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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Análisis Matemático II

Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida

Clave: 050930829

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida

Índice Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida ................................................... 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica de la unidad...................................................................................... 3 3.1. Antecedentes ..................................................................................................................... 3 3.1.1. Medidas y conjuntos medibles ........................................................................................................ 3 3.1.2. Definición de Medida de Lebesgue. Propiedades ......................................................................... 11 3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles ....................................................................................................... 15 Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida .................................................................. 19 3.2. Funciones medibles......................................................................................................... 20 3.2.1. Algunas Aplicaciones ..................................................................................................................... 20 Actividad 2. Medida de Lebesgue .......................................................................................... 24 Autoevaluación ....................................................................................................................... 24 Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida de Lebesgue 25 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 25 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 25 Para saber más: ...................................................................................................................... 26 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 26

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida

Presentación de la unidad La integral de Riemann-Stieltjes que se introdujo en el en la unidad anterior generaliza la integral de Riemann, la función integrante introducida en la integral de Riemann-Stieltjes adquiere un significado más particular cuando le asigna una “medida” a los conjuntos sobre los cuales se va a integrar. El uso de esta función nos permite generalizar el concepto de integral, incluso de funciones con “muchas” discontinuidades. En esta unidad se introduce el concepto de medida de un conjunto y más específicamente el de “medida de Lebesgue”.

Propósitos de la unidad  

Identificar las propiedades de la medida de Lebesgue. Clasificar conjuntos en .

Competencia específica de la unidad 

Analizar el concepto de medida para clasificar conjuntos en propiedades

mediante la utilización de sus

3.1. Antecedentes Emile Borel en 1898 fue el primero en establecer una teoría de la medida sobre los subconjuntos de los números reales conocidos ahora como conjuntos de Borel. En 1902 H. Lebesgue presentó su trabajo pionero sobre medida de Lebesgue y en 1918 C. Carathéodory introdujo y estudió las propiedades de medidas exteriores.

3.1.1. Medidas y conjuntos medibles El concepto general de medida de un conjunto constituye una generalización natural de los siguientes conceptos:  longitud de un segmento ,  área de una figura plana F,  volumen de una figura G del espacio,  del incremento ( ) ( ) de una función no decreciente ( ) en el segmento semiabierto , ),

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 

de la integral de una función no negativa en una región lineal, plana, etc.

Un interés general es establecer una medida sobre la recta real, por el cual introduciremos un concepto de medida sobre ciertos conjuntos de una manera general. La teoría de integración de Riemann presentada en adaptación de la teoría de Cauchy debilitando las hipótesis necesarias para que una función sea integrable. Mientras Cauchy restringía la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de una función: Una función acotada ( ) es integrable en ,

- si y sólo si la suma de Cauchy

∑ ( )(

)

donde y [ ], se aproxima valor límite cuando el tamaño de la partición del se aproxima a 0. Este único valor límite es por definición es por definición ∫

( )

Definición 1 [Semianillo] Sea un conjunto no vacío. Una colección es llamado un semianillo si esta satisface las siguientes propiedades.

de subconjuntos de

a) El conjunto vacío pertenece a , es decir . b) Si ; entonces ; esto es, es cerrado bajo intercesiones finitas. c) El conjunto diferencia de cuales quiera dos conjuntos de pueden ser escritos como la unión finita de un par de conjuntos disjuntos de . Esto es, para cada ; entonces existe (dependiendo de y ) tal que y si . ⋃ Definición 2 [ -conjunto] Sea un semianillo de subconjuntos, subconjuntos de . Un subconjunto de es llamado un -conjunto con respecto a (simplemente un -conjunto) si existe una sucesión disjunta * + de (esto quiere decir, si ) tal que . ⋃ Observación 1. Si conjunto.

⋃

, con

para

, entonces

es un -

Algunas propiedades de los -conjuntos están incluidas en el siguiente teorema. Teorema 1. Para algún semianillo , se tiene las siguientes propiedades. a) Si y , entonces puede ser escrito como la unión finita de ⋃ conjuntos ajenos de (entonces, este es un -conjunto). b) Para cada sucesión * + de , el conjunto es un -conjunto. ⋃

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida c) Uniones numerables e intersecciones finitas de -conjuntos son -conjuntos. Demostración. La prueba se hace por inducción sobre . Para , el teorema es válido por la definición de semianillo. Ahora se asume que el teorema es válido para alguna . Sea , y sean . Por hipótesis de inducción, existen tal que y si , entonces ⋃ ⋃

⋃(

)

