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Estrategias para la enseñanza de las matemáticas

Módulo 1. Adivinando el pensamiento y entendiendo las reglas del álgebra. Lección 2. ¿Cuál es la matemática detrás de la magia?

Programa de Formación Docente

Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Conjunto de los números naturales ............................................................................................................... 3 Operaciones y propiedades de los números naturales ................................................................. 9 ¿El cero es un número natural?.................................................................................................................... 9 Los números enteros.............................................................................................................................................. 10 Rumbo a las ecuaciones de primer grado ....................................................................................... 11 Propiedades de los números enteros ......................................................................................................13 Suma de números enteros y GeoGebra ............................................................................................... 20 Multiplicación de números y GeoGebra .................................................................................................21 Orden de los números enteros....................................................................................................................22 Lenguaje algebraico .............................................................................................................................................. 24 Propiedades de la Igualdad.......................................................................................................................... 27 Caja de herramientas .............................................................................................................................................32 Evidencia de aprendizaje 2 .................................................................................................................................33 Cierre ................................................................................................................................................................................33 Referencias: ................................................................................................................................................................. 34 Bibliografía: .................................................................................................................................................................. 34

Competencia Desarrolla algunas habilidades amigables de enseñanza de los números naturales y enteros, mediante el estudio de sus propiedades y el lenguaje algebraico, así como de la valoración de expresar correctamente las ideas matemáticas, con la finalidad de lograr que los estudiantes se familiaricen con la lógica binaria y aprendan a pensar y expresarse en el lenguaje matemático, tanto para plantear dudas como para encontrar soluciones.

Conjunto de los números naturales Un docente que enseña griego comenzará por explicar a sus estudiantes el alfabeto, antes de pasar a la gramática y semántica del lenguaje -, pero es claro que se detendrá en la enseñanza de las letras porque serán el cimiento en la construcción del idioma, si lo trasladas a tu campo profesional, podrás reiterar que la matemática también se trata de un nuevo lenguaje que tus estudiantes deberán aprender, y entonces comprenderás que es muy importante detenerse en la explicación de sus cimientos, es decir, en los números naturales.

Los números naturales forman el sistema numérico más primitivo que se conoce. En la antigüedad se utilizaba éste, aún sin tener un concepto claro de lo que era un número, simplemente era empleado para satisfacer las necesidades inmediatas de la humanidad, como contar.

El célebre matemático alemán Leopold Kronecker afirmó:

Operaciones y propiedades de los números naturales Los números naturales tienen sus operaciones y propiedades:  Se encuentran definidas dos operaciones básicas en el conjunto de los números naturales: la suma y el producto.  Estas operaciones están definidas de tal manera que, a cada pareja de números naturales le corresponde un sólo número natural. La adicción y el producto de números naturales satisfacen las siguientes propiedades:

¿El cero es un número natural? En el contexto cotidiano, si te preguntan si traes dinero y no traes, no contestas: traigo cero pesitos, respondes: no traigo dinero.

Entonces, la respuesta a ¿el cero es un número natural? es sí y no, dependiendo del enfoque de los autores. Porque mientras nadie discute que el 0 es un número entero, sí existen discrepancias en cuanto a la naturaleza de que el 0 es N. En general, los autores que no consideran al cero como un número natural y prefieren excluirlo del conjunto de los números naturales, parten del hecho de que números naturales son empleados para contar, y que en la mayoría de los sistemas de numeración primitivos no aparece símbolo para el cero, de hecho, se sabe únicamente del empleo de este número en el sistema indoarábigo y en el sistema de numeración maya. Sin embargo, es muy importante que los docentes de de la Educación Media Superior conozcan y distingan ambos enfoques, para que puedan adoptar y explicar cada uno, de acuerdo al nivel del curso de matemáticas que impartan y así evitar confundir a los estudiantes que van comenzando a aprender el lenguaje numérico.

Siempre convendría sugerir a los estudiantes que cuando consulten un libro de aritmética, observen si el autor toma al cero como un número natural o no.

