Universidad Abierta y a Distancia de México Coordinación Académica y de Investigación División de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
PROYECTO TERMINAL INFORME GENERAL DE RESULTADOS
Rectora
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Lilian Kravzov Appel
Coordinación Académica y de Investigación María Teresa Greta Trangay Vázquez
Dirección de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Dolores Alejandra Vásquez Carbajal
Responsable del programa educativo de Matemáticas Carlos Alberto Serrato Hernández
Docente en línea de proyecto terminal María del Alba Pacheco Blas
Docente(s) en línea evaluador(es) del proyecto terminal Orlando Fabian Echeverría Álvarez Fernando Antonio Rocha Sánchez Mónica Zaima Víquez Cano Alejandra Zamora Medina
Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México (IEMS CDMX). IMPORTANTE
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Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una licencia de Creative Commons
Material desarrollado y/o recopilado con fines educativos por el estudiante para el desarrollo de su proyecto terminal del programa educativo de Matemáticas, perteneciente a la División de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología de la Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) México, 2021.
DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
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“Modelo estocástico usando cadenas de Markov que tienden a predecir la deserción estudiantil del IEMS CDMX en los planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón para su modalidad semiescolar”
Proyecto terminal para obtener el grado profesional de Licenciatura en Matemáticas Que sustenta la estudiante: Matilde Juárez Jaímez Con matrícula escolar: ES1821001796
Bajo la dirección del: Mtro. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado
Con la revisión de la: Dra. María del Alba Pacheco Blas
México, a octubre de 2021.
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ÍNDICE ÍNDICE ……………………………………………………………………………………………. i AGRADECIMIENTOS........................................................................................................ 1 RESUMEN ........................................................................................................................ 3 CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN ........................................................................................ 4 1.1 PRESENTACIÓN ..................................................................................................... 5 1.2 DIAGNÓSTICO ........................................................................................................ 7 1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .....................................................................11 1.4 JUSTIFICACIÓN .....................................................................................................13 1.5 OBJETIVOS ............................................................................................................14 1.5.1 Objetivo general................................................................................................15 1.5.2 Objetivos específicos ........................................................................................15 1.6 METAS ...................................................................................................................15 CAPÍTULO 2: MARCO INVESTIGATIVO .........................................................................17 2.1 MARCO CONTEXTUAL ..........................................................................................20 2.1.1 Deserción .........................................................................................................21 CAPÍTULO 3: MARCO TEÓRICO ....................................................................................27 3.1 CADENAS DE MARKOV ........................................................................................28 3.2 CADENAS HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS ................................................29 3.3 PROBABILIDAD Y MATRIZ DE TRANSICIÓN........................................................30 3.4 MODELO O PROCESO ESTOCÁSTICO ................................................................33 3.4 .1 MODELO MATEMÁTICO ESTOCÁSTICO ......................................................34 3.4.1 TEORIA DE GRAFOS ......................................................................................35 CAPÍTULO 4: METODOLOGÍA ........................................................................................39 4.1 POBLACIÓN Y MUESTRA......................................................................................40 4.2 ESTRATEGIA DE ESTUDIO ...................................................................................40 4.3 PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ...........................................................43 4.4 PLANTEAMIENTO DEL MODELO ESTOCÁSTICO................................................43 4.5 PRONÓSTICO A FUTURO CON SOFTWARE R STUDIO .....................................43 4.6 CONFIABILIDAD DEL MODELO MATEMATICO ESTOCÁSTICO ..........................44 4.7 CRONOGRAMA ......................................................................................................44
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4.8 RECURSOS ............................................................................................................44 CAPÍTULO 5: RESULTADOS Y ANÁLISIS ......................................................................46 5.1 PLANTEL CUAJIMALPA .........................................................................................47 5.1.1 Análisis de Reprobación Asignaturas Plantel Cuajimalpa .................................54 5.1.2 Confiabilidad del Modelo Estocástico Plantel Cuajimalpa .................................59 5.1.3 Prueba de Bondad de Ajuste Chi-Cuadrada (𝜒2) en Minitab ............................63
5.2 PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN ..............................................................................65 5.2.1 Análisis de Reprobación Asignaturas Plantel Álvaro Obregón ..........................69 5.2.2 Confiabilidad del Modelo Estocástico Plantel Álvaro Obregón ..........................73 5.2.3 Prueba de Bondad de Ajuste Chi-Cuadrada 𝜒2 en Minitab ...............................76
CAPITULO 6: CONCLUSIONES ......................................................................................80 REFERENCIAS ................................................................................................................83 ANEXOS ..........................................................................................................................86 SCRIPT GENERACIONAL PLANTEL CUAJIMALPA 2007-2020 ..................................87 SCRIPT GENERACIONAL PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN 2007-2020 .......................89 ÍNDICE DE FIGURAS ...................................................................................................91 ÍNDICE DE TABLAS .....................................................................................................91 ÍNDICE DE GRÁFICAS .................................................................................................92 INDICE DE ECUACIONES ...........................................................................................93
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AGRADECIMIENTOS En Primer lugar, quiero agradecer a Dios por la vida que me concede, le agradezco por haberme acompañado y guiado a lo largo de mi carrera, por ser mi fortaleza en los momentos de debilidad y por brindarme una vida llena de aprendizajes, experiencias y sobre todo felicidad. Deseo expresar mi agradecimiento al Lic. Pedro Daniel Lara Maldonado, por la dedicación y apoyo que ha brindado a este trabajo, por el respeto a mis sugerencias e ideas, por su dirección y el rigor que ha facilitado a las mismas. Gracias por la confianza ofrecida desde que llegué a solicitarle me acompañara en esta aventura de vida. Por su orientación y atención a mis consultas, por sus amables sugerencias en momentos de duda y por la revisión cuidadosa que ha realizado a este informe final de resultados, mi agradecimiento a la Dra. María del Alba Pacheco Blas, de UNADM. Un trabajo de investigación es también fruto del reconocimiento y del apoyo vital que nos ofrecen las personas que nos estiman, sin el cual no tendríamos la fuerza y energía que nos anima a crecer como personas y como profesionales. Gracias a mi familia, a mis padres y a mis hermanos , porque su acompañamiento me motiva a ir detrás de mis sueños y que no importa la distancia , que ellos están presentes en mi corazón. Gracias a mis amigos y compañeros en Unadm, que siempre me han prestado un gran apoyo moral y humano, necesarios en los momentos difíciles de este trabajo y a lo largo de esta aventura.
Pero, sobre todo, gracias a mis hijos, por su paciencia, comprensión y solidaridad con este proyecto, por el tiempo que me han concedido, un tiempo robado a la historia familiar. Sin su apoyo este trabajo nunca se habría escrito y, por eso, este trabajo es también el suyo.
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A todos, muchas gracias.
RESUMEN Se realizó un modelo matemático estocástico usando cadenas de Markov para predecir la deserción escolar en Educación Media Superior, aplicado en él IEMS CDMX casos Plantel Cuajimalpa y Álvaro Obregón; se utilizaron las cohortes de 2007 al 2020. Debido a la distribución de los datos que sigue la variable aleatoria discreta se diseña un proceso estocástico definiendo a la variable de estudio, una vez obtenidos los porcentajes iniciales se grafica la caminata aleatoria que nos ayuda a diseñar el grafo, con dicha información se plantea la matriz estocástica, en la cual se describen las transiciones que ocurren en la cadena de Markov, que al ejecutar en el Script diseñado en R Studio se obtienen los pronósticos a 10 años siguientes y posteriormente a largo plazo. Uno de los resultados obtenidos indica que se tiene 33% de probabilidad de que en los primeros años de implementarse esta modalidad ocurra deserción, que luego disminuye con el tiempo. Además, se observa que las asignaturas con mayor porcentaje de reprobación son las ciencias exactas, por lo que la variable asignatura influye en la deserción. Este análisis es una estimación formal de los cambios temporales de riesgo, así se cuantifica el impacto de las deserciones.
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Palabras Clave: abandono escolar; deserción; Educación Media Superior; Cd. de México; Cadenas de Markov.
CA PÍ TUL O
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1
INTRODUCCIÓN
E
n este capítulo se hace referencia a los antecedentes que se tienen sobre el tema de la
deserción escolar en el contexto social ya que esta problemática no solo es a nivel
nacional si no a nivel mundial. Además de hacer una reseña del modelo matemático que se empleará para pronosticar este fenómeno dentro del Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México (IEMS CDMX) para su modalidad semiescolar en los Planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón.
Y del uso del software estadístico R Studio que nos ayudara a obtener la predicción a las diez generaciones siguientes en cuanto a conocer los porcentajes de deserción y de reprobación de ciencias exactas en comparación con ciencias sociales.
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1.1 PRESENTACIÓN La educación es una garantía y derecho universal que tenemos como seres humanos. Es una base principal que nos ayuda a mejorar nuestras condiciones de vida. Es por ello por lo que analizar las causas y efectos de la deserción escolar, principalmente en la educación media superior, juega un papel muy importante que debemos seguir investigando este fenómeno para evitarla o atenuar sus efectos. La investigación se llevó a cabo en el Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México (IEMS CDMX), que depende de la Secretaría de Educación del Gobierno del Distrito Federal, que se localiza en Av. División del Norte 906, Col. Narvarte Poniente, CP 03020, Delegación Benito Juárez. Ciudad de México. En este trabajo, se realiza un análisis matemático de la deserción escolar considerándolo un proceso estocástico. Para ello elegimos el uso de Cadenas de Markov o procesos de Markov, como indicadores de probabilidad hacia el futuro. Esperamos que con la modelación del proceso de Markov poder simular de manera más precisa lo que ocurre en el proceso de deserción escolar. Una vez planteado el modelo estocástico de forma analítica, se procederá a realizar un algoritmo que se implementará en un script con la aplicación R Studio. Esto nos ayudará a comprender de forma más clara y útil el proceso de Cadenas de Markov, aplicado a nuestro caso de estudio. Este análisis se acotará a la modalidad semiescolar de los años comprendidos de 2007-2020 para los planteles del poniente: Caso Cuajimalpa y Álvaro Obregón 1. En el Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México (IEMS CDMX) se tienen claros los objetivos que implican el impulsar e impartir educación de tipo medio superior, sobre todo en regiones en las que la demanda educativa es rebasada. Su educación es gratuita, promueve la libertad de expresión y, sobre todo, está enfocada en cumplir con las necesidades 4 UnADM | DCEIT| PT2
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de un sector de la población en la capital del país. El IEMS CDMX cuenta con dos modalidades: escolarizada y semiescolarizada. La modalidad semiescolarizada en el IEMS CDMX surge a partir del año 2007.El IEMS CDMX está diseñado para cumplir con la necesidades y aspiraciones educativas de los jóvenes, preparándolos para los retos sociales, culturales y laborales que enfrentarán a lo largo de su vida, el IEMS CDMX es un modelo educativo que ofrece una formación integral, La permanencia de los estudiantes en las instituciones educativas, y la culminación de sus estudios, garantizan un mejor desarrollo laboral; y potencia la capacidad de una persona para cubrir las necesidades básicas personales o familiares. Por el contrario, el abandono del proyecto personal de educación vuelve vulnerables a las personas. Les dificulta aún más la posibilidad de obtener los satisfactores básicos además de la frustración personal que esto representa. Dentro de este enfoque, la perseverancia de los alumnos en las instituciones educativas representa, a futuro, el desarrollo del país. Es por ello por lo que insistimos en la importancia de contar con un mejor pronóstico del fenómeno de deserción. Esto nos permitirá elaborar mejores estrategias de contención de los estudiantes dentro de las instituciones, que a su vez aumentarán la probabilidad de la culminación de cada uno de los periodos básicos de educación.
1.2 DIAGNÓSTICO El problema de la deserción se presenta principalmente en el nivel medio superior. En este periodo, la población estudiantil se caracteriza por ubicarse en la etapa de la adolescencia. Etapa en la que los individuos presentan muchos cambios tanto físicos como psicológicos. (Green, 1998), menciona que “el desempeño de las escuelas es condicionado por las categorías de alumnos que las frecuentan”. En nuestro caso, pudimos observar que el Instituto de
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Educación Media Superior de Ciudad de México se enfoca en la población estudiantil de zonas marginadas. A priori y con base en lo que comenta Green, podemos decir que el avance académico de estos estudiantes estará afectado por sus condiciones económicas, sociales y culturales, lo cual sin duda se verá reflejado en la baja matriculación de la institución. (Hernandez Amador, 2008), menciona: que “El desempeño de los estudiantes varía en función de diversos factores que van desde los individuales (aspectos psicológicos, motivación, hábitos de estudio), los de su entorno inmediato (escuela, condiciones socioeconómicas y culturales de las familias) y los del contexto de un país, entidad o modalidad”, y advierte: “Un factor de especial relevancia es la condición socioeconómica y cultural de las familias de los estudiantes”. El presente trabajo es en cierto modo, un análisis de la educación medio superior, que en general, constituye la construcción de las capacidades de los individuos por medio de un método ordenado. No obstante, a su vez esta educación se desenvuelve dentro de un contexto y condiciones específicos de tiempo y espacio, donde los alumnos se desarrollarán para poder aportar bienestar a su sociedad, extendiendo y aportando los medios científicos, tecnológicos, humanísticos y artísticos. Willms y Echols (Dale, 2004), mencionan que “el desempeño de las escuelas es condicionado por las categorías de alumnos que las frecuentan”, y si observamos que en el Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México (IEMS CDMX) atienden a una población marginada, podemos decir que su avance académico está siendo pausado por sus condiciones económicas, sociales y culturales, lo cual se reflejado en el bajo nivel de egreso que tiene la institución. (Perez Rocha, 2014), señala que, en México, el sistema escolar opera en un contexto sociocultural miserable, caracterizado por la frivolidad y la falta de valores intelectuales, civiles, éticos y estéticos, lo que determina en gran medida los malos resultados de la educación formal. A pesar de la existencia de la autoexclusión educativa, Mara Robles (Hernández, 2013), señaló que, al menos en el Ciudad de México, los 46 mil jóvenes en edad de cursar el bachillerato que no están en la escuela, no se deben a “la falta de lugares en las instituciones que brindan esta
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educación, sino que la mayoría de los jóvenes sólo quieren estar en los bachilleratos de la UNAM y el IPN”. (Sanders, 2001). El propósito final de esta investigación es contar con instrumentos matemáticos de predicción para saber, con una mayor certeza y precisión, cómo se comporta y cómo evoluciona este fenómeno de deserción de los alumnos, específicamente en el nivel medio superior. Como hemos mencionado, en este caso el instrumento elegido serán las llamadas Cadenas de Markov.
Motivos de Deserción en Jóvenes de 15 y 17 años 60 53.5
Porcentaje de Deserción
50
40 29.4
30
20
17.1
10
0 Falta de interés
Trabaja
Falta de recursos
Gráfica 1. Motivos de deserción en Jóvenes de 15 y 17 años.
En la gráfica 1 podemos observar que el motivo principal de deserción que prevalecen en los jóvenes de entre 15 y 17 años es la falta de interés. El segundo lugar están los que prefieren(quizás sin opción) trabajar y generar recursos económicos que ayuden a sustentar su vida cotidiana o la de sus familias.
