Actividad 4 Conociendo los nĂşmeros complejos Parte 1 Realiza una investigaciĂłn del tema “NĂşmeros complejosâ€?. AsegĂşrate de buscar en fuentes confiables. Utiliza la informaciĂłn obtenida en tu investigaciĂłn para: 1. Proporcionar la definiciĂłn de los siguientes conceptos: (NO copies las definiciones de los materiales que se encuentran en nuestra plataforma educativa) TerminologĂa Conjunto de los nĂşmeros complejos NĂşmero complejo NĂşmero imaginario NĂşmero imaginario puro Conjugado de un nĂşmero complejo
DefiniciĂłn Denotado por:
â„‚ = {đ?’›|đ?’› = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š; đ?’‚, đ?’ƒ ∈ â„?; đ?’Šđ?&#x;? = −đ?&#x;?} Es una expresiĂłn de la forma đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š, donde đ?’‚, đ?’ƒ son nĂşmeros reales e đ?’Š es un sĂmbolo. Definido como todo aquel de la forma đ?’ƒđ?’Š, donde đ?’ƒ es cualquier nĂşmero real Es un mĂşltiplo constante real de la unidad imaginaria. Por ejemplo:đ?’› = đ?&#x;–đ?’Š es un nĂşmero imaginario puro. Sea đ?’› = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š un nĂşmero complejo. El conjugado de đ?’›, que representaremos con đ?’›Ě… se define como: đ?’›Ě… = đ?’‚ − đ?’ƒđ?’Š . Sea đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š un nĂşmero complejo. Definimos el conjugado de đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š, denotado Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… por đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š, como đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š = đ?’‚ − đ?’ƒđ?’Š.
______________________________________________________________________________________________________ Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica de esta parte 1 secciĂłn 1: Couder Alonso Luciano (1996) TeorĂa de Ecuaciones Algebraicas para la ESFM del IPN Ed. Limusa. LeĂłn CĂĄrdenas Javier (2011) Algebra para ingenierĂa Editorial Grupo Patria. Solar GonzĂĄlez Eduardo; Speziale de GuzmĂĄn Leda (1998) Algebra 1 para la Facultad de IngenierĂa de la UNAM Ed. Limusa.
2. Proporcionar la información que se te solicita en el siguiente cuadro. VER EJEMPLO Binómica
Forma Polar o trigonométrica
Euler o exponencial
(𝒂 + 𝒃𝒊) + (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 + 𝒄) + (𝒃 + 𝒅)𝒊
(𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 ) + (𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐 ) = 𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 + 𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐
(𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏𝒊 ) + (𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐𝒊 ) = 𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏𝒊 + 𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐𝒊
(𝒂 + 𝒃𝒊) − (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 − 𝒄) + (𝒃 − 𝒅)𝒊
(𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 ) − (𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐 ) = 𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 − 𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐
(𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏𝒊 ) − (𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐𝒊 ) = 𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏𝒊 − 𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐𝒊
𝒌(𝒂 + 𝒃𝒊) = 𝒌𝒂 + 𝒌𝒃𝒊
𝒌(𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽) = 𝒌𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽
𝒌(𝒓𝒆𝜽𝒊 ) = 𝒌𝒓𝒆𝜽𝒊
(𝒂 + 𝒃𝒊)(𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂𝒄 − 𝒃𝒅) + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒊
(𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 )(𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐 ) = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 )
(𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏𝒊 )(𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐𝒊 ) = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝒆(𝜽𝟏+𝜽𝟐)𝒊
𝒂 + 𝒃𝒊 (𝒂 + 𝒃𝒊) (𝒄 − 𝒅𝒊) (𝒂𝒄 + 𝒃𝒅) + (𝒃𝒄 − 𝒂𝒅)𝒊 = ∙ = 𝒄 + 𝒅𝒊 (𝒄 + 𝒅𝒊) (𝒄 − 𝒅𝒊) 𝒄𝟐 + 𝒅𝟐 𝒏 𝒏 𝒏 (𝒂 + 𝒃𝒊)𝒏 = ( ) 𝒂𝒏 + ( ) 𝒂𝒏−𝟏 𝒃𝒊 + ( ) 𝒂𝒏−𝟐 (𝒃𝒊)𝟐 + ⋯ 𝟎 𝟏 𝟐 𝒏 𝒏 +( ) 𝒂(𝒃𝒊)𝒏−𝟏 + ( ) (𝒃𝒊)𝒏 𝒏−𝟏 𝒏
𝒓𝟏 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟏 𝒓𝟏 = 𝒄𝒊𝒔(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 ) 𝒓𝟐 𝒄𝒊𝒔𝜽𝟐 𝒓𝟐
𝒓𝟏 𝒆𝜽𝟏 𝒊 𝒓𝟏 (𝜽 −𝜽 )𝒊 = 𝒆 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒆𝜽𝟐 𝒊 𝒓𝟐
(𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽)𝒏 = 𝒓𝒏 𝒄𝒊𝒔(𝒏𝜽)
(𝒓𝒆𝜽𝒊 ) = 𝒓𝒏 𝒆𝒏𝜽𝒊
Operación Suma Resta Multiplicación por un número real 𝒌 EJEMPLO Producto Cociente Potencia
𝒏
𝒏
√𝒂 + 𝒃𝒊 = Consideremos en resolver por casos: i. Si 𝒃 < 𝟎 entonces: 𝒏 𝒏
=± Raíz
( ii.
Si 𝒃 > 𝟎 entonces: 𝒏 𝒏
=±
𝒏
𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 √ √𝒂 + 𝒃 + 𝒂 − 𝒊 √ √𝒂 + 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒏
)
𝒏
𝜽 + 𝒌(𝟑𝟔𝟎°) 𝒏 Con 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏) 𝒏
√𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽 = √𝒓𝒄𝒊𝒔
𝒏
𝜽+𝒌(𝟐𝝅)
√𝒓𝒆𝜽𝒊 = 𝒏√𝒓𝒆 𝒏 𝒊 Con 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏)
𝒏
𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 √ √𝒂 + 𝒃 + 𝒂 + 𝒊 √ √𝒂 + 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒏
( ) __________________________________________________________________________ Fuentes de consulta bibliográfica de esta parte 1 sección 2: Solar González Eduardo; Speziale de Guzmán Leda (1998) Algebra 1 para la Facultad de Ingeniería de la UNAM Ed. Limusa. Montes de Oca Puzio Francisco (2006) Resolución Total de Variable Compleja para las Escuelas de Ingeniería del IPN Editorial Skorpio.
Parte 2 Resuelve los siguientes ejercicios. Muestra el procedimiento de soluciĂłn. đ?&#x;?đ?’›
đ?&#x;? 1. Calcula el valor de đ?’› = đ?&#x;?đ?’›Ě…Ě…Ě…âˆ’đ?’› si đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? + đ?’Š y đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? − đ?’Š. đ?&#x;?
đ?&#x;?
Sustituimos los valores respectivos para efectuar operaciones correspondientes de la manera siguiente: đ?’›=
đ?&#x;?đ?’›đ?&#x;? đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) →đ?’›= Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?&#x;?đ?’› Ě…Ě…Ě…đ?&#x;? − đ?’›đ?&#x;? đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) − (đ?&#x;? − đ?’Š)
Aplicando la definiciĂłn del conjugado de un nĂşmero complejo en el denominador queda como: đ?’›=
đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) →đ?’›= Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?&#x;?(đ?&#x;? − đ?’Š) − (đ?&#x;? − đ?’Š) đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) − (đ?&#x;? − đ?’Š)
DespuĂŠs aplicando en el numerador y denominador la multiplicaciĂłn de un nĂşmero complejo por un nĂşmero real y esto entonces queda como: đ?’›=
đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Š) đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š →đ?’›= đ?&#x;?(đ?&#x;? − đ?’Š) − (đ?&#x;? − đ?’Š) đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;? + đ?’Š
Luego realizando operaciones correspondientes en el denominador queda entonces como: đ?’›=
đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š →đ?’›= đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;? + đ?’Š đ?&#x;?−đ?’Š
Por lo que entonces se realiza y se aplica la definiciĂłn de la propiedad de operaciĂłn del cociente entre dos nĂşmeros complejos de la siguiente manera: đ?’›=
đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;? + đ?’Š đ?&#x;’đ?’Š →đ?’›= ∙ →đ?’›= → đ?’› = đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;?−đ?’Š đ?&#x;?−đ?’Š đ?&#x;?+đ?’Š đ?&#x;?
Finalmente, por lo tanto el valor de đ?’› es: đ?’› = đ?&#x;?đ?’Š
đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;?
2. Obtener la cuarta potencia de đ?’› = (
đ?’›đ?&#x;’
) Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? si đ?’›đ?&#x;? = √đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ°, đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š, đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° y đ?’›đ?&#x;’ = −đ?&#x;?.
Para resolver esta expresiĂłn es necesario ir efectuando operaciĂłn por operaciĂłn. 1. Realizar đ?’›đ?&#x;‘ + đ?’›đ?&#x;? , donde estos valores valen para: đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° y đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š Por lo que entonces identificando estos valores por simplicidad se procede a considerar que el valor đ?’›đ?&#x;‘ que estĂĄ en su forma trigonomĂŠtrica por lo que hay que pasarlo a la forma binĂłmica, es decir: đ?&#x;? √đ?&#x;‘ đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° = đ?&#x;?(đ?’„đ?’?đ?’”đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š ∙ đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;? ( + đ?’Š ∙ ) = đ?&#x;? + √đ?&#x;‘đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;? Ahora si aplicando la operaciĂłn suma de dos nĂşmeros complejos en forma binĂłmica para đ?’›đ?&#x;‘ + đ?’›đ?&#x;? queda definida de la siguiente manera como: đ?’›đ?&#x;‘ + đ?’›đ?&#x;? = (đ?&#x;? + √đ?&#x;‘đ?’Š) + (đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š) = đ?&#x;’ + đ?&#x;’√đ?&#x;‘đ?’Š đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;?
2. Efectuar (
đ?’›đ?&#x;’
) donde el valor de đ?’›đ?&#x;’ = −đ?&#x;?, por lo tanto esta operaciĂłn queda realizada como: đ?’›đ?&#x;‘ + đ?’›đ?&#x;? đ?&#x;’ + đ?&#x;’√đ?&#x;‘đ?’Š đ?&#x;’ đ?&#x;’√đ?&#x;‘đ?’Š ( )= = + = −đ?&#x;? − đ?&#x;?√đ?&#x;‘đ?’Š đ?’›đ?&#x;’ −đ?&#x;? −đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;?
3. Luego sustituir los valores conocidos en (
đ?’›đ?&#x;’
) Ě…Ě…Ě…, đ?’›đ?&#x;? donde el valor de đ?’›đ?&#x;? = √đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ°.
Pero aquĂ no se conoce el conjugado de đ?’›đ?&#x;? , por lo que es necesario obtenerlo. Para ello se identifica por simplicidad que esto procede a considerar que el valor đ?’›đ?&#x;? que estĂĄ en su forma trigonomĂŠtrica por lo que hay que pasarlo a la forma binĂłmica, es decir: đ?’›đ?&#x;? = √đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° = √đ?&#x;“(đ?’„đ?’?đ?’”đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š ∙ đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ°) = √đ?&#x;“(đ?&#x;Ž + đ?’Š ∙ đ?&#x;?) = √đ?&#x;“đ?’Š →∴ đ?’›đ?&#x;? = √đ?&#x;“đ?’Š Por consiguiente, hay que aplicarle la definiciĂłn del conjugado de un nĂşmero complejo para đ?’›đ?&#x;? es decir Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? y esto queda como: đ?’›đ?&#x;? = −√đ?&#x;“đ?’Š Ě…Ě…Ě…
Con esto podemos ya efectuar (
đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;’
) Ě…Ě…Ě…. đ?’›đ?&#x;?
Por lo que entonces identificamos para (
đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;’
) = −đ?&#x;? − đ?&#x;?√đ?&#x;‘đ?’Š y para Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = −√đ?&#x;“đ?’Š.
Pero, aquĂ identificando por simplicidad es necesario considerar que estos valores que estĂĄn en la forma binĂłmica pasarlos a la forma trigonomĂŠtrica de la siguiente manera: đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;?
Por lo que consideremos que para el valor en su forma binomica definida para (
đ?’›đ?&#x;’
) = −đ?&#x;? − đ?&#x;?√đ?&#x;‘đ?’Š se define en pasar en su
forma trigonomĂŠtrica de la forma đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝ de la siguiente manera: Consideremos en definir para đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? , donde los valores para đ?’‚, đ?’ƒ son đ?’‚ = −đ?&#x;? y đ?’ƒ = −đ?&#x;?√đ?&#x;‘, con esto se procede a encontrar: đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? = √(−đ?&#x;?)đ?&#x;? + (−đ?&#x;?√đ?&#x;‘)đ?&#x;? = √đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;? = √đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;’ →∴ đ?’“ = đ?&#x;’ đ?’ƒ
Por lo que despuĂŠs se considera en definir para đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? (đ?’‚), con esto decimos que: đ?’ƒ −đ?&#x;?√đ?&#x;‘ đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° đ?’‚ −đ?&#x;? Por lo que entonces (
đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;? đ?’›đ?&#x;’
đ?’›đ?&#x;‘ +đ?’›đ?&#x;?
