od c (tranzitivnost relacije <). c) A: a|bc B: a|b C: a|c A ⇒ B ⋁ C: Če število a deli produkt števil b in c, potem a deli vsaj eno od števil b in c. č) A: Štirikotnik L ima vse stranice enako dolge. B: Štirikotnik L je kvadrat. C: Štirikotnik L je romb. B ⋁ C ⇒ A: Če je štirikotnik kvadrat ali romb, potem ima vse stranice enako dolge.
CA
Ekvivalenca dveh izjav je pravilna, če imata izjavi enako vrednost (ali sta obe pravilni ali obe nepravilni), in nepravilna, če imata izjavi različno vrednost. Enakovredni ali ekvivalentni izjavi za logiko pomenita eno in isto in lahko nadomestimo drugo z drugo.
IČI
IČI
Uporabimo enega od De Morganovih zakonov in dobimo n ≥ –3 ⋀ n < 2 oz. –3 ≤ n < 2.
A ⇔ B Izjava A velja, če in samo če velja izjava B. Izjava A velja natanko tedaj, ko velja izjava B.
Zgled 6
A n n p p
B n p n p
A⇔B p n n p
ZL
Zanikajmo izjavo n ≥ 2 ⋁ n < –3.
Ekvivalenca izjavi A in B poveže s če in samo če oz. natanko tedaj, ko.
S pravilnostno tabelo preverimo ekvivalentnost izjav. a) (A ⇒ B) ⇔ (¬A ⋁ B) A n n p p
B n p n p
¬A p p n n
¬A ⋁ B p p n p
RA
Negacija disjunkcije je konjunkcija negacij.
CA
Zgled 4
Video razlaga implikacije in ekvivalence
A⇒B p p n p
NA
Disjunkcijo in konjunkcijo povezujeta tudi De Morganova zakona: ¬(A ⋀ B) = ¬A ⋁ ¬B Negacija konjunkcije je disjunkcija negacij.
Izjavi ¬A ⋁ B in A ⇒ B sta ekvivalentni, kar potrjujeta zadnja dva stolpca tabele.
LO V
(A ⋀ B) ⋁ C = (A ⋁ C) ⋀ (B ⋁ C)
b) (A ⇔ B) ⇔ ((A ⇒ B) ⋀ (B ⇒ A)) A n n p p
B n p n p
A⇒B p p n p
DE
Disjunkcijo in konjunkcijo povezujeta distributivnostna zakona: (A ⋁ B) ⋀ C = (A ⋀ C) ⋁ (B ⋀ C)
¬(A ⋁ B) = ¬A ⋀ ¬B
11
d) A: 3 deli število 5. B: 3 deli število 7.
Disjunkcija je komutativna in asociativna: A⋁B=B⋁A
DE
10
B⇒A p n p p
(A ⇒ B) ⋀ (B ⇒ A) p n n p
A⇔B p n n p
Tudi te dve izjavi sta ekvivalentni, kar pomeni, da lahko ekvivalenco izjav A in B nadomestimo s konjunkcijo implikacij med A in B v obeh smereh. c) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) A n n p p
B n p n p
A⇒B p p n p
¬B p n p n
¬A p p n n
¬B ⇒ ¬A p p n p
Izjavi sta ekvivalentni. To ekvivalenco pogosto uporabljamo pri dokazovanju.