Los números enteros Como sabes, muchas veces se necesita representar numéricamente estados de la naturaleza o cuestiones de la vida cotidiana, en el que los números naturales no son suficientes y por eso empleamos los números enteros (que incluyen a los números naturales y los números negativos). Si se aterriza al aula, específicamente en el conjunto universo de los números naturales, existirán ecuaciones de primer grado sin solución, y por eso la importancia de abordar los números enteros.

Revisa el siguiente video sobre los números enteros, y posteriormente lee el recurso de lectura, que seguro te aportarán más ideas sobre cómo abordar con tus estudiantes, el tema de los números enteros.

https://youtu.be/6wtxNfZEjVU

Una vez que has visualizado el video, lee el siguiente documento titulado Rumbo a las ecuaciones de primer grado realizado por el Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. y la Mtra. Adriana León Montes.

Rumbo a las ecuaciones de primer grado Autores: Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. Mtra. en D. Adriana León Montes Sucede a veces que, en el conjunto de los números naturales es posible realizar otras operaciones como la resta y la división. Pero es bien conocido que, por ejemplo, en la primaria cuando nos pedían que al número 20 le restáramos el número 35, respondíamos: no se puede, o no alcanza. Lo que afirmábamos era que la resta de números naturales no siempre daba un número natural; es decir, la operación resta no es cerrada en el conjunto de los números naturales, algo semejante ocurre con la división. Caso contrario son la suma y el producto de números naturales; estas operaciones cumplen con la propiedad de cerradura, la cual para la suma nos afirma que a cada pareja de números naturales le corresponde un número natural que es su suma. De forma análoga para el producto.

Ahora, ¿qué pasa si restas o divides dos números naturales? Es fácil darse cuenta de que el resultado no necesariamente será un número natural. Observa que la división entre cero no está definida en ningún conjunto de los números con los que trabajamos. ¿Pero, de qué me sirve esto como docente? Como profesores debemos observar y saber leer en matemáticas para poder encontrar la solución a un problema. Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación de primer grado: x+3=0 En el conjunto universo de los números naturales, esta ecuación no tiene solución. Es decir, en el conjunto de los números naturales no existe un número que sumado a tres nos dé como resultado cero. De hecho, sabemos que el único valor que hace verdadera la igualdad es -3, pero -3 no es un número natural. Por lo tanto, dicha ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales. Hay una gran cantidad de problemas en la vida diaria que solamente aceptan soluciones en el conjunto de los números naturales, si esta ecuación es el modelo matemático de uno de esos problemas, debemos contestar que el problema no tiene solución. ¡Piensa por ti mismo! (Siempre es un buen consejo). Piensa en un problema cuya solución deba ser un número natural y que dé lugar a una ecuación de primer grado con números naturales, a la vez que no tenga solución en este conjunto, concluye en consecuencia que el problema no tiene solución. Entonces, ¿cómo le explicarías a un estudiante la necesidad de tener claro cuál es el conjunto (universo) donde estamos buscando las soluciones a un problema dado? Para que nuestra ecuación x + 3 = 0 tenga solución, deberíamos tener un conjunto de números donde exista un número que sumado al 3 nos dé el idéntico aditivo. A ese número usualmente lo denotamos -3. Como matemáticos nos gustaría contar con un conjunto donde se pudieran resolver todas las ecuaciones de la forma x + a = 0 para cualquier número natural a. De modo que nuestro nuevo conjunto está obligado a tener como elementos todos los números naturales, y a todos los números de la forma -a, donde a es un número natural, es decir, los inversos aditivos de los números naturales. Aunque aquí no hacemos un desarrollo formal de la construcción de este conjunto de números, de nuestra experiencia sabemos que dicho conjunto es el de los números enteros. Como parte del universo de números enteros, tenemos los números negativos, los cuales fueron conocidos por Diofanto de Alejandría (siglo III), matemático griego a quien se le conoce como el padre de la aritmética, ya que él fue el primero en introducir el signo de más (+) al tratar de explicar el producto de dos diferencias.

