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Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

10° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Modelación estocástica

Unidad 3. Elementos de simulación

Clave: 050941039

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación

Índice Unidad 3. Elementos de simulación ....................................................................................................3 Presentación de la unidad......................................................................................................................3 Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................3 Competencia específica..........................................................................................................................3 3.1. Métodos de generación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias ..........4 3.1.1. Generalidades ............................................................................................................................ 4 3.1.2. Métodos de generación de números pseudoaleatorios.................................................. 6 Actividad 1. Generación números pseudoaleatorios................................................................... 10 3.1.3. Métodos de generación de variables aleatorias.............................................................. 10 Actividad 2. Generación de variables aleatorias ........................................................................... 12 Autoevaluación ...................................................................................................................................... 13 Evidencia de aprendizaje: Simulación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias ................................................................................................................................................. 13 Autorreflexiones .................................................................................................................................... 13 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 14 Para saber más....................................................................................................................................... 14 Referencias bibliográficas .................................................................................................................. 14

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Unidad 3. Elementos de simulación

Presentación de la unidad En esta unidad, la última de este curso de modelación estocástica, vas a realizar la simulación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias. Estos temas son de mucha utilidad cuando requieres aleatorizar la elección de una muestra de cierta población, o bien, si deseas realizar la simulación de un fenómeno al azar, por ejemplo, el clima que presenta un videojuego de futbol. Simular una determinada situación te puede ayudar a tomar decisiones, te permite analizar un fenómeno sin necesidad de poner en peligro la vida al estar presente, por ejemplo, en una tormenta. El contenido de esta unidad se presenta en tres subtemas. En el primero se tratarán cuestiones de tipo general acerca de la simulación, en el segundo se desarrollarán métodos para simular números pseudoaleatorios y en el tercero, métodos para simular variables aleatorias. Al igual que en las unidades anteriores, los elementos importantes se resaltarán empleando un fondo de color, con la finalidad de que los uses para obtener un nivel óptimo de conocimientos acerca de la materia de estudio.

Propósitos de la unidad Al término de esta unidad lograrás:  

Simular números pseudoaleatorios a través de los métodos congruencial y de cuadrados mínimos. Simular variables aleatorias empleando el método de la transformada inversa y el de convolución.

Competencia específica Utilizar métodos para generar números pseudoaleatorios y variables aleatorias mediante diferentes técnicas de simulación.

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3.1. Métodos de generación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias Seguramente te has dado cuenta de que los videojuegos han ido evolucionando de tal manera que son cada vez más realistas, lo que tiene como consecuencia obtener una mejor experiencia al jugarlos. Pero te has preguntado alguna vez… ¿Cómo es posible que un programa muestre gráficos que se comporten de manera muy similar a los fenómenos de la vida real? Claramente se debe a que el programador debió emplear métodos que “simulan” situaciones de la vida real en sus algoritmos. La simulación ha sido empleada por muchos científicos desde hace mucho tiempo, debido a que a través de ella se pueden generar modelos que sean muy similares a un sistema, ya sea determinístico o estocástico, que sufre cambio con respecto al tiempo, haciendo más fácil su análisis. En esta unidad aprenderás dos métodos para simular números pseudoaleatorios y dos para simular variables aleatorias con la finalidad de que seas capaz de aplicarlos a situaciones en las que sea necesario el uso de cada uno de dichos elementos para hallar soluciones.

3.1.1. Generalidades Es notorio que si se considera un fenómeno natural, por ejemplo, el clima, en él interactúan diversas variables de tipo aleatorio: la temperatura, la humedad y la presión atmosférica. Este grupo de variables forman un sistema, para el cual se puede generar un programa de computadora que intente copiar el comportamiento de éste. A dicho programa se le denomina simulador, el cual, para realizarse, requiere de la elaboración del modelo matemático de cada uno de los elementos del sistema. Algunos sistemas pueden contener también variables de tipo determinístico, muchas de las cuales pueden ser analizadas y modeladas con ecuaciones físicas. La razón primordial por la cual se emplea la técnica de simulación es debido a que a través de ésta se hace posible estudiar un fenómeno con la finalidad de intentar predecir su comportamiento. Debes considerar que aunque se realice un simulador que se asemeje mucho a un fenómeno determinado, tampoco se asegura un comportamiento exacto de éste.

