Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 3. Matemáticas que nos interesan Lección 2. El famoso juego llamado Melate
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencias de la lección 2 ........................................................................................................................ 3 La importancia de los datos en la vida cotidiana ................................................................................... 3 Los nueve premios del Melate ........................................................................................................................... 9 El juego del Melate ............................................................................................................................................... 9 Conceptos básicos............................................................................................................................................... 10 Probabilidad condicional ........................................................................................................................... 17 Combinaciones ..................................................................................................................................................... 19 Utilizando los conceptos básicos .............................................................................................................. 20 Probabilidad de obtener un premio .........................................................................................................21 El juego corto “Corazonada” ............................................................................................................................. 24 Ejemplo: El juego corto “Corazonada” ................................................................................................... 24 Sustituyendo valores de i ............................................................................................................................... 37 Análisis del juego, un muestreo estadístico del Melate...................................................................52 Consideraciones básicas de la estadística y el muestreo. ..........................................................52 Poblaciones y muestras .................................................................................................................................. 54 Tipos de muestreo ...............................................................................................................................................55 Estadística descriptiva ..................................................................................................................................... 57 Ejercicio: Muestreo estadístico del Melate ........................................................................................... 61 Actividad de Reflexión .......................................................................................................................................... 73 Valoración de cierre y encuesta de mejora ............................................................................................. 74 Actividad 5.................................................................................................................................................................... 75 Cierre ............................................................................................................................................................................... 75 Bibliografía ................................................................................................................................................................... 76
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Competencias de la lección 2
Analizarás el juego del Melate mediante el abordaje de conceptos básicos, tales como: experimento aleatorio, espacio muestral, modelo clásico de probabilidad, combinaciones, probabilidad condicional y regla de la multiplicación, así como de una estrategia didáctica llamada Corazonada, con la finalidad de comprender como funciona el Melate, las probabilidades de ganar uno de los 9 premios y entender un ejercicio de muestreo estadístico de este famoso juego.
La importancia de los datos en la vida cotidiana En la actualidad, en gran cantidad de actividades humanas cada vez es más necesario conocer datos, es decir, contar con aquella información relevante que permita tomar decisiones con más asertividad. Revisa el siguiente recurso, en el cual verás algunos ejemplos sobre la importancia de los datos en la vida cotidiana.
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Los nueve premios del Melate El juego del Melate En este juego se pagan $15 pesos para participar en el sorteo, el jugador selecciona 6 números y uno más llamado adicional, todos estos del 1 al 56 sin repetición. Visualiza el siguiente video para recordar cómo funciona este juego tan popular.
https://www.youtube.com/embed/aTkg8Iqy1u0 En el video anterior, observaste que el sorteo consiste en seleccionar 7 números del 1 al 56, de manera aleatoria sin repetición. Los primeros 6 números seleccionados son llamados naturales, mientras que el séptimo es llamado adicional. Se comparan los 6 números que seleccionó el jugador con los 6 números naturales del sorteo. Si los 6 son iguales, el jugador gana el primer lugar. Si sólo 5 son iguales, el número equivocado del jugador se compara con el adicional del sorteo; si son iguales, el jugador gana el segundo lugar y si son diferentes obtiene un tercer lugar. De manera similar, en caso de obtener 4 números iguales, se comparan los dos equivocados del jugador con el adicional y si uno de ellos es igual, el jugador gana el cuarto lugar y si no lo son, gana el quinto lugar y así sucesivamente hasta el noveno lugar. En resumen:
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Conceptos básicos Una vez que has comprendido la dinámica del juego, surgen de manera natural algunas preguntas interesantes (cuyas respuestas se irán desarrollando y construyendo o deduciendo en lo subsecuente), tales como: Como te has dado cuenta, para contestar las preguntas, es necesario estar familiarizado con los siguientes conceptos teóricos: Experimento aleatorio, espacio muestral, modelo clásico de probabilidad: casos favorables entre total de casos, combinaciones, particiones, probabilidad condicional y regla de la multiplicación.
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Revisa el siguiente recurso, en el cual se encuentra diverso material para repasar los distintos conceptos que te servirรกn para comprender esta lecciรณn.
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https://youtu.be/tQh29_Noo9w
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https://youtu.be/eYD-PLu5eOo
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https://youtu.be/5Qb2PJZsgLk
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https://youtu.be/zS0VzZ4DejE
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Consultar la lectura Probabilidad condicional del Mtro. Gerardo Sousa Aubert.
