Issuu

matemĂĄticas GuĂa de estudio Modalidad Semi-escolar

Presentación El curso de Matemáticas I, te permite iniciarte en el estudio de las

matemáticas, a lo largo de las cinco líneas que se abordan en esta disciplina, podrás conocer: el lenguaje simbólico, los números naturales, los números enteros, la geometría y el álgebra.

La guía de estudio de Matemáticas I, fue editada por la Subdirección de Evaluación y Certificación del IEMS y forma parte de la serie de materiales de apoyo para fortalecer el estudio independiente en la modalidad Semiescolar. Coordinación y asesoría académica Ana Lilia Arroyo Lemus Con la colaboración Camilo Camhaji García Gabriel Silva Ramírez Revisión María Magdalena Espinosa Rivas Edición y diseño Ana Lilia Arroyo Lemus DR. 2012 IEMS. Dirección Académica Subdirección de Evaluación y Certificación San Lorenzo 290, Colonia del Valle, C.P. 03100, México, D.F. (En trámite) Distribución gratuita – Prohibida su venta

La idea central del curso es introducirte al pensamiento matemático, promoviendo la reflexión y búsqueda de los métodos que te permitan desarrollar tu capacidad de razonamiento y uso del lenguaje matemático.

¡Bienvenido, esperamos que disfrutes de tu guía! Camilo Camhaji García

MATEMÁTICAS

Índice 1. Juegos y problemas lógicos

2. Números naturales

3. Más de los números naturales

4. Números enteros

5. Números naturales: Cambio de bases

6. Álgebra

7. Álgebra: Uso de fórmulas

8. Álgebra: Operaciones con expresiones +, -, x

9. Álgebra: División de expresiones /

10. Álgebra: Planteamiento y solución de ecuaciones de primer grado

11. Geometría: Nociones y construcciones básicas con regla y compás

12. Geometría: Área y perímetro de las figuras geométricas

13. Álgebra y geometría: Uso de fórmulas dadas de perímetros y áreas

Autoevaluación

El estudiante:

1. Juegos y problemas lógicos

Desarrollará su capacidad de razonamiento y uso del lenguaje.

En esta parte solucionarás problemas utilizando la forma lógica y deductiva de las matemáticas, analizarás problemas capciosos, en donde encontrarás la falsa premisa o la deducción errónea para poderles dar una solución adecuada. Guíate con los ejemplos que se te presentan al inicio de cada sección.

1. Resuelve los siguientes problemas usando lógica, algunas operaciones matemáticas, pero sobre todo usa tu inventiva e intuición. a) El Banana Split lleva plátano y tres bolas de helado. Se dispone de los siguientes sabores: chocolate, fresa, vainilla, nuez y pistache. ¿Cuántas combinaciones distintas de Banana Split se pueden hacer si no se admiten sabores repetidos?

Solución: Si deseas saber cuántas combinaciones de helado se pueden hacer del banana split tomando la iníciales de los sabores tenemos: “c” para chocolate, “f” para fresa, “v” para vainilla, “n” para nuez y “p” para pistache. Entonces tenemos que cfv, sería la combinación chocolate vainilla y fresa; las demás las ponemos sin especificar el nombre completo: cvn, cvp, cfn, cfp, cnp, fvn, fvp, vnp, fnp.

De esta forma, las posibles combinaciones de helado están dadas ya por la fórmula C (5, 3) = (5 x 4 x 3) / 3 x 2 x 1 = (5 x 4) / 2 x 1 = 5 x 2 = 10 Tomando en cuenta una relación de números para cada sabor, donde chocolate es 1, fresa es 2, vainilla es 3, nuez es 4 y pistache es 5, tenemos: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345

Ahora te presentamos una nueva pregunta: ¿Cuál combinación de letras corresponde a la del número123?

Veamos otro ejemplo: b) En clase, alguien escribió un número en el pizarrón y dijo que había que restarle 25 y dividir el resultado entre 3. Eva estaba distraída hablando con Nicolás, sin prestar atención hizo lo que ella entendió y restó 3 del número y dividió entre 25. Cuando paso al pizarrón a dar la solución, la respuesta era correcta. ¿Cuál fue el número que se escribió en el pizarrón?

Solución: La respuesta se puede buscar planteando una ecuación de primer grado: ( n – 3 ) / 25 = ( n – 25 ) / 3 ( n – 3 ) 3 = ( n – 25 ) 25 3n – 9 = 25n – 625 3n – 25n = – 625+9 – 22n = – 616 n = –616 / – 22 n = 28

Ahora es tu turno de resolver los siguientes problemas.

c) Tres hermanas fueron a un huerto y trajeron tres manzanas en una canasta. Llegaron a su casa y las lavaron en la cocina, cada una de las hermanas se llevo una manzana a su recámara y además una manzana permaneció en la canasta. ¿Cómo es posible lo anterior?

e) Considera la siguiente serie numérica: 1 11 21 1211 111221 312211 13112221 …….?

d) Se va a celebrar una reunión secreta en el castillo del reino. No han invitado al Caballero Negro, pero él desea entrar a toda costa. En la entrada del castillo hay un guardia que pide la contraseña de pase. Para averiguarla el Caballero Negro se esconde cerca de la puerta.

¿Cuál es el renglón qué la continua? Una forma para resolverlo es: Lee la segunda línea y fíjate en la primera, lee la tercera línea y fíjate en la segunda, si encuentras de qué se trata podrás hacer la siguiente línea sin realizar ninguna operación matemática.

Al llegar cada uno de los invitados el guardia les pregunta lo siguiente: Guardia: ¿Veinticuatro?, Invitado uno: doce, Guardia: correcto adelante. Para el siguiente, Guardia: ¿Dieciocho?, Invitado dos: nueve, Guardia: correcto adelante. Para el siguiente, Guardia: ¿Catorce?, Invitado tres: siete, Guardia: correcto adelante. Para el último invitado, Guardia: ¿Ocho?, Invitado cuatro: cuatro, Guardia: correcto adelante.

f) En una autopista ideal, los teléfonos de emergencia están instalados a una distancia de 3 kilómetros, en intervalos regulares. Cuando a un automovilista se le descompuso el coche, se dirigió hacia el sur y encontró un teléfono después de caminar 500 metros, pero desafortunadamente no funcionaba. Como deseaba caminar lo menos posible, se preguntó: ¿Será mejor seguir hacia el sur o caminar hacia el norte? Tú que le sugerirías al conductor.

Pensando que ya conoce la clave el caballero negro se presenta en la puerta y sucede lo siguiente Guardia: ¿Cuatro?, Caballero Negro: dos, Guardia: incorrecto y el caballero negro es apresado.

g) Mientras esperaba, a la grúa el automovilista se da cuenta que su odómetro indicaba el número 15951, que es un número palíndromo, es decir, que se puede leer igual al derecho y al revés, para pasar el tiempo se pregunta: ¿Quién sabe cuánto tiempo tendrá que pasar para que tenga otro número de este tipo otra vez? Sin embargo, después de reparar su coche y continuar su camino, en tan sólo dos horas el odómetro vuelve a marcar otro número palíndromo ¿A qué rapidez ha viajado el automovilista durante esas dos horas?

¿Cuál es la respuesta correcta para la contraseña?

El estudiante:

2. Números naturales

Desarrollará su intuición para explicar el uso y aplicación de las propiedades de los números naturales en el sistema decimal.

En este apartado repasarás las operaciones básicas, a través de diversos ejercicios, con los que comprenderás las principales propiedades de los números naturales y de los enteros. Además entenderás el andamiaje posicional del sistema decimal y con ello te introducirás a la formalización del sistema de numeración. Los temas que abordaremos son: Concepto, propiedades, representación en la recta numérica y operaciones básicas.