Por la propiedad c) de semianillo, cada puede ser escrito como la unión finita de conjuntos disjuntos de . Donde si , esto se sigue de puede ser ⋃ escrito como la unión finta de conjuntos disjuntos de . Esto completa la inducción y la prueba. Sea *

+ . Donde , entonces se escribe tal que y ⋃ ⋃ para . Observamos que si , y por la propiedad a) cada ⋃ es un -conjunto. Ahora se sigue que es en sí mismo un -conjunto. Para la prueba de c) se sigue de b), y de la propiedad b) de semianillo. Lema 1. Si * + es una sucesión de conjuntos de un semianillo , entonces existe una sucesión disjunta * + de tal que ⋃ y para entonces existe algún con . ⋃ Definición 3 [Álgebra de conjuntos] Un conjunto no vacío de subconjuntos de tal que es cerrado bajo intersecciones finitas y su complemento es llamado álgebra de conjuntos(o simplemente un álgebra). Esto es, es un álgebra si satisface las siguientes propiedades: a) Si b) Si

, entonces , entonces

. .

Teorema 2. Para un álgebra de conjuntos , las siguientes propiedades se cumplen: a) Los conjuntos . b) El álgebra es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas. c) El álgebra es un semianillo. Demostración. a) Dado que es no vacío existe algún . Más aún, . ( b) Sea . Entonces inducción.

. Ahora, por hipótesis )

así,

, el resto de la prueba se sigue por

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida c) Solo se tiene que verificar para la propiedad 3) de la definición de semianillo, pero esto se observa de la identidad . Ejemplo Para algún conjunto no vacío , la colección * + es un álgebra de conjuntos. Sea una familia de subconjuntos disjuntos y distintos del vacíos de un conjunto . Entonces ( ) es un semianillo de subconjuntos de . Para ver esto, se observa que primero . Ahora, si , entonces es vacío o igual a . Del mismo modo, es o bien vacío o igual a . Por lo tanto, implica que pertenece a , y así, es un semianillo. Definición 4 [Anillo de conjuntos] Un anillo de conjuntos (o simplemente un anillo) es un conjunto no vacío de subconjuntos de un conjunto satisfacer las siguientes propiedades: a) Si b) Si

entonces , .

Cada anillo contiene el conjunto vacío. En efecto, dado que es no vacío, entonces existe , por lo que . Cada álgebra de conjuntos es un anillo de conjuntos. Además, un anillo es necesariamente un semianillo. En efecto, si , entonces la relación ( ) muestra que . Definición 5 [ -Anillo] Un álgebra de subconjuntos de un conjunto se llama -álgebra si cada unión de una colección numerable de miembros de esta nuevamente en . Es decir, además es un álgebra, ⋃ esta para cada sucesión * +, de . (⋃ ) , esto se sigue de que todas -álgebra de conjuntos es En virtud de ⋂ cerrado bajo intercesiones finitas. Cada colección de subconjuntos: de un conjunto no vacío está contenido en una -álgebra más pequeña (con respecto a la relación de inclusión). Esta -álgebra es la intersección de todas las -álgebras que contienen a (nótese que ( ) es uno de ellos), que se llama la -álgebra generada por . Definición 6 [Conjuntos de Borel] Los conjuntos de Borel de un espacio topológico son conjuntos de la -álgebra generada por los conjuntos abiertos. ) se denotan por . La -álgebra de todos los conjuntos de Borel de (

(X, r)

Se introduce la noción de medida sobre una -álgebra y se consideran el concepto de medida cero. Definición 7 [Medida] Sea ( ) un espacio medible. Una medida en ( con las siguientes propiedades: a) ( ) . b) para todo .

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) es una función

Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida c)

es -aditiva, i.e. Si (

) es una sucesión de elementos disjuntos entre sí de S, entonces: (⋃

Definición 8 [Medida Finita] Sea valor extendido .

)

∑ (

una medida en (

)

). Se dice que

es finita si no toma el

Si es posible hallar una sucesión ( ) de elementos de tal que ⋃ , entonces se dice que es -finita. Se observa que toda medida finita es automáticamente -finita.

para todo

Las siguientes propiedades son consecuencias de la definición. Proposición 1. Sea una medida en ( ) entonces ) ( ) ( ) si a) es aditiva, esto quiere decir ( , ( b) es monótona; es decir, si , con , entonces se tiene: ( ) c) es sustractiva; es decir, si , con y ( ) , entonces ( ( ) ( ).

