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Magie et complexité
«Même quand nous comprenons ce [que les magiciens] font, le processus par lequel ils y sont arrivés nous est inaccessible.Ils n’ont que très rarement, voire jamais, d’élèves, car [...] il doit être terriblement frustrant pour un jeune esprit brillant d’être confronté aux voies impénétrables de l’esprit d’un magicien.Richard Feynman est un magicien d’un niveau exceptionnel.»
Pourquoi Richard Feynman, qui, en 1965, partagea le prix Nobel de physique avec Julian Schwinger et Sin-Itiro Tomonaga, fut-il qualifié de magicien par le mathématicien Mark Kac qui travailla avec lui? Un magicien réalise ce qui semble impossible avec une apparente facilité. C’est ainsi qu’avec ses colauréats, il travailla à l’élaboration de l’électrodynamique quantique, théorie qui décrit l’interaction électromagnétique des particules chargées. Pour ce faire, il élabora notamment des figures –les diagrammes qui portent son nom– permettant de représenter et de calculer ces interactions. Toutefois, aussi puissants soient-ils, les diagrammes de Feynman sont devenus insuffisants pour traiter, par exemple, la complexité des interactions des particules dans le LHC, le grand collisionneur de hadrons. Une nouvelle méthode, dite d’unitarité, prolonge celle de Feynman (voir Boucles et arbres, à la recherche d’une nouvelle physique, page72)
La complexité est parfois un atout.
Mais la complexité est parfois un atout, car des propriétés nouvelles peuvent en émerger. C’est le cas notamment dans les sociétés d’insectes sociaux – fourmis ou termites, par exemple–, où le chaos semble régner, mais d’où naissent des constructions dont les plans n’ont rien à envier à ceux d’architectes rigoureux et organisés (voir L’art de la construction chez les insectes sociaux, page28). Dans un autre domaine, celui de l’Univers, l’étude des interactions complexes du trou noir situé au centre de la Voie lactée avec son environnement révèle que ce monstre, ni trop vorace ni trop repu, aurait favorisé l’apparition de conditions propices à la vie sur Terre (voir Les bienfaits des trous noirs, page22). La vie serait-elle une propriété émergente des systèmes cosmiques complexes?
Le cerveau est aussi un système complexe, et la conscience en est une propriété émergente. Sans doute en est-il de même pour les pièges de la conscience, les illusions.Et, pour revenir à Richard Feynman, s’il fut un magicien de la complexité, sa contribution à la physique fut loin d’être une illusion. ■
22
Opinions
Les
À LA UNE
ASTROPHYSIQUE
Les bienfaits des trous noirs
Caleb Scharf
Le monstre supermassif qui engloutit de la matière au centre de la Voie lactée a peut-être joué un rôle clef dans l’apparition de conditions propices à la vie dans notre région de la Galaxie.
28
ÉTHOLOGIE
L’art de la construction chez les insectes sociaux
Guy Théraulaz, Andrea Perna et Pascale Kuntz
Les termitières et les fourmilières sont des prouesses architecturales. Pourtant, chaque ouvrier bâtisseur n’a qu’une perception locale du nid qu’il construit. Des modèles simples révèlent leurs secrets.
Portfolio 3D
Lunettes en page 28
36 ÉTHOLOGIE
Voyage au centre des termitières et des fourmilières
G. Théraulaz, F. Picarougne et Ch. Jost
Grâce à la tomographie à rayon X et à une reconstitution informatique, des éthologues visitent virtuellement les galeries de ces nids à l’architecture remarquable. Voici les premières images de leur voyage. À vos lunettes 3D !
44
ARCHÉOLOGIE
Les mégalithes de Sumatra
Dominik Bonatz
Les mégalithes des hautes terres de Sumatra, que l’on croyait néolithiques comme ceux d’Europe, témoignent en fait des intenses échanges entre les tribus de la forêt et les royaumes bouddhiques du Moyen Âge indonésien.