Promedio de Estudiantes en México
Terminan Bachillerato
32% 68%
Desertan
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Gráfica 2. Promedio de estudiantes en México que abandonan o terminan su Educación Media Superior (Green,1998).
En gráfica 2 podemos visualizar el porcentaje promedio de estudiantes que concluyen sus estudios de educación media superior en comparación del porcentaje de los que abandonan sus estudios en México. En una comparación internacional, a partir de un estudio realizado entre 20 países pertenecientes a la OCDE (entre ellos México), nuestro país con 52% de eficiencia terminal se coloca por debajo del promedio estimado del 62 % para estos países. (Heredia, 2020). Causas que propician Deserción Escolar
Porcentajes de Deserción
60
60
50
40
30
27.3
20 12
10.7
10
0 Económicas
Personales
Familiares
Sociales
GRÁFICA 3. PRINCIPALES CAUSAS QUE PROPICIAN LA DESERCIÓN ESCOLAR.
En la gráfica 3 podemos observar que entre las cusas principales de deserción escolar, los motivos económicos representan la causa principal. Éste, es un factor externo que obliga a los jóvenes a abandonar sus estudios de educación media superior. Las causas personales (causas internas) conjugadas con la falta de interés y las causas externas, se convierten en un detonante para tomar la decisión por parte de los jóvenes de suspender, de manera temporal o definitiva sus estudios. Otras causas externas a la persona son las sociales y familiares. Éstas resultan ser un factor determinante ya que son componentes esenciales del entorno en donde se desenvuelven los jóvenes. Este entorno puede significar el apoyo (o no) de los padres para motivar a sus hijos para concluir sus estudios (Heredia, 2020).
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El modelo de flujo de Markov para los estudiantes se usa como una herramienta predictiva permite calcular un valor de riesgo de persistencia utilizando datos institucionales (Bessentet, 1986). El modelo de flujo de Markov se usa como una herramienta predictiva. Éste permite calcular un valor de riesgo de persistencia para los estudiantes utilizando datos institucionales (Bessentet, 1986). El análisis del modelo de Markov es una forma de analizar la variación actual de alguna variable, con el fin de pronosticar su cambio futuro. Este método se ha usado en los últimos años como instrumento de investigaciones de mercadotecnia. Por ejemplo, para examinar y pronosticar el comportamiento de los clientes desde el punto de vista de su lealtad a una marca o los motivos y sus formas de cambio a otras marcas. Sin embargo, la aplicación de esta técnica, no solo se limita a la mercadotecnia, su campo de acción se aplica en muy diversos campos. Las cadenas de Markov, hoy día, se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la economía, la ingeniería, la investigación de operaciones y muchas otras. Una cadena de Markov, representa un sistema que varía un estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo (sistema homogéneo en el tiempo). Eventualmente, es una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el sistema (decisión).
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Investigadores en educación calculan que entre los años 2002 y 2009 egresaron 31% de los estudiantes inscritos. (de 21,272 estudiantes ingresados, 6, 651 egresaron). La tasa de deserción se encuentra por encima del 50%. Esta situación supone un desafío para el Gobierno de la Ciudad de México si pretende mantener la calidad académica del IEMS y evitar la deserción. Docentes, estudiantes y subdirectores
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mencionan que una razón del abandono es la ampliación de la matrícula en las cuatro nuevas preparatorias sin la ampliación del presupuesto bajo un régimen de austeridad. Otro factor que mencionan los docentes es que, por el principio de equidad en el ingreso, deben trabajar en la formación de un nuevo capital cultural para nivelar hacia arriba, dado que pueden ingresar tanto estudiantes con fortalezas cognitivas como estudiantes con rezagos en las competencias básicas; por lo tanto no se pueden esperar los mismos resultados que otros sistemas de bachillerato que sí consideran un filtro de ingreso y cuentan con pase automático a licenciatura para todos sus estudiantes regulares. (IEMS CDMX, 2021). En el país, “tan sólo en 2015, se registraron 2.2 millones de adolescentes que desertaron de la escuela, es decir, 16.2% deberían estar cursando la secundaria o el nivel medio superior y no es así”, señaló el INEGI. El abandono de estudios académicos de forma temporal o definitiva fue desestimada y normalizada en México; se ignoraba el impacto que tendría en los sectores económico, cultural y hasta de salud. De acuerdo con la Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares publicada por el INEGI. (Héctor, 2018), el gasto promedio trimestral de los hogares mexicanos en educación donde al menos hay una persona de entre 6 y 17 años, es de 4 mil 435 pesos. En nivel bachillerato en el ciclo 2015-2016 el abandono fue de 25.9% solo en el primer grado. En general, en este nivel aproximadamente 700 mil estudiantes dejan la escuela cada año. Entre las consecuencias sociales por deserción escolar, se pueden suscitar:
menor probabilidad de participar en actividades cívicas,
depender en gran medida de la beneficencia y asistencia pública,
ganar un menor sueldo y contribuir menos a la economía del país,
baja productividad laboral y vulnerabilidad social (desempleo, delincuencia, etc.).
inicio en el consumo de sustancias tóxicas,
problemas de salud mental como depresión y ansiedad).
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Hay que reconocer el gran avance en el Sistema Educativo Nacional, al implementar nuevas modalidades de estudio y los programas de intervención para evitar una mayor tasa de abandono escolar. Cada institución tiene proyectos de apoyo para que los estudiantes concluyan exitosamente su carrera; y es muy importante la atención que se le brinda a la comunidad estudiantil con programas como becas, tutorías, material didáctico, recursos dentro de la escuela como biblioteca, salón de informática o laboratorios especializados, etc.
1.4 JUSTIFICACIÓN De acuerdo con la información sobre la deserción y las posibles cifras que se tienen se llega a la conclusión de que aún no se puede contar con una solución a dicha problemática, que se encuentra latente en cada una de las instituciones educativas del sistema medio superior, sobre todo una situación latente en el IEMS CDMX.
Esto denota la falta de herramientas analíticas que ayuden a medir los riesgos que produce y sobre todo que ayuden a establecer estrategias de solución para ir disminuyendo el porcentaje de deserción, esto con el objetivo de lograr que los estudiantes avancen año con año hasta lograr graduarse. Haciendo uso de las Cadenas de Markov como herramientas matemáticas predictoras para poder pronosticar en este estudio la deserción escolar. Mediante el siguiente trabajo de investigación se pretende la construcción de herramientas estadísticas (indicadores) que proporcionen información útil a las instituciones educativas con el fin de implementar acciones encaminadas a fortalecer la permanencia de sus estudiantes dentro del sistema educativo. Haciendo uso de conocimientos adquiridos durante la preparación profesional además de complementar el análisis mediante programación con el software estadístico R Studio.
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Las Cadenas de Markov son herramientas matemáticas fáciles de aplicar y comprender, con los cálculos realizados nos ofrecen un panorama de lo que ocurre con cierto fenómeno. Además, son modelos simplificados de procesos que nos ayudan en la toma de decisiones.
1.5 OBJETIVOS Se mencionan los objetivos que nos ayudaron a lograr la realización satisfactoria de este proyecto de investigación.
1.5.1 Objetivo general Plantear un modelo estocástico utilizando cadenas de Markov para predecir la deserción estudiantil en la modalidad semiescolar del IEMS CDMX. casos plantel Cuajimalpa y Álvaro Obregón. Generaciones 2007-2020.
1.5.2 Objetivos específicos
Analizar el fenómeno de deserción escolar de los estudiantes del IEMS CDMX a partir de la implementación de la modalidad semiescolar.
Analizar si la reprobación en las asignaturas de Matemáticas, Física, Química, Computación, Artes Plásticas y Música es factor de influencia en la deserción escolar.
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Comparar los porcentajes de deserción durante las 10 generaciones siguientes.
Predecir los porcentajes de deserción y reprobación a largo plazo para los dos planteles analizados.
1.6 METAS
1. Calcular los porcentajes de deserción escolar durante los años (2007-2020). 2. Calcular los porcentajes de deserción para el año 2021 y subsiguientes. 3. Obtener los vectores de transición que me permitan pronosticar niveles de deserción futuros. 4. Calcular los índices de reprobación en las asignaturas de Matemáticas, Física, Química, Computación, Artes Plásticas y Música de ambos planteles. 5. Calcular el pronóstico de los índices de reprobación para el año 2021 y siguientes. 6. Generar los vectores de transición que me permitan obtener los pronósticos de índices de reprobación posteriores.
7. Entregar los scripts realizados en el software R Studio al IEMS CDMX para tener una base de datos de las generaciones analizadas en los dos planteles.
8. Entrega del Informe Final de resultados de Proyecto Terminal.
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CAPÍTUL O
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2
MARCO INVESTIGATIVO
E
n este capítulo, se realiza una reseña referente a los diferentes trabajos investigativos previos, además se mencionan los diferentes modelos educativos que describen las causas que propician la deserción, así como las consecuencias que trae consigo esta
problemática dentro de la Educación Media Superior, sobre todo porque en esta etapa de vida de los adolescentes se presentan muchos cambios tanto físicos, sociales, psicológicos, etc., además de la influencia que reciben tanto de su Familia como del entorno que los rodea, (amigos). Se denota dentro del marco contextual la problemática de deserción y como esta influye en diferentes formas de pensar para grandes investigadores que de alguna otra forma buscan dar solución a este fenómeno social.
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La deserción académica en el Sistema Medio Superior trae consigo efectos negativos tanto económicos como sociales, ya que implica económicamente gastos en las familias de estudiantes, en el sentido social se puede tener un ingreso al mundo laboral con bajo recurso económico debido a que carece de título o grado que avale su preparación profesional. Algunas de las investigaciones más relevantes asociadas al problema de deserción de estudiantes y que hacen uso de Cadenas de Markov los cuales nos servirán de apoyo para tener un mejor panorama sobre la comprensión del tema de deserción estudiantil. (Rios, 2012).En la que plantea de forma analítica el proceso de deserción de los estudiantes de semestre a semestre. Uno de estos estudios hace referencia al flujo de estudiantes de un programa en doctorado, en el cual se obtuvieron los estados posibles (opciones) que puede tomar un estudiante así mismo la probabilidad de cambiar de un estado a otro (año con año), esto nos ayudara a identificar el tiempo de permanencia de los estudiantes dentro de la institución. Se puede observar que, dada la matriz de transición, las posibles probabilidades en la tasa de deserción académica son altas para los estudiantes ubicados en el primer año, y que los alumnos que han avanzado a otro nivel (año y/o semestre) tienen mayor probabilidad de permanecer y lograr graduarse. (Bessent & Bessent, 1980). Otro estudio realizado en Houston Independent School District en que se aplican Cadenas de Markov para pronosticar las probabilidades de permanencia institucional hasta su graduación. En este estudio se analizaron variables socioeconómicas que fueron una de las características más analizada.
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Un estudio destacado fue Menard & Houston, donde se realiza una comparación en el empleo de coeficientes estandarizados en general y logísticos en particular, y hacen recomendaciones específicas sobre cuál es el mejor uso evitando el abuso de coeficientes de regresión logística (Menard & Houstón, 2011). Finalmente, es importante mencionar un estudio realizado por Borden en el que se usaron las Cadenas de Markov para simular los cambios de curso de un estudiante en las tasas de retención y graduación. Los datos se aplicaron durante un año, y permitieron registrar cómo los estudiantes cambiaban de curso (estado transitorio) o llegaban a un estado de no retorno (estado absorbente). En el estudio se probó:
Que un 25% de estudiantes aumentaron sus calificaciones al realizar la simulación lo que lograba motivarlos a continuar y los hacia mirarse en un futuro no lejano(graduarse).
Que el débil crecimiento de las tasas de retención y graduación se deben en gran medida a la aplicación inadecuada de los diferentes modelos tradicionales empleados en la educación, lo que significa que muchas de las veces se culpan a la institución de no prever las herramientas necesarias para un buen ejercicio de impartición de educación. (Dolphin, 1998).
Algunos autores de reconocidas obras hacen referencia que las condiciones en las que se encuentran los estudiantes están asociadas a una mayor probabilidad de abandonar su educación. (Pascarella & Terenzini, 2006).
Y que los factores se encuentran en mayor proporción con respecto a características de tipo socioeconómicas o en su defecto dependerán si se es hombre o mujer, su edad, su rendimiento escolar, (Leppel, 2005) edad, origen étnico, rendimiento académico, al igual que su personalidad, su autoconfianza o el nivel de motivación con el que ingresan a la
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institución, además de tener sus propias metas en cuanto a lo que desean lograr al obtener un título profesional (Green, 1998). Otro de los estudios realizados con el fenómeno de deserción estudiantil desde un enfoque de aproximación logística en donde describe las variables que intervienen como factores o motivos que llevan a los jóvenes a abandonar sus estudios de Educación Media Superior. (Díaz Martínez, 2015).Existen infinidad de aplicaciones de las Cadenas de Markov tal como lo señala (Marín Salguero, 2014) en sus tesis Titulada Solución numérica a procesos de Markov con espacio de estados finitos: Una revisión teórica con aplicaciones para obtener el grado de Maestro en Ciencias Matemáticas, en la que realiza un análisis matemático haciendo uso de Cadenas de Markov. Todos los estudios e investigaciones realizadas previas a mi trabajo se enfocaron en lograr estrategias que ayuden a obtener la permanencia de los estudiantes hasta lograr la culminación de su educación Media superior y que los encamine a buscar una oportunidad dentro de las Universidades.
2.1 MARCO CONTEXTUAL La situación de la deserción se ha observado desde diferentes áreas como han sido Psicología (pensamientos de los estudiantes analizando sus conductas dentro del área de estudio), económicas (situación económica), sociales (ambiente en el que socializa, amistades, etc.), académica (apoyo maestro- estudiante), (Tinto V. , Leaving College: rethinking the causes and cures of student attrition, 1993).
2.1.1 Deserción La palabra deserción proviene del verbo desertar que significa abandonar o dejar de hacer algo que se venía realizando en algún plano o contexto. El término es utilizado principalmente en dos ámbitos institucionales que tienen ambos que ver con el cumplimiento de una tarea que lleva varias etapas o momentos: una de estas instituciones 17 UnADM | DCEIT| PT2
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es el ejército y la otra es la escuela. En el caso de la escuela se suele entender como una problemática social de dura solución. Se cree que en la mayoría de los casos las altas tasas de deserción escolar se deben a problemáticas sociales relacionadas con la pobreza, la miseria, la falta de expectativas, el desempleo, el sobre empleo (que impide a las personas adultas terminar sus estudios), la imposibilidad de pensar un futuro mejor, etc. (Bembibre, 2012). Según Tinto & Cullen hay dos tipos de deserción: deserción voluntaria y exclusión académica. La deserción puede ser analizada de desde puntos diferentes de percepción, según el individuo que la analice: si es analizada por un director de un plantel educativo este la considera como un fracaso del estudiante, mientras que el estudiante tiene una percepción de dicha situación, es decir quizás su elección de estudiar cierto tipo de carrera no suele ser iniciativa del sino que muchas de las veces es impuesta por los padres, pero al no lograr notas favorables durante su intento de lograr conceder esa satisfacción a sus padres termina abandonando la carrera y por su cuenta empieza a solventar sus gastos (trabajo de medio tiempo) y poder cursar la carrera que al realmente le interesa. (Tinto & Cuellen, Dropout from Higher Education: A Theoretical Synthesis of Recente Reserch, 1975) . FIGURA 1. MODELO TINTO. IDEAS BÁSICAS REFERENTES A LA DESERCIÓN
Figura 1. Modelo Tinto . Ideas Básicas referentes a la deserción, (1975).