Probabilidad condicional Autor: M. en C. Gerardo Sousa Aubert SupĂłn que una caja contiene 60 bolas: 15 son blancas y estĂĄn numeradas del 1 al 15, 15 son verdes (y numeradas del 1 al 15) y las otras 30 son azules y tambiĂŠn estĂĄn numeradas del 1 al 30. Se asume que la probabilidad de que cualquier bola que sea seleccionada es 1/60 Entonces, el evento A dado por la bola verde tiene probabilidad 15/60 = 1/4 Por otra parte, el evento B dado por la bola tiene el nĂşmero 7, ademĂĄs tiene probabilidad 3/60 = 1/20 dado que hay 3 de las 60 bolas etiquetadas con el nĂşmero 7 (una es blanca, otra azul y otra verde). Si sacas una bola al azar de la caja y notas que es verde, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que tenga el nĂşmero 7? Observa que el hecho de saber que la bola seleccionada es verde, afecta el cĂĄlculo de la probabilidad de que tenga el nĂşmero 7. En efecto, la probabilidad de que tenga el nĂşmero 7 dado que es verde, es 1/15 debido a que hay 15 bolas verdes y de ellas sĂłlo una tiene el nĂşmero 7. En general, dados dos eventos A y B con P(A) > 0, se denota la probabilidad de B dado que ocurriĂł el evento A como P(B|A) y se define como:
đ?‘ƒ(đ??ľ|đ??´) =
đ?‘ƒ(đ??ľâ‹‚đ??´) đ?‘ƒ(đ??´)
Esta expresiĂłn es conocida como la probabilidad condicional de B dado A, o bien, como la probabilidad de B con la condiciĂłn A. En este ejemplo, con los eventos A: la bola es verde, mientras que B: la bola tiene el nĂşmero 7. En el experimento antes descrito, se tiene que:
đ?‘ƒ(đ??´) = 1/4 đ?‘ƒ(đ??ľ) = 1/20 Recuerda que un evento es un subconjunto de un espacio muestral. En este caso el evento A es el conjunto de las bolas verdes, mientras que el B, el de las bolas con el nĂşmero 7.
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La intersecciĂłn de ambos conjuntos es el evento: la bola es verde y tiene el nĂşmero 7, es fĂĄcil ver que tiene probabilidad 1/60, es decir:
đ?‘ƒ(đ??´â‹‚đ??ľ) = 1/60 Por Ăşltimo, siguiendo la definiciĂłn de probabilidad condicional, la probabilidad de que la bola tenga el nĂşmero 7 dado que es verde, es:
đ?‘ƒ(đ??ľ|đ??´) =
đ?‘ƒ(đ??ľâ‹‚đ??´) 1/60 1 = = đ?‘ƒ(đ??´) 1/4 15
Lo cual, en este ejemplo, era fĂĄcil de anticipar. En general, cuando P(A) > 0 y tambiĂŠn P(B) > 0, se puede utilizar y relacionar la fĂłrmula de la definiciĂłn dada para la probabilidad de A dado B con la correspondiente a la probabilidad de B dado A, tal como sigue: Partiendo de que
đ?‘ƒ(đ??ľ|đ??´) =
đ?‘ƒ(đ??ľâ‹‚đ??´) đ?‘ƒ(đ??´)
đ?‘ƒ(đ??´|đ??ľ) =
y
đ?‘ƒ(đ??´â‹‚đ??ľ) đ?‘ƒ(đ??ľ)
Observa que el numerador en ambas ecuaciones es el mismo (pues el conjunto Aâ‹‚B es el mismo que Bâ‹‚A) y, por lo tanto, puedes despejar el nĂşmero P(Aâ‹‚B) en cualquiera de las dos y obtener respectivamente:
đ?‘ƒ(đ??´â‹‚đ??ľ) =đ?‘ƒ(đ??ľ|đ??´) ∗ đ?‘ƒ(đ??´) = đ?‘ƒ(đ??´|đ??ľ) ∗ đ?‘ƒ(đ??ľ) Teniendo asĂ dos formas diferentes para calcular la probabilidad de la intersecciĂłn de A y B. Esta Ăşltima expresiĂłn es conocida como regla de la multiplicaciĂłn.
