MATURIT ` A2026–PROVADIMATEMATICA–SOLUZIONI
SAMUELEMONGODI
DIPARTIMENTODIMATEMATICAEAPPLICAZIONI
UNIVERSIT ` ADIMILANO-BICOCCA
Problema1. a)Ilproblemaassegnaiseguentidati
Anno(al1o gennaio)
Differenzadellivellorispettoallozeroidrometrico(indm)
echiededideterminareiparametrinellafunzione
dimodoche f (n)sialadifferenzadellivellorispettoallezeroidrometricoalprimogennaiodell’anno2016+ n Cio`edobbiamotrovareiparametri a,b,c,m,k dimodocheilgraficopassiperipuntiinfigura.
Sostituendoivalori,questacondizioneimponeleseguentiequazioni
(2016) 16a 8b +4c 20= 6 (2017) a b + c 20= 16 (2018) 20= 20 (2019) a + b + c 20= 18 (2020) 4m 24= 16 (2021) 5m 24= 14 (2022) 6m 24= 12 (2023) 7m 24= 10 (2024) 2+ k = 10 (2025) 2+ k = 10 (2026) 2+ k = 10.
Notiamocheleequazioniin k ein m sonotutteequivalentieimplicano k = 12, m =2.Leprimedueelaquarta compongonounsistemalineare
incuipossiamousareleultimedueequazioniperottenere2b = 2e2a +2c =6,dacui b = 1, a + c =3.Sostituendo nellaprima b = 1otteniamo8a +2c =3eda
otteniamo6a =8a +2c (2a +2c)= 3,dacui
Notiamosubitochein x =3abbiamo 1 2 (3
· 3 24+sin2(3π) echein x =7abbiamo 2 7 24+sin2(7π)=2cos(2π 7) 12 dunquelasceltafattainizialmentediutilizzareilmodellopolinomialeper x< 3(invececheper x ≤ 3)eilsecondo modellofinoa x ≤ 7(invecechefinoa x< 7)nonhainfluenzatolarisposta1 b)Nelladefinizioneatratti,lafunzione`edatacome f :[0, 10] → R.Leespressionianalitichedi f (x)neitratti[0, 3),[3, 7], (7, 10]sonosommeeprodottidipolinomi,sin2(πx)e2cos(2πx),chesonotuttefunzionicontinueederivabili.Quindi eventualiproblemidicontinuit`aederivabilit`asipongonosoloin x =3, x =7.
L’osservazioneprecedentesulfattocheivaloridellevarieespressionianalitichecoincidanoneipuntidiraccordodice gi`achelafunzione`econtinua,infatti,adesempio, lim x→3 f
x→3+ f (x)
dovel’ultimauguaglianza`everaperch´elafunzione2x 24+sin2(πx)`econtinua.Allostessomodosiragionaper x =7, ottenendochelafunzione`econtinua.
Perquantoriguardaladerivabilit`a,sappiamochelafunzione`ederivabilein(0, 3) ∪ (3, 7) ∪ (7, 10)perch´elosonole singoleespressionianaliticheesiha f ′(x)=
2(x 2)3 3(x 2)2 +7(x 2)se0 <x< 3 2+2π sin(πx)cos(πx)se3 <x< 7 4π sin(2πx)se7 <x< 10 Notiamoche lim x→3 f ′(x)=2=lim x→3+ f (x) e,applicandoilteoremadiLagrangea f (x)su[0, 3]
(3+ h) f (3)
poich´e ξh ∈ (3+ h, 3)(con h< 0).Allostessomodo
′(x)=2
lim h→0+ f (3+ h) f (3) h =lim x→3+ f ′(x)=2 equindi f ′(3)=2,cio`elafunzione`ederivabilein x =3(eladerivata`econtinuain x =3).D’altraparte
lim x→7 f ′(x)=2 mentre
lim x→7+ f ′(x)=0 quindi,perlostessoargomentodiprima,ilimitidestroesinistrodelrapportoincrementaledi f (x)noncoincidonoin x =7,quindilafunzionenon`ederivabile.Inconclusione, f (x)`ederivabilein(0, 7) ∪ (7, 10);inoltre,pu`oessereutileper tracciareilgraficosapereche lim x→0+ f ′(x)= 10lim
→10 f ′(x)=0
Aquestopunto,pertrovareminimiemassimirelativi,studiamo f ′(x)=0,neitretratti. In[0, 3],poniamo t = x 2,riducendolostudionelprimotrattoa
2t3 3t2 +7t =0 ⇔−t(2t2 +3t 7)=0 cheportaa t =0(cio`e x =2),oppurea
1Facciamoquestaprecisazioneperch´eiltestoinizialeeravagoinproposito.