Propiedades de los números enteros De acuerdo a lo revisado en los recursos anteriores, en el conjunto de los números enteros se puede definir una suma y un producto, de tal manera que se extiende a la suma y el producto de números naturales. Es decir que dados dos números, estos se pueden sumar como naturales de acuerdo a las reglas de suma dadas en ese conjunto, pero también se pueden sumar como números enteros con las reglas de suma de este conjunto y el resultado es el mismo. De manera análoga se da lo mismo con el producto. Revisa la siguiente presentación que muestra las leyes y propiedades de la suma y el producto de números enteros.

Observa que, además de las propiedades que también se cumplen con la suma y el producto de números naturales, existe una propiedad adicional que es: para todo número entero, existe otro número entero que sumado al primero nos da como resultado el número cero (inverso aditivo), es decir, todos los números enteros tienen inverso aditivo en este conjunto.

Suma de números enteros y GeoGebra El siguiente esquema muestra los cuatro casos que presenta la suma de números enteros:

Ha llegado el momento de utilizar el siguiente recurso educativo y practicar la suma de números enteros:

https://www.geogebra.org/m/n5cbsk96#material/CdmMgKwc

Recuerda que es importante que manejes este recurso para que lo incorpores como estrategia didáctica en tu enseñanza, si motivas su uso, los estudiantes podrán visualizar las matemáticas en distintos contextos y experimentar sus diferentes niveles de aplicación.

Multiplicación de números y GeoGebra Revisa en el siguiente esquema cada una de las propiedades de la multiplicación de los números enteros.

Ahora, da clic en cada uno de botones de GeoGebra para que continúes practicando.

Producto de números enteros

Multiplicación de números enteros

Orden de los números enteros Ahora se abordará el orden de los números enteros, si se tiene dos números enteros n y m cualesquiera, se puede determinar cuál de estos dos es mayor o si son iguales, ya que el conjunto de los números enteros tiene un orden, el cual se define como sigue: Si n y m son dos números enteros, diremos que n es menos que m y se denota como n<m. Si existe un número entero positivo r tal que m + r = n.

https://edu.gcfglobal.org/es/losnumeros/que-son-los-numeros-enteros/1/

El orden de los números enteros denota características importantes:

Con respecto a las operaciones, la relación de orden en los números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad 1

Si n < m y p es un número entero entonces n + p < m + p. Es decir, si tenemos dos números enteros y a ambos les sumamos la misma cantidad, los números que obtenemos guardan la misma relacion de orden que la que tienen aquellos de los que partimos.

Propiedad 2

Si n < m y p es un número entero positivo entonces n . p < m . p decimos: Si en una desigualdad multiplicamos por un número positivo en ambos miembros, la desigualdad se conserva, (observa que lo que afirmamos es que los números que obtenemos guardan la misma relación entre ellos que la relación de aquellos de los que partimos).

Propiedad 3

n es un entero positivo si y solamente si 0 < n. Observa que si tenemos que n es menor que m, también podemos decir que m es mayor que n, las notaciones son n < m o m > n, una regla para no olvidar la notacion adecuada es que la que la punta siempre apunta al más pequeño.

Lenguaje algebraico Para abordar el tema de la enseñanza del lenguaje algebraico, retoma el ejemplo del docente de griego, ¿será suficiente con que los estudiantes aprendan la escritura de las palabras? Por supuesto que no, el docente deberá explicar la gramática y semántica del lenguaje, lo mismo pasa con las matemáticas, tienen su propia lógica binaria, así, el siguiente paso será explicarles la función que cada número juega de acuerdo al tema.

