Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad
Licenciatura en Matemáticas
10° cuatrimestre
Programa de la asignatura: Ecuaciones diferenciales II
Unidad 3. Estabilidad
Clave: 050941038
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Contenido Unidad 3. Estabilidad ....................................................................................................... 3 Presentación de la unidad ............................................................................................... 3 Propósitos de la unidad .................................................................................................. 3 Competencia específica .................................................................................................. 3 3.1. Sistemas hamiltonianos ........................................................................................... 3 3.1.1. Definición y propiedades de sistemas hamiltonianos…………………………...4 Actividad 1. Modelo hamiltoniano .................................................................................. 5 3.1.2. Plano fase y curvas de nivel…………………………………………………………..7 3.2. Función de Lyapunov ............................................................................................. 11 3.2.1. Definición………………………………………………………………………………..11 Actividad 2. Modelos especiales de sistemas de ecuaciones diferenciales ............. 14 3.2.2. Oscilador armónico amortiguado…………………………………………………..14 Actividad 3. Oscilador ................................................................................................... 17 3.3. Ecuaciones de Lorenz ............................................................................................ 17 3.3.1. Soluciones periódicas………………………………………………………………...19 3.3.2. Caos………………………………………………………………………………………21 Actividad 4. Estabilidad ................................................................................................. 22 Autoevaluación .............................................................................................................. 23 Evidencia de aprendizaje: Aplicaciones de los teoremas de cálculo vectorial ......... 23 Autorreflexiones ............................................................................................................ 24 Cierre de la unidad......................................................................................................... 24 Para saber más .............................................................................................................. 24 Referencias bibliográficas ............................................................................................ 25
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Unidad 3. Estabilidad Presentación de la unidad La unidad 3 se refiere a la estabilidad, la cual se abordará en principio por medio de los modelos hamiltonianos (propiedades y definiciones), para así resolver ejercicios sobre plano fase y curvas de nivel, para ello te apoyarás con sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos y con coeficientes constantes. Después trabajarás con la función de Lyapunov, también partiendo de su definición, lo que te permitirá determinar la estabilidad de sistemas en un cierto punto fijo. Por último, revisarás las ecuaciones de Lorenz con tres variables, con soluciones tridimensionales que se entrelazan en formas arbitrarias, para lo cual te apoyarás en las soluciones periódicas y la definición de caos y atractores. Para esta unidad debes tener presente el análisis y solución de sistemas lineales y no lineales que viste en las unidades 1 y 2. Trabajarás con sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales y con coeficientes constantes. En general, las definiciones, teoremas y resultados funcionan para ecuaciones diferenciales aunque, por simplicidad, se utilizan ejemplos de sistemas de dos ecuaciones.
Propósitos de la unidad Al término de esta unidad lograrás:
Aplicar las definiciones, propiedades, teoremas y métodos de solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales para determinar la estabilidad de un modelo matemático.
Competencia específica Aplicar las definiciones, propiedades y teoremas de la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales para determinar la estabilidad de un sistema lineal y no lineal, mediante los modelos hamiltonianos, la función de Lyapunov y los criterios de estabilidad.
3.1. Sistemas hamiltonianos En este subtema se definen los sistemas hamiltonianos y una forma de analizar su solución precisando conceptos y teoremas necesarios. Es importante mencionar que el análisis
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad cualitativo visto hasta este momento no proporciona información para cualquier sistema no lineal, por ejemplo, a pesar de que la linealización da una gran orientación sobre el comportamiento de las soluciones alrededor de los puntos críticos para valores propios que son complejos puros o valores propios iguales a cero, no puede proporcionarnos información.
3.1.1. Definición y propiedades de sistemas hamiltonianos Los sistemas hamiltonianos aparecen frecuentemente en la vida real y tienen un comportamiento peculiar. Definición: Dado el sistema
Y
una función tal que para toda
e
se cumple que:
Entonces el sistema se conoce como sistema hamiltoniano y la función función hamiltoniana.
recibe el nombre de
Ejemplo ¿El siguiente es un sistema hamiltoniano? Justifica tu respuesta.
Donde la función:
Es el hamiltoniano del sistema. Solución:
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Sí es un sistema hamiltoniano, pues al calcular las derivadas parciales de
resulta que:
Por lo que se trata de un sistema hamiltoniano.
