Estrategias para la enseñanza de las matemáticas
Módulo 3. Geometría y otras formas hermosas Lección 3. Geometría caótica
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Formas geométricas hermosas: fractales y caos .................................................................................... 3 Introducción a la teoría del Caos ...................................................................................................................... 4 Definición de Caos................................................................................................................................................. 4 Orígenes de la Teoría del Caos ...................................................................................................................... 5 “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado en Texas?” 6 Introducción a la teoría del Caos ...................................................................................................................... 8 Introducción a otras geometrías ...................................................................................................................... 9 Fractales....................................................................................................................................................................... 9 Propiedades de los Fractales ........................................................................................................................ 10 Relación caos y fractales...................................................................................................................................12 ¿Dónde se encuentran los fractales? .......................................................................................................13 Introducción a la complejidad ......................................................................................................................... 16 Actividad de Reflexión ........................................................................................................................................... 18 Valoración de cierre y encuesta de mejora .............................................................................................. 19 Evidencia de aprendizaje 8 ............................................................................................................................... 20 Cierre .................................................................................................................................................................................21 Referencias ...................................................................................................................................................................22 Bibliografía ....................................................................................................................................................................22 Referencia de imágenes ......................................................................................................................................22
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Competencia Comprenderá la importancia del tema de la complejidad, mediante el estudio de la Teoría del caos y su relación con los fractales, cuyos ejemplos visuales le permitan ejemplificar en el aula, la contribución de la matemática en la medición del tiempo, la medicina, y la explicación de fenómenos caóticos que afectan también procesos sociales en la vida de las personas.
Formas geométricas hermosas: fractales y caos Bienvenida o bienvenido a tu última lección del curso, ha sido un camino largo, pero has llegado hasta aquí, ¡Bien hecho! Para cerrar tu curso estudiarás 2 temas que te ayudarán a introducirte al contenido de la complejidad. La dificultad de abordar el tema de la complejidad (el cual es analizado multidisciplinariamente) radica en que ste representa un punto para pensar las matemáticas en un sentido dinámico, dicha postura originaría una nueva vertiente en la ciencia para explicar hechos y procesos más recientes y complejos que ocurren dentro y fuera de la naturaleza. Sin embargo, es importante que disfrutes de esta lección, teniendo en cuenta que sólo se abordarán 2 temas de manera muy general: 1) entender las bases de un sistema caótico y 2) establecer la relación del caos con los fractales. Ambos temas te ayudarán a ejemplificar la importancia, impacto y uso de la matemática en la vida real de las personas, por lo tanto, qué mejor forma de cerrar el curso que estar lista o listo con ejemplos concretos y reales para el momento en el que
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tus estudiantes te pregunten por la cuestión con la que iniciaste este curso, es decir, ¿para qué sirven las matemáticas? Por lo anterior, disfruta del contenido, para que al finalizar puedas llevarlo a tu aula.
¡Avanza!
Introducción a la teoría del Caos Definición de Caos Como bien sabes, entre más cosas descubre el hombre, más incertidumbre y nuevas cosas surgen. Es una contradicción. Entre más orden y estructura se desea agregar a los elementos, se descubre que hay más incógnitas y que las cosas por sí mismas ya poseen un orden que el hombre simplemente ignora. Se pueden citar miles de ejemplos que han sucedido a lo largo del desarrollo de la matemática, sin embargo, haciendo un ejercicio más fácil, piensa en alguien no familiarizado con los sistemas de medición complejos, alguien a quien le resulta inimaginable medir el área de algo que no está limitado por un área o por un volumen bien definido, seguro a esa persona le resulta difícil y complejo imaginar tal medición, pero la duda permanece ¿cómo medirlo entonces? Ésta y otras cuestiones complejas contribuyeron y empujaron al hombre a pensar desde lo no pensado, a pensar desde lo caótico. Pero ¿qué significa la palabra caos? La mayoría de las personas entienden el caos como un desorden abismal que no tiene forma. De acuerdo al Real Academia Española, caos viene del latín chaos y tiene tres significados.
