Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Análisis Matemático I
7° cuatrimestre
Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
Clave: 050930726
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
ÍNDICE Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ...................................................................................... 3 Presentación de la unidad ....................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica .......................................................................................................... 4 2.1. Sucesiones convergentes ................................................................................................. 4 2.1.1. Sucesiones convergentes.............................................................................................. 4 2.1.2. Subsucesiones .............................................................................................................. 6 2.1.3.Sucesiones de Cauchy ................................................................................................... 8 Actividad 1. Sucesiones ........................................................................................................... 8 2.2. Sucesiones de funciones .................................................................................................. 9 Actividad 2. Una paradoja ...................................................................................................... 10 2.2.1. Convergencia puntual .................................................................................................. 10 2.2.2. Convergencia uniforme................................................................................................ 13 2.2.3. Convergencia e integración ......................................................................................... 16 2.2.4. Convergencia y derivación .......................................................................................... 20 Actividad 3. Convergencia ..................................................................................................... 23 2.3. Funciones continuas ....................................................................................................... 24 2.3.1. Límite y Continuidad ................................................................................................... 25 2.3.2. Continuidad y conexidad. El teorema de los valores intermedios. ............................... 30 Actividad 4. Continuidad ........................................................................................................ 33 Autoevaluación ....................................................................................................................... 34 Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de las funciones continuas ................................. 35 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 36 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 36 Para saber más ....................................................................................................................... 37 Referencias bibliográficas ..................................................................................................... 37
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
Presentación de la unidad En los cursos de Cálculo, te familiarizaste con las sucesiones de números reales y de vectores. En la primera sección de esta unidad, vamos a extender el concepto de sucesión a espacios más generales. En la segunda sección continuamos con el estudio de sucesiones, pero ahora cada término de una sucesión será una función. Revisaremos sucesiones de funciones, este concepto es importante porque existen funciones para las cuales resulta casi imposible determinar su regla de correspondencia lo más conveniente, en esos casos, es verlas como el límite de una sucesión de funciones (o serie de funciones), de manera que sea posible estudiar la función a través del estudio de la sucesión de funciones. Así que analizaremos las condiciones para que las características de la sucesión de funciones sean heredadas a la función límite. Esto te permitirá comprender mejor el espacio de las funciones continuas, la noción de continuidad y algunos de los contenidos que se abordarán en la Unidad 3. Así como se definen funciones , en la tercera sección de ésta unidad, vamos a tratar con funciones de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. Dentro de este tipo de funciones, las funciones continuas ocupan un lugar especial , ya que su estudio es de gran importancia en otras ramas de las Matemáticas como la Topología, las ecuaciones diferenciales o la geometría diferencial. Vamos a generalizar el concepto de función continua y caracterizarlo con sucesiones y conjuntos abiertos. Concluiremos con una generalización del teorema de los valores intermedios, haciendo uso de la noción de conjunto conexo.
Propósitos de la unidad
Aplicar las características de los espacios vectoriales, la norma, distancia y las nociones de topología en el estudio de sucesiones y funciones continuas, para determinar sus propiedades. Emplear las propiedades de las sucesiones para determinar la convergencia, convergencia puntual y uniforme en la resolución de diversos problemas matemáticos.
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Utilizar las propiedades de las sucesiones de funciones para determinar cuándo las características de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la sucesión son heredadas a la función límite. Manejar la continuidad de funciones entre espacios métricos para establecer características topológicas, haciendo uso de la noción de límite y convergencia. Usar el teorema de los valores intermedios en la solución de diversos problemas matemáticos, haciendo uso de la noción de conjuntos conexos.
Competencia específica
Aplicar las propiedades de sucesiones y funciones en el establecimiento de características topológicas para resolver diversos problemas matemáticos, haciendo uso de la convergencia puntual y uniforme de sucesiones, así como de la continuidad y el teorema de los valores intermedios para funciones continuas en espacios métricos.
2.1. Sucesiones convergentes El estudio de las sucesiones convergentes, facilitará la demostración de distintos resultados sobre funciones o aplicaciones continuas definidas en un espacio métrico, cuya imagen está contenida en otro espacio métrico.
2.1.1. Sucesiones convergentes Una métrica también permite generalizar los conceptos relativos a sucesiones. Al igual que en y n, en un espacio U una sucesión {un} es una función que va de los números naturales a un espacio U, φ:ℕ U, tal que φ(n) = un. Esto es, {un} son los puntos en la imagen de φ. Gran parte de los resultados de sucesiones en n son generalizables de inmediato A continuación te damos ejemplos: Definición. Sucesión convergente. Sea * + una sucesión en un espacio métrico (U, ). Decimos que la sucesión * + converge a si, para todo , existe un índice ℕ tal ) que para todo natural ocurre que ( . Y denotamos:
Si *
+ no converge, decimos que diverge.
La definición nos indica que una sucesión * + converge a , cuando a partir de algún término , la distancia de todos los términos con índice n> N, a es tan pequeña como queramos.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Esto equivale a dos cosas: 1. * + converge a de radio r con centro en .
ℕ t que s ( ), y fuera de la bola hay un número finito de términos de la sucesión, a lo más N:
2. Si * + converge a , entonces la sucesión de números reales * ( cero. Es decir: ( )
)+ converge a
Como ejemplo, la sucesión {1/n} converge a 0, con la métrica usual euclidiana pero, con la métrica discreta no. Con la métrica usual, dado ε> 0, por el principio de Arquímedes, existe N ℕ tal que 1/N <ε. Entonces, para todo n > N, d(1/n, 0) = |1/n| = 1/n <ε. Con la métrica discreta, si ε = 1/2 > 0, como 1/n > 0 para todo número natural n, entonces dD(1/n, 0) = 1 > 0. Observa que la convergencia de una sucesión, depende de la sucesión, pero también del espacio donde se encuentra la sucesión y de la métrica que se esté usando. Las siguientes proposiciones son propiedades de las sucesiones convergentes en un espacio métrico (U, d). Proposición. Si {un} converge a u y a v, entonces u = v. Demostración. Vamos a suponer que u ≠ v, entonces d(u, v) = α > 0. D mos ε = α/2 > 0. Como {un} converge a u, existe N1 ℕ tal, que si n> N1, entonces d(un, u) <α/2. Como {un} converge a v, existe N2 ℕ tal, que si n> N1, entonces d(un, v) <α/2. Sea N3≥ N1 y N3≥ N2. Entonces: α = d(u, v) ≤d(un, u) + d(un, v) <α/2 + α/2 = α Así llegamos a que α<α, lo que es una contradicción. Por lo tanto es falso suponer que u ≠ v, y queda demostrado que son iguales. Proposición. Si una sucesión converge, entonces es acotada. Demostración. Supongamos que *
+ converge a .
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ) Por definición, dado r = 1, existe N ℕ tal que para todo natural ocurre que ( Los términos que su distancia a son a lo más . Entonces, tomamos de la siguiente manera: ( ) ( ) ( )+ * ℕ:
Se concluye que, para todo
( Así, *
.
)
+ está contenida en una Bola abierta de radio
, con centro en .
2.1.2. Subsucesiones Entenderemos que estamos trabajando en un espacio métrico (U, d), a menos que se diga explícitamente lo contrario. Definición. Subsucesión. Una sucesión { } es un subsucesión de * 1. La sucesión de índices * + es creciente ( ℕ) 2. ℕ ℕ tal, que .
+ si:
La segunda condición establece que todo término de la subsucesión, es un término de la sucesión * +. Y la primera condición, indica que el orden (de los índices) en que aparecen los términos en la sucesión, se conserva en la subsucesión. Teorema. Una sucesión * converge y su límite es .
+ converge y su límite es
si y sólo si toda subsucesión de *
Demostración. Primero tomamos como hipótesis que * + converge y a demostrar que toda subsucesión de * + también converge y su límite es .
+
. Vamos
Consideramos una subsucesión { } cualquiera. Como * + converge a , dado cualquier ) ℕ tal que para todo natural ocurre que ( . Esto quiere decir que fuera de la bola Así que todo término de la subsucesión Por lo tanto {
( ) hay a lo más un número con
de términos de *
está dentro de la bola, y (
+.
)
.
} converge a .
Si ahora tomamos como hipótesis que toda subsucesión { }, de * +, converge a , como una sucesión es subsucesión de ella misma, se sigue que * + converge a .
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Definición. Punto límite. Decimos que p es punto límite de una sucesión * subsucesión { } de * +, tal que { } converge a p.
+, si existe una
Propiedades. 1. Si p y q son puntos límite de * +, la sucesión diverge. 2. Si q es un punto de acumulación de una sucesión * +, entonces q es punto límite de la sucesión. }de *
Esto es, existe una subsucesión {
+ tal, que
.
La primera propiedad es inmediata, mientras que a segunda la formularemos de manera más general en el siguiente teorema. Sólo señalamos que su recíproco no se cumple; es decir que una sucesión puede tener un punto límite y éste no necesariamente es punto de acumulación de la sucesión (piensa en la sucesión de números reales {(-1)n}, que tiene dos puntos límite: 1 y –1, y ninguno de ellos es punto de acumulación de la sucesión). Teorema. Punto de acumulación con sucesiones. Sea . Si q es un punto de * + acumulación de , entonces existe una sucesión tal que y * + converge a q. Demostración. Tenemos como hipótesis que q es un punto de acumulación de , entonces: ( ) Es decir,
, existe
, con (
Ahora, tenemos que construir la sucesión * siguiente manera:
) +
. que converja a q. Procedemos de la
Paso 1. Damos
, con (
)
Paso 2. Damos
, con (
)
Paso 3. Damos
, con (
)
Y así sucesivamente, en el paso n, damos: , con ( De esta manera, hemos construido *
+
)
, que converge a q.
Esta convergencia se sigue dado cualquier
, existe N en los naturales tal, que
; y,
para todo (
)
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2.1.3.Sucesiones de Cauchy Definición. Sucesión de Cauchy. Sea (U, ) en espacio métrico. Una sucesión * una sucesión de Cauchy, si: ( ) ℕ t que Teorema. Si una sucesión converge a Demostración. Supongamos que existe un
, entonces dado cualquier ocurre que (
Si tomamos dos naturales cualesquiera,
Así, tenemos que ( Por lo tanto *
)
)
, se tiene que
y,
.
, entonces:
)≤ ( ,
es
, entonces es de Cauchy en .
ℕ tal, que para todo natural
(
+
)
(
y
+ es una sucesión de Cauchy.
) .
.
El recíproco de este teorema no siempre se cumple. Esto es, no siempre una sucesión de Cauchy en , converge a un . Por ejemplo, en U = (0, ∞) con la métrica usual, la sucesión {1/n} es de Cauchy, porque para todo r> 0, siempre existe N ℕ tal, que 1/N <r. Y para todo n, m> N, con n>m, se sigue que 0 <d((1/n,1/m) = 1/n – 1/m < 1/n < 1/N < r Así tenemos: d((1/n,1/m) < r, lo que demuestra que la sucesión es de Cauchy. Sin embargo no converge a ningún punto en el intervalo (0, ∞). Los espacios métricos donde ocurre que toda sucesión de Cauchy converge a un punto del mismo espacio, son llamados espacios métricos completos, o espacios de Banach. Esto lo trataremos en la Unidad 3.
Actividad 1. Sucesiones En esta actividad aplicarás tus conocimientos sobre las características de los espacios vectoriales, así como la norma, distancia y nociones de topología en el estudio de sucesiones y aplicarás también los conceptos de sucesiones convergentes, sucesiones acotadas, punto límite y punto de acumulación para resolver diversos problemas. 1. Descarga el documento “Act. 1. Sucesiones”.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad 2. Realiza lo que se te indica en el documento. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U2_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB. 4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).
2.2. Sucesiones de funciones En esta sección nos vamos a referir a sucesiones de funciones definidas en contenida en .
y con imagen
Al igual que las sucesiones de números reales, una sucesión de funciones es una función que asocia cada número natural con el valor de una func ón φ(n) = fn(x). La sucesión de funciones, son las imágenes de φ: {fn(x)} = {f1(x), f2(x), f3(x), …} Ejemplos 1. * ( )+
*
+
2. *
*
+
( )+
*
*
+, donde cada
.
+, con
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Actividad 2. Una paradoja En este foro analizarás un ejemplo de una sucesión de funciones, que resulta paradójico y te introduce al tema de la convergencia de funciones. Instrucciones: 1. Descarga y lee el documento ”Paradojas” 2. Ingresa al foro “Una paradoja” y responde las siguientes preguntas: a) Si n tiende a infinito la longitud de las gráficas de las funciones ¿cuál es ese valor?
tiende a un valor,
b) Llama g(x) a la función a la que tienden las funciones , cuando n tiende a infinito. ¿Coincide el valor hallado en el inciso (a), con la longitud de la gráfica de la función g(x)? c) ¿Cómo explicas lo que ocurre? 3. Comenta las aportaciones de tus compañeros. aceptando o rechazando la de dos de tus compañeros 4. Consulta la Rubrica general de foros” ubicada en la pestaña Material de apoyo.
2.2.1. Convergencia puntual Definición. Convergencia puntual. Sean
,
definidas en un conjunto A. Decimos que
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es
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad el límite puntual, o que * ( )+ converge puntualmente a que: ( ) ( )
en A, si para cada
ocurre
Lo que equivale a la definición usual de límite de una sucesión, para cada fijo en A: | ( ) ( )| ℕ t que s Y, denotamos: ( ) La notación
indica que el natural
( )
o
que existe depende de y de .
Ejemplos 1. Consideremos la sucesión * ( )+
*
+ donde cada
,
-
.
En
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
En
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
Y, en general, si Pero en
)
( )
( )
,
( )
( )
( )
( )
( )
De manera que la sucesión de funciones converge puntualmente a la función que vale cero en [0, 1) y vale 1 en x =1: ( )
( )
≤
{
Observa que para toda n, cada función función límite ( ) 2. , Si Y, si
o
{
≤
, definidas por: ( ) , entonces
,
( )
( )
o
{
≤
es una función continua,y sin embargo la
, no es continua en 1. ( ) ( ) . ( ), para toda . y, entonces
( )
(
) tiende a 0 cuando
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad tiende a infinito. Así que el límite puntual de la sucesión de funciones, es la función constante cero, en [0, 1]. ( )
( )
o
En este caso, cada función ( ) ( ) es continua y la función límite ( ) también es continua en todo el intervalo [0, 1]. Sin embargo, para n muy grande, los valores de las funciones ( ), para cerca del cero, no se acercan tan rápido al valor de la función límite ( ) . Conforme n crece, ( ) se pega al eje Y, y su valor máximo se acerca a 1/e.
En la siguiente gráfica se muestran las gráficas de y azul claro, respectivamente).
Derivando cada
para
(azul, verde, rojo
, veremos que su valor máximo en el intervalo [0, 1), lo alcanza en el punto
: ( )
(
)
(
)
(
)
(
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)
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad (
o
)
Y, el límite del valor máximo esta dado por: (
)
(
)[
(
)]
.
/
Si buscamos sucesiones de funciones ( ) tales, que converjan a una función ( ), en un conjunto A, de manera que las ( ) se acerquen a ( ) tanto como queramos, para todo la convergencia puntual no es suficiente.
,
Necesitamos otro concepto: el de convergencia uniforme.
2.2.2. Convergencia uniforme Definición. Convergencia Uniforme. Sean , definidas en un conjunto A. Decimos que es el límite uniforme de * + en A, o que * + converge uniformemente a en A, si: | ( ) ( )| , ℕ t , que Y denotamos: ( ) El natural .
que existe, es uno para todo
( )
o
; es decir, no depende de
y sólo depende de
Supongamos que , , y converge uniformemente a . Lo que nos dice la definición, geométricamente, es que dado cualquier , a partir de un índice ocurre que las gráficas de todas las funciones, , con están dentro de la franja delimitada por y .
Esto no lo cumplen los dos ejemplos vistos en convergencia puntual. Basta dar , para notar que hay partes de las gráficas de las funciones de la sucesión, que se salen de la
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad franja delimitada por la función límite. Observa las gráficas de la primera sucesión.
Por muy grande que sea , para cerca de 1, siempre hay partes de la gráfica de salen de la franja. Así que * + converge puntualmente a la función: ≤ ( ) {
que se
Pero la convergencia no es uniforme. Ahora observa las gráficas de la segunda sucesión.
Igualmente, por muy grande que sea , para cerca del0, siempre hay partes de la gráfica de que se salen de la franja. Así que * ( ) + converge puntualmente a la función: ( ) , pero la convergencia no es uniforme. Ahora veamos un ejemplo de una sucesión de funciones que sí converge uniformemente a una función, la función ( ) , ∞), converge a la función constante cero.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
En efecto, si
( )
ℕ. Y si ( )
Y, dada cualquier
ℕ tal, que ≤
Y tenemos que para todo
ℕ . Así que para todo
( )
, ∞) y para todo | ( )
( )|
|
ℕ tal, que: |
Por lo tanto:
Teorema. Si * + converge uniformemente a la función , entonces * ( )+ converge puntualmente a la misma función .
La demostración se dejará como ejercicio. Observa que el recíproco no se cumple. Esto es, que una sucesión de funciones converja puntualmente a una función , no implica la que convergencia sea uniforme. Un contraejemplo lo tenemos en la sucesión* ( ) + que converge puntualmente a la función constante cero, pero ya vimos que la convergencia no es uniforme. La convergencia uniforme nos garantiza que una sucesión de funciones se pega tanto como queramos a la función límite; es decir, que la distancia entre las y la función límite tiende a 0 conforme n tiende a infinito. El siguiente teorema lo garantiza.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Teorema. Sea * + una sucesión de funciones definidas en un conjunto A. Entonces: (
*| ( )
+)
( )||
Demostración. | ( )
ℕ t , que
*| ( )
ℕ t , que (
*| ( )
( )||
( )| ( )||
+
+)
Ahora, nos interesa saber bajo qué condiciones una función que es límite de una sucesión de funciones * + “hered ” s prop ed des de s func ones . Esto es, si es continua, derivable e integrable para toda ℕ, bajo qué condiciones la función límite también será continua, integrable y derivable. Esto lo trataremos en las siguientes dos secciones.
2.2.3. Convergencia e integración Teorema. Convergencia uniforme y acotación. Sea * ( )+ una sucesión de funciones definida en A, que converge uniformemente a en A. Si es acotada en A para toda ℕ, entonces es acotada en A. La demostración es sencilla y se dejará como ejercicio. Teorema A. Convergencia uniforme y continuidad. Sea * ( )+ una sucesión de funciones definida en A, que converge uniformemente a en A. Si es continua en A para toda ℕ, entonces es continua en A. Demostración Queremos demostrar que para cualquier entonces | ( ) ( )| . Sea Como
cualquiera y es continua
. ℕ s |
Como
tal, que si |
, dado
|
,
tal, que |
converge uniformemente a ,
| ( )
( )|
ℕ t , que
( ) para todo
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En particular si
| ( )
( )|
( )
| ( )
( )|
( )
,
Ahora sólo sumamos dos ceros a | ( ) | ( )
( )|
| ( )
≤ |⏟ ( )
( )|
( ) |⏟ ( )
por
Por lo tanto | ( )
( )|
( )|, de la siguiente manera: ( ) ( )|
( ) |⏟ ( )
por
( )
( )|
( )|
por
.
Observaciones 1. Este resultado es de gran utilidad cuando se quiere demostrar que una sucesión de funciones no converge uniformemente a una función. Pues bastaría mostrar que la función límite puntual es discontinua para concluir que la sucesión no converge uniformemente a esa función. 2. Sin embargo, hay sucesiones * + donde las son discontinuas y sí ocurre que * + converge uniformemente a una función , discontinua. Una manera trivial de construir un ejemplo de este tipo, es dar una función
discontinua y definir
o
3. Ten cuidado de no confundir las dos observaciones anteriores. En 1, todas las ser continuas, y la función límite discontinua.
. deben
Teorema B. Convergencia Uniforme e integración. Sea * ( )+ una sucesión de funciones definida en A, que converge uniformemente a en A. Si es Riemann integrable en , para toda ℕ, entonces es Riemann integrable en , -y ∫
Demostración Debemos demostrar que
( )
es integrable en ,
∫
( )
-, y después la igualdad anterior.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Para demostrar que es integrable bastará comprobar que la diferencia entre su integral superior (el ínfimo de las sumas superiores) y su integral inferior (el supremo de las sumas inferiores), es tan pequeña como queramos. Es decir, queremos demostrar que para cualquier
∫ ( )
Sea
(
)
, ocurre que:
∫ ( )
ℕ t , que
. Como
,
y para todo
-, ocurre
que: | ( )
( )|
( ( )
| ( )
( )
)
(
)
( )|
( )
( )
(
)
(
( )
)
(
)
Por las propiedades de la integral superior y la inferior, se considera que:
∫
∫
Como
( )
( )
(
∫
∫ ( )
)
(
∫ ( )
)
≤∫ ( )
∫
≤∫ ( )
( )
∫
( )
(
)
∫
(
)
es integrable, su integral superior y su integral inferior son iguales a su integral.
Usando esto, que también se cumple para la constante:
(
, y calculando la integral de esta
)
constante, se tiene lo siguiente:
∫
( )
(
)
∫ ( )
(
)
∫ ( )
∫ ( )
∫
≤∫ ( )
( )
∫
(∫
( )
(
( )
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)
(
)
)
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ∫ ( )
es integrable en ,
Así concluimos que
∫ ( )
-.
Ahora, nota que demostrar la igualdad: ( )
∫
( )
∫
Equivale a demostrar que: ( )
(∫
|∫
(
)
( )
∫
sucede que: ( )
|
. ℕ t , que
Como
)
ℕ t , que
Queremos demostrar que
. Dada
( )
∫
,
y para todo | ( )
( )|
(
-, ocurre que:
)
Entonces, por las propiedades de la integral, se sigue que: |∫
( )
( )
|≤∫ | ( )
|∫
( )|
( )
∫
( )
(
)
(
)
(
)
|
Observación Nota que la igualdad: ∫
( )
∫
( )
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Significa que el límite entra y sale de la integral, puesto que ( ) convergencia uniforme implica la convergencia.
( ) y la
Es decir:
∫
( )
( )
∫
Ejemplo ( )
,
-
Ya vimos (sección 2.2.2) que esta sucesión converge uniformemente a la constante 0, en el intervalo [0, ∞], por lo que converge a 0 en cualquier intervalo contenido en [0, ∞]. Por tanto:
El teorema anterior, nos garantiza que: ∫
∫
∫
2.2.4. Convergencia y derivación El hecho de que sea derivable para toda n en los naturales, y converja a una función , no ( ) garantiza que sea derivable y ( ). Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión dada por: ( )
(
)
Esta sucesión converge uniformemente a la función constante 0, pues dada ℕt toda
que
, existe
; y como la función seno varía entre – 1 y 1, tenemos que para
se cumplen las siguientes desigualdades.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad | ( )
( )|
(
|
)
|
(
|
)
|≤
Sin embargo, derivando respecto , se obtiene la sucesión de funciones derivadas, que diverge. ( )
(
Tan solo en puntos de la forma
.
(
) )
(
)
(
)
:
(
/
)
{
∞
s
∞ s
es p r es mp r
Es decir, que no existe el límite de * +. Teorema C. Convergencia uniforme y derivación. Sea * ( )+ una sucesión de funciones definida , -. Si se satisfacen las siguientes tres condiciones: 1. 2. 3. Entonces,
ℕ
es derivable en , en , en , -
es derivable en ,
-y
-y
( )
es continua en A.
( ).
Demostración Por el teorema B, la condición 3 nos garantiza que, para todo
∫
( )
∫ ( )
,
( )
-:
( )
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad En la condición 1, tenemos que en , -. Ahora, para
,
-, entonces (teorema A),
es continua
-, definimos la función:
( )
Como
,
es continua en
∫ ( )
( )
∫
( )
∫
es continua, por el teorema fundamental del cálculo, ( )
( )
( ) ( )
Por otro lado, la condición 2, garantiza que
( ).
Usando esto y aplicando la regla de Barrow, se tiene que:
( )
( )
∫
( ( )
( )
( ))
( )
( )
( ) Y concluimos que
( )
( )
( )
( )⏞
( )
es derivable y ( )
( )
( )
Ejemplo Consideremos la sucesión de funciones dada por (
( ) (
Notamos que para todo
) y para todo ≥
)
(
)
ℕ (
)≥
Y (
)≤
(
)≥
Entonces, se satisfacen las siguientes desigualdades:
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2 2
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad (
≤ (
≤ ℕ tal que
Además, dado
y
)
)
≤
≤
; entonces, para todo
, se cumple
que: (
≤ (
|
)
≤
) |
(
)
Por lo tanto: (
( )
)
( )
Ahora analicemos la sucesión de funciones derivadas:
( )
Es claro que
( )
(
(
) )
(
converge uniformemente a 0, en ( ( )
)
). Por lo tanto
( )
Actividad 3. Convergencia Es momento de poner a prueba lo que has aprendido sobre la convergencia puntual y uniforme de sucesiones así como la convergencia e integración y la convergencia y derivación. Aplicarás estos conocimientos en la demostración de algunos resultados y en la solución de problemas. 1. Descarga el documento “Act. 3. Convergencia” 2. Realiza lo que se te pide en cada ejercicio y problema planteado. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U2_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no
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2 3
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad debe exceder 4MB. 4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).
2.3. Funciones continuas La definición de función en espacios vectoriales, es equivalente a la definición de función en Veamos. Definición. Función, aplicación o mapeo. Sean dos espacios vectoriales, Decimos que es una función, aplicación o mapeo de en , y denotamos relaciona a cada elemento con un único elemento , y denotamos ( )
.
. , si .
Dominio. Al conjunto de puntos donde la función está definida, se le llama dominio y se denota: * | ( ) ( est def n d en )+ Imagen. Al conjunto de valores que toma la función, se le llama imagen (rango) y se denota: ( ) { ( ) | } En relación a una función, además del dominio y la imagen, nos va interesar hablar de otros dos tipos de conjuntos, la imagen directa de un conjunto y la imagen inversa de un conjunto. Definición. Sean dos espacios vectoriales, y una función . 1. Imagen directa. Para un conjunto , definimos la imagen (o imagen directa) de bajo como el conjunto de todas las imágenes ( ), para : ( )
* ( )
2. Imagen inversa. Para un conjunto como el conjunto: ( ) {
|
+
( ), definimos la imagen inversa de , |
( )
}
Observaciones ( ) Supongamos que en una función , tenemos ,e 1. Si ( ) , la aplicación es sobre (sobreyectiva) de
. en .
* +, la imagen inversa de 2. De acuerdo a la definición, considerando conjunto de todos los puntos en el dominio que bajo van a : ( )
{
|
( )
es el
}
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2 4
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Si para cada el conjunto ( ) consta de un único elemento, se dice que el mapeo es inyectivo o “uno a uno” de en . Esto es equivalente a la definición dada en la ( ) unidad 1; es decir, es uno a uno, cuando ( ) . 3. Si la función es uno a uno y sobre de
en , se dice que la aplicación es biunívoca.
Un resultado que usaremos posteriormente, es el siguiente. Resultado. El complemento de la imagen inversa de un conjunto es la imagen inversa del complemento del conjunto: (
( ))
(
)
La demostración es sencilla y se dejará como ejercicio.
2.3.1. Límite y Continuidad Límite de una función La idea de límite de una función es que siempre que podamos acercarnos a un punto puntos del dominio las imágenes de esos puntos se acerquen a un valor . Definición. Límite. Sean (
)(
) dos espacios vectoriales, (
de acumulación del dominio de : denotamos:
) . Decimos que ( )
y
es el límite de
con
un punto
en , y
o
t es que
si,
con son las métricas en Observaciones. 1. Si norma. 2. La función 3.
y
y
(
)
( ( ) )
respectivamente.
, con la distancia usual euclidiana,
puede no estar definida en
y
se sustituyen por la
es decir, puede ocurrir que
.
puede no ser un punto en la imagen de . Además, puede suceder que además de ser punto de acumulación del dominio, sea un punto del dominio, ,y ( ) .
4. Decir que número
no es el límite de una función en un punto , significa que existe un , tal que para cualquier , siempre existe un tal que
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2 5
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ( El
)
( (
pero
) )≥
que existe, depende de .
Esta definición se puede reformular empleando la noción de límite de una sucesión. Una función tendrá un límite en un punto , cuando suceda que para toda sucesión de puntos del dominio que converge a , la sucesión de imágenes converja a . Teorema. Límite con sucesiones. Sean ( y
)(
un punto de acumulación del dominio de :
) dos espacios vectoriales, (
).
Entonces: ( ) Si, y sólo si, para toda sucesión *
+
, con
, (
s
)
Demostración. Suponiendo que: ( ) Sea *
+, con
, cualquier sucesión de puntos en el dominio tal que
(
Vamos a demostrar que Sea
)
.
cualquiera.
Por 1, existe
tal que: s
Por 2, existe
(
)
( ( ) )
ℕ tal que para todo (
)
Entonces:
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2 6
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ( ( Por lo tanto
(
)
) )
.
Ahora, para demostrar el recíproco, suponemos que para toda sucesión * (
s Y vamos a suponer que
no es el límite de
Como no es el límite de , satisface; (
+
, con
,
)
y llegaremos a una contradicción.
, tal que
)
y
pero
( (
(que depende de ) que
) )≥
Como es punto de acumulación de , el teorema de punto de acumulación con sucesiones (sección 2.1.2) nos garantiza que existe una sucesión * + , con tal que . Entonces, dado
ℕ tal que para todo
existe
Construimos una subsucesión { ( Y, en general,
}
tomando
)
( (
)
,
(
)
.
de manera que: (
)
)
Es inmediato que esta subsucesión satisface 3:
Y, por 2, se sigue que Entonces, dado
( existe
)
. ℕ tal que para todo ( ( ) )
Pero esta última desigualdad contradice la desigualdad 4. De manera que es falso suponer que
no es el límite de ; y, por tanto, sí lo es.
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2 7
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Como el límite de una sucesión es único, trae como consecuencia el siguiente corolario: Corolario. “El límite de una función en un punto, es único”. Funciones continuas Una función es continua en un punto , si siempre que podamos acercarnos dominio y las imágenes de esos puntos se acerquen al valor ( ). )( Definición. Continuidad. Sean ( .decimos que es continua en , si
Una función
) dos espacios vectoriales, tales que:
(
con
)
es continua en un conjunto , si
Observaciones 1. Es implícito que
(
y
con puntos del
)
( ( ) ( )) es continua en
para
para todo
.
.
2. Si es un punto aislado del dominio de , entonces es continua en . Un punto es punto aislado de un conjunto , si existe tal que ( ) * +; es decir, el único punto de en la bola es . 3. La composición de funciones continuas es continua. Esto es, si es continua en y es continua en ( ) , entonces Si es continua en un punto el límite de en p es ( ). Teorema. Sea
y
, es continua en .
es además punto de acumulación del dominio de , entonces
punto de acumulación del dominio de .
Entonces: ( )
es cont nu en
( )
La demostración es inmediata, basta comparar la definición de límite con la definición de continuidad. Nota que el teorema anterior lo podemos reformular con límites de sucesiones de la siguiente manera: si es punto de acumulación del dominio de entonces es continua en si, y sólo si, para toda sucesión de puntos del dominio que converge a , la sucesión de imágenes converge a ( ): es cont nu en
*
+
(
)
( )
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2 8
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad Una caracterización útil de las funciones continuas establece que bajo aplicaciones continuas, la imagen inversa de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Teorema. Imagen inversa de abiertos, es un abierto. Sean ( vectoriales, una aplicación.
)(
La función es continua en si, y sólo si, para todo conjunto abierto imagen inversa, ( ), es un conjunto abierto en .
) dos espacios
, ocurre que su
Demostración Primero, tomamos como hipótesis que es continua en . Vamos a demostrar que si es un abierto en , entonces ( ) es abierto. Esto es, queremos demostrar que todo ( ) es un punto interior de ( ); es decir, que hay una bola con centro en contenida en ( ). Procedemos como sigue: con ( )
Tomamos cualquier ( ( )) .
. Como
es abierto, existe
tal que
Entonces, ( ( )) Como
es continua en , existe ) si (
Se sigue que ( )
Por lo tanto
( ( ) )
, tal que para todo ( ( ) ( ))
y, en consecuencia, ( )
.
( )
( ).
( )
Para demostrar el recíproco, tenemos como hipótesis que para todo conjunto abierto , ocurre que su imagen inversa, ( ), es un conjunto abierto en . Queremos demostrar que es continua , para cualquier en . Procedemos de la siguiente manera: Damos abierto y
y
. Sea
*
|
(
( ))
+. Es claro que este conjunto es
( ).
Como es abierto, por hipótesis ( ) es abierto, por lo que existe ( )para ( ); es decir, ( ) ( ) que ( ) Entonces, si
(
)
( )
( )
y, por tanto
(
tal ( ). ( ))
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. Lo que
2 9
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad demuestra que
es continua en , para cualquier
Corolario. Sean (
)(
.
) dos espacios vectoriales ,
una aplicación.
La función es continua en si, y sólo si, para todo conjunto cerrado imagen inversa, ( ), es un conjunto cerrado en . Demostración Supongamos que es continua. Sea ( ) es cerrado en :
, ocurre que su
un conjunto cerrado en . Vamos a demostrar que
(
Como es cerrado, es abierto. Por el teorema anterior, abierto, por tanto ( ) es cerrado en .
)
( )) es
(
Para el recíproco, suponemos que para todo conjunto cerrado , ocurre que su imagen inversa, ( ), es un conjunto cerrado en . Queremos demostrar que es continua en . ( ( )) es abierta, por tanto su
Tomamos ( ) y cualquiera. La bola complemento , ( ( ))- es cerrado en . Entonces
,
( ( ))-
(
( ( )) es cerrado en .
Esto implica que
(
( ( )) es abierto en , y todos sus puntos son puntos interiores.
Es claro que
(
( ( )).
Se sigue que
tal, que
( )
(
En consecuencia, tenemos que para todo Por tanto,
( ( ))
( ))
(
con
(
)
( ( ) ( ( ) ( ))
.
es continua en .
2.3.2. Continuidad y conexidad. El teorema de los valores intermedios. Conjuntos conexos Intuitivamente, un conjunto es conexo s “es de un so parte ajenas.
p ez ”, no lo podemos separar en dos
Por ejemplo, en el intervalo [0, 1] es conexo, pero el conjunto formado por la unión de dos , - , - no es conexo, porque podemos separarlo en dos conjuntos ajenos, intervalos encerrando a [0, 1] en el intervalo (-1, 1/3) y a [2, 3] lo encerramos en (2/3, 4). Es más sencillo caracterizar a los conjuntos que no son conexos que a los conexos, por eso se
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad define primero qué significa que un conjunto no sea conexo y, a partir de ello, se define lo que es un conjunto conexo. Definición. Sea ( ) un espacio métrico, . 1. Conjunto no conexo. Se dice que es un conjunto no conexo o disconexo, si existen dos subconjuntos de , abiertos, que satisfacen las siguientes condiciones: i) ii) iii) iv) 2. Conjunto conexo. Un conjunto
es conexo si no es disconexo.
Observaciones 1. Para demostrar que un conjunto es conexo, en general se supone que es disconexo y se llega a una contradicción. 2. Hay diferentes caracterizaciones de conjuntos conexos, equivalentes a la definición aquí expuesta. Por ejemplo, un conjunto es disconexo, si existen dos subconjuntos de que satisfacen las siguientes condiciones: a) ̅ ̅ b) c) d) Y, un conjunto es conexo si no es disconexo. 3. Es claro que un conjunto disconexo se puede separar en dos conjuntos ajenos. Pero la unión de dos conjuntos ajenos, no necesariamente es un disconexo. Por ejemplo, el conjunto , - ( - está formado por la unión de dos conjuntos ajenos (, ( ), sin embargo no es disconexo (el 1 está en la cerradura de los dos intervalos, y no hay manera de que se cumpla b), por tanto, es conexo. El siguiente resultado es básico en el estudio de los conjuntos conexos en Lema. “El intervalo ,
-
.
es conexo”.
Demostración. Suponemos que , - es disconexo. Entonces existen dos abiertos no vacíos , , , , cuya intersección es vacía, , . Supongamos que es cota superior de
(si esuviera en , le cambiamos el nombre a los conjuntos). Entonces 1 , -). ( , y por tanto tiene supremo. Sea
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3 1
Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad
Observa que ( cerrado.
,
-)
(,
, -), ( Como Así, es punto de acumulación de puntos de acumulación, por lo que
-) , que es unión de abiertos, por lo tanto
,
,
- es
, - con , -] ≤ ( ) [ . - y, como este conjunto es cerrado contiene a sus , -.
Como y son ajenos y , . Entonces, cualquier vecindad con centro en no puede , estar contenida en , así que cualquier vecindad con centro en contiene puntos de , -. Por lo tanto, es punto de acumulación de , Al igual que Y llegamos a que
-, el conjunto , - es cerrado, entonces , lo que contradice el hecho de que y
En conclusión, es falso suponer que ,
, -. son ajenos.
- es disconexo, así que es conexo.
Observaciones 1. Cualquier intervalo cerrado [a, b] es conexo. La demostración es análoga a la del lema anterior, sólo que el papel del 0 lo jugará a y el del 1, b. 2. Cualquier intervalo: (a, b), (a, b], [a, b), (–∞, b], (–∞, b), (a, ∞), [a, ∞), (–∞,∞), es conexo. Igual se supone que no lo son, se toma un punto c en A y uno d en B, que jugarán el papel de 0 y 1 en la demostración del lema. 3. En general, cualquier subconjunto de los números reales, es conexo, si y sólo si, o consta de un solo punto, o es un intervalo. En efecto, si es un conjunto con más de un punto, y no es un intervalo, existirán a<b<c, con a,c ,yb ; de manera que (–∞, b) = A y (b, ∞) = B satisfacen las condiciones para concluir que es disconexo. Conexos bajo funciones continuas Bajo funciones continuas, la imagen de un conjunto conexo, es un conjunto conexo. Teorema. Sean ( continua y sobre. Si
)( ) dos espacios vectoriales, es conexo, entonces ( ) es conexo.
una función
Demostración. Suponemos que ( ) no es conexo, entonces existen dos conjuntos no vacíos y ajenos, , que cada uno interseca a ( ) y cuya unión contiene a ( ). Entonces ( ) ( ) serían dos conjuntos (la imagen inversa de abiertos es un abierto), no vacíos,
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad ajenos, que cada uno interseca a y cuya unión contiene a ( )); así es disconexo. Y llegamos a una contradicción.
( )
(
(
)
( )
Por ejemplo, en una circunferencia de radio 1, es un conjunto conexo, pues podemos verla ( )), para como la imagen de la función continua , dada por ( ) ( ( ) , -. El siguiente teorema establece que bajo funciones continuas sobre conjuntos conexos, dados dos puntos distintos cualesquiera en la imagen de la función, ésta toma todos los valores entre esos dos puntos. ) un espacio vectorial, Teorema de los valores intermedios. Sea ( una función continua y sobre. Si es conexo, y ( ) ( ), entonces para todo con ( ) ( ) existe tal, que ( ) .
Demostración. Como es continua en conexo, entonces ( ) es conexo en , por tanto es un intervalo. Al tener , se sigue que ( ) ( ) están en el intervalo ( ). Luego, la condición ( ) ( ) implica que también es un punto en dicho intervalo, por ( ). Entonces existe lo que tal que ( ) .
Una aplicación A pesar de lo sencillo de la demostración, las implicaciones del teorema son importantes. Como ejemplo, veremos que la gráfica de todo polinomio de grado impar, corta al menos en un punto al eje X. Teorema. Todo polinomio ( ) menos una raíz.
, con
Demostración. Supongamos que ( )). Como
(si ( )
Existen ( ) .
con ( )
( )
∞
. Al ser
impar, tiene al
se procede de manera análoga para ( )
∞
continua en el conexo (– ∞ ∞), existe
tal que
Actividad 4. Continuidad Ahora debes aplicar lo que has aprendido sobre las funciones, las funciones continuas y el teorema de los valores intermedios, en la resolución de problemas.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad 1. Descarga el documento” Act. 4. Continuidad” 2. Realiza lo que se te pide hacer en cada ejercicio y problema planteado. 3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura AM1_U2_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB.
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador.
Autoevaluación Es momento de realizar la autoevaluación, donde podrás medir el grado de conocimiento que haz adquirido durante la unidad Instrucciones: Lee cada enunciado y elige la opción correcta. 1. Sea * + ℕ una sucesión en un espacio métrico ( afirmaciones es la única verdadera? a) b) c) d)
). ¿Cuál de las siguientes
) Si , existen ℕ tales que ( , entonces * + * + ℕ es de Cauchy si ( ℕ tales que Si * + ℕ converge en , entonces * + ℕ es de Cauchy. Si * + ℕ es de Cauchy, entonces converge en .
ℕ
2. ¿En cuál de los siguientes dominios, la sucesión de funciones dada por: converge uniformemente? a) ( ) , b) ( ) , c) ( ) , d) Ninguno.
-
es de Cauchy. ) .
( )
ℕ
-
3. Considera que tenemos una sucesión de funciones ( ) ℕ que converge uniformemente a una función en un intervalo , -. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única falsa? a) b) c) d)
Si las funciones Si las funciones Si las funciones Si las funciones
son continuas, entonces es continua. son acotadas, entonces es acotada. son integrables en , -, entonces ∫ ( ) son derivables en , -, entonces
( ) ( ).
∫
( )
.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única falsa? a) Considera dos conjuntos ( Entonces, toda función
), la métrica discreta, y es continua.
cualquier otra métrica.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad b) Considera dos conjuntos ( ), la métrica discreta, y cualquier otra métrica.Entonces, toda función es continua. c) Si es cualquier función constante entre cualesquiera dos espacios métricos, ( )( ), entonces es continua. ); d) Si es la función identidad, ( ) , en cualquier espacio métrico ( entonces es continua. 5. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es la única falsa. a) b) c) d)
Sean dos conjuntos no vacíos y cerrados. Si y son conexos, entonces tanto como son conexos. Si son conexos y , entonces es conexo. El interior de un conjunto conexo, es conexo.
6. Sea verdadera?. a) b) c) d)
Si Si Si Si
un función continua. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la única es conexo, entonces su imagen inversa, ( ), es conexo. es abierto, entonces su imagen directa ( ) es un abierto. es cerrado, entonces su imagen inversa ( ), es un cerrado. es cerrado, entonces su imagen directa ( ) es un conexo.
Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento Respuestas_autoevaluación_U2, ubicada en la pestaña material de apoyo de la unidad 2 Retroalimentación 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad. 4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.
Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de las funciones continuas Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje donde tendrás que aplicar tus conocimientos sobre funciones continuas, conjuntos conexos y el teorema de los valores intermedios. Instrucciones: 1. Descarga el rch vo” EA. Aplicaciones de las funciones continuas” 2. Lee las instrucciones y realiza lo que se te indica. 3. Guarda y envía tu reporte al Portafolio de Evidencias con la nomenclatura AM1_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder 4MB
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad 4. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de Autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad El hecho de tener un espacio vectorial dotado de una norma ‖ ‖ , tiene consecuencias muy importantes. Ya que podemos definir en una métrica: (
)
‖
‖
Esta distancia nos permite: 1. Definir bolas (en similitud a las vecindades en ): + ( ) * |‖ ‖ Y hablar de conjuntos abiertos y cerrados, puntos frontera y puntos de acumulación. 2. Definir conjunto acotado. Un conjunto , ( ) ‖ ‖ ≤ .
es actodado, si existe
3. Hablar de sucesiones convergentes. Una sucesión * ( ) ‖ para toda ℕ tal que funciones convergentes puntual y uniformemente. 4. Hablar de límite y continuidad de una función: todo tal que si ( ) ‖ ‖ ( ( ) ( donde‖ ‖ es norma en .
, tal que para todo
+ converge, su existe tal que ‖ . Y de sucesiones de
es continua en ))
‖ ( )
(
si para
)‖
5. Hablar de conjuntos conexos y generalizar el teorema de los valores intermedios a funciones que van de un espacio métrico cualquiera, a los reales. 6. Hablar de completitud de un espacio métrico. Un espacio métrico es completo, si toda sucesión de Cauchy, converge a un punto del espacio métrico.
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Análisis Matemático I Unidad 2. Sucesiones y Continuidad 7. Hablar de Conjuntos compactos, las características de las funiones continuas sobre conjuntos compactos y generalizar a espacios métricos generales otros resultados de los reales. Los puntos 6 y 7, los abordaremos en la Unidad 3.
Para saber más Te recomendamos revisar el documento cap_3_Esp_Met_Piñeiro_Univ Murcia_España. En él encontrarás ejemplos de: Funciones continuas Funciones abiertas y cerradas Funciones biyectivas y homeomorfismos Funciones continuas e inyectivas Funciones continuas que conservan distancias.
Referencias bibliográficas
Bartle, R. G.(1964), The Elements of Real Analysis, New York: J. Wiley, T. M. Aopostol,(1976) Análisis Matemático, Reverté, S.A., Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V(1975)., Introductory Real Analysis, New York: Dover, Rudin, Walter(1965), Principles of Matematical Analysis, New York: McGraw-Hill, Bartle, R. G., Sherbert D. R.1984) Introducción al Análisis Matemático de una variable, Limusa, Royden, H. L., (1988) Analysis, New York: Macmillan, Dieudonné, J.,(1968) Élémentsd'analyse, Paris: Gauthier-Villars,
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