) . ( ). )

Demostración. Para a), sean , entonces ( ) es una sucesión de elementos de Proposición 1 inciso a) y b) obtenemos: (

)

(⋃

)

∑ ( )

(

)

(

y por la

)

La aditivita puede extenderse por inducción a cualquier número finito de elementos ajenos. ( ) a) De la identidad (unión disjunta de elementos de ), se obtiene del inciso ( ) anterior que: ( ) ( ), así se tiene que ( ) ( ) por (Proposición 1 b). ( ) b) De la identidad ( ) ( ), obtenemos al restar ( ) que: ( ) ( ) ( ). Nótese que la valida aún si ( ) . Ejemplo. 1. Sean ( sigue:

) es un espacio medible arbitrario y

( ) La medida

fijo definimos

+ como

{

es una medida finita, llamada la medida unitaria concentrada en

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 2. Sean (

̅ medidas y

) un espacio medible, ̅,

entonces

es una medida.

Teorema 3. Sea un semianillo, y sea , - una función. Entonces es una medida sobre si y sólo si satisface las siguientes condiciones. a) ( ) . b) Si , y satisface ⋃ y para , entonces ∑ ( ) ( ) se satisface. c) Si y * + satisface , entonces ( ) ∑ ( ), entonces es ⋃ subaditiva. Demostración. Supóngase es una medida sobre . Entonces por definición, ( ) . Para b) supongamos que , y los conjuntos satisfacen ⋃ . Entonces conjuntos disjuntos de tal que . Sea ,y para ⋃ ⋃ . Entonces los conjuntos son disjuntos y . Por la propiedad de aditivita ⋃ finita de , se tiene ( )

∑ ( )

Por la -subaditividad de , se asume que ⋃ para . Entonces ⋃ ⋃ También, para sucesión * en sigue que ∑

(

)

+ es disjunta, y para cada ⋃

tal que (

+ . Sea para cada .

). (Para n=1, hacemos

∑∑ (

)

⋃

)

⋃

existe un par de conjuntos disjuntos

. Obsérvese que por b) y por ⋃

Ahora, observemos que ⋃ ( tanto la -aditividad de se obtiene ( )

tal que y ⋃

(

∑∑ (

para cada , se

), es una unión disjunta. Por lo

)

∑ (

)

A la inversa, si el conjunto de funciones , - satisface las tres condiciones anteriores, es -aditiva por la combinación de los incisos b) y c). Por lo tanto, es una medida. Definición 9 [Conjunto nulo] Un conjunto es llamado un conjunto nulo si ( ) Denotamos a este por ( ), es decir: + ( ) * ( )

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida A partir de la propiedad de un -subaditividad de que una unión numerable de conjuntos nulos es de nuevo un conjunto vacío. Los conjuntos nulos jugarán un papel importante en la teoría de la integración. Teorema 4. Cada conjunto nulo es medible. Demostración. Sea con ( ) . Entonces la monotonía de implica para cada Por consiguiente, para cada subconjunto de se tienen ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

donde la primera desigualdad se cumple en virtud de la -subaditividad de . Por lo tanto, medible. Lema 1. Sean los conjuntos

los conjuntos y medibles. Entonces ))

(⋃( esto se cumple para cada conjunto

∑ (

)

de .

Demostración. La prueba es por inducción sobre . Obviamente, el resultado es cierto para . Supongamos ahora es cierto para algún , y sean que los conjuntos , conjuntos disjuntos y medibles. Si , entonces [⋃ [⋃

Por lo tanto, usando la medida de

]

([⋃ (

(

)

[⋃

]

, vemos que ))

(⋃( (

]

)

]) )

(

[⋃

(

[⋃ ])

]) ]

(

∑ (

) ) )

donde la última igualdad se cumple por la hipótesis de inducción. La inducción es ahora completar, y la prueba está terminada.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida ) se llama completo, si siempre que Definición 10 [Completo] Un espacio de medida ( ( )y , entonces , en cuyo caso también se tiene que ( ). También decimos que en este caso es una medida completa. Teorema 4. Sea a) Si (

una medida definida sobre el espacio medible (

) es una sucesión creciente de elementos , entonces (⋃

Donde b) Si (

)

(

)

( ) significa que el límite es el de una sucesión creciente. ) es una sucesión decreciente de elementos de , entonces (⋂

Si además ( )

para alguna

(

( )

)

entonces se tiene la igualdad.