1. Escribe el valor relativo del número seis en los siguientes ejercicios. Fíjate en el ejemplo: a) 4729.016 = seis milésimas b) 602.59 = seis centenas

c) 31206.23 = d) 6087.0249 = e) 2364578.2356 = f) 3467.123 = g) 69128453.15 =

2. Escribe el valor relativo del número ocho en los siguientes ejemplos. a) 86.363= b) 807242 = c) 318.745.44 = d) 5654.8674 = e) 28470578.24 = 3. Escribe con palabras las cifras que se te dan: a) 4729.016 = cuatro mil setecientos veintinueve enteros, dieciséis milésimos b) 602.59 = seiscientos dos enteros, cincuenta y nueve decimos

c) 31206.23 = d) 6087.0249 = e) 2364578.2356 = f) 123456789.98 = g) 56764.626 = 4. Escribe con cifras las cantidades que se te dan en palabras: a) 357.912 = trescientos cincuenta y siete enteros, novecientos doce milésimos. b) 1602.0017 = un mil seiscientos dos enteros, diecisiete diezmilésimos.

c) d) e) f) g)

= quinientos treinta y siete enteros, dieciocho centésimos. =seis mil noventa enteros, novecientos seis diezmilésimos. = cinco mil seiscientos treinta y tres enteros, dos mil setecientos ochenta y cinco diezmilésimos. = trescientos veinte mil doscientos cuarenta enteros, seis milésimos. = cinco mil millones cuarenta y cinco mil trescientos enteros, veintitrés cienmilésimos.

5. En los siguientes problemas señala, qué propiedad (neutro aditivo o multiplicativo, conmutativa, asociativa o distributiva) ha sido utilizada. También señala a qu é conjunto de números pertenece el resultado, ya sea a los naturales, a los enteros o ambos. a) 54 + 0 = 54

Para este caso se usó la propiedad de neutro aditivo y pertenece a los números enteros, más no a los números naturales pues en ellos no hay cero.

b) 12 + 36 = 36 + 12 c) 23 • 10 = 10 • 23 d) 18 (9 + 4) = 18 • 9 + 18 • 4 e) -36 • 1 = -36 f) 12 + (11 - 10) = (12 + 11) - 10 g) 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4 h) -18 + (-15) = -15 + (-18)

Con respecto a las propiedades anteriores, es tiempo que contestes lo siguiente: ¿Existe alguna propiedad de los números naturales, que no les corresponda a los números enteros? ¿Existe alguna propiedad de los números enteros, que no les corresponda a los números naturales? En caso de que tus respuestas sean afirmativas, explica cual es la propiedad en cada caso.

6. Realiza en la recta numérica las siguientes operaciones para encontrar su resultado. No olvides explicar si el resultado de la operación pertenece a los números naturales o enteros. a) 9 - 5 = 4

La operación pertenece a los números naturales, pues se están restando los números 9 y 5 que son naturales, pero como están contenidos en los números enteros también pertenece a este grupo de números.

Ahora resuelve los siguientes ejercicios, representándolos en la recta numérica. b) 15 + (-13) = c) 5 – 7 = d) 2 • -3 • -4 = e) 5 • -2 • 3 = f) -6 +(-4) = g) -5 • 4(3 - 5) = h) (3 - 4) • (5 + (-7)) = 7. Resuelve las siguientes operaciones aritméticas, indica a qu é conjunto de números pertenece tanto la operación como el resultado. Recuerda que estos ejercicios son para que practiques las operaciones de suma, resta y multiplicación. a) 57 + (-36) - (-56) + (42) = 57 – 36 + 56 – 42 = 113 – 78 = 35 La operación pertenece a los números enteros, aunque dentro de la operación se encuentran números naturales y el resultado sea un número natural, tan sólo con el uso de los números -36 y -56 que pertenecen a los enteros, ésta se vuelve una operación entre ellos.

b) -63 - (-43) + (38) - (+45) + (-79) + 45 + (-12) + 20 = c) 45 • 27 • 12 = d) - (-36) • (27) • (-9) = e) 25 • (36 - 47) = f) 12 • (-7) • (-22) • (6) =

3. Más de los números naturales

En esta sección nos enfocaremos a construir y a conocer los múltiplos de un número dado, encontrando todos sus divisores. Encontrarás también el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números dados. Además, conocerás la propiedad necesaria y suficiente que hace a un número ser primo, para finalmente reconocer los factores primos de un número y poder descomponerlo. Los temas que abordaremos son: Divisibilidad (Múltiplos y divisores), números primos, Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Encontrar los primeros 7 múltiplos de los siguientes números. a) 7

Solución: Usando los conocimientos previos sobre tablas de multiplicar podemos resolver este ejercicio, ya que los primeros siete múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42 y 49. b) 13

Solución: Multiplicando para encontrar los primeros siete múltiplos de 13, tenemos: 13 • 1 = 13, 13 • 2 = 26, 13 • 3 = 39, 13 • 4 = 42, 13 • 5 = 65, 13 • 6 = 78, 13 • 7 = 91.

Has lo mismo para los números de los siguientes ejercicios.

c) 18 d) 125 e) 341 f) 1131 g) 4273 2. Escribe los números del 1 al 100, sobre esta lista tacha los números que son múltiplos de un número anterior, al final enlista los núm eros que no tachaste y tendremos una lista de los números primos del 1 al 100.

Dos pistas, la primera es que no es necesario tachar los múltiplos de un número tachado. Primero: Por ejemplo cuando tachamos los múltiplos de dos, eliminamos primero al cuatro, al seis y al ocho, al eliminar al número cuatro, ya no es necesario buscar, pues estos ya han sido tachados con anterioridad, vemos como el ocho que es múltiplo de cuatro ya había sido quitado como múltiplo de 2. Segundo: Los números no tachados no pueden ser múltiplos de anteriores y entonces estos son los números primos.

2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …

3. Encontrar todos los divisores de los siguientes números. Identifica cuales de estos son divisores son primos y cuales compuestos. a) 24

Solución: Para encontrar los divisores de un número, recorremos uno por uno los números empezando desde el uno, verificando si divide a 24. Recordando que no tenemos que ir más allá de la mitad del número, pues no encontraremos ningún múltiplo que sea divisor de 24. Así encontramos que 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, son todos los divisores de 24, de ellos son primos 2 y 3.

b) 880

Solución: De nuevo recorremos uno por uno los números empezando desde el uno, verificando si divide a 880. Así encontramos que 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 40, 44, 55, 80, 88, 110, 176, 220, 440, 880 son todos los divisores de 880, de ellos son primos 2, 5 y 11. Recordando que no debemos buscar más allá del 40, pues este número junto con el 22 cierran la serie de multiplicaciones, tal que el resultado es 880. Si multiplicas los extremos 1 x 880 = 880 , 2 x 440 , y así sucesivamente podrás ver lo que se relaciona en la frase anterior. Ahora resuelve los siguientes ejercicios.

c) 36 d) 41 e) 60 f) 127 g) 336 h) 360 i) 660 4. Encuentra el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de los siguientes grupos de números. a) 30 y 55

Solución: Debemos descomponer los números anteriores en sus factores primos de la siguiente manera: 55 55 55 11 1

30 15 5 1 1

2 3 5 11

Encontramos su mcm multiplicando todos los factores, mcm = 2 • 3 • 5 • 11 = 330. Encontramos su MCD multiplicando sólo los factores que afectaron a ambos números en este caso sólo el 5 MCD = 5.

b) 12, 18 y 30

Solución: Haciendo lo mismo para el grupo de tres números, los descomponemos en sus factores primos, de la misma manera. 12 6 2 1 1 1

18 9 3 3 1 1

30 15 5 5 5 1

2 3 2 3 5

Encontramos su mcm multiplicando todos los factores, mcm = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 180. Encontramos su MCD multiplicando sólo los factores que afectaron a toda la tercia de números Para este caso el MCD = 2 • 3 = 6.

