Estrategias para la enseñanza de las matemáticas
Módulo 2. Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico Lección 1. De lo simple se construye lo bello
Programa de Formación Docente 1
Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Conjeturar en aritmética ....................................................................................................................................... 3 Aprender a observar: Elaborar conjeturas con palabras y símbolos. .................................... 5 Actividad de reforzamiento 1. ......................................................................................................................... 8 Actividad de reforzamiento 2. ........................................................................................................................ 9 Introducción a las congruencias ................................................................................................................ 10 Propiedades de las congruencias .................................................................................................................. 18 Ejercicio .......................................................................................................................................................................21 Referencias: ..................................................................................................................................................................22 Bibliografía: ...................................................................................................................................................................22
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Competencia
Elabora conjeturas y proposiciones aritméticas y algebraicas, mediante el estudio de las demostraciones a partir de la noción de pruebas sin palabras, con la finalidad de que le permitan abordar el tema de las congruencias, a través de la expresión de la igualdad.
Conjeturar en aritmética En este Módulo 2, seguirás trabajando con el tema de las conjeturas, por lo que es importante recapitular el tema ¿Qué es conjeturar en aritmética? revisa el siguiente video, en el cual el Dr. Alejandro Díaz Barriga responde a dicha pregunta.
https://youtu.be/bDXtCoGX5l4 En el módulo anterior, se afirmó que la búsqueda de la demostración a la afirmación de una conjetura brinda competencias tales como: la argumentación y generalizar, en este módulo, ahondarás en dichas competencias. Frecuentemente los verbos explicar, probar y demostrar se utilizan como sinónimos en la práctica de la enseñanza de matemáticas, pero: 3
Para los matemáticos la noción de demostración es esencial y es este punto el que se abordará a continuación.
¿Cuáles son las diferencias del significado de cada uno de estos conceptos? Explicación Una explicación se sitúa en el nivel del locutor, es decir, aquella persona que pretende garantizar la validez de una proposición. Dicho locutor hace uso de sus conocimientos y de su propia noción de verdad, entonces, la explicación no se reduce necesariamente a una secuencia de pasos lógicos deductivos y su base es esencialmente la lengua natural.
Prueba Por otro lado, la prueba es una explicación reconocida y aceptada ante una comunidad. Esto hace referencia a que la prueba es un proceso social, cuya aceptación no depende del locutor, sino de un grupo de personas. Cabe señalar que el reconocimiento de una prueba no es definitivo, ya que puede ser aceptada por una comunidad y por otra, rechazada. Demostración Por último, la demostración es entendida como una serie de enunciados organizados, que siguen un conjunto bien definido de reglas. Lo que caracteriza a las demostraciones es el rigor formal del discurso, ya que se busca que en una demostración no exista espacio para la ambigüedad y su reconocimiento no está ligado a la aceptación de una comunidad sino de aceptar lo que es. Un ejemplo de lo anterior, es el proceso que tuvo lugar para probar la teoría de los cuatro colores, en un primer momento quedó en “prueba” (ya que era rechazada por una comunidad), sin embargo, al ser demostrada se convirtió en un Teorema. Revisa el siguiente video sobre el Teorema de los cuatro colores:
https://youtu.be/Rv6r5K9con8
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Aprender a observar: Elaborar conjeturas con palabras y símbolos. David Hilbert es probablemente uno de los matemáticos más importantes que ha conocido el siglo XX, uno de sus grandes intereses fue fundamentar las Matemáticas, poniendo de manifiesto las ideas fundamentales de la demostración: La ventaja de este tipo de demostraciones (abstractas) es que se eliminan las construcciones particulares aisladas para agruparlas bajo una idea fundamental, de modo que se pone en evidencia, claramente, lo que es esencial en la demostración.