Demostración. a) Si ( ) para alguna . Así supondremos que ( Sea tal que:

, entonces ambos miembros de la expresión son iguales ) para todo . ); entonces (

) es una sucesión de elementos ajenos en

⋃ Y por tanto ⋃

Usando la

⋃

-aditividad y la sustractividad de (⋃

)

(⋃ ∑( (

)

obtenemos:

)

∑ ( (

))

)

∑ ( (

)

Finalmente, se observa que por la monotonía de , el límite es una sucesión creciente. b) Si ⋃ para todo , entonces, (⋂

)

( )

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida y como la sucesión es decreciente, entonces: (⋂

( )

)

Supongamos que ( ) para algún , sea el primero natural con dicha propiedad. Definimos , entonces ( ) es una sucesión creciente de elementos de con ⋃

⋂

. Se sigue del inciso a) y de sustracción de (

)

(

(⋃

)

(

(⋃

)

(

)

(

que: )

( )

Pero ( ) es finito porque se puede restar y concluir que: (⋂

Ejemplo. Supóngase que la función ( ) ( ) para cada ) *, y +

( )

)

es no decreciente y continua; esto es, . Consideremos el semianillo

Ahora se define , ) por (, esta función es una medida.

))

( )

( ) si

y ( )

. Observamos que

3.1.2. Definición de medida de Lebesgue. Propiedades En esta sección se presenta una forma de construir medidas con distintas propiedades a partir de conceptos más primitivos, se demuestra la unicidad de la medida obtenida y dando como caso particular la medida de Lebesgue en . Definición 11 [Casi-medida]. Sea ;y ( ) un álgebra. Una casi-medida es una función conjuntista que:

̅ tal

1) ( ) 2) ( )

, para toda

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 3) Si (

) es una sucesión de elementos disjuntos de (⋃

)

tal que ⋃

∑ (

, entonces:

)

Observamos de la definición que como ( ) , entonces es aditiva y además monótona. Consideremos ahora ( ) una sucesión de elementos no necesariamente disjuntos de tal que ⋃ , se tiene que: (⋃

Si ( ) entonces decimos que medida se llama -finita.

)

es finita y si

∑ (

⋃

)

con (

)

, entonces la casi-

El siguiente concepto es el de media exterior, será usado para construir una medida. Definición 12 [Medida exterior]. Una medida exterior es una función conjuntista 1) ( )

̅ tal que:

2) ( )

para todo

( ).

3) ( )

( ) si

. (Monotonía)

4) (⋃

( )

)

∑

(

) para toda sucesión (

) de subconjuntos de . ( -subaditividad)

Notamos que por la propiedad 1), también es subaditiva y de forma análoga al caso de las casi-medidas, si ( ) se llama finita y si con ( ) , se denomina -finita. ⋃ Una manera muy común dentro del análisis para obtener funciones que son medidas es extender funciones para que estas tengan un dominio más grande y cumplan las condiciones para ser medidas. Asociada a cada casi-medida tenemos una medida exterior, que resulta de extender la casi-medida, el método que se dará es “aproximar desde afuera” a los subconjuntos de , por medio de cubiertas numerables de elementos de . Ejemplo. Medida exterior. Considera con la topología dada por la métrica usual, para este ejemplo se considera cualquier espacio métrico separable, los cuales son segundo numerables, es decir tienen una base numerable para su topología. Sea * + Una base numerable para la topología de . Definimos ( ) , - de la siguiente manera:

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida ( )

( )

∑

en donde: ( )

{

Entonces para todo

para todo es una medida exterior y tiene la siguiente propiedad: ( ) ( ̅) , donde ̅ es la cerradura de .

La siguiente es la definición de la medida exterior generada por una casi-medida . Definición 13 [Medida exterior generada por una casi-medida]. ̅ una casi-medida. Definimos ̅ de la siguiente forma: ( ) Sea ( ) para todo

{∑ (

)

⋃

(

)}

Una sucesión ( ) de elementos de tal que es llamada una -cubierta de , ⋃ se denomina la medida exterior generada por a continuación se demuestra que esta función está bien definida y que en efecto es una medida exterior. Observación 2. Dada una casi-medida , la función definida antes siempre existe pues para todo ya que , se tiene que el conjunto de -cubiertas es no vacío, por lo tanto el conjunto de sumas a las que obtenemos el ínfimo también es no vacío y es acotado inferiormente por cero, ahora por propiedades vistas en cursos anteriores de Cálculo, el ínfimo existe. Notemos que con las definiciones presentadas para este curso, tanto ( ), como ( ) pueden tener el valor para algún . ( ) Teorema 5. La función es una extensión de , es decir:

̅ de la definición anterior es una medida exterior y además |

( ) para cada Demostración. De la definición se tiene que como , entonces ∑ ( ) para cualquier sucesión ( ) de elementos de , así dado tienes que ( ) ( )+, por lo que cero es cota inferior del conjunto *∑ ⋃ ( ). Considera la -cubierta de dada por entonces ( ) ya que es una casi-medida y junto a la conclusión anterior tenemos que ( ) . Sean Como toda -cubierta de F es -cubierta de entonces, de la definición tenemos que: ( ) ( )

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Observa ahora la -subaditividad de . Sea ( ) una sucesión de subconjuntos de . Si para algún , entonces por la monotonía se tiene: ( ) (

(⋃

)

así que (⋃

(

Ahora supón que Sea

)

, para cada

)

para todo

⋃

(⋃

(

-cubierta numerable .

tomamos una

( )

(

∑ (

( )

/ de

tal que:

)

(⋃ ) tenemos que el conjunto * y por lo tanto se verifica que: )

)

∑ .