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Combinaciones Para abordar el tema de las propiedades de las combinaciones, revisa el siguiente video
https://www.youtube.com/embed/GCBO7uFbrT0
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Utilizando los conceptos básicos En el caso del Melate, el espacio muestral consta de todas las posibles selecciones de los 6 números naturales junto con el adicional. Podría pensarse que son los subconjuntos de tamaño 7 que se pueden formar con los 56 números disponibles, pero esto es incorrecto dado que para los primeros 6 números que se seleccionan (los naturales) el orden no es importante, pero para el adicional sí que es importante el orden: el adicional es siempre el séptimo en ser seleccionado. El total de resultados diferentes que pueden obtenerse en un sorteo (es decir, la cardinalidad del espacio muestral) son los subconjuntos de tamaño 6 de los 56 números disponibles (que son los 6 números naturales) y cada uno de ellos puede tener como número adicional a cualquiera de los otros 50 números. Observa que cada uno de esos arreglos, tiene la misma probabilidad de ser seleccionado que cualquier otro (principio de equiprobabilidad). El adicional puede pensarse como los subconjuntos de tamaño 1 que pueden formarse de los 50 números disponibles. Esto es:
Esto significa que hay mil seiscientos veintitrés millones, cuatrocientos veintiún mil ochocientos posibles resultados de un sorteo.
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Probabilidad de obtener un premio Para calcular la probabilidad de obtener un premio, se debe calcular cuĂĄntos de estos casos son favorables para obtener dicho premio. Se denotarĂĄ el evento en el que el jugador obtiene i nĂşmeros naturales correctos como Ni para i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 El evento A denotarĂĄ que el jugador tiene correcto el nĂşmero adicional y utilizaremos Ac para denotar que el jugador no tiene correcto el nĂşmero adicional.
(đ?‘ ∊ đ??´đ?‘? )
El evento significa que el jugador tiene đ?‘– correctos i nĂşmeros naturales y no es correcto el adicional. Hay 6 eventos de este tipo dado que i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y de estos, Ăşnicamente los casos i = 0 e i = 1 son los que no dan premio. El caso i = 6 otorga el primer premio, pero no puede decirse que el adicional se tenga correcto o incorrecto. Al tener correctos los 6 nĂşmeros naturales se gana el primer lugar con cualquier nĂşmero que estĂŠ seleccionado como adicional.
(đ?‘ ∊ đ??´)
Por otra parte, el evento significa que tiene correctos i nĂşmeros naturales đ?‘– y tambiĂŠn el adicional. Hay 6 eventos de este tipo dado que i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y de estos, Ăşnicamente los casos i = 0 e i = 1 son los que no dan premio.
Revisa cada probabilidad de cada evento. La probabilidad de
(đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´) se denota por đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´) y es la probabilidad de
obtener i nĂşmeros naturales correctos por la probabilidad de tener el adicional correcto dado que se obtuvieron i nĂşmeros naturales correctos. En resumen:
đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´) = đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´ Ç€ đ?‘ đ?‘– )para i = 0, 1, ‌, 5
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Y en forma anĂĄloga, la probabilidad de obtener i nĂşmeros naturales correctos por la probabilidad de tener el adicional incorrecto dado que se obtuvieron i nĂşmeros naturales correctos.
đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´đ?‘? ) = đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´đ?‘? Ç€ đ?‘ đ?‘– )para i = 0, 1, ‌, 5 Observa que los eventos
đ?‘ 6 (đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´) y (đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´đ?‘? ), forman una particiĂłn del espacio muestral para i = 0, ‌,5
Ahora, se procederĂĄ a calcular cuĂĄntos casos constituyen cada uno de estos 13 eventos. Consultar la regla de la multiplicaciĂłn, la cual es necesaria para poder entender el desarrollo del anĂĄlisis del juego Melate.
https://youtu.be/j5ctqOqBeng
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La regla de multiplicaciĂłn es importante porque en general, la probabilidad de obtener i nĂşmeros naturales se obtiene multiplicando el nĂşmero de formas de seleccionar i correctos de los 6 del sorteo por el nĂşmero de formas de seleccionar los (6 - i) nĂşmeros incorrectos de los 50 que no fueron sorteados como naturales.