Ahora resuelve los siguientes ejercicios.

c) 63 y 77

d) 13 y 39

e) 17, 68 y 136

f) 150, 450 y 600

g) 121, 264 y 407

5. Resuelve los siguientes problemas relacionados con el uso del mcm y MCD. a) En una aerolínea salen aviones cada 3, 6, 9 y 12 horas respectivamente, a cuatro destinos diferentes. Si a una hora determinada coincidió la salida de aviones a los cuatro destinos, ¿en cuánto tiempo volverán a coincidir?

Solución: 3 3 3 1 1

6 3 3 1 1

9 9 9 3 1

12 6 3 1 1

2 2 3 3

mcm = 2•2•3•2 = 36 Coincidirán dentro de 36 horas

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

b) Un foco enciende, de manera automática, cada 36 minutos, otro cada 144 y un tercero cada 9. Si acaban de encenderse los tres: ¿En cuántos minutos se volverán a encender los tres, simultáneamente?

c) En un expendio de pinturas se compraron 4 recipientes de pintura de color blanco, estos se quieren redistribuir para su venta en botes de igual medida, los recipientes comprados tienen las siguientes capacidades 8400, 6000, 4800 y 10000 mililitros cada uno. ¿Cuál es la capacidad en mililitros de los botes de pintura a la venta? ¿Cuántos botes se pondrán a la venta?

d) Tres autobuses de pasajeros con itinerarios fijos, salen de la cabecera municipal hacia tres poblaciones cercanas. Si la primera ruta se completa en 40 minutos, la segunda ruta en 60 minutos y la tercera en 80 minutos. Si las tres rutas iniciaron juntas el servicio a las 5:30 a.m. ¿A qué hora volverán a salir los tres autobuses al mismo tiempo dela cabecera municipal? ¿Cuántas vueltas ha cubierto hasta ese momento cada uno de ellos a sus respectivas poblaciones? Si el día de trabajo cierra a las 17:30 horas, ¿cuántas veces coinciden en un mismo día?

e) En una torre de control, una señal luminosa prende cada 12 segundos, una segunda señal cada 10 segundos y una tercera cada 8 segundos. Si se acaban de encender las tres al mismo tiempo: ¿En cuántos minutos coincidirán nuevamente? ¿Cuántas veces enciende cada una de las señales en una hora? ¿Cuántas veces coinciden en esa hora?

f) En una planta ensambladora de automóviles, tres máquinas robóticas hacen su trabajo en ciclos de tiempo regulares. La máquina soldadora termina un chasis en 24 minutos, aquella que fija los tornillos termina su trabajo en 30 minutos y la maquina que coloca el motor en su lugar tarda 18 minutos. Si empiezan las tres máquinas juntas en este momento, ¿cuánto tiempo tardaran en volver a empezar juntas su trabajo? Si un automóvil necesita pasar por las tres para su armado, ¿cuántos automóviles completos tendré al final de 8 horas?

El estudiante:

4. Números enteros

Reforzará el concepto y la forma en que operan los números enteros, además desarrollará estrategias geométricas y algebraicas que le esclarezcan el uso y aplicación de las propiedades de los números enteros.

Es momento de que realices operaciones entre números naturales y enteros, conociendo la jerarquía de operaciones y el uso de paréntesis, mediante la resolución de problemas en los que en algunos se introducirá la caracterización de incógnitas como literales.

1. Resuelve las siguientes operaciones básicas, en su caso utiliza la jerarquía de operaciones y quita los paréntesis que sean necesarios para llegar al resultado. a) 5 + (7 - (4 + 5 - [12 - 34] -3) + 15) =

Solución: 5 + (7 – (4 + 5 – [-22] – 3) + 15) = 5 + (7 – (4 + 5 + 22 – 3) + 15) = 5 + (7 – (28) + 15) = 5 + (7 – 28 + 15) = 5 + (-6) = -1

La solución inicia quitando paréntesis paso a paso, inclusive, en algunos sólo se realiza la multiplicación de un signo por el número que está dentro del paréntesis para poderlo quitar, con el fin de visualizar esta pequeña, pero muy importante operación.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

b) 8 [3 (4 • 5) +1 ] + [6 (3 + 4)] - [5 - (3 • 4) - 7] = c) -4 [ (-3) (4 + 6) ] + (-3) [ (-3) (6 - 7)] + (4) [(-5) (2 - 5)] = d) 12 – 4 [6 + (4 - 5) ] + 13 – 2 [9 - (8 + 2)] -21 + 4 [(-7) - (3 - 7)] = e) 8 [3 (4 – 3) • (5 + (-9))] + 9 [4 (3 - 9) • ((-3) + 4)] = f) [5 (3 • 3) +3 ] + 3 [4 (4 + 4)] = g) 2 + [3 + (6 - 7)] + 5 + [7+(34 - 23)+6] - [9 - (18 + 4 - 25) - 6] + (6 • 5) = h) (4 • -5) + (12 • -5) - (-8 • -5) + (-6 • -7) - (-9 • 5) = i) 6 - [7 • -3 -(5 – 12 - [-33 - (6 • -8) -12] - (-27) + 5)] = j) [5 - (4 • -3)+ 6] + [7 - (-7 • -2) - 3] = k) (6 • -8)(5 - 12) + (13 - 7)(-4 • -3) - (6 • -9)(12 - 15) =

2. Resuelve los siguientes problemas, a través del uso de operaciones suma y resta . a) ¿Cuánto costó una computadora que al venderse en $12,517, deja una pérdida de $1,318?

Solución: En este tipo de problema podríamos usar variables, intuitivamente tenemos que las pérdidas las reflejamos como un número negativo, pero en este caso queremos sumar la pérdida al precio de venta para saber cuánto nos ha costado la computadora y hacemos la siguiente operación: 12517 + 1318 = 13835, encontrando así el costo original. Ahora con el uso de una variable para representar el costo inicial (C) de la computadora tenemos lo siguiente: C – 12517 = 1318, donde se ve el uso negativo del número con un concepto de pérdida. Pero despejando la variable C tenemos: C = 1318 + 12517, donde se ve que en realidad debemos sumar para obtener el resultado.

Veamos otro ejemplo: b) Queremos conocer la superficie del estado del Batán, que esta dividido en 6 provincias y conocemos los siguientes datos: Sabemos que la provincia de Manzanares excede en 223 Km2 a la superficie de La Guaira; Los Pinos tiene 5056 Km2 más que Manzanares; La Villa tiene 7911 Km2 más que Los Pinos; Cambray 4687 Km2 más que La Villa y Orientes 10752 Km2 más que Cambray. Si la superficie de la provincia de La Guaira es de 8221 Km2. ¿Cuál es la superficie total del estado del Batán?