) en su forma trigonomĂŠtrica es (
đ?’›đ?&#x;’
) = đ?&#x;’đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°
Ahora consideremos que para el valor en su forma binomica definida para Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = −√đ?&#x;“đ?’Š se define en pasar en su forma trigonomĂŠtrica de la forma đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝ de la siguiente manera: Consideremos en definir para đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? , donde los valores para đ?’‚, đ?’ƒ son đ?’‚ = đ?&#x;Ž y đ?’ƒ = −√đ?&#x;“, con esto se procede a encontrar: đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? = √(đ?&#x;Ž)đ?&#x;? + (√đ?&#x;“)đ?&#x;? = √đ?&#x;Ž + đ?&#x;“ = √đ?&#x;“ →∴ đ?’“ = √đ?&#x;“ đ?’ƒ
Por lo que despuĂŠs se considera en definir para đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? (đ?’‚), con esto decimos que:
đ?’ƒ −√đ?&#x;“ đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ° đ?’‚ đ?&#x;Ž Por lo que entonces Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? en su forma trigonomĂŠtrica es Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = √đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ° Con esta informaciĂłn procedemos a encontrar el valor de đ?’› a travĂŠs de sustituir valores correspondientes y a efectuar operaciones respectivas por medio de la propiedad del producto en su forma polar de la siguiente manera: đ?’›đ?&#x;‘ + đ?’›đ?&#x;? đ?’›=( ) Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = (đ?&#x;’đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°)(√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°) = (đ?&#x;’)(√đ?&#x;“)đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;’√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° = đ?&#x;’√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ° đ?’›đ?&#x;’ Pero como se estĂĄ pidiendo en obtener que el resultado este a la cuarta potencia, decimos entonces que: đ?’›đ?&#x;’ = (đ?&#x;’√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ°)
đ?&#x;’
Por lo que entonces se le aplica la fĂłrmula de De Moivre, es decir aplicando la propiedad de potencia en su forma trigonometrica que se define como: (đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝)đ?’? = đ?’“đ?’? đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?’?đ?œ˝) Donde para este caso el valor de đ?’“ = đ?&#x;’√đ?&#x;“ , đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ° y đ?’? = đ?&#x;’ y efectuando esta propiedad para la potenciaciĂłn en su forma trigonomĂŠtrica mencionada resulta como: đ?&#x;’
đ?&#x;’
(đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝)đ?’? = đ?’“đ?’? đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?’?đ?œ˝) → (đ?&#x;’√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ°) = (đ?&#x;’√đ?&#x;“) đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;’(đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ°)) = đ?&#x;”đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° Por lo tanto decimos finalmente que đ?&#x;’
đ?’›đ?&#x;’ = (đ?&#x;’√đ?&#x;“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;”đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica de esta parte 2 secciĂłn 1 y 2: Ortiz GonzĂĄlez Francisco RaĂşl (2008) Apuntes de Ă lgebra para IngenierĂa: Tema II: NĂşmeros Complejos Ed. FES AragĂłnUNAM Delgado R. Arturo (1980) Curso de ActualizaciĂłn en MatemĂĄticas para Ingenieros: MĂłdulo: Ă lgebra Ed. UNAM-Facultad de IngenierĂa.
Cita las fuentes consultadas en formato APA. Para ello, ingresa a la siguiente página web: http://www.cva.itesm.mx/biblioteca/pagina_con_formato_version_oct/apa.htm
Fuentes de consulta bibliográfica: Couder Alonso Luciano (1996) Teoría de Ecuaciones Algebraicas para la ESFM del IPN Ed. Limusa. Delgado R. Arturo (1980) Curso de Actualización en Matemáticas para Ingenieros: Módulo: Álgebra Ed. UNAM-Facultad de Ingeniería. León Cárdenas Javier (2011) Algebra para ingeniería Editorial Grupo Patria. Montes de Oca Puzio Francisco (2006) Resolución Total de Variable Compleja para las Escuelas de Ingeniería del IPN Editorial Skorpio. Ortiz González Francisco Raúl (2008) Apuntes de Álgebra para Ingeniería: Tema II: Números Complejos Ed. FES AragónUNAM Solar González Eduardo; Speziale de Guzmán Leda (1998) Algebra 1 para la Facultad de Ingeniería de la UNAM Ed. Limusa.
Actividad 5 Ecuaciones CuadrĂĄticas
Consideremos que la condiciĂłn de equilibrio se puede expresar como: đ?’’đ?’” = đ?’’đ?’… Por lo que esto implica sustituir los respectivos valores para este caso queda como: đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ + đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Despejando en esta ecuaciĂłn la variable đ?’‘ y el valor numĂŠrico respectivamente queda como: đ?’‘đ?&#x;? − đ?’‘đ?&#x;? + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž Por lo tanto decimos que el valor de đ?’‘ es: đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = →∴ đ?’‘ = đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;’đ?&#x;Ž Por lo que el valor de đ?’‘ = đ?&#x;•đ?&#x;“ representa en este problema como el precio de: $đ?&#x;•đ?&#x;“. Entonces, para encontrar la cantidad de equilibrio de mercado, representado en este problema como đ?’’, consideremos la siguiente relaciĂłn de igualdad entre la funciĂłn de la oferta y la demanda que se define como:
đ?’’ = đ?’’đ?’” = đ?’’đ?’… Esto implica que đ?’’ = đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ + đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Donde aquĂ se sustituye el valor encontrado de đ?’‘ = đ?&#x;•đ?&#x;“ y esto queda como: đ?’’ = (đ?&#x;•đ?&#x;“)đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = (đ?&#x;•đ?&#x;“)đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’‘ + đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴ đ?’’ = đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ Por lo que finalmente el valor de đ?’’ = đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ representa en este problema como la cantidad de equilibrio del mercado de đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ unidades.
Consideremos que la altura del objeto es una funciĂłn de tiempo que se define como: đ?’‚ = đ?’‰(đ?’•) Donde đ?’‚ es considerada en este caso como la altura
Por lo que entonces decimos que đ?’‰(đ?’•) = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? Con esto decimos que la altura del objeto considerada despuĂŠs de los 4 segundos es definida como đ?’• = đ?&#x;’, por lo que esto implica entonces en sustituir el valor de đ?’• definida en la funciĂłn de tiempo como: đ?’‰(đ?&#x;’) = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − (đ?&#x;?đ?&#x;”)đ?&#x;? → đ?’‰(đ?&#x;’) = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?&#x;?đ?&#x;”) → đ?’‰(đ?&#x;’) = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” →∴ đ?’‰(đ?&#x;’) = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ Esto significa que la altura del objeto es de đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ pies.
Como el objeto se lanza desde un puente, habrĂĄ dos momentos en que el objeto se encuentre al nivel del agua cuando: đ?’‚ = đ?’‰(đ?’•) = đ?&#x;Ž Por lo tanto decimos que se debe resolver esta funciĂłn de tiempo igualada a cero como: đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? = đ?&#x;Ž → −đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž → −đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? = −đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → −đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? −đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = → đ?’•đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;“ → đ?’• = Âąâˆšđ?&#x;?đ?&#x;“ → đ?’• = Âąđ?&#x;“ −đ?&#x;?đ?&#x;” −đ?&#x;?đ?&#x;” De donde aquĂ se desglosa la bivalencia Âą y queda definida đ?’• como: đ?’•đ?&#x;? = đ?&#x;“
đ?’•đ?&#x;? = −đ?&#x;“
En este caso decimos que el resultado que se tomarĂĄ en cuenta es el positivo, a razĂłn del momento descrito en este problema. Por lo que finalmente, decimos que al objeto le lleva tocar el agua en đ?’• = đ?&#x;“ segundos.
Consideremos que la altura de la bola es una funciĂłn de tiempo que se define como: đ?’‚ = đ?’‰(đ?’•) Donde đ?’‚ es considerada en este caso como la altura Por lo que entonces decimos que đ?’‰(đ?’•) = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’• Con esto decimos que la altura de la bola considerada 2 segundos despuĂŠs de haber arrojado la bola es definida como đ?’• = đ?&#x;?, por lo que esto implica entonces en sustituir el valor de đ?’• definida en la funciĂłn de tiempo como: đ?’‰(đ?&#x;?) = −đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?&#x;?)đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–(đ?&#x;?) → đ?’‰(đ?&#x;?) = −đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?&#x;’) + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” → đ?’‰(đ?&#x;?) = −đ?&#x;”đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” →∴ đ?’‰(đ?&#x;?) = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?
Esto significa que la altura es de đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;? pies despuĂŠs de haber arrojado la bola en 2 segundos.
Consideremos que la altura de la bola es una funciĂłn de tiempo que se define como: đ?’‚ = đ?’‰(đ?’•) Donde đ?’‚ es considerada en este caso como la altura Por lo que entonces decimos que đ?’‰(đ?’•) = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’• Con esto decimos que la altura mĂĄxima de la bola es definida de la siguiente manera: Para este caso consideremos en definir que en la expresiĂłn algebraica de la funciĂłn para este problema se observa que đ?’‚ = −đ?&#x;?đ?&#x;” (es decir đ?’‚ < đ?&#x;Ž), por lo que se trata de una parĂĄbola que abre hacia abajo y trae un punto cuando: đ?’•=−
đ?’ƒ đ?&#x;?đ?’‚
Siendo đ?’‚ = −đ?&#x;?đ?&#x;”, đ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;– por lo que entonces decimos que: đ?’•=−
đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;– →đ?’•=− →đ?’•= →∴ đ?’• = đ?&#x;’ đ?&#x;?(−đ?&#x;?đ?&#x;”) −đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;?
Por tanto, la bola alcanza su altura mĂĄxima durante los đ?’• = đ?&#x;’ segundos. Considerando que esto es definido como đ?’• = đ?&#x;’, por lo que esto implica entonces en sustituir el valor de đ?’• definida en la funciĂłn de tiempo como:
đ?’‰(đ?&#x;’) = −đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?&#x;’)đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–(đ?&#x;’) → đ?’‰(đ?&#x;’) = −đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?&#x;?đ?&#x;”) + đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;? → đ?’‰(đ?&#x;’) = −đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” + đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;? →∴ đ?’‰(đ?&#x;’) = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” Esto significa que la altura mĂĄxima de la bola alcanzarĂĄ los đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” pies.
Como la bola se lanza hacia arriba al aire, habrĂĄ dos momentos en que la bola se encuentre al nivel del suelo cuando: đ?’‚ = đ?’‰(đ?’•) = đ?&#x;Ž Por lo tanto decimos que se debe resolver esta funciĂłn de tiempo igualada a cero como: đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’• đ?&#x;Ž = →∴ đ?’•đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;? −đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’• + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’• = đ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’•(−đ?’• + đ?&#x;–) = đ?&#x;Ž → −đ?’• −đ?&#x;– −đ?’• + đ?&#x;– = đ?&#x;Ž → −đ?’• = −đ?&#x;– → = →∴ đ?’•đ?&#x;? = đ?&#x;– −đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’• = đ?&#x;Ž →
En este caso decimos que el resultado que se tomarĂĄ en cuenta es el nĂşmero mayor positivo, a razĂłn del momento descrito en este problema. AsĂ finalmente, decimos la bola tocarĂĄ el suelo durante đ?’• = đ?&#x;– segundos.
La ecuaciĂłn de la funciĂłn oferta se define como: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) = đ?’‚đ?’‘đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’‘ + đ?’„ Donde đ?’’đ?’” representa la cantidad y đ?’‘ representa el precio. Entonces para encontrar los valores de đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„, si se considera que pasa por los puntos (đ?’‘đ?&#x;? , đ?’’đ?&#x;?đ?’” ), (đ?’‘đ?&#x;? , đ?’’đ?&#x;?đ?’” ), (đ?’‘đ?&#x;‘ , đ?’’đ?&#x;‘đ?’” ) se tiene que generar un sistema de ecuaciones de la siguiente manera que se define como: đ?’’đ?&#x;?đ?’” = đ?’‡(đ?’‘đ?&#x;? ) đ?’’đ?&#x;?đ?’” = đ?’‚đ?’‘đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’‘đ?&#x;? + đ?’„ đ?’’đ?&#x;?đ?’” = đ?’‡(đ?’‘đ?&#x;? ) → đ?’’đ?&#x;?đ?’” = đ?’‚đ?’‘đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’‘đ?&#x;? + đ?’„ đ?’’đ?&#x;‘đ?’” = đ?’‡(đ?’‘đ?&#x;‘ ) đ?’’đ?&#x;‘đ?’” = đ?’‚đ?’‘đ?&#x;?đ?&#x;‘ + đ?’ƒđ?’‘đ?&#x;‘ + đ?’„ Por lo que en este caso pasa por los puntos siguientes: (đ?&#x;‘đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) = (đ?’‘đ?&#x;? , đ?’’đ?&#x;?đ?’” ), (đ?&#x;’đ?&#x;Ž, đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) = (đ?’‘đ?&#x;? , đ?’’đ?&#x;?đ?’” ) y (đ?&#x;“đ?&#x;Ž, đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) = (đ?’‘đ?&#x;‘ , đ?’’đ?&#x;‘đ?’” ) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’‚(đ?&#x;‘đ?&#x;Ž)đ?&#x;? + đ?’ƒ(đ?&#x;‘đ?&#x;Ž) + đ?’„ đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;?) đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’‚(đ?&#x;’đ?&#x;Ž) + đ?’ƒ(đ?&#x;’đ?&#x;Ž) + đ?’„ → đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ → đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;?) đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’‚(đ?&#x;“đ?&#x;Ž)đ?&#x;? + đ?’ƒ(đ?&#x;“đ?&#x;Ž) + đ?’„ đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;‘) Por lo que resolvemos este sistema de tres por tres por igualaciĂłn de la siguiente manera: Paso 1 Despejamos una variable en cualquiera de las 3 ecuaciones. Elegimos đ?’„ en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?) y esto queda como: đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴ đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ
Paso 2 Sustituimos este valor de đ?’„ en las otras ecuaciones, es decir para la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?) y ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘) y esto queda como: đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ + (đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ) = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?’„ = đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ + (đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ) = đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’ƒ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → → đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’ƒ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴
đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;?) đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;‘)
Paso 3 Resuelve el sistema de dos por dos por el mĂŠtodo de sustituciĂłn mediante el siguiente procedimiento: a).Se despeja cualquiera de las variables, en este caso para ‌ (đ?&#x;?) en đ?’ƒ, es decir: đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ → đ?’ƒ =
đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
→∴ đ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?’‚ b). El despeje obtenido se sustituye en la otra ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘) y se resuelve la ecuaciĂłn de primer grado con una variable: đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?’‚) = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ = đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →
đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
→∴ đ?’‚ = đ?&#x;‘ c). Se sustituye el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable, en este caso se aplicara la sustituciĂłn del valor de đ?’‚ a la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?) para que se encuentre el valor de đ?’ƒ y esto queda como:
đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;‘) + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’ƒ = đ?&#x;Ž →∴ đ?’ƒ = đ?&#x;Ž Paso 4 Con estos valores de đ?’‚, đ?’ƒ obtenemos el valor de đ?’„ por sustituciĂłn entonces sea đ?’„ definido como: đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’ƒ → đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Ž(đ?&#x;‘) − đ?&#x;‘đ?&#x;Ž(đ?&#x;Ž) → đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴ đ?’„ = −đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Entonces la soluciĂłn del sistema es: đ?’‚ = đ?&#x;‘, đ?’ƒ = đ?&#x;Ž, đ?’„ = −đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Por lo que finalmente se sustituye los valores de đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ en la ecuaciĂłn de la funciĂłn oferta como: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) = đ?’‚đ?’‘đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’‘ + đ?’„ → đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) = đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴ đ?’’đ?’” = đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
Considerando que la funciĂłn de la cantidad đ?’’đ?’” debe ser restringido en su dominio por medio de la definiciĂłn siguiente: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) ≼ đ?&#x;Ž → đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ≼ đ?&#x;Ž Por lo que implica resolver esta desigualdad de la siguiente manera: đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;‘đ?’‘ − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ≼ đ?&#x;Ž → đ?&#x;‘đ?’‘ ≼ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → ≼ → đ?’‘đ?&#x;? ≼ đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;?