Este producto se divide entre el nĂşmero total de formas de seleccionar 6 nĂşmeros de los 56 disponibles. Esto es:
đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ) =
50 (6đ?‘–)(6−đ?‘– )
(56 ) 6
Por otra parte, la probabilidad de tener correcto el número adicional dado que se obtuvieron i números naturales correctos (i = 0, 1, ‌, 5), es lo mismo que decir que alguno de los (6 – i) números que no fueron correctos sea el adicional. Es decir:
đ?‘ƒ(đ??´ Ç€ đ?‘ đ?‘– ) =
(6−đ?‘– ) 1 (50 ) 1
Mientras que la probabilidad de no tener correcto el número adicional dado que se obtuvieron i números naturales correctos (i = 0, 1, ‌, 5), es lo mismo que decir que el adicional fue diferente a cualquiera de los (6 – i) que el jugador tiene como incorrectos. Esto puede ocurrir de 50 – (6 – i) formas. Esta cantidad tambiÊn puede escribirse como 50 – 6 + i y, por lo tanto
đ?‘ƒ(đ??´đ?‘? Ç€ đ?‘ đ?‘– ) =
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(50−(16−đ?‘–)) (50 ) 1
La expresión general para la probabilidad de que el jugador tenga correctos i números naturales correctos (i = 0,1, ‌5) y el adicional es entonces:
50 (6đ?‘–)(6−đ?‘– ) (6−đ?‘– ) 1 đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ∊ đ??´) = đ?‘ƒ(đ?‘ đ?‘– ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´ Ç€ đ?‘ đ?‘– ) = â‹… 50 (56 ) ( ) 6 1
Y la expresión general para la probabilidad de que el jugador tenga correctos i números naturales correctos (i = 0,1, ‌,5) sin el adicional es entonces:
El juego corto “Corazonadaâ€? Ejemplo: El juego corto “Corazonadaâ€? A continuaciĂłn, se desarrollarĂĄ un ejemplo didĂĄctico para la comprensiĂłn de la cantidad de casos que se presentan en el juego anterior (Melate), y que en este juego de ejemplo (Corazonada) podrĂĄs calcular explĂcitamente.
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Sustituyendo valores de i Utilizando el modelo anterior, resulta sencillo sustituir los posibles valores de i para obtener las siguientes probabilidades:
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Visualiza el resumen de lo anterior.
Análisis del juego, un muestreo estadístico del Melate Consideraciones básicas de la estadística y el muestreo. Con el objetivo de conocer en la práctica el juego del Melate mediante el uso de algunas herramientas de estadística descriptiva, es recomendable que conozcas algunos conceptos básicos como son: población y muestra, frecuencia absoluta y relativa, media y desviación estándar. Antes de pasar a los conceptos, revisa las siguientes consideraciones con respeto a la estadística y el muestreo.
Consideraciones básicas respecto a la estadística
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La estadística y el muestreo tratan de la teoría y aplicación de métodos para coleccionar datos estadísticos, presentarlos, analizarlos y hacer deducciones a partir de ellos. Forman parte del muestreo la teoría y técnicas utilizadas para la recolección de estos. Las técnicas para representar dichos datos constituyen la estadística descriptiva y NO se pueden hacer deducciones a partir de ellos; ya que el análisis que permite hacer deducciones, con base en la teoría de la probabilidad, es lo que constituye la estadística inferencial.
