Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 2. ¿Qué pasa con el infinito? Lección 2. La serie infinita
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencias de la lección 2 ........................................................................................................................ 3 Introducción a límites .............................................................................................................................................. 3 La invención del cálculo diferencial e integral .................................................................................... 3 El significado de límite ............................................................................................................................................ 5 Concepto de límite ............................................................................................................................................... 5 Definición 1 ................................................................................................................................................................. 7 Inconveniente de la definición 1 ................................................................................................................... 8 Cambiando el enfoque ....................................................................................................................................... 9 Definición 2 ............................................................................................................................................................... 11 Definición 3 .............................................................................................................................................................. 14 Ejemplo ...................................................................................................................................................................15 Series ................................................................................................................................................................................ 17 Serie infinita ............................................................................................................................................................. 17 Serie geométrica ................................................................................................................................................. 24 Actividad 3.....................................................................................................................................................................35 Cierre ................................................................................................................................................................................35 Bibliografía ................................................................................................................................................................... 36
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Competencias de la lección 2
Analizarás el significado del límite mediante el análisis de distintas gráficas que te permitan ir desarrollando una buena definición, con la finalidad de comprender las series infinitas en series geométricas.
Introducción a límites La invención del cálculo diferencial e integral En la lección anterior estudiaste funciones, la noción de infinito según Cantor y, brevemente te acercaste a la rama de las matemáticas llamada hoy cálculo diferencial e integral. Así, viste que la invención del cálculo se atribuye principalmente a dos hombres: Newton y Leibniz. Sin embargo, es importante señalar que el cálculo es el producto de una larga evolución de ideas que cobraron un nuevo significado a partir del trabajo de ellos. No en vano el mismo Newton afirmó: <<si logré ver más lejos, fue gracias a que estaba parado en hombros de gigantes>>. El gran mérito de ambos fue reconocer una relación íntima entre los siguientes problemas: determinar las rectas tangentes a una curva (problema fundamental del cálculo diferencial), y, por otro lado, determinar el área debajo de una curva (problema fundamental del cálculo integral). A partir de esto, construyeron uno de los instrumentos más poderosos de la ciencia.
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Antes de enseñar cálculo, ¿compartes con tus estudiantes quienes inventaron el cálculo diferencial e integral?
Revisa estos dos datos importantes.
https://youtu.be/ VXs4dpBwVHA? t=780
https://youtu.be/ov 6kRag2YA0
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El significado de lĂmite Concepto de lĂmite El lĂmite de una funciĂłn es un concepto que es esencial para el estudio del cĂĄlculo diferencial e integral, en este apartado estudiarĂĄs dos casos particulares que son muy importantes.
La expresiĂłn
đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = đ?‘ł
đ?’™â†’∞
se lee:
el lĂmite de f de x cuando x “tiendeâ€? al infinito, es L En las siguientes grĂĄficas puedes observar 2 ejemplos de funciones que tienden a
L
đ?‘Ľ tiende a infinito. En ambos casos, la recta paralela al eje X estĂĄ dada por la ecuaciĂłn đ?‘Ś = đ??ż . cuando
Las grĂĄficas corresponden a funciones que tienden a L cuando x tiende a infinito.
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DefiniciĂłn 1 Si el objetivo es encontrar una buena definiciĂłn al lĂmite de
đ?‘“(đ?‘Ľ)
es
L cuando đ?‘Ľ
tiende a infinito, esta podrĂa ser:
Revisar el botĂłn de GeoGebra para que puedas visualizarlo grĂĄficamente y ver como las distancias cada vez son mĂĄs pequeĂąas para valores a la derecha del punto
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đ?‘Ľ0 .
https://www.geogebra.org/classic/cdn3y2td
Inconveniente de la definición 1 Aunque la proposición que se ha enunciado como candidata a la definición es adecuada para los ejemplos que se te han dado, debes saber que hay otras funciones que tienden a
L cuando 𝑥
tiende a infinito y, sin embargo, no se ajustan a esta
proposición. Observa la siguiente gráfica:
Si observas a detalle, la gráfica no satisface la proposición enunciada anteriormente, por lo que dicha proposición no sería una buena definición.