Observación: Como consecuencia de la definición de sistema hamiltoniano, si
se puede afirmar
que el sistema no es hamiltoniano y evitar la tarea de encontrar la función hamiltoniana.
Ejemplo Mostrar que el siguiente sistema no es hamiltoniano: ⁄ ⁄ Solución: Basta verificar, según la definición de sistema hamiltoniano, que
.
Se sustituyen los valores y se calcula: y Claramente
, por lo que no es un sistema hamiltoniano.
Respecto a los sistemas hamiltonianos: También se les conoce como sistemas conservativos. La función hamiltoniana representa la energía total del sistema y permanece constante a lo largo de las soluciones.
Actividad 1. Modelo hamiltoniano Por medio de las definiciones y propiedades de sistemas hamiltonianos podrás identificar sus principales características.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Instrucciones 1. De acuerdo con las definiciones que estudiaste en el primer subtema de la unidad, define sistema hamiltoniano con tus propias palabras y muestra por lo menos un ejemplo donde describas sus principales características. 2.
Ingresa al foro y anota tus conclusiones
3. Revisa las conclusiones de tres de tus compañeros(as). Acepta o rechaza sus respuestas. Consulta la Rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.
Cálculo de la función hamiltoniana Una vez que se ha comprobado que el sistema es hamiltoniano:
La función hamiltoniana se obtiene: ∫ Donde: ∫
∫
∫
Ejemplo Encuentra una función hamiltoniana para el siguiente sistema:
Solución: Se calcula:
∫ ∫
Con Siendo
∫
∫
y ∫
∫
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad ∫
∫
Entonces:
3.1.2. Plano fase y curvas de nivel Como ya sabes, esbozar el plano fase resulta una forma muy útil para darse idea del comportamiento de las soluciones de sistemas no lineales. De igual forma sucede para sistemas hamiltonianos. A continuación verás que las curvas de nivel de la función hamiltoniana son importantes para obtener el plano fase del sistema. Matriz jacobiana y puntos críticos de sistemas hamiltonianos Para un sistema hamiltoniano:
a matriz jacobiana en un punto
está dada por…
( ( Con
,
)
) y
Por lo que el polinomio característico para será:
Cuyas raíces están dadas por… √ Caso 1: El sistema tendrá como único valor propio al cero.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Caso 2: El sistema tendrá dos valores propios reales y de signos contrarios. Caso 3: El sistema tendrá valores propios imaginarios puros (sin parte real). Plano fase de sistemas hamiltonianos Del análisis de los puntos críticos de la matriz jacobiana se puede concluir que, de acuerdo con la clasificación de puntos críticos, el plano fase de un sistema hamiltoniano nunca presentará campos direccionales con puntos críticos distintos a los tres casos presentados. Es decir, las soluciones no van a dirigirse hacia sumideros, fuentes o espirales. Ejemplo De acuerdo con los siguientes planos fase, ¿cuál de los sistemas no puede ser hamiltoniano?
Plano fase sistema A. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
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Plano fase sistema B. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
Solución: El sistema no será hamiltoniano, ya que presenta un punto crítico de tipo espiral inestable (sus trayectorias tienen dirección hacia fuera del origen), y en los sistemas hamiltonianos hay estabilidad en el punto de equilibrio.
Definición:
Las curvas de nivel de la función hamiltoniana son el conjunto de puntos , es decir, a lo largo de dichas curvas tiene un valor constante.
para los cuales
Ejemplo: Traza las curvas de nivel para la función hamiltoniana siguiente:
Solución: Las curvas de nivel son funciones de la forma
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Al darle valores a
y graficarlo en algún programa de computadora, se obtiene:
Curvas de nivel de la función H. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
Puedes darte cuenta que del origen salen ramas que forman un lazo cruzado, aquí el punto resulta ser una conexión de punto silla. Las trayectorias dentro del lazo son periódicas y las que están fuera tienden a infinito conforme pasa el tiempo.