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Se han detectado variables como los ingresos familiares, el promedio de notas del colegio, las relaciones sociales, que influyen en la deserción de los primeros años, así como las políticas institucionales en cuanto a los procesos de inicio, sistemas de comunicación y procesos de admisión (Braxton & Berger, 1998). Cabe mencionar que también se hallaron aspectos que influyen para evitar la deserción como lo son el apoyo de la familia y el contacto con grupos de amigos (Nora, 2002).
Con estudios realizados referentes a este tema de investigación se han realizado análisis más detallados con respecto a la variables personales, familiares o institucionales desde la perspectiva psicológica, sociológica, económica, etc.
Dentro de la perspectiva psicológica lo que más influye en que el estudiante decida abandonar sus estudios es su personalidad, es decir su entorno social donde se desarrolla, se deja influenciar de gente a su alrededor con comentarios poco alentadores lo que producen que el estudiante opte por desertar. (Ajzen & Fishbein, 1977).
Ethington identifica que el apoyo de la familia juega un papel muy importante en la vida del estudiante sobre todo en esta etapa de su desarrollo personal, ya que el joven al sentirse cobijado y orientado por la familia tiene mayor probabilidad de seguir estudiante, pero si por el contrario el joven no se siente motivado ni apoyado por su familia tiende a tomar decisiones que muchas de las veces son oídas en la calle (Ethington, 1990).
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FIGURA 2. MODELO ETHINGTON. MAPA CONCEPTUAL .
Figura 2. Modelo Ethington. Mapa conceptual, conceptos Básicos. (1990).
En el modelo sociológico que proponen Spady-Harder afirman que la familia juega un papel muy importante ya que influye en el rendimiento académico, así como la implementación y cumplimiento de reglas y normas que ayudan a tener un mayor compromiso con su entorno social y sobre todo a fianza la relación estudiante-institución. (Hader & Spady, 2011). FIGURA 3 MODELO SPADY.
Figura 3. Modelo Spady . La familia juega un papel muy importante en el rendimiento académico (1970).
Desde la perspectiva económica, se tienen dos clasificaciones: 20 UnADM | DCEIT| PT2
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El modelo costo-beneficio y el apoyo mediante subsidios(becas). Se concluye que si los beneficios sociales y económicos que perciben los estudiantes son menores comparados con el esfuerzo y el trabajo que se requieren para desarrollar la carrera, los estudiantes terminan por abandonar los estudios.
Igualmente influye si el estudiante tiene la percepción de capacidad económica para poder cubrir sus estudios, para lo cual las instituciones ofrecen subsidios, becas, créditos a largo plazo y con tasas de interés muy bajas, a los cuales pueden acceder dichos estudiantes (Cabrera, Nora, & Castañeda, 1993).
En México el trabajo de (Vidales, 2009). El fracaso escolar en la Educación Media Superior. El caso de bachillerato mexicano identifica la participación del docente en el aula y las características de la escuela como elementos vinculados a la deserción. Aquí realza la labor del maestro en el aula de estudio, aunque quizás los métodos expuestos no resulten los más apropiados a la hora de darlos a conocer lo que trae como consecuencia el escaso aprendizaje de los temas, mientras que, a nivel del plantel, el ambiente escolar y la falta de recursos de infraestructura son los elementos que mayor peso tienen en el fenómeno de deserción. Otros estudios, como el de Porto & Gresia, señalan que uno de los factores más importantes es el grado académico de los padres, pues ellos al tener mayor preparación académica motivarán a sus hijos para seguir estudiando y con ello tener un mejor entorno socioeconómico (Porto & Gresia, 2001). En cuanto a la organización de las Instituciones se ha concluido que a mayor tamaño de las instituciones mejores herramientas de apoyo se les podrán brindar a los estudiantes (tutorías, instalaciones deportivas, clubes recreativos culturales, servicios de psicología, servicios médicos (seguro escolar) así como opciones de talleres donde pueden aprender un oficio. (Braxton & Berger, 1998).
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En este modelo, Tinto menciona una perspectiva interaccional estudiante-institución en la que se explica como el estudiante se adapta a la vida estudiantil y sobre todo a la exigencia académica, en este se denota antecedentes familiares, destrezas y habilidades del estudiante, denota la influencia del sistema social y académica y como estos desempeñan un papel importante en la toma de decisión de abandonar o continuar con sus estudios, como se puede observar en la siguiente figura (Tinto, 1987).
FIGURA 4. MODELO TINTO. MAPA CONCEPTUAL.
Figura 4. Modelo Tinto Mapa conceptual de la relacion Estudiante-Institución. (Tinto, 1987).
Todos estos estudios se realizan con la finalidad de hallar soluciones a la problemática de deserción escolar y muchas instituciones educativas han replanteado sus estrategias para combatir esta situación, como es la implementación de nuevos métodos como son el acceso a nuevas modalidades, o estar en ciertos programas sin importar su edad, además de que hoy en día se ha logrado un significativo logro al apoyo de recursos económicos que el gobierno a través de sus programa de becas ofrece a los jóvenes para poder ayudar a pagar en parte sus gastos que ocasiona el estar estudiando. Como se ha mencionado el fenómeno de deserción escolar es un problema educativo que limita el desarrollo humano, social y económico de una persona y del país, por lo que es necesario 22 UnADM | DCEIT| PT2
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trabajar juntamente con todos los involucrados en esta problemática para lograr que disminuya o se erradique por completo.
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E
CAPÍTUL O
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M A R C O T EÓRICO
3
n este capítulo, se menciona la herramienta matemática que nos ayudará a predecir el fenómeno de deserción para el IEMS CDMX en su modalidad semiescolar para sus dos planteles antes mencionados. Se describen los conceptos básicos que nos sumerjan a comprender los procesos estocásticos y el uso de las Cadenas de Markov, señalando como este tipo de herramientas nos ayudan a proponer o mejorar las estrategias que se tienen en este caso como lo son métodos de enseñanza-aprendizaje (modelo constructivista), etc.
Además de hacer hincapié en el uso adecuado de las herramientas tecnológicas que se tienen actualmente y que gracias a su correcto uso podemos mejorar nuestras condiciones de vida.
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Hoy en día las herramientas con las que cuentas los jóvenes en nada se comparan a las generaciones anteriores, la tecnología y las herramientas que prevalecen juegan un papel fundamental en esta etapa de su vida por lo que el uso adecuado de todas ellas logrará obtener buenos resultados en su vida. Además, el contexto de crisis y precariedad actual dificulta el acceso de los jóvenes a instituciones sociales claves para su desarrollo, como la educación y el trabajo, lo cual constituye un proceso de exclusión social que tiene el potencial de reproducir la pobreza y la vulnerabilidad a través de las generaciones (CONAPO, 2010). En su juventud los adolescentes van construyendo su vocación y sobre todo reafirman los valores cívicos y universales que han aprendido durante su vida. Por lo tanto, el futuro de los jóvenes depende del presente.
3.1 CADENAS DE MARKOV Las Cadenas de Markov fueron introducidas por el matemático ruso Andréi Markov (1856‐1922) alrededor de 1905, con el objetivo de crear un modelo probabilístico parara analizar la frecuencia con la que aparecen las vocales en poemas y textos literarios. Las Cadenas de Markov pueden aplicarse a una amplia gama de fenómenos científicos y sociales. Un proceso estocástico o proceso aleatorio 𝑋(𝑡) es un concepto matemático que se utiliza para
usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias o estocásticas que varían en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituyen un proceso estocástico. En teoría de la probabilidad, una Cadena de Markov en tiempo discreto (CMTD) es un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria se conoce como propiedad de Markov (recibe el nombre del matemático ruso Andréi Markov, que introdujo en 1907).
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Una Cadena de Markov es una secuencia (𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , … . . 𝑋𝑛 ) de variables aleatorias, el dominio
de estas variables es el llamado Espacio Estado. El valor 𝑋𝑛 es el estado del proceso en el tiempo 𝑛.
La distribución de la probabilidad condicionada de 𝑋𝑛+1 en estados pasados es una función de
𝑋𝑛 por sí sola, siendo 𝑋𝑖 el estado del proceso en el instante i‐ésimo.
𝑷[𝑿𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏+𝟏 |𝑿𝒏 = 𝒙𝒏 , 𝑿𝒏−𝟏 = 𝒙𝒏−𝟏 , … 𝑿𝟐 = 𝒙𝟐 , 𝑿𝟏 = 𝒙𝟏 ] = 𝑷[𝑿𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏+𝟏 |𝑿𝒏 = 𝒙𝒏 ]
(1)
Para cualesquiera 𝑛 ≥ 0 𝑦 { 𝑥𝑛+1 , 𝑥1 , 𝑥2 , … . , 𝑥𝑛 } ∈ 𝑆
Si |𝑆| < ∞ se dice que la Cadena de Markov es finita, en caso contrario se dice que es infinita.
3.2 CADENAS HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
La clasificación de cadenas de Markov que se conocen dentro de los procesos estocásticos nos ayudan a tener un panorama visual referente a las probabilidades que tiene la variable aleatoria, lo que implica adentrarse en este maravilloso mundo que es la modelación matemática. Una Cadena de Markov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado 𝑖 al estado 𝑗 en un
paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena. Ecuación 1.
𝑃[𝑿𝒏 = 𝒋|𝑿𝒏−𝟏 = 𝒊] = 𝑷[𝑿𝟏 = 𝒋| 𝑿𝟎 = 𝒊] ∀ 𝑖, 𝑗.
(2)
Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo 𝑛 la propiedad mencionada no se cumple se dice que la Cadena de Markov es no homogénea.
3.3 PROBABILIDAD Y MATRIZ DE TRANSICIÓN El uso adecuado de las probabilidades que se mencionan a continuación nos ayudará a entender mejor el uso que se tiene dentro del tema de Cadenas de Markov, esto con la finalidad de preparar el camino de lo expuesto en el capítulo 5 de este trabajo. 26 UnADM | DCEIT| PT2
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Si una Cadena de Markov está en el estado 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, hay una probabilidad 𝑝𝑖𝑗 de pasar al próximo estado 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, a esta probabilidad 𝑝𝑖𝑗 se la llama probabilidad de Transición. La probabilidad 𝑝𝑖𝑗 de pasar del estado 𝑖 al estado 𝑗 en un paso se llama probabilidad de transición
de 𝑖 a 𝑗:
𝑝𝑖𝑗 = 𝑃𝑟𝑜𝑏[𝑿𝒏+𝟏 = 𝒋| 𝑿𝒏 = 𝒊].
(3)
Si el sistema se mueve del estado 𝑖 al estado 𝑗 durante el siguiente periodo, se dice que ocurrió
una transición de 𝑖 a 𝑗 , Ecuación 2. El conjunto de las 𝑝𝑖𝑗 se denomina probabilidades de transición de la Cadena de Markov (Winston, 2008).
Las cadenas de Markov se pueden representar como una matriz cuadrada de (𝑁 + 1) ∗ (𝑁 + 1)
de probabilidades, llamada Matriz de Transición, donde las filas corresponden al estado de inicio y las columnas al estado de llegada:
𝑝00 𝑝=[ ⋮ 𝑝𝑁0
… 𝑝0𝑁 ⋱ ⋮ ] … 𝑃𝑁𝑁
Dado que el estado en el tiempo 𝑛 es 𝑖, el proceso en alguna parte debe estar en el tiempo 𝑛 + 1.
Esto significa que para cada 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁. Cada elemento de la matriz 𝑃 debe ser no negativo y la suma de los elementos de cada renglón debe ser igual a 1.
Las matrices de transición se pueden representar mediante gráficas, donde cada nodo representa un estado y un arco(𝑖, 𝑗) representa la probabilidad de transición 𝑃𝑖𝑗 . (Winston, 2008) FIGURA 5. GRAFO DE PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN
Figura 5. Grafo de probabilidad de transición. (tomada de http://virtual.umng.edu.co/)
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En general, una cadena de Markov es un sistema en un tiempo discreto, que en cada instante se encuentra en un estado distinto. La cantidad total de estados es finita, y en cada instante se pasa de un estado a otro con unas probabilidades fijas que dependen sólo del estado actual, y no del resto de la historia del sistema. Es habitual disponer los posibles estados del sistema en un grafo, y poner una arista entre dos vértices 𝑖 y 𝑗 cuando el sistema puede evolucionar del estado 𝑖 al estado 𝑗 en un sólo instante de tiempo, con probabilidad positiva.
Los estados de las Cadenas de Markov se clasifican en: Estado alcanzable. Dados dos estados 𝑖 y 𝑗 , una trayectoria de 𝑖 a 𝑗 es una secuencia de
transiciones que comienza en 𝑖 y termina en 𝑗, tal que cada transición en la secuencia tiene una
probabilidad positiva de ocurrir. Un estado 𝑗 es alcanzable desde el estado 𝑖 si hay una trayectoria que conduzca de 𝑖 a 𝑗.
Estados que se comunican. Se dice que dos estados 𝑖 y 𝑗 se comunican si 𝑗 es alcanzable desde 𝑖, y de igual manera 𝑖 es alcanzable desde 𝑗.
Conjunto cerrado. Un conjunto de estados 𝑆 de una Cadena de Markov es cerrado si ningún estado fuera de 𝑆 es alcanzable desde algún estado en 𝑆.
Estado absorbente. Es un estado en el que 𝑝𝑖𝑖 = 1 𝑝𝑖𝑗 = 0. Siempre que se entra en un estado absorbente, no se sale de él; un estado absorbente es un conjunto cerrado que contiene sólo un estado. FIGURA 6. ESTADO ADSORBENTE
Figura 6. Estado adsorbente. El estado 3 es adsorbente. (Tomado Wikipedia. Imágenes)
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Estado transitorio. Un estado 𝑖 es transitorio si existe un estado 𝑗 que es alcanzable desde 𝑖, pero el estado 𝑖 no es alcanzable desde el estado 𝑗.
FIGURA 7. ESTADO TRANSITORIO
Figura 7. Estado transitorio. El estado 2 es transitorio. (Tomado de Wikipedia. Imágenes).
Estado recurrente. Es un estado que no es transitorio. FIGURA 8 ESTADO RECURRENTE
Figura 8. Estado recurrente. Los estados 1,2,3 son recurrentes. (Tomado Wikipedia).
Estado periódico. Un estado 𝑖 es periódico con periodo 𝑘 > 1 si 𝑘 es el número más pequeño
tal que las trayectorias que conducen al estado 𝑖 de regreso al estado 𝑖 tienen una longitud que es un múltiplo de 𝑘 . Si un estado recurrente no es periódico, se conoce como aperiódico (Winston, 2008).
FIGURA 8. ESTADO PERIÓDICO
Figura 9. Estado periódico. Cadena de período 3. (Tomado Wikipedia Imágenes).
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3.4 MODELO O PROCESO ESTOCÁSTICO El conocer los diferentes conceptos matemáticos que se mencionan en esta investigación nos ayuda a comprender de una manera más clara respecto al uso de las cadenas de Markov en la predicción de ciertos fenómenos , como es el caso de la deserción escolar. En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico 𝑋𝑡 puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables
aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.