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El tema de la complejidad y la teoría del caos, han sido de gran contribución para la ciencia en general, de esta manera, no sólo las matemáticas se han beneficiado para entender procesos complejos, las humanidades también han aportado a estas teorías y algunas posturas consideran el caos, como una explicación para algunos acontecimientos que influyeron en procesos históricos y sociales determinantes para la humanidad. Desde tu punto de vista docente, ¿cómo aplicaría esta teoría para explicar un proceso social?
Definición 1 Como un estado amorfo e indefinido que se supone anterior a la ordenación del cosmos.
Definición 2 Como confusión, desorden.
Definición 3 Como un comportamiento errático e impredecible de algunos sistemas dinámicos deterministas con gran sensibilidad a las condiciones iniciales.
Desde tu formación profesional matemática, sabes bien que, la teoría del caos está basada en la última definición.
Orígenes de la Teoría del Caos La Teoría del Caos comienza a finales del siglo XX, al intentar encontrar un modelo que permitiera predecir fenómenos atmosféricos. Edward Lorenz, matemático y meteorólogo del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) fue quien se dedicó por primera vez a construir un modelo que lograra predecir el clima. Lorenz había planeado un modelo de 12 ecuaciones para simular el comportamiento del clima, a partir de éstas obtuvo ciertos pronósticos climáticos utilizando una secuencia de datos numéricos que introdujo en su modelo. Para realizar las 5
simulaciones se apoyó del uso de la computadora. Una vez obtenidos los pronósticos Lorenz quiso validar dicha información, así que introdujo nuevamente los datos a su modelo realizando dos pequeñas variaciones: la primera en lugar de iniciar en el tiempo cero comienza a la mitad; y la segunda, sus datos tienen un margen de error de dos decimales.
Atractor de Edward Lorenz
La sorpresa que se lleva Lorenz al obtener los pronósticos de la segunda simulación es que son totalmente distintas, no se explica la razón, pues las variaciones de la primera y segunda simulación son mínimas. Lo que no sabía en ese momento es que estaba tratando de estudiar un sistema dinámico que evoluciona con el tiempo y es sensible a las condiciones iniciales, en otras palabras, con un fenómeno caótico. Revisa el siguiente video que explica a detalle la contribución de Lorenz en el origen de la teoría del caos, así como la explicación matemática de la asociación con el aleteo de una mariposa.
https://www.youtube.com/embed/8QpblRyur-o
“¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado en Texas?” Posteriormente en 1975, James A. Yorke, un distinguido investigador de Matemáticas y Física de la Universidad de Maryland, EUA, acuñó el concepto “Teoría del Caos”. Así, la pregunta que Lorenz se había planteado de ¿puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado en Texas? vuelve a tomar relevancia para la
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estructuración de la teoría. Sin embargo, es importante aclarar que aunque la definición matemática del caos se asocia al aleteo de una mariposa, se trata sólo de una metáfora, que intenta ejemplificar el caos como <<la capacidad de que se produzcan resultados diferentes con pequeñas variaciones de las condiciones iniciales>> y a esto se le conoce como efecto mariposa. Así, matemáticamente hablando, el caos no se debe entender como un desorden (definición 2), ya que el caos es un sistema medible mediante ecuaciones. El estudio de la teoría del caos es relevante en muchas áreas, ya que su sistema dinámico sensible brinda una nueva propuesta para el análisis de los hechos y con ello, la oportunidad de anticiparse a los mismos, en otras palabras, brinda la oportunidad para estar preparados para lo imprevisto. Para entender de mejor forma lo anteriormente planteado, revisa el siguiente video, en donde se puede apreciar un pequeño fragmento de una entrevista hecha al investigador y matemático James A. Yorke.
https://www.youtube.com/embed/Oxa1WE9cfFA
Puedes explicar a tus estudiantes, la implicación de la matemática en la vida diaria, por ejemplo, la teoría del caos ya se había adelantado a explicar y entender algunas situaciones de impacto personal, pero también de corte mundial, tales como: las pandemias que provienen de los animales, las consecuencias de salir más tarde de tu casa y perder el trabajo o incluso conocer a una persona muy importante (tal y como si el destino, o mejor dicho, como si el caos lo hubiera planeado).
