Estrategias para la enseñanza de las matemáticas
Módulo 3. Geometría y otras formas hermosas Lección 2. Bases de la Geometría
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Triángulo de Napoleón............................................................................................................................................ 3 Conjeturar en geometría con GeoGebra ................................................................................................ 3 Conjeturar en geometría con GeoGebra ................................................................................................ 5 Demostración de conjetura en geometría ............................................................................................ 6 Demostración de conjetura en geometría ............................................................................................ 7 Actividad utilizando GeoGebra...................................................................................................................... 9 Enunciación del Teorema del Triángulo de Napoleón ................................................................. 10 Demostración del Teorema del Triángulo de Napoleón .............................................................. 11 Evidencia de aprendizaje .................................................................................................................................13 Cierre ................................................................................................................................................................................ 14 Referencias ................................................................................................................................................................... 14 Bibliografía .................................................................................................................................................................... 14
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Competencia Analiza la propuesta educativa de enseñanza de la geometría del investigador Dr. Alejandro Díaz Barriga, para la construcción y demostración de algunas conjeturas geométricas mediante el uso del software GeoGebra, con el propósito de que al finalizar este curso la puedas aplicar en tu práctica educativa.
Triángulo de Napoleón Conjeturar en geometría con GeoGebra En la presente lección seguirás trabajando con la propuesta educativa de la lección anterior, que como pudiste experimentar se apoya en el uso del software GeoGebra. Antes de comenzar a trabajar con dicho software, es importante recordar algunos conceptos importantes: Circuncentro.- Las mediatrices son concurrentes, su punto de concurrencia se llama circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita. Incentro.- Las bisectrices son concurrentes, su punto de concurrencia se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita. Ortocentro.- El punto de intersección de las alturas, que también concurren se llama ortocentro. Baricentro.- Es el punto de intersección de las medianas, que también concurren. Por último, no hay que olvidar, que en un triángulo equilátero coinciden medianas, mediatrices, alturas y bisectrices. ¡Bien! Ahora sí, ingresa a GeoGebra, ahí encontrarás la Figura 6, traza las circunferencias circunscritas a los triángulos equiláteros construidos.
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Revisa el GeoGebra y comenzar a trazar:
https://www.geogebra.org/m/bmhcmyzg
Vuelve a abrir el archivo de GeoGebra y mueve el ángulo del vértice C. Presta atención a lo siguiente: 1.
Observa si encuentras alguna regularidad que pudieras enunciar en las distintas figuras. 2. La regularidad que observaste, ¿puede ser redactada como una conjetura?
Cuando realices esta actividad en tu aula, es importante que: Si notas que las observaciones que realicen tus estudiantes no son las adecuadas, hay que aclararles por qué no los son, de preferencia con un contraejemplo.
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Conjeturar en geometría con GeoGebra En este curso, sólo se prestará atención al hecho de que las tres circunferencias construidas son concurrentes en un punto, eso no quiere decir que es posible observar y enunciar otras conjeturas que los estudiantes puedan observar y enunciar, sin embargo, sí se espera que tus estudiantes logren observar que:
*De acuerdo a la RAE, intersección: Geom. Encuentro de dos líneas, dos superficies o dos sólidos que se cortan entre sí.
Una vez que tus estudiantes hayan observado la figura y con tu guía hayan podido enunciar la conjetura, en otras palabras, que enuncien las hipótesis y la conclusión de sus observaciones, será necesario que trabajes con ellos, para que vean la necesidad de una demostración.
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Para dar con la demostración, primero necesitas hacer el enunciado de la proposición que pretendes sea un teorema. Recuerda a tus estudiantes que si logran encontrar una demostración de esta conjetura, entonces será un teorema.
Demostración de conjetura en geometría Para la demostración, se necesitan dos resultados que se enuncian a continuación como teorema 5 y teorema 6:
Definición. Un cuadrilátero es cíclico si hay una circunferencia que pasa por los cuatro vértices Puedes enunciar estos teoremas a tus estudiantes y pedirles que los supongan como ciertos, sin embargo, debes ponerles como condición, que después se estudien sus demostraciones. Ahora se da la demostración de la conjetura:
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Demostración de la conjetura Verifica que vas bien en la construcción de tu conjetura. Revisa la figura para observar con cuidado la Figura 9.
Demostración de conjetura en geometría Para demostrar que la circunferencia con centro en G también pasa por el punto D, se procede de la siguiente manera:
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1. Traza los segmentos AD, BD y CD. 2. Observa que el cuadrilátero HCDB es cíclico y el ángulo en H mide 60°. 3. Por lo anterior, es fácil ver que el ángulo D mide 120°. 4. Análogamente, tienes un mismo resultado para el cuadrilátero IBDA, es cíclico, el ángulo I mide 60° y por tanto el ángulo D mide 120°. 5. Ahora, considera el cuadrilátero JCDA. La medida del ángulo D, sumada a las medidas de D de los dos cuadriláteros anteriores, es mayor a 360° ¿por qué? De modo que, también mide 120°. 6. Además, al sumar esta medida (D = 120°) con J es igual a 180°, esto indica que el cuadrilátero JCDA es cíclico. 7. A partir de lo anterior, se puede concluir que el triángulo JCA pasa por el punto D y es justo lo que querías demostrar.