3.4 .1 MODELO MATEMÁTICO ESTOCÁSTICO Uno de los conceptos matemáticos que puede causar cierta confusión puede ser lo referente a la modelación de procesos estocásticos ya que sus términos no son de uso común, pero que al ser diseñados resultan de gran apoyo para predecir en cierta forma la evolución o el comportamiento de eventos relacionados con nuestra vida cotidiana. Entonces se dice que: Un modelo matemático estocástico es una abstracción matemática de un proceso empírico cuyo desarrollo está gobernado por leyes probabilísticas. El proceso empírico se estudia como un modelo probabilístico que evoluciona en el tiempo y genera secuencias de valores numéricos. Un modelo matemático estocástico tiene por lo menos una variable de este es tomada como un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de funciones probabilísticas.
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Sirven por lo general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones científicas. (Modelode.com, 2021). Para poder modelar de forma correcta un proceso estocástico es necesario comprender numerosos conceptos de probabilidad y estadística. Los modelos estocásticos poseen elementos aleatorios los cuales se encuentran distribuidos dentro del modelo, es así como es más fácil predecir el valor calculado, como también la cantidad en términos de probabilidad de ocurrencia; este modelo matemático también puede ser definido como los modelos cuantitativos en los que existe más de un estado de la naturaleza y donde cada estado debe encontrarse estimado.
3.4.1 TEORIA DE GRAFOS La teoría de grafos resulta de gran importancia dentro del estudio de las cadenas de Markov ya que al proyectar de manera gráfica las diferentes probabilidades de transición que sigue nuestra variable aleatoria dentro de un determinado tiempo nos ayudara a tener una mejor proyección de los diferentes eventos que ocurren con dicha variable. Por lo que el conocimiento de algebra será un complemento perfecto para adentrarse en el tema de Cadenas de Markov. Definición: 𝐿𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜, 𝐺, 𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜, 𝑉, 𝑦
𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜, 𝐴, 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜.
𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑜 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜.
𝐴 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜.
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐺 = (𝑉, 𝐴) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒
𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑦 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, ( 𝑉𝐴).
A cualquier arista de un grafo se le puede asociar una pareja de vértices de este. Si 𝑢 𝑦 𝑣 son
dos vértices de un grafo y la arista a está asociada con este par, escribiremos 𝑎 = 𝑢𝑣 Por ejemplo:
𝑠𝑖 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 , 𝑣5 } 𝑦
𝐴 = {𝑣1 𝑣2 , 𝑣1 𝑣3 , 𝑣1 𝑣4 , 𝑣2 𝑣4 , 𝑣2 𝑣5 } 31
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Entonces el grafo
𝐺 = (𝑉, 𝐴) tiene a 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 𝑦 𝑣5 como vértices y sus aristas son
𝑣1 𝑣2 , 𝑣1 𝑣3 , 𝑣1 𝑣4 , 𝑣2 𝑣4 𝑦 𝑣2 𝑣5 .
Un grafo se representa mediante un diagrama en el cual a cada vértice le corresponde un punto y si dos vértices son adyacentes se unen sus puntos correspondientes mediante una linea. FIGURA 10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN GRAFO
El grafo de la figura 10 tiene como conjunto de vértices 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 , 𝑣5 } siendo su conjunto 𝐴 = {𝑣1 𝑣2 , 𝑣2 𝑣3 , 𝑣2 𝑣5 , 𝑣3 𝑣4 , 𝑣3 𝑣5 }
de
aristas,
adyacentes:
𝑣1 𝑦 𝑣2 , 𝑣2 𝑦 𝑣3 , 𝑣2 𝑦 𝑣5 , 𝑣3 𝑦 𝑣4 , 𝑣3 𝑦 𝑣5 .
Vértices
Vértices
no
adyacentes:
𝑣1 𝑦 𝑣3 , 𝑣1 𝑦 𝑣4 , 𝑣2 𝑦 𝑣4 , 𝑣4 𝑦 𝑣5 .
En la sección anterior, hemos representado los grafos mediante un esquema o un diagrama. Algunas veces, como por ejemplo cuando se desea analizar un grafo por ordenador es necesaria una representación más formal. (González Gutiérrez, 2004).
3.4.1.1 Matriz de Adyacencia 𝑆𝑒𝑎 𝐺 𝑢𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , … 𝑣𝑝 }. 𝐿𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 𝐺 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑑𝑒 𝑝 − 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑦 𝑝 − 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑖 𝑣𝑖 𝑦 𝑣𝑗 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 0 𝑠𝑖 𝑣𝑖 𝑦 𝑣𝑗 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Ejemplo: Realizar la matriz de adyacencia usando la información que se tiene en el grafo a)
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FIGURA 11. MATRIZ DE ADYACENCIA MEDIANTE SU GRAFO
Solución: Tomaremos como ordenación de las filas y las columnas en la matriz, el orden natural de los subíndices de los vértices. 0 1 𝐴= 1 1 (1
i.
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0)
Escribir la matriz de adyacencia del grafo completo de cinco vértices.
Directamente de la definición de grafo completo, se sigue que si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) es la matriz de
adyacencia de 𝐾5 , entonces
Es decir
1, 𝑎𝑖𝑗 = { 0, 0 1 𝐴= 1 1 (1
1 0 1 1 1
𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 1 1 0 1 1
Por tanto, todos los ceros de la matriz A significan :
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0)
que no hay ningún camino de longitud dos entre los vértices correspondientes.
33 UnADM | DCEIT| PT2
todos los unos de la matriz A significan que existe un camino de longitud dos entre los vértices correspondientes.
todos los doses de la matriz A significan que existe dos caminos de longitud dos entre los vértices correspondientes.
y así sucesivamente.
CAPÍTUL O
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4
METODOLOGÍA
E
n este capítulo, se expone de manera más clara lo que se pretende realizar en este
trabajo de investigación, lo que implica describir cada parte fundamental. Por lo, tanto la metodología que se usará en esta investigación se sustenta en lo propuesto en el “Modelo
de flujos de educación estudiantil, usando Cadenas de Markov. (Bessent & Bessent, 1980).
Es decir, se describe los movimientos que ha tenido el fenómeno de deserción desde que se implementa la modalidad semiescolar en los planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón. Además de que el modelo estocástico empleado para analizar la deserción también será utilizado para analizar la influencia de reprobación de asignaturas. 34 UnADM | DCEIT| PT2
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4.1 POBLACIÓN Y MUESTRA Actualmente el Instituto de Educación Media Superior en la Ciudad de México tiene a su cargo 24 planteles educativos, desde el año 2007 ha implementado la modalidad semiescolar, para nuestro estudio se analizan dos planteles: Cuajimalpa y Álvaro Obregón 1, los cuales son nuestra muestra. La muestra que se seleccionó son 10 cohortes completos de las generaciones que han concluido sus estudios en el Instituto de Educación Media Superior Ciudad de México, casos: Plantel Cuajimalpa y Álvaro Obregón 1, que se identifican a partir del primer año de haberse implementado la modalidad semiescolar (2007-2010), (2008-2011), (2009-2012), (2010-2013), (2011-2014), (2012-2015), (2013-2016), (2014-2017), (2015-2018), (2016-2019) y (2017-2020). Los datos iniciales que se tienen forman parte de la Base de datos del Instituto y que son proporcionados de forma confidencial, formato imprimible PDF (SGIE, 2021).
4.2 ESTRATEGIA DE ESTUDIO Este estudio se realiza con bases cuantitativas y su diseño de investigación es no experimental, se analizan los datos de cohortes completos ya que se analiza su comportamiento a largo tiempo.
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La realización de la investigación necesitó la recopilación de información de alumnos del periodo de 2007 hasta 2020 que fue suministrada por los administrativos del plantel y con la cual se procedió al análisis de datos. Una vez recolectados los datos proporcionados, se procedió al análisis estadístico respectivo. Los datos serán tabulados y presentados en tablas y gráficos que podrán ser apreciados en la presente investigación. Por ejemplo: una vez que ingresa a primer año el alumno tiene tres posibilidades; la primera es que una vez cursado el primer año abandone la institución lo que para efectos de código interno se denomina SsR considerado como deserción o abandono (Rios, 2012), en las cadenas de Markov se conoce como estado adsorbente, ya que se llega a este estado y no se puede regresar a él. Una segunda posibilidad que tiene el estudiante es reprobar el primer año, código interno SsP por lo que debe repetirlo, entonces sigue dentro del Instituto. Se tiene una tercera posibilidad y es que el estudiante apruebe satisfactoriamente el primer año código SsA y que siga hasta lograr que se gradué. (Bessent & Bessent, 1980) .
FIGURA 12. GRAFO DE CADENA MARKOV
Figura 12. Grafo de Cadena Markov estudiantes año con año. (Software grafos).
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Cada nodo representa un año académico, entonces 1A es primer año, 2A es segundo año y así sucesivamente hasta cursar sus 3 años; están los 3 nodos que representan los años de su preparación académica además de dos nodos especiales: Nodo R es el estado en el que el estudiante abandona(deserta) la institución y no vuelve más, lo mismo sucede con el estado G, que se considera el estado graduación donde el estudiante egresa del Instituto y ya no vuelve. Por lo tanto, el estado R y G son estados absorbentes, porque después que entra ahí, el estudiante no sale. La probabilidad de estos dos estados absorbentes es igual 1. Mediante la figura 12 podemos observar que al estar en el estado 1A tienes tres probabilidades: Una es A12, es decir la probabilidad de ingresar a 2A, significa que si aprueba satisfactoriamente el primer año ingresa a segundo año. (Ross, 1996) La otra probabilidad es 1AR, es decir pasa al estado R. (abandona el sistema). Y por último tiene la opción de seguir en el estado 1A lo que significa que tiene la probabilidad A11, es decir repetir el mismo semestre. Así sucede para los 3 años en los que puede transitar antes de graduarse o de tomar la opción de desertar. Dicha información expuesta anteriormente la podemos interpretar haciendo uso de una matriz de transición como a continuación se presenta:
𝐺𝐸. 1𝐴 2𝐴 3𝐴. 𝐺 𝑅 1𝐴 𝐴11 𝐴12 0 0 1𝐴𝑅 0 2𝐴 0 𝐴22 𝐴23 2𝐴𝑅 3𝐴 0 0 𝐴33 𝐴3𝐺 𝐴3𝑅 0 1 0 𝐺 0 0 (𝑅 0 0 0 0 1 )
Matriz de transición de año con año de un estudiante. Elaboración propia
Las filas representan los estados (opciones) iniciales que puede tener el estudiante y las columnas el estado siguiente, los ceros representan que no es posible ese cambio de estado, es decir no puede pasar del 1A a 3A, ya que para que exista esta posibilidad antes debe cursar 2A y los valores son las 9 probabilidades que tienen el estudiante hasta lograr graduarse; estas probabilidades deben sumar 1 por cada fila. 37 UnADM | DCEIT| PT2
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4.3 PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
En base a la información proporcionada y seleccionada, se procede a Plantear el modelo estocástico en el cual se analiza el fenómeno de deserción para los planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón, también se realiza un análisis de en cuales asignaturas que se imparten en los planteles se tienen más porcentajes de reprobación. Lo que nos ayuda a saber si la variable asignatura influye en dicha problemática.
4.4 PLANTEAMIENTO DEL MODELO ESTOCÁSTICO Se inicia por definir nuestra variable aleatoria, que en este caso es el porcentaje de alumnos desertados en la generación 𝑛. Posteriormente realizamos el cálculo de las probabilidades las cuales nos ayudaran a plantear nuestra matriz de transición.
Al realizar este análisis probabilístico de las transiciones que sigue nuestra variable en el tiempo podremos pronosticar a futuro como se comportara dicha variable lo que nos ayudara a comprender si se cumplen las propiedades del proceso markoviano.
4.5 PRONÓSTICO A FUTURO CON SOFTWARE R STUDIO Después de realizar de forma analítica el planteamiento de nuestro modelo estocástico lo comprobaremos con un Script el cual será ejecutado en el software estadístico R Studio, el cual favorece de manera más clara y sobre todo nos ayuda ahorrar los procedimientos analíticos que se hicieron. A demás de que nos proporcionará las proyecciones esperadas para los siguientes 10 años en cuanto a la deserción que se tendrá para los dos planteles, así como los porcentajes de reprobación de las asignaturas analizadas de 2021-2031.
4.6 CONFIABILIDAD DEL MODELO MATEMATICO ESTOCÁSTICO
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Una vez planteado el modelo matemático para analizar el fenómeno de deserción estudiantil para los dos planteles del IEMS CDMX , y realizado el pronóstico para los 10 años siguientes con la ayuda del Script realizado en R Studio, se mostrará que tan confiable resulta nuestro modelo estocástico planteado, además de que se realizará un ajuste de bondad mediante Chi-Cuadrada (𝜒 2 ) con ayuda de Minitab en la cual solo se muestran los resultados obtenidos, lo que nos ayudará a dar más veracidad de lo expuesto en esta investigación.
4.7 CRONOGRAMA
No Fases 1 Análisis 2 3 4 5 6 Diseño 7 8 9 10 Implementación 11 12 13 14 Evaluación 15 16 17 18 Presentación 17
ACTIVIDADES Análisis y determinación de la problemática de estudio Planteamiento del problema, justificación y antecedentes Planteamiento de objetivos generales y específicos Planteamiento del marco teórico Redacción y revisión de documento de la fase de análisis Planteamiento de la metodología de la investigación Análisis del tipo de investigación Análisis de la población y selección del tipo y tamaño de muestra Redacción y revisión de documento de la fase de diseño Recopilación y clasificación de datos Procesamiento de los datos de la investigación Análisis e interpretación de datos Redacción y revisión de documento de la fase de implementación Formulación de conclusiones y sugerencias Redacción de evidencia ,anexos, gráficas, cuadros, etc Validación de resultados Redacción del documento de la fase de evaluación Impresión y revisión del Proyecto Final Presentación del Proyecto Final
Inicio 25-ene 02-feb 18-feb 06-mar 25-mar 16-abril 01-may 16-may 01-jun 16-jun 12-jul 28-jul 13-agos 29-agos 15-sep 01-oct 16-oct 01-nov 16-nov
Dic
Nov
Oct
Sept.
Agos
Julio
Junio
Mayo
Abril
Mar
Feb
Ene
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: PROYECTO DE TITULACION 2021
Fin sem 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 01-feb 17-feb 05-mar 24-mar 15-abril 30-abril 15-may 31-may 15-jun 11-julio 27-julio 12-agos 28-agos 14-sep 30-sep 15-oct 31-oct 15-nov 05-dic
4.8 RECURSOS Para realizar este proyecto es necesario el compromiso de apoyo entre asesor Externo y Estudiante, ya que al fluir un ambiente de comunicación todo será propicio para buscar las herramientas que mejoren y ayuden a plantear solución a dicha problemática.