đ?&#x;?
đ?’‘ ≼ Âąâˆšđ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
Pero aquĂ hay la bivalencia Âą , pero en este caso se tomara el signo positivo de la bivalencia a razĂłn del precio đ?’‘ debe estar en relaciĂłn estrecha con la desigualdad de la funciĂłn de la cantidad đ?’’đ?’” , por lo que esto implica que: đ?’‘ ≼ √đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?’‘ ≼ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
Considerando que la intersecciĂłn de đ?’‘ corresponde al precio đ?’‘ para el cual la cantidad đ?’’đ?’” debe ser igualado a cero, es decir: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) = đ?&#x;Ž Por lo que entonces decimos que đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž Entonces para encontrar la intersecciĂłn de đ?’‘ se procede a resolver esta ecuaciĂłn de la siguiente manera: đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;‘đ?’‘ − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž → đ?&#x;‘đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → = → đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;?
đ?&#x;?
đ?’‘ = Âąâˆšđ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Pero aquĂ hay la bivalencia Âą , pero en este caso se tomara el signo positivo de la bivalencia a razĂłn del precio đ?’‘ debe estar en relaciĂłn estrecha con la igualdad de la funciĂłn de la cantidad đ?’’đ?’” , por lo que esto implica que la intersecciĂłn de đ?’‘ es: đ?’‘ = √đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž
Considerando que la funciĂłn de đ?’‘ de la cantidad đ?’’đ?’” debe ser definido como: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) Donde en este caso vale đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?’‘) = đ?&#x;‘đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Donde đ?’‘ es el precio, donde en este caso đ?’‘ = $đ?&#x;”đ?&#x;Ž → đ?’‘ = đ?&#x;”đ?&#x;Ž y se sustituye este valor de đ?’‘ en la cantidad đ?’’đ?’” como: đ?’’đ?’” = đ?’‡(đ?&#x;”đ?&#x;Ž) = đ?&#x;‘(đ?&#x;”đ?&#x;Ž)đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;‘(đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž → đ?’’đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž →∴ đ?’’đ?’” = đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž Finalmente, por lo tanto la cantidad que se surtirĂĄ con un precio de $đ?&#x;”đ?&#x;Ž serĂĄ de đ?’’đ?’” = đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž unidades.
Fuentes de consulta Budnick, Frank S. (1988) Applied mathematics for business economics and the social sciences Ed. McGraw-Hill. Ortiz Campos Francisco J. (2006). MatemĂĄticas IV Funciones Ed. Publicaciones Cultural.
Actividad 6 Acerca de polinomios y de ecuaciones polinomiales Ejercicio 1 (Teorema del Residuo) Determine, sin efectuar la divisiĂłn, si son exactas o no, las divisiones siguientes: a) đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;” entre đ?’™ − đ?&#x;‘ Para determinar en la divisiĂłn Si es exacta o NO es exacta, se aplicarĂĄ el corolario del Teorema del Residuo que explica: Cuando la divisiĂłn SI es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;Ž. Cuando la divisiĂłn NO es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž. Por lo que se procede a aplicar el corolario del Teorema del Residuo de la siguiente manera: Sea definido el polinomio como una funciĂłn de đ?’™ es decir: đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;” = đ?’‡(đ?’™) → đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;” Por lo que entonces decimos que sea definido el binomio en este caso como đ?’™ − đ?&#x;‘, entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’™ de la siguiente manera: đ?’™ − đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™ = đ?&#x;‘ Este resultado, de la ecuaciĂłn se evalĂşa en đ?’‡(đ?’™), es decir đ?’‡(đ?&#x;‘) por lo que implica que: đ?’‡(đ?&#x;‘) = (đ?&#x;‘)đ?&#x;? − đ?&#x;‘ − đ?&#x;” = đ?&#x;— − đ?&#x;— →∴ đ?’‡(đ?&#x;‘) = đ?&#x;Ž Con este resultado de đ?’‡(đ?&#x;‘) = đ?&#x;Ž, entonces con esto se concluye que la divisiĂłn SI es exacta. b) đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž entre đ?’™ + đ?&#x;? Para determinar en la divisiĂłn Si es exacta o NO es exacta, se aplicarĂĄ el corolario del Teorema del Residuo que explica: Cuando la divisiĂłn SI es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;Ž. Cuando la divisiĂłn NO es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž. Por lo que se procede a aplicar el corolario del Teorema del Residuo de la siguiente manera: Sea definido el polinomio como una funciĂłn de đ?’™ es decir: đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?’‡(đ?’™) → đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž
Por lo que entonces decimos que sea definido el binomio en este caso como đ?’™ + đ?&#x;?, entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’™ de la siguiente manera: đ?’™ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™ = −đ?&#x;? Este resultado, de la ecuaciĂłn se evalĂşa en đ?’‡(đ?’™), es decir đ?’‡(−đ?&#x;?) por lo que implica que: đ?’‡(−đ?&#x;?) = (−đ?&#x;?)đ?&#x;‘ + đ?&#x;’(−đ?&#x;?)đ?&#x;? − (−đ?&#x;?) − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = −đ?&#x;– + đ?&#x;’(đ?&#x;’) + đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = −đ?&#x;– + đ?&#x;?đ?&#x;” − đ?&#x;– đ?’‡(−đ?&#x;?) = đ?&#x;– − đ?&#x;– →∴ đ?’‡(−đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž Con este resultado de đ?’‡(−đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž, entonces con esto se concluye que la divisiĂłn SI es exacta. c) đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;•đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;—đ?’™ + đ?&#x;‘ entre đ?’™ − đ?&#x;? Para determinar en la divisiĂłn Si es exacta o NO es exacta, se aplicarĂĄ el corolario del Teorema del Residuo que explica: Cuando la divisiĂłn SI es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;Ž. Cuando la divisiĂłn NO es exacta la funciĂłn evaluada en este caso se define como đ?’‡(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž. Por lo que se procede a aplicar el corolario del Teorema del Residuo de la siguiente manera: Sea definido el polinomio como una funciĂłn de đ?’™ es decir: đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;•đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;—đ?’™ + đ?&#x;‘ = đ?’‡(đ?’™) → đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;•đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;—đ?’™ + đ?&#x;‘ Por lo que entonces decimos que sea definido el binomio en este caso como đ?’™ − đ?&#x;?, entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’™ de la siguiente manera: đ?’™ − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™ = đ?&#x;? Este resultado, de la ecuaciĂłn se evalĂşa en đ?’‡(đ?’™), es decir đ?’‡(đ?&#x;?) por lo que implica que: đ?’‡(đ?&#x;?) = đ?&#x;?(đ?&#x;?)đ?&#x;’ − đ?&#x;“(đ?&#x;?)đ?&#x;‘ + đ?&#x;•(đ?&#x;?)đ?&#x;? − đ?&#x;—(đ?&#x;?) + đ?&#x;‘ = đ?&#x;?(đ?&#x;?) − đ?&#x;“(đ?&#x;?) + đ?&#x;•(đ?&#x;?) − đ?&#x;— + đ?&#x;‘ đ?’‡(đ?&#x;?) = đ?&#x;? − đ?&#x;“ + đ?&#x;• − đ?&#x;” = −đ?&#x;‘ + đ?&#x;? →∴ đ?’‡(đ?&#x;?) = −đ?&#x;? Con este resultado de đ?’‡(đ?&#x;?) = −đ?&#x;?, quiere decir que la funciĂłn evaluada de đ?’‡(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž por lo que entonces con esto se concluye que la divisiĂłn NO es exacta, es decir la divisiĂłn es Inexacta en este caso.
Ejercicio 2 (Teorema del Factor)
Sin efectuar la divisiĂłn, probar que: a) đ?’‚ + đ?&#x;? es factor de đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‚ + đ?&#x;“ Sea definido el polinomio como una funciĂłn de đ?’‚ es decir: đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‚ + đ?&#x;“ = đ?’‡(đ?’‚) → đ?’‡(đ?’‚) = đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‚ + đ?&#x;“ Por lo que entonces decimos que sea definido el binomio en este caso como đ?’‚ + đ?&#x;?, entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’‚ de la siguiente manera: đ?’‚ + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →∴ đ?’‚ = −đ?&#x;? Este resultado, de la ecuaciĂłn se evalĂşa en đ?’‡(đ?’‚), es decir đ?’‡(−đ?&#x;?) por lo que implica que: đ?’‡(−đ?&#x;?) = (−đ?&#x;?)đ?&#x;‘ − đ?&#x;?(−đ?&#x;?)đ?&#x;? + đ?&#x;?(−đ?&#x;?) + đ?&#x;“ = −đ?&#x;? − đ?&#x;?(đ?&#x;?) − đ?&#x;? + đ?&#x;“ đ?’‡(−đ?&#x;?) = −đ?&#x;? − đ?&#x;? + đ?&#x;‘ = −đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž →∴ đ?’‡(−đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž Con este resultado de đ?’‡(−đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž, entonces con esto se concluye que đ?’‚ + đ?&#x;? SI es factor del polinomio đ?’‡(đ?’‚) = đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‚ + đ?&#x;“. b) đ?’™ − đ?&#x;“ es factor de đ?’™đ?&#x;“ − đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž Sea definido el polinomio como una funciĂłn de đ?’™ es decir: đ?’™đ?&#x;“ − đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?’‡(đ?’™) → đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;“ − đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž Por lo que entonces decimos que sea definido el binomio en este caso como đ?’™ − đ?&#x;“, entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’™ de la siguiente manera: đ?’™ − đ?&#x;“ = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™ = đ?&#x;“ Este resultado, de la ecuaciĂłn se evalĂşa en đ?’‡(đ?’™), es decir đ?’‡(đ?&#x;“) por lo que implica que: đ?’‡(đ?&#x;“) = (đ?&#x;“)đ?&#x;“ − đ?&#x;”(đ?&#x;“)đ?&#x;’ + đ?&#x;”(đ?&#x;“)đ?&#x;‘ − đ?&#x;“(đ?&#x;“)đ?&#x;? + đ?&#x;?(đ?&#x;“) − đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’‡(đ?&#x;“) = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;”(đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;“) + đ?&#x;”(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“) − đ?&#x;“(đ?&#x;?đ?&#x;“) + đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’‡(đ?&#x;“) = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“đ?&#x;Ž + đ?&#x;•đ?&#x;“đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ = −đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?&#x;Ž →∴ đ?’‡(đ?&#x;“) = đ?&#x;Ž Con este resultado de đ?’‡(đ?&#x;“) = đ?&#x;Ž, entonces con esto se concluye que đ?’™ − đ?&#x;“ SI es factor del polinomio đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;“ − đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž.
Ejercicio 3 Hallar, por divisiĂłn sintĂŠtica, el cociente y el residuo de las divisiones siguientes: a) đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? entre đ?’™ − đ?&#x;? En este caso el polinomio es de grado 3 y ya estĂĄ ordenado de manera decreciente. Para efectuar el proceso de la divisiĂłn sintĂŠtica es necesario considerar el binomio que divide al polinomio que en este caso se define como đ?’™ − đ?&#x;?, con esto entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’™ de la siguiente manera: đ?’™ − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™ = đ?&#x;? Luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;? −đ?&#x;?
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
En el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor (es decir el valor de đ?’™ despejado) de la siguiente manera: đ?&#x;?|
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
Luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ. đ?&#x;?|
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
đ?&#x;? Entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente. đ?&#x;?|
đ?&#x;? đ?&#x;?
−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;Ž
đ?&#x;?
−đ?&#x;?
De nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio.
đ?&#x;? đ?&#x;?|
đ?&#x;?
−đ?&#x;? đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;Ž đ?&#x;? |đ?&#x;Ž
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente ordenados en sentido decreciente, asĂ: đ?‘Şđ?’?đ?’„đ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’†: đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? y đ?‘šđ?’†đ?’”đ?’Šđ?’…đ?’–đ?’?: đ?&#x;Ž .
b) đ?’?đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’?đ?&#x;‘ + đ?&#x;’đ?’? − đ?&#x;’đ?&#x;– entre đ?’? + đ?&#x;? En este caso el polinomio es de grado 4. Por lo que primero consideremos en que se debe ordenar en sentido decreciente y el dividiendo se completa con ceros: đ?’?đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’?đ?&#x;‘ + đ?&#x;Žđ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;’đ?’? − đ?&#x;’đ?&#x;– Para efectuar el proceso de la divisiĂłn sintĂŠtica es necesario considerar el binomio que divide al polinomio que en este caso se define como đ?’? + đ?&#x;?, con esto entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’? de la siguiente manera: đ?’? + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž →∴ đ?’? = −đ?&#x;? Luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;?
−đ?&#x;“
đ?&#x;Ž
đ?&#x;’
−đ?&#x;’đ?&#x;–
En el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor (es decir el valor de đ?’? despejado) de la siguiente manera: −đ?&#x;?|
đ?&#x;?
−đ?&#x;“
đ?&#x;Ž đ?&#x;’
−đ?&#x;’đ?&#x;–
Luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ. −đ?&#x;?|
đ?&#x;? đ?&#x;?
−đ?&#x;“
đ?&#x;Ž đ?&#x;’
−đ?&#x;’đ?&#x;–
Entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente. −đ?&#x;?|
−đ?&#x;“ đ?&#x;Ž đ?&#x;’ −đ?&#x;? đ?&#x;? −đ?&#x;•
đ?&#x;?
−đ?&#x;’đ?&#x;–
De nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio. đ?&#x;? −đ?&#x;?|
đ?&#x;?
đ?&#x;Ž đ?&#x;’ − đ?&#x;’đ?&#x;– −đ?&#x;“ −đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ −đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;– − đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;’ −đ?&#x;?đ?&#x;’ |đ?&#x;Ž
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente ordenados en sentido decreciente, asĂ: đ?‘Şđ?’?đ?’„đ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’†: đ?’?đ?&#x;‘ − đ?&#x;•đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’? − đ?&#x;?đ?&#x;’ y đ?‘šđ?’†đ?’”đ?’Šđ?’…đ?’–đ?’?: đ?&#x;Ž .
c) đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?’‚đ?&#x;? − đ?&#x;” entre đ?’‚ + đ?&#x;” En este caso el polinomio es de grado 3. Por lo que primero consideremos en que se debe ordenar en sentido decreciente y el dividiendo se completa con ceros: đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;Žđ?’‚ − đ?&#x;” Para efectuar el proceso de la divisiĂłn sintĂŠtica es necesario considerar el binomio que divide al polinomio que en este caso se define como đ?’‚ + đ?&#x;”, con esto entonces por lo mencionado se iguala con cero y se despeja đ?’‚ de la siguiente manera: đ?’‚ + đ?&#x;” = đ?&#x;Ž →∴ đ?’‚ = −đ?&#x;” Luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;? −đ?&#x;‘
đ?&#x;Ž
−đ?&#x;”
En el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor (es decir el valor de đ?’‚ despejado) de la siguiente manera:
−đ?&#x;”|
đ?&#x;?