Consideraciones básicas respecto al muestreo El objetivo principal de un diseño de muestreo es proveer indicaciones para la selección de una muestra que sea representativa de la población bajo estudio, dicha muestra proporcionará una cantidad especificada de información a un costo mínimo. Casi cualquier muestra produce resultados aceptables mientras la población bajo estudio sea uniforme en las características a medir. Ahora, en la siguiente figura se muestra la clasificación de los diferentes tipos de datos que se pueden presentar:
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Poblaciones y muestras Es necesario tener claro qué o quiénes forman la población que se desea conocer. Para ello, debes definir una serie de características, a fin de dar con una muestra de esta población, es decir, un subconjunto de la población a estudiar. El diseño de muestreo especifica el método de obtención de la muestra, pero no especifica la forma de recolectar o medir los datos reales. A partir de la muestra se tomará medición de un objeto, al cual se le conoce como un elemento. Los elementos pueden ocurrir individualmente o en grupos. Un grupo de elementos se llama unidad de muestreo. Por otra parte, las unidades muestrales son colecciones disjuntas (o ajenas) de elementos de la población; en algunos casos, una unidad muestral está constituida 54
por un solo elemento. Ahora bien, para seleccionar una muestra aleatoria de unidades muestrales, es necesaria una lista de todas las unidades muestrales contenidas en la poblaciĂłn, esta lista se llama marco muestral. Al efectuar una encuesta por muestreo, la primera tarea consiste en la identificaciĂłn de las unidades muestrales y en la construcciĂłn del marco que contiene la lista de dichas unidades. De acuerdo con el diseĂąo del muestreo, se selecciona un nĂşmero predeterminado
Tipos de muestreo Existen varios tipos de muestreo entre los cuales se debe elegir la población y el tipo de muestras que se pueden (o se deben) obtener, ello dependiendo de la naturaleza del experimento. Aquà se hace una distinción entre muestreo aleatorio y muestreo no aleatorio. Revisa el siguiente recurso donde se muestra en quÊ consisten los tipos de muestreo aleatorio. MUESTREO ALEATORIO El muestreo aleatorio se utiliza en estudios formales, en los cuales el rigor metodológico es necesario para establecer conclusiones vålidas y formales. Algunos tipos de muestreo aleatorio son: 
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Muestreo aleatorio simple: Consiste en seleccionar la muestra mediante un mĂŠtodo que permita garantizar que cualquier elemento de la poblaciĂłn tenga la misma probabilidad de ser incluido en la muestra. Muestreo aleatorio estratificado: Se utiliza cuando la poblaciĂłn no es homogĂŠnea y existen subgrupos con caracterĂsticas diferentes, pero bien determinadas llamadas estratos. Para cada estrato se selecciona una submuestra del total, seleccionando las unidades de cada estrato mediante un muestreo aleatorio simple. Muestreo por conglomerados: Se utiliza principalmente cuando la poblaciĂłn se encuentra muy dispersa y resulta muy costoso aplicar el muestreo aleatorio simple. Consiste en subdividir a la poblaciĂłn en grupos llamados conglomerados que cumplen con ser mutuamente excluyentes y cuya uniĂłn forma el total de la poblaciĂłn. Muestreo sistemĂĄtico: En este caso se calcula el tamaĂąo n de la muestra que deberĂĄ ser obtenida como en el muestreo aleatorio simple. DespuĂŠs, se obtiene
đ?‘Ľâ‚
un nĂşmero aleatorio que permite obtener el primer elemento de la muestra, al final, el resto de los elementos se obtienen mediante la siguiente relaciĂłn:
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đ?‘‹đ?‘–+1
đ?‘ = đ?‘‹đ?‘– + ( ) đ?‘›
A El muestreo puede realizarse con reemplazo o sin reemplazo. En el muestreo con reemplazo, luego de seleccionar algĂşn elemento, este es sustituido por otro igual (con frecuencia ĂŠl mismo) y despuĂŠs, se selecciona el siguiente de entre el total de la poblaciĂłn. Por otra parte, el muestreo sin reemplazo se caracteriza porque una vez que se selecciona un elemento de la poblaciĂłn, este no se sustituye y, por lo tanto, el siguiente elemento muestreado se obtiene de los de la poblaciĂłn que no habĂan sido seleccionados hasta ese momento.
El muestreo no aleatorio se utiliza principalmente en estudios de caråcter exploratorio. Este muestreo es subjetivo, ya que no se pretende estimar los paråmetros de la población sino obtener indicadores que permitan suponer cierto comportamiento de los paråmetros. Ahora, revisa el siguiente recurso donde se muestra en quÊ consisten los tipos de muestreo no aleatorio. 
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Muestreo por cuotas. Se basa en el buen conocimiento de los estratos de la poblaciĂłn y de las unidades mĂĄs representativas de cada estrato. Es como un muestreo estratificado no aleatorio. Muestreo por conveniencia. Consiste en seleccionar las unidades muestrales que mejor se adaptan a las conveniencias de la investigaciĂłn. Por ejemplo, al seleccionar a las personas que de manera voluntaria estĂĄn dispuestas a opinar respecto a algĂşn tema. Muestreo intencional. El investigador selecciona las unidades muestrales que a su juicio son las mĂĄs representativas, ello con base en un conocimiento previo de la poblaciĂłn. Bola de nieve. Se aplica cuando las unidades muestrales de la poblaciĂłn son desconocidas. AquĂ se busca y selecciona una observaciĂłn inicial al azar, luego se buscan las otras con la informaciĂłn recabada de la primera y asĂ sucesivamente.