En otras palabras, tu reto es adecuar un contexto matemático para que el estudiante desarrolle habilidades para poder encontrar diferentes expresiones de un mismo número y con ellas buscar la solución adecuada para cada tipo de problema a resolver, pero ¿cómo lo puedes hacer? utilizando el lenguaje matemático correctamente, igual que lo hace el docente de griego desde la primera clase al saludar y dar algunas instrucciones en el idioma que imparte (aunque los estudiantes no lo entienden, lo hace para familiarizarlos en el nuevo lenguaje). A continuación, consultar la lectura Lenguaje Algebraico, material preparado por el Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. y la Mtra. Adriana León Montes.

Lenguaje algebraico Autores: Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. Mtra. en D. Adriana León Montes Para expresar las ideas matemáticas correctamente, es necesario tener un lenguaje especial. Las palabras de este lenguaje obedecen a definiciones y reglas, por ejemplo, si decimos que f es una función de los reales a los reales, entonces, es necesario que conozcamos el significado de función, además, debemos conocer quiénes son los reales, también es necesario conocer la notación que usamos.

El lenguaje matemático es muy preciso, recordemos que las matemáticas usan una lógica binaria, es decir, una proposición en matemáticas es verdadera o falsa, pero no ambas, no es tantito verdadera y no son verdades a medias, en este contexto no serían válidas afirmaciones como: “Y es que en el mundo traidor / nada hay verdad ni mentira: / todo es según el color / del cristal con que se mira”, del famoso poeta Ramón de Campoamor. No, este tipo de expresiones no corresponden con las matemáticas, lo cual, las hace más fáciles y a la vez más complicadas, ya que nuestros enunciados deben ser precisos, sin ambigüedades, deben respetar las reglas que le son propias, por ejemplo, no podemos decir: es que ya merito es una función. Por eso, es necesario que nosotros, como docentes, expresemos nuestras ideas matemáticas correctamente, a la par que dejemos a nuestros estudiantes que se expresen como puedan, con tal de que externen sus ideas, pero buscando amigablemente que hablen de forma correcta, tal y como se le enseña a un niño a hablar su idioma materno. Parte del lenguaje matemático es el lenguaje algebraico que, en un inicio, se enseña como una aritmética generalizada. Al principio se les puede decir a los estudiantes que las primeras letras del abecedario se usan para números conocidos y las últimas para números desconocidos (variables o incógnitas), entonces, las reglas de sintaxis que conocemos nos permiten usar dicho lenguaje correctamente. La importancia de un lenguaje radica en el poder de transmitir ideas a otras personas, en este caso en particular, se trata de transmitir ideas matemáticas a nosotros mismos, con la convicción de que en el futuro, si dejamos un texto erróneo, no haremos bien ese trabajo. A veces queremos expresar ideas y hablamos (yo digo), como Cantinflas. Si escribo 3 x + = 85 - x, eso es un caso extremo de lo que yo llamo cantinflear, hay varias maneras de cantinflear en matemáticas. Veamos un problema donde se observa claramente esta situación:

Fuimos a una kermes y en el puesto de los elotes compramos dos elotes a dieciséis pesos cada uno, luego, en el puesto de las bebidas compramos un refresco a quince pesos, finalmente, tres donas en el puesto de los postres a doce pesos cada una.

Para responder a la pregunta ¿cuánto gastamos?, algunas personas escriben erróneamente el siguiente renglón: 2(16) = 32 + 15 = 47 + 3(12) = 47 + 36 = 83 Lo cual, se explicaría de la siguiente manera: Dos elotes a dieciséis pesos, nos dan treinta y dos pesos, más quince pesos del refresco nos dan cuarenta y siete pesos, más tres donas de doce pesos nos dan cuarenta y siete pesos, más treinta y seis pesos, dan un total de ochenta y tres pesos.