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En cuanto a los recursos será necesario la mayoría de los listados de alumnos por semestre que contengan la cantidad de alumnos inscritos, y la cantidad de alumnos que no terminaron el semestre, así como el listado de aquellas asignaturas que se han reprobado por semestre, por bachillerato y por plantel, también los aspectos que influyen en estos procesos y que tenga relación con el tema de deserción escolar. Para el procesamiento de la información se necesitará de una computadora para la realización de cálculos y procedimientos de investigación, búsqueda de información, selección y manejo de la información, así como los procesadores de palabras y hojas de cálculo, software estadístico R y graficadores necesarios para la elaboración de cálculos de los documentos entregables, que nos ayude a redactar el informe final del análisis realizado. Toda investigación requiere de información, por ello el personal administrativo de los planteles que posea dicha información, las personas que previamente capturaron y la clasificaron y los medios de transferencia de archivos como el Internet para poder movilizar los datos y trabajar con las aplicaciones. Personal de apoyo aproximado de 4 horas diarias por 5 días para la búsqueda y clasificación de la información, redacción del documento y cálculos de la metodología de la investigación necesaria para la elaboración de dicho documento. Todo esto ayudara a comprender mejor la problemática y analizar cuáles podrían ser las opciones que ayuden a mejorar la retención de alumnos dentro de cada plantel analizado hasta lograr la culminación de su educación media superior.
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C A P Í T U L O
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5
RESULTADOS Y ANÁLISIS
E
n este capítulo, se presentan los resultados y un análisis de los datos. En primer lugar, se muestran su manejo y administración. Esto consiste en su reducción, limpieza, recodificación e integración, además de su tratamiento.
Posterior al manejo y administración de los datos, se plantea un modelo estocástico usando Cadenas de Markov. A continuación, se ejecuta un Script en R Studio para realizar un pronóstico a 10 años del fenómeno de deserción en cada plantel. También se calculan los porcentajes de reprobación de asignaturas en cada plantel, esto con la finalidad de conocer en cuales se tiene problemas de aprendizaje lo que implica su reprobación y por lo tanto conlleva a su deserción del plantel.
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5.1 PLANTEL CUAJIMALPA Para poder plantear nuestro modelo estocástico comenzamos por definir nuestra variable aleatoria 𝑋𝑛 : como el porcentaje de alumnos que desertan en la generación 𝑛, ya que de acuerdo
con la información proporcionada los alumnos que se encuentran en esta situación ya no regresan al
Instituto (desertan), para nuestro Espacio de Estados (espacio muestral)
𝑆 consideremos los porcentajes de deserción que se tienen en la generación 𝑛. Entonces nuestro espacio paramétrico 𝑇 serán las generaciones en las cuales ocurre la deserción estudiantil. 𝑿𝒏 : 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑗𝑖𝑚𝑎𝑙𝑝𝑎 𝑺: {0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8} 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛 𝑻: {2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017} 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
∴ 𝐸𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠
Una vez procesada la información que usaremos en el diseño de nuestro modelo estocástico analizamos el flujo de deserción estudiantil que se tiene en las generaciones de 2007 hasta 2020 en el IEMS CDMX para el Plantel Cuajimalpa. Plantel Cuajimalpa generacion 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
inscritos 52 177 58 61 57 48 98 76 102 192 165
bajas 41 98 20 26 31 20 64 36 53 95 68
% Bajas/inscritos 0.8 0.6 0.3 0.4 0.5 0.4 0.7 0.5 0.5 0.5 0.4
TABLA 1. PORCENTAJES DE ALUMNOS QUE SE DAN DE BAJA EN LA GENERACIÓN 𝒏.
En la tabla 1 se reflejan el cálculo de las probabilidades de deserción que se tienen para e Plantel Cuajimalpa comprendido entre 2007 -2020. Con esta información graficamos nuestra caminata aleatoria. Sea 𝑋𝑛 el punto donde se encuentra la variable dependiente (deserción) después de 𝑛 pasos. Este proceso se conoce como caminata o recorrido aleatorio. Es decir, la caminata aleatoria es
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una gráfica visual en la cual se muestra el recorrido que realiza nuestra variable aleatoria con respecto a un determinado tiempo. Para el plantel Cuajimalpa se tiene:
Caminata Aleatoria Plantel Cuajimalpa
0.7
0.7 0.6
0.6
0.5
0.5
0.5 0.4
0.4
0.5
0.5
0.4
0.4
2017-2020
2016-2019
2015-2018
2014-2017
2013-2016
2012-2015
2011-2014
2008-2011
2007-2010
2010-2013
0.3
0.3
2009-2012
Porcentajes de Deserción
0.8
0.8
Generaciones 2007-2020
GRÁFICA 4. CAMINATA ALEATORIA PLANTEL CUAJIMALPA .
De acuerdo con la gráfica 4, vemos que los pasos que sigue nuestra variable 𝑋𝑛 durante las 𝑛
generaciones son:
n-pasos 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 1 0.7 0.8
0.4 1 2
0.5
0.6
1 2
0.7
0.8
1
1 1
TABLA 2. CONTEO DE LOS 𝒏 − 𝒑𝒂𝒔𝒐𝒔 . PLANTEL CUAJIMALPA.
Para calcular las probabilidades en un estado con base en las probabilidades de estados anteriores, construimos una matriz con las probabilidades de transición a partir de cada estado. Para ello se multiplica el vector de probabilidades por la matriz de probabilidades de transición. Esta forma de calcular las transiciones se basa en el Teorema de la Probabilidad Total. La probabilidad de estar en el estado 𝐼 en el tiempo 𝑘 + 1 es igual a la sumatoria del producto de la
probabilidad del estado 𝐽 en tiempo 𝑘 por la probabilidad de transición de 𝐽 a 𝐼:
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𝑃𝑘+1 (𝐼) = ∑𝑗 𝑃𝑘 ( 𝐽)𝑃𝑘→𝑘+1 (𝐼|𝐽)
(4)
Es decir, en ecuación 3, agrupando en un vector las probabilidades de estar en cada estado se llega a ecuación 4: 𝑃𝑘 = (𝑃𝑘 (𝐼1 ), … , 𝑃𝑘 (𝐼𝑛 )): 𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘
(5)
La matriz de probabilidades de transición se obtiene a partir de la matriz de adyacencia del grafo. En este grafo se coloca un 1 en la posición (𝑖, 𝑗) si hay una flecha del vértice 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 al
𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜, y 0 en otro caso. En nuestro estudio se obtuvo el siguiente grafo de acuerdo con la
tabla 2 en la cual se encuentran detallados los pasos que sigue la variable deserción en el Plantel Cuajimalpa. FIGURA 13. GRAFO PLANTEL CUAJIMALPA
Figura 13. Grafo Plantel Cuajimalpa.
Con la información que obtenemos del grafo de la figura 13 planteamos la matriz de transición o estocástica para el Plantel Cuajimalpa. Observamos que nuestra variable aleatoria inicia su recorrido en el porcentaje 0.8 (80%) y va en 1 paso al porcentaje 0.6 (60%). De ahí, también en 1 paso va al porcentaje 0.3 (30%), y 0.4 (40%). De éste en 2 pasos va al porcentaje 0.5(50%) y al 0.7 (70%).El porcentaje 0.5 regresa al
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0.4 (40%) en 2 pasos y por último se tiene que el porcentaje 0.5 se queda en 0.5 (50%) en 2 pasos. Esto lo podemos representar mediante la siguiente matriz de transición en la que la suma de los renglones debe ser igual a 1. (probabilidad total).
𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟑 0 𝟎. 𝟒 0 𝟎. 𝟓 0 𝟎. 𝟔 1 𝟎. 𝟕 0 ( 𝟎. 𝟖 0
𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟕 𝟎. 𝟖 0 0 0 1 0 1/2 0 1/2 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ) 0 0
Matriz 1
Matriz 1.Generación 2007-2020 Plantel Cuajimalpa .En color rojo en la matriz podemos observar los estados (porcentajes) que forman nuestra Cadena de Markov.
Las entradas en un vector de probabilidad pueden representar las probabilidades de encontrar un sistema de cada uno de los estados. (zweigmedia.com, 2021). Si 𝑣 es el vector de distribución inicial y 𝑃 es la matriz de transicíon de un sistema de Markov,
entonces la vector de distribución a partir del paso 1 es el producto 𝑣𝑃.
En este caso definimos un vector inicial de 1/6 ya que nuestra cadena está formada por 6 estados, y sabemos que la probabilidad condicional máxima es 1. Es decir:
1 1 1 1 1 1 + + + + + ≅1 6 6 6 6 6 6
Distribución después de 1 paso: 𝑣𝑃
La distribución un paso más adelante, obtenido de nuevo a través de multiplicación por 𝑃, es
dado por (𝑣𝑃)𝑃 = 𝑣𝑃2 .
0 0 1 1 1 1 1 1 0 ( , , , , , ) 6 6 6 6 6 6 1 0 (0
1 0 1/2 0 0 0
0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 1 1 0
0 1/2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0)
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎. 𝟐𝟓 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎. 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎
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Distribución después del paso 2: 𝑣𝑃2
Del mismo modo, la distribución después del paso 𝑛 se puede obtener multiplicando 𝑣 al derecho por 𝑃(𝑛)veces, o multiplicando 𝑣 por 𝑃𝑛 .
0 0 (0.1667 0.25 0.3333 0.1667 0.0833 0 ) 0 1 0 (0
1 0 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0) 0 0
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟒 𝟎. 𝟑𝟕𝟒𝟗 𝟎 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟎
Si 𝑃 es una matriz de transición de un sistema de Markov y si 𝑣 es un vector de distribución con
la propiedad que 𝑣𝑃 = 𝑣, entonces nos referimos a 𝑣 como un vector (distribución) de estado de equilibrio.
Con el planteamiento de la matriz estocástica y la utilidad del vector inicial se busca obtener una solución para nuestro modelo estocástico. Si los valores más y más altos de 𝑃 se acercan a una matriz 𝑃∞ , nos referimos a 𝑃∞ como la matriz de equilibrio o como la matriz de transición largo plazo. Si es regular el sistema de Markov, entonces la matriz de equilibrio se expresa por la matriz cuadrada cuyos reglones son iguales el uno a otro, e iguales al vector de estado de equilibrio. Para hallar el vector de equilibrio de nuestra matriz hacemos cálculos en 𝑛 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠. Analicemos en 5 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠: 0 0 5 𝑃 = 0 1 0 (0
1 0 0 0 1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Ahora para 10 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠: UnADM | DCEIT| PT2
0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0) (0
0.25 0.28 0.28 0.37 0.31 0.25
0.56 0.59 0.56 0.5 0.56 0.75
0 0 0 0 0 0
0.18 0.12 0.15 0.12 0.12 0
0 0 0 0 0 0)
46
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
𝑃10
0 0 = 0 1 0 (0
1 0 1/2 0 0 0
0 1/2 1/2 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Ahora analicemos para 50 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠:
𝑃50
0 0 = 0 1 0 (0
1 0 1/2 0 0 0
0 1/2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 ( ) 0 0
0 0 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 1/2 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 1 0 0 0
0.2857 0.2857 0.2857 0.2857 0.2857 0.2857
0.287 0.285 0.286 0.285 0.285 0.281
0.570 0.571 0.571 0.574 0.572 0.570
0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0
0 0 0 0 0 0
0.142 0.143 0.142 0.140 0.142 0.148
0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429
0 0 0 0 0 0)
0 0 0 0 0 0)
Como podemos observar a partir de 50 − 𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 se logra un estado de equilibrio para cada uno
de nuestros estados de la matriz de transición, por lo que el vector de estado de equilibrio se expresa por :
De modo que
𝑣∞ = [0 0.2857 0.5714 0 0.1429 0 ] ,
0 0 𝑣𝑃 = [0 0.2857 0.5714 0 0.1429 0] 0 1 0 (0
1 0 1/2 0 0 0
0 0 0 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0) 0
= [𝟎 𝟎. 𝟐𝟖𝟓𝟕 𝟎. 𝟓𝟕𝟏𝟒 𝟎 𝟎. 𝟏𝟒𝟐𝟗 𝟎 ] = 𝑣
Por lo tanto, la matriz a largo plazo de transición en la deserción para el plantel Cuajimalpa es:
𝑃∞
0 0 = 0 0 0 (0
0.2857 0.2857 0.2857 0.2857 0.2857 0.2857
0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0 0.5714 0
0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429
0 0 0 0 0 0)
Una vez obtenida la matriz de transición de la cadena de Markov del Plantel Cuajimalpa, se ejecuta el Script en R Studio que nos aporta los siguientes resultados: 47 UnADM | DCEIT| PT2
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Pronóstico de Deserción Plantel Cuajimalpa 2021-2031
0.6
0.6 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.5
0.4
2030-2031
2029-2030
2028-2029
2027-2028
2026-2027
2025-2026
2021-2022
2020-2021
2024-2025
0.3
0.3
2023-2024
0.5
Variable P. Inicial P. 10 años después
0.7
0.7
2022-2023
Porcentaje de Deserción
0.8
0.8
Generaciones 2021-2031
GRÁFICA 5. PORCENTAJES DE DESERCIÓN PLANTEL CUAJIMALPA VS PRONOSTICO R STUDIO 10 AÑOS SIGUIENTES
En la gráfica 5 podemos observar el pronóstico en los 10 años siguientes (2021-2031) para el Plantel Cuajimalpa. Este plantel al iniciar la modalidad semiescolar tenía más del 80% de deserción y con la predicción obtenida con el Script en R Studio indica un 50 % de deserción.
5.1.1 Análisis de Reprobación Asignaturas Plantel Cuajimalpa Además del modelo estocástico para los dos planteles del IEMS CDMX se realizó un análisis de en cuales de sus asignaturas impartidas se tiene más índice de reprobación ya que al tener reprobación puede caer en la deserción en cada plantel. Se hace mención que se analizaron asignaturas del tipo ciencias exactas (Matemáticas I,II,III,IV,V; Física I,II y Química I,II) en comparación de Ciencias del Arte (Artes Plásticas I,II; Computación I,II y Música I,II) por así nombrarles ya que al considerarse ciencias exactas se tiene mayor dificultad para aprobarla en comparación con ciencias del arte que son más fáciles de acreditar. Se realizo el mismo modelo estocástico usando cadenas de Markov ahora para analizar los porcentajes de reprobación en asignaturas para cada Plantel. Por lo que de manera analítica se obtuvieron los siguientes resultados con ayuda de Excel y las gráficas mediante Minitab.
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G eneraciones
UnADM | DCEIT| PT2 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matemáticas V 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas IV 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas III 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
Porcentaje de Reprobación
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Reprobación Asignatura Matemáticas Plantel Cuajimalpa
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 6. PORCENTAJES DE REPROBACIÓN ASIGNATURA MATEMÁTICAS PLANTEL CUAJIMALPA.
De forma analítica se pueden observar los porcentajes de reprobación correspondientes a la
asignatura de Matemáticas en la gráfica 6. Se observa que la materia de Matemáticas II tiene los
más altos índices de reprobación a partir de la implementación de la modalidad semiescolar en
Plantel Cuajimalpa. En comparación, Matemáticas V tiene un bajo porcentaje de reprobación.
49
Generaciones
UnADM | DCEIT| PT2 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Música II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Música I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Computación II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Computación I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Q uímica II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Q uímica I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 F ísica II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 F ísica I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
G eneraciones
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Artes Plásticas II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Artes Plásticas I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
Porcentaje de Reprobación
Porcentaje de Reprobación
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Reprobación Asignaturas Física y Química Plantel Cuajimalpa 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 7. PORCENTAJES DE REPROBACIÓN ASIGNATURA FÍSICA, QUÍMICA PLANTEL CUAJIMALPA.