52
TECHNOLOGIE
Hélium : la pénurie menace
Christian Gianese
L’hélium, indispensable pour de multiples applications, obéit à des contraintes de production et de distribution complexes. Un contexte aujourd’hui si tendu que ce gaz inerte manque déjà.
60
IMMUNOLOGIE
Système immunitaire contre cancer
Eric von Hofe
Et si notre meilleur allié contre le cancer était... notre propre organisme ? Des traitements visant à apprendre au système immunitaire à reconnaître et à combattre les tumeurs sont en cours de développement.
66
LINGUISTIQUE
Les langues du monde : un même débit d’information
Fr. Pellegrino, Ch. Coupé et E. Marsico
Le débit de parole varie selon les langues, mais plus il est rapide, moins chaque syllabe véhicule d’information. Ainsi la vitesse de transmission de l’information est à peu près la même pour toutes les langues.
72
PHYSIQUE THÉORIQUE
Boucles et arbres, à la recherche d’une nouvelle physique
Zvi Bern, Lance Dixon et David Kosower
On calcule les probabilités des processus impliquant les particules élémentaires à l’aide de diagrammes dits de Feynman. Une nouvelle méthode simplifie ces calculs et remet au goût du jour certaines théories unificatrices.
Regards
80 HISTOIRE DES SCIENCES
Les multiples ancêtres du jeu de Nim
Lisa Rougetet
Le jeu de Nim, un jeu numérique simple, a fourni, au début du XXe siècle, les bases de la théorie des jeux combinatoires.
86 LOGIQUE & CALCUL
La suite de Stern-Brocot, sœur de Fibonacci
Jean-Paul Delahaye
Si la définition de la suite diatomique de Stern est simple, sa structure est riche de propriétés.
92 SCIENCE & FICTION
Pourquoi tant de grosses têtes dans la science-fiction ?
Jean-Sébastien Steyer et Roland Lehoucq
94 ART & SCIENCE
Les objets impalpables dans l’espace
Loïc Mangin
96 IDÉES DE PHYSIQUE
Les torches à plasma
Jean-Michel Courty et Édouard Kierlik
101 SCIENCE & GASTRONOMIE
Conserver les vins au frais
Hervé This
102 À LIRE
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ACTUALITÉS
Planétologie
Premiers succès pour Curiosity
Le rover de la NASA a testé son laser et a parcouru ses premiers mètres sur le sol martien.
Le mont Sharp culmine à cinq kilomètres au-dessus du fond du cratère Gale, où s’est posé Curiosity(a). Les strates rocheuses à la base du mont Sharp sont très similaires à celles visibles dans le Grand Canyon sur Terre (b) Curiosity a fait ses premiers «pas» sur la planète rouge (c, en 3D avec les lunettes anaglyphes à détacher page28)
Depuis son atterrissage périlleux sur la planète rouge le 6 août dernier, le robot Curiosity de la NASA a commencé à tester ses différents instruments et systèmes de navigation, envoyant ses premières images du cratère Gale où il s’est posé.
Le rover, le plus gros engin jamais posé sur Mars, est équipé de 12instruments scientifiques (dont deux réalisés par des équipes françaises): des spectromètres, des caméras, des minilaboratoires d’analyse... L’objectif de la mission Mars Science Laboratory est d’examiner l’environnement du cratère Gale à la recherche d’indices liés à la présence passée ou présente d’environnements propices à la vie.
Dans cet ancien cratère d’impact de 150 kilomètres de diamètre, l’érosion éolienne et des impacts récents ont en effet exposé des matériaux autrefois enterrés, tels d’anciens dépôts fluviaux et des terrains fracturés riches en minéraux.
Le cratère est dominé par un pic central, le mont Sharp, qui culmine à plus de 5000mètres au dessus des plaines environnantes (cliché a). Il est constitué de strates de roches sédimentaires qui, lues de haut en bas, fourniront une chronologie de la jeunesse de la planète. Elles pourraient notamment livrer des signatures éventuelles de vie passée.