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đ?‘Ľ0 para el cual no todas las imĂĄgenes de puntos a la derecha disten de L menos que la distancia de đ?‘“ (đ?‘Ľ0 ) a L; es decir, que hay por lo menos algĂşn punto, llĂĄmale đ?‘Ľ , a la derecha de đ?‘Ľ0 tal que la distancia de đ?‘“(đ?‘Ľ) a L no es menor que la distancia de đ?‘“ (đ?‘Ľ0 ) a L, o lo que es lo mismo: que exista algĂşn punto đ?‘ĽËƒđ?‘Ľ0 tal que đ?‘‘ (đ?‘“ (đ?‘Ľ ), đ??ż ) ≼ đ?‘‘ (đ?‘“ (đ?‘Ľ0 ), đ??ż ) Puedes ver que es posible encontrar un punto
ÂżCĂłmo se puede mejorar la propuesta de definiciĂłn?
Cambiando el enfoque Para mejorar la propuesta de definiciĂłn, debes cambiar el enfoque, es mejor considerar una distancia que usualmente se le llama ĂŠpsilon ( ) , pequeĂąa como
đ?œ€
quieras, y preguntarte si puedes encontrar un nĂşmero real N tal que, a partir de N, es decir, si
đ?‘Ľ es mayor que N entonces la distancia de đ?‘“(đ?‘Ľ)a L
sea menor que el
nĂşmero que se ha dado.
đ?œ€
En la siguiente grĂĄfica puedes observar esta situaciĂłn. Dado un nĂşmero por pequeĂąo que sea, se puede encontrar en el dominio de la funciĂłn un punto que se le llamarĂĄ N (como se muestra en la grĂĄfica), tal que la funciĂłn a partir de ese punto se quedarĂĄ en la vecindad de
L de radio đ?œ€ .
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Observa que en la grĂĄfica, esta vecindad estĂĄ acotada con las lĂneas punteadas en azul. Revisa el recurso GeoGebra para que observes como esta funciĂłn a partir de N queda “encerradaâ€? en la vecindad definida por las rectas
đ??ż + đ?œ€yđ??ż − đ?œ€
Puedes verificar que esta proposiciĂłn la cumplen los casos anteriores que se habĂan considerado.
https://www.geogebra.org/classic/crmxbcka
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DefiniciĂłn 2 De acuerdo con lo anterior, se tiene la siguiente definiciĂłn:
Con toda razĂłn te puedes preguntar si esta proposiciĂłn es una buena definiciĂłn. La respuesta es SI (hasta el momento).
El significado del đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = ∞ đ?’™â†’∞
La expresiĂłn
đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = ∞
đ?’™â†’∞
se lee: el lĂmite de f de x es infinito cuando x tiende a infinitoâ€? o “ f y “tiendeâ€? a infinito cuando x tiende a infinito. Esto parece demasiado abstracto, avanza para ver lo que se afirma con esta igualdad.
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Si le pides a tus estudiantes que dibujen una función que se vaya al infinito cuando x tiende a infinito, es altamente probable que dibujen una gráfica que en algún “momento” la función sólo sea creciente, como la que se muestra a continuación.