Hilbert soñaba con fundar las matemáticas sobre una base axiomática, esta visión es la que hace diferente la noción de prueba y de demostración - y aunque estaba equivocado -, su contribución fue fundamental para que hasta el día de hoy, las matemáticas estén fundamentadas en los axiomas, en los teoremas, en las proposiciones, en los lemas y en un lenguaje formal. Motivada o motivado en la noción de demostración y en la enseñanza de las matemáticas, construirás conjeturas para convertirlas en teoremas a partir de la noción de pruebas sin palabras. Momento de reflexión…
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Realizar demostraciones en matemáticas puede llegar a ser una labor complicada o algo árida y teórica; sin embargo, éstas se pueden sustituir por una analogía geométrica tan sencilla y hermosa, que la veracidad de un teorema se aprecie a simple vista. Esto es, pruebas sin palabras, las cuales no son demostraciones, sino diagramas o dibujos que ayudan a observar el por qué de algunas conjeturas se convierten en teoremas, además permiten visualizar el cómo iniciar la demostración de un teorema. Este tipo de argumentaciones estimulan el desarrollo del pensamiento matemático.
Ejemplo: Explicación del teorema de Pitágoras, obra de Henry Dudeney en 1917.
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Actividad de reforzamiento 1. Las siguientes actividades tienen el objetivo de reforzar el tema Pruebas sin palabras y te ayudarán a seguir desarrollando tus competencias para conjeturar. Estas actividades pueden ser útiles para enseñar a tus estudiantes este maravilloso tema, por lo que es importante que las realices para que (si así lo deseas), las apliques en tu aula y puedas guiar a tus estudiantes en la obtención de las respuestas correctas. Es muy importante aclarar que esta actividad no tiene evaluación, sólo es un espacio para que practiques, ¡Adelante!
Sobre el tema de la Igualdad… En la Lección 2 del Módulo 1, escuchaste un audio donde el Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga explica los diferentes usos de la palabra igualdad dependiendo del contexto. Si consideras necesario para realizar tu actividad, vuelve a escucharlo.
Actividad 1. 1. Da clic en el botón para volver a ver ejemplo GeoGebra Suma de los primeros números impares.
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1.
Deduce la igualdad del caso general del ejemplo y anótala en el siguiente recuadro de texto.
Escribe tu igualdad aquí…
[
2. Verificar tu resultado.
Respuesta correcta: 1 + 3 + 5 + 7 + • • • + (2n – 1) = n2
Actividad de reforzamiento 2. 1.
Observa la siguiente imagen:
2. Deduce la igualdad del caso general de la imagen anterior y anótala en el siguiente recuadro de texto.
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Escribe tu igualdad aquí…
[Caja sólo para practicar, no guarda texto]
3. Verificar tu resultado. Respuesta correcta:
2[1+3+5+ • • • + (2n–1)]+(2n+1) = n2 + (n+1)2 Introducción a las congruencias A continuación, abordarás un tema muy importante en los números enteros, el tema de las Congruencias. Para que te introduzcas en este tema, es necesario que revises el siguiente recurso Introducción a las congruencias, cuyo estudio te ayudará a vincularlo con sus propiedades.
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El concepto de congruencia tiene una representación geométrica interesante. Por ejemplo, cuando se desea representar a los números enteros, se toma una recta, y se elige el punto al que se le asociará el número cero, se elige un segmento para que sea la unidad de longitud. Del punto al que se le asignó el cero, se elige una de las dos posibles direcciones para que sea la dirección positiva, a partir de estos datos se coloca la unidad de longitud hacia esa dirección y se le asignan los números enteros positivos, en la dirección contraria se hace lo mismo con la unidad de longitud pero se le asigna como parte de los números enteros negativos.
Propiedades de las congruencias Como se mostró en el recurso anterior, si se tiene que a es congruente con b modulo m, entonces se sabe que existe un entero n, tal que:
a–b=n•m De aquí se sigue que:
a=b+n•m Con base en lo anterior, se pueden deducir las siguientes propiedades: Propiedades de la Congruencia
Reflexividad 1.
a
es congruente con
a
módulo
m
símbolos queda:
a = a (mod m) 18
en
Usualmente para hacer una representación de los números positivos y negativos - ya sea en el pizarrón o en una hoja de papel - eliges una recta horizontal, pero es necesario observar y hacer ver a tus estudiantes que esto es por conveniencia en la graficación, además es importante aclararles que en una recta horizontal, generalmente se elige el sentido positivo hacia la derecha del punto que se le ha asociado al cero.