D’ici quelques mois, Curiosity entamera l’ascension du mont Sharp. Pour l’heure, le robot a seulement effectué ses premiers pas, en testant virage et marche arrière
(cliché c, en 3D). ll a ensuite parcouru une vingtaine de mètres vers sa première destination, un site nommé Glenelg.
L’instrument franco-américain ChemCam, un laser couplé à des spectromètres, a également passé les tests avec succès. Le laser a d’abord été pointé sur une petite pierre –nommée Couronnement. Trente impulsions de cinq nanosecondes et d’un mégawatt de puissance ont porté la surface de la roche à8000°C, vaporisant une petite zone de sa surface en un plasma dont le spectre lumineux a été analysé.
Une seconde roche a subi le même sort quelques jours plus tard. Selon Sylvestre Maurice, responsable de l’instrument ChemCam à l’ IRAP , à Toulouse, «les données sont encore plus précises que celles récoltées sur Terre». En analysant les roches jusqu’à neuf mètres de distance, ChemCam permettra de sélectionner les plus intéressantes et d’étudier celles inaccessibles au robot.
Il reste cependant plusieurs points critiques à tester avant que le robot ne s’aventure loin du site d’atterrissage, nommé Bradbury Landing par la NASA en hommage au célèbre auteur des Chroniques martiennes, décédé en juin dernier. Il s’agit notamment de manipuler le bras articulé pour récupérer des échantillons, un point clef de la mission scientifique.
.➜ Philippe Ribeau-Gésippe. Mission Mars Science Laboratory: www.nasa.gov/mission_pages/msl/index.html
Actualités
Paléontologie humaine
Le plus ancien Asiatique moderne
Le crâne partiellement reconstruit à partir des restes mis au jour au Nord du Laos est celui d’un homme moderne vieux de 63000ans.
Physiologie
La dispersion des hommes anatomiquement modernes en Eurasie et en Australasie n’a commencé qu’il y a 80000ans et a duré environ 50000ans. Si les dates jalonnant cette conquête sont étayées pour l’Europe, elles prêtent à discussion pour l’Asie. Mais la situation s’améliore depuis que Fabrice Demeter, du Muséum national d’histoire naturelle, à Paris, et son équipe ont mis au jour un fossile d’humain moderne au fond de la grotte de Tam Pa Ling, au Nord du Laos. La radiodatation directe, par le rapport isotopique uranium/thorium, de ces restes – un frontal complet, un fragment d’os occipital, un fragment d’os temporal et un maxillaire– indique un âge minimum de 63000ans. Selon F.Demeter, le crâne de l’homme de Tam Pa Ling présente une morphologie moderne dans ses caractères frontaux, occipitaux et maxillaires, et se différencie nettement de ceux des Néandertaliens de l’Ouest de l’Asie. Le fossile de Tam Pa Ling est donc le témoin d’une population d’hommes modernes, qui a investi le Sud de l’Asie il y a quelque 60000 ans.
➜ François Savatier. F. Demeter et al., PNAS, en ligne le 20 août 2012
Vers la pilule pour les hommes ?
Depuis la mise au point de la pilule (hormonale) pour les femmes, aucune approche nouvelle de la contraception n’a été proposée. Son équivalent pour les hommes n’existe pas, alors que dans les pays développés, près d’un homme sur deux se dit prêt à prendre une pilule contraceptive, si elle était disponible. Un pas vient cependant d’être franchi vers une pilule masculine et non hormonale par l’équipe de Martin Matzuk, de la Faculté de médecine Bayer à Houston aux États-Unis, et celle de James Bradner, à Boston.