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Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación En las secciones subsecuentes se mostrarán algunos métodos para modelar números que se consideran aleatorios, así como variables aleatorias. Para efectos de contar con un concepto formal del término “simulación”, se te presentan diversas definiciones que han proporcionado algunos autores, las cuales son muy aceptadas en la actualidad. Autor Thomas Naylor

Martin Shubik

Roger Schroeder

Robert E. Shannon

Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse

Definición La simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital, la cual requiere ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos que describen el comportamiento de un negocio o un sistema económico (o algún componente de ellos) en periodos extensos de tiempo real. Simulación de un sistema (o un organismo); es la operación de un modelo (simulador), el cual es una representación del sistema. Este modelo puede sujetarse a manipulaciones que serían imposibles de realizar, demasiado costosas o imprácticas. La operación de un modelo puede estudiarse y, con ello, inferirse las propiedades concernientes al comportamiento del sistema o subsistema real. La simulación es, esencialmente, una técnica que enseña a construir el modelo de una situación real aunada a la realización de experimentos con el modelo. La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias −dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos− para el funcionamiento del sistema. La simulación es una técnica cuantitativa que se emplea para evaluar cursos alternativos de acción, basada en hechos, suposiciones y cursos alternativos de acción, con un modelo matemático de computadora, con el fin de representar la toma real de decisiones en condiciones de incertidumbre.

Existen dos tipos de modelos de simulación: 1) Los continuos 2) Los discretos Los modelos continuos representan sistemas cuyo comportamiento se modifica de forma continua con el tiempo, mientras que los discretos caracterizan sistemas cuyo comportamiento sufre cambios en instantes determinados. Un modelo de simulación continuo se puede emplear para modelar, por ejemplo, al movimiento armónico simple a través de ecuaciones diferenciales. Asimismo, los sistemas de colas son situaciones que se ajustan a modelos de simulación discretos. Para realizar un proceso de simulación, básicamente se deben seguir los siguientes pasos:

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1. Definición de los objetivos

5. Evaluación de los resultados

3. Diseño del experimento

2. Formulación del modelo

4. Realización del experimento

En muchos casos en los que se requiere simular un sistema es necesario generar números aleatorios, por ello es imperativo contar con métodos para hallarlos. En la siguiente sección aprenderás dos métodos para determinar números aleatorios.

3.1.2. Métodos de generación de números pseudoaleatorios Seguramente habrás empleado números aleatorios cuando estudiaste las técnicas de muestreo. Dichos valores los obtenías de una tabla a través de “movimientos” considerados al azar. En esta sección se analizarán dos técnicas que permitirán determinar números pseudoaleatorios entre 0 y 1. Te preguntarás ahora… ¿Qué caso tiene hablar de números pseudoaleatorios cuando el objetivo es buscar números aleatorios? La respuesta es simple, los números pseudoaleatorios se pueden considerar aleatorios si cumplen las cinco condiciones siguientes (a pesar de que se determinen empleando una regla fija):

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1. Son uniformemente distribuidos con límite inferior 0 y límite superior 1

2. Independientes desde un punto de vista estadístico

3. Tienen media estadísticamente igual a 1/2

4. Tienen varianza estadísticamente igual a 1/12

5. Presentan un largo periodo de vida

Para verificar los puntos del uno al cuatro se emplean pruebas de hipótesis. El punto cinco se refiere a que la serie numérica que se genera no se reinicia de manera rápida. Es necesario aclarar que en esta sección sólo se presentarán los métodos para calcular los números pseudoaleatorios (o aleatorios), pero no se realizarán las pruebas para verificar los puntos enlistados. En ambas técnicas se llamará semilla al primer valor seleccionado para iniciar el proceso. Inicia estudiando el método congruencial, en el cual se emplea la siguiente regla: Regla del método congruencial de generación de números pseudoaleatorios

ri 1   a  c ri  mod m ............................................. (i) Donde

r0 se denomina semilla y es un número entero positivo. a es un entero cualquiera. c es un entero impar que no es divisible por tres ni por cinco. m es un entero lo más grande posible. Debes considerar que si los cálculos se harán en una computadora, entonces se recomienda que a sea tal que a mod8  5 para equipos binarios, o bien a mod 200  21 para dispositivos decimales, asimismo, m debe ser el número más grande que la computadora acepte.

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Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación Pasos del método congruencial de generación de números pseudoaleatorios entre 0 y 1

ri 1   a  c ri  mod m ............................................. (i) 1. Se determina una semilla r0 . 2. Se proponen valores enteros apropiados para a , c y m . 3. Se sustituyen los valores propuestos en el paso 2 junto con la semilla en la regla

ri 1   a  c ri  mod m Obteniendo el valor r1 , el cual debe cumplir: 0  r1  m  1 . 4. Se emplea la regla del paso 3 con los valores propuestos en el paso 2 y r1 , para obtener r3 . 5. Se continúan sustituyendo valores de forma similar al paso cuatro, hasta determinar el número

de congruencias que se necesiten. Esto significa que cada ri 1 se obtiene empleando