En el problema anterior, observamos una falta de sintaxis. El símbolo de igualdad se debe usar de tal manera que lo que está de su lado izquierdo debe ser igual a lo que está de su lado derecho, pero en este caso, ¿2(16) es igual a 32 + 15? Esto es falso y así sucede con muchas de las igualdades que se escriben en ese renglón. A veces este tipo de situaciones se dan por flojera al escribir, pero lo que pareciera un pequeño descuido, en un futuro dará lugar a que no entendamos, por eso es importante hacer lo posible para que nuestros estudiantes escriban y empleen correctamente este lenguaje. Las matemáticas usan muchas palabras que tienen un significado en español, pero debemos saber el significado que tienen específicamente en matemáticas. De hecho, hay frases que se usan fuera de las matemáticas con otro sentido, por ejemplo, hay ofertas de algunas tiendas que se anuncian como 3 x 2, eso no significa 6, significa que llevas tres artículos y pagas dos ¿tiene sentido preguntar si conmuta?

¿Te gustaría escuchar ejemplos de un experto? Da clic en el botón para comenzar a escuchar los que te comparte el Dr. Alejando Díaz Barriga.

Como has podido identificar, este curso busca el empleo del juego para desarrollar la agilidad en el manejo de las expresiones con números (en otras palabras que los estudiantes aprendan a pensar y a expresarse en un lenguaje matemático) para que puedan encontrar la solución de problemas o la adecuada expresión de la incógnita en algún problema. Así, para obtener la expresión simplificada, la expresión factorizada, o la expresión desarrollada, en algunas ocasiones nos conviene sumar y restar el mismo número, sabiendo que estamos usando una expresión de cero adecuada y la propiedad que tiene el cero al sumar a cualquier número. También, a veces multiplicamos un número por uno, expresando este último de manera adecuada, es decir, conveniente a lo que estemos tratando de desarrollar, obtener o comprobar.

Propiedades de la Igualdad Para finalizar la lección 2, lee el documento Propiedades de Igualdad, del Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. y la Mtra. Adriana León Montes que preparó para ti y escucha el audio sobre el tema de las Igualdad en el contexto cotidiano.

Propiedades de la igualdad Autores: Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. Mtra. en D. Adriana León Montes Una propiedad muy interesante de la igualdad es aquella indicada en la antigua Grecia por Euclides de Alejandría en el S. III AC, quien afirmó: Dos cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí. Actualmente, hablamos de la propiedad reflexiva, la simétrica y la transitiva de la igualdad. También a veces decimos: si a = b, en la presencia de a puedo sustituir b. Es importante tener presente estas propiedades que suenan bastante obvias. Con respecto a las operaciones de suma y producto, tenemos las siguientes propiedades: 1.

Si se suma la misma cantidad a cantidades iguales, se obtienen cantidades iguales. En símbolos sería: Si a = b y c es un número entonces a+ c = b + c

2. Si se multiplica la misma cantidad a cantidades iguales, se obtienen cantidades iguales. En símbolos sería: Si a = b y c es un número entonces (a) (c) = (b) (c)

Como consecuencias inmediatas, tenemos que: 3.

Si se resta la misma cantidad a cantidades iguales se obtienen cantidades iguales.

En símbolos sería: Si a = b y c es un número entonces a - c = b – c 4. Si se divide la misma cantidad diferente de cero a cantidades iguales se obtienen cantidades iguales. En símbolos sería: Si a = b y c es un número

entonces:

Es importante que seamos claros con nuestros estudiantes, sin pretender tener toda la formalidad, así, por ejemplo, dentro de las proposiciones que tienen el signo de igualdad, es necesario distinguir aquellas que son identidades de las que son ecuaciones y con ello, tener en claro el uso de estas proposiciones y el problema que se quiere resolver. Cuando claramente tenemos una identidad en la presencia de un lado de la igualdad, podemos sustituir lo que aparece en el otro miembro de ella. Por ejemplo, son identidades:

Son ecuaciones si no son verdades para todos los valores de la o las variables que intervienen, por ejemplo, son ecuaciones: Entendemos por resolver una ecuación a encontrar el conjunto solución de esta, el

conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores de la o las variables que hacen verdadera la igualdad. Ahora bien, algo que es necesario conocer para encontrar las soluciones de una ecuación es: cuál es el conjunto de valores posibles de la o las variables, es decir, el conjunto universal de donde estamos buscando las soluciones. En el caso de los tres ejemplos dados arriba y si consideramos que nuestro conjunto universal es el conjunto de los números enteros, tenemos que:  La primera ecuación no tiene solución, ya que su conjunto solución es el conjunto vacío. Si queremos encontrar un número entero, al cual, al sumarle uno, dé el mismo número, es claro que ese número no existe.