Como ⋃ cubierta de ⋃

∑

∑ (∑ .

( )

(

( )

)

(∑

+ es una

(

))

)

) ∑ Esto pasa para cualquier arbitraria así tenemos que (⋃ ( que la función es -subaditiva, por lo tanto constituye una medida exterior. , se tiene que ( ) ( ), sean ( ) una -cubierta de y ( ) ( ) y además ( ) para toda por lo que ∑ ⋃ entonces por las propiedades de tenemos que: Sea

( )

∑

), lo que prueba

, entonces ( ),

∑ ( )

por lo tanto ( ) así que

( )

extiende a .

Por otra parte,

es -finita si y sólo si

es -finita.

La noción de medida de Lebesgue es una extensión natural de los conceptos de longitud, área y volumen. En particular, la medida de Lebesgue alguna figura geométrica en resulta ser su área mientras que en es su volumen.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Sea un semianillo que contiene el conjunto vacío y todos los conjuntos de la forma ∏ , ), donde para cada , se observa que la función , )) ∏ ( definida por ( ) y (∏ , ) es -aditiva. Teorema 6. La función de Lebesgue sobre .

)

) definida anteriormente es una medida, llamada la medida

Demostración. La prueba es por inducción sobre la dimensión de . Sea que denota el semianillo sobre , y sus corresponde funciones por . Para resulta de un ejemplo anterior. Ahora supóngase que es una medida para alguna Observamos que es , ) ⋃ , -aditiva sobre . Para terminar, sea , )-, con , para cada , y la sucesión * , )+ son pares disjuntos. Se deduce que , ) ∑ ( ) y se tiene , ) . Ahora para ( ) ( Fijemos función para ( ∑

(

)

( )

, y sea ) tal que ( )

)(

)

∑

( )

)(

)

). Entonces cada es una , así que se tiene que ) ( ) para cada

)

) ( ) para cada ( ( ) ( ) es un espacio de medida puede verse que: ∑(

( )

∑

)

( ) (

))

)

)(

. Como por hipótesis de inducción

( )

Esto es, ∑ Por lo tanto es

(

))

es -aditiva.

Un intervalo de es un conjunto de la forma ∏ donde cada , es un intervalo de . Si cada ; es además un intervalo abierto y acotado de , entonces ∏ ; es llamado un intervalo abierto de . Además se observa que cada intervalo de esta forma es una medida de Lebesgue. Una fórmula útil para la medida de Lebesgue exterior es la siguiente:

( )

{∑

( )

⋃ }

3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida En general puedes ver que no todas las medidas exteriores son medidas, esto suele ocurrir porque el ( ) es un dominio “muy grande”. La manera en que procede es elegir algunos subconjuntos de en donde la medida exterior sea aditiva. La definición que se utilizará fue dada por K. Carathéodory en 1918. Definición 13 [Lebesgue-medible]. ̅ una medida exterior. Decimos que Sea ( ) medible) si: ( ) ( ) ( Para todo

. Es decir si

es Lebesgue-medible (o )

dividen aditivamente a cualquier subconjunto de .

Se Denota * generada por una casi-medida , denotaremos

+ y en el caso de una medida exterior * +.

Observación 3. Nota que como toda medida exterior es subaditiva, basta pedir: ( ) ( ) ( ) para todo . La proposición siguiente es para identificar algunos de los elementos de

̅ una medida exterior, entonces: Proposición 2. Sea ( ) a) . ( ) b) . Demostración. ( ) ( ) ( ) ( )) a) ( b) Como es no-negativa y monótona se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Por la Observación 2 se tiene que

(

)

(

)

Teorema 6. (De extensión de K. Carathéodory – E. Hopf (1918)). ̅ una medida exterior, entonces: Sea ( ) a) es una -álgebra. ̅ es una medida completa. En caso de que | b) ̅ ̅ , entonces: exterior generada por una casi-medida c) ( )

sea la medida

Demostración.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida a) Por la proposición 1, se tiene que es cerrado bajo complementos y ( ) , entonces ; basta demostrar que es cerrado bajo uniones numerables. Sean