los valores del paso 2 y ri . 6. Al final cada rk con k 

y 1  k  n , se divide entre m  1 , obteniendo en cada caso un

número pseudoaleatorio. A partir de aquí, cuando se solicite calcular números aleatorios, deberás entender que se tienen que determinar números pseudoaleatorios por el método que se indique. Ejemplo 3.1.2.1. Emplea el método congruencial para generar cuatro números aleatorios, entre cero y uno, usando la semilla ro  53 . Solución: Considerando a  520 , c  17 y m  869 en la ecuación (i), se tiene:

r1   520  17  53  mod869  1421 mod869  552

r2   520  17  552  mod869   9904 mod869  345 r3   520  17  345  mod869   6385 mod869  302 r4   520  17  302  mod869   5654 mod869  440 Como se requiere que los números aleatorios se encuentren entre cero y uno, es necesario dividir los valores generados entre m  869 1  868 obteniendo el siguiente conjunto de números aleatorios:

0.6359447,0.397465438,0.347926267,0.506912442

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Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación Nota: debes notar que como el valor de presenta tres cifras, entonces si se desean valores entre cero y uno, los números obtenidos a través de las congruencias, los cuales son enteros, deben presentar valores entre 0 y m - 1, para después dividirlos entre m - 1. Se ve ahora otra técnica que permite determinar números pseudoaleatorios, la cual se denomina método de cuadrados medios, cuyo procedimiento se describe a continuación: Método de cuadrados medios de generación de números pseudoaleatorios entre cero y uno 1. Determinar una semilla. 2. Se eleva la semilla al cuadrado. 3. Se toman los k dígitos centrales del valor obtenido en el paso 2, con los cuales se considerará un número entre cero y uno, el cual será el primer valor pseudoaleatorio. 4. Los dígitos considerados en el paso 3 se considerarán como una nueva semilla y se repiten los pasos 2 y 3 para obtener el siguiente número paseudoaleatorio 5. Se repiten los pasos del 1 al 4 hasta obtener el número de elementos deseado.

Ejemplo 3.1.2.1. Emplea el método de cuadrados medios para generar cuatro números aleatorios entre cero y uno, cada uno de los cuales deberá presentar cuatro decimales, utilizando la semilla 523. Solución:

5232  273529 por lo tanto, al considerar los cuatro dígitos centrales del valor obtenido, se tiene que el primer número aleatorio es 0.7352. Así:

73522  54051904 , de donde el segundo número aleatorio es 0.0519. 5192  269361 , de aquí que el tercer número aleatorio sea 0.6936. 69362  48108096 y el último aleatorio es 0.1080. El empleo de software también es de gran ayuda cuando se desea determinar números aleatorios, por ejemplo Excel o Minitab, además de una calculadora científica. Debido a que en el presente curso no se pretende proporcionar manuales sobre el uso de dispositivos electrónicos para calcular números aleatorios, se te recomienda que en cuanto cuentes con un poco de tiempo busques los procedimientos que se deben seguir para realizar dicha acción haciendo uso de software o bien de una calculadora científica.

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Actividad 1. Generación números pseudoaleatorios A través de esta actividad podrás interactuar con tus compañeros(as) de grupo con la finalidad de fortalecer lo aprendido en el tema anterior. Instrucciones 1. Revisa el archivo Actividad 1_ Generación números pseudoaleatorios, y determina números pseudoaleatorios. Explica paso a paso el proceso. 2. Ingresa al foro y presenta a tus compañeros(as) los números aleatorios y el proceso que seguiste para hallarlos. Toma en cuenta que la argumentación debe ser clara y pertinente a las limitaciones del foro. 3. Revisa las respuestas de tres de tus compañeros(as), acepta o rechaza su propuesta. Explica tu decisión. 4. Consulta la Rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.1.3. Métodos de generación de variables aleatorias En la sección anterior aprendiste a determinar números pseudoaleatorios, los cuales pueden considerarse sin problema alguno como aleatorios. Ahora, en la presente sección, es necesario establecer dos métodos para generar variables aleatorias; contarás con herramientas que te permitirán simular sistemas estocásticos con la finalidad de que los analices de manera sencilla. Las técnicas que se tratarán en esta parte de la unidad requieren del empleo de números aleatorios, por tal motivo es necesario que tengas presentes los conocimientos adquiridos en la sección anterior. Inicia con el método de la transformada, el cual emplea la función de distribución acumulada (fda) F  x   P  X  x  de la distribución de probabilidades a simular. Como recordarás, la fda nombrada en el párrafo anterior cumple que 0  F  x   1 , por lo que si

ri es un número aleatorio que se obtiene de una distribución uniforme en (0, 1), y si F 1 es la 1 inversa de F , entonces existe xi   0, x  , tal que xi  F  ri  .