Solución: En este problema empezamos encontrando las superficies de cada una de las provincias del estado mencionado, empezando por La Guaira 8221 que era un dato dado, y así obtenemos las siguientes Manzanares 8444, Los Pinos 13500, La Villa 21411, Cambray 26098 y Orientes 36850. Teniendo los datos anteriores debemos encontrar su suma, por lo tanto: 8221 + 8444 + 13500 + 21411 + 26098 + 36850 = 114524. La superficie del estado del Batán es de 114524 km2

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

c) ¿Cuál será el precio de venta de una televisión para ganar $1,315, si el costo original fue de $9,309? d) Después de vender una casa donde perdí $31,840, presté $20,060 y me quedé con $151840. ¿Cuánto me había costado la casa? e) En una salida familiar una persona hizo los siguientes gastos, restaurante $354, cine $257, dulces y helados $122. ¿Cuánto fue el total de gastos? f) El menor de cuatro hermanos tiene 21 años y cada uno le lleva 2 años al que le sigue. ¿Cuál es la suma de las edades de los hermanos? g) Un obrero reparte su quincena, entre los siguientes gastos $1,250 pesos para la renta, $750 pesos para luz, gas y agua, $260 para transporte, $850 pesos en comida, ¿Cuánto gana a la quincena y al mes el obrero? Si el gasto de transporte es igual al de luz y al de gas ¿Cuánto es su pago sólo por la luz? 3. Resuelve los siguientes problemas a través del uso de multiplicaciones principalmente, sin embargo en algunos será necesario el uso de sumas, restas o divisiones. a) 216 docenas de lápices a $50 la docena. Si se venden a razón de $10 cada 2 lápices, ¿cuál es el beneficio obtenido? Solución: Encontramos el gasto realizado multiplicando 216 x 50 = 10800 y el número de lápices comprados al multiplicar 216 x 12 = 2592. Como los vendí por pares entonces dividimos el numero de lápices entre 2, obteniendo 1296 y finalmente el monto total de venta que es 1296 x 10 = 12960. Así que, el beneficio será el monto total de venta menos el costo: 12960 – 10800 = 2160.

b) Se compran 84 metros cuadrados de terreno a $300 el metro cuadrado y se venden a $6000 la docena de metros cuadrados. ¿Cuánto se ganará en la operación? Solución: En este problema empezamos encontrando el costo total de la compra del terreno, multiplicado los metros cuadrados por el costo del metro: 84 x 300 = 25200. Después dividimos los 84 metros totales en docenas que es 84 / 12 = 7 y multiplicamos este número por el precio de venta por docena quedando: 6000 x 7 = 42000. Para obtener la ganancia se debe restar 42000 – 25200 = 16800. Así que, se ganará en la venta $16800.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

c) Si un lápiz cuesta 6 pesos. ¿Cuánto costaran 7 docenas? d) Si se compran 48 lápices por $20. ¿Cuánto se ganará si se venden todos a razón de $7.20 la docena? e) En el testamento del señor Valdez, estaba escrita su última voluntad y la forma en que deseaba repartir sus bienes entre sus 5 hijos, al primero le dejaba 50% de ellos, al segundo el 50% de lo que queda y así hasta llegar al quinto. Si al primero le tocaron $150,000, ¿Cuánto le corresponde a cada uno de los hijos? ¿A cuánto asciende la fortuna del señor Valdez? f) En un carnaval, había tres puestos, uno de tacos, otro de tortas y el tercero de postres, si un taco cuesta 5 pesos, las tortas 10 pesos y un postre 15 pesos. ¿Quién ganó más con sus ventas? Si el primero vendió 245 tacos, el segundo 135 tortas y el tercero tan sólo vendió 85 postres. g) Un conductor de camión realizó el trayecto de México a Veracruz, en los siguientes tramos y con las siguientes velocidades, recorrió el tramo de 215 km México - Puebla a 85 km/hr, el tramo de 125 km Puebla – Cumbres a 65km/hr, el tramo de 140 km Cumbres – Orizaba a 95 km/hr, y finalmente el tramo de 420 km Orizaba – Veracruz a 100 km/hr, ¿Cuánto tardó en el total del trayecto? ¿Cuáles fueron sus tiempos parciales? Si además, al final de cada tramo hace una parada de 20 min. ¿Cuál fue el tiempo total del recorrido incluyendo paradas? 18

5. Números naturales: Cambio de bases

En esta parte compararás el sistema de base decimal con otros sistemas en otras bases, con el fin de que conviertas números escritos en distintas bases a base 10 y viceversa. También conocerás las características y los símbolos utilizados por las culturas antiguas para numerar, con el propósito de convertir distintos sistemas de numeración antigua al sistema decimal. Los temas que abordaremos son: Cambio de base 10 a otra base y viceversa, Representación de otras bases (Mínimo: Binaria y base 20 y 60) y Sistemas antiguos de numeración (Maya, babilónico).

1. Realiza los cambios entre las siguientes bases . Base 10 a otras bases Ejemplo: Cambiar 234 de base 10 a base 6

39 6 234 54 0

Para cambiar de base 10 a otras bases se debe dividir el número dado entre la nueva base.

6 6 39 3

1 6 6 0

Posteriormente se recopilan los números, tomando desde el último cociente, que debe ser menor que el número de la base (en este caso es 6) y regresamos tomando todos los residuos, así obtenemos: 23410 = 1030 6.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

a) 4310 =

b) 38210 =

c) 569110=

d) 26310=

e) 76810=

f) 563410=

g) 674110=

h) 1200010=

Cambio de otras bases a base 10 Ejemplo: Cambiar 1030 de base 6 a base 10 Para cambiar de otras bases a base 10, se deben tomar las potencias de la antigua base desde el cero, en una sucesión ascendente y multiplicar por los valores dados para cada posición del número en la antigua base.

0  60  0  1  0 3  61  3  6  18 0  6 2  0  36  0 1  6 3  1  216  216 Ahora se suman los resultados de las multiplicaciones que son: 0 + 18 + 0 + 216 = 234. 10306 = 234 10.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

a) A716 =

b) 34108 =

c) 42719 =

d) 11011012 =

e) 23124 =

f) 56057 =

g) AF220 =

h) BAB12 =

Cambio directo entre bases Para realizar el cambio directo entre bases, sin pasar por la base 10 existe una técnica que se sugiere investigues, cabe señalar que el método más sencillo sería realizar el cambio de la base original a base 10 y después de base 10 a la base solicitada.

a) 101010102 =

b) 12304 =

c) 10106 =

d) 23415 =

e) 10A15 =

2. Realiza las conversiones entre números mayas y la numeración en base 10, según corresponda. Para convertir de números mayas a nuestra numeración en base 10 Ejemplo: Para cambiar de números mayas a base 10, se deben transformar los símbolos mayas por su valor equivalente en nuestra simbología. Después hacer el cambio de base 20 a base 10. Es decir, se deben tomar las potencias de veinte, que es la base de la numeración maya, en una sucesión ascendente desde el cero y multiplicar por los valores dados para cada posición del número maya.

Recuerda que el valor de los símbolos mayas también es posicional y aumenta según su posición de abajo hacia arriba.

= 1 • 20 = 1 • 20 = 20

= 5 • 200 = 5 • 1 = 5

Ahora se suman los resultados de las multiplicaciones que son 5 + 20 = 25.

Realiza los siguientes ejercicios, el número mostrado en la parte inferior es el resultado, verifica que sea correcto. a)

245

324

987 22

3425

7569

1002 112311 Para convertir de nuestra numeración en base 10 a números mayas. Ejemplo: Cambiar 325 de base 10 a números mayas. 1. Se debe comenzar cambiando de base 10 a base 20, dividiendo el número dado entre veinte.

36 20 725 125 5

3. Ahora convertimos los números en símbolos mayas, leemos de derecha a izquierda y ordenamos de abajo hacia arriba.

1 20 36 16

2. Ahora se recopilan los números, tomando desde el último cociente, que debe ser menor que veinte y regresamos tomando todos los residuos, así obtenemos. 32510 = 1, 16, 5 20.

= 16

Resuelve los siguientes ejercicios. Convierte de nuestra numeraciĂłn de base 10 a nĂşmeros mayas.

a) 56

b) 178

c) 379

d) 665

e) 1313

f) 2435

g) 7876

3. Realiza las conversiones entre los siguientes números babilónicos y nuestra numeración en base 10, o viceversa según corresponda. Para convertir de números babilónicos a nuestra numeración en base 10.

Ejemplo: Para cambiar de números babilónicos a nuestros números en base 10, se deben transformar los símbolos babilónicos por su valor equivalente en nuestra simbología. Después hacer el cambio de base 60 a base 10, es decir, se deben tomar las potencias de sesenta que es la base de la numeración babilónica, en una sucesión ascendente desde el cero y multiplicar por los valores dados para cada posición del número babilónico.

Recuerda que el valor de los símbolos babilónicos también es posicional y aumenta según su posición de derecha a izquierda.