−đ?&#x;‘
đ?&#x;Ž
−đ?&#x;”
Luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ. −đ?&#x;”|
đ?&#x;?
−đ?&#x;‘
đ?&#x;Ž
−đ?&#x;”
đ?&#x;? Entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente. −đ?&#x;”|
đ?&#x;? đ?&#x;?
−đ?&#x;‘ đ?&#x;Ž −đ?&#x;” −đ?&#x;—
−đ?&#x;”
De nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio. −đ?&#x;”|
đ?&#x;? −đ?&#x;‘ đ?&#x;Ž −đ?&#x;” −đ?&#x;” đ?&#x;“đ?&#x;’ −đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;? − đ?&#x;— đ?&#x;“đ?&#x;’ |−đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;Ž
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es -330, y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente ordenados en sentido decreciente, asĂ: đ?‘Şđ?’?đ?’„đ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’†: đ?’‚đ?&#x;? − đ?&#x;—đ?’‚ + đ?&#x;“đ?&#x;’ y đ?‘šđ?’†đ?’”đ?’Šđ?’…đ?’–đ?’?: −đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;Ž .
Ejercicio 4 a) Encuentre todas las raĂces de đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;•đ?’™ − đ?&#x;” = đ?&#x;Ž Sea definido đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;•đ?’™ − đ?&#x;” = đ?&#x;Ž. Luego aplicando la regla de los signos de Descartes a đ?’‡(đ?’™) se tiene que para:
đ?’‡(+đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;•đ?’™ − đ?&#x;”
∴→ đ?’‡(đ?’™) tiene đ?&#x;? variaciĂłn, por lo que se tiene 1 posible raĂz real positiva. đ?’‡(−đ?’™) = −đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;“ + đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;•đ?’™ − đ?&#x;”
∴→ đ?’‡(đ?’™) tiene đ?&#x;? variaciones, por lo que se tiene 2 posibles raĂces reales negativas. En consecuencia las alternativas en cuanto al nĂşmero y tipo de raĂces de đ?’‡(đ?’™) son consideradas como: Tipo de RaĂz Reales Positivas Reales Negativas Complejas Total
OpciĂłn 1
OpciĂłn 2 1 2 2 đ?&#x;“
2 1 2 đ?&#x;“
Obteniendo las posibles raĂces racionales tenemos que: đ?‘šđ?’‚Ăđ?’„đ?’†đ?’”:
đ?’‘ đ?‘đ?’‚đ?’„đ?’•đ?’?đ?’“ đ?’…đ?’† đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?’’ đ?‘đ?’‚đ?’„đ?’•đ?’?đ?’“ đ?’…đ?’† đ?’‚đ?’?
Entonces decimos que los factores de đ?’‚đ?’? son: Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;? Luego mencionamos que los factores đ?’‚đ?&#x;Ž son: Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;‘, Âąđ?&#x;” Esto implica que las raĂces racionales posibles de đ?’‡(đ?’™) son: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;‘, Âąđ?&#x;”, Âą , Âą , Âą , Âą , Âą đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;” đ?&#x;‘ đ?&#x;? De acuerdo al anĂĄlisis de las alternativas son raĂces reales, se descartan las raĂces racionales por lo que las raĂces posibles de đ?’‡(đ?’™) son: Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;‘, Âąđ?&#x;”
DespuĂŠs considerando las variaciones que se definen en la regla de los signos de Descartes se inicia a probar por medio de la divisiĂłn sintĂŠtica con Âąđ?&#x;? en đ?’‡(đ?’™) Por lo que luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio đ?’‡(đ?’™) dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;?
đ?&#x;”
−đ?&#x;“
− đ?&#x;?đ?&#x;Ž
−đ?&#x;?đ?&#x;• − đ?&#x;”
Entonces probando con las posibles raĂces negativas que se inicia con el −đ?&#x;? que se pone el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor, luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ, entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente, de nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio de la siguiente manera: −đ?&#x;?|
đ?&#x;? đ?&#x;” − đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;?đ?&#x;• − đ?&#x;” −đ?&#x;? −đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ − đ?&#x;— − đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;” | đ?&#x;Ž
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y decimos con esto que este −đ?&#x;? es raĂz porque su residuo fue 0 por lo que encontramos una raĂz del polinomio de đ?’‡(đ?’™) que es đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;? y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente que esta ordenado en sentido decreciente, esto implica que el polinomio reducido se define como: đ?’ˆ(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;” Por lo que luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio đ?’ˆ(đ?’™) dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;?
đ?&#x;’
− đ?&#x;— − đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;”
Entonces probando aun con las posibles raĂces negativas −đ?&#x;‘ que se pone el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor, luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ, entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente, de nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio de la siguiente manera:
−đ?&#x;‘|
− đ?&#x;— − đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ −đ?&#x;” đ?&#x;” đ?&#x;” đ?&#x;— |đ?&#x;Ž đ?&#x;? −đ?&#x;? − đ?&#x;‘ − đ?&#x;?
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y decimos con esto que este −đ?&#x;‘ es raĂz porque su residuo fue 0 por lo que encontramos una raĂz del polinomio de đ?’‡(đ?’™) que es đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;‘ y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente que esta ordenado en sentido decreciente, esto implica que el polinomio reducido se define como: đ?’‰(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;? Por lo que luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio đ?’‰(đ?’™) dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente: đ?&#x;? −đ?&#x;? −đ?&#x;‘ −đ?&#x;? Entonces probando aun con las posibles raĂces positivas đ?&#x;? que se pone el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor, luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ, entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente, de nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio de la siguiente manera: đ?&#x;? đ?&#x;?|
đ?&#x;?
−đ?&#x;? − đ?&#x;‘ − đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;? |đ?&#x;Ž đ?&#x;?
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y decimos con esto que este đ?&#x;? es raĂz porque su residuo fue 0 por lo que encontramos una raĂz del polinomio de đ?’‡(đ?’™) que es đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;? y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente que esta ordenado en sentido decreciente, esto implica que el polinomio reducido se define como: đ?’Œ(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;? Por lo que se procede a resolver por fĂłrmula general esta ecuaciĂłn reducida para đ?’Œ(đ?’™) en el polinomio de đ?’‡(đ?’™) Sea definida la fĂłrmula general cuadrĂĄtica como:
đ?’™=
−đ?’ƒ Âą √đ?’ƒđ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’‚đ?’„ đ?&#x;?đ?’‚
Donde đ?’‚ = đ?&#x;?, đ?’ƒ = đ?&#x;?, đ?’„ = đ?&#x;?, por lo que sustituye los valores en la fĂłrmula general de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica y queda como: −đ?&#x;? Âą √(−đ?&#x;?)đ?&#x;? − đ?&#x;’(đ?&#x;?)(đ?&#x;?) −đ?&#x;? Âą √đ?&#x;’ − đ?&#x;– −đ?&#x;? Âą √−đ?&#x;’ −đ?&#x;? Âą đ?&#x;?đ?’Š −đ?&#x;? Âą đ?’Š đ?’™= = = = = đ?&#x;?(đ?&#x;?) đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;? Desglosando la bivalencia de la fĂłrmula general cuadrĂĄtica se encuentra sus respectivas soluciones para la ecuaciĂłn reducida que son: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;’ = − + đ?’Š, đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;“ = − − đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;?
Por lo tanto todas las raĂces encontradas para đ?’‡(đ?’™) son: đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;?, đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;‘, đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;?,
đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;’ = − + đ?’Š, đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;“ = − − đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;?
b) Halle todos los ceros de đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;” − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;“ + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™đ?&#x;‘ El polinomio đ?’‡(đ?’™) puede expresarse mediante una factorizaciĂłn que queda en este caso como: đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ (đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž) = đ?&#x;Ž →∴ đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) = đ?&#x;Ž → đ?’‡(đ?’™) = { đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) = đ?&#x;Ž đ?&#x;‘
Donde đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž , con esto consideremos primeramente en resolver en đ?’‡(đ?’™) para đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž → đ?’™ = √đ?&#x;Ž →∴ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž {đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž , por lo que en đ?’‡(đ?’™) tiene tres ceros nulos; es decir tres raĂces nulas que son: đ?’™đ?&#x;? = đ?’™đ?&#x;? = đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž. đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž Luego consideremos en encontrar todos los ceros racionales posibles en đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž manera: Aplicando la regla de los signos de Descartes a đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) se tiene que para: đ?’ˆđ?&#x;? (+đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž
de la siguiente
∴→ đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) tiene đ?&#x;‘ variaciones, por lo que se tienen 3 ceros reales positivos đ?’ˆđ?&#x;? (−đ?’™) = −đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž ∴→ đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) no tiene variaciones, por lo que no tiene ceros reales negativos En consecuencia las alternativas en cuanto al nĂşmero y tipo de raĂces de đ?’‡(đ?’™) son consideradas como: Tipo de RaĂz Reales Positivas Reales Negativas Nulas Total
OpciĂłn 1
OpciĂłn 2 3 0 3 đ?&#x;”
0 3 3 đ?&#x;”
Obteniendo las posibles raĂces racionales de đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) tenemos que: đ?‘šđ?’‚Ăđ?’„đ?’†đ?’”:
đ?’‘ đ?‘đ?’‚đ?’„đ?’•đ?’?đ?’“ đ?’…đ?’† đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?’’ đ?‘đ?’‚đ?’„đ?’•đ?’?đ?’“ đ?’…đ?’† đ?’‚đ?’?
Entonces decimos que los factores de đ?’‚đ?’? son: Âąđ?&#x;? Luego mencionamos que los factores đ?’‚đ?&#x;Ž son: Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;’, Âąđ?&#x;“, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž Esto implica que las raĂces racionales posibles de đ?’‡(đ?’™) son: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;“ Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;’, Âąđ?&#x;“, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž, Âą , Âą , Âą , Âą ,Âą ,Âą ,Âą ,Âą ,Âą đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;“ đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;? De acuerdo al anĂĄlisis de las alternativas son raĂces reales, se descartan las raĂces racionales por lo que las raĂces posibles de đ?’‡(đ?’™) son: Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;?, Âąđ?&#x;’, Âąđ?&#x;“, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž, Âąđ?&#x;?đ?&#x;Ž, DespuĂŠs considerando las variaciones que se definen en la regla de los signos de Descartes se inicia a probar por medio de la divisiĂłn sintĂŠtica con Âąđ?&#x;? en đ?’‡(đ?’™) Por lo que luego escribimos, en el primer renglĂłn, los coeficientes del polinomio đ?’‰(đ?’™) dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio de la manera siguiente:
đ?&#x;? −đ?&#x;—
đ?&#x;?đ?&#x;’ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž
Entonces probando aun con las posibles raĂces positivas đ?&#x;? que se pone el extremo izquierdo, y en el segundo renglĂłn, se escribe el opuesto del tĂŠrmino independiente del monomio divisor, luego, en el primer renglĂłn se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como estĂĄ, entonces, se multiplica ĂŠste por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del segundo coeficiente del dividiendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn, a la derecha del primer coeficiente, de nuevo, se multiplica este resultado por el opuesto del tĂŠrmino independiente del divisor y el resultado se sitĂşa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitĂşa en el Ăşltimo renglĂłn a la derecha del resultado anterior, y asĂ sucesivamente hasta completar todos los tĂŠrminos del polinomio de la siguiente manera: đ?&#x;? đ?&#x;?|
−đ?&#x;— đ?&#x;? −đ?&#x;•
đ?&#x;?
đ?&#x;?đ?&#x;’ − đ?&#x;?đ?&#x;Ž −đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž | đ?&#x;Ž
El Ăşltimo valor del Ăşltimo renglĂłn es el residuo de la divisiĂłn sintĂŠtica, en este caso es 0, y decimos con esto que este đ?&#x;? es una raĂz porque su residuo fue 0 por lo que encontramos un cero del polinomio de đ?’‡(đ?’™) que es đ?’™đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž y los nĂşmeros anteriores del Ăşltimo renglĂłn son los coeficientes del polinomio cociente que esta ordenado en sentido decreciente, esto implica que el polinomio reducido se define como: đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) = đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;•đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž Por lo que se procede a resolver por fĂłrmula general esta ecuaciĂłn reducida para đ?’ˆđ?&#x;? (đ?’™) en el polinomio de đ?’‡(đ?’™) Sea definida la fĂłrmula general cuadrĂĄtica como: đ?’™=
−đ?’ƒ Âą √đ?’ƒđ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’‚đ?’„ đ?&#x;?đ?’‚
Donde đ?’‚ = đ?&#x;?, đ?’ƒ = −đ?&#x;•, đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž, por lo que sustituye los valores en la fĂłrmula general de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica y queda como: −(−đ?&#x;•) Âą √(−đ?&#x;•)đ?&#x;? − đ?&#x;’(đ?&#x;?)(đ?&#x;?đ?&#x;Ž) đ?&#x;• Âą √đ?&#x;’đ?&#x;— − đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;• Âą √đ?&#x;— đ?&#x;• Âą đ?&#x;‘ đ?’™= = = = đ?&#x;?(đ?&#x;?) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? Desglosando la bivalencia de la fĂłrmula general cuadrĂĄtica se encuentra sus respectivas soluciones para la ecuaciĂłn reducida que son: đ?’™đ?&#x;“ =
đ?&#x;•âˆ’đ?&#x;‘ đ?&#x;’ = = đ?&#x;? →∴ đ?’™đ?&#x;“ = đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?’™đ?&#x;” =
đ?&#x;• + đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;Ž = = đ?&#x;“ →∴ đ?’™đ?&#x;” = đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;?