Dans leurs travaux, qui portent sur la souris, ces chercheurs ont synthétisé une petite molécule, JQ1, capable de se fixer sur la protéine BRDT, une molécule essentielle au développement des spermatozoïdes, et de bloquer ainsi son action. La molécule JQ 1 se révèle capable de stériliser les souris mâles, de façon réversible et sans effets indésirables. L’injection quotidienne de JQ1, pendant six semaines, à des souris mâles initialement âgées de six semaines a ainsi divisé par9 le nombre de
En bref
PUNAISES HÉLIONETTOYÉES
Au soleil, les punaises Boisea rubrolineatadégagent une forte odeur, qui provient de molécules à la surface de leur cuticule, des monoterpènes. La biosynthèse de ces composants est activée par la lumière. Gerhard Gries, de l’Université Simon Fraser, au Canada, a montré que ces molécules agissent comme un fongicide, en particulier contre le champignon pathogène Beauveriabassiana, en empêchant la germination des spores et leur croissance.
LES PIEDS DANS LE TAPIS
La molécule JQ1 (cartouche) synthétisée par des chercheurs américains bloque chez la souris l’action de la protéine BRDT, essentielle à certaines étapes de la maturation des spermatozoïdes.
leurs spermatozoïdes et par17 (de 85 à 5 pour cent) la proportion de spermatozoïdes mobiles. Pendant la durée du traitement, les niveaux d’hormones des souris n’ont pas changé et leur comportement sexuel n’a pas été altéré. Enfin, quatre mois après l’arrêt des injections de JQ1, la fertilité des mâles est revenue à la normale.
La protéine BRDT étant aussi présente chez l’homme, la molécule JQ1 pourrait être testée chez ce dernier. Et d’autres molécules
inhibant le développement ou la mobilité des spermatozoïdes sont à l’étude. En attendant, selon JeanClaude Soufir, de l’Hôpital Cochin à Paris, la contraception masculine sera d’abord hormonale : plusieurs contraceptifs à base de testostérone font déjà l’objet d’essais cliniques avancés, ce qui est loin d’être le cas des molécules non hormonales.
➜ Maéva Vignes
M. M. Matzuk et al., Cell, vol. 150, pp. 673-684, 2012
Pour amortir la chute, rien de mieux qu’un tapis... mais pas n’importe lequel: celui conçu à l’Université de Manchester par l’équipe de Patricia Scully est parcouru de fibres optiques qui enregistrent les signaux laissés par les pas d’une personne. Un ordinateur peut analyser cette démarche, détecter une chute et déclencher un appel d’aide. Ce tapis a aussi un rôle préventif, il peut déceler des altérations de la démarche d’une personne âgée qui indiquent une détérioration de son équilibre.
POURQUOI NEUF MOIS?
Après neuf mois de gestation, les bébés humains ont des capacités motrices et cognitives limitées. Pourquoi la gestation n’est-elle pas plus longue? La taille du bassin est souvent invoquée: le fœtus serait plus gros, nécessitant un bassin plus large de la mère, ce qui compromettrait la bipédie. L’anthropologue américaine Holly Dunsworth avance une autre théorie: le métabolisme de la mère ne suffirait pas pour nourrir correctement un fœtus au-delà de neuf mois.
Les bienfaits des trous noirs
Caleb Scharf
Le monstre supermassif qui engloutit de la matière au centre de la Voie lactée a peut-être joué un rôle clef dans l’apparition de conditions propices à la vie dans notre région de la Galaxie.
Dans quelle mesure l’apparition de la vie sur notre planète est-elle liée à l’état actuel et à l’évolution passée de ce vaste agencement d’étoiles qu’est notre Galaxie? De nombreux phénomènes cosmiques sont susceptibles d’influer sur l’existence de la vie, mais certains comptent un peu plus que d’autres. Les trous noirs supermassifs –des monstres de millions, voire de milliards de masses solaires tapis au cœur de certaines galaxies– en font partie. Aucun autre objet dans l’Univers ne convertit avec autant d’efficacité la matière en énergie. Aucun n’est capable d’expulser de la matière à une vitesse proche de celle de la lumière, sur des dizaines de milliers d’annéeslumière. Et aucun n’engloutit avec autant de voracité la matière environnante, dans de ponctuels, mais pantagruéliques repas, plutôt que par un grignotage continu.