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La población que se estudia mediante muestreo puede ser considerada finita o infinita. Se dice que una población es infinita cuando se desconoce el número de elementos que la forman o bien, son relativamente muchos. Un criterio que se puede utilizar para determinar si la población es finita o infinita es el siguiente: cuando el tamaño de la muestra aceptable es menor al 5% del tamaño de la población, se considera que la población es infinita. Por supuesto, esto solo es una forma de hablar y no debe confundirse con el concepto de infinito.
Estadística descriptiva Se puede definir como una técnica que permite poner los datos estadísticos en forma tabular legible. Algunos aspectos de la estadística descriptiva son:
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Ejercicio: Muestreo estadístico del Melate ¡Ahora sí! con todos los conceptos aprendidos sobre estadística, procede al análisis de juego. Es importante que navegues a lo largo del siguiente recurso entendiendo cada uno de los pasos, ya que sólo así podrás compartir este proceso a tus estudiantes.
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Actividad de Reflexión Se espera que los temas vistos a lo largo de este curso te hayan permitido resignificar conocimientos que seguramente en tu formación profesional estudiaste. Se utiliza el término de resignificación porque lo que se intentó es resignificar tu práctica de enseñanza apegándose a los nuevos postulados que la Nueva Escuela Mexicana, la cual fomenta romper con cierta “didáctica” que señala se deben compartir ciertos saberes en determinadas etapas, fragmentando con ello, el conocimiento. De acuerdo a la Trayectoria 0 -23 se pretende que compartas todo tipo de temas matemáticos en Educación Media Superior y que los enseñes vinculándolos con otros niveles educativos y con otras áreas de conocimiento, ya viste que es posible, con el apoyo de recursos educativos tales como: cuentos, videos, infografías, pero sobre todo utilizando un lenguaje matemático adecuado. Esperamos te haya gustado, pero sobre todo que lo aprendido aquí lo traslades a tus estudiantes, las siguientes actividades son de cierre. Para saber si el curso logró el objetivo de vincular los conocimientos vistos en este curso con los nuevos postulados que la Nueva Escuela Mexicana plantea.
Es necesario que realices esta actividad para poder realizar la siguiente actividad que es la Valoración de cierre. .
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Valoración de cierre y encuesta de mejora Al iniciar este curso se te pidió valorar los conocimientos con los que ingresabas, ahora se te invita a evaluar los mismos conocimientos después de tomar el curso, eso te ayudará a identificar qué puntos matemáticos reforzaste ¡Adelante! Da clic en el siguiente botón para ver las instrucciones para realizar tu valoración de cierre.
Ahora, una vez que has evaluado los conocimientos aprendidos, es importante que evalúes el curso, ya que tus impresiones y sugerencias ayudarán a mejorarlo. Da clic en el siguiente botón para conocer las instrucciones y realizar tu encuesta.
Es necesario que realices estas actividades para poder ingresar a la
Actividad 5, con ello podrás concluir el curso satisfactoriamente.
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Actividad 5 Para cerrar tu primera lección, realiza la actividad 5. Da clic en el siguiente botón para abrirla, en ella encontrarás cada uno de los pasos a realizar para poder llevarla a cabo con éxito.
Cierre
Esperamos te haya gustado este curso Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras, pero sobre todo que lo aprendido aquí lo puedas enseñar a tus estudiantes.
¡Comparte tu alegría de ser matemático y motiva a tus estudiantes a vivir las matemáticas!
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Gracias por participar, se te obsequia una medalla que representa una insignia de que has cumplido con una de las premisas más importantes de ser un buen docente, a saber, siempre seguir aprendiendo y formándote ¡maestras y maestros como tú, son indispensables en el proyecto planteado por la Nueva Escuela Mexicana!
Bibliografía Gutiérrez-Pulido, H. y De la Vara Salazar, R. (2008), Diseño y análisis de experimentos, 2a. ed., McGraw-Hill, México. Cochran William G. (1992), Técnicas de Muestreo. ISBN 968-26-0151-7, CECSA Johnson Robert, Kuby Patricia (1999), Estadística elemental, lo esencial. ISBN 968-7529-10-5. Internacional Thomson editores. Mendenhall William, Beaver Robert J., Beaver Barbara M. (2006), Introducción a la probabilidad y estadística. ISBN-13:978-607-481-305-0, CENGAGE Learning. Walpole Ronald E., Myers Raymond H. (1992), Probabilidad y estadística. ISBN 968-422-992-5. Mc Graw Hill.
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