MATEMATIKA
RAZLAGE IN VAJE ZA BOLJŠE OCENE V OSMEM RAZREDU Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan
ZZV MAT 8 2011 1-41.indd 1
8
7.2.11 8:01
ZBIRKA ZNAM ZA VEČ
MATEMATIKA 8 Razlage in vaje za boljše ocene v osmem razredu
Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc, Rozalija Strojan Strokovni pregled: Magda Albreht, Ema Maver Lektoriranje besedila: Katja Paladin Ilustracije: Marta Bartolj
Vse knjige Založbe Rokus Klett in dodatna gradiva dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
© Založba Rokus Klett, d. o. o. (2007). Vse pravice pridržane. Brez pisnega dovoljenja založnika so prepovedani reproduciranje, distribuiranje, javna priobčitev, predelava ali druga uporaba avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnem koli obsegu in postopku, kot tudi fotokopiranje, tiskanje ali shranitev v elektronski obliki. Tako ravnanje pomeni, razen v primerih od 46. do 57. člena Zakona o avtorski in sorodnih pravicah, kršitev avtorske pravice.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2)(076.2)
Založba Rokus Klett, d.o.o. Stegne 9 b 1000 Ljubljana Telefon: (01) 513 46 00 Telefaks: (01) 513 46 99 E-pošta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si
01 Sklop 2008.indd 2
KONČAN, Tanja Znam za več. Matematika 8 : razlage in vaje za boljše ocene v osmem razredu / Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan ; [ilustracije Marta Bartolj]. - 1. izd., 3. ponatis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2011. - (Zbirka Znam za več) ISBN 978-961-209-723-3 1. Moderc, Vilma 2. Strojan, Rozalija 252717312 DN070444
2.2.11 12:53
Dragi učenec in draga učenka! Pred tabo so razlage in vaje za matematiko. V veliko pomoč ti bo pri napredovanju v znanju, saj te bo vodil k znanju za več. Zasnovane so pregledno. Razdeljene so na jasno ločena poglavja, ki se začnejo z rešenimi ZGLEDI. Ti omogočajo hitro seznanjanje z najpomembnejšimi pravili in postopki, potrebnimi za uspešno reševanje nalog. Sledijo VAJE, s katerimi boš gradil in utrjeval svoje znanje. Z VPRAŠANJI boš preverjal razumevanje snovi. Srečal se boš s povezavami PAROV, v katerih boš prepoznaval in utrjeval osnovne pojme in predstave. Spopadanju s tipičnimi nalogami določenega poglavja sledi PREIZKUS, ki je namenjen povratni informaciji o tvojem znanju. Za preverjanje pravilnosti reševanja so dodane REŠITVE. Z željo, da bi čim bolje napredoval, te pozdravljamo in ti želimo veliko uspeha.
Avtorice
Podnaslov poglavja
Tu so napisane pomembne zakonitosti, pravila in ugotovitve.
Tu so napisani nasveti za lažje delo, dogovori, namigi in opozorila.