En la gráfica 7 podemos observar que, en cuanto a los porcentajes de reprobación para las
asignaturas de Física I, y II ; Química I y II, se observa que Física y Química II tienen muy altos
índices de reprobación a partir de 2007.
Reprobación Asignaturas Artes,Música y Computación Plantel Cuajimalpa 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 8. PORCENTAJES DE REPROBACIÓN ASIGNATURA ARTES, COMPUTACIÓN Y MÚSICA PLANTEL CUAJIMALPA.
En la gráfica 8 se observa que la asignatura con mayor índice de reprobación es Artes plásticas
II, seguida de Música II y que la que presenta menor porcentaje de reprobación es Artes
Plásticas I.
50
Generaciones
0.0
UnADM | DCEIT| PT2
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Química II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Química I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Física II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matemáticas V 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas IV 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas III 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
G eneraciones
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 Física I 2024-2025 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
Porcentaje de Reprobación
Porcentajes de Reprobación
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Ahora mediante las matrices de transición de cada asignatura del Plantel Cuajimalpa se ejecutó
el Script en R Studio para obtener las predicciones a 10 años como se observa en la siguiente
gráfica: Reprobación con Script R Studio Plantel Cuajimalpa
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
GRÁFICA 9. PRONÓSTICO DE REPROBACIÓN CON R STUDIO PLANTEL CUAJIMALPA.
En la gráfica 9 podemos observar los resultados de la corrida del Script en R Studio para la
asignatura de Matemáticas en donde Matemáticas II seguirá siendo la asignatura con mayor
porcentaje de reprobación y Matemáticas III logrará obtener un 50%.
Reprobación con R Studio Fisica y Química Plantel Cuajimalpa 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
GRÁFICA 10 . PRONÓSTICO DE REPROBACIÓN ASIGNATURA FÍSICA Y QUÍMICA PLANTEL CUAJIMALPA.
51
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Los resultados de la corrida del Script R Studio para las asignaturas de Física y Química para los 10 años siguientes (2021-2031) se observan en la gráfica 10. Las asignaturas con mayor índice de reprobación son Física II y Química II. Reprobación Asignaturas con R Studio Plantel Cuajimalpa 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Música II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Música I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 C omputación II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 C omputación I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
0.0
G eneraciones
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 A rtes Plásticas II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
0.1
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 A rtes Plásticas I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
Porcentaje de Reprobación
0.9
GRÁFICA 11 . PRONÓSTICO R STUDIO REPROBACIÓN ASIGNATURA ARTES, COMPUTACIÓN Y MÚSICA. PLANTEL CUAJIMALPA.
En el pronóstico a 10 años para las asignaturas de Artes, Computación y Música la asignatura con mayor porcentaje de reprobación fue computación II. La que presentará menor porcentaje es Música I, como se observa en grafica 11. Con estos resultados se obtuvieron los vectores a largo plazo en cuanto el fenómeno de reprobación para las asignaturas en el Plantel Cuajimalpa.
52 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Reprobación Asignaturas Plantel Cuajimalpa
94
98 92
100
100 90
90
100
100
100 92
90
80
80 70
70
79
70
60
70
53
50
54
53
68 63
Reprobación Vector inicial Vector a largo plazo
82
59
57
49
40
33
30
ComputaciónII
ArtesI
QuímicaII
QuímicaI
FísicaII
FísicaI
MatemáticasV
MatemáticasIV
MatemáticasIII
MatemáticasII
MatemáticasI
20
ComputaciónI
21
MúsicaII
50
96 90
MúsicaI
100
ArtesII
Porcentaje de Reprobación
110
A signaturas
GRÁFICA 12.VECTOR A LARGO PLAZO REPROBACIÓN ASIGNATURAS PLANTEL CUAJIMALPA.
Con la ejecución del Script podemos observar en gráfica 12 que la asignatura con mayor porcentaje de reprobación a futuro para Plantel Cuajimalpa será Física II con un 96% seguida de Matemáticas II con un 92 y la que tendrá menor porcentaje de reprobación es Artes Plásticas II con un 21%.
5.1.2 Confiabilidad del Modelo Estocástico Plantel Cuajimalpa Para analizar qué tan confiable es nuestro modelo matemático descrito con anterioridad para el pronóstico de la deserción para el Plantel Cuajimalpa realizamos lo siguiente, de manera analítica se obtuvieron los siguientes resultados : Plantel Cuajimalpa Generaciones 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
Inscritos 52 177 58 61 57 48 98 76 102 192 165
Bajas 41 98 20 26 31 20 64 36 53 95 68
%Inscritos 21.2% 44.6% 65.5% 57.4% 45.6% 58.3% 34.7% 52.6% 48.0% 50.5% 58.8%
%Bajas 78.8% 55.4% 34.5% 42.6% 54.4% 41.7% 65.3% 47.4% 52.0% 49.5% 41.2%
TABLA 3. PORCENTAJES DE DESERCIÓN PLANTEL CUAJIMALPA
53 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Para analizar el error que se tiene dentro de nuestro modelo matemático de forma analítica , Es decir, reagrupamos los porcentajes de deserción tabla 3 (%Bajas) que se han tenido para el plantel Cuajimalpa de acuerdo con los estados que conforman nuestra matriz de transición es decir colocarlos dentro de los estados (0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8), para la cadena de Markov. Por lo tanto, obtenemos:
Estados Cadena de Markov
0.3
0.4948 0.4737 0.4262 0.4167 0.4121
0.5537 0.5439 0.5196
0.4
0.5
0.7885 0.6
0.7
0.8
TABLA 4. AGRUPACION DE LOS PORCENTAJES DE DESERCIÓN EN LA CADENA DE MARKOV
Una vez reagrupados los porcentajes dentro de la Cadena de Markov (estados) tabla 4, se puede decir que si los estados de la cadena tienen elementos agrupados corresponde a que no se ha tenido error al realizar el planteamiento del modelo, pero en cambio si aparecen porcentajes que no se encuentran en nuestra cadena de Markov significa que se ha tenido error al proyectar el modelo matemático. Lo cual se puede observar a continuación: Plantel Cuajimalpa Generaciones 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
Inscritos Bajas 52 41 177 98 58 20 61 26 31 57 48 20 98 64 76 36 102 53 192 95 165 68
%Inscritos 21.2% 44.6% 65.5% 57.4% 45.6% 58.3% 34.7% 52.6% 48.0% 50.5% 58.8%
%Bajas 78.8% 55.4% 34.5% 42.6% 54.4% 41.7% 65.3% 47.4% 52.0% 49.5% 41.2%
V. Equlibrio sin error sin error ERROR sin error sin error sin error ERROR sin error sin error sin error sin error
TABLA 5. CUANTIFICACIÓN DE ERROR MODELO MATEMÁTICO PLANTEL CUAJIMALPA
Para saber el error obtenido observamos en tabla 5 que se tienen dos porcentajes que no aparecen dentro de la cadena de Markov lo que implica que esos dos porcentajes representan nuestro error de predicción por lo tanto proponemos la siguiente operación matemática: 𝐶
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( 𝑇𝑒 ) ∗ 100 ) 𝑐
Donde
(6)
54 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑐 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑒 = 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 100 = 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
Reemplazando lo datos que se tienen :
2 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100) → 11
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 0.8182 ∗ 100
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 81.82 %
Por lo tanto, podemos decir que se tiene un 81.82 % de confiabilidad, lo que implica que nuestro modelo matemático es significativamente confiable. Ahora con respecto al pronóstico que se obtuvo mediante el Script de R Studio se tiene que, el vector a largo plazo de nuestra matriz de transición para el Plantel Cuajimalpa fue de 0.5% (50%) de deserción estudiantil. Reagrupando los porcentajes dentro de la cadena de Markov obtenemos:
Estados C. Markov
0.3
0.4
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.6
0.7
TABLA 6. AGRUPACIÓN DEL VECTOR EQUILIBRIO EN LA CADENA DE MARKOV
Podemos observar que de acuerdo tabla 6 la agrupación del vector equilibrio para nuestra cadena de Markov se tiene que existe un estado con esa probabilidad de transición, lo que implica que nuestro modelo estocástico planteado tiene mayor confiabilidad.
55 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Plantel Cuajimalpa Generaciones 2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030 2030-2031
Vector de Equilibrio 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error
TABLA 7. ERROR DE PREDICCIÓN MODELO ESTOCÁSTICO CUAJIMALPA.
Con la información obtenida en tabla 7 que de acuerdo con la agrupación de nuestro porcentaje 0.5% dentro de los estados de nuestra Cadena de Markov no se tienen error al realizar los cálculos mediante el Script R Studio, esto lo podemos reafirmar mediante la siguiente operación matemática como sigue: 𝐶𝑒 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100 ) 𝑇𝑐
Reemplazando lo datos que se tienen :
0 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100) → 11
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 1 ∗ 100
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 100 %
Por lo tanto, podemos decir que se tiene un 100 % de confiabilidad, lo que implica que nuestro modelo estocástico es significativamente confiable.
5.1.3 Prueba de Bondad de Ajuste Chi-Cuadrada (𝜒 2 ) en Minitab
Prueba Chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos observados en variable: Bajas Categoría 41 98 20 26 31 64 36 53 95 68 N 552
GL 9
Observado 41 98 40 26 31 64 36 53 95 68 Chi-cuad. 106.913
TABLA 8.
Proporción de prueba 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
Esperado 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0
Contribución a Chi-cuad. 3.6529 33.1855 4.1855 15.4464 10.6094 1.4029 6.6783 0.0877 28.6964 2.9681
Valor P 0.000
AJUSTE DE BONDAD VARIABLE BAJAS PLANTEL CUAJIMALPA
56 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Ajuste de Chi-cuadrada variable Bajas Plantel Cuajimalpa 100
Porcentaje de deserción
90 Esperado O bserv ado
60
30
0
GRÁFICA 13. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI-CUADRADA ,PLANTEL CUAJIMALPA.
Con la información obtenida en tabla 8 y gráfica 13 podemos observar que las frecuencias o valores esperados de la variable bajas con respecto al Plantel Cuajimalpa corresponden al vector de estado equilibrio a largo plazo que es 0.5% (50%) de la deserción para ese plantel de acuerdo con el resultado obtenido mediante el Script en R Studio. Por lo tanto, con lo realizado mediante el porcentaje de confiabilidad y el ajuste de bondad de Chi-Cuadrada
realizado
en
Minitab
concluimos
que
nuestro
modelo
matemático
es
significativamente confiable.
57 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
5.2 PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN De igual manera se utilizó el mismo modelo estocástico ahora para el Plantel Álvaro Obregón .Por lo que a continuación se presenta la información ya más resumida. Plantel Álvaro Obregón generacion 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
inscritos 125 127 71 62 113 71 102 63 151 119 75
bajas 83 70 35 32 37 43 58 32 66 54 39
% Bajas/inscritos 0.7 0.6 0.5 0.5 0.3 0.6 0.6 0.5 0.4 0.5 0.5
TABLA 9 PORCENTAJES DE ALUMNOS QUE SE DAN DE BAJA EN LA GENERACIÓN 𝒏. 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆𝒍 𝑨𝒍𝒗𝒂𝒓𝒐 𝑶𝒃𝒓𝒆𝒈Ó𝒏
Con los porcentajes de deserción obtenidos en la tabla 9 se define la variable aleatoria de estudio para el Plantel Álvaro Obregón. Y se enuncia como sigue: 𝑿𝒏 : 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑙 Á𝑙𝑣𝑎𝑟𝑜 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑔ó𝑛 𝑺: {0.3,0.4,0.5,0.6,0.7} 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛 𝑻: {2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017} 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∴ 𝐸𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑐á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠
La caminata aleatoria será a partir de las probabilidades que se obtuvo en tabla 3 para el Plantel Álvaro Obregón. Caminata Aleatoria Deserción Plantel Álvaro Obregón
Porcentaje de Deserción
0.7
0.7 0.6
0.6
0.6
0.6 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
0.5
0.4 0.3
2017-2020
2016-2019
2015-2018
2014-2017
2013-2016
2012-2015
2011-2014
2010-2013
2009-2012
2008-2011
2007-2010
0.3
Generaciones 2007-2020
GRÁFICA 14. CAMINATA ALEATORIA PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
El recorrido que de la variable aleatoria mostrado en gráfica 14, nos ayuda a realizar el conteo de 𝑛 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠:
58
UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
n 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.3
0.4 0.5 0.6 0.7 1 1 1 1 2 2 1 1
TABLA 10 . CONTEO DE LOS 𝒏 − 𝒑𝒂𝒔𝒐𝒔. PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Con la información proporcionada en la tabla 10 podemos realizar un grafo en el cual se muestra el recorrido que realiza nuestra variable aleatoria para el Plantel Álvaro Obregón.