Observaciones: - A las curvas de nivel también se les conoce como isóclinas. En la unidad 2 aprendiste la definición de un caso particular de isóclina o curva de nivel, cuando
Las curvas solución del sistema yacen (pasan) sobre las curvas de nivel de la función hamiltoniana. Para sistemas hamiltonianos basta trazar las curvas de nivel de su función hamiltoniana para conocer el plano fase.
Ejemplo de sistemas hamiltonianos Oscilador armónico sin amortiguamiento El oscilador armónico es un tipo de sistema que después de oscilar alrededor de un punto vuelve a una posición de equilibrio estable; es uno de los sistemas más utilizados para ilustrar a los sistemas hamiltonianos.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad El sistema que lo representa:
Donde:
Y su función hamiltoniana es:
Curvas de nivel de H. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
3.2. Función de Lyapunov Las funciones de Lyapunov (en honor al matemático Aleksandr Lyapunov) permiten determinar la estabilidad de sistemas de manera loca loca, a partir de en un punto dado. En este subtema aprenderás como un sistema no lineal es estable en el sentido de Lyapunov si su energía decrece.
3.2.1. Definición Función de Lyapunov Definición: Sea
una solución que no es de equilibrio para un sistema de ecuaciones
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad diferenciales, entonces la función (
)
,
es una función de Lyapunov si: (excepto cuando la función no esté definida)
Verificación de la función de Lyapunov Para verificar que una función
es una función de Lyapunov basta calcular:
Ejemplo: Verifica que la función
es una función de Lyapunov para…
Solución: Para verificar basta calcular
Por lo que: cuando | | Entonces
sí es una función de Lyapunov.
Observaciones: La función de Lyapunov resulta útil para trazar el plano fase. La función de Lyapunov siempre decrece. Las curvas solución atraviesan las curvas de nivel de de mayor a menor. La función de Lyapunov no siempre existe para un sistema.
Método del gradiente
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad El método del gradiente se utiliza para encontrar funciones candidatas a funciones de Lyapunov, principalmente para sistemas físicos que resultan ser sistemas gradientes. Un ejemplo de este tipo de sistemas gradiente es el oscilador armónico amortiguado. Definición: Un sistema es llamado gradiente si existe una función
tal que:
Observación: Si
es una solución para el sistema gradiente, entonces
Por lo que la función –
siempre disminuye y se trata de una función de Lyapunov.
Matriz jacobiana y puntos críticos de sistemas gradiente Para un sistema de gradiente:
La matriz jacobiana está dada de la forma:
( ( Donde
,
)
)
y
Por lo que el polinomio característico para será:
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Cuyas raíces serán: √
Analizando las raíces, se puede afirmar que nunca habrá raíces complejas, por lo que estos sistemas nunca tendrán espirales ni centros.
Observación: El análisis anterior da una idea del comportamiento de las trayectorias en el plano fase del sistema.
Actividad 2. Modelos especiales de sistemas de ecuaciones diferenciales Al finalizar esta actividad podrás resolver problemas para conocer la estabilidad de sistemas por medio de la función de Lyapunov. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado A2. Modelos especiales de sistemas de
ecuaciones diferenciales. 2. Analiza modelo presentado de acuerdo con la función. 3. Resuelve cada uno de los modelos. Toma en cuenta la función de Lyapunov. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno.
5. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo
3.2.2. Oscilador armónico amortiguado El sistema que representa al oscilador armónico amortiguado es
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Donde:
La función hamiltoniana del oscilador armónico sin amortiguamiento se convierte en una función de Lyapunov cuando se considera el amortiguamiento:
Para probar que es una función de Lyapunov se necesita:
Por lo que
decrece y cumple con ser una función de Lyapunov para el sistema.
Es importante señalar que las curvas de nivel de sistema cruzan o intersectan a dichas curvas.
son elipses, donde las soluciones del
Curvas de nivel de V. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
Ahora tiene un mínimo en (0,0), por lo que las soluciones se acercan a dicho punto. El amortiguamiento del sistema disipa la energía, pues disminuye a lo largo de las soluciones del sistema.
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Plano fase. Imagen generada por el programa Dfield and plane de J. C. (2002). Dfield and plane. Tomada de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
Ejemplo Verifica que la función de Lyapunov
funciona para un oscilador armónico
amortiguado si el parámetro toma valores de
.