Para la segunda ecuación, queremos encontrar el o los valores en el conjunto de los números enteros que hagan verdadera esa ecuación. La idea es encontrar (a ver si se puede) otra ecuación que tenga el mismo conjunto solución que esta, donde la incógnita quede sola en algún miembro de la igualdad y no se encuentre en el otro miembro (si lo logramos, será muy fácil encontrar el conjunto solución de esa ecuación, por ejemplo, si tenemos z= 4, es claro que el único valor de z que hace verdadera esta igualdad es el número 4, ningún otro valor la hace verdadera, por lo que el conjunto solución es . Ahora bien, en caso de que dos ecuaciones tengan el mismo conjunto solución, decimos que son ecuaciones equivalentes). Dada una ecuación, ¿de qué disponemos para obtener ecuaciones equivalentes a ella? Pues, de las propiedades de la igualdad. Si partimos de la igualdad:

2x + 5 = x + 7 Podemos sumar la cantidad que queramos en ambos miembros, multiplicar por la cantidad que queramos que no sea cero en ambos miembros y obtendremos otra ecuación que será equivalente a ésta. Observa que no podemos multiplicar por términos que contengan a la incógnita. ¿Por qué? Tampoco podemos multiplicar por cero. ¿Por qué? En la ecuación de la que partimos, ¿podemos sumar en ambos miembros el número 8? Desde luego que SÍ. Obtenemos: 2x + 5 + 8 = x + 7 + 8 que, al simplificar términos semejantes en ambos miembros queda:

2x + 13 = x + 15 Esta última ecuación tiene el mismo conjunto solución que la ecuación de la cual partimos. ¿Se ve más fácil cuáles son las soluciones de esta ecuación?, pues parece que NO. Con las reglas que son válidas, ahora necesitamos de una estrategia, claro que entre más experimentados seamos, nuestra estrategia se irá mejorando (por eso tenemos que hacer ejercicios). Ahora regresemos a la ecuación original, ¿qué nos conviene? (ojo: lo que nos conviene, no es lo lógico ni lo único que podemos hacer sin romper las reglas, podemos hacer muchas más operaciones, ¿multiplicar por 5307?, 29

¡¡¡Claro que podemos!!! Pero no nos conviene. Entonces, si queremos una ecuación equivalente que tenga un miembro solo (la x sola), podemos observar que, por ejemplo, el 5 en el miembro izquierdo no lo queremos (capricho o experiencia), ¿cómo lo quitamos? restando 5 a ambos miembros de la igualdad. Obtenemos:

2x + 5 - 5 = x + 7 – 5 Simplificando en ambos miembros, obtenemos:

2x = x + 2 Ahora, nos conviene que la x no esté en miembro derecho, para esto, restamos x en ambos miembros y obtenemos:

2x - x = x + 2 – x Que simplificando, nos queda:

x=2 Esta última ecuación es equivalente a la ecuación de la cual partimos y es fácil ver que el único valor que hace verdadera la igualdad es el número 2, por lo que el conjunto solución es

Debemos verificar que efectivamente 2 es solución de nuestra ecuación, para ello, sustituimos este valor en lugar de la variable en la ecuación y obtenemos:

2(2) + 5 = 2 + 7 Que simplificando en ambos miembros nos queda:

14 = 14 La anterior es una proposición verdadera, por lo que dos es la solución, (ojo: nos faltaría verificar que es el único valor que satisface la igualdad, por lo que te pedimos que reflexiones cómo puedes afirmar que esto es cierto). Para el tercer ejemplo, tenemos que las soluciones de esa ecuación son parejas de números donde, al sustituir un valor para x y otro para y hagan verdadera esta proposición. Para poder hablar de estas parejas, observa que de manera natural podemos pensar en parejas ordenadas, con esto, nos ponemos de acuerdo que el

primer elemento de la pareja se sustituye en lugar de x y el segundo en lugar de y, entonces, ¿qué podemos hacer? Este problema es un poco más elaborado. Observa que nos conviene (ojo de nuevo: nos conviene, nos queda más claro, etc.) despejar y, para lo cual, restamos x en ambos lados de la igualdad y obtenemos:

x+y-x=1–x Simplificando, obtenemos:

y=1–x Nuestro universo son los enteros. Podemos observar que hay una infinidad de parejas ordenadas de enteros que satisfacen esta igualdad, es decir, para cada valor que le demos a x, obtendremos un valor para y, de tal manera que la pareja formada sea solución de la ecuación y por tanto, pertenezca al conjunto solución de la ecuación. Ejemplos de soluciones son: (3, -2), (0,1), (-8, 9) El conjunto solución es:

Si una ecuación tiene otra ecuación equivalente de la forma:

ax = b Donde a no es cero, decimos que la ecuación es de primer grado con una incógnita. Observemos que, si nuestro universo es el conjunto de los enteros, para que esta ecuación tenga solución, es necesario que el número b sea divisible entre el número a, también lo expresamos diciendo que b es múltiplo de a, en este caso el conjunto solución consta de un solo elemento. Finalmente, recordemos que, usualmente nuestro conjunto universal son los números reales y ahí estas ecuaciones siempre tienen una sola solución.

Reproduce el siguiente audio en plataforma.

Caja de herramientas Con el objetivo de que cuentes con herramientas útiles para la enseñanza de las matemáticas, se organizó la siguiente caja, la cual contiene para esta lección 2, material audiovisual y material didáctico virtual, revísalos, seguro te aportarán alguna idea para aplicarla en tu aula.

Evidencia de aprendizaje 2

Para concluir la lección 2, descarga el documento de trabajo y una vez que lo trabajes de acuerdo a las especificaciones que ahí se te solicitarán, sube tu evidencia de aprendizaje.

Cierre ¡Bien hecho! ¡Has concluido tu segunda lección! En la siguiente lección abordarás el tema de las conjeturas ¡sí! La forma en la que la matemática se ha desarrollado.

Referencias: Bancerek, G. (1990). The fundamental properties of natural numbers. Formalized Mathematics, 1(1), 41-46. Bialistok, Polonia: Universidad de Varsovia. Bell, E. T. (2009). Los grandes matemáticos. Buenos Aires, Argentina: Losada. Serrano, C., Vendrell, R., Ribera, G., & Monserrat, M. (2006). El conteo en alumnos con necesidades educativas especiales: principios de equivalencia, ordenación y transitividad. EDUCAR, Vol. 37, 151-166. Murcia, España: Universidad de Murcia.

Bibliografía: Cárdenas, H., Lluis, E., Raggi, F., y Tomás, F. (1995). Álgebra Superior (2ª edición), México: Trillas. [Versión en Línea]. Disponible en https://es.slideshare.net/JorgaiizAlexandro/algebra-superior-cardenas-38583109 Godino, J. (Febrero de 2002). La formación matemática y didáctica de maestros como campo de acción e investigación para la didáctica de las matemáticas: el proyecto EDUMAT-MAESTROS. V Simposio sobre Aportaciones del área de la Didáctica de la Matemática a diferentes Perfiles Profesionales. Alicante, España: Universidad de Alicante. [Versión en Línea]. Disponible en http://casanchi.com/did/edumat.pdf Gómez, C. (2016). Algebra Superior: Curso completo. México: Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial, UNAM.

Contenido para el Curso de Estrategias para la Enseñanza de Matemáticas del Módulo 1 en su Lección 2