FIGURA 14. GRAFO PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Mediante el grafo de la figura 14 podemos plantear la matriz de transición o estocástica para el Plantel Álvaro Obregón. Entonces realizamos el siguiente procedimiento: Observamos que nuestra variable aleatoria inicia su recorrido en el porcentaje 0.7 (70%) y va de 1 paso al porcentaje 0.6 (60%), y que el porcentaje 0.6 va en 2 paso al porcentaje 0.5 (50%) y de igual forma regresa al 0.4 (40%) en 1 paso, también se puede observar que el porcentaje 0.3 va en 1 paso al porcentaje 0.6 (60%), el porcentaje 0.4 va en 1 paso al porcentaje 0.5(50%) además de que el porcentaje 0.5 también va en 3 pasos al 0.5 (50%) y que el porcentaje 0.5 regresa al 0.4 (40%) en 1 paso y por último se tiene que el porcentaje 0.5 se va al 0.3 (30%) en 1 paso. Esto lo podemos representar mediante la siguiente matriz de transición recordando que la suma de los renglones para nuestra matriz debe ser igual a 1. (probabilidad total). 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟔 𝟎. 𝟑 0 0 0 1 1 0 0 0 𝟎. 𝟒 . 3/5 1/5 1/5 0 𝟎. 𝟓 1/3 𝟎. 𝟔 0 0 2/3 (𝟎. 𝟕 1 0 0 0
𝟎. 𝟕 0 0 0 0 0 )
Matriz 2
Matriz 2. Matriz estocástica Generación 2007-2020 Plantel Álvaro Obregón
59 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Para hallar el vector de equilibrio de nuestra matriz de transición para Plantel Álvaro Obregón hacemos cálculos en 𝑛 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠. Primero hallemos: Para 5 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠:
0 0 0.116 0 1 0 0 0 0.117 1 0 0 0 0 = 0.118 𝑃5 = 1/5 1/5 3/5 0.117 2/3 1/3 0 0 0 0 1 0 0 0 ( ) (0.116
Ahora para 10 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠: 𝑃10
0 0 = 1/5 0 ( 0
0 0.117 0 1 0 0 0.117 1 0 0 1/5 3/5 0 0 = 0.117 0.117 2/3 1/3 0 0 0 1 0 0 ) (0.117
0 0 = 1/5 0 ( 0
0 0.1176 0 1 0 0 0.1176 1 0 0 1/5 3/5 0 0 = 0.1176 0.1176 2/3 1/3 0 0 0 ) (0.1176 1 0 0
Ahora analicemos para 15 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠: 𝑃15
0.116 0.117 0.118 0.117 0.116 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117
0.586 0.590 0.588 0.588 0.586
0.181 0.174 0.175 0.176 0.181
0.588 0.588 0.588 0.588 0.588
0.1176 0.1176 0.1176 0.1176 0.1176
0.176 0.176 0.176 0.174 0.176
0.5882 0.5882 0.5882 0.5882 0.5882
0 0 0 0 0) 0 0 0 0 0)
0.1765 0.1765 0.1765 0.1765 0.1765
0 0 0 0 0)
Como podemos observar a partir del 15 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 se logra un estado de equilibrio de la matriz de
transición, por lo que el vector de estado de equilibrio se expresa:
De modo que
𝒗∞ = [𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟔 𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟔 𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟐 𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟓 𝟎 ]
0 0 𝑣𝑃 = [0.1176 0.1176 0.5882 0.1765 0 ] 1/5 0 ( 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1/5 3/5 0 0 2/3 1/3 0 0 0) 1 0 0
= [𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟔 𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟔 𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝟐 𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟓 𝟎 ] = 𝑣
Por lo tanto, la matriz a largo plazo de transición de la deserción para el plantel Álvaro Obregón es:
𝑃∞
UnADM | DCEIT| PT2
0.1176 0.1176 = 0.1176 0.1176 (0.1176
0.1176 0.1176 0.1176 0.1176 0.1176
0.5882 0.5882 0.5882 0.5882 0.5882
0.1765 0.1765 0.1765 0.1765 0.1765
0 0 0 0 0)
60
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Del modelo estocástico del Plantel Álvaro Obregón procedemos a ingresar en el Script en R Studio la matriz estocástica (2) para obtener los cálculos de una manera más rápida los porcentajes de los 10 años siguientes, por lo que obtenemos lo siguiente: Pronóstico de Deserción Plantel Álvaro Obregón Deserción V.Incial V.Equilibrio
0.7 0.6
0.6
0.6 0.5
0.49
0.5
0.5 0.48
0.48
0.5
0.5 0.48
0.48
0.48
0.48
0.48 0.4
0.48 0.5
0.48
2030-2031
0.54
0.6
2029-2030
Porcentaje de Deserción
0.7
0.4 0.3
2028-2029
2027-2028
2026-2027
2025-2026
2024-2025
2023-2024
2022-2023
2021-2022
2020-2021
0.3
Generaciones 2020-2030
GRÁFICA 15. PORCENTAJES DE DESERCIÓN PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN VS PRONÓSTICO R STUDIO 10 AÑOS SIGUIENTES.
En gráfica 15 podemos observar que para el Plantel Álvaro Obregón al implementarse la modalidad semiescolar en el año 2007 se tenía una deserción del 70% pero al realizar la predicción con ayuda del Script en R Studio de los 10 años siguientes se tendrá una deserción de 48%.
5.2.1 Análisis de Reprobación Asignaturas Plantel Álvaro Obregón De igual manera se analizan las asignaturas con mayor porcentaje de reprobación:
61 UnADM | DCEIT| PT2
G eneraciones
UnADM | DCEIT| PT2 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Q uímica II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Q uímica I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 F ísica II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matemáticas V 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas IV 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas III 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Matematicas I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
G eneraciones
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 F ísica I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
Porcentaje de Reprobación Porcentaje de Reprobación
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Reprobación Asignatura Matemáticas Plantel Álvaro Obregón
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 16. REPROBACIÓN ASIGNATURA MATEMÁTICAS PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Como se puede observar en la gráfica 16 la asignatura de matemáticas con mayor reprobación al
implementarse la modalidad semiescolar es Matemáticas II y la que presenta menor índice de
reprobación es Matemáticas V.
Reprobación Asignatura Física y Química Plantel Álvaro Obregón
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 17.REPROBACIÓN ASIGNATURAS FÍSICA Y QUÍMICA PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Con los resultados obtenidos se puede observar en gráfica 17 que la materia con mayor
reprobación es Física II y Química II, para el Plantel Álvaro Obregón al iniciar la modalidad
semiescolar.
62
G eneraciones
UnADM | DCEIT| PT2 2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matemáticas V 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas IV 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Matematicas III 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 Matematicas II 2024-2025 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Música II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 Música I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 C omputación II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 C omputación I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 A rtes Plásticas II 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 A rtes Plásticas I 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 2017-2018 2018-2019 2019-2020
G eneraciones
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 Matematicas I 2024-2025 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
Porcentaje de Reprobación
Porcentaje de Reprobación
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Reprobación Asignaturas Artes, Música y Computación Plantel Álvaro Obregón 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
GRÁFICA 18. PORCENTAJES DE REPROBACIÓN ASIGNATURAS ARTES, MÚSICA Y COMPUTACIÓN PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Como se visualiza mediante la gráfica 18 las asignaturas con mayor reprobación son
Computación II y Artes Plásticas y la que tiene el menor porcentaje de reprobación es Música I. Reprobación con Script R Studio Asignaturas Plantel Álvaro Obregón 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
GRÁFICA 19 . PRONÓSTICO REPROBACIÓN ASIGNATURA MATEMÁTICAS 2021-2031.
Mediante el Script en R Studio en gráfica 19 observamos que Matemáticas II seguirá con el más
alto nivel de reprobación y que Matemáticas V se mantiene con su menor porcentaje de
reprobación a largo plazo para el Plantel Álvaro Obregón.
63
G eneraciones
GRÁFICA 21.
UnADM | DCEIT| PT2 2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Música II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Música I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 C omputación II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 C omputación I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 A rtes Plásticas II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Q uímica II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 Q uímica I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 F ísica II 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 F ísica I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
G eneraciones
2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 A rtes Plásticas I 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030
Porcentaje de Reprobación
Porcentajes de Reprobación
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Reprobación con Script R Studio Asignaturas Plantel Álvaro Obregón 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
GRÁFICA 20. PRONÓSTICO DE REPROBACIÓN ASIGNATURA FÍSICA, QUÍMICA 2021-2031. PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Una vez más después de haber corrido el Script en R Studio se observa en gráfica 20 que las
asignaturas con mayor reprobación a 10 años siguientes para el Plantel Álvaro Obregón seguirán
siendo Física II y Química II.
Reprobación con Script R Studio Asignaturas Plantel Álvaro Obregón 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
PRONÓSTICO DE REPROBACIÓN ASIGNATURAS ARTES, COMPUTACIÓN Y MÚSICA PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Con ayuda del Script en R Studio hemos logrado obtener los pronósticos de reprobación para las
asignaturas de Artes, Computación y Música como se observa en gráfica 21 en la cual se
64
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
visualiza que la asignatura que seguirá con mayor porcentaje es Computación II y la que tendrá el menor índice de reprobación es Música I. Reprobación con Script R Studio Asignaturas Plantel Álvaro Obregón 100
92
94
99
Porcentaje de Reprobación
96
95
89
84
80
80
80
80
80
90
79
76
71
68
65 58
60
68 59
57
55
Variable Reprobación Inicial Vector a Largo Plazo
88
43
40
39 33
31
29
20 7
MúsicaI
ComputaciónII
ComputaciónI
ArtesII
ArtesI
QuímicaII
QuímicaI
FísicaII
FísicaI
MatemáticasV
MatemáticasIV
MatemáticasIII
MatemáticasII
MatemáticasI
MúsicaII
0
0
A signaturas
GRÁFICA 22. VECTOR A LARGO PLAZO DE REPROBACIÓN ASIGNATURAS PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Una vez obtenidos los resultados gráfica 22, con la ayuda del Script elaborado y ejecutado en el software R Studio podemos decir que la estabilidad o equilibrio de nuestra cadena de Markov (reprobación) para el plantel Álvaro Obregón la asignatura con mayor índice de reprobación será Matemáticas III y la con menor porcentaje será Música I.
5.2.2 Confiabilidad del Modelo Estocástico Plantel Álvaro Obregón Ahora se analiza la confiabilidad de modelo matemático descrito con anterioridad para el pronóstico de la deserción para el Plantel Álvaro Obregón realizamos lo siguiente: Plantel Álvaro Obregón Generaciones 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
inscritos 125 127 71 62 113 71 102 63 151 119 75
bajas %inscritos %bajas 83 33.60% 66.40% 70 44.88% 55.12% 35 50.70% 49.30% 32 48.39% 51.61% 37 67.26% 32.74% 43 39.44% 60.56% 58 43.14% 56.86% 32 49.21% 50.79% 66 56.29% 43.71% 54 54.62% 45.38% 39 48.00% 52.00%
TABLA 11. PORCENTAJES DE DESERCIÓN PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN
65 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Para analizar el error que se tiene dentro de nuestro modelo matemático de forma analítica tabla 11, tenemos que comparado con los estados que forman nuestra cadena de Markov, es decir, reagrupamos los porcentajes de deserción tabla 10 (%Bajas) que se han tenido para el plantel Álvaro Obregón de acuerdo con los estados que conforman nuestra matriz de transición es decir colocarlos dentro de los estados (0.3,0.4,0.5,0.6,0.7) para la cadena de Markov. Por lo tanto, obtenemos:
Estados C. Markov
0.3944 0.336 0.3
0.4921 0.4839 0.48 0.4488 0.4314 0.4
0.5629 0.5462 0.507 0.6726 0.5 0.6
0.7
TABLA 12. AGRUPACIÓN DE LOS PORCENTAJES DE DESERCIÓN PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Una vez reagrupados los porcentajes dentro de la Cadena de Markov (estados) tabla 12, se puede decir que si los estados de la cadena tienen elementos agrupados corresponde a que no se ha tenido error al realizar el planteamiento del modelo, pero en cambio si aparecen porcentajes que en nuestra cadena de Markov tiene como equilibrio 0 significa que se ha tenido error al proyectar el modelo matemático. Lo cual se puede observar a continuación: Plantel Álvaro Obregón Generaciones 2007-2010 2008-2011 2009-2012 2010-2013 2011-2014 2012-2015 2013-2016 2014-2017 2015-2018 2016-2019 2017-2020
inscritos 125 127 71 62 113 71 102 63 151 119 75
bajas %inscritos %bajas V. Equilibrio 83 33.60% 66.40% Sin error 70 44.88% 55.12% Sin error 35 50.70% 49.30% Sin error 32 48.39% 51.61% Sin error 37 67.26% 32.74% Sin error 43 39.44% 60.56% Sin error 58 43.14% 56.86% Sin error 32 49.21% 50.79% Sin error 66 56.29% 43.71% Sin error 54 54.62% 45.38% Sin error 39 48.00% 52.00% Sin error
TABLA 13. CUANTIFICACIÓN DEL ERROR EN MODELO MATEMÁTICO PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN
Para saber el error obtenido observamos en tabla 13 que no se tienen porcentajes que aparezcan fuera de la cadena de Markov, lo que significa que se tiene un 0% de error, lo que representa nuestro error de predicción, para obtener nuestra confiabilidad del modelo se emplea la siguiente operación matemática:
Donde
𝐶𝑒 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100 ) 𝑇𝑐 66
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%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑐 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑒 = 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 100 = 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Reemplazando lo datos que se tienen :
0 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100) → 11
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 1 ∗ 100
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 100 %
Por lo tanto, podemos decir que se tiene un 100% de confiabilidad, lo que implica que nuestro modelo matemático es significativamente confiable. Ahora con respecto al pronóstico que se obtuvo mediante el Script de R Studio se tiene que, el vector a largo plazo de nuestra matriz de transición para el Plantel Álvaro Obregón fue de 0.48% (48%) de deserción estudiantil. Reagrupando los porcentajes dentro del vector de equilibrio para conocer el error de predicción se obtiene:
Estados C. Markov
0.3
0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.4
0.5
0.6
0.7
TABLA 14. AGRUPACIÓN DEL VECTOR EQUILIBRIO EN LA CADENA DE MARKOV
Podemos observar que de acuerdo tabla 14 la agrupación del vector equilibrio para nuestra cadena de Markov se tiene un porcentaje que existe en el estado con probabilidad 0.4% (40%). Plantel Álvaro Obregón Generaciones 2020-2021 2021-2022 2022-2023 2023-2024 2024-2025 2025-2026 2026-2027 2027-2028 2028-2029 2029-2030 2030-2031
Vector de Equilibrio 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48
Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error Sin Error
TABLA 15. ERROR DE PREDICCIÓN MODELO ESTOCÁSTICO PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN .
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Entonces en la tabla 15 decimos que el porcentaje 0.48% se agrupa en el estado 0.4 de nuestro vector equilibrio lo que significa que se tiene 0% de error de predicción con la ayuda del Script realizado en R Studio, esto lo podemos reafirmar mediante la siguiente operación matemática como sigue: 𝐶𝑒 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100 ) 𝑇𝑐
Reemplazando lo datos que se tienen :
0 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (1 − ( ) ∗ 100) → 11
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 1 ∗ 100
%𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 100 %
Por lo tanto, podemos decir que se tiene un 100 % de confiabilidad, lo que implica que nuestro modelo estocástico es significativamente confiable.
5.2.3 Prueba de Bondad de Ajuste Chi-Cuadrada (𝜒 2 ) en Minitab
Prueba Chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos observados en variable: Bajas Proporción Categoría 83 70 35 32 37 43 58 66 54 39 N GL 549 9
Observado 83 70 35 64 37 43 58 66 54 39
Chi-cuad. 42.7122
de prueba 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
Esperado 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0
Contribución a Chi-cuad. 14.3827 4.1532 7.2133 1.5084 5.8362 2.5794 0.1750 2.2443 0.0148 4.6049
Valor P 0.000
TABLA 16. FRECUENCIAS OBSERVADAS VS FRECUENCIAS ESPERADAS PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN
Graficamente se tiene:
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Ajuste Chi-Cuadrada Fo vs Fe Plantel Álvaro Obregón 95
Esperado O bserv ado
Porcentajes de deserción
80
60
40
20
0
GRÁFICA 23. AJUSTE DE BONDAD CHI-CUADRADA PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN .
A través del ajuste de bondad de chi-cuadrada realizado con ayuda de minitab para el plantel Álvaro Obregón respecto a la variable bajas se observa en gráfica 23 y tabla 16 que los datos arrojados como Frecuencias Esperadas (fe) corresponden efectivamente al vector equilibrio a largo plazo el cual fue 0.48% (48%) de deserción escolar para dicho plantel obtenido mediante el Script en R Studio. Por lo tanto, mediante el porcentaje de confiabilidad obtenido y el ajuste de bondad de chicuadrada podemos decir que nuestro modelo matemático planteado es significativamente confiable. Vector a largo Plazo de Desercion Planteles
[VALOR] [VALOR] % %
Cuajimalpa Álvaro…
GRÁFICA 24. VECTOR A LARGO PLAZO DE LA DESERCIÓN ESCOLAR: CUAJIMALPA Y ÁLVARO OBREGÓN CON R STUDIO.