x = 5 4 ± √65 4
manotiamoche65 > 64edunque √65/4 > 2,quindiavremounasoluzionenegativa(fuoridaldominio)eunasoluzione maggioredi3(fuoridaltrattoincuistiamoconsiderando f (x)).Quindil’unicoestremorelativoin(0, 3)`e x =2che`e unminimo:ilsegnodi(2t2 +3t 7)`enegativoinunintornodi t =0,mentre t passadapositivoanegativo,quindi f ′(x) < 0per x ∈ (0, 2)e f ′(x) > 0per x ∈ (2, 3),dacui x =2`eunminimo.Questodiceancheche x =0`eunmassimo locale.
In(3, 7),vediamoche
2+2π sin(πx)cos(πx)=0 `eequivalentea sin(2πx)= 2 π
epoich´e 2/π ∈ ( 1, 0),possiamoporre2πa =arcsin( 2/π) ∈ ( 1, 0)eottenereche
con h ∈ Z.Dacui x = h + ax = h 1 2 a
ecos`ıotteniamosoluzioniaccettabili(cio`ein(3, 7))per h =4, 5, 6, 7(sipu`oosservareche 2/π> 2/3,quindi a ∈ ( 0.25, 0),qundi1/2 < 1/2 a< 1+ a< 1).
Percapiresequestivalorisonodimassimoodiminimorelativo,notiamochelafunzione2+ π sin(2πx)`eperiodicadi periodo1edhailgraficodellafunzioneseno,traslatoeriscalatoopportunamente.Tracciareilsuografico,sapendoche hazeriin1/2 a e1+ a,`esemplice:
Questosignificacheipuntidellaforma
x = h 1 2 a
sonomassimirelativi(lafunzionecresceprimaedecrescedopo)mentrequellidellaforma
x = h + a
sonominimirelativi(lafunzionedecresceprimaecrescedopo).
Notiamoinfinechein(7 ϵ, 7)lafunzione`ecrescente,poich´e f ′(x) > 0.
In[7, 10],l’equazionepermassimieminimirelativi`e
4π sin(2πx)=0 chehacomesoluzionireali x = j/2con j ∈ Z;quelleaccettabilisonoper j =15, 16, 17, 18, 19checorrispondonoa x =15/2, 8, 17/2, 9, 19/2 .
Similmenteaprima,studiandolafunzionecos(x)(cheriscalataetraslatad`alafunzione f (x)in(7, 10)),possiamo concluderecheinogniperiodoincontriamoprimaunmassimoepoiunminimo,quindiabbiamominimilocaliin x = 15/2, 17/2, 19/2emassimilocaliin x =8, 9.Inoltre,questostudiocipermettedinotarechelafuzione`edecrescentein (7, 7+ ϵ)equestomostrache x =7`eunmassimolocale(ancheselafunzionenon`ederivabileinquelpunto);infine,la funzione`ecrescentein(10 ϵ, 10),quindi x =10`eunmassimolocale.