Vuelve a ver la Figura 9 para que verifiques que tu construcción es correcta:
De esta manera, la conjetura que formulaste aquí (y que se pretende que ayudes a tus estudiantes a formular en el salón de clases) se convierte en un teorema, pues como experimentaste has dado una demostración de ella.
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Actividad utilizando GeoGebra A continuación, realizarán una nueva actividad. Para ello, también requerirán un enlace de GeoGebra, ingresa y guarda el enlace para que puedas realizar esta actividad en tu aula. Da clic para ingresar a GeoGebra mediante enlace
www.geogebra.org/m/rpxbgvva Dicho enlace deberás compartirlo con tus estudiantes, ya que una vez dentro, deberán marcar los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo inicial y denótalos como H, I y G. Después de que hayan realizado la actividad anterior, deberás guiar a tus estudiantes para que enuncien las observaciones que consideren puedan ser una conjetura, traten de que estas conjeturas tengan un enunciado claro diferenciando claramente cuáles son las hipótesis y cuál es la conclusión, para después tratar de obtener una demostración y en consecuencia sean teoremas. Uno de los resultados que se espera hayas observado (y que posteriormente, también deberás observar cuando apliques el ejercicio con tus estudiantes) es que el triángulo formado por los centros de estas circunferencias, forman un triángulo equilátero. Trata de enunciar esta conjetura. De hecho, este triángulo es conocido como el Triángulo de Napoleón, continúa para conocer la enunciación del teorema y el desarrollo de su demostración.
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Enunciación del Teorema del Triángulo de Napoleón Lee con cuidado el siguiente enunciado: Teorema del Triángulo de Napoleón: Si en un triángulo construimos triángulos equiláteros sobre sus lados, entonces los centros de las circunferencias circunscritas a estos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.
Antes de pasar a la demostración de este teorema, necesitas analizar el resultado del Teorema 8:
Según Coxeter y Greitzer, Napoleón Bonaparte fue un poco matemático con gran interés en la geometría. En su libro Geometry Revisited menciona una anécdota donde narra que Napoleón, - antes de ser el
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guía de Francia -, tuvo una discusión con los grandes matemáticos Lagrange y Laplace; se cuenta que este último le dijo:
Coloca el cursor sobre la imagen para ampliar.
Posteriormente, Laplace fue el jefe de sus ingenieros militares. El teorema se le atribuyó a Napoleón, aunque ahí mismo se afirma que, es posible que su conocimiento de geometría sea tan cuestionable como su conocimiento del inglés, como para haber compuesto el famoso palíndroma:
Demostración del Teorema del Triángulo de Napoleón Para finalizar esta lección, una vez que has visto con cuidado el Teorema 8, analiza con detenimiento la demostración del Teorema Triangulo de Napoleón. Para ello, observa con cuidado la Figura 10:
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La demostraciรณn al Teorema Triรกngulo de Napoleรณn es la siguiente:
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Siguiendo la dinámica del curso, de establecer un significado sobre la importancia de la matemática con la vida real de tus estudiantes, se te invita a leer y compartir en tus clases la siguiente información Da clic para conocerla.
https://bit.ly/2Cj44IY
Ya que es probable que mientras enseñes geometría, alguno de tus estudiantes se estará cuestionando (seguramente sin atreverse a preguntarte) lo siguiente: ¿Para qué sirve trazar triángulos en la vida real? o ¿Cuál es su utilidad en el mundo para que debamos aprenderlo?
Evidencia de aprendizaje Para concluir la lección 2 realiza tu evidencia de aprendizaje sobre el Teorema de Pitágoras y su reformulación. Da clic en el siguiente botón para realizarlo.
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Cierre ¡Excelente trabajo, concluiste la lección 2! ¡Ya estás a un paso de finalizar el curso! Avanza hacia tu última lección ¡Cerrarás tu curso con el maravilloso tema de la Teoría del caos y los hermosos fractales, cuyos ejemplos visuales, permitirán que tus estudiantes puedan experimentar la matemática de forma viva.
Referencias Coxeter, H. & Greitzer, S. (1967). Geometry Revisited. Whashington, D.C., Estados Unidos de Norteamérica. The Mathematical Association of America. [Versión en línea]. Disponible en http://aproged.pt/biblioteca/geometryrevisited_coxetergreitzer.pdf Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. Vol I. (Susana Blumovicz de Siperstein, trad.). México: Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana (Uteha). Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. Vol II. (Susana Blumovicz de Siperstein, trad.). México: Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana (Uteha). Lagos, A. (4 de diciembre, 2018). El gigante Triangular mexicano de 250 metros de altura que resiste terremotos. El País. [Versión en línea]. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de https://elpais.com/cultura/2018/12/04/actualidad/1543880652_631743.html McGraw-Hill Education Company. (s.f.). The Geometrer´s Sketchpad Version 5.06. Keycurriculum. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de http://www.keypress.com/Pages/Prod_Sketchpad.html Moise, E., y Downs, F. (1966). Geometría moderna. (Mariano García, Trad). Massachusetts, Estados Unidos de Norteamérica: Addison Wesley Iberoamérica. [Versión en línea]. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de https://colmaths.files.wordpress.com/2013/01/geometria-modernamoise.pdf
Bibliografía Moise, E. (1980). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado. México: Compañía Editorial Continental.
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