Una vez recopilada y procesada la información con ayuda de los Scripts elaborados para cada Plantel se visualiza en gráfica 24 que la deserción a largo plazo en Plantel Álvaro será de 48 % con respecto al Plantel Cuajimalpa que tendrá un 50%. 69 UnADM | DCEIT| PT2
C A P Í T U LO
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Comparación de Reprobación a largo Plazo Plantel Cuajimalpa vs Álvaro Obregón
39
31
29
A rtes Plásticas II
Q uímica II
A rtes Plásticas I
Q uímica I Plantel Á lv aro O bregón
F ísica I
F ísica II
Matemáticas V
Matematicas IV
Matematicas III
Matematicas I
Matematicas II
Música I
Música II
C omputación I
C omputación II
A rtes Plásticas I
Q uímica I
Q uímica II
Plantel C uajimalpa
F ísica I
F ísica II
Matemáticas V
Matematicas IV
Matematicas III
A rtes Plásticas II
21
Matematicas I
6 79
59
43 33
20 0
71
57
55
49
40
A signaturas
58
57
53
76
Música I
53 54
50
80
65
Música II
68
C omputación I
70 70
89
84
C omputación II
92 79
80 60
96
92
Matematicas II
Porcentaje de Reprobación
100
GRÁFICA 25. ANÁLISIS DE REPROBACIÓN ASIGNATURAS PLANTEL CUAJIMALPA VS PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN.
Por último, podemos observar en gráfica 25 que las asignaturas con mayor reprobación serán las ciencias exactas (Matemáticas II, Física II y Química II) para ambos planteles y que las ciencias del arte tendrán menor índice de reprobación a largo plazo. Pero comparando los porcentajes de reprobación de las asignaturas analizadas se puede observar que el Plantel Cuajimalpa tiene los más altos índices de reprobación a largo plazo.
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CO NC LU SI ONES
E
n este capítulo se expone de forma clara las conclusiones a las que se llega después de realizar el modelado estocástico usando Cadenas de Markov y el Script realizado en R
Studio, para predecir la deserción escolar para los Planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón del Instituto de Educación Media Superior de la Ciudad de México para su modalidad semiescolar, además del análisis del porcentaje de reprobación de las asignaturas de Ciencias Exactas y Ciencias sociales.
Al exponer los resultados obtenidos durante este análisis matemático contribuirá con bases cuantitativas a los directivos de cada plantel a mejorar o rediseñar sus estrategias, las cuales deben estar enfocadas en lograr la retención de alumnos hasta lograr concluir su educación media superior.
Después realizar este análisis, es posible concluir que el fenómeno de la deserción es una problemática compleja. Es decir, no es una relación causa-efecto simple o única. Se comprobó que la variación de su ocurrencia es aleatoria.
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La aleatoriedad de los índices de deserción quedó demostrada tanto en el modelo analítico con cadenas de Márkov como en la simulación realizada en R Studio. Se refirma el estudio de Tinto (Tinto,1975) sobre la tercera etapa de la deserción, donde se afirma que los estudiantes tienen más probabilidad de deserción en base a la reprobación que presentan en asignaturas referentes a Ciencias Exactas. Como lo sustenta Bessent (1980), podemos corroborar que el fenómeno de la deserción es una problemática compleja. No es solo un problema de índole académico. Es un problema que afecta a la sociedad en su conjunto con graves repercusiones económicas, sociales y culturales según Spady (2011). Es un fenómeno que impacta en el avance del individuo y de la sociedad a la que pertenece en muchos aspectos. Se comprobó que la implementación de la modalidad semiescolar, fue un factor que repercutió en un incremento de los valores de nuestra variable aleatoria (𝜒𝑛 : porcentaje de deserción escolar en la generación 𝑛) en los dos planteles que conforman nuestra muestra poblacional.
También para ambos planteles, se puede observar que, en las asignaturas de matemáticas, física y química, se ubican los porcentajes más altos de reprobación al implementarse la modalidad semiescolar. En cambio, los porcentajes con menor reprobación son para las asignaturas de artes plásticas y música. Se observó sin embargo que, en los ciclos siguientes, 𝑛 > 3 , se produce una tendencia decreciente en cuanto a los porcentajes de deserción. En las gráficas y resultados numéricos, se observaron tendencias de comportamiento de nuestra variable aleatoria. Dada la complejidad del fenómeno de la deserción, se recomienda la realización de un análisis multifactorial y tomar en la medida de lo posible, muestras mayores de la población. Es posible modificar el modelo que aquí se usó o se podría diseñar uno nuevo, con la finalidad de incluir variables de tipo cualitativo (sexo, edad, etc.). Además de complementarse con otros modelos como son el análisis de regresión y correlación. O incluso aplicando la minería de datos para identificar aspectos de este fenómeno que no son evidentes. Es muy conveniente contar con una base de datos para llevar a cabo estudios estadísticos más completos, como se mencionó, con enfoque multifactorial y con variables aleatorias vectoriales.
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de
zweigmedia.com:
76 UnADM | DCEIT| PT2
CAPÍTULO
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
ANEXOS
E
n este capítulo, se integran los Scripts utilizados dentro del programa R Studio que nos
ayudaron a calcular las predicciones de los porcentajes de deserción y reprobación de los Planteles Cuajimalpa y Álvaro Obregón del IEMS CDMX en su modalidad semiescolar durante su implementación 2007-2020 y sus 10 años siguientes, además de conocer los porcentajes y reprobación a largo plazo.
Así como los diferentes índices que integran este trabajo investigativo: índice de Figuras, índice de Tablas, índice de Gráficas y el índice de ecuaciones.
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SCRIPT GENERACIONAL PLANTEL CUAJIMALPA 2007-2020 library(markovchain) P= matrix(c(0,1,0,0,0,0, 0,0,1/2,0,1/2,0, 0,1/2,1/2,0,0,0, 1,0,0,0,0,0, 0,0,1,0,0,0, 0,0,0,1,0,0),nrow=6,byrow = TRUE) P mc=new("markovchain",transitionMatrix=P,states=c("30%","40%","50%","60%","70%","80%"),name="Des erción") mc summary(mc) plot (mc, main= "Cadena de Markov Generacional Plantel Cuajimalpa") absorbingStates(mc) # Estados adsorbentes transientStates(mc) recurrentStates(mc)
# Estados transitorios # Estados recurrentes
n=5 mc^n n=10 mc^n n=15 mc^n n=50
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mc^n n=100 mc^n n=1000 mc^n X0=c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6) # La distribución de X en t=0 n=0 Xn=X0*(mc^n) #el resultado es un vector Xn sum(Xn) DisEst=steadyStates(mc) DisEst #Vector de estado S=c(0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8) #Pronóstico de deserción a largo plazo sum(DisEst*S)
#producto punto
# predicción a futuro 10 años fut <- c(sum((Xn*mc^1)*S), sum((Xn*mc^2)*S), sum((Xn*mc^3)*S), sum((Xn*mc^4)*S), sum((Xn*mc^5)*S), sum((Xn*mc^6)*S), sum((Xn*mc^7)*S), sum((Xn*mc^8)*S), sum((Xn*mc^9)*S), sum((Xn*mc^10)*S)) 79 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
etiquetas <- round (fut*100,1) plot (fut,col="blue",type="b",xlab="Siguientes 10 años después del 2017",ylab="Porcentaje de Deserción", main="Cuajimalpa: Deserción Generacional 2007-2017") text (x = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), y = fut+.005, etiquetas, col = "red")
SCRIPT GENERACIONAL PLANTEL ÁLVARO OBREGÓN 2007-2020 library(markovchain) P= matrix(c(0,0,0,1,0, 0,0,1,0,0, 1/5,1/5,3/5,0,0, 0,0,2/3,1/3,0, 0,0,0,1,0),nrow=5,byrow = TRUE) P mc=new("markovchain",transitionMatrix=P,states=c("30%","40%","50%","60%","70%"),name="Deserción ") mc summary(mc) plot (mc, main= "Cadena de Markov Generacional Plantel Álvaro Obregón") absorbingStates(mc) # Estados adsorbentes transientStates(mc) recurrentStates(mc)
# Estados transitorios # Estados recurrentes
n=5 mc^n n=10 mc^n n=15 mc^n 80 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
n=50 mc^n n=100 mc^n n=1000 mc^n X0=c(1/5,1/5,1/5,1/5,1/5) # La distribución de X en t=0 n=0 Xn=X0*(mc^n) #el resultado es un vector Xn sum(Xn) DisEst=steadyStates(mc) DisEst #Vector de estado S=c(0.3,0.4,0.5,0.6,0.7) #Pronóstico de deserción a largo plazo sum(DisEst*S)
#producto punto
# predicción a futuros 10 años fut <- c(sum((Xn*mc^1)*S), sum((Xn*mc^2)*S), sum((Xn*mc^3)*S), sum((Xn*mc^4)*S), sum((Xn*mc^5)*S), sum((Xn*mc^6)*S), sum((Xn*mc^7)*S), sum((Xn*mc^8)*S), sum((Xn*mc^9)*S), 81 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
sum((Xn*mc^10)*S)) etiquetas <- round (fut*100,1) plot (fut,col="blue",type="b",xlab="Siguientes 10 años después del 2017",ylab="Porcentaje de Deserción", main="Álvaro Obregón: Deserción Generacional 2007-2017") text (x = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), y = fut+.005, etiquetas, col = "red")
ÍNDICE DE FIGURAS Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura
1. Modelo Tinto. ....................................................................................................18 2. Modelo Ethigthon ..............................................................................................19 3. Modelo Spady ...................................................................................................20 4. Modelo Tinto. mapa conceptual ........................................................................22 5. Grafo de probabilidad de transición ..................................................................25 6. Estado adsorbente............................................................................................26 7. Estado transitorio ..............................................................................................27 8. Estado recurrente .............................................................................................27 9. Estado periódico ...............................................................................................27 10. Representación gráfica de un grafo ................................................................30 11. Matriz de adyacencia mediante su grafo .........................................................31 12. Grafo de cadena Markov ................................................................................34 13. Grafo plantel Cuajimalpa ................................................................................42 14. Grafo plantel Álvaro Obregón .........................................................................56
ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Porcentajes de alumnos que se dan de baja en la generación 𝒏. .......................40 Tabla 2. Conteo de los 𝑛 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠 . plantel Cuajimalpa. ....................................................41 Tabla 3. Porcentajes de deserción plantel Cuajimalpa......................................................51 Tabla 4. Agrupacion de los porcentajes de deserción en la cadena de Markov ................52 Tabla 5. Cuantificación de error modelo matemático plantel Cuajimalpa ..........................52 Tabla 6. Agrupación del vector equilibrio en la cadena de Markov....................................53 Tabla 7. Error de predicción modelo estocástico Cuajimalpa ............................................54 Tabla 8. Ajuste de bondad variable bajas plantel Cuajimalpa ...........................................55 Tabla 9. Porcentajes de alumnos que se dan de baja plantel Álvaro Obregón ................56 Tabla 10. Conteo de los 𝑛 − 𝑝𝑎𝑠𝑜𝑠. plantel Álvaro Obregón. ............................................57 Tabla 11. Porcentajes de deserción plantel Álvaro Obregón.............................................64 Tabla 12. Agrupacion de los porcentajes de deserción en la cadena de Markov ..............65 Tabla 13. Cuantificación del error en modelo matemático plantel Álvaro Obregón ...........65 82 UnADM | DCEIT| PT2
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Tabla 14. Agrupación del vector equilibrio en la cadena de Markov..................................66 Tabla 15. Error de predicción modelo estocástico Cuajimalpa ..........................................67 Tabla 16. Frecuencias observadas vs frecuencias esperadas plantel Álvaro Obregón .....68
ÍNDICE DE GRÁFICAS Gráfica 1. Motivos de deserción en Jóvenes de 16 y 17 años. ......................................... 6 Gráfica 2. Promedio de estudiantes en México que abandonan EMS (Green,1998). ......... 7 Gráfica 3. Principales causas que propician la deserción escolar. ..................................... 7 Gráfica 4. Caminata aleatoria Plantel Cuajimalpa . ...........................................................40 Gráfica 5. Porcentajes de Deserción Plantel Cuajimalpa Vs 10 años sig ..........................46 Gráfica 6. Porcentajes de Reprobación Asignatura Matemáticas Plantel Cuajimalpa. ......47 Gráfica 7. Porcentajes de reprobación Asignatura Física, Química Plantel Cuajimalpa. ..48 Gráfica 8. Porcentajes de Reprobación Asignaturas Plantel Cuajimalpa. ........................48 Gráfica 9. Pronóstico de reprobación con R Studio Plantel Cuajimalpa ...........................49 Gráfica 10. Pronóstico de reprobación asignatura Física y Química Plantel Cuajimalpa. ..49 Gráfica 11. Pronóstico R Studio Reprobación Asignaturas Plantel Cuajimalpa. ...............50 Gráfica 12. Vector a largo Plazo reprobación asignaturas Plantel Cuajimalpa. .................50 Gráfica 13. Fo vs fe variable bajas plantel Cuajimalpa......................................................55 Gráfica 14. Caminata aleatoria Plantel Álvaro Obregón. ...................................................57 Gráfica 15. Porcentajes de Deserción Plantel Álvaro Obregón Vs Pronóstico 10 años. ....60 Gráfica 16. Reprobación Asignatura Matemáticas Plantel Álvaro Obregón. ......................60 Gráfica 17. Reprobación Asignaturas Física y Química Plantel Álvaro Obregón...............61 Gráfica 18. Porcentajes de Reprobación Asignaturas Plantel Álvaro Obregón. ...............61 Gráfica 19. Pronóstico Reprobación asignatura Matemáticas 2021-2031. ........................62 Gráfica 20. Pronóstico de Reprobación asignaturas Plantel Álvaro Obregón. ...................62 Gráfica 21. Pronóstico de R Studio Asignaturas Plantel Álvaro Obregón. .........................63 Gráfica 22. Vector a largo Plazo de Reprobación Asignaturas Plantel Álvaro Obregón. ...63 Gráfica 23. Ajuste de bondad chi-cuadrada plantel Álvaro Obregón .................................68 Gráfica 24. Vector a largo plazo de la deserción escolar planteles . .................................69 Gráfica 25. Análisis de Reprobación asignaturas planteles ..............................................69
INDICE DE ECUACIONES 𝑷𝑿𝒏 + 𝟏 = 𝒙𝒏 + 𝟏𝑿𝒏 = 𝒙𝒏, 𝑿𝒏 − 𝟏 = 𝒙𝒏 − 𝟏, … 𝑿𝟐 = 𝒙𝟐, 𝑿𝟏 = 𝒙𝟏 = 𝑷[𝑿𝒏 + 𝟏 = 𝒙𝒏 + 𝟏𝑿𝒏 = 𝒙𝒏] (1) ..............................................................27 𝑃𝑿𝒏 = 𝒋𝑿𝒏 − 𝟏 = 𝒊 = 𝑷[𝑿𝟏 = 𝒋 𝑿𝟎 = 𝒊] ∀ 𝑖, 𝑗. (2) ..............................................................28 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃𝑟𝑜𝑏[𝑿𝒏 + 𝟏 = 𝒋 𝑿𝒏 = 𝒊]. (3) ...............................................................28 𝑃𝑘 + 1𝐼 = 𝑗𝑃𝑘( 𝐽)𝑃𝑘 → 𝑘 + 1𝐼𝐽) (4) ................................................................47 𝑃𝑘 + 1 = 𝑃𝑘 (5) ................................................................47 %𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 1 − (𝐶𝑒/𝑇𝑐) ∗ 100 (6). ................................................................58
83 UnADM | DCEIT| PT2
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