Solución: Se utiliza la forma general para el oscilador armónico, por lo que el sistema será de la forma:
Por lo tanto su función de Lyapunov es:
Después se calcula la derivada de
en términos del sistema
y
(se aplicará la regla del a
cadena para derivadas) y se obtiene que:
Por lo tanto
es una función de Lyapunov para el nuevo oscilador armónico amortiguado.
Observa que no importa qué letra se utilice para definir una función de dos variables, siempre que tengas claro qué hace cada una de estas variables.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Actividad 3. Oscilador Al finalizar esta actividad podrás resolver problemas con variantes del modelo del oscilador armónico amortiguado. Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado A3.Oscilador. 2. Analiza y resuelve cada problema que se presenta, toma en cuenta el oscilador amortiguado. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MVC02_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno.
4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo
3.3. Ecuaciones de Lorenz Los sistemas de ecuaciones diferenciales con tres variables poseen soluciones tridimensionales que asemejan lazos que se entrelazan en formas arbitrarias. Las ecuaciones de Lorenz son un sistema no lineal y tridimensional que presenta comportamientos periódicos y caóticos dependiendo del valor de sus parámetros. Fue propuesto y estudiado por Edward Lorenz en la década de los sesenta. Ecuaciones de Lorenz Las ecuaciones de Lorenz son:
Donde: es llamado número de Prandtl .
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad se llama el número de Rayleigh. es la razón entre la longitud y la altura del sistema.
Plano XY del sistema de Lorenz.
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Plano YZ del sistema de Lorenz. Tomados de http://complex.upf.es/~josep/Chaos.html
Puntos de equilibrio para el sistema de Lorenz Los puntos de equilibrio para las ecuaciones de Lorenz están dados por… - El origen (0,0). -
√
√
3.3.1. Soluciones periódicas Las ecuaciones de Lorenz presentan diversos comportamientos que surgen al variar los parámetros , y . Estos comportamientos abarcan desde ciclos límite, atractores extraños, caos intermitente o periodicidad (ruidosa). El sistema particular que Lorenz estudió fue con parámetros , y . El parámetro es justamente por el que el comportamiento de las soluciones parece caótico o periódico (en algunas áreas acotadas). Entonces las ecuaciones de Lorenz serán:
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Con puntos críticos:
, (√
)y
√
√
√
.
Linealización del sistema de Lorenz Ahora verás la linealización del sistema alrededor del origen
.
Primero se calcula la matriz jacobiana del sistema:
(
)
(
)
El sistema linealizado en el origen es:
El sistema muestra en el origen un punto silla en el plano que corresponde a un sumidero en la dirección a conforme pasa el tiempo, con condiciones iniciales cercanas al origen. El sistema linealizado en
√
√
:
√ √
√
El sistema muestra en este punto un espiral que se acerca a dicho punto conforme disminuye. El sistema linealizado en √
√
:
√
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad √
√
Para este punto también se presenta un espiral. Observaciones: - Es importante mencionar que el análisis realizado sólo es válido en áreas locales para el espacio fase. - A pesar de que los sistemas de Lorenz presentan comportamientos muy diferentes, la imagen de sus espacios fase resulta ser muy semejante entre sí.
3.3.2. Caos El caos es un fenómeno relacionado con el comportamiento de un sistema que puede presentarse en diversos sistemas y bajo diversos contextos. A continuación verás algunas definiciones necesarias para continuar con este subtema. Sistema dinámico Un sistema dinámico es aquel que evoluciona con el tiempo y que está sujeto a alguna regla. Sistema caótico Los sistemas caóticos son sistemas no lineales que son sensibles a las condiciones iniciales. Sensibilidad a las condiciones iniciales Se refiere a que, en un sistema, pequeños cambios en las condiciones iniciales producirán resultados completamente diferentes a los dados en otras condiciones muy similares.
Ejemplos de sistemas caóticos Las ecuaciones de Lorenz son uno de los ejemplos más representativos de sistemas con comportamiento caótico, sus soluciones rodean un tipo de punto que es distinto a los estudiados anteriormente. A dicho punto se le conoce como atractor extraño, que es sensible a variaciones en las condiciones iniciales.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad
Atractor extraño. Tomada de http://www.jmu.edu/geology/ComplexEvolutionarySystems/StrangeAttractors.htm
La ecuación logística es otro caso de comportamiento caótico, en este caso se tienen diversos comportamientos, por ejemplo, las órbitas visitan los mismos puntos una y otra vez.