Possiamooratracciareilgraficoinmanieraapprossimata,notandochelafunzionedeveesseresemprenegativa:il massimosu[0, 3]`e f (0)= 6,su[3, 7]2x +sin2(πx) 24 < 14+1 24 < 9esu[7, 10], 12+2cos(2πx) < 10.Inoltre, lostessotipodistimecidiceche x =2`eminimoassoutosu[0, 10]e x =0`emassimoassoluto.
c)LeipotesidelteoremadiLagrangeprevedonoche f (x)siaderivabilenell’intervalloapertodovesivuoleapplicareil teorema,ma f (x)non`ederivabilein x =7,che`eunpuntointernoa(0, 10).Quindiilteoremanonsipu`oapplicare.
Abbiamo f (0)= 6, f (10)= 10,quindi f (10) f (0) 10 = 10+6 10 = 2 5
esicuramentepossiamotrovarepunti s ∈ [0, 10]taliche f ′(s)= 2/5,poich´e,adesempio, f ′(1)= 8e f ′(2)=0,e vistoche f ′(x)`econtinuain[1, 2](`eunpolinomio),perilteoremadeivaloriintermedicisar`aalmnoun s ∈ (1, 2)taleche f ′(s)= 2/5.
Guardandoilgrafico,possiamointuirechelostessoragionamentosuglialtritrattiporter`aaduntotaledi15soluzioni pertaleequazione.
d)Ilteoremadellamediaintegralesipu`oapplicareaqualunquefunzionecontinuasuunintervallodellaforma[a,b](cio`e chiusoelimitato).Lanostra f (x)`econtinuael’intervallo[0, 10]`ediquellaforma.Quindiesiste s ∈ [0, 10]taleche f (s)= 1 10 10 0 f (x)dx.
Lavariazionemediadilivello(cio`elavariazioneannuachespiegherebbeladifferenzatra2016e2026seogniannovi fossestatalastessavariazione)`e h(2026) h(2016) 2026 2016 = f (10) f (0) 10 = 2 5
edunque∆h = 0, 4dm/anno= 4cm/anno.
Perstimarelavariazionedivolumedal2016al2026serveper`olavariazionetotale10∆h:approssimandoillagocon unparallelepipedo(almenoneiprimidecimetridiprofondit`adallasuperficie),otteniamo
∆V = S 10∆h =57 106 ( 0, 4)= 22, 8 106 m 3 cio`e 22, 8 109 litri.
Problema2. a)Notiamoche
f ′ a (x)= ax(x 2) (x 1)2
edunque,per a> 0,avremoquestoschemadeisegni:
eper a< 0 x (−∞, 0)0(0, 1)1(1, 2)2(2, +∞)
x 1)2 +++0+++
′ a (x)
(x) ↘∪↗
Quindi fa (x)hapuntiatangenteorizzontalein(0, 0)e(2, 4a).
Notiamoche g(x)`epariesuipositivicoincidecon x/(x2 +1).Laderivatadiquest’ultima`e(1 x2)/(x2 +1)2 edunque ipuntiatangenteorizzontaledelgraficodi g(x)sono(±1, 1/2).
Ilpunto(0, 0)delgraficodi g(x)`eunpuntoangolosoenonhaunatangentebendefinita.
L’unicapossibilit`achehalaretta y = k diesseretangenteaentrambiigrafici`ediesseretangenteaquellodi g(x) in(±1, 1/2),ilcheimplica k =1/2equindiforza a =1/8,poich´eunpuntoatangenteorrizontaledi fa (x)deveavere ordinata1/2(0=1/2`eimpossibileequestolascia4a =1/2cheportaa a =1/8).
b)Comedettosopra, g(x)haunpuntoatangenteorizzontaleper x =1esinotache g′(x) > 0in(0, 1)e g′(x) < 0in (1, +∞),dunque`eunmassimolocale(quindiunpuntostazionario).Dunque B =(1, 1/2).
Inoltre,abbiamovistoche fa (x)hapuntistazionariper x =0e x =2.Quindi A =(2, 4a).
