Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 2. ¿Qué pasa con el infinito? Lección 1. ¿Qué pasa con el infinito?
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencias de la lección 1 ......................................................................................................................... 3 Introducción a límites y sucesiones ................................................................................................................ 3 Conjuntos finitos y conjuntos infinitos ..................................................................................................... 3 Definición de conjunto infinito...................................................................................................................... 8 Construcción de una figura ............................................................................................................................. 9 Verificación y visualización de Figura ..................................................................................................... 17 Introducción a funciones ..................................................................................................................................... 18 Caso 1 “El baile escolar” ..................................................................................................................................... 18 Definición ..................................................................................................................................................................25 Características ....................................................................................................................................................... 26 Ejemplo ................................................................................................................................................................. 28 El infinito de Cantor ............................................................................................................................................... 30 El concepto de cardinalidad ....................................................................................................................... 30 Ejemplo ................................................................................................................................................................. 37 El hotel de Hilbert ............................................................................................................................................... 38 El cálculo................................................................................................................................................................... 39 Sucesión fundamental .................................................................................................................................... 40 Foro................................................................................................................................................................................... 49 Cierre ............................................................................................................................................................................... 49 Referencias bibliográficas .................................................................................................................................. 49
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Competencias de la lección 1
Analiza el tema del infinito así como los conjuntos finitos e infinitos, mediante el abordaje de ejemplos que le permitan identificar las características que se encuentran en las funciones, con el objetivo de mostrar a sus estudiantes la importancia de los conjuntos en la resolución de problemas reales.
Introducción a límites y sucesiones Conjuntos finitos y conjuntos infinitos Bienvenida y bienvenido a este nuevo módulo, en el cual te introducirás en el estudio del infinito, seguramente debido a tu formación profesional, en algún momento te habrás cuestionado –no matemáticamente sino filosóficamente-, que es el infinito. Revisa el siguiente video, donde la Mtra. Adriana León reflexiona sobre algunas premisas sobre el concepto del infinito.
https://www.youtube.com/embed/RRCuWrwRrX4
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De acuerdo al video anterior, preguntarse acerca del infinito podría ser tan natural como ver el cielo y adentrarse en la profundidad del espacio. ¿Has tenido la oportunidad de reflexionar con tus estudiantes sobre el infinito?, ¿cómo los introduces en este tema?
Estudiar el tema del infinito, es estudiar conjuntos, los cuales se pueden clasificar en dos tipos: conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Existen diversos ejemplos para conjuntos finitos, pero ¿qué ejemplos conoces de conjuntos infinitos? Da clic en el siguiente recurso para visualizar algunos ejemplos
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DefiniciĂłn de conjunto infinito
ÂżCĂłmo saber cuĂĄndo un conjunto es infinito? Como pasa con muchos conceptos complejos, fue mucho el tiempo que llevĂł a la humanidad alcanzar una definiciĂłn correcta de conjunto infinito. Hasta finales del siglo XIX, ningĂşn matemĂĄtico habĂa logrado describir el infinito mĂĄs allĂĄ de la idea de que es un valor absolutamente inalcanzable. Fue el gran matemĂĄtico Georg Cantor el primero en abordar a fondo un concepto tan abstracto; y lo hizo desarrollando la TeorĂa de conjuntos, sus contribuciones han permitido un estudio mĂĄs amplio en diversas ramas de las matemĂĄticas. A continuaciĂłn se darĂĄ la definiciĂłn formal de infinito, pero mĂĄs adelante se abordarĂĄn algunas ideas de Cantor.
Observa que, por ejemplo, el conjunto de los nĂşmeros enteros puede ponerse en correspondencia biunĂvoca con el conjunto de los enteros pares mediante la funciĂłn
đ?‘“(đ?‘›) = 2đ?‘›
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En la lección 2 del Módulo 1, analizaste los sistemas de desigualdades lineales con dos incógnitas y en los casos estudiados, se observó que su conjunto solución es un polígono (incluyendo su interior), este conjunto es una región del plano. Recapitulando un poco, estudiaste que la función que se quería minimizar o maximizar representa rectas paralelas y que el máximo o mínimo se obtenía cuando una de esas rectas entra o sale de la región poligonal, finalmente, se afirmó que esa entrada o salida de la región poligonal toca algún vértice del polígono. Podrías preguntarte por el perímetro y el área de tales polígonos. Observa que a pesar de que estas regiones del plano constan de un número infinito de puntos, tanto su perímetro como su área son finitos. Si juegas un poco con estos conceptos:
Construcción de una figura A lo largo de este módulo 2 tratarás de descubrir la respuesta a la pregunta: ¿Existirá alguna figura cuya área sea finita, es decir, un número real no negativo, pero que su perímetro sea infinito? Para ello, te apoyarás de la relación que existe entre el álgebra, la geometría y el cálculo a través del estudio de sucesiones, series y límites.
