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Esame di Stato 2018 – Prova di Matematica Questionario 1. Siano r il raggio di base del cono e h la sua altezza.
Detti x e k rispettivamente il raggio del cilindro inscritto e la sua altezza, per similitudine di triangoli si ha: Da qui si ottiene
. .
Il volume del cilindro è quindi:
Confrontando V con la metà del volume del cono (che è uguale a con
semplificato occorre confrontare massimo per
con valore
. La prima espressione ammette
. Che è minore .
2. Indichiamo con
la probabilità che esca la faccia . Si ha: 1 2 3 1
2
2 2 2 3 2 4 3
/6) dopo aver
4
1
Indichiamo con la probabilità che esca 4. Sostituendo, otteniamo:
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4 3 2 1 8
4
2 4 8
2
1
Risolvendo otteniamo: 1 15 La probabilità che escano due risultati uguali è: 1
2
3
1 15
4
1
4
16
64
85 225
3. Bisogna risolvere il sistema dato dall’uguaglianza delle due funzioni e delle loro derivate: 4 3
5 8
Si verifica che il sistema è soddisfatto per a cui corrisponde
4 4
a cui corrisponde
e per
2
5.
4. Per → ∞ il numeratore di tende a mantiene limitato, positivo e discosto dallo zero.
∞ mentre il denominatore si
Quindi lim → esiste e vale ∞ (il ragionamento poteva essere formalizzato ricorrendo al teorema o criterio del confronto). Per → ∞ numeratore e denominatore di sono entrambi ∞ ma l’infinito di ordine superiore (la funzione esponenziale per → ∞) si presenta al denominatore. Il limite di
per →
∞ vale dunque zero.
5. Detta h l’altezza del rettangolo e 2r la sua base, il perimetro della figura 2 2 deve essere uguale a 2. Da cui 1 1 /2 . L’espressione dell’area è ha:
2
/2. Sostituendo i valori di h in funzione di r si
2
2
2
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che ha il massimo per l’altezza
Pertanto la base del rettangolo è data da 2
e
.
6. Siano , , le coordinate. Questo punto appartiene anche alla retta passante per 4,0,1 e perpendicolare al piano tangente . Retta che è rappresentabile con equazioni parametriche: 4
3
1
2
Dalle equazioni 4 3 1 2 si ricava dunque coordinate 1, 1, 1 e l’equazione della sfera è: 1
1
1
1. Il centro C ha
14
essendo √14 la distanza di C da T. 7. Deve essere: 3
3
10
Calcoliamo l’integrale: 3
1
3
1
3
3
3
4
Poniamo il valore ottenuto uguale a 10: 3
3
4
10
3
3
6
0
da cui si ottengono due soluzioni 1 e
2
8. Indichiamo con il numero di partite, su 12, vinte dal giocatore 1. Vale: 12
1 2
Uno dei giocatori vince in un numero di partite minore o uguale a 12 se è minore o uguale a 2. La probabilità di questo evento è:
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10
2
1 2
12 1
12 0
12 2
12 10
12 11
12 12
79 2
9. Il triangolo ABC è equilatero infatti
√8.
Con una sostituzione si verifica che i tre punti appartengono al piano di equazione 4 0. Calcoliamo l’equazione del piano assiale del segmento AB (ovviamente passante per C). Direzione
0, 2,2 , equazione del piano : 2
1
2
2
0.
Analogamente calcoliamo l’equazione del piano assiale del segmento BC. Direzione
2,2,0 equazione : 2
3
2
1
0.
I punti richiesti si trovano sulla retta d’intersezione dei piani e . In forma parametrica questa retta ha equazioni 3 1 2
Si richiede che il punto 3 ,1 ,2 appartenente a questa retta abbia distanza uguale a √8 da A (oppure da B oppure da C): 2
8
da cui si ricava 3
4
4
0
ovvero
I punti richiesti hanno coordinate
2 e
1,1,0 e
, ,
2
10. Calcoliamo ′ e ′′:
2 Andando a sostituire, otteniamo:
.
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2
4
6
0
da cui 3 e
1