Por lo tanto decimos que todos los ceros hallados para đ?’‡(đ?’™) son: đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž, đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž,
đ?’™đ?&#x;’ = đ?&#x;?,
đ?’™đ?&#x;“ = đ?&#x;?,
đ?’™đ?&#x;” = đ?&#x;“
BibliografĂa de consulta: Baldor Aurelio (2009) Ă lgebra Segunda ReimpresiĂłn Editorial Grupo Patria. LeĂłn CĂĄrdenas Javier (2011) Ă lgebra para IngenierĂa Editorial Grupo Patria.
Actividad 7 ResoluciĂłn Algebraica de Ecuaciones CĂşbicas.
Parte 1 Realiza una breve reseĂąa de la vida y aportaciones a la ciencia del matemĂĄtico italiano
a) Gerolamo Cardano (1501-1576)       
Fue un cĂŠlebre mĂŠdico y matemĂĄtico eminente milanĂŠs del siglo XVI, nacido en PavĂa en 1501. EscribiĂł sobre aritmĂŠtica, algebra, fĂsica, astronomĂa y medicina. Fue el primero en reconocer la verdadera importancia de las raĂces negativas al establecer la teorĂa general de ecuaciones. Su principal obra en latĂn Ars Magna que incluye soluciones negativas e imaginarias de ecuaciones polinomiales. Fue el primero en publicar la soluciĂłn de la ecuaciĂłn cĂşbica EscribiĂł tambiĂŠn un Manual del Jugador en el que aplica probabilidades. Se suicidĂł y muriĂł en 1576 en Roma, Italia.
b) Ludovico Ferrari (1522-1565)       
Fue un matemĂĄtico italiano, naciĂł en Bolonia, Italia, en 1522. Fue alumno de Cardano. A los 18 aĂąos enseùó las matemĂĄticas a otras personas. A los 22 aĂąos ya enseĂąaba la aritmĂŠtica y las geometrĂas euclidianas. CreĂł un mĂŠtodo aproximado para obtener la soluciĂłn real de ecuaciones de cualquier grado. Fue el primero en descubrir la soluciĂłn de la ecuaciĂłn de cuarto grado. Su hermana lo envenenĂł y muriĂł en 1565 en Bolonia.
Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica LeĂłn CĂĄrdenas Javier. (2011) Algebra para ingenierĂa .MĂŠxico .D.F.: Editorial Grupo Patria. Parte 2 Usando la FĂłrmula de Tartaglia y Cardano, encontrar las raĂces de la ecuaciĂłn đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;•đ?’™ + đ?&#x;” = đ?&#x;Ž, explica detalladamente el procedimiento paso a paso. Dividamos la ecuaciĂłn original entre el primer coeficiente, en este caso es 8 y esto queda como: đ?&#x;— đ?&#x;• đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ + = đ?&#x;Ž đ?&#x;– đ?&#x;– đ?&#x;’ Esta ecuaciĂłn original esta de la forma đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž, para transformarla a una ecuaciĂłn alternativa de la forma Ě…đ?&#x;‘ + đ?’‘đ?’™ Ě… + đ?’’ = đ?&#x;Ž, donde se define para: đ?’™ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’‚đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’‘ = − đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? , đ?’’ = đ?’‚ − + đ?’‚đ?&#x;Ž đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;‘ Cuyas soluciones o raĂces de la ecuaciĂłn alternativa se definen como: đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;? = √− + √( ) + ( ) + √− − √( ) + ( ) đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;‘
đ?&#x;‘
đ?&#x;? đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ √ đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ √ √ √ Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;? = − = − + ( ) +( ) + − − ( ) +( ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;‘
đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ √ đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ √ √ √ +đ?’Š = − + ( ) +( ) − − − ( ) +( ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?
đ?&#x;‘
(
đ?&#x;‘
)
đ?&#x;? đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;‘ = − = √− + √ ( ) + ( ) + √− − √ ( ) + ( ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;‘
(
)
đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?‘ˇ đ?&#x;‘ đ?’’ đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ −đ?’Š = √− + √( ) + ( ) − √− − √( ) + ( ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?
đ?&#x;‘
(
đ?&#x;‘
đ?&#x;‘
)
đ?&#x;‘
(
)
Por lo que esto implica en encontrar las soluciones de la ecuaciĂłn original que se definen como: đ?’™đ?&#x;? = Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;? −
đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;‘
đ?’™đ?&#x;? = Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;? −
đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;‘
đ?’™đ?&#x;‘ = Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;‘ −
đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;‘
Entonces con esto se identifica los coeficientes de la ecuaciĂłn original para este caso es definido para: đ?’‚đ?&#x;? =
đ?&#x;— đ?&#x;• đ?&#x;‘ , đ?’‚đ?&#x;? = , đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?&#x;– đ?&#x;– đ?&#x;’
Para poder transformarla a una ecuaciĂłn alternativa de la forma caso:
Ě…đ?&#x;‘ + đ?’‘đ?’™ Ě… + đ?’’ = đ?&#x;Ž, donde se encuentra para esta đ?’™
đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;— đ?’‘ = − đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? = − ( ) + = →∴ đ?’‘ = đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;– đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;• đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’‚đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;‘ (đ?&#x;–) (đ?&#x;–) đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“ đ?’’= đ?’‚đ?&#x;? − + đ?’‚đ?&#x;Ž = ( ) − + = →∴ đ?’’ = đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” Por lo que se tiene la ecuaciĂłn alternativa para este caso es definido como:
̅𝟑 + 𝒙
𝟐𝟗 𝟏𝟑𝟓 ̅+ 𝒙 =𝟎 𝟔𝟒 𝟐𝟓𝟔
Cuyas soluciones o raíces de la ecuación alternativa se encuentran de la siguiente manera: Para: 𝒒 𝑷 𝟑 𝒒 𝟑 √ 𝒒 𝑷 𝟑 𝒒 𝟑 √ √ √ ̅̅̅ 𝒙𝟏 = − + ( ) + ( ) + − − ( ) + ( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟏 = √− 𝟐𝟓𝟔 + √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) + √− 𝟐𝟓𝟔 − √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑
𝟐𝟗 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟑 √ 𝟐𝟗 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟑 √ √ √ ̅̅̅ 𝒙𝟏 = −𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + ( ) +( ) + −𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − ( ) +( ) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟑
𝟑
𝟑
̅̅̅ 𝒙𝟏 = √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √
𝟑 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √ 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖
𝟑
𝟑
̅̅̅ 𝒙𝟏 = √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 𝟑
𝟑
̅̅̅ 𝒙𝟏 = √𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒𝟔 + √−𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟖 → ̅̅̅ 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎 →∴ ̅̅̅ 𝒙𝟏 = −𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔 Para: 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √− 𝒒 + √(𝑷) + (𝒒) + √− 𝒒 − √(𝑷) + (𝒒) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − 𝟐 (
𝟑
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √− 𝒒 + √(𝑷) + (𝒒) − √− 𝒒 − √(𝑷) + (𝒒) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
√𝟑 +𝒊 𝟐 )
(
𝟑
)
̅̅̅ 𝒙𝟐 = −
𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 √− 𝟐𝟓𝟔 + √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) + √− 𝟐𝟓𝟔 − √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 𝟐 (
)
+𝒊
𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 √− 𝟐𝟓𝟔 + √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) − √− 𝟐𝟓𝟔 − √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
√𝟑 𝟐 (
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 +𝒊 𝟐
𝟑
(
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 +𝒊 𝟐 (
𝟑
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 +𝒊 𝟐
𝟑
( 𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − 𝟐
√−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √
)
𝟑 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 √𝟑 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √ +𝒊 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟐
(
)
𝟑
√−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √
𝟑 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √ 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖
(
)
𝟏 𝟑 √𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − ( √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑) + 𝒊 ( √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 √𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − ( √𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒𝟔 + √−𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟖) + 𝒊 ( √𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒𝟔 − √−𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟖) 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) + 𝒊 (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − (−𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎)) 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) + 𝒊 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 (𝟎. 𝟗𝟗𝟕𝟒𝟒) →∴ ̅̅̅ ̅̅̅ 𝒙𝟐 = − (−𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔) + 𝒊 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟒𝟖 + 𝟎. 𝟖𝟔𝟑𝟖𝟏𝒊 𝟐 𝟐 Para: 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √− 𝒒 + √(𝑷) + (𝒒) + √− 𝒒 − √(𝑷) + (𝒒) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − 𝟐 (
𝟑
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √− 𝒒 + √(𝑷) + (𝒒) − √− 𝒒 − √(𝑷) + (𝒒) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
√𝟑 −𝒊 𝟐 )
(
𝟑
)
̅̅̅ 𝒙𝟑 = −
𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 √− 𝟐𝟓𝟔 + √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) + √− 𝟐𝟓𝟔 − √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 𝟐 (
)
−𝒊
𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟑𝟓 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 𝟐𝟗 𝟑 √− 𝟐𝟓𝟔 + √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) − √− 𝟐𝟓𝟔 − √( 𝟔𝟒 ) + ( 𝟐𝟓𝟔 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
√𝟑 𝟐 (
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 −𝒊 𝟐
𝟑
(
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 −𝒊 𝟐 (
𝟑
)
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − 𝟐
𝟑
(
) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √( 𝟐𝟗 ) + (𝟏𝟑𝟓) 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟗𝟐 𝟓𝟏𝟐
𝟑
√𝟑 −𝒊 𝟐
𝟑
( 𝟑
𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − 𝟐
√−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √
(
)
𝟑 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 √𝟑 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √ −𝒊 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟐
)
𝟑
√−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + √
𝟑 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 𝟑𝟐𝟐𝟕𝟗 − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − √ 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟒𝟐𝟑𝟔𝟖
(
𝟏 𝟑 √𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − ( √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 + √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑) − 𝒊 ( √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑 − √−𝟎. 𝟐𝟔𝟑𝟔𝟕 − 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟏𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 √𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − ( √𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒𝟔 + √−𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟖) − 𝒊 ( √𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒𝟔 − √−𝟎. 𝟓𝟑𝟑𝟖) 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) − 𝒊 (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − (−𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎)) 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − (𝟎. 𝟏𝟖𝟔𝟐𝟒 − 𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟐𝟎) − 𝒊 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 (𝟎. 𝟗𝟗𝟕𝟒𝟒) →∴ ̅̅̅ ̅̅̅ 𝒙𝟑 = − (−𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔) − 𝒊 𝒙𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟒𝟖 − 𝟎. 𝟖𝟔𝟑𝟖𝟏𝒊 𝟐 𝟐 Con esto finalmente se procede a encontrar las tres raíces de la ecuación original, para este caso es: 𝟗 𝒂𝟐 𝟗 𝒙𝟏 = ̅̅̅ 𝒙𝟏 − → 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔 − 𝟖 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔 − = 𝟎. 𝟔𝟐𝟒𝟗𝟔 − 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝟑 𝟑 𝟐𝟒 →∴ 𝒙𝟏 = −𝟏
)
đ?&#x;— đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;— đ?’™đ?&#x;? = Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;? − = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– + đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;– = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– + đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– + đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;’ →∴ đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;“ + đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;— đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;— đ?’™đ?&#x;‘ = Ě…Ě…Ě… đ?’™đ?&#x;‘ − = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– − đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;– = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– − đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– − đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š − đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;’ →∴ đ?’™đ?&#x;‘ = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’Š ConclusiĂłn La ecuaciĂłn original propuesta tiene una raĂz negativa y dos raĂces imaginarias conjugadas.
Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica LeĂłn CĂĄrdenas Javier. (2011) Algebra para ingenierĂa .MĂŠxico .D.F.: Editorial Grupo Patria.
INTEGRANTES DEL EQUIPO LyR PEDRO DANIEL LARA MALDONADO‌‌‌‌‌AL12509381
(Ejercicio: 3, 4, 7a), 7b))
CYNTHIA PATRICIA RODRIGUEZ LINARES‌..ES1611307783
(Ejercicio: 1, 2, 5, 6)
Unidad 2: Actividad Complementaria. Ejercicio 1: ÂżPara quĂŠ valores de đ?’™ es imaginario puro el cociente
đ?’™+đ?&#x;?+đ?’™đ?’Š đ?’™+đ?’Š
?
Realizado el cociente de la siguiente manera: đ?’™ + đ?&#x;? + đ?’™đ?’Š đ?’™ + đ?&#x;? + đ?’™đ?’Š đ?’™ − đ?’Š đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ + đ?’™ + đ?’™đ?&#x;? đ?’Š − đ?’™đ?’Š − đ?&#x;?đ?’Š đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ + đ?’™đ?&#x;? đ?’Š − đ?’™đ?’Š − đ?&#x;?đ?’Š đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;? = ( )= = = đ?&#x;? + đ?’Š đ?’™+đ?’Š đ?’™+đ?’Š đ?’™âˆ’đ?’Š đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™ +đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?
Para que sea imaginario puro debemos considerar que solo la parte Real del nĂşmero complejo resultante del cociente debe ser igualada a cero, es decir: đ?‘šđ?’†(đ?’›) = đ?&#x;Ž En este caso ha de ser definido como: đ?’›=
đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ + đ?’Š → đ?‘šđ?’† ( + đ?’Š) = đ?&#x;Ž →∴ =đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?
Por lo que se procede a resolver esta ecuaciĂłn de la siguiente manera: đ?’™=đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?’™ đ?&#x;Ž đ?&#x;? = đ?&#x;Ž → = → đ?’™ + đ?&#x;‘đ?’™ = đ?&#x;Ž → đ?’™(đ?’™ + đ?&#x;‘) = đ?&#x;Ž →∴ đ?’™+đ?&#x;‘=đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™ = −đ?&#x;‘ Con esto Finalmente decimos que los valores de đ?’™ son: đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;Ž , đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;‘ Ejercicio 2: La suma de dos nĂşmeros complejos conjugados es đ?&#x;– y la suma de sus mĂłdulos es 10. ÂżCuĂĄles son esos nĂşmeros? Llamaremos đ?’› a un nĂşmero complejo y đ?’›Ě… al nĂşmero complejo conjugado de đ?’›. Por lo que entonces sea definido el mĂłdulo del nĂşmero complejo đ?’› como |đ?’›| y el mĂłdulo de đ?’›Ě… como |đ?’›Ě…|. Por lo que deben cumplir que: đ?’› + đ?’›Ě… = đ?&#x;– ‌ (đ?’Š) |đ?’›| + |đ?’›Ě…| = đ?&#x;?đ?&#x;Ž ‌ (đ?’Šđ?’Š) Entonces sea definido đ?’› como un nĂşmero complejo es decir si llamamos đ?’› = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š →∴ đ?’›Ě… = đ?’‚ − đ?’ƒđ?’Š. Por lo que sustituyendo respectivamente los valores definidos para đ?’› y su đ?’›Ě… en la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Š) queda como: đ?’› + đ?’›Ě… = đ?&#x;– ‌ (đ?’Š) → đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š + đ?’‚ − đ?’ƒđ?’Š = đ?&#x;– → đ?&#x;?đ?’‚ = đ?&#x;– →
đ?&#x;?đ?’‚ đ?&#x;– = →đ?’‚=đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;?