, de la definición de conjuntos Lebesgue-medibles se tiene que para todo el conjunto cumple: (

)

((

)

((

)

(1)

(

)

((

)

((

)

(2)

Sumando (1) y (2), como ( ) (

: (

)

(

))

Despejando (

(

)

(

)

((

)

((

) (( ) y podemos sustituir por

Esto es válido para cualquier (

)

( ( ((

(

)

(3) )) ) en la ecuación (3): )

)

(4)

) de (4) y sustituyendo en (3) tenemos que: ( ) ( )) ( )) ( (

para todo , por lo tanto . Se sigue por inducción que ⋃ . Sea ( ) una sucesión de elementos de , a partir de ella es posible construir una sucesión ( ) tal que:

⋃

para todo , si y . ⋃

Esto es un ejercicio sencillo de teoría de conjuntos así que se dará por hecho. Si tomamos una sucesión cualquiera, la unión de los elementos de esta sucesión puede ser sustituida por la unión de elementos disjuntos de elementos también de , así que basta probar que , donde ( ) es una sucesión de elementos ajenos de . ⋃ Si son disjuntos la ecuación (4) se convierte: (

(

))

(

)

(

) para todo

Nuevamente procediendo por inducción se tiene que para todo (

(⋃

∑ (

))

para todo con subconjuntos ajenos en Sea ( ) una sucesión de conjuntos ajenos, denota: ⋃

(

)

(5) se cumple: (6)

⋃

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida entonces que:

y como

se sigue de (6), y de lo obtenido a partir de (3) y (4) ( )

para todos

(

)

(∑ (

))

(

)

(⋃

es -subaditiva entonces ( ( )

para todo

))

, por lo que: ( )

y como tanto:

(∑ (

, así que

(

)

, por lo tanto,

))

(⋃

(

)

∑

(

), por lo (7)

es una -álgebra.

̅ , ésta es no-negativa y ̅ ( ) b) Por la definición de la ̅ . Así que basta probar que ̅ es -aditiva. Para facilitar la nomenclatura decimos que una sucesión de subconjuntos es disjunta si: cuando . Sean ( ) una sucesión disjunta de elementos en y por el inciso (a) , así ⋃ ̅( ) ( ). Si ponemos en (7) tenemos que: ̅( )

y como

es -subaditiva, ̅ es -subaditiva, por lo que: ̅( )

por lo tanto ̅ es subaditiva. Por lo tanto Sean que

∑ ̅( )

es medida.

con ̅ ( ) y dados, entonces ( ) , eso prueba que ̅ es completa.

y por Proposición 1.b) tenemos

̅ una casi-medida y c) Sea la medida exterior generada. Como es una -álgebra basta probar que . Sean y , si ( ) , entonces ( ) ( ) ( ), esto de manera trivial. Ahora supongamos ( ) . Para dada, hallemos una -cubierta numerable ( ) de tal que: ∑ ( )

( )

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Como

, por la monotonía y la -subaditividad de (

)

(

Esto ocurre para cualquier

)

∑(

)

, así que

y la aditividad de )

∑(

∑ ( )

obtenemos: ( )

Nuevamente para facilitar notación denotaremos ̅

Hasta ahora se ha dado una forma de construir una medida para una -álgebra a partir de una medida exterior, o más general, de una casi-medida; podemos preguntarnos las propiedades que esta medida tiene con respecto a la función que tomamos como base para construirla, el siguiente teorema da una información muy importante a este respecto para un tipo especial de casi-medida, nos dice que la medida ̅ que construimos sobre la -algebra es única con las propiedades que se expusieron, esto se verá con más claridad en el enunciado siguiente. Teorema 7. (H. Hahn (1921)) ̅ una casi-medida -finita, ( ) una -álgebra que contiene a Sean y ̅ una medida tal que: ( ) ( ) para todo , entonces ̅ ( ) ( ) para todo . Esta unicidad es importante en el momento en que deseamos plantearnos la construcción de medidas distintas a las que ya tenemos, pues con esas propiedades sólo tenemos una posibilidad de extender a la casi medida . Teorema 8. Un subconjunto de un conjunto abierto , tal que

es Lebesgue medible si y sólo si para cada ) ,y ( .

, existe

El teorema expresa que aquellos conjuntos que son Lebesgue medibles en pueden ser aproximados “desde afuera” por abiertos del espacio, esta condición es bastante útil para caracterizar los conjuntos medibles, pues de inicio nos dice que todos los conjuntos abiertos de son Lebesgue medibles, más aún el siguiente resultado hace ver que la categoría de los Lebesgue medibles incluye a todos los conjuntos de Borel. Teorema 9. Si

es un conjunto de Borel sobre

, entonces

es Lebesgue medible

Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida A través de esta actividad compararás los conceptos previos de Teoría de la medida con la medida de Lebesgue. Instrucciones:

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 1.