Simetría 2. Si a es congruente con b módulo m, entonces
b es congruente con a módulo
m en símbolos queda: a = b (mod m)
entonces también
b = a (mod m)
Transitividad 3. Si
a
es congruente con
b
módulo
entonces a es congruente con
a = b (mod m)
y
m
b
y
es congruente con
c
módulo
m,
c módulo m, en símbolos queda:
b = c (mod m)
entonces
a = c (mod m)
Dado que la congruencia entre dos números enteros módulo m es una relación en el conjunto de números enteros y cumple las tres propiedades anteriores, se puede afirmar que: La relación de congruencia módulo
m (con m mayor
que uno) es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. Cuando trabajas con congruencias para mostrar geométricamente módulo m, consideras una circunferencia y en ella eliges m puntos que formarían los vértices de un polígono regular. (Piensa en una carátula de un reloj y en ella marcadas las horas, esto corresponde al módulo 12). Observa la siguiente imagen que muestra la representación geométrica de los números enteros módulo 5.
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Nota que en esta representación geométrica, en cada uno de los puntos, se tiene que los enteros son congruentes entre sí módulo 5, y además, dos enteros que les corresponden puntos diferentes, no son congruentes módulo 5. En este ejemplo, el conjunto de los enteros queda partido en cinco subconjuntos ajenos dos a dos, donde a cada uno de los subconjuntos les corresponde un punto de los elegidos en la circunferencia.
Si traes a tu mente la imagen de un reloj, se podría decir que la representación gráfica anterior, es el reloj de cinco horas. Puedes sumar y multiplicar en estos relojes como le haces en el de 12 horas, si son las diez y te quedaste de ver con un amigo en cinco horas, entonces lo vas a ver a las tres.
Para cada entero
m
mayor que uno tenemos un reloj de
m
horas. Son interesantes
los relojes cuando m es un número primo, estos sirven por ejemplo para la criptografía cuando se trabaja con primos muy grandes.
Ahora, revisa el siguiente video ¿Para qué sirve saber congruencias y cómo las puedo ver en la vida cotidiana? El cual te ayudará a ver algunas aplicaciones sobre las congruencias, tema que continuarás viendo en la lección 3.
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https://youtu.be/oYlfIdOEvyM
Ejercicio Para finalizar el aprendizaje de los temas vistos en esta lección, ingresa y resuelve el siguiente ejercicio, el cual consiste en un pequeño cuestionario. El cuestionario es de opción múltiple, es importante que lo realices ya que tiene un porcentaje en la evaluación final del Módulo 2.
Cierre
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¡Excelente! ¡Has concluido esta lección! Avanza a la siguiente lección, en la cual se ahondará más en el algoritmo de la división que has usado aquí, así como del concepto de número primo y verás que pasa con otros números… ¡Continúa!
Referencias: Haran, B. (11 de enero del 2015) This Probably Wont Help. [Mensaje en blog]. Recuperado el 18 de septiembre del 2019, de http://www.bradyharanblog.com/blog/2015/1/11/this-blog-probably-wont-help León, A. (2018). Diseño y análisis de una experiencia de enseñanza basada en proyectos en un curso de álgebra con estudiantes de la Facultad de Ciencias. México, UNAM, Facultad de Ciencias, tesis de posgrado en Maestría en Docencia para la Educación Media Superior (Matemáticas).
Bibliografía: Alejandra de, D. (2007). La aritmética y el libro sobre los libros números poligonales. (Manuel Benito Muñoz, Emilio Fernández Moral y Mercedes Sánchez Benito, eds.). Madrid, España: Editorial Nivola (Colección Episteme). Herrera, J.S. (2010). El uso d la historia de las matemáticas para el aprendizaje de la geometría en alumnos del bachillerato. Investigación en educación matemática XIV (pp. 557-568). Madrid, España: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: Excercises in Visual Thinking I. Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of América.
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Nelsen, R. B. (2016). Proofs without words III: futher exercises in visual thinking. Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of América. Pérez. A. (2000). Los números poligonales. Una caja de sorpresas con mucha historia. Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 3.2 331-337. Polya, G. (2004). How to solve it: A new aspect of mathematical method (2a ed.). Nueva Jersey, Estados Unidos de norteamérica: Princeton University Press.
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