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A continuaciĂłn, realiza la construcciĂłn de una figura.
Navega en el siguiente recurso siguiendo cada uno de los pasos seĂąalados.
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Verificaci贸n y visualizaci贸n de Figura Se espera que hayas logrado obtener las respuestas derivadas de la construcci贸n de tu figura, para comprobar que son correctas, da clic en el siguiente bot贸n:
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La construcciĂłn antes dada, corresponde a la curva de Koch, creada por el matemĂĄtico sueco Helge von Koch en 1904. Da clic en el botĂłn de GeoGebra, para que visualices el comportamiento de la figura que estĂĄs construyendo (este enlace comienza la construcciĂłn con un segmento de longitud 9).
https://www.geogebra.org/m/ZC59tnbh
Ahora, pregĂşntate, si repites el proceso y consideras el
đ?‘›
lĂmite cuando tiende a infinito; ÂżcĂłmo quedarĂĄ la figura?, ÂżcuĂĄl es la longitud de cada segmento?, ÂżcuĂĄl serĂĄ la medida de la longitud de la figura? Para contestar esto, debes estudiar las funciones y nociones del infinito. ÂĄAvanza con dicho tema!
IntroducciĂłn a funciones Caso 1 “El baile escolarâ€? Para comenzar este tema, quĂŠ mejor que hacerlo con un ejemplo muy sencillo, revisa a detalle de quĂŠ se trata, recuerda que estos ejemplos son Ăştiles para que introduzcas a tus estudiantes en el tema de las funciones.
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Observa que el problema se resolviรณ fรกcilmente al formar parejas, es decir, al establecerse una relaciรณn entre el conjunto de alumnas con el conjunto de alumnos. 23
Si das un par de reglas más para el baile, tales como:
De modo que, si dos hombres distintos invitan a bailar a una misma mujer, y ella acepta, esto está permitido. Como consecuencia, las alumnas pueden bailar con dos o más alumnos distintos, y, si ella no acepta bailar con ninguno de ellos está bien. Así, la relación de baile se podría ver como la figura de abajo:
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Definiciรณn Revisa el siguiente recurso para ver la definiciรณn de funciรณn.
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A continuación, estudiarás de qué manera se pueden comparar el número de elementos entre conjuntos infinitos. Esto lo realizarás a partir de las funciones.
La introducción de la notación funcional a los estudiantes debe hacerse con cuidado, en primera instancia el uso de paréntesis que ha tenido el estudiante es
𝑎(𝑏 + 𝑐 ), o para denotar prioridad en las operaciones (por ejemplo 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). en general para denotar multiplicación, (por ejemplo
El uso de la notación funcional que se lee significados anteriores.
𝑓 aplicado a 𝑎 no tiene ninguno de los
Características Sean A y B dos conjuntos de cardinalidad finita; las cardinalidades de A y de B te pueden dar información sobre las características de la función.
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Considera el conjunto A como el conjunto de números naturales del 1 al 8 y B al conjunto cuyos elementos son:
Por los puntos anteriores, sabes que no existe una función inyectiva de A en B, por ejemplo, para cualquier regla de correspondencia que definas de A en B, existirá al menos un elemento del conjunto B que está asociado con dos o más elementos de A, observa con detenimiento el siguiente diagrama:
Como viste en el ejemplo anterior, la cardinalidad del dominio y contradominio permite determinar qué tipo de funciones sí puedes definir y cuáles no. Cabe señalar que estas se realizaron en el caso de conjuntos finitos, pero ¿qué pasaría si consideras conjuntos cuya cardinalidad no es finita
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Ejemplo El dominio de esta funciĂłn es el conjunto de nĂşmeros naturales, el codominio es el conjunto de los nĂşmeros cuadrados de los nĂşmeros naturales. Lo que se harĂĄ a continuaciĂłn permitirĂĄ demostrar que estos conjuntos son de cardinalidad infinita. Se define una funciĂłn entre ellos como: a cada nĂşmero natural se le asocia a su cuadrado, por ejemplo, đ?‘“(1) = 1, đ?‘“(2) = 4, đ?‘“(3) = 9, etc.