Nasvet preizkusa Če si dosegel 15 točk, še premalo znaš. Ponovi snov in preglej rešene zglede. Če si dosegel od 16 do 30 točk, dobro znaš. Še vadi, da boš napredoval. Če si dosegel od 31 do 45 točk, že veliko znaš. 3
01 Sklop 04.indd 3
7/25/07 10:30:28 AM
KAZALO I. UVOD V RACIONALNA ŠTEVILA ..............................................................................................................................6 Ponazoritev racionalnih števil ...................................................................................................................................6 Absolutna vrednost ......................................................................................................................................................8 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 10 II. RACIONALNA ŠTEVILA − SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ........................................................................ 12 Seštevanje in odštevanje celih števil ................................................................................................................... 12 Seštevanje in odštevanje racionalnih števil ...................................................................................................... 14 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 16 III. RACIONALNA ŠTEVILA − MNOŽENJE IN DELJENJE ................................................................................. 18 Množenje in deljenje celih števil ........................................................................................................................... 18 Množenje in deljenje racionalnih števil .............................................................................................................. 20 Racionalna števila – izrazi ........................................................................................................................................ 22 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 24 IV. POTENCIRANJE IN KORENJENJE ....................................................................................................................... 26 Potenciranje ................................................................................................................................................................. 26 Kvadriranje .................................................................................................................................................................... 28 Korenjenje ..................................................................................................................................................................... 30 Izrazi ................................................................................................................................................................................ 32 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 34 V. IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI IN ENAČBE ....................................................................................................... 36 Izrazi s spremenljivkami ........................................................................................................................................... 36 Enačbe ............................................................................................................................................................................ 38 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 40 VI. KOORDINATNI SISTEM, ODSTOTKI, SORAZMERJA .................................................................................. 42 Koordinatni sistem ..................................................................................................................................................... 42 Premo sorazmerje ...................................................................................................................................................... 44 Odstotki ......................................................................................................................................................................... 48 Obratno sorazmerje ................................................................................................................................................... 50 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 52 VII. VEČKOTNIKI .............................................................................................................................................................. 54 Diagonale večkotnika ............................................................................................................................................... 54 Koti večkotnika ............................................................................................................................................................ 56 Obseg in ploščina večkotnika ................................................................................................................................ 58 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 60
4
01 Sklop 04.indd 4
7/25/07 10:30:28 AM
VIII. KROG ........................................................................................................................................................................... 62 Obseg kroga in krožni lok ........................................................................................................................................ 62 Ploščina kroga in krožni izsek ................................................................................................................................ 64 Obsegi in ploščine sestavljenih likov ................................................................................................................... 66 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 68 IX. PITAGOROV IZREK ................................................................................................................................................... 70 Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku ......................................................................................................... 70 Pitagorov izrek v pravokotniku .............................................................................................................................. 74 Pitagorov izrek v kvadratu ....................................................................................................................................... 75 Pitagorov izrek v enakokrakem trikotniku ......................................................................................................... 76 Pitagorov izrek v enakostraničnem trikotniku ..................................................................................................77 Pitagorov izrek v rombu ........................................................................................................................................... 78 Pitagorov izrek v enakokrakem trapezu ............................................................................................................. 79 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 80 X. KOCKA IN KVADER .................................................................................................................................................... 82 Kocka ............................................................................................................................................................................... 82 Kvader ............................................................................................................................................................................. 84 Preizkus .......................................................................................................................................................................... 86 REŠITVE .............................................................................................................................................................................. 88
5
01 Sklop 04.indd 5
7/25/07 10:30:28 AM
I. UVOD V RACIONALNA ŠTEVILA Ponazoritev racionalnih števil 1 1 3 ZGLED 1: Na številski premici prikaži števila +2 2 , −1 4 , 1,6 in −2 5 .
Vsakemu racionalnemu številu lahko prirediš točko na številski premici. Desno od točke 0 so pozitivna racionalna števila, levo od točke 0 pa negativna racionalna števila. −2 −3
3 5
−1 −2
1 4
−1
3
1, 6 = 1 5
1
22
1,6 0
1
2
3
ZGLED 2: Ali veš, kateri števili sta nasprotni številoma 3 in –5? Prikaži to na številski premici.
3 in –3 sta nasprotni si števili.
JE NASPROTNO
−5
−3
0
1
3
5
Znak za nasprotno vrednost je znak minus (–).
JE NASPROTNO Številu 3 je nasprotno število –3. Nasprotno število od –5 je –(–5)), kar je 5. Torej: – (–5)) = +5.