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Introducción a la teoría del Caos El caos es entonces:
Revisa el siguiente video, es una entrevista a James A. Yorke, quien ilustra maravillosamente como el caos está presente en la vida diaria de las personas, sí, está presente en las decisiones que tomas.
https://www.youtube.com/embed/CBj70zSjKx4
¡Que excelente entrevista! ¿No lo crees? Ahora si, ¿el tema te ha interesado más? o bien, está teoría siempre ha sido de tu agrado y te interesa seguir profundizando, se te sugiere leer el siguiente seminario titulado Historia de la teoría del caos contada para escépticos. Cuestiones de génesis y estructura.
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Introducción a otras geometrías Fractales Como matemática o matemático sabes bien que la geometría está presente en todos lados, y que no sólo la puedes identificar en lo construido por el hombre, ya que la geometría fractal se encuentra también presente en la naturaleza (plantas, animales, seres humanos). Así, dentro del cuerpo de los humanos, existen fractales, ¿conoces algunas partes del cuerpo donde se encuentran? En el Módulo 2, se te había adelantado que verías este bello tema de la geometría fractal, incluso viste un video del Padre de los fractales ¿lo recuerdas? Benoit B. Mandelbrot, es quien dio el nombre a los fractales pero cuando se le preguntaba sobre la definición del fractal, el matemático solía contestar con la siguiente definición matemática: Un fractal es una figura cuya dimensión topológica es menor que su dimensión fractal.
Dicha definición es compleja si no se sabe qué es la dimensión topológica o la dimensión fractal. Como puedes ver, la definición puede llegar a ser inaccesible para el público general. Por ello, Mandelbrot sugiere no dar definición sino fijarse en las propiedades de los fractales.
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Siguiendo la surgencia del Padre de los fractales de no dar definición sino fijarse en las propiedades de los fractales, comparte con tus estudiantes las imágenes de esta lección, pues qué mejor forma de enseñar a tus estudiantes la geometría fractal que con sus bellas formas y colores, porque ¿a quién no le gustan los fractales?
Propiedades de los Fractales Mandelbrot, estableció dos propiedades que deben cumplir los fractales. Revisa el siguiente recurso para que identifiques las dos propiedades que deben tener los fractales. Propiedades Autosimilitud Una figura geométrica es autosímil, si al ver una de sus partes con lupa reconocemos la forma de toda la figura de nuevo. Ejemplos de fractales exactamente autosimilares son: el Triángulo de Sierpinski y el Copo de nieve de Koch.
Si observas a detalle el copo de nieve de Koch y miras cada uno de las regiones que señaladas con los rectángulos y flechas, verás que cada parte, es una copia exacta de toda la figura, del mismo modo, en figura del Triángulo Sierpinski, puedes apreciar que toda la figura es igual a una parte pequeña de ella misma.