Esta funciĂłn es una correspondencia biunĂvoca, es decir, que es una funciĂłn inyectiva y suprayectiva; o sea, es una funciĂłn biyectiva. De la que se concluye que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, dicho de otra manera, existe la misma cantidad de los nĂşmeros naturales que de nĂşmeros naturales cuadrados. Lo anterior, permite demostrar que ambos conjuntos son de cardinalidad infinita pues existe una biyecciĂłn entre ellos y el segundo es un subconjunto propio del primero, ademĂĄs, de tener un ejemplo donde se pueden comparar conjuntos infinitos.
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Dato curioso. Galileo afirmaba que no se podían realizar este tipo de comparaciones infinitas, afirmando:
No obstante, años más tarde un matemático alemán llamado Georg Cantor (18451918), se atrevió a medir y comparar colecciones infinitas, y sacar conclusiones a partir de estas comparaciones, esto último es lo que abordarás a continuación…
Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva (correspondencia biunívoca) entre ellos. Da clic en la siguiente imagen para ver la definición de función biyectiva. https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
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El infinito de Cantor El concepto de cardinalidad Como ya se aseveró anteriormente, Cantor desarrolló la Teoría de conjuntos, de la cual concluyó que hay infinitos de distintos tamaños. En otras palabras, se basa en la idea de que es posible comparar cantidades infinitas, es decir, poder determinar si un infinito es mayor, igual o menor que otro infinito. Sin embargo, hablar de “cantidades” en conjuntos infinitos se presta a confusión, pues -como viste en el módulo anterior-, el infinito no es un número. De modo que Cantor tuvo la necesidad de definir un nuevo concepto, a saber, el de cardinal, que viene a representar la noción de cantidad de elementos en un conjunto finito o infinito, pero sin hablar explícitamente. Cuando dos conjuntos infinitos tienen la misma cantidad de elementos, entonces se dirá que los conjuntos tienen la misma cardinalidad. Antes se te ha dado un ejemplo, el conjunto de números naturales tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los cuadrados de los números naturales. Ahora, puedes preguntarte:
¿Cualesquiera dos conjuntos infinitos tendrán la misma cardinalidad?
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Al inicio de esta lecciĂłn, revisaste ejemplos de conjuntos infinitos; el conjunto de nĂşmeros naturales y el conjunto de los nĂşmeros enteros, dado que es importante que estudies el infinito desde el punto de vista de Cantor, puedes preguntarte cada una de las cuestiones mostradas en el siguiente recurso, es necesario que reflexiones cada una, antes de pasar al siguiente contenido.
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Se te sugiere que las cuestiones planteadas en el recurso, las puedas plantear a tus estudiantes en el aula, esto les ayudará a desarrollar su capacidad de pensar, además de quitarles la vieja concepción matemática como “un sistema cerrado y complejo de entender”.
Para responder la pregunta planteada en el recurso anterior, es decir, ¿qué infinito es más grande, el de los naturales o el de los enteros o serán iguales? Debes determinar qué tipo de funciones puedes definir entre el conjunto de números naturales y enteros. Si logras encontrar una función biyectiva, entonces la cardinalidad de los números naturales es la misma que la del conjunto de los números enteros.
Por otra parte, si no logras encontrar una función biyectiva entre estos conjuntos, tendrías que probar que no existe y, en ese caso, dirías que el infinito que representa la cardinalidad de los números naturales es menor que el infinito que representa la cardinalidad de los números enteros.
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ReflexiĂłn:
Comparar infinitos rompe con tu intuiciĂłn, ĂŠsta te podrĂa decir que, en el ejemplo anterior, el conjunto de los nĂşmeros enteros tiene el doble de elementos que el
đ?‘ ⊆đ?‘?
conjunto de los naturales, pues , pero con la correspondencia uno-a-uno, que se acaba de exhibir, se concluye que tienen la misma cardinalidad. ÂżPodrĂan encontrar otro ejemplo de infinitos que sean iguales?