= 4 • 601 = 4 • 60 = 240

= 19 • 600 = 19 • 1 = 19 Ahora se suman los resultados de las multiplicaciones que son 240 + 19 = 259.

Resuelve los siguientes ejercicios, las rayas dividen las posiciones de la numeración babilónica.

= ___________

Para convertir de nuestra numeración en base 10 a números babilónicos. Ejemplo: Cambiar 1838 de base 10 a números babilónicos. Se debe comenzar cambiando de base 10 a base 60 dividiendo el número dado entre sesenta.

30 60 1838 38 Ahora se recopilan los números, tomando desde el último cociente, que debe ser menor que sesenta y regresamos tomando todos los residuos, así obtenemos: 183810 = 30, 3860. Ahora convertimos los números en símbolos babilónicos, leemos de derecha a izquierda y ordenamos de igual modo los símbolos babilónicos.

= 30

= 38 y la escritura final del número es

de los símbolos babilónicos.

usamos la raya para dividir las posiciones

Ejercicios de cambio de base 10 a nĂşmeros babilĂłnicos.

a) 56

b) 239

c) 1579

d) 2045

e) 6223

f) 10556

g) 18666

El estudiante:

6. Álgebra

Aprenderá a usar literales como una herramienta en el desarrollo de procesos de solución de acertijos, enigmas, pasatiempos y ejercicios. Así incrementará su habilidad en el manejo de los recursos de las matemáticas.

En este punto nos centraremos en traducir expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico, también expresarás términos algebraicos en el lenguaje común. Además conocerás las condiciones necesarias para poder realizar las operaciones de suma y resta en términos algebraicos, distinguiendo los términos semejantes.

1. Traduce los siguientes enunciados del lenguaje común a expresiones del lenguaje algebraico, según corresponda. a) x/2 + 2y : La mitad de un número cualquiera más el doble de otro número cualquiera y distinto. b) 3a – 2 : c) 5ab : d) 3z – 4x + y/3 : e) xy / 3 : f) x/w – 5 : 28

g) 5/2 – 7y/3:

La mitad un número cualquiera multiplicado por cinco, menos la tercera parte de otro número cualquiera distinto multiplicado por 7.

El séxtuplo de un número más el cuádruplo de otro número cualquiera distinto.

El triple del producto de dos números cualesquiera.

El cuádruple del producto de dos números cualesquiera distintos, entre tres.

El cociente de la suma de dos números cualesquiera, entre el doble del primero de los números.

El séxtuplo del producto del doble de un número por la tercera parte de otro número cualquiera.

2. Simplificar las expresiones algebr aicas siguientes, mediante la operación de suma o resta de términos semejantes.

a) 2x + 5y – 3z + 5x – 3z + 2y – (-6x + 4y - 5z) =

Primero eliminamos el paréntesis, en este se deben cambiar los signos, pues lo precede un signo negativo.

2x + 5y – 3z + 5x – 3z + 2y + 6x – 4y + 5z =

Recordemos que en álgebra podemos sólo sumar o restar términos semejantes, estos son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes y en este ejemplo los hemos señalado con distintos colores, cada uno de los términos se suma o resta según corresponde con sus semejantes, sin afectar el exponente de la variable, solamente a los coeficientes.

2x + 5y – 3z + 5x – 3z + 2y + 6x – 4y + 5z = 13x + 3y – z

b) (11x2 – 3x– 7) – ( 8x2 – 4 + 6x) – (6x2 + 4x – 3) = 11x2 – 3x– 7 – 8x2 + 4 – 6x – 6x2 – 4x + 3 = 11x2 – 3x– 7 – 8x2 + 4 – 6x – 6x2 – 4x + 3 = -3x2 – 13x

Recuerda que para eliminar los paréntesis, debemos quitarlos y cambiar los signos de las expresiones precedidas por un signo negativo. Después quitar el paréntesis sin alterar signos en aquellas que están precedidas por un signo positivo. No olvides que sólo podemos sumar o restar términos semejantes, y estos son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. En este ejemplo hemos señalado con distintos colores, para sumarlos o restarlos según corresponda con sus semejantes sin afectar el exponente de la variable, solamente a los coeficientes.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

c) (3a – 5b) – (6a – 7b) = d) (2x – 6y) – 4(x – 2y) = e) (3a – 2b + 5) + (8a + 6b – 2) = f) 3x + (2y – 3x) + (4x – 5y) = g) (2a – 11b + 5c) – (4c – 6b + 7a) + (8a – 3c + 4b ) = h) 4z – 5 + 2 -3z +8 -9 +3z -5 – 6z +7 +9z – 1 – 2z = i) (11y2 +33y – 42) – (25y – 12 – 3y2) + (15 – y – 7y2) = j) 3x – (6 – 2 (2 – 3x)) + 4x – (9 – 4 (3 – x)) = k) (5x + 6y – 8) – (6x – 2y – 3) + (7y – 2x – 3) – (5x + 7y – 9) = l) (3a – b + 9c) – (3a + 14b – 2c) + (2a + 3b -5c) – (a – 2b + c) = m) a + (-2b – (3 + (5a – 2b) – (7a + 2) + 2a) – 2b) =

3. En los siguientes problemas realiza la simplificación de términos, a través de las operaciones de suma y resta de términos algebraicos. De ser posi ble encuentra el resultado, pero no en todos los problemas debes buscar una solución, sino buscar hacer una simplificación. a) Un rectángulo mide de base números múltiplos de cuatro y de altura números múltiplos de siete. ¿Cuál sería la expresión para encontrar su perímetro?

b) La suma de tres enteros pares consecutivos, encuentra la expresión mínima que representa lo anterior.

c) El valor de venta en la tienda de tres tipos distintos de refresco es de $5 para el primero, de $6 para el tercero y de $4 para el segundo, si al tendero se los vende la compañía refresquera en $3 para el segundo, $4 para el primero y en $2 para el tercero. ¿Cuál es la expresión que representa la ganancia del tendero si debemos restar al valor de venta en la tienda el precio que paga el tendero por cada tipo de refresco?

d) Un ciclista puede recorrer en su bicicleta de montaña dos tipos de terreno campo traviesa y montañoso, en la competencia que participa le dan un mapa del recorrido y ve que es una combinación de tipos de terreno, primero recorre 5 km en un campo traviesa, después 7 km de trecho montañoso, después viene otro trecho de 4 km de campo traviesa con una última combinación 6 km de montañoso y 10 km de campo traviesa. ¿Cuánto recorre de terreno montañoso y cuanto de terreno campo traviesa? ¿Cuál fue el total de km que recorre en la competencia? Exprésalo con términos algebraicos.

e) La suma de tres números enteros consecutivos es 130 ¿Cuáles son los números?

f) La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres al segundo. Determina los números.

7. Álgebra: Uso de fórmulas

Para este punto sustituirás valores numéricos dentro de expresiones algebraicas, con el fin de que reconozcas cuales de estas tienen la forma de fórmulas conocidas, como perímetros, áreas o volúmenes en cuerpos geométricos. Además despejarás y encontrarás valores en distintas expresiones algebraicas.

1. Despeja la variable que corresponda en cada ejercicio. Fíjate en los ejemplos. a) En

ab  c  d despeja la variable “a”. 2

Solución: La instrucción es despejar la variable “a” y lo hacemos de la siguiente manera:

ab  c  d pasamos al otro lado de la igualdad el número dos que está dividiendo queda multiplicando, a esto lo llamamos 2 operación inversa a  b  2(c  d ) , continuamos con el despeje de “a” y pasamos al otro lado de la igualdad la variable “b” que En

está sumando pasa ahora restando. Quedando como despeje final:

a  2(c  d )  b

Veamos otro ejemplo: b) En

a  b  d (c  7) despeja la variable “c”.