Luego sea definido |đ?’›| como el mĂłdulo de un nĂşmero complejo es decir si llamamos |đ?’›| = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? →∴
|đ?’›Ě…| = √đ?’‚đ?&#x;? + (−đ?’ƒ)đ?&#x;? |đ?’›Ě…| = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;?
Por lo que sustituyendo respectivamente los valores definidos para |đ?’›| y su |đ?’›Ě…| en la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Šđ?’Š)queda como: |đ?’›| + |đ?’›Ě…| = đ?&#x;?đ?&#x;Ž ‌ (đ?’Šđ?’Š) → √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? + √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž → Si đ?’‚ = đ?&#x;’ entonces √(đ?&#x;’)đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? + √(đ?&#x;’)đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž → √đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? + √đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž → đ?&#x;?√đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž → →
đ?&#x;?√đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž = → √đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;“ → đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? = (đ?&#x;“)đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;“ → đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?&#x;” → đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;— → đ?’ƒ = Âąâˆšđ?&#x;— → đ?’ƒ = Âąđ?&#x;‘ →
đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;‘
Por lo que salen dos soluciones para đ?’› y finalmente consideramos la relaciĂłn definida en este problema como đ?’› = đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š y đ?’›Ě… = đ?’‚ − đ?’ƒđ?’Š, por lo que implica encontrar dos soluciones para đ?’›Ě… que son respectivamente definidas como: đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Š → Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ − đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Š →∴ đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;’ + đ?&#x;‘đ?’Š → Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?’Š đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Š → Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?’‚ − đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Š →∴ đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?’Š → Ě…Ě…Ě… đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;’ + đ?&#x;‘đ?’Š Ejercicio 3: El producto de dos nĂşmeros complejos es −đ?&#x;– y uno de ellos es el cuadrado del otro. CalcĂşlalos. Definamos que: “uno de ellos es el cuadrado del otroâ€? como la consideraciĂłn que se refiere que el primero es igual al cuadrado del segundo. Por lo que Llamaremos đ?’› y đ?’˜ a los dos nĂşmeros complejos que buscamos, por lo que deben cumplir que: đ?’› ∙ đ?’˜ = −đ?&#x;– ‌ (đ?’Š) đ?’› = đ?’˜đ?&#x;? ‌ (đ?’Šđ?’Š) Despejamos đ?’› en la ecuaciĂłn‌ (đ?’Š) por lo que decimos que:
đ?’› ∙ đ?’˜ = −đ?&#x;– ‌ (đ?’Š) →∴ đ?’› =
−đ?&#x;– ‌ (đ?’Š) đ?’˜
Y sustituimos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Šđ?’Š) el valor despejado de đ?’› de la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Š) por lo que esto queda como: đ?’› = đ?’˜đ?&#x;? ‌ (đ?’Šđ?’Š) → đ?’› =
−đ?&#x;– −đ?&#x;– đ?&#x;‘ ‌ (đ?’Š) → = đ?’˜đ?&#x;? → −đ?&#x;– = đ?’˜đ?&#x;? (đ?’˜) → −đ?&#x;– = đ?’˜đ?&#x;‘ →∴ đ?’˜đ?&#x;‘ = −đ?&#x;– → đ?’˜ = √−đ?&#x;– đ?’˜ đ?’˜
Para encontrar las raĂces cĂşbicas de −đ?&#x;–, pasamos a −đ?&#x;– en su forma polar de la siguiente manera: đ?’“=
√đ?’‚đ?&#x;?
+
đ?’ƒđ?&#x;?
đ?’‚ = −đ?&#x;– → → đ?’ƒ=đ?&#x;Ž
đ?’“ = √(−đ?&#x;–)đ?&#x;? + (đ?&#x;Ž)đ?&#x;? đ?’“ = √đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?’“=đ?&#x;–
đ?’ƒ đ?&#x;Ž đ??‘ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? (đ?&#x;Ž) = đ?&#x;ŽÂ° → đ??‘ = đ?&#x;ŽÂ° đ?’‚ −đ?&#x;– Sin embargo el nĂşmero −đ?&#x;– tiene abscisa negativa lo cual significa que su representaciĂłn en el diagrama de Argand se localiza en el segundo cuadrante, entonces para calcular el argumento principal đ?œ˝ se define en este caso como: đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ??‘ → đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;ŽÂ° →∴ đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° Con esto decimos que −đ?&#x;– = đ?&#x;–đ?’„đ?’Šđ?’”đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° Ahora aplicando el teorema siguiente que se define como: đ?’?
đ?’˜đ?‘ľ = √đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’” DĂłnde: đ?’? = đ?‘Źđ?’? đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’…đ?’? đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’“đ?’‚Ăđ?’›, đ?‘ľ = đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, ‌ , đ?’?.
đ?œ˝ + đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°đ?’Œ đ?’?
đ?’Œ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , (đ?’? − đ?&#x;?).
Que en este caso quedarĂa considerado como: đ?&#x;‘
đ?’˜đ?‘ľ = √đ?&#x;– đ?’„đ?’Šđ?’” DĂłnde: đ?’? = đ?&#x;‘, đ?‘ľ = đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘.
đ?’Œ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?.
De donde los valores buscados son:
đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°đ?’Œ đ?&#x;‘
Para 𝑵 = 𝟏, 𝒌 = 𝟎: 𝟑
𝒘𝟏 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟖𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟎) 𝟑 𝟏𝟖𝟎° 𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎° = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎° 𝟑 𝟑 →∴ 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎°
Para 𝑵 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏: 𝟑
𝒘𝟐 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟖𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟏) 𝟑 𝟏𝟖𝟎° + 𝟑𝟔𝟎° 𝟑 𝟓𝟒𝟎° 𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟖𝟎° = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟖𝟎° 𝟑 𝟑 𝟑 →∴ 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟖𝟎°
Para 𝑵 = 𝟑, 𝒌 = 𝟐: 𝟑
𝒘𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟖𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟐) 𝟑 𝟏𝟖𝟎° + 𝟕𝟐𝟎° 𝟑 𝟗𝟎𝟎° 𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟎° = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟎° 𝟑 𝟑 𝟑 →∴ 𝒘𝟑 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟎°
Por lo que salen tres soluciones para 𝒘 y finalmente consideremos la relación de igualdad definida en este problema como 𝒛 = 𝒘𝟐 esto implica en encontrar otras tres para 𝒛 que son respectivamente definidas como: 𝒛𝟏 = 𝒘𝟐𝟏 , 𝒛𝟐 = 𝒘𝟐𝟐 ,
𝒛𝟑 = 𝒘𝟐𝟑
Pero para elevar la potencia en forma trigonométrica consideremos el teorema siguiente (𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽)𝒏 = 𝒓𝒏 𝒄𝒊𝒔(𝒏𝜽) por lo que para: 𝒛𝟏 = 𝒘𝟐𝟏 → 𝒛𝟏 = (𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎°)𝟐 = 𝟐𝟐 𝒄𝒊𝒔(𝟐(𝟔𝟎°)) →∴ 𝒛𝟏 = 𝟒 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟐𝟎° 𝒛𝟐 = 𝒘𝟐𝟐 → 𝒛𝟐 = (𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟖𝟎°)𝟐 = 𝟐𝟐 𝒄𝒊𝒔(𝟐(𝟏𝟖𝟎°)) →∴ 𝒛𝟐 = 𝟒 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟔𝟎° = 𝟒 𝒛𝟑 = 𝒘𝟐𝟑 → 𝒛𝟑 = (𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟎°)𝟐 = 𝟐𝟐 𝒄𝒊𝒔(𝟐(𝟑𝟎𝟎°)) →∴ 𝒛𝟑 = 𝟒 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎𝟎° Pero en 𝒛𝟑 el valor angular del círculo unitario es hasta 𝟑𝟔𝟎°, por lo que a la cantidad angular presentada le restamos los 𝟑𝟔𝟎°, es decir: 𝜽 = 𝟔𝟎𝟎° − 𝟑𝟔𝟎° = 𝟐𝟒𝟎° Por lo que ahora 𝒛𝟑 es:
đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° Ejercicio 4: đ?&#x;?
El producto de dos nĂşmeros complejos es đ?&#x;?đ?’Š y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es đ?&#x;?. HĂĄllalos. Llamaremos đ?’› y đ?’˜ a los dos nĂşmeros complejos que buscamos, por lo que deben cumplir que: đ?’› ∙ đ?’˜ = đ?&#x;?đ?’Š ‌ (đ?’Š) đ?’›đ?&#x;‘ đ?&#x;? = ‌ (đ?’Šđ?’Š) đ?’˜ đ?&#x;? Despejamos đ?’› en la ecuaciĂłn‌ (đ?’Šđ?’Š) por lo que decimos que: đ?’›đ?&#x;‘ đ?&#x;? = ‌ (đ?’Šđ?’Š) →∴ đ?’˜ = đ?&#x;?đ?’›đ?&#x;‘ ‌ (đ?’Šđ?’Š) đ?’˜ đ?&#x;? Y sustituimos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Š) el valor despejado de đ?’› de la ecuaciĂłn ‌ (đ?’Šđ?’Š) por lo que esto queda como: đ?&#x;‘
đ?’› ∙ đ?’˜ = đ?&#x;?đ?’Š ‌ (đ?’Š) → đ?’˜ = đ?&#x;?đ?’› ‌ (đ?’Šđ?’Š) → đ?’› ∙
(đ?&#x;?đ?’›đ?&#x;‘ )
đ?&#x;?đ?’›đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?’Š = đ?&#x;?đ?’Š → đ?&#x;?đ?’› = đ?&#x;?đ?’Š → = đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’
đ?&#x;’
→∴ đ?’›đ?&#x;’ = đ?’Š → đ?’› = √đ?’Š Para encontrar las raĂces cĂşbicas de đ?’Š, pasamos a đ?’Š en su forma polar de la siguiente manera: đ?’‚=đ?&#x;Ž đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? → → đ?’ƒ=đ?&#x;?
đ?’“ = √(đ?&#x;Ž)đ?&#x;? + (đ?&#x;?)đ?&#x;? đ?’“ = √đ?&#x;? đ?’“=đ?&#x;?
đ?’ƒ đ?&#x;? đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? (∞) = đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° → đ?œ˝ = đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° đ?’‚ đ?&#x;Ž Con esto decimos que đ?’Š = đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° Ahora aplicando el teorema siguiente que se define como: đ?’?
đ?’›đ?‘ľ = √đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”
đ?œ˝ + đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°đ?’Œ đ?’?
Dónde: 𝒏 = 𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏.
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏).
Que en este caso quedaría considerado como: 𝟒
𝒛𝑵 = √𝟏 𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝟒, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒.
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝟒
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑.