Ejemplo Observa el siguiente ejemplo de funciĂłn: Esta funciĂłn no es una funciĂłn biyectiva, pues en la columna derecha no aparece la colecciĂłn completa de los nĂşmeros enteros, en otras palabras, hay nĂşmeros enteros que no son imagen de ningĂşn nĂşmero natural bajo la funciĂłn descrita. Pero, insistimos que esta funciĂłn no sea biyectiva no quiere decir que no podamos encontrar una que sĂ lo sea, observa la siguiente funciĂłn:
Ahora, observa la siguiente funciĂłn:
Esta funciĂłn sĂ es biyectiva, observa que todo nĂşmero natural estĂĄ relacionado con uno y solamente un nĂşmero entero y viceversa, cada nĂşmero entero es la imagen de uno y solamente un nĂşmero natural. Como consecuencia de esto, concluimos que hay tantos nĂşmeros naturales como nĂşmeros enteros.
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El hotel de Hilbert La idea de Cantor de comparar infinitos que lo llevaron a afirmar que “hay infinitos de distintos tamaños”, desafío el conocimiento de muchos matemáticos. Uno de ellos, fue el matemático David Hilbert (1862-1943) quien diseñó una historia ficticia muy interesante e ilustrativa que sirvió –y aún sirve–, para ejemplificar la teoría de Cantor. Da clic en el siguiente video para reproducir la historia, la cual se conoce como el Hotel de Hilbert.
https://youtu.be/iAF37vVeV-Y
Si deseas saber un poco más sobre la noción de infinito de Cantor y sobre cómo hizo para concebir el conjunto de infinitas fracciones.
https://www.youtube.com/watch?v=lL19Edn1QEI&feature=youtu.be&ab_channel=Ric ardoLuna
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El cálculo ¿Por qué Cantor se dedicó al estudio de los conjuntos infinitos? ¿qué fue lo que lo motivó? Se dice que el cálculo es una rama de las matemáticas cuyo objetivo es el estudio de los objetos infinitamente grandes y de los objetos infinitamente pequeños y, aunque hay algo de razón en esto, pensar que el cálculo se describe como esto último, es inexacto. Cabe señalar que se puede demostrar que el conjunto de números naturales, enteros y racionales tienen la misma cardinalidad, sin embargo, se puede demostrar que el conjunto de los números reales tiene una cardinalidad infinita mayor que la de estos conjuntos.
¿Quieres compartir a tus estudiantes un video muy divertido que seguro les encantará? Se trata de un chico peleonero y problemático que se convirtió en un hombre de ciencia, sí de Newton y de aquel hombre que se atrevió a enfrentarlo… ¿recuerdas quién era?
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https://youtu.be/fOIPCSpCNVA
Sucesión fundamental En la lección 1 de tu primer módulo, estudiaste los números reales, ahí se concluyó que la propiedad que los caracteriza es la completez o completitud. Cantor se involucra con este concepto y define otro concepto llamado sucesión fundamental. Revisa con detenimiento el siguiente recurso, en el cual se aborda el concepto sucesión fundamental y de su influencia en la concepción del infinito actual. El infinito actual representa la idea aristotélica; la cual también se ve reflejada en los “Elementos” de Euclides, con una de las nociones comunes o evidentes: “El todo es mayor que la parte”. Ante esta perspectiva del infinito, de ninguna manera existirá una biyección entre un conjunto y un subconjunto propio. Contrarias a estas ideas, se tiene el infinito potencial; visión proporcionada por Cantor.
A Escritores como Jorge Luis Borges, han acercado a cualquier lector a la concepción del infinito actual. Escucha un pequeño fragmento del cuento “El Aleph”.
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https://youtu.be/TUFQKN5mIWM
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Foro Para cerrar tu primera lección de este módulo, reflexiona sobre el infinito y comparte tu respuesta en el foro. Revisa las indicaciones que te permitirán participar, recuerda que este foro NO se evalúa, pero es IMPORTANTE que lo realices, porque te ayudará a fortalecer los aprendizajes y poder continuar con los conceptos de la siguiente lección.
Cierre ¡Felicidades, concluiste con éxito esta primera parte de tu Módulo 2! ¿Recuerdas la paradoja de Aquiles y la tortuga? Es por sí misma una estrategia de enseñanza, ésta y otras formas más para enseñar el significado del límite y de las series infinitas son las que abordarás en tu siguiente lección de aprendizaje. ¡Continua así!
Referencias bibliográficas Bell, E.T. Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 2010. Cantor, G. Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta), edición de José Ferreirós; Barcelona, Crítica, 2006. Stwewart,I., Historia de las matemáticas, Barcelona, Crítica, 2008.
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