Solución: Debemos despejar la variable “c” y lo hacemos de la siguiente manera. En

a  b  d (c  7) pasamos al otro lado de la igualdad la variable -d que está multiplicando queda dividiendo

ab  (c  7 ) , d

continuando con el despeje de “c”, pasamos al otro lado de la igualdad el número -7, que está restando pasa ahora sumando. Resultando la expresión

c

ab 7 d

ab  7  c , acomodamos la variable despejada para que quede a la izquierda y obtenemos: d

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

bh , despejar “b”. 2

c) En

A

d) En

2 x  y  3z  w , despejar “z”.

e) En

x y  3w , despejar “y”. 5z

f) En L f = L i + [1 + g) En

 (t f - t i )] , despejar “”.

Q = mc e (t f - t i ) despejar “ti”

2. Considera los valores a = -2, b = 4, c = -1, d = 3, y con ellos realiza la sustitución en las expresiones siguientes, no olvides simplificar y reducirlas a su mínima expresión. Veamos un ejemplo:

a) a + b – 3c = Solución: (-2) + (4) - 3(-1) = -2 + 4 + 3 = 5

Se inicia sustituyendo cada una de las variables por los valores considerados, se continúa quitando los paréntesis paso a paso, al final se suma y resta para simplificar la expresión en un sólo número que es el resultado.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

b) 4a - 2b – 3c = c) 5a + 3d – 3 = d) 4a - 3b – 3(c + d) = e) 7(a – b) – 2c = f) 3da + 3bc = g)2(a - c) + 2(a - b) = h) 3(2a – 3d) - 5(d - 3c) = i) 12(a + c) - 13(a - c) - 8(d - b) = j) 5ab (2a (3d - 4c)) = k) 6c - b (2a + 1) - (4d - 7c) = 34

3. Resuelve los siguientes problemas, mediante la sustitución de los valores dados en las f órmulas de áreas y perímetros de figuras geométricas, así como con el empleo de algunas fórmulas de física, realiza un despeje si es necesario. a) Sean b = 5 cm. h = 7cm. y las fórmulas

A  bh, A 

bh 2

¿Cuáles son las áreas respectivas del rectángulo y el triángulo?

Solución: Sustituimos los valores dados para b y h en las fórmulas, como puede verse a continuación:

A  b  h , A = (5) • (7) = 35 tomando en cuenta las unidades dadas obtenemos el área del rectángulo 35 cm2. bh (5)  (7) 35   17.5 tomando en cuenta las unidades dadas obtenemos el área del triángulo 17.5 cm2. En A  , A 2 2 2 En

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

b) Sean v = 25 km/hr y t = 75 min. Y las fórmulas v 

d v y a 2t t

¿Cuál es la distancia recorrida por el móvil? ¿Cuál su aceleración? 6l a Fórmulas P = 4 • l, P = 6 • l, A = l2 y A  2 c) Si el lado mide l = 4 cm. ¿Cuál es el perímetro y el área de un cuadrado? El lado de un hexágono mide 4 cm y su apotema mide 3.5 cm. ¿Cuál es el perímetro y el área de un hexágono?

d) Si el área de un octágono regular es de 64 cm2 y el lado mide 4 cm. ¿Cuál es el valor de la apotema? 8l  a Fórmula A  2

e) Se quiere encontrar el calor específico de un cuerpo y se cuenta con los siguientes datos: Su temperatura inicial es de 25 °C, su temperatura final es de 86 °C, su masa es de 450 gramos y el calor que se la ha pasado es de 4900 Joules. ¿Cuál es su calor específico (Ce)? Realiza el despeje necesario en la fórmula. Formula Q = mc e (t f - t i )

f) Se desea conocer la expansión longitudinal de una viga de acero de 50 m. de longitud inicial, su temperatura inicial es de 20 °C y su temperatura final en un día caluroso es de 88 °C. ¿Cuánto se expandió la viga ese día? Fórmula L f = L i + [1 +  (t f - t i )] .

8. Álgebra: Operaciones con expresiones algebraicas +, - , •

En esta parte conocerás las reglas básicas de los exponentes, con ellas podrás multiplicar términos algebraicos. Además distinguirás entre ecuación y factorización para comprender la diferencia entre una simplificación y la solución de ecuaciones.

1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas realiza ndo las multiplicaciones correspondientes, elimina paréntesis y realiza la suma y resta de los términos semejantes. Veamos un ejemplo:

Solución: a) 2x (3x2 – x – 4) – 3x (3 – 5x – x2 ) = 6x3 – 2x2 – 8x – 9x + 15x2 + 3x3 = 6x3 – 2x2 – 8x – 9x + 15x2 +3x3 = 9x3 + 13x2 – 17x

Eliminamos los paréntesis, multiplicando cada uno de los términos del polinomio dentro de ellos, por el monomio que está fuera. Recordemos que en álgebra podemos sumar o restar sólo términos semejantes, y éstos son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. En este ejemplo los hemos señalado con distintos colores.

Otro ejemplo:

Solución: b) (x – 2) (x + 3) – 3x (2x – 6) – (2x + 5) (4x – 3) = x2 + 3x – 2x – 6 – 6x2 + 18x – 8x2 + 6x – 20x + 15 = x2 + 3x – 2x – 6 – 6x2 + 18x – 8x2 + 6x – 20x + 15 = -– 13x2– 13x + 9

Primero eliminamos los paréntesis, para ello debemos realizar las multiplicaciones correspondientes, ya sea de polinomios como los primeros y los últimos paréntesis, o de monomio por polinomio como es el caso para el segundo término. Para el caso de monomio por polinomio, se hace como en el ejercicio anterior y en el caso de polinomio por polinomio multiplicamos cada uno de los términos del primer polinomio, por cada uno de los términos del segundo polinomio. De nuevo sumamos o restamos los términos semejantes, simplificando así nuestra expresión al mínimo de términos posible.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

c) 3a (3a2 – 5a + 4) – 4a (6a2 – 7a + 3) =

h) (x + 6) (x + 8) =

d) 5x (2x – 6) – 4 (x – 2) + 3x (4 – 2x) =

i) (x – 4) (5 – x) =

e) 2x (3x3 – 2x2 + 5x) + 5x (8x2 + 6x – 2) =

j) – (2x + 4) (3x – 4) =

f) 3a2b (2 – 4b) + 5ab (2a – 3b) + 5ab2 (4a – 5) =

k) (3x – 7) (x + 3) – (x + 4) (2x + 2) =

g) -2x (2a – 11b + 5c) – 3x (4c – 6b + 7a) + 4x (8a – 3c + 4b ) =

l) (2x – 4) (x – 5) – 4x (5x – 4) – (6x + 1) (3x – 9) =

2. En los siguientes problemas realiza la simplificación de términos, a través, de las operaciones de multiplicación, suma y resta de términos algebraicos. De ser posible encuentra el res ultado, pero no en todos los problemas debes buscar una solución sino hacer una simplificación. a) Se desea conocer cuánto mide al área de una pista que tiene tres áreas que conforman su superficie: En el centro un cuadrado de largo “b”, en cada una de las orillas opuestas un triángulo equilátero que tiene de lado el mismo largo del lado del cuadrado es decir “b”, y su altura es “h”.

b) Un ciclista puede recorrer un trecho de camino en 4 horas a una velocidad promedio de 15 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorrió para completar el techo?

c) Un rectángulo tiene por base un número múltiplo de cinco y de altura un número múltiplo de nueve. ¿Cuál sería la expresión para encontrar su área?

d) Un viajero realizará una travesía, para completarla viajará en tres medios de transporte: Primero en avión recorre un primer tramo en 8 horas, después tomará un tren por la quinta parte del tramo original y tardará cinco horas y al final tomará un auto por la vigésima parte del tramo que hizo en avión y tarda una hora. ¿Cuáles fueron las velocidades que tuvo en cada tramo? ¿Cuál es su velocidad promedio en todo el trayecto?

e) En la taquilla de un circo se vende el boleto de niño a $5 y el de adulto a $10. En una función de circo se vendieron 63 boletos y se recaudó un total de $625. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? Sólo expresa las ecuaciones que resuelven el sistema, la solución no es importante en este ejercicio.

f) Un número es el quíntuple de otro y la suma de ambos es 90. ¿Cuáles son los dos números?

g) Durante el año un chico junta monedas de 5 pesos en su alcancía, si junta 3 monedas por semana. ¿Cuántas monedas juntará cada mes? ¿Cuánto dinero tendrá al final del año? 39

9. Álgebra: División de expresiones algebraicas /

En esta sección aplicarás la regla de exponentes para dividir monomios y para realizar divisiones de polinomios entre polinomios.