De donde los valores buscados son: Para 𝑵 = 𝟏, 𝒌 = 𝟎: 𝟒
𝒛𝟏 = √𝟏 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟎) 𝟒 𝟗𝟎° = √𝟏 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒
→∴ 𝒛𝟏 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟏 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐° 𝟑𝟎´ Para 𝑵 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏: 𝟒
𝒛𝟐 = √𝟏 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟏) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎° 𝟒𝟓𝟎° = √𝟏 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 →∴ 𝒛𝟐 = 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟐 = 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐° 𝟑𝟎´
Para 𝑵 = 𝟑, 𝒌 = 𝟐: 𝟒
𝒛𝟑 = √𝟏 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟐) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟕𝟐𝟎° 𝟖𝟏𝟎° = √𝟏 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 →∴ 𝒛𝟑 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟑 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐° 𝟑𝟎´
Para 𝑵 = 𝟒, 𝒌 = 𝟑: 𝟒
𝒛𝟒 = √𝟏 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟑) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟏𝟎𝟖𝟎° 𝟏𝟏𝟕𝟎° = √𝟏 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 →∴ 𝒛𝟒 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟒 = 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐° 𝟑𝟎´
Por lo que salen cuatro soluciones para 𝒛 y finalmente consideremos la relación de igualdad definida en este problema como 𝒘 = 𝟐𝒛𝟑 esto implica en encontrar otras cuatro para 𝒘 que son respectivamente definidas como: 𝒘𝟏 = 𝟐𝒛𝟑𝟏 ,
𝒘𝟐 = 𝟐𝒛𝟑𝟐 ,
𝒘𝟑 = 𝟐𝒛𝟑𝟑 ,
𝒘𝟒 = 𝟐𝒛𝟑𝟒
Pero los valores de 𝒛 están expresado en forma polar, para encontrar a la par los cuatro valores de 𝒘, tenemos que pasar el 𝟐 a su forma trigonométrica para poder realizar estas relaciones de operaciones a encontrar, por lo que sea: 𝒂=𝟐 𝒓 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 → → 𝒃=𝟎
𝒓 = √(𝟐)𝟐 + (𝟎)𝟐 𝒓 = √𝟒 𝒓=𝟐
𝒃 𝟎 𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟎) = 𝟎° → 𝜽 = 𝟎° 𝒂 𝟐 Con esto decimos que 𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° Ahora decimos que para: 𝒘𝟏 = 𝟐𝒛𝟑𝟏 → 𝒘𝟏 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓°)𝟑 𝒘𝟐 = 𝟐𝒛𝟑𝟐 → 𝒘𝟐 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓°)𝟑 𝒘𝟑 = 𝟐𝒛𝟑𝟑 → 𝒘𝟑 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓°)𝟑 𝒘𝟒 = 𝟐𝒛𝟑𝟒 → 𝒘𝟒 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓°)𝟑 Pero para elevar la potencia en forma trigonométrica consideramos el siguiente teorema (𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽)𝒏 = 𝒓𝒏 𝒄𝒊𝒔(𝒏𝜽) Por lo que para: 𝒘𝟏 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓°)𝟑 → 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝟏𝟑 𝒄𝒊𝒔 𝟑(𝟐𝟐. 𝟓)] → 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟕. 𝟓] → 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 (𝟎° + 𝟔𝟕. 𝟓°) →∴ 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟕. 𝟓° ↔ 𝒘𝟏 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟕° 𝟑𝟎´ 𝒘𝟐 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓°)𝟑 → 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝟏𝟑 𝒄𝒊𝒔 𝟑(𝟏𝟏𝟐. 𝟓)] → 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟑𝟕. 𝟓] → 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 (𝟎° + 𝟑𝟑𝟕. 𝟓°) →∴ 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟑𝟕. 𝟓° ↔ 𝒘𝟐 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟑𝟕° 𝟑𝟎´ 𝒘𝟑 = 𝟐𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ (𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓°)𝟑 → 𝒘𝟑 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝟏𝟑 𝒄𝒊𝒔 𝟑(𝟐𝟎𝟐. 𝟓)] → 𝒘𝟑 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟎° ∙ [𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎𝟕. 𝟓] → 𝒘𝟑 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 (𝟎° + 𝟔𝟎𝟕. 𝟓°) →∴ 𝒘𝟑 = 𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟔𝟎𝟕. 𝟓°
Pero en đ?’˜đ?&#x;‘ el valor angular del cĂrculo unitario es hasta đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°, por lo que a la cantidad angular presentada le restamos los đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°, es decir: đ?œ˝ = đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•. đ?&#x;“° − đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;•. đ?&#x;“° Por lo que ahora đ?’˜đ?&#x;‘ es: đ?’˜đ?&#x;‘ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;•. đ?&#x;“° ↔ đ?’˜đ?&#x;‘ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;•Â° đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ´ Finalmente para: đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;ŽÂ° ∙ (đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;“°)đ?&#x;‘ → đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;ŽÂ° ∙ [đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘(đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;“)] → đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;ŽÂ° ∙ [đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;•. đ?&#x;“] → đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” (đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;•. đ?&#x;“°) →∴ đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;•. đ?&#x;“° Pero en đ?’˜đ?&#x;’ el valor angular del cĂrculo unitario es hasta đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°, por lo que a la cantidad angular presentada le restamos los đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°, es decir: đ?œ˝ = đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;•. đ?&#x;“° − đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° = đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;“° Pero este valor pasa de los đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° por lo que otra vez le aplicamos en esta cantidad la resta de los đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°, a razĂłn del cĂrculo unitario es hasta đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° por lo que: đ?œ˝ = đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;“° − đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•. đ?&#x;“° Por lo que ahora đ?’˜đ?&#x;’ es: đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•. đ?&#x;“° ↔ đ?’˜đ?&#x;’ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•Â° đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ´ Ejercicio 5: ÂżPueden ser đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? + đ?’Š, đ?’›đ?&#x;? = −đ?&#x;? + đ?’Š, đ?’›đ?&#x;‘ = −đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š y đ?’›đ?&#x;’ = đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š , las raĂces de un nĂşmero complejo? Justifica tu respuesta. Consideremos que si đ?’›đ?&#x;? , đ?’›đ?&#x;? , đ?’›đ?&#x;‘ , đ?’›đ?&#x;’ fueran raĂces entonces decimos que tenemos raĂces cuartas de un nĂşmero complejo. Para comprobar este hecho procedemos a graficar estas cuatro raĂces en el plano de la siguiente manera: Por lo que consideramos que estas cuatro raĂces estĂĄn en forma binĂłmica para poder graficarlos hay que pasarlas a la forma cartesiana es decir si: đ?’™ + đ?’šđ?’Š = (đ?’™, đ?’š)
En este caso queda como: đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? + đ?’Š → đ?’›đ?&#x;? = (đ?&#x;?, đ?&#x;?) đ?’›đ?&#x;? = −đ?&#x;? + đ?’Š → đ?’›đ?&#x;? = (−đ?&#x;?, đ?&#x;?) đ?’›đ?&#x;‘ = −đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š → đ?’›đ?&#x;‘ = (−đ?&#x;?, −đ?&#x;?) đ?’›đ?&#x;’ = đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š → đ?’›đ?&#x;’ = (đ?&#x;?, −đ?&#x;?) Ahora localizando estos puntos en el plano queda como:
Luego se procede a graficar su respectiva lĂnea de puntos de las raĂces localizadas al origen que la forman, por lo que esto queda como:
DespuĂŠs realizando el cĂrculo unitario basĂĄndose en los vĂŠrtices de los puntos localizados queda como:
Por lo que aquĂ vemos en la representaciĂłn grĂĄfica que ni siquiera forman el mismo ĂĄngulo y en realidad deberĂan formar entre cada dos de ellas un ĂĄngulo de đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° para que fueran raĂces cuartas en este caso. Con esto llegamos a la conclusiĂłn que đ?’›đ?&#x;? , đ?’›đ?&#x;? , đ?’›đ?&#x;‘ , đ?’›đ?&#x;’ , NO pueden ser raĂces de un nĂşmero complejo. Ejercicio 6: Una de las raĂces cĂşbicas de un nĂşmero complejo đ?’› es đ?&#x;? + đ?’Š . Encuentra đ?’› y las otras raĂces cĂşbicas. đ?&#x;‘
Consideremos que si √đ?’› = đ?’›đ?&#x;? , en este caso se define como: √đ?’› = đ?’›đ?&#x;? → đ?’› = đ?’›đ?&#x;‘đ?&#x;? →∴ đ?’› = (đ?&#x;? + đ?’Š)đ?&#x;‘
đ?&#x;‘
Por lo que entonces procedemos encontrar o hallar el valor de đ?’› de la siguiente manera: đ?’› = (đ?&#x;? + đ?’Š)đ?&#x;‘ Por lo que đ?&#x;? + đ?’Š que estĂĄ en forma binĂłmica se procederĂĄ a pasar este en forma polar de la siguiente manera: Si đ?’‚ Âą đ?’ƒđ?’Š = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝, por lo que sea: đ?’‚=đ?&#x;? đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? → → đ?’ƒ=đ?&#x;?
đ?’“ = √(đ?&#x;?)đ?&#x;? + (đ?&#x;?)đ?&#x;? đ?’“ = √đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?’“ = √đ?&#x;?
đ?’ƒ đ?&#x;? đ?œ˝ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? (đ?&#x;?) = đ?&#x;’đ?&#x;“° → đ?œ˝ = đ?&#x;’đ?&#x;“° đ?’‚ đ?&#x;? Con esto decimos que đ?&#x;? + đ?’Š = √đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;’đ?&#x;“°. Entonces decimos que: đ?’› = (đ?&#x;? + đ?’Š)đ?&#x;‘ → đ?’› = (√đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;’đ?&#x;“°)đ?&#x;‘ Pero para elevar la potencia en forma trigonomĂŠtrica consideramos el siguiente teorema (đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝)đ?’? = đ?’“đ?’? đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?’?đ?œ˝) Por lo que queda como:
𝟑
𝟑
𝒛 = (√𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟒𝟓°) → 𝒛 = (√𝟐) 𝒄𝒊𝒔 𝟑(𝟒𝟓°) → 𝒛 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟑𝟓° → 𝒛 = 𝟐√𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟑𝟓° → 𝒛 = 𝟐√𝟐 (𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟑𝟓°) → 𝒛 𝟏 𝟏 = 𝟐√𝟐 (− +𝒊 )→ √𝟐 √𝟐 𝒛=−
𝟐√𝟐 √𝟐
+
𝟐√𝟐 √𝟐
𝒊→𝒛=−
𝟐√𝟐 √𝟐 𝟐√𝟐 √𝟐 𝟐(𝟐) 𝟐(𝟐) ( )+ ( )𝒊 → 𝒛 = − + 𝒊 𝟐 𝟐 √𝟐 √𝟐 √𝟐 √𝟐
𝟒 𝟒 → 𝒛 = − + 𝒊 →∴ 𝒛 = −𝟐 + 𝟐𝒊 𝟐 𝟐 Para encontrar las otras raíces cúbicas consideremos en tomar en cuenta la igualdad definida en este caso como: 𝟑
𝟑 √𝒛 = 𝟎 → √−𝟐 + 𝟐𝒊 = 𝟎 → √√𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟑𝟓° = 𝟎
𝟑
Por lo que le aplicamos el siguiente teorema que se define de la siguiente manera: 𝒏
𝒏
𝒛𝑵 = √𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽 = √𝒓𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏.
𝜽 + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝒏
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏).
Que en este caso quedaría considerado como: 𝟑
𝒛𝑵 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝟑, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑.
𝟏𝟑𝟓° + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝟑
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐.
Con esto finalmente obtenemos los valores de las raíces cúbicas buscadas que son: Para 𝑵 = 𝟏, 𝒌 = 𝟎: 𝟑
𝒛𝟏 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟑𝟓° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟎) 𝟑 𝟏𝟑𝟓° 𝟔 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟒𝟓° 𝟑 𝟑 →∴ 𝒛𝟏 = √𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟒𝟓°
Para 𝑵 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏:
𝟑
𝒛𝟐 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟑𝟓° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟏) 𝟑 𝟏𝟑𝟓° + 𝟑𝟔𝟎° 𝟔 𝟒𝟗𝟓° 𝟔 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟔𝟓° 𝟑 𝟑 𝟑 →∴ 𝒛𝟐 = √𝟐 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟔𝟓°
Para 𝑵 = 𝟑, 𝒌 = 𝟐: 𝟑
𝒛𝟑 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟏𝟑𝟓° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟐) 𝟑 𝟏𝟑𝟓° + 𝟕𝟐𝟎° 𝟔 𝟖𝟓𝟓° 𝟔 = √√𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟖𝟓° 𝟑 𝟑 𝟑 →∴ 𝒛𝟑 = √𝟐𝒄 𝒊𝒔 𝟐𝟖𝟓°
Ejercicio 7: Obtén los valores de 𝒛 ∈ ℂ que satisfacen la expresión: a)
(𝟐−𝟐𝒊) 𝟒 𝒛𝟑
𝝅
= √𝟐𝒆𝟒 𝒊
𝟒
Despejando 𝒛𝟑 de la ecuación se tendrá: (𝟐 − 𝟐𝒊) 𝟒 𝒛𝟑
=
𝝅 √𝟐𝒆 𝟒 𝒊
→ (𝟐 − 𝟐𝒊)𝒛
𝝅
𝟒
−
𝟒 𝟑
=
𝝅 √𝟐𝒆 𝟒 𝒊
𝟒
(√𝟐𝒆 𝟒 𝒊 ) 𝒛𝟑 = (𝟐 − 𝟐𝒊) → 𝒛𝟑 =
→𝒛
−
𝟒 𝟑
𝝅
𝝅
𝒊 𝒊 𝟏 √𝟐𝒆 𝟒 √𝟐𝒆 𝟒 = → 𝟒= → (𝟐 − 𝟐𝒊) (𝟐 − 𝟐𝒊) 𝒛𝟑
(𝟐 − 𝟐𝒊) 𝝅 (√𝟐𝒆 𝟒𝒊 )
𝟒
→∴ 𝒛𝟑 =
𝟐 − 𝟐𝒊 𝝅
√𝟐𝒆 𝟒
𝒊
Después transformando en forma polar 𝟐 − 𝟐𝒊 de la siguiente manera: 𝒂=𝟐 𝒓 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 → → 𝒃 = −𝟐
𝒓 = √(𝟐)𝟐 + (−𝟐)𝟐 𝒓 = √𝟒 + 𝟒 𝒓 = √𝟖 → 𝒓 = 𝟐√𝟐
𝒃 −𝟐 𝝑 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (−𝟏) = −𝟒𝟓° → 𝝑 = −𝟒𝟓° 𝒂 𝟐
Este resultado de đ??‘ = −đ?&#x;’đ?&#x;“°, fue el que se obtuvo, pero el nĂşmero đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š tiene abscisa positiva y ordenada negativa, lo cual significa que su representaciĂłn en el diagrama de Argand se localiza en el cuarto cuadrante, entonces para calcular el argumento principal đ?œ˝ se define en este caso como: đ?œ˝ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° + đ??‘ → đ?œ˝ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° − đ?&#x;’đ?&#x;“° →∴ đ?œ˝ = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“° Con esto decimos que đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š = đ?&#x;?√đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“° đ??…
Luego transformando el nĂşmero complejo √đ?&#x;?đ?’†đ?&#x;’ đ?’Š a su forma polar de la siguiente manera: đ?’“đ?’†đ?œ˝đ?’Š = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝, en este caso queda como: đ??…
√đ?&#x;?đ?’† đ?&#x;’ đ?’Š →
đ??… đ??… đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° = = đ?&#x;’đ?&#x;“° →∴ √đ?&#x;?đ?’† đ?&#x;’ đ?’Š = √đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;’đ?&#x;“° đ?&#x;’ đ?&#x;’
Esto implica que: đ?&#x;’
đ?’›đ?&#x;‘ =
đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Š đ??… đ?’Š √đ?&#x;?đ?’† đ?&#x;’ đ?&#x;’
→ đ?’›đ?&#x;‘ =
đ?&#x;’
→ đ?’›đ?&#x;‘ =
đ?&#x;?√đ?&#x;? √đ?&#x;?
đ?&#x;?√đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“° √đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;’đ?&#x;“°
đ?&#x;’
→ đ?’›đ?&#x;‘ =
đ?&#x;?√đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“° √đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;’đ?&#x;“°
đ?&#x;’
đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“° − đ?&#x;’đ?&#x;“°) →∴ đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°
đ?&#x;‘
Elevando a la đ?&#x;’ en ambos miembros de la ecuaciĂłn queda como: đ?&#x;’ đ?’›đ?&#x;‘
= đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ° →
đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;’ (đ?’›đ?&#x;‘ )
đ?&#x;‘
= (đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°)đ?&#x;’
AsĂ: đ?&#x;’
đ?&#x;’
đ?&#x;’
đ?’› = √(đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°)đ?&#x;‘ → đ?’› = √đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘(đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;ŽÂ°) → đ?’› = √đ?&#x;– đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° Considerando el argumento principal, se tendrĂĄ entonces que: đ?&#x;’
đ?&#x;’
đ?’› = √đ?&#x;– đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° ↔ đ?’› = √đ?&#x;– đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° Por lo que le aplicamos el siguiente teorema que se define de la siguiente manera:
𝒏
𝒏
𝒛𝑵 = √𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽 = √𝒓𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏.
𝜽 + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝒏
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏).
Que en este caso quedaría considerado como: 𝟒
𝒛𝑵 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝟒, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒.
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝟒
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑.