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La dimensión fractal La segunda propiedad que deben tener los fractales es que la dimensión fractal es mayor a la dimensión topológica. Pero, ¿qué quiere decir esto? La dimensión topológica es la que utilizamos día a día, como la dimensión de una recta es uno, la del plano cartesiano es dos, la del espacio es tres y así sucesivamente. Por otro lado tenemos varias definiciones de la dimensión fractal, una de ellas está dada por la siguiente igualdad:
donde d representa la dimensión del fractal y
c es el número de copias que tiene un
fractal o que se desea observar. Por ejemplo, si quisieras publicar 3 veces el triángulo de Sierpinski, entonces
c=3y
por lo tanto su dimensión será:
Cuasiautosimilitud Dentro de la primera propiedad, existe la cuasiautosimilitud, la cual exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Tal es el caso del Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia, que se muestran a continuación:
Conjunto de Mandelbrot
Conjunto de Julia
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Si deseas conocer más sobre los fractales, da clic en la siguiente imagen:
https://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/dimension.html
Relación caos y fractales La importancia y función de los fractales no sólo es disfrutar de la belleza de sus colores y formas, ellos mismos representan la complejidad extrema, un desorden, un caos. La fracturación siempre ha sido estudiada como algo complejo, sin embargo, fue el padre de los fractales fue quien encontró el orden en esa fracturación. Mandelbrot propuso que los fractales deben medirse de forma diferente, en otras palabras, construyó una geometría para aquellas cosas que carecían de una. El impacto de los fractales es tal, que han contribuido en el estudio de la medicina, pues han ayudado a cirujanos especialistas a poder estudiar ciertos órganos, tales como: los pulmones, el riñón y el cerebro a partir de una geometría que antes no existía. Revisa y analiza el siguiente video Fractales y el arte de la fracturación donde el matemático Benoît Mandelbrot, explica a detalle sobre su contribución y lo que significó crear una nueva y hermosa forma de geometría.
https://www.youtube.com/embed/ay8OMOsf6AQ
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La relación existente entre ellos radica en - como se mencionó anteriormente-, los fractales representan la complejidad, el caos, y aunque vivimos en un sistema caótico, eso no significa que no se puedan predecir ciertos eventos o situaciones (mediante ecuaciones y otros sistemas matemáticos), en ese sentido, los fractales han permitido entender ciertos fenómenos que suceden a nuestro alrededor, pero también dentro del ser humano.
¿Dónde se encuentran los fractales? En este punto, ya te habrás dado cuenta de que las conexiones existentes entre el caos y los fractales son numerosas y variadas, ya que en ambos puedes ver que se trata de sistemas dinámicos complejos, es decir, sistemas que evolucionan con el tiempo y sensibles a las condiciones iniciales.
Para cumplir con el objetivo anterior, revisa el siguiente recurso, lo importante es que identifiques en el sistema respiratorio los fractales que en él existen.
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Ahora se te invita a que experimentes con los fractales, para ello, da clic en el siguiente botón, ahí encontrarás un simulador para construir tus propios fractales y consultar más información sobre ellos.
Introducción a la complejidad A lo largo de los últimos 20 años la respuesta a la pregunta ¿qué es la complejidad? ha sido motivo de arduas discusiones e investigaciones. Existen muchas “definiciones” y por ende, perspectivas diferentes. Por ejemplo, existe el término de complejidad computacional que es matemáticamente riguroso y no captura la noción intuitiva de complejidad. Por otro lado, tenemos la definición de sistemas complejos, la cual establece que complejidad son aquellos sistemas que tienen muchos grados de libertad e interacciones no lineales, ejemplo de esto es el caos. Pero, esta segunda definición no nos ayuda mucho pues todo a nuestro alrededor es caótico, entonces, ¿qué es complejidad? La complejidad es -como se mencionó al inicio de esta lección- un término o noción que debe ser estudiada multidisciplinariamente, por lo que la responsabilidad de responder la pregunta ¿qué es complejidad? No es exclusiva de la matemática, ya que si analizas con otros ojos, es también una pregunta filosófica. Ahora, revisa el siguiente recurso, el cual muestra la complejidad vista desde dos áreas distintas, la lengua y literatura y la biología.