Descarga el documento llamado “Act. 1. Tabla de medidas”

Compara las dos listas que se te proporcionan. Una de conceptos intuitivos y otra de conceptos formales de la medida.

3. Ingresa al foro y tomando en cuenta la comparación de los dos listas. redacta las definiciones formales de la teoría de la medida. 4. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus respuestas. Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.2. Funciones medibles El concepto de función medible es importante porque permite construir un conjunto de funciones que contiene a otras funciones definidas en cursos anteriores tales como las continuas, las Riemann-Integrables, y cómo estas satisfacen ciertas propiedades algebraicas, además las variables aleatorias definidas en Probabilidad son un ejemplo de función de medida, la definición de función medible es casi copia de la de continua, lo que nos recuerda la manera en que la matemática se generaliza.

3.2.1. Algunas Aplicaciones Ya que existe la posibilidad de que algún conjunto tenga medida infinita, se trabaja con el sistema de números reales ampliado al que se denota por es decir se agregarán los símbolos * + que cumpla ciertas propiedades. Definición 14. El sistema de los reales extendido está formado por los números reales y los símbolos tal que las operaciones entre reales son las ya definidas, , , para todo real , , para real o ; ( ); ( ); ; , se dan definiciones similares para y finalmente , no está definido. Una propiedad se satisface casi en todas partes (c.t.p.), si se satisface en todo punto excepto un conjunto de medida cero, es decir si A es el conjunto en que falla la condición, entonces ( ) ) ( y se denota que la propiedad se cumple c.t.p.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Definición 15. Un espacio de medida es una terna ( ( ),un , y una medida sobre .

) formada por un conjunto

Las propiedades más usadas serán las siguientes: (* | ( ) ( )+) 1. . 2.

| ( )

( )+)

( )

( )+)

. si

p.c.t. para toda n y

p.c.t.

. si

p.c.t. para toda n y

p.c.t

Definición 16. Sea entonces se dice que

una función. Si ( ) es medible para todo abierto es una función medible.

Un primer teorema nos caracteriza a las funciones medibles. Teorema 9. Para cada función 1. es medible.

, las siguientes proposiciones son equivalentes.

)) es medible para cada intervalo abierto acotado (

((

( ) es medible para todo subconjunto cerrado

((

( ) es medible para todo subconjunto de Borel .

)) es medible para todo

+ ( ) , se tiene *

-) es medible para todo

Ejemplos. Si f es medible entonces * + para real finito, para para .

) de

* +

( )

Las funciones constantes son medibles ya que real.

( ) ⋂ *

))=

+ * ( )

+ * ( ) ( ) +, de manera similar

que es medible para todo

La función característica sobre cualquier conjunto es medible, si y sólo si ( ) medible ya que * + , dependiendo del valor de .

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es un conjunto

Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Las funciones continuas son medibles, ya que medible.

((

)) es abierto para todo

y por tanto

Se define la igualdad p.c.t. (para casi todo) lo que nos da una forma de equivalencia entre funciones medibles. Teorema 10. Si es una función medible y función medible.

satisface

p.c.t., entonces

es una

Demostración. ( ) ( )+, entonces de la hipótesis ( ) Si * , y así es medible. Ahora, sea un subconjunto abierto de . Ya que es medible, ( ) es medible, de aquí que ( ) ( ) es un conjunto medible. Ya que ( ) tiene medida exterior cero, es medible. De aquí, ( ) , ( )- , ( )Es un conjunto medible, así que g es una función medible. Otras propiedades de las funciones medibles se enuncian en el siguiente teorema. Teorema 11. Si ( ) a) * ( ) b) * ( ) c) *

son funciones medibles, entonces los siguientes conjuntos ( )+. ( )+. ( )+.

Son todos medibles. Demostración. Demostraremos a) y los otros se deducen de este. Sea un enumeración de los números racionales de , entonces * + * +- es medible ya que es unión ( ) ( )+ ⋃ ,* ( ) ( ) numerable de conjuntos medibles. El siguiente teorema establece que la medibilidad es preservada por operaciones algebraicas entre funciones. Teorema 12. Sean 1. 2.

funciones medibles, entonces las siguientes proposiciones son váildas:

es una función medible. es una función medible.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 3. | |

son funciones medibles.