Siha AB2 =1+(4a 1/2)2 =5/4 4a +16a2 ilcuiminimositrova(ponendo2 laderivataugualea0)in32a 4=0 cio`e8a =1,cio`e a =1/8.
c)Lafunzione g(x)`edefinitaperogni x ∈ R,poich´e x2 +1 > 1perogni x ∈ R.Essendorapportodifunzionicontinue condenominatorechenonsiannulla,`eunafunzionecontinua.Abbiamogi`anotatoche`epari:
g(
Inoltre,su x> 0coincidecon x/(x2 +1)che`eunrapportotrafunzioniderivabilicondenominatorechenonsiannulla edunque`ederivabilesu(0, +∞)e,persimmetria,su(−∞, 0).Siha
esipu`onotareche
Quindi,comedetto,l’origine`eunpuntoangoloso,inparticolare g(x)non`ederivabileper x =0.Abbiamogi`astudiato massimieminimiemonotonia,inparticolare, g(1)=1/2`eilmassimodi g(x)su R.
Notiamoche g(x) ≥ 0perogni x e g(x) > 0se x =0.Inoltre,sivedefacilmente(rapportotrapolinomicondenominatore digradomaggiore)che
lim x→±∞ g(x)=0+
Lafunzione f1/8(x)`edefinitaper x =1;sutaleinsieme`econtinuaederivabile,inquantorapportodifunzioniderivabili condenominatorechenonsiannulla.Abbiamogi`astudiatolasuamonotoniaeisuoimassimieminimi;inparticolare, f1/8(2)=1/2`eilminimodi f (x)in(1, +∞).
In x =1sipresentaunasintoto: lim x→1 f1/8(x)= 1/8 0 = −∞ lim x→1+ f1/8(x)= 1/8 0+ =+∞
2sappiamogi`achequestaquantit`a`esemprepositiva,quindil’unicopuntoaderivatanullacoincider`aconilminimodelpolinomioquadratico
mentre
)=+∞
inquantorapportotrapolinomiconnumeratoredigradomaggioreepari,denominatoredigradodispari.
Inoltre,siha f (x) < 0su x< 1e f (x) > 0su x> 1
Tracciandonedeigraficiqualitativiotteniamo
Inparticolare,osserviamoche f1/8(x) < 0 ≤ g(x)in(−∞, 1)eche f1/8(x)
/
>g(x)in(1, +
),poich´e g(x)=1/2 seesolose x = ±1.
Quindi f1/8(x) >g(x)seesolose x> 1.
d)Larichiesta`eriferitasoloalgraficodi g(x).Troviamoipuntidiflessoper x> 0(visarannopoialtripuntidiflesso per x< 0simmetricirispettoa0).
Su x> 0 g ′′(x)= 2
(
3) (1+ x2)3
edunquel’unicopuntodiflesso`e x = √3;similmente,su < 0otterremoununicopuntodiflessoin x = √3. L’intergalerichiesto`edunque
Quiabbiamoriconosciuto2x comeladerivatadi x2 +1epoiricordatechelaprimitivadi h′(x)/h(x)`elog h(x),dove h(x) > 0.
Quesiti.
(1) Mettiamocoordinatecartesianecon A =(0, 0), C =(√2, √2). Poich´eilcentrostasulladiagonale AC eilbordopassaper A,ilcentrodelcerchio`e
Ilcerchioescedalquadratosolooltreiduelatipassantiper A.Ladistanzadelcentrodaciascunodiquesti lati`e
L’areadiciascunacalottaesterna`e
Dunquel’areadiunacalotta`e
L’areacopertadalprimocerchiodentroilquadrato`equindi
Poich´e
che`evera,l’areacoperta`emaggioredellamet`adelquadrato(cheintotalehaarea2).
QuindiCeciliaharagione.