Lenguaje El lenguaje humano es un sistema de comunicación estructurado que se basa en señales visuales, sonoras y olfativas a modo de signos para poder comunicarse. Para ejemplificar la complejidad existente en el leguaje, lee con cuidado el siguiente fragmento de un cuento del Libro El Aleph de Jorge Luis Borges:
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“Tan ineptas me parecieron esas ideas, tan pomposa y tan vasta su exposición, que las relacioné inmediatamente con la literatura; le dije que por qué no las escribía. Previsiblemente respondió que ya lo había hecho: esos conceptos, y otros no menos novedosos, figuraban en el Canto Augural, Canto Prologal o simplemente CantoPrólogo de un poema en el que trabajaba hacía muchos años, sin réclame, sin bullanga ensordecedora, siempre apoyado en esos dos báculos que se llaman el trabajo y la soledad. Primero, abría las compuertas a la imaginación; luego, hacía uso de la lima. El poema se titulaba La Tierra; tratábase de una descripción del planeta, en la que no faltaban, por cierto, la pintoresca digresión y el gallardo apóstrofe.”
Biología Otro ejemplo de un sistema complejo en la naturaleza es el ADN, este es una doble cadena de nucleótidos organizada en forma de hélice. Los nucleótidos están formados por un azúcar (desoxirribosa), de un radical fosfato y una base nitrogenada (adenina, guanina, y timina ). La conformación que adopta el ADN depende de la secuencia, la cantidad y la dirección de “superenrollamiento” que presenta. Este orden o secuencia que toma el ADN determina el código para crear y mantener todo el organismo y si tomamos pequeñas secciones de esta encontraremos la información genética. La información genética es la que permite transmitir la herencia biológica de generación en generación, mediante el ADN. De éste depende si tus hijos tendrán ojos cafés o cabello rizado. Pero, ¿te has preguntado cuántos genes tiene el ser humano? Se calcula que los seres humanos tienen entre 20,000 y 25,000 genes. Dado lo anterior, resulta complejo comprender y explicar cómo se transmiten nuestros genes, es decir, la herencia biológica de generación en generación. Los temas vistos es esta lección, han brindado una introducción de como la matemática ha contribuido en la respuesta a la noción de complejidad, la matemática es dinámica y se encuentra en constante desarrollo y estos temas son muestra de ello, pues han brindado a la humanidad otras formas de entender el mundo complejo en el que habitan todos los seres humanos, animales y plantas.
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Para cerrar tu lección, revisa el siguiente video titulado Caos y complejidad, en el cual se resume y se vinculan de manera rápida todos los temas vistos en la lección.
https://www.youtube.com/embed/zrql6aTQgfk
Si deseas adentrarte al tema de la complejidad, y analizar las relaciones y avances que otras áreas han tenido en el tema de la teoría de caos, revisa el siguiente documento, titulado Las teorías del caos y los sistemas complejos: Proyecciones físicas, biológicas, sociales y económicas.
Actividad de Reflexión Se espera que los temas vistos a lo largo de esta última lección, te hayan permitido resignificar conocimientos que seguramente a lo largo de tu formación profesional estudiaste. Se utiliza el término de resignificación porque lo que se intentó es resignificar tu práctica de enseñanza apegándose a los nuevos postulados que la Nueva Escuela Mexicana, la cual fomenta romper con cierta “didáctica” que señala se deben compartir ciertos saberes en determinadas etapas, fragmentando con ello, el conocimiento. De acuerdo a la Trayectoria 0 -23 se pretende que tu compartas todo tipo de temas matemáticos en Educación Media Superior y que los enseñes vinculándolos con otros niveles educativos y con otras áreas
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de conocimiento, ya viste que es posible, con el apoyo de recursos educativos tales como: cuentos, videos infografías, pero sobre todo utilizando un lenguaje matemático adecuado. Esperamos te haya gustado, pero sobre todo que lo aprendido aquí lo traslades a tus estudiantes, las siguientes actividades son de cierre. ¡Comparte tu alegría de ser matemático o matemático y motiva a tus estudiantes a vivir las matemáticas! Para saber si el curso logró el objetivo de vincular los conocimientos vistos en este curso con los nuevos postulados que Nueva Escuela Mexicana plantea.