Demostración. 1) Si es un número constante, entonces es medible, ya que si , entonces * + * ( ) ( ) + es un conjunto medible, ahora si , + * ) (, )) * ( ) ( ) ( ) entonces el conjunto ( ( )+ es medible por el teorema anterior, por tanto es medible. + ( ) 2) Nota que es medible, ya que si , entonces se tiene * si + ( ) y* ([ √ √ ]) si . Por tanto es medible, también * +, entonces ( ) es una función medible para c constante, ya que si ( ) ( ) * + para c>0 y * + para , combinando 1) y la )

relación

3) La medibilidad de | | se sigue de las relaciones * * + * + * | ( )| ( ) ( ) Para

(| |

usa las identidades

4) Las identidades ( * ( ) ( )+

* ( ) ( )+

)( ) |

(

)y (

| ( )| + si (| | |

. ). |) y (

)( )

|) nos dan los resultados junto con (1).

La medibilidad de funciones con la condición c.p.t (casi para todo). se preserva en sucesiones convergentes como queda establecido en el siguiente teorema. Teorema 13. Para una sucesión * + de funciones medibles, las siguientes proposiciones son válidas: 1) Si c.p.t., entonces f es una función medible. 2) Si * ( )+ es una sucesión acotada para cada x, entonces ambas funciones medibles. Demostración. ( ) ( )+ ya que 1) Sea * c.p.t. se sigue que y son medibles. Ahora mostraremos que f es medible. Sea igualdad muestra que

))

(( ((

0⋂

⋂

(

son

) . Por tanto y observemos la

/)1 y la medibilidad de cada

)) es un conjunto medible. También

((

)) es

)) medible por ser subconjunto de un conjunto de medida cero, así (( ))] , ))- es un conjunto medible y por tanto f es una [ (( (( función medible.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida 2)

Sea * ( )+ sucesión acotada para cada x. Mostraremos que es una función medible. La medibilidad de se sigue de la identidad ( ). Ahora notemos que =⋀ , fijemos natural, y sea ⋁ ⋁ es medible para cada , y ya que (en todo), ⋁ ⋁ ⋁ se sigue de (1) que es una función medible. Ya que (en todo lado) se sigue de (1) que es una función medible.

El último teorema de este tema relaciona la convergencia uniforme con la convergencia en medida, este teorema se atribuye al matemático ruso Dimitry Fedorovich Egorov(1864-1931). Teorema 14 (Egorov). Sea * + una sucesión de funciones medibles tal que p.c.t., y sea un subconjunto medible de tal que ( ) . Entonces para todo , existe un subconjunto medible con ( ) , y con * + convergiendo uniformemente a .

Actividad 2. Medida de Lebesgue A través de esta actividad, resolverás ejercicios sobre los conceptos fundamentales de la teoría de la Medida y Medida de Lebesgue. Para ello: 1. Descarga el archivo llamado “Act. 2. Medida de Lebesgue” 2. Analiza cada problema, identificando la estrategia por el cual se deberá resolver 3. Resuelve cada uno de los ejercicios, con las definiciones formales de Teoría de la medida. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U3_A2_XXYZ. 5. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación. *Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida de Lebesgue Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus conocimientos sobre aproximación de funciones continuas. Instrucciones: 1.

Descarga el documento “EA. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida”

2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el contenido de la unidad. 3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura MAMT2_U3_EA_XXYZ. 4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad La medida de Lebesgue es de alguna forma una generalización del concepto de conjunto abierto, ya que todos los conjuntos abiertos son medibles. La generalización natural del concepto de función continua es la función medible con los conjuntos medibles haciendo el papel de los abiertos, también toda función continua es medible. Una ventaja de las funciones medibles queda manifiesta en el Teorema de Egorov: la cerradura bajo sucesiones de funciones convergentes es algo que no se da en las funciones continuas, esta convergencia es tan fuerte que la convergencia es uniforme.

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Análisis matemático II Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida El contenido de esta unidad es necesario para la siguiente en la que se definirá la Integral de Lebesgue, un paso más en la generalización del concepto de integral, que permitirá tener una mayor cantidad de funciones integrables.

Para saber más: Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990: http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general en particular en Teoría de la Medida http://terrytao.wordpress.com/ Interesante artículo sobre la aplicación de la Teoría de la Medida a la ingeniería de software. http://www.cin.ufpe.br/~ssj/on_the_application_of_measurement_theory_825427.pdf

Referencias Bibliográficas Charalambos, D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press. De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International. Folland, G. B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley. Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press. Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM. Halmos, P. R.. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag. Royden, H; Fitzpatrick, P.. (2010). Real Analysis. USA. Pearson. Sánchez, C; Valdés, C.. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola. Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.

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