Con esto finalmente obtenemos los valores de las raíces cuartas buscadas que son: Para 𝑵 = 𝟏, 𝒌 = 𝟎: 𝟒
𝒛𝟏 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟎) 𝟒 𝟗𝟎° 𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒
𝟒
→∴ 𝒛𝟏 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟏 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐°𝟑𝟎´ →∴ 𝒛𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟐°𝟑𝟎´ Para 𝑵 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏: 𝟒
𝒛𝟐 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟏) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎° 𝟒 𝟒𝟓𝟎° 𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟒
→∴ 𝒛𝟐 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟐 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐°𝟑𝟎´ →∴ 𝒛𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟏𝟐°𝟑𝟎´ Para 𝑵 = 𝟑, 𝒌 = 𝟐: 𝟒
𝒛𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟐) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟕𝟐𝟎° 𝟒 𝟖𝟏𝟎° 𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟒
→∴ 𝒛𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟑 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐°𝟑𝟎´ →∴ 𝒛𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟎𝟐°𝟑𝟎´
Para 𝑵 = 𝟒, 𝒌 = 𝟑: 𝟒
𝒛𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔
𝟗𝟎° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟑) 𝟒 𝟗𝟎° + 𝟏𝟎𝟖𝟎° 𝟒 𝟏𝟏𝟕𝟎° 𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟒
→∴ 𝒛𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟒 = √𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐°𝟑𝟎´ →∴ 𝒛𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐. 𝟓° ↔ 𝒛𝟒 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟐°𝟑𝟎´ b)
𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝟓
𝒛𝟐
𝒛𝟑 − 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏
𝟒
Dónde: 𝒛𝟏 = 𝟓(𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝟎°), 𝒛𝟐 = 𝒆𝟑𝝅𝒊, 𝒛𝟑 = 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎°), 𝒛𝟒 = 𝟒(𝒄𝒐𝒔
𝝅 𝟐
𝝅
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟐 ) y 𝒛𝟓 = −𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊
𝟓
La incógnita de expresión es 𝒛, entonces despejando 𝒛𝟐 de la ecuación se tendrá: 𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝟓
𝒛𝟐
𝒛𝟑 − 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 →
𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝟓
𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 →
𝒛 𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 𝟓
𝒛𝟐 = (𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 ) →
𝒛𝟐
𝟓
𝟓
= 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 → (𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 )𝒛−𝟐 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 → 𝒛−𝟐 =
𝟓
𝒛𝟐 =
𝟓 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 𝟏 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 → 𝟓= → (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 )𝒛𝟐 (𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 ) (𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 ) 𝒛𝟐
𝟓 (𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 ) 𝒛 𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 →∴ 𝒛𝟐 = (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 ) 𝒛 𝟏 + 𝒛𝟐
Para la resolución de este ejercicio es necesario realizar el siguiente procedimiento: 1). Resolver 𝒛𝟑 𝒛𝟒 𝒛𝟓 en forma polar: Si 𝒛𝟓 = −𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊, 𝒛𝟒 = 𝟒(𝒄𝒐𝒔
𝝅 𝟐
𝝅
+ 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟐 ) y 𝒛𝟑 = 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎°), entonces:
Para transformar en forma polar 𝒛𝟓 = −𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊 se realiza de la siguiente manera, si 𝒂 ± 𝒃𝒊 = 𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽, por lo que sea: 𝒓 = √(−𝟐√𝟑)𝟐 + (−𝟐)𝟐 𝒓 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 → 𝒂 = −𝟐√𝟑 → 𝒃 = −𝟐
𝒓 = √𝟒(𝟑) + 𝟒 𝒓 = √𝟏𝟐 + 𝟒 → 𝒓 = √𝟏𝟔 𝒓=𝟒
đ?’ƒ −đ?&#x;? đ?&#x;? đ??‘ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° → đ??‘ = đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° đ?’‚ −đ?&#x;?√đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ Este resultado de đ??‘ = đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°, fue el que se obtuvo, sin embargo el nĂşmero complejo đ?’›đ?&#x;“ tiene abscisa y ordenada negativas, lo cual significa que su representaciĂłn en el diagrama de Argand se localiza en el tercer cuadrante, entonces para calcular el argumento principal đ?œ˝ se define en este caso como: đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ??‘ → đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° →∴ đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° Por lo que đ?’›đ?&#x;“ = −đ?&#x;?√đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?’Š = đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° . Para transformar en forma polar đ?’›đ?&#x;’ = đ?&#x;’(đ?’„đ?’?đ?’”
đ??… đ?&#x;?
đ??…
+ đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;? ) se realiza de la siguiente manera: si đ?’“(đ?’„đ?’?đ?’”đ?œ˝ + đ?’Šđ?’”đ?’†đ?’?đ?œ˝) = đ?’“đ?’†đ?œ˝đ?’Š = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝, en
este caso queda como: đ?’›đ?&#x;’ = đ?&#x;’ (đ?’„đ?’?đ?’”
đ??… đ??… đ??… đ??… đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? ) = đ?&#x;’đ?’† đ?&#x;? đ?’Š → = = đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° → đ?’›đ?&#x;’ = đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?
Para transformar en forma polar đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;’(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°), se realiza de la siguiente manera, si đ?’“(đ?’„đ?’?đ?’”đ?œ˝ + đ?’Šđ?’”đ?’†đ?’?đ?œ˝) = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝, en este caso queda como: đ?’›đ?&#x;‘ = đ?&#x;’(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° Por lo que đ?’›đ?&#x;“ đ?’›đ?&#x;’ đ?’›đ?&#x;‘ = (đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ°)(đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ°)(đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°), que al aplicar la fĂłrmula correspondiente queda de la siguiente manera: đ?’›đ?&#x;“ đ?’›đ?&#x;’ đ?’›đ?&#x;‘ = (đ?&#x;’)(đ?&#x;’)(đ?&#x;’) đ?’„đ?’Šđ?’” (đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;—đ?&#x;ŽÂ° + đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° 2). Resolver đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? en forma binĂłmica y este resultado de la suma pasarlo a la forma polar: đ?&#x;’
Si đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;“(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ°) y đ?’›đ?&#x;? = đ?’†đ?&#x;‘đ??…đ?’Š entonces: Para transformar en forma binĂłmica đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;“(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ°) se realiza de la siguiente manera: đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;“√đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;“(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ° + đ?’Š đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;ŽÂ°) = đ?&#x;“ ( + đ?’Š (− )) = − đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’
Para transformar en forma binĂłmica đ?’›đ?&#x;? = đ?’†đ?&#x;‘đ??…đ?’Š se realiza de la siguiente manera, si đ?’“đ?’†đ?œ˝đ?’Š = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝ = đ?’“(đ?’„đ?’?đ?’”đ?œ˝ + đ?’Šđ?’”đ?’†đ?’?đ?œ˝) en este caso queda como:
đ?&#x;’
đ?’›đ?&#x;? = đ?’†đ?&#x;‘đ??…đ?’Š →
đ?&#x;’ đ?&#x;’đ??… đ?&#x;’(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ°) đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ° đ??…= = = = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° → đ?’›đ?&#x;? = đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° → đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ đ?&#x;‘
đ?&#x;? đ?&#x;? √đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ đ?’›đ?&#x;? = đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° = (đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ° + đ?’Šđ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°) = (− + đ?’Š (− )) = − − đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? Por lo que đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? =
đ?&#x;“ đ?&#x;“√đ?&#x;‘ đ?&#x;? √đ?&#x;‘ đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;“√đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;”√đ?&#x;‘ √đ?&#x;‘ − đ?’Šâˆ’ − đ?’Š= − − đ?’Šâˆ’ đ?’Š= − đ?’Š = đ?&#x;? − đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?
Entonces por lo tanto đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? − đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š Luego de este resultado de đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? − đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š hay que transformarlo en forma polar, por lo que se realiza de la siguiente manera, si đ?’‚ Âą đ?’ƒđ?’Š = đ?’“đ?’„đ?’Šđ?’”đ?œ˝, por lo que sea: đ?’“ = √(đ?&#x;?)đ?&#x;? + (−đ?&#x;‘√đ?&#x;‘)đ?&#x;? đ?’“ = √đ?’‚đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? →
đ?’‚=đ?&#x;? → đ?’ƒ = −đ?&#x;‘√đ?&#x;‘
đ?’“ = √đ?&#x;’ + đ?&#x;—(đ?&#x;‘) đ?’“ = √đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;• đ?’“ = √đ?&#x;‘đ?&#x;?
đ?’ƒ −đ?&#x;‘√đ?&#x;‘ đ??‘ = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = đ?’•đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ( ) = −đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;“° → đ??‘ = −đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;“° đ?’‚ đ?&#x;? Este resultado de đ??‘ = −đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;“°, fue el que se obtuvo, sin embargo el nĂşmero complejo đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? tiene abscisa positiva y ordenada negativa, lo cual significa que su representaciĂłn en el diagrama de Argand se localiza en el cuarto cuadrante, entonces para calcular el argumento principal đ?œ˝ se define en este caso como: đ?œ˝ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° + đ??‘ → đ?œ˝ = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° − đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;“° →∴ đ?œ˝ = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;“° Por lo que đ?’›đ?&#x;? + đ?’›đ?&#x;? = đ?&#x;? − đ?&#x;‘√đ?&#x;‘đ?’Š = √đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?’„đ?’Šđ?’” đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;“° . Esto implica en efectuar que:
𝟓
𝒛𝟐 = 𝟓
𝒛𝟐 =
𝟓 𝟓 𝒛𝟓 𝒛𝟒 𝒛𝟑 𝟔𝟒 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟑𝟎° 𝟔𝟒 → 𝒛𝟐 = → 𝒛𝟐 = 𝒄𝒊𝒔(𝟑𝟑𝟎° − 𝟐𝟗𝟏. 𝟎𝟓°) → 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 √𝟑𝟏 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟗𝟏. 𝟎𝟓° √𝟑𝟏
𝟔𝟒 √𝟑𝟏
𝟓
𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓° → 𝒛𝟐 =
𝟔𝟒
(
√𝟑𝟏
√𝟑𝟏 √𝟑𝟏
𝟓
) 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓° →∴ 𝒛𝟐 =
𝟔𝟒√𝟑𝟏 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓° 𝟑𝟏
𝟐
Elevando a la 𝟓 en ambos miembros de la ecuación queda: 𝟓 𝒛𝟐
𝟐
𝟐
𝟓 𝟓 𝟓 𝟔𝟒√𝟑𝟏 𝟔𝟒√𝟑𝟏 = 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓° → (𝒛𝟐 ) = ( 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓°) 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟐
𝟔𝟒√𝟑𝟏 →∴ 𝒛 = √( 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓°) 𝟑𝟏 𝟓
Por lo que luego procedemos a realizar la potencia de un número complejo en forma trigonométrica de la siguiente manera: 𝟐
𝟐
𝟓 𝟔𝟒√𝟑𝟏 𝟔𝟒√𝟑𝟏 𝒛 = √( 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟖. 𝟗𝟓°) → 𝒛 = √( ) 𝒄𝒊𝒔 𝟐(𝟑𝟖. 𝟗𝟓°) → 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟓
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔(𝟑𝟏) 𝟓 𝟏𝟐𝟔𝟗𝟕𝟔 𝒛= √ 𝒄𝒊𝒔 𝟕𝟕. 𝟗° → 𝒛 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟕𝟕. 𝟗° 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏
Por lo que así entonces queda como: 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒛= √ 𝒄𝒊𝒔 𝟕𝟕. 𝟗° 𝟑𝟏
Por lo que le aplicamos el siguiente teorema que se define de la siguiente manera: 𝒏
𝒏
𝒛𝑵 = √𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽 = √𝒓𝒄𝒊𝒔 Dónde: 𝒏 = 𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏.
𝜽 + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝒏
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝒏 − 𝟏).
Que en este caso quedaría considerado como: 𝟓
𝒛𝑵 = √ Dónde: 𝒏 = 𝟓, 𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓.
𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°𝒌 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟏 𝟓
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒.
Con esto finalmente obtenemos los valores de las raíces cuartas buscadas que son: Para 𝑵 = 𝟏, 𝒌 = 𝟎: 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟎) 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒛𝟏 = √ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓. 𝟓𝟖° = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓. 𝟓𝟖° 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 →∴ 𝒛𝟏 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟏 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ 𝟑𝟏 𝟑𝟏
→∴ 𝒛𝟏 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟏 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ Para 𝑵 = 𝟐, 𝒌 = 𝟏: 𝟓
𝒛𝟐 = √
𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟏) 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟒𝟑𝟕. 𝟗° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕. 𝟓𝟖° = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕. 𝟓𝟖° 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓
→∴ 𝒛𝟐 = √
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟐 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ 𝟑𝟏 𝟑𝟏
→∴ 𝒛𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟖𝟕°𝟑𝟒´ 𝟒𝟖´´ Para 𝑵 = 𝟑, 𝒌 = 𝟐: 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟐) 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟕𝟐𝟎° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟗𝟕. 𝟗° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒛𝟑 = √ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗. 𝟓𝟖° = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗. 𝟓𝟖° 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 →∴ 𝒛𝟑 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟑 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ 𝟑𝟏 𝟑𝟏
→∴ 𝒛𝟑 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟑 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟏𝟓𝟗°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ Para 𝑵 = 𝟒, 𝒌 = 𝟑: 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟑) 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟏𝟎𝟖𝟎° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟏𝟏𝟓𝟕. 𝟗° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒛𝟒 = √ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏. 𝟓𝟖° = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏. 𝟓𝟖° 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏
𝟓
→∴ 𝒛𝟒 = √
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟒 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ 𝟑𝟏 𝟑𝟏
→∴ 𝒛𝟒 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟒 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟐𝟑𝟏°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ Para 𝑵 = 𝟓, 𝒌 = 𝟒: 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟑𝟔𝟎°(𝟒) 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟕𝟕. 𝟗° + 𝟏𝟒𝟒𝟎° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟏𝟓𝟏𝟕. 𝟗° 𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒛𝟓 = √ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 =√ 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑. 𝟓𝟖° = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑. 𝟓𝟖° 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏 𝟓 𝟑𝟏
𝟓
→∴ 𝒛𝟓 = √
𝟓 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟓 = √ 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ 𝟑𝟏 𝟑𝟏
→∴ 𝒛𝟓 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑. 𝟓𝟖° ↔ 𝒛𝟓 = 𝟐. 𝟔𝟓 𝒄𝒊𝒔 𝟑𝟎𝟑°𝟑𝟒´𝟒𝟖´´ Fuentes de consultas bibliográficas Solar González Eduardo; Speziale de Guzmán Leda (1998) Algebra 1 para la Facultad de Ingeniería de la UNAM Ed. Limusa. Ortiz González Francisco Raúl (2008) Apuntes de Álgebra para Ingeniería: Tema II: Números Complejos Ed. FES AragónUNAM Delgado R. Arturo (1980) Curso de Actualización en Matemáticas para Ingenieros: Módulo: Álgebra Ed. UNAM-Facultad de Ingeniería.
León Cárdenas Javier (2011) Algebra para ingeniería Editorial Grupo Patria. Wunsch, A. (1997) Variable Compleja con Aplicaciones, México, D.F. Ed. Addison Wesley. Montes de Oca Puzio Francisco (2006) Resolución Total de Variable Compleja para las Escuelas de Ingeniería del IPN Editorial Skorpio. Guzmán M., Cólera J., Salvador A. (1993) Matemáticas 1° Bachillerato España, Madrid, Ed. Grupo Anaya S.A. Barrera García Francisco, García y Colomé Pablo, Avilés Rosas Gerardo (2002) Problemario de Álgebra México, D.F., Ed. Facultad de Ingeniería-UNAM.