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De manera intuitiva, tienes que el lĂmite de una funciĂłn
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) es infinito cuando đ?‘Ľ
đ?‘“ (đ?‘Ľ )
đ?‘Ľ
tiende a infinito, si a medida que crece, tambiĂŠn lo hace. Claramente, la grĂĄfica anterior cumple con esta “definiciĂłnâ€?, ahora se va a precisar lo que aquĂ estas observando. Dada la grĂĄfica de la funciĂłn que se muestra en la figura de arriba, si se toma cualquier
đ?‘Ľ
punto 0 en el dominio de la funciĂłn, entonces para cualquier valor tal que:
đ?‘Ľ1 en el dominio
đ?‘Ľ1 ˃đ?‘Ľ0 el valor que le corresponde bajo la funciĂłn es tal que
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đ?‘“(đ?‘Ľ_1) ˃ đ?‘“(đ?‘Ľ_0)
Definición 3 Sin embargo, con la proposición anterior, no se consideran funciones como la siguiente:
𝑥
Claramente, la función que tiene esta gráfica tiende a infinito cuando tiende a infinito y no cumple con lo que se afirmó en la proposición anterior; de esta manera se tiene que encontrar una proposición que también contemple este caso. La proposición que se muestra a continuación es la definición que se busca.
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Visualizar y analizar un ejemplo que te ayudarĂĄ a fortalecer la definiciĂłn anterior.
Ejemplo
Ejemplo: Considera
�(�): � → � dada por
đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ . 2
Intenta demostrar que đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = ∞ đ?’™â†’∞
ÂżLo lograste? (Ve la respuesta abajo)
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Respuesta:
Dado M un nĂşmero real positivo, y considerando N como đ?‘€, entonces si đ?‘Ľ > đ?‘ , se tiene que đ?‘Ľ ˃ đ?‘€, y en consecuencia, đ?‘Ľ 2 = đ?‘“(đ?‘Ľ) ˃ đ?‘€ Por lo que se puede afirmar que đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ?’™) = ∞ đ?’™â†’∞
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Series Para comenzar con el tema de las series, revisa el siguiente video.
https://www.youtube.com/embed/u7Z9UnWOJNY
En el video anterior viste una de las paradojas más famosas que existen alrededor del infinito y de las series; 2,000 años más tarde con la introducción de las series infinitas en los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empiezan a considerar que es posible extender la idea de sumar sumandos finitos a sumas de un número infinito de sumando.
Serie infinita
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AsĂ que para saber cuĂĄnto tiempo tardĂł Aquiles en recorrer toda la pista, necesitas sumar todos y cada uno de los tiempos que realizĂł por recorrido. SimbĂłlicamente esto se representa cĂłmo:
đ?‘€+
đ?‘€ đ?‘€ đ?‘€ đ?‘€ + + + â‹Ż + đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż 2 4 8 2
Este es un ejemplo de una serie infinita, tambiĂŠn puedes representar esta serie cĂłmo:
∞
∑ đ?‘›=1
đ?‘€ 2đ?‘›âˆ’1
ÂżCuĂĄl es el resultado de esta serie infinita? La experiencia te dice que es mĂĄs fĂĄcil encontrar el tiempo que hizo Aquiles en recorrer toda la pista, pues como sabes que tardĂł M minutos en recorrer la primera mitad de la pista, entonces puedes concluir que tardĂł 2M minutos en total, si corriĂł a una velocidad constante. Esto sugiere que:
đ?‘€+
đ?‘€ đ?‘€ đ?‘€ đ?‘€ + + + â‹Ż + đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż = 2M 2 4 8 2
Ahora compara lo que se obtiene de la experiencia, con el mĂŠtodo que se darĂĄ para calcular la suma de la serie infinita.
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Visualiza un video donde el autor obtiene la misma conclusiĂłn, mediante un mĂŠtodo por demĂĄs ingenioso.
https://youtu.be/EfqVnj-sgcc
Serie geomĂŠtrica La serie geomĂŠtrica es de la forma:
∞
∑ đ?’‚đ?’“đ?’? = đ?’‚ + đ?’‚đ?’“ + đ?’‚đ?’“đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’“đ?’? + â‹Ż đ?’?= đ?&#x;Ž
Con đ?’‚, đ?’“
∈ â„?, đ?’‚ ≠đ?&#x;Ž , đ?’“ ≠đ?&#x;?
Para encontrar una expresiĂłn “mĂĄs sencillaâ€? de la suma parcial y encontrar el lĂmite cuando
đ?‘› tiende a infinito realiza lo siguiente:
đ?’?