1. Realiza las siguientes divisiones de monomio entre monomio. Veamos un ejemplo:

9a 12b 5  a)  36a 6 b10 Solución: Para solucionar estos ejercicios se debe seguir la ley L de exponentes, los que debemos restar, además para los coeficientes debemos simplificarlos al máximo.

De la siguiente manera:

9a12b 5 1a 6   , al hacer el resultado consideramos lo siguiente:  36a 6b10 4b 5

Primero en los exponentes de la variable “b”, al hacer la resta el resultado es negativo, por lo tanto se pone en el denominador, explicándolo

b 510  b 5 

1 . Segundo, el signo de la fracción es negativo y para poder tomar un sólo signo lo ponemos antes b5

de la fracción, los números 9 y 36 se pueden dividir entre 9, quedando

y en el exponente queda a12-6 = a6.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

9bx  3b

 32ab 8 x 5   16a 2 b 6 c 5

28 xy 5  4 xy 4

8a 9 bx 5   72a 2 bx 5

 44a 6 b 2  66a 3b 6

 6a 4 b 2 i)  3 4  8a b

 35 x 4 y 5   7x2 y 6

 2x3 y 4 z 3  16 x 2 y 6 z 5

  4 xy 2 z 2 k)  2 3  2 x yz

14a b z  5

    6 3

 21a b z  6

7 4



   

2. Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio . Veamos un ejemplo:

3a 4  4a 3b  2a 2 b 2  ab 3  a 2b

Solución: Para este tipo de divisiones se separa cada uno de los términos del polinomio en el numerador y se divide entre el monomio del denominador. Entonces se realiza la división como si fuera de monomio entre monomio para cada uno de los términos. De la siguiente manera:

3a 4  4a 3b 2a 2 b 2  ab 3 3a 2 b2       4 a  2 b  b a  a 2b  a 2b  a 2b  a 2b

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

6 x 2  3x 3x

2x 2  x  1 x

10ax  15bx  5x

4 x 3  6 x 2  8x  2x 2

8 xy 4  4 x 3 y 2 xy 2

2ax  4bx  12cx  6dx  2x

12 x 5  18 x 3  6 x 2  6x3

2x 4 y 2  4x 3 y 3  6x 2 y 4  2x3 y 3

 x 6  24 x 4 b 2  12 x 2 b 2  18b 3 k)  6x 2b

x3 y 2  x4 y 2  x5 y 2 f)  x3 y 2

3. Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre polinomio . Veamos un ejemplo:

6 x 3  17 x 2  16 = 3x  4

Solución: Para realizar estas divisiones hay que realizar dos pasos anteriores a la operación, que son: Acomodar el denominador fuera de la galera y el numerador dentro de ella. Para acomodarlos se debe considerar el exponente mayor de ambas expresiones e ir poniéndolos a cada uno por separado en orden decreciente, si faltaran términos debe ponerse el término correspondiente al exponente y considerar el coeficiente cero. Ahora se procede como a continuación se explica.

2x 2 3x  4 6 x 3  17 x 2  0 x  16

Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador y se multiplica este resultado por todos los términos del denominador.

6 x 3  12 x 2

2x 2 3 x  4 6 x 3  17 x 2  0 x  16  6 x 3  12 x 2  27 x 2  0 x

Segundo: Se pone el resultado debajo del término correspondiente en el numerador, se les cambia el signo y se realiza la suma y resta de los términos, obteniendo así, un nuevo primer término del numerador. Esto se debe a que el primer resultado siempre debe ser cero, o bien se deben eliminar los términos de la primera resta. Se baja a este renglón el siguiente término del numerador.

2x 2  9x 3 x  4 6 x 3  17 x 2  0 x  16  6 x 3  12 x 2  27 x 2  0 x

Tercero: Se divide este primer término del numerador y se repite el proceso hasta que el primer término obtenido, tenga un exponente menor al del denominador.

 27 x 2  36 x  36 x  16

3x  4

2 x 2  9 x  12 6 x 3  17 x 2  0 x  16  6 x  12 x 3

Cuarto: El término que ya no se puede dividir entre el denominador es el residuo de la división.

 27 x 2  0 x  27 x 2  36 x  36 x  16  36 x  48  32

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

x 2  3x  2 x 1

x 3  12 x 2  48 x  64 x 2  8 x  16

x 2  2 x  15 x3

x 3  4x  2x 2  8 x2  4

x 2  9 x  14 x7

6 x 4  8x 2  x 3  2  x 3x  4

12 x 2  25 x  12 4x  3

x 4  16 y 4 x2  4y2

x2 1 f) x 1

8 x 4  15 x  24 k) 2x 2  x  4

10. Álgebra: Planteamiento y solución de ecuaciones de primer grado.

En esta parte modelarás problemas, usando ecuaciones de primer grado para su planteamiento y solución. Además reconocerás que el uso de literales facilita el desarrollo y solución de los problemas planteados en matemáticas, solucionarás así, problemas mediante el uso de variables.

1. En los siguientes ejercicios menciona las expresiones que son ecuaciones y las que no lo son. No olvides expresar la principal diferencia entre una factorización algebraica y una ecuación. Veamos un ejemplo: a) 10x + 5 – 18x = 7 – 5x – 3 Esta expresión es una ecuación, pues en ambos lados de la igualdad tenemos enunciados algebraicos, por lo que la expresión está comparando a uno con otro y eso es esencialmente la idea de ecuación.

Otro ejemplo: b)

2 3 (6  x)  (5  2 x)  3 4

En esta expresión encontramos una factorización, pues sólo de un lado de la igualdad hay un elemento algebraico, la idea de factorizar es reducir la expresión a una más sencilla, es decir, simplificarla.

Resuelve los siguientes ejercicios explicando que es cada expresión.

c) 3 (4x – 1) + 2 (x – 3) = d) 5x – 6 (x – 7) – x = 8 (x – 2) e) 3 (xy + 1) – 5 (3xy – 2) = 8xy + 3xy f) 5yw + 4yw – yw – 8yw = g) 5x – 6(3x– 16) – 2 (10x – 8) + x = h) 3 (8 + 2x) – 1x – 2 (3 – 5x) = i) (3x – 2) (3x + 4) – (3x – 2)2 = 6 j)

5 3 ( x  9)  ( x  1)  13 6 4

2 3 1 (4 x  7)  (3x  5)  (2  x)  1 9 7 3

2 3 1 (4 x  7)  (3x  5)  (2  x)  1  9 7 3 47

2. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado, si el resultado es una fracción simplifícala hasta su mínima expresión. a) 10x + 5 – 18x = 7 – 5x – 3 Solución:

10x + 5x – 18x = 7 – 5 – 3

-3x = – 1

x

1 1  3 3

Primero ponemos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y a los que no la contienen del otro. En este caso debemos cambiar de lado de la ecuación el término – 5x que está restando del lado derecho a que sume del lado izquierdo y el término +5 que está sumando del lado izquierdo a que reste del lado derecho.

Ahora simplificamos sumando o restando en cada uno de los lados los términos correspondientes. Por último, el número tres que está multiplicando a la variable, lo pasamos dividiendo al lado izquierdo y con eso completamos el despeje de la variable y así encontramos la solución de la ecuación.