Le gaz qui tombe sur un trou noir n’a pas une fin tranquille. Il tourne en spirale à très haute vitesse en s’approchant de l’horizon des événements du trou noir (la frontière en deçà de laquelle même la lumière ne peut échapper à l’attraction gravitationnelle de l’astre), et décrit des boucles hyperrapides si le trou noir est lui-même en rotation. Lorsque le matériau qui tournoie rencontre autre chose en chemin, la collision libère une énorme énergie cinétique, convertie en particules accélérées et en rayonnement énergétique. S’ils sont engendrés bien avant l’horizon des événements, ces particules et ces photons peuvent échapper au trou noir et déferlent alors dans l’Univers. C’est un peu comme le bruit d’une baignoire qui se vide: une partie de l’énergie cinétique de rotation de l’eau qui s’engouffre dans la bonde est convertie en ondes sonores à cause des frottements. Ces ondes sonores, plus rapides que l’eau, s’échappent. Dans le cas d’un trou noir, l’énergie expulsée au cours de ces festins de gaz peut avoir des effets à l’échelle de la galaxie tout entière.
Les astronomes qualifient de «cycle d’activité» l’enchaînement des périodes d’activité et des plages de repos d’un trou noir, par analogie avec les cycles d’une machine à laver. La durée du cycle d’activité d’un trou noir décrit la vitesse à laquelle il passe d’une phase d’accrétion
1. LA MATIÈRE QUI TOMBE en tourbillonnant sur un trou noir supermassif rayonne de façon intense. Une partie est expulsée à très grande vitesse dans la galaxie.
intense de matière à une phase de disette, où il n’a rien à engloutir, et inversement. Le trou noir supermassif au centre de la Voie lactée est aujourd’hui au repos, mais on sait désormais qu’il se réveille de temps en temps. Son cycle serait corrélé à l’évolution globale de la Galaxie. L’histoire du trou noir central éclaire également celle du Système solaire et des conditions propices à la vie qui y règnent.
L’étude des grands relevés de galaxies indique que le cycle d’activité d’un trou noir supermassif est lié au profil de population stellaire de la galaxie qui l’abrite. Les processus qui alimentent en matière le trou noir central influent vraisemblablement sur le type d’étoiles qui peuplent la galaxie, et l’énergie dégagée par un trou noir durant son pic d’activité stimule l’évolution du contenu en étoiles de la galaxie. La population d’étoiles est un indicateur clef pour déterminer la nature d’un système galactique. Les étoiles peuvent être plus ou moins rouges ou bleues. Les étoiles bleues sont les étoiles les plus massives; elles consomment leur combustible nucléaire à un rythme effréné dans une débauche d’énergie et meurent après quelques millions d’années seulement. Les étoiles rouges, à l’inverse, sont plus petites, moins lumineuses, et vivent au bas mot plusieurs milliards d’années.
Trou noir et vieilles étoiles
Si on additionne la lumière issue de toutes les étoiles d’une galaxie, la couleur globale tend soit vers le rouge, soit vers le bleu. Les galaxies rouges sont généralement des galaxies elliptiques, vieilles et massives, tandis que les galaxies plus bleues sont souvent des galaxies spirales, plus actives et plus modestes. Entre ces deux extrêmes, il existe une plage de transition, regroupant peut-être les galaxies dont les étoiles jeunes et bleues meurent et ne sont plus remplacées, entraînant ainsi un rougissement général de la population stellaire. De façon un peu ironique, les astronomes nomment cette zone intermédiaire la «vallée verte».