Representación logística Tomada de http://www.epsilones.com/paginas/historias/historias-019-caos.html
Observaciones: En sistemas físicos como los anteriores, el caos se manifiesta al analizar las trayectorias. Es imposible predecir qué sucederá a largo plazo. Estos sistemas poseen dimensión fractal o fraccionaria.
Actividad 4. Estabilidad Al finalizar esta actividad podrás resolver las ecuaciones de Lorenz utilizando el teorema de linealización en el origen.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad Instrucciones: 1. Descarga el archivo llamado A4. Estabilidad. 2. Analiza y resuelve cada uno de los problemas que se presentan mediante el teorema de linealización en el origen. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U3_A4_XXYZ _XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo
Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.
Evidencia de aprendizaje: Aplicaciones de los teoremas de cálculo vectorial Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que analizar problemas de estabilidad de sistemas, podrás utilizar toda la teoría que aprendiste durante la unidad para encontrar la solución. Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado EA. Aplicaciones de los teoremas del cálculo vectorial. 2. Argumenta tu respuesta con base en lo que aprendiste en la unidad. 3. Resuelve el problema que se te plantea en el documento. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MED2_U3_EA_XXYZ.
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad 5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno. 6. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y envía la nueva versión de tu evidencia. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones Al finalizar, consulta el foro Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toma en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad En esta unidad 3 aprendiste las características principales y solución de sistemas hamiltonianos y cómo se aplica la función de Lyapunov a éstos. También aprendiste a trazar los espacios fase de sistemas en los que es posible la existencia de alguna función de Lyapunov y así asociar la información que te proporciona la estabilidad o inestabilidad que presenta un sistema. Finalmente, se estudiaron las ecuaciones de Lorenz para introducir el concepto caos dentro del análisis de sistemas dinámicos que te permitirán analizar otro tipo de modelos matemáticos a partir de los resultados anteriores.
Para saber más En los siguientes enlaces podrás encontrar programas para calcular planos fase de un sistema de ecuaciones diferenciales: (s. a). (2010). Direction Field. Recuperado de http://www.scottsarra.org/applets/dirField2/dirField2.html J. C. (2002). Dfield and plane. Recuperado de http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html En los siguientes enlaces podrás encontrar teoría y ejemplos correspondientes al tema de sistemas hamiltonianos, funciones de Lyapunov, ejemplos de oscilador amortiguado y ecuaciones de Lorenz:
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Ecuaciones diferenciales II Unidad 3. Estabilidad (s. a.). (2012). Oscilador armónico simple y amortiguado. Recuperado de http://ific.uv.es/~nebot/Oscilaciones_y_Ondas/Tema_1.pdf (s. a.). (2013). Sistemas hamiltonianos. Recuperado de http://www.ingelec.uns.edu.ar/asnl/Materiales/Cap03Extras/03-20-SistHamilton.pdf Rouche, J. (2013). Elección apropiada de la función candidato de Lyapunov. Recuperado de http://www.ingelec.uns.edu.ar/asnl/Materiales/Cap05Extras/EjRouchePendulo.pdf Rouche, J. (2013). Ejemplos de funciones de Lyapunov. Recuperado de http://www.ingelec.uns.edu.ar/asnl/materiales/cap05extras/ejemplyap.pdf Wilson, E, (1996). Tesis de maestría: aspectos cualitativos de las ecuaciones de Lorenz y sistema sincronizado. Recuperado de http://148.206.53.84/tesiuami/UAM1591.pdf
Referencias bibliográficas Braun, M. (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México: Iberoamérica. De Guzmán, M. (1987). Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría de estabilidad y control. Madrid: Alhambra. Hirsch, M. y Smale, M. (1983). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal. Madrid: Alianza. Lynch, S. (2000). Dynamical Systems with Applications using Maple, 2a ed. Berlin: Birkhäuser. Perko, L. (2000). Differential Equations and Dynamical Systems, 3a ed. Nueva York: Springer. Simmons, F. (1983). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Madrid: McGraw-Hill.
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