đ?‘şđ?’? = ∑ đ?’‚đ?’“đ?’Œ = đ?’‚ + đ?’‚đ?’“ + đ?’‚đ?’“đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’“đ?’? đ?’Œ= đ?&#x;Ž
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đ?’?
đ?’“đ?‘şđ?’? = ∑ đ?’‚đ?’“đ?’Œ+đ?&#x;? = đ?’‚đ?’“ + đ?’‚đ?’“đ?&#x;? + đ?’‚đ?’“đ?&#x;‘ + â‹Ż + đ?’‚đ?’“đ?’?+đ?&#x;? đ?’Œ= đ?&#x;Ž
đ?’?
đ?’?
(đ?&#x;? − đ?’“)đ?‘şđ?’? = ∑ đ?’‚đ?’“đ?’Œ − ∑ đ?’‚đ?’“đ?’Œ+đ?&#x;? = đ?’‚ − đ?’‚đ?’“đ?’?+đ?&#x;? đ?’Œ=đ?&#x;Ž
Si |đ?‘&#x;|
đ?’Œ=đ?&#x;Ž
< 1 entonces se tiene que:
đ?‘Ž(1 − đ?‘&#x; đ?‘›+1 ) lim đ?‘†đ?‘› = lim =đ??ż đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ 1−đ?‘&#x; Para algĂşn converge.
đ??ż ∈ â„?.
Por lo que se tiene que la serie
En la lecciĂłn anterior, viste el proceso para construir la curva de Koch y completaste la siguiente tabla para el n-ĂŠsimo paso.
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A partir de esta tabla, pregúntate ¿qué pasaría si repites este mismo procedimiento una infinidad de veces?, ¿podrías saber cuánto mide cada segmento de tu figura y, más aún, podrías calcular la longitud total?
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IMPORTANTE: Este recurso es fundamental para poder realizar correctamente tu
Actividad 3, por lo que es necesario que lo revises a detalle.
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Recuerda que al comienzo de esta lecciĂłn vimos la curva de Koch y encontraste que la suma de cada uno de los segmentos en el paso n-ĂŠsimo es igual a:
4 đ?‘› ( ) 3 De modo que para calcular el perĂmetro de esta figura es suficiente multiplicar 3 por
4 đ?‘›
(3)
y, consecuentemente, para calcular el perĂmetro de esta figura cuando
a infinito, sĂłlo debes encontrar el siguiente lĂmite:
4 đ?‘› 4 đ?‘› đ?‘™đ?‘–đ?‘š 3 â‹… ( ) = 3 đ?‘™đ?‘–đ?‘š ( ) = ∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ 3 3
Este Ăşltimo lĂmite nos indica que, esa figura de la que sabemos que tiene un ĂĄrea finita, ÂĄtiene un perĂmetro infinito!
ÂĄÂżAcaso no es sorprendente?!
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đ?‘› tiende
Actividad 3 Para cerrar tu primera lección, realiza la siguiente actividad. Da clic en el siguiente botón para abrirla, en ella encontrarás cada uno de los pasos a realizar para poder llevarla a cabo con éxito.
Recuerda utilizar la Lista de cotejo antes de subir tu actividad a la plataforma, con el objetivo de que verifiques que cumples con cada uno de los aspectos que se te van a evaluar y obtengas el máximo de puntos.
Cierre ¡Excelente trabajo! Haber llegado hasta aquí es todo un logro, recibe un reconocimiento y esta insignia. ¡Felicidades! Para cerrar tu curso, en último módulo abordarás algunos temas de las matemáticas financieras, que como sabes, tienen una gran influencia en la economía global y en la toma de decisiones financieras de las personas.
¡Continua así, estás a sólo un paso de concluir!
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Bibliografía Bell, E.T. Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 2010. Cantor, G. Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta), edición de José Ferreirós; Barcelona, Crítica, 2006. Stwewart,I., Historia de las matemáticas, Barcelona, Crítica, 2008.
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