ZGLED 3: Katerim od množic Z, Z-, Q+ in Q- pripadajo števila –8; –3,5; 0; +2; 12,3? –8 pripada množicam Z, Z- in Q–3,5 pripada množici Q0 pripada množici Z +2 pripada množicama Z in Q+ 12,3 pripada množici Q+
∈ pripada ∉ ne pripada ⊂ je podmnožica ⊄ ni podmnožica
VAJA 1: V torek popoldne so meteorologi namerili 3 °C nad ničlo, naslednje jutro pa 9 °C pod ničlo. Ponazori temperaturo na številski osi. Za koliko stopinj se je ohladilo ozračje?
Odg.: ____________________________________________________________________________
VAJA 2: Dvigalo se je iz pritličja premaknilo v peto nadstropje, nato pa se je spustilo za dve nadstropji nižje ter se spustilo še za štiri nadstropja. Na številski premici nariši položaje posameznih postankov dvigala. V katerem nadstropju se je ustavilo?
Odg.: ____________________________________________________________________________ 6
01 Sklop 04.indd 6
7/25/07 10:30:29 AM
VAJA 3: Nariši številsko premico – enota naj bo 2 cm – in na njej upodobi števila –2,75;
−1 2
3
; 0,25 in 1 4 .
VAJA 4: Zapiši: a) najmanjše naravno število, ki je večje od 9999 b) najmanjše celo število, ki je večje od –99 c) najmanjše celo število, ki je večje od 0,99999
VAJA 5: V zaporedju manjka nekaj števil. Zapiši ta števila. a) 13, 9, 5, ___, ___, ___, ___, ___, –19
b) –40, –29, ___, ___, ___, ___,___, 37
VAJA 6: Obkroži črko pred pravilno zapisano izjavo. a) –5 ∈ Z b) 5 – 3 ∈ Z 15 d) 5 ∈ Z
č) 3,5 ∈ Z
c) 3 5 ∈Z e) 64 : 16 ∈ Z–
VAJA 7: Določi tri negativna racionalna števila, ki ležijo med: a) –2 in –1 b) 0 in –2 c) 0 in –1
č) –2 in +2
1 VAJA 8: Izmed števil −2 2 ; –2,8;
−
3 4
;
− 13 4
;
9 4
;
13 4
; 2,5 izberi tista, ki so med –2 in 3.
VAJA 9: Poveži pare izrazov z enakima vrednostma. –(+3) –5
–(–3) +5
+(–5) 0
– (– (– (–5))) +3
–3
VAJA 10: Poveži število v svetlejšem polju s prvim večjim celim številom v temnejšem polju. 1 110
–0,5
–2
4
−2 1 3 0
3,1
3
2 7
01 Sklop 04 2008.indd 7
7/24/08 4:21:43 PM
I. UVOD V RACIONALNA ŠTEVILA Absolutna vrednost ZGLED 1: Katera števila so od 0 oddaljena za pet enot? Pomagaj si s številsko premico. 5 enot
I1I = 1 I0I = 0 I–1I = 1
5 enot
−5
0
1
Absolutna vrednost pozitivnega in negativnega racionalnega števila je pozitivno racionalno število.
5
Vidiš lahko, da sta od števila 0 za pet enot oddaljeni števili –5 in +5. Razdaljo od 0 do 5 in od 0 do –5 imenujemo absolutna vrednost števila –5 in 5, kar zapišeš takole: I–5I = 5 in I+5I = 5.
ZGLED 2: Med seboj primerjaj števili –5 in 0 ter 2 in –3. −5
−3
0
Pomagaj si s številsko premico ali pa si predstavljaj števila, upodobljena na številski premici.
+2
Ker –5 leži na levi strani števila 0, je manjše od 0, kar zapišeš –5 < 0. Ker 2 leži na desni strani števila –3, je večje od –3, kar zapišeš 2 > –3.
ZGLED 3: Kako bi izračunal vrednost izraza 20 + −7 − 3 ⋅
−
2 3
Števila na številski premici naraščajo od leve proti desni.
?