Durant le dernier milliard d’années, ce sont les trous noirs centraux des plus grandes galaxies spirales de la vallée verte qui ont eu les cycles d’activité les plus intenses. Dans ces galaxies se trouvent les trous noirs géants qui grossissent et rayonnent de la façon la plus
L’ESSENTIEL
■ Les trous noirs supermassifs situés au cœur des galaxies ne font pas qu’engloutir la matière environnante. Ils rayonnent aussi une grande énergie et expulsent de la matière à vitesse très élevée.
■ L’activité d’un trou noir central a une influence directe sur sa galaxie hôte. L’énergie libérée agit sur la formation stellaire et régule ainsi le vieillissement de la population d’étoiles.
■ La Voie lactée abrite un trou noir de quatre millions de masses solaires, assez actif pour modérer la formation d’étoiles, mais pas assez pour l’étouffer complètement. Un juste milieu sans lequel la vie n’aurait probablement pas pu se développer.
Éthologie
Voyage au centre des termitières et des fourmilières
Guy Theraulaz, Fabien Picarougne et Christian Jost
Grâce à la tomographie à rayons X et à une reconstitution informatique, des éthologues visitent virtuellement les galeries de ces nids à l’architecture remarquable.
Voici les premières images de leur voyage. À vos lunettes 3D!
Les nids construits par les termites sont parmi les structures les plus élaborées et les plus complexes du monde animal.Ces architectures,tout autant que leurs bâtisseurs,sont difficiles à observer.Les constructions s’opèrent dans l’obscurité la plus totale et l’intérieur des nids n’est accessible qu’en endommageant leur structure externe. Aujourd’hui,les outils d’imagerie médicale permettent d’analyser et de voyager au cœur de ces édifices sans les détruire. Pour étudier l’architecture des nids, on utilise la tomographie à rayonsX. Les rayons «découpent» la termitière en minces tranches,au sein desquelles la structure interne de la termitière est repérée par les différences de densité.On obtient une série de coupes virtuelles des nids dont l’épaisseur est de l’ordre d’un demi-millimètre.À partir de ces coupes,on reconstruit par ordinateur la structure tridimensionnelle des nids,que l’on utilise pour quantifier leurs caractéristiques spatiales.
La structure interne des nids est constituée de piliers et de cloisons en terre qui forment un dédale complexe de chambres interconnectées par des tunnels.Pour l’étudier,le Laboratoire d’informatique de Nantes-Atlantique a
développé un logiciel qui permet de visualiser en temps réel les données issues de la tomographie et de reconstruire la structure tridimensionnelle associée.Ces deux modes de représentation sont complémentaires: avec l’un,on perçoit la forme générale du nid en ajustant la transparence des murs et,avec l’autre,on précise la structure interne du nid grâce à des détails très fins.
Le logiciel a été conçu pour permettre une navigation interactive à l’intérieur des structures visualisées.Grâce à une souris3D ou à des capteurs inertiels,le navigateur se déplace librement dans le nid virtuel,projeté sur un dôme qui l’entoure.Chaque image est produite en moins de 40millisecondes.Elle comporte plus de trois millions de facettes (éléments de surface) à afficher.
La perception de la profondeur est facilitée par la production d’images stéréoscopiques selon différents modes: l’anaglyphe,utilisé ici,où chaque œil reçoit une image différente grâce à des lunettes à filtres colorés (détacher les lunettes page28) ou par projection avec des lunettes actives ou passives.Voici quelquesunes des images en relief produites à partir des nids de cinq espèces de termites et d’une de fourmis.
1
Les termites Trinervitermes geminatus(a) vivent dans les savanes au Nord du bloc forestier africain, du Sénégal à l'Ouganda. Partiellement enterrés, leurs nids sont constitués de quatre à cinq unités (b) –des calies– interconnectées par des tunnels souterrains. On trouve souvent 40à50calies par hectare, parfois plus de500. La terre du nid est enrichie en argile que les termites prélèvent parfois à plusieurs mètres de profondeur. La forme de la partie hypogée (souterraine) du nid, fruit du creusement et du renforcement des galeries, est influencée par la structure du sol. La partie épigée (émergée) est en revanche bâtie de toutes pièces par les termites. Sa structure lacunaire, constituée de piliers et de lamelles de terre, ne comporte pas de passages rétrécis (galeries), ce qui autorise un déplacement de masse des termites (c) a
1 mm
c Sauf mention contraire, toutes les figures sont des auteurs
Une unité (calie) d’un nid réel après son extraction du sol.