La afirmación anterior es la que da la pauta para describir el siguiente procedimiento: Método de la transformada inversa para generar variables aleatorias Paso 1. Generar un número aleatorio ri en (0, 1).

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Modelación estocástica Unidad 3. Elementos de simulación 1 Paso 2. Generar la variable aleatoria a través de la regla x  F  ri  .

Ejemplo 3.1.3.1. Genera la regla para simular una variable aleatoria con distribución exponencial. Solución: La función de densidad está dada en este caso por…

f  x    e  x , x  0 De aquí que la fda sea:

F  x   1  e  x Considerando

ri  1  e  x Se tiene que

F 1  ri   



ln 1  ri 

Entonces la regla para generar la variable aleatoria en este caso es:

xi  



ln 1  ri 

Si fuera necesario determinar valores a través de la regla obtenida, únicamente se deberá realizar una sustitución en la fórmula de un grupo de números aleatorios. El caso anterior muestra la forma para simular variables aleatorias de tipo continuo, aunque este método puede que no sea aplicable en algunos casos debido a que las funciones de densidad de una distribución de probabilidades pueden no ser integrables por métodos comunes. El último método que se analizará es de gran utilidad cuando es posible expresar una variable aleatoria como la suma de otras variables aleatorias, como en el caso de la distribución de Erlang. Dicha técnica se nombra convolución. Observa un ejemplo.

Ejemplo 3.1.3.2. La distribución de Erlang se define como la suma estadística de variables exponenciales iid. Usa el método de convolución para encontrar una relación que simule una variable aleatoria de Erlang.

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Solución: La función de densidad en este caso se puede escribir así: m

f ( x)    e  xi , xi  0 , i  1, 2,..., m i 1

Como ya se vio en el ejemplo 3.1.3.1., la distribución exponencial se simula a través de la expresión:

xi  



ln 1  ri 

Entonces es posible simular la distribución de Erlang mediante la regla:

1  m   1 m x      ln 1  ri    ln  1  ri     i 1    i 1  Ha culminado el curso Modelación estocástica, ahora realiza las actividades que se te solicitan con la finalidad de que afiances los conocimientos adquiridos. El equipo de la UnADM te desea éxito en todos tus proyectos.

Actividad 2. Generación de variables aleatorias Al finalizar esta actividad podrás aplicar los métodos de generación de variables aleatorias. Instrucciones: 1. Genera modelos que simulen las variables aleatorias que presentan la distribución de probabilidades dadas en cada caso:      

Uniforme Exponencial Weibull Chi-cuadrada Erlang Normal

2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MMES_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno. 3. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

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Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje: simulación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde podrás resolver ejercicios de simulación auxiliándote de toda la teoría aprendida durante la unidad. En esta sección terminarás de formalizar tus conocimientos. Instrucciones: 1. Descarga el documento Simulación de números pseudoaleatorios y de variables aleatorias. 2. Realiza las actividades que se te plantean en el archivo. 3. Argumenta tus respuestas con base en lo que aprendiste en la unidad. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MMES_U3_EA_XXYZ. 5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la del materno. 6. Envía tu trabajo al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

7. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el foro Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toma en cuenta para la calificación final.

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Cierre de la unidad En esta unidad aprendiste a simular números pseudoaleatorios, los cuales pueden considerarse como aleatorios, además, variables aleatorias, empleando diversos métodos. Ahora estás en posibilidades de emplear estos nuevos conocimientos para resolver mayor número de problemas de tipo estocástico, logrando con ello aportar métodos de solución de problemas de diversa índole en el sector productivo. El equipo de la UnADM te felicita por haber subido un escalón más hacia la culminación de tu proyecto académico.

Para saber más Revisa los contenidos de la asignatura de Procesos estocásticos. La simulación como herramienta de aprendizaje en física http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=44713044007 La simulación por computador en investigación y desarrollo http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257020406010 Simulación, herramienta para la educación médica http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=81723109 Simulación de controladores digitales http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=77212231004 Uso de simuladores como recurso digital para la transferencia de conocimiento http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=68820841008

Referencias bibliográficas   

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Azarang, M. y García, E. (1997). Simulación y análisis de modelos estocásticos. México: McGraw-Hill Interamericana. Hillier, F. y Lieberman, G. (1997). Introducción a la investigación de operaciones. México: McGraw-Hill Interamericana. Springer, C., Herlihy, R., Mall, R. y Beggs, R. (1972). Modelos probabilísticos: Serie de Matemáticas para la Dirección de Negocios. México: Unión tipográfica editorial hispanoamericana. Taha, H. (1998). Investigación de operaciones: una introducción. México: Prentice Hall.

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Taylor, H. y Karlin, S. (1998). An Introduction to Stochastic Modeling. EUA: Academic Press.

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