Otro ejemplo: b)

2 x 1 5 3x    3 4 6 4

Solución:

 2 x 1 5 3x   3  4  6  4 12

Para poder seguir los pasos del ejemplo anterior, multiplicamos por 12 que es el mínimo común múltiplo con esto podemos convertir las fracciones que aparecen en la ecuación inicial en números enteros.

De los denominadores 3, 4 y 6

8x  3  10  9x

8x  9 x  10  3  1x  13 13 x  13 1

Después de realizar la multiplicación, ponemos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y a los que no la contienen del otro. En este caso debemos cambiar de lado de la ecuación el término + 9x que está sumando del lado derecho a que reste del lado izquierdo y el término – 3 que está restando del lado izquierdo a que sume del lado derecho.

Ahora, simplificamos sumando o restando, en cada uno de los lados los términos correspondientes. Por último, el número menos uno que está multiplicando a la variable, lo pasamos dividiendo al lado izquierdo y con eso completamos el despeje de la variable y así encontramos la solución de la ecuación.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

c) 4x + 2x – 3x = 9

h) 8 + 2x – 1 = x – 2 – 5x

d) 11x – 6x – 7x = 8

i) 7x + 2 – 9x = 6 + 4x – 3 j)

x 1 1 x    3 4 3 4

f) 5x + 4 = x – 8

5x 3 7 x 2    6 8 4 3

g) 11x – 6x– 6 = 20 – 8x

11x 9 x 5    16 8 3 12

e) 3x + 15 = 8 + x

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando una variable para representar el valor desconocido dentro del planteamiento. Veamos un ejemplo: a) Tenía $928. Gaste en la compra de dos camisas y me quedaron $496. ¿Cuánto me costó cada una de las camisas?

Solución: El enunciado se traduce como 928 = 2C + 496, es decir, mis 928 pesos compraron dos camisas (C) y me quede 496 pesos. Ahora, ya que tenemos una ecuación, debemos despejar nuestra variable que en este caso “C”, pasamos entonces el 496 que está sumando a restar del otro lado de la igualdad: 2C = 928 – 496. Resolvemos y obtenemos: 2C = 432. Seguimos despejando la variable, pasamos el dos que está multiplicando a dividir del otro lado de la igualdad quedado: C = 432 / 2. Resolvemos y obtenemos: C = 216. Esta última expresión es la respuesta que necesitamos, es decir el valor de cada camisa es de 216 pesos.

Ahora es tu turno para resolver los siguientes ejercicios.

b) Si 5 libros cuestan $35. ¿Cuánto costarán 2 docenas?

c) Si un corredor de velocidad puede recorrer 23 km en una hora y suponemos que no se cansa. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 horas?

d) La diferencia entre un tercio de un número y un cuarto de ese mismo número es 3. ¿Cuál es el número?

e) Un número supera en 7 a otro, determina el valor de ambos números si el doble del mayor excede al triple del menor en 2.

f) Dos automóviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El primer auto tiene una velocidad de 55 km / hr., mientras que el segundo viaja a 65 km / hr. ¿En cuántas horas se encontrarán a 720 km de distancia?

g) Si la temperatura ambiente, cuando está el clima templado en un día de primavera, es de 70 °F (grados Fahrenheit). ¿Cuál es la temperatura equivalente en °C (grados Celsius)? Fórmula: °F =1.8 °C +32.

11. Geometría: Nociones y construcciones básicas con regla y compás.

En esta parte construirás con regla no graduada y compás, figuras geométricas de acuerdo a sus propiedades y características. Las figuras que construirás son: • • • • •

Triángulo Cuadrado Hexágono Octágono Polígono derivado

En esta sección se han de repasar las construcciones con regla y compas de las figuras geométricas básicas y de algunos polígonos. Veremos como la construcción de dichas figuras es sencilla. Para ello iniciamos con el trazo de una mediatriz y una bisectriz.

1. ¿Cómo encontrar la mediatriz de una recta dados dos puntos sobre ella?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Q B

A P

Paso 1: Dibujamos una recta y Paso 2: Desde cada uno de estos dos escogemos dos puntos en ella; A y B. puntos y con una apertura de más o menos la distancia entre ellos, trazamos dos circunferencias, que se intersectan en los puntos P y Q.

Paso 3: Unimos con una recta los dos puntos P y Q y esta recta es perpendicular a la original. Con ello hemos conseguido trazar una recta perpendicular, que pasa por el punto medio de los puntos dados, características de una mediatriz.

2. ¿Cómo encontrar la bisectriz de un ángulo dado?

Paso 1

Paso 1: Haciendo centro en el vértice V, abrir el compás y trazar un arco que corte a los dos lados del ángulo en los puntos A y B.

Paso 2

Paso 3

Paso 2: Desde cada uno de estos puntos A y B, como centros de circunferencias, trazar arcos con la misma medida y de amplitud suficiente para que se corten en un punto P.

Paso 3: Trazar la recta a través de los puntos V y P, esa es la bisectriz del ángulo dado, ya que divide a éste en dos partes iguales.

Con estas herramientas y la construcción de diámetros en un círculo, verificaremos la construcción de dos de los polígonos básicos: el cuadrado y el hexágono, así como algunos de sus polígonos derivados por su tipo de construcción.

¿Cómo trazar un cuadrado circunscrito?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 1: Trazamos con el compás una circunferencia, en ella trazamos un diámetro cualquiera, lo único en que debemos de fijarnos, es que la recta pase por el centro de la circunferencia.

Paso 2: Con ayuda de los trazos que explicamos en el principio de la sección hacemos una mediatriz, tomando los puntos A y B que son las intersecciones de la circunferencia y su diámetro, con esto generamos un nuevo diámetro y los puntos C y D, sobre la circunferencia.

Paso 3: Unimos los puntos A con D, D con B, B con C y finalmente C con A y obtenemos un cuadrado.

Las figuras como el octágono y los que tienen su número de lados igual a los múltiplos pares de cuatro, se pueden construir con mediatrices para cada uno de los ángulos centrales, como ejemplo veremos el octágono.

¿Cómo trazar un octágono circunscrito?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

E C

Paso 1: Si comenzamos en el paso b) de la construcción de un cuadrado será menos repetitiva la explicación, así que retomamos desde ahí.

Paso 2: Trazamos una circunferencia más pequeña que la anterior y apoyados en la intersección de ésta y los diámetros, trazamos una bisectriz a los dos ángulos de la mitad superior de la circunferencia y prolongamos las rectas para que cada una tenga dos intersecciones con la circunferencia.

E C

Paso 3: Si ahora unimos los puntos contiguos tendremos un octágono.

¿Cómo trazar un hexágono circunscrito?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 1: Trazamos una circunferencia y tomamos un diámetro, marcamos sobre la circunferencia los puntos A y B.

Paso 2: Desde los puntos A y B trazamos circunferencias del mismo tamaño que la circunferencia inicial y con este trazo obtenemos los puntos C y D y los puntos E y F.

Paso 3: Si ahora trazamos las líneas entre puntos de intersección consecutivos, sobre la circunferencia, obtenemos el hexágono.

Las demás figuras como el triángulo equilátero, el dodecágono y polígonos con un número de lados que sean múltiplo par de seis, se construyen con el uso de mediatrices para cada uno de los ángulos centrales del polígono anterior, como ejemplo veamos el triángulo y el dodecágono.

¿Cómo trazar un triángulo equilátero circunscrito? Con los mismos trazos que hicimos para hacer un hexágono podemos construir un triángulo equilátero circunscrito, lo único que debemos hacer es unir los puntos A con E, E con F y F con A.

Ahora realiza lo siguiente.

a) Realizar las construcciones con regla y compás que se han explicado para conocerlas. b) Como