Une coupe (ci-dessus) et deux zooms (ci-dessous) de la reconstitution virtuelle de la calie.
Linguistique
Les langues dumonde : un même débit d’information
Le débit de parole varie selon les langues, mais plus il est rapide, moins chaque syllabe véhicule d’information. Ainsi, quelle que soit la langue, la vitesse de transmission de l’information est quasi constante.
François Pellegrino, Christophe Coupé et Egidio Marsico
ÀL’ESSENTIEL
■ Grâce à la mesure du débit syllabique (le nombre de syllabes prononcées par seconde) et de la densité syllabique d’information (la quantité d’information portée par chaque syllabe), on évalue le débit d’information de différentes langues.
■ Ce débit est presque constant d’une langue à l’autre. Il correspondrait à une vitesse de transmission adaptée aux besoins de la communication.
■ Pour l’instant, seules sept langues ont été étudiées. Ce nombre doit être augmenté pour confirmer et étendre les résultats.
la terrasse d’un café, dans le brouhaha ambiant, votre attention est soudain attirée par un voisin parlant une langue étrangère. Sa voix vous semble traînante ou, à l’inverse, empressée. Cette impression, qu’on pourrait croire subjective, correspond à une réalité mesurable: le débit syllabique (le nombre de syllabes prononcées par seconde) varie d’une langue à l’autre. Nous l’avons récemment montré en comparant les débits syllabiques d’une soixantaine de locuteurs s’exprimant dans sept langues d’Europe et d’Asie.
L’impression que les Espagnols parlent vite, par exemple, est fondée: en moyenne, ils prononcent 26pour cent de syllabes en plus par seconde que les locuteurs de l’anglais et 50 pour cent de plus que ceux du chinois mandarin. Pour autant, une même histoire durera-t-elle une fois et demie plus longtemps en mandarin qu’en espagnol?
Non, car nous verrons que la différence de débit syllabique est compensée par la quantité d’information portée par chacune des syllabes (on parle de densité syllabique d’information): une langue rapide recourt à un plus grand nombre de syllabes qu’une langue lente pour raconter la même histoire, chaque syllabe portant moins d’information. Finalement, les locuteurs des
différentes langues échangent des informations à un débit comparable. Pour le montrer, nous présenterons d’abord les ensembles de syllabes (les inventaires syllabiques) à disposition des langues et nous préciserons la notion d’information dans ce contexte.
Des contraintes façonnant les langues
Au cours du XXe siècle, les linguistes ont étudié plusieurs centaines de langues, en insistant tantôt sur leurs différences et tantôt sur leurs ressemblances. En 1957, le linguiste américain Martin Joos a affirmé que les langues peuvent différer les unes des autres sans aucune limite et de façon imprévisible. À l’inverse, Noam Chomsky a supposé qu’elles sont toutes soustendues par une même grammaire innée et universelle, dont elles seraient des reflets déformés. Plus récemment, la linguistique dite fonctionnelle a adopté un point de vue différent: elle décrit à la fois la diversité des langues et les tendances qu’elles partagent comme résultant de la compétition entre des contraintes variées. Cellesci peuvent être physiologiques (imposées par le système vocal), cognitives (issues notamment de la capacité du cerveau à traiter l’information), communicatives (on
1. QUELQUE 6000LANGUES sont parlées dans le monde, parfois par des centaines de millions de personnes, tel le mandarin en Chine, ou par quelques centaines de locuteurs, comme le cavineña en Bolivie. Elles semblent aussi efficaces les unes que les autres pour transmettre l’information, bien que le débit de la parole varie notablement.