IMPORTANTE
Recuerda que esta actividad es requisito y debes responderla para poder ingresar a la VALORACIÓN DE CIERRE, además requieres responderlas para concluir el curso satisfactoriamente.
Valoración de cierre y encuesta de mejora Al iniciar este curso se te pidió valorar los conocimientos con los que ingresabas, ahora se te invita a evaluar los mismos conocimientos después de tomar el curso, eso te ayudará a identificar qué puntos matemáticos reforzaste ¡Adelante!
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Ahora, una vez que has evaluado los conocimientos aprendidos, es importante que evalúes el curso, ya que tus impresiones y sugerencias ayudarán a mejorarlo.
Recuerda que estas actividades son IMPORTANTE requisito y debes responderlas para poder ingresar a la ENCUESTA DE MEJORA DEL CURSO y a la EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 8, además requieres responderlas para concluir el curso satisfactoriamente.
Evidencia de aprendizaje 8 Para concluir esta lección3 y tu curso, realiza tu evidencia de aprendizaje de acuerdo a las instrucciones que ahí se te solicitan y una vez que lo concluyas, sube tu evidencia de aprendizaje. Da clic en el siguiente botón para realizarlo.
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Cierre
Esperamos te haya gustado este curso Estrategias para la enseñanza de las matemáticas, pero sobre todo que lo aprendido aquí lo traslades a tus estudiantes.
¡Comparte tu alegría de ser matemática o matemático y motiva a tus estudiantes a vivir las matemáticas!
Gracias por participar, se te obsequia una medalla que representa una insignia de que has cumplido con una de las premisas más importantes de ser un buen docente, a saber, siempre seguir aprendiendo y formándote ¡Maestras y Maestros como tú, son indispensables en el proyecto planteado por la Nueva Escuela Mexicana!
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Referencias Almarza, F. (1999). Del Mito como anti-caos al Mito como caos mismo. Revista Escrito en Artes, Estética y Cultura. II Etapa, 11-12, pp. 11-28. Escuela de Artes UCV. Caracas, Venezuela. [Versión en línea]. Recuperado el 29 de agosto del 2019, de http://www.pensamientocomplejo.org/docs/files/Fernando%20ALmarzaR%EDsquez%2C%20La%20Teor%EDa%20del%20Caos%20Modelo%20de%20I nterpretaci%F3n.pdf Logares. M. (2018). Las geometrías y otras revoluciones, Madrid, España: Ediciones Cataratas. Madrid, C.M. (s.f.). Historia de la teoría del caos contada para escépticos. Cuestiones de génesis y estructura. Madrid, España: Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia. Universidad Complutense de Madrid. [versión en línea]. Recuperado el 29 de agosto del 2019, de http://www.encuentrosmultidisciplinares.org/Revistan%C2%BA34/Carlos%20Madrid%20Casado.pdf Ramírez, M. P. (julio – diciembre, 2010). Teoría del Caos: una visión de su historia y actualidad, Revista del Centro de Investigación, 9 (34), pp. 41 -47. [Versión en línea]. Recuperado el 29 de agosto del 2019, de https://www.redalyc.org/pdf/342/34215492004.pdf
Bibliografía Real Academia de la Lengua Española. (2018). Caos. En Diccionario de la Lengua Española (22ª Edición). Recuperado el 20 de agosto del 2019, de https://www.rae.es/search/node/caos Spinadel, de, V. (2012). Forma y matemática II: fractales y forma. Buenos Aires, Argentina: Ediciones Fadu. Talanquer, V. (2010). Fractus, fracta, fractal: fractales, laberintos y espejos, México: FCE.
Referencia de imágenes Hernando, A. (octubre del 2018). La forma fractal de mapas y pulmones. Recuperado el 29 de agosto del 2019, de https://culturacientifica.com/2018/10/11/la-formafractal-de-mapas-y-pulmones/ Algunas de las imágenes y Gifs empleados en este curso se utilizan con fines específicamente educativos. Imágenes obtenidas de: https://www.freepik.es/
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