(2) CalcoliamoledistanzetralorocolteoremadiPitagora
AB2 =1+81+16=98
AC 2 =64+25+9=98
AD2 =9+64+25=98
BC 2 =81+16+1=98
BD2 =16+1+81=98
CD2 =25+9+64=98
Dunquelefaccesonotriangoliequilateritralorocongruenti,dunqueilsolido`euntetraedroregolare.Lasuperficie sfericaper A, B, C, D hacentronelbaricentro,poich´eiltetraedro`eregolare,dunquein
O =( 1/2, 3/2, 5/2)
equindiilpianoper A tangenteallasferaper A, B, C, D sar`aortogonalea OA,dunqueavr`acoefficienti 5/2, 11/2, 1/2,oanche5, 11, 1.Imponendoilpassaggioper A avremo 5(x 2) 11(y +4)+(z 3)=0
ovvero5x-11y+z-57=0.
(3) Poich´e
siha
Datoche M1 =6,5e M2 =6,0,otteniamo
Quindi
Laprimascossahadunqueprodottoun’ampiezzacirca3,16voltequelladellaseconda. Perl’energiausiamolalegge
Sottraendoleduerelazioniperidueterremoti,siottiene
Dunque
Laprimascossahaliberatocirca5,62voltel’energiadellaseconda. Interminipercentuali,rispettoallasecondascossa,l’energialiberatadallaprima`emaggioredicircail462%. Questovuoldirechedallaprimaallasecondal’energiadiminuiscedicirca
(4) Calcoliamoladerivatadi F (x)applicandoilteoremafondamentaledelcalcolointegrale,poich´elafunzione g(t)= 1/(1+ t2)`econtinua.Abbiamoallora
dacui,detta G(t)unaprimitivadi g(t),
edunque
)=
quindi F (x)`ecostantesu x> 0perch´e`ederivabileovunqueehaderivatasemprenulla.Per x =1siha
edunque
Ilvalorecostantedi F (x)`equindi π/2.
(5) Gliasintotiverticalisihannodovesiannullal’argomentodellogaritmo.Quindideveessere x 2 + k =0.
Poich´egliasintotirichiestisono x = √3e x = √3,siottiene3+ k =0,cio`e k = 3.
Lacurva`edunque y = h ln (x 2 3)5
Glizerisitrovanoimponendo ln (x 2 3)5 =0
Dunque (x 2 3)5 =1, cio`e x 2 3=1, equindi x = ±2
Ipuntidiintersezioneconl’asse x sono
A =( 2, 0),B =(2, 0)
Poich´e ln (x 2 3)5 =5ln(x 2 3), siha y ′ = h 10x x2 3
Quindi y ′( 2)= 20h,y′(2)=20h.
Letangentiin A e B sonoperci`o
y = 20h(x +2),y =20h(x 2)
Essesiincontranosull’asse y,cio`eper x =0.Sostituendo, y = 40h.
Vogliamocheilpuntodiintersezionesia C =(0, 4),quindi 40h = 4.
Dacui h = 1 10
(6) Perpassareper(1, 0)sideveavere p(1)=0.Inoltre,peravereasintoto3x 2,sideveavereche
p(x)=(3x 2)(2x +1)+ a
quindi p(1)=3+ a,dacui a = 3.Quindi
p(x)=(3x 2)(2x +1) 1=6x 2 x 5 .
(7) a)Lecartepossonoesserevistecomeestrattesenzareinserimento.Laprobabilit`acheleprimetrecartericevute daMassimosianotuttedicoppe`e
b)Le10cartediLorenzosonounamanocasualedi10cartefra40.Vogliamochecontengatrecartefissate:l’asso dibastoni,l’assodispadeel’assodidenari.Quindi,sceltequestetre,lealtre7cartepossonoesseresceltetrale restanti37.Laprobabilit`a`e
(8) Le4squadrediprimafasciasonogi`aassegnateaigironi A,B,C,D,quindinondannoscelte.Le4squadredi secondafasciapossonoesseredistribuitenei4gironiin4!modi.Restanole8squadrediterzafascia,dadividere in4coppie,unaperciascungirone:imodisono
Dunqueilnumerocomplessivodicomposizionipossibili`e4! 2520=24 2520=60480.