Najprej boš izračunal absolutne vrednosti, nato pa vrednost izraza po vrsti. 20 + −7 − 3 ⋅
−2 3
2
= 20 + 7 − 3 ⋅ 3 = 20 + 7 − 2 = 25 To zapišeš takole:
ZGLED 4: Kako poiščeš množico rešitev enačbe IxI = 10? Enačba ima dve rešitvi, kajti na številski premici sta dve števili, ki sta za deset enot oddaljeni od točke 0. Eno število leži desno, drugo pa levo od točke 0. Rešitvi enačbe IxI = 10 sta števili 10 in –10, saj je I10I = 10 in I–10I = 10.
IxI = 10 x = +10 in x = –10 R = {10, –10}
VAJA 1: Odgovori na vprašanja. 1
a) Kateri števili imata absolutno vrednost enako 10 8 ? b) Katero število ima nasprotno vrednost –5,8? c) Katero število je enako svoji nasprotni vrednosti?
VAJA 2: Danim številom poišči nasprotna števila in določi absolutne vrednosti. število nasprotno število absolutna vrednost
75
–0,2 −3 4
19 7
8,6
8
01 Sklop 04.indd 8
7/25/07 10:30:30 AM
VAJA 3: Določi vsa cela števila, ki so od točke A(–4) oddaljena za: a) 3 enote b) 5 enot
c) 7 enot
VAJA 4: Katero racionalno število leži na sredini med: a) –1,5 in 3,5
1 2 c) − 3 in +4 3
b) –6,3 in –2,7
VAJA 5: Celo število leži med številoma v svetlejšem polju. Poveži ju. –4 in –6 4
+3 in +1 +3
–1,5 in –2,8 –2
+4,7 in +3 –5
2
VAJA 6: Števila uredi po velikosti od najmanjšega do največjega. 2 a) –3, 4, 0, –7, 5 b) 4 3 ; –4; –3,5; 0; +0,5
VAJA 7: Obkroži črko pred številom, ki je najbližje številu –6,3. a) –6 b) –6,15 c) –5,9
č) –6,57
VAJA 8: Določi razdaljo med slikama danih dveh števil. a) 0 in 6 b) 0 in –8 c) –2 in +2
č) –18 in –11
VAJA 9: Če je a = –24 in b = –6, koliko je: a) I a I + I b I b) I a I – I b I
č) I a I : I b I
c) I a I · I b I
VAJA 10: Poišči vsa cela števila x, za katera velja IxI = 33.
9
01 Sklop 04.indd 9
7/25/07 10:30:31 AM
I. UVOD V RACIONALNA ŠTEVILA Preizkus
4 točke
6
1. Kateri od množic Z+, Q- in Q pripadajo števila: 1 a) −3 2 __________________________
9 b) 3 ____________________________
15 c) − 4 __________________________
č) 7,85 __________________________
2. Presodi pravilnost izjav. Označi jih s črko p (pravilna) ali n (nepravilna).
točk
5 točk
a) 0 ∉ Z+
b) Z- ∩ Q- = Z-
c) IN ⊂ Z
č) IN ∩ Z = IN
d) {0} ⊂ IN
e) Z ∩ IN = Z
3. Smiselno nadaljuj zaporedje in zapiši naslednjih pet členov: a) 6; 2,5; –1; ______; ______; ______; ______; ______ b) –3; –2,1; –1,2; ______; ______; ______; ______; ______.
4 točke
4
4. Koliko enotskih dolžin je na številski premici med celima številoma: a) 0 in 6 __________________________
b) –2 in 5 ________________________
c) –7 in 0 _________________________
č) –5 in –1 _______________________
5. Katero prvo celo število je večje od:
točke
5
a) –3,4 ___________________________
b) 0,6 ___________________________
2 c) −3 3 __________________________
2 č) − 7 ___________________________
6. Določi manjkajoče vrednosti.
točk
število
6,6
–(–2)
nasprotno število absolutna vrednost
–4
–(–(–10))
2 13
10
01 Sklop 04.indd 10
7/25/07 10:30:31 AM