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LOGIQUE & CALCUL
La suite de Stern-Brocot, sœur de Fibonacci
Si la définition de la suite diatomique de Stern est simple, sa structure est riche de propriétés. Elle est le nœud central d’un vaste réseau de relations dont on découvre chaque année des prolongements.
Jean-Paul DELAHAYE
Tout le monde connaît la suite de Leonardo Fibonacci, définie par: f 0 =0; f 1 =1; f n +2 = f n + f n +1. Chaque terme est la somme des deux précédents et le début de la suite est 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Elle apparaît dans des contextes variés et possède une multitude de propriétés remarquables, au point qu’une revue de mathématiques lui est entièrement dédiée: le Fibonacci Quaterly, journal officiel de la Fibonacci Association (http://www.fq.math.ca/).
Cette merveille arithmétique et combinatoire a une sœur, moins célèbre, mais aussi intéressante, la suite diatomique de Stern. Elle est connue aussi sous le nom de suite de Stern-Brocot ou fonction fusc Comme la suite de Fibonacci, on la retrouve au centre d’un réseau infini de relations qui en font l’un des plus fascinants objets des mathématiques discrètes. Sa définition ressemble à celle de la suite de Fibonacci. La suite diatomique de Stern est le résultat des petites équations suivantes: s0 = 0 ; s1 =1; s2n = sn ; s2n + 1= sn + sn + 1
Autrement dit, elle commence par 0, 1, puis, pour la connaître en m, si m est pair, on regarde sa valeur en m /2, et si m est impair, on coupe m en deux parties aussi égales que possible, on regarde les valeurs correspondantes et on additionne.
Moritz Stern (1807-1894)
Le nom de la suite est celui du mathématicien Moritz Stern qui l’a mentionnée et étudiée dans un article de 1858. Stern était un élève de Gauss, à qui il succéda à la tête du Département de mathématiques de Göttingen. Quant à Achille Brocot (18171878), il était horloger et s’intéressait aux fractions pour ses mouvements d’horloge. Depuis une dizaine d’années, la suite a fait l’objet d’une attention soutenue, conduisant à de nombreuses et jolies découvertes. L’adjectif diatomique provient de la formule s2n + 1 = sn + sn + 1, qui signifie que les termes nouveaux de la suite naissent de la somme de deux termes, ou atomes, précédents. Les premiers éléments de la suite sont indiqués au bas de la page. Elle semble
1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4,
complexe et impénétrable. Elle est bien sûr recensée dans l’encyclopédie des suites numériques de Neil Sloane, sous le numéro A002487 (voir http://oeis.org/). Son graphe est un peu plus parlant (voir l’encadré1), car on perçoit des régularités et même un aspect fractal: des formes semblables apparaissent à diverses échelles.
Dispositions en tableaux
Il existe plusieurs méthodes pour en disposer les termes qui aident à en dévoiler l’ordre secret. La première disposition graphique révélatrice, nommée Tableau tassé de Stern, consiste à oublier le 0 du début et à faire des retours à la ligne après 1, 2, 4, 8 termes, etc. .
On remarque que la somme des éléments de la ligne n vaut exactement 3n, ce qu’un peu de travail mathématique permet de
9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 7 , 111, , 1 144, 199,
D
1. Les premiers éléments de la suite de Stern-Brocot
ans cette représentation des premiers éléments de la suite diatomique de Stern-Brocot, on porte en abscisse le numéro de chaque élément dans la suite et en ordonnée sa valeur. On voit apparaître des structures à plusieurs échelles, comme c’est le cas pour les images frac-
tales. Ces structures témoignent que, malgré son apparence désordonnée, la suite diatomique de Stern contient un ordre caché et même une simplicité inattendue. L’intérêt qu’on lui porte depuis quelques années le confirme spectaculairement.
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