Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
8° Semestre
Transformaciones y series
Unidad 1. Series de Fourier
Clave: 05144844
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 1
Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier
Índice Unidad 1. Series de Fourier............................................................................................. 3 Introducción ..................................................................................................................... 3 Espacios vectoriales ....................................................................................................... 4 Propiedades del producto interno ................................................................................... 4 Definición de la norma o longitud de un vector ............................................................... 4 Funciones ortogonales ................................................................................................... 5 Definición del producto interno de dos funciones ........................................................... 5 Definición de funciones ortogonales ............................................................................... 6 Funciones ortonormales ................................................................................................. 7 Definición funciones ortonormales.................................................................................. 7 Series de Fourier ............................................................................................................. 8 Definición de serie de Fourier ......................................................................................... 9 Cierre de la Unidad ........................................................................................................ 11 Fuentes de consulta ...................................................................................................... 11
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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Unidad 1. Series de Fourier
IntroducciĂłn Dentro del ĂĄrea de las matemĂĄticas se utiliza el concepto de vector como un conjunto ordenado de đ?‘› cantidades por ejemplo [đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ] đ?‘‡ donde cada componente đ?‘Ľ1 se toma del conjunto de los nĂşmeros reales â„? o de los nĂşmeros complejos â„‚. En los casos particulares de vectores bidimensionales (đ?‘› = 2) y tridimensionales (đ?‘› = 3), se utilizan en la prĂĄctica representaciones alternativas que comprenden magnitudes y ĂĄngulos. Durante esta unidad revisarĂĄs, los espacios vectoriales ademĂĄs de las funciones ortogonales dentro de un plano tridimensional. Dentro de esta misma unidad revisarĂĄs las funciones ortogonales que se considera como una generalizaciĂłn de un vector, ademĂĄs de sus dos conceptos vectoriales (Producto interno y ortogonalidad que abarcan las funciones. Finalmente concluirĂĄs con el concepto se serie de Fourier para funciones de periodo 2đ?œ‹.
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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Espacios vectoriales Propiedades del producto interno Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial complejo đ??ť junto con una funciĂłn que asocia a cada par ordenado de vectores đ?‘Ľ, đ?‘Ś đ?œ– đ??ť un nĂşmero complejo ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ. El nĂşmero ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ es llamado producto interno de đ?‘Ľ e đ?‘Ś sĂ cumple con las siguientes condiciones: ⌊đ?‘Ś, đ?‘ĽâŒŞ  ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…  ⌊đ?‘Ľ + đ?‘Ś, đ?‘§âŒŞ = ⌊đ?‘Ľ, đ?‘§âŒŞ + ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ  ⌊đ?œ†đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ, ∀ đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ??ť; con đ?œ† un escalar  ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ĽâŒŞ ≼ 0, ∀ đ?‘Ľ ∈ đ??ť  ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ĽâŒŞ = 0 sĂ y solo sĂ đ?‘Ľ = 0
De acuerdo a la cuarta propiedad, es posible definir la norma de un vector en un espacio pre-hilbertiano. DefiniciĂłn de la norma o longitud de un vector Si đ?œ‘ ∈ đ??ť, con đ??ť un espacio vectorial, y đ?œ‘1 , đ?œ‘2 , ‌ , đ?œ‘đ?‘› una base de đ?œ‘. Entonces se dice que la longitud o norma del vector đ?œ‘ estĂĄ definida por: ‖đ?œ‘‖ = √⌊đ?œ‘, đ?œ‘âŒŞ = √⌊đ?œ‘1 , đ?œ‘2 , ‌ , đ?œ‘đ?‘› âŒŞâŒŠđ?œ‘1 , đ?œ‘2 , ‌ , đ?œ‘đ?‘› âŒŞ = √đ?œ‘12 + đ?œ‘22 + â‹Ż + đ?œ‘đ?‘›2 La norma de un vector posee las siguientes propiedades:
 ‖đ?œ†đ?œ‘‖ = |đ?œ†|‖đ?œ‘‖; con đ?œ† n escalar  ⌊đ?›ź, đ?›˝âŒŞ = ‖đ?›źâ€–‖đ?›˝â€– cos đ?œƒ; donde đ?œƒ es el ĂĄngulo entre đ?›ź y đ?›˝ Ciencias Exactas, ingenierĂas y tecnologĂas Licenciatura en MatemĂĄticas 4
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 ‖đ?œ‘‖2 = ⌊đ?œ‘, đ?œ‘âŒŞ  |⌊đ?œ‘1 , đ?œ‘2 âŒŞ| ≤ ‖đ?œ‘1 ‖‖đ?œ‘2 ‖ ∀ đ?œ‘1 , đ?œ‘2 ∈ đ??ť. (Desigualdad de Schwartz)  ‖đ?œ‘1 + đ?œ‘2 ‖ ≤ ‖đ?œ‘1 ‖ + ‖đ?œ‘2 ‖ ∀ đ?œ‘1 , đ?œ‘2 ∈ đ??ť. (Desigualdad del triĂĄngulo)
Si definimos la distancia entre đ?œ‘1 y đ?œ‘2 como đ?‘‘(đ?œ‘1 , đ?œ‘2 ) = ‖đ?œ‘1 − đ?œ‘2 ‖, se dice que đ??ť es un espacio mĂŠtrico. Un espacio pre-hilbertiano đ??ť recibe el nombre de espacio de Hilbert si toda sucesiĂłn de Cauchy converge en đ??ť, es decir, si đ??ť es completo con la mĂŠtrica inducida por el producto interno.
Funciones ortogonales En relaciĂłn con geometrĂa, se dice que dos lĂneas son ortogonales si el ĂĄngulo formado entre ambas es de 90°. Este resultado se puede extender a los vectores y mĂĄs aĂşn al de funciones a travĂŠs del estudio del producto interno. DefiniciĂłn del producto interno de dos funciones Sea đ?‘“1 y đ?‘“2 dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado [đ?‘Ž, đ?‘?]. Entonces se define el producto interno entre đ?‘“1 y đ?‘“2 como: đ?‘?
⌊đ?‘“1 , đ?‘“2 âŒŞ = âˆŤ đ?‘“1 (t) đ?‘“(đ?‘Ą)2 đ?‘‘đ?‘Ą con đ?‘Ą un parĂĄmetro đ?‘Ž
Dado que đ?‘“1 y đ?‘“2 son continuas inducen un producto interno, es decir, cumplen con las propiedades planteadas al principio de ĂŠste capĂtulo. Este producto interno entre funciones induce la norma Ciencias Exactas, ingenierĂas y tecnologĂas Licenciatura en MatemĂĄticas 5
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đ?‘?
‖đ?‘“‖ = (âˆŤ đ?‘“ 2 (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą ) , đ?‘Ž
resulta fĂĄcil verificar las propiedades de la norma anteriormente dadas. DefiniciĂłn de funciones ortogonales Se dice que dos funciones đ?‘“1 y đ?‘“2 son ortogonales en el intervalo cerrado [đ?‘Ž, đ?‘?] si ⌊đ?‘“1 , đ?‘“2 âŒŞ = 0 Al generalizar esta definiciĂłn a un conjunto de funciones distintas de cero {đ?œ™đ?‘– } con đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘› . Se dice que el conjunto de funciones {đ?œ™đ?‘– } son ortogonales en [đ?‘Ž, đ?‘?] si: đ?‘?
⌊đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘š âŒŞ = âˆŤ đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘š (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = 0
si � ≠�.
đ?‘Ž
Ejemplo.- Considere el espacio generado por los polinomios {2đ?‘Ą 2 − 1, 2đ?‘Ą}. Muestre que los elementos de la base son ortogonales en el intervalo de [0,1]. SoluciĂłn. Sea đ?‘ƒ1 = 2đ?‘Ą y đ?‘ƒ2 = 2đ?‘Ą 2 − 1, entonces por definiciĂłn de producto interno se puede escribir 1
1
1
đ?‘Ą4 đ?‘Ą2 ⌊đ?‘ƒ1 , đ?‘ƒ2 âŒŞ = âˆŤ(2đ?‘Ą)(2đ?‘Ą − 1)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(4đ?‘Ą − 2đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = 4 − 2 ] = 0. 4 2 0 2
0
3
0
Ejemplo.- Considere el espacio generado por el conjunto de las funciones {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?‘Ą)} con đ?‘› = 0,1,2, ‌ . Muestre que el conjunto de elementos de la base son ortogonales en el intervalo cerrado [– đ?œ‹, đ?œ‹]. SoluciĂłn. Por definiciĂłn de producto interno se tiene đ?œ‹
đ?œ‹
–đ?œ‹
–đ?œ‹
1 ⌊đ?œ‘đ?‘› , đ?œ‘đ?‘š âŒŞ = âˆŤ cos(đ?‘›đ?‘Ą) cos(đ?‘šđ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(cos[(đ?‘› + đ?‘š)đ?‘Ą] + cos[(đ?‘› − đ?‘š)đ?‘Ą]) 2 Ciencias Exactas, ingenierĂas y tecnologĂas Licenciatura en MatemĂĄticas 6
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đ?œ‹
1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›[(đ?‘› + đ?‘š)đ?‘Ą] đ?‘ đ?‘’đ?‘›[(đ?‘› − đ?‘š)đ?‘Ą] = ( + ) = 0 đ?‘ đ?‘– đ?‘› ≠đ?‘š 2 đ?‘›+đ?‘š đ?‘›âˆ’đ?‘š –đ?œ‹ Por lo tanto el conjunto {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?‘Ą)} = {1, đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą), đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą), ‌ } es una base ortogonal en el intervalo [– đ?œ‹, đ?œ‹].
Funciones ortonormales El punto de partida para el estudio de las funciones ortonormales, comienza a partir del estudio de las funciones ortogonales. La idea intuitiva es que si se tiene una base linealmente independiente que genera a todo el espacio vectorial. Entonces los componentes de esta base se ortogonalizan y es posible obtener una base ortogonal que tambiĂŠn que tambiĂŠn genera al espacio. Entonces al obtener la norma de cada uno de los vectores de la base, se obtiene una base ortonormal que tambiĂŠn genera al espacio vectorial. DefiniciĂłn funciones ortonormales Se dice que el conjunto de funciones {đ?œ™đ?‘– } son ortonormales en [đ?‘Ž, đ?‘?] si: đ?‘?
 ⌊đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘š âŒŞ = âˆŤ đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘š (đ?‘Ą) = 0 đ?‘ đ?‘– đ?‘› ≠đ?‘š đ?‘Ž đ?‘?
 ⌊đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘› âŒŞ = âˆŤ đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą)đ?œ™đ?‘› (đ?‘Ą) = 1 đ?‘Ž
En general para cualesquiera dos funciones đ?œ™đ?‘› , đ?œ™đ?‘š ortogonales, el producto interno entre ellas es cero si đ?‘š ≠đ?‘› y uno cuando đ?‘š = đ?‘›. A esta propiedad se le conoce como delta de Kronecker Ciencias Exactas, ingenierĂas y tecnologĂas Licenciatura en MatemĂĄticas 7
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1 si đ?‘š ≠đ?‘› đ?›żđ?‘šđ?‘› = { . 0 si đ?‘š = đ?‘› Para construir una conjunto ortonormal a partir de un conjunto ortogonal đ?œ™
{đ?œ™đ?‘— } .simplemente se considera el conjunto ortonormal como {‖đ?œ™đ?‘—‖} donde ‖đ?œ™đ?‘— ‖ es đ?‘—
la norma de đ?œ™đ?‘— .
Ejemplo.- Construya un base ortonormal del espacio generado por el conjunto de las funciones {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?‘Ą)} con đ?‘› = 0,1,2, ‌ en el intervalo cerrado [– đ?œ‹, đ?œ‹]. SoluciĂłn: En un ejemplo anterior se mostrĂł que el conjunto {đ?œ‘đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?‘Ą)} es una base ortogonal en el intervalo [– đ?œ‹, đ?œ‹]. AsĂ que ahora calculamos la norma de đ?œ‘đ?‘› , para cualquier đ?‘› se tiene que la norma es 1 2
đ?œ‹
đ?œ‹
1 2
1 ‖đ?œ‘đ?‘› ‖ = ( âˆŤ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?‘›đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą) = ( âˆŤ[1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘›đ?‘Ą)]đ?‘‘đ?‘Ą) = √đ?œ‹. 2 −đ?œ‹
−đ?œ‹
Finalmente tenemos que el conjunto
{
1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2đ?‘Ą) , , , ‌ , }, √đ?œ‹ √đ?œ‹ √đ?œ‹
es una base ortonormal.
Series de Fourier Con el fin de estudiar ciertos fenĂłmenos periĂłdicos en la FĂsica y en la IngenierĂa como pueden ser: el estudio de una onda de sonido, una seĂąal elĂŠctrica de algĂşn tipo, o el movimiento de un sistema mecĂĄnico que vibra. El estudio de estos fenĂłmenos se basa en la idea de aproximar la funciĂłn mediante funciones periĂłdicas seno y coseno. Se dice que una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) es periĂłdica si estĂĄ definida para toda đ?‘Ľ ∈ â„? y si existe algĂşn nĂşmero positivo đ?‘‡ (el cual es llamado periodo) de manera que para toda đ?‘Ľ ∈ â„? Ciencias Exactas, ingenierĂas y tecnologĂas Licenciatura en MatemĂĄticas 8
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đ?‘“(đ?‘Ľ + đ?‘‡) = đ?‘“(đ?‘Ľ). DefiniciĂłn de serie de Fourier Supongamos que đ?‘“(đ?‘Ľ) es una funciĂłn periĂłdica con periodo 2đ?œ‹ que puede representarse por medio de una serie trigonomĂŠtrica de la forma ∞
đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž0 + ∑(đ?‘Žđ?‘› cos đ?‘›đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› sen đ?‘›đ?‘Ľ). đ?‘›=1
Los coeficientes de esta serie se obtienen por medio de las fĂłrmulas de Euler
đ?‘Ž0 =
1 đ?œ‹ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ 2đ?œ‹ −đ?œ‹
1 đ?œ‹ đ?‘Žđ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) cos đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‹ −đ?œ‹ đ?‘?đ?‘› =
1 đ?œ‹ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) sen đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‹ −đ?œ‹
para toda đ?‘› = 1,2, ‌ . De este modo se tiene que đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 cos đ?‘Ľ + đ?‘?1 sen đ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› cos đ?‘›đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› sen đ?‘›đ?‘Ľ + â‹Ż . Esta serie recibe el nombre de serie de Fourier correspondiente a đ?‘“(đ?‘Ľ) y sus coeficientes se llaman coeficientes de Fourier. Ejemplo.- Encuentre la serie de Fourier de la funciĂłn periĂłdica −đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ −đ?œ‹ < đ?‘Ľ < 0 đ?‘“(đ?‘Ľ) = { đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ 0 < đ?‘Ľ < đ?œ‹ SoluciĂłn: Esta es una funciĂłn de periodo 2đ?œ‹, es decir, đ?‘“(đ?‘Ľ + 2đ?œ‹) = đ?‘“(đ?‘Ľ). Notemos que el coeficiente đ?‘Ž0 representa el ĂĄrea bajo la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) en el intervalo (−đ?œ‹, đ?œ‹) pero por la definiciĂłn de đ?‘“(đ?‘Ľ) este es cero. Tenemos para toda đ?‘› 1 đ?œ‹ 1 0 1 đ?œ‹ đ?‘Žđ?‘› = Exactas, âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) cos đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ −đ?‘˜ cos đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + en âˆŤ đ?‘˜ cos đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ Ciencias Licenciatura đ?œ‹ −đ?œ‹ ingenierĂas y tecnologĂas đ?œ‹ −đ?œ‹ đ?œ‹ 0 MatemĂĄticas 1 sen đ?‘›đ?‘Ľ9 0 sen đ?‘›đ?‘Ľ đ?œ‹ = [−đ?‘˜ | +đ?‘˜ | ]=0 đ?œ‹ đ?‘› đ?‘› −đ?œ‹ 0
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Puesto que cos(−đ?›ź) = cos đ?›ź calculamos 1 đ?œ‹ 1 0 1 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘› = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ) sen đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ −đ?‘˜ sen đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘˜ sen đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‹ −đ?œ‹ đ?œ‹ −đ?œ‹ đ?œ‹ 0 0 đ?œ‹ 1 cos đ?‘›đ?‘Ľ cos đ?‘›đ?‘Ľ 2đ?‘˜ (1 − cos đ?‘›đ?œ‹) = [−đ?‘˜ | +đ?‘˜ | ]= đ?œ‹ đ?‘› đ?‘› đ?‘›đ?œ‹ −đ?œ‹ 0 Finalmente tenemos que (1 − cos đ?‘›đ?œ‹) = 2 para đ?‘› impar y (1 − cos đ?‘›đ?œ‹) = 0 para đ?‘› par. Por lo tanto 4đ?‘˜ 1 1 đ?‘“(đ?‘Ľ) = (sen đ?‘Ľ + sin 3đ?‘Ľ + sen 5đ?‘Ľ + â‹Ż). đ?œ‹ 3 5
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Transformaciones y series Unidad 1. Series de Fourier Cierre de la Unidad En esta unidad se pretende que tengas en cuenta los espacios vectoriales para poder resolver ejercicios sobre series de Fourier, así mismo, estás te ayudarán en la unidad 2 a resolver problemas de diversas series que se verán, así como diversas transformadas.
Fuentes de consulta Castellet, M y Llerena, I. Álgebra Lineal y Geometría, Reverté, Barcelona, 2000. Merino, L. y Santos, E. Álgebra Lineal con Métodos Elementales, Thomson, 1999. Romero, A. Álgebra Lineal y Geometría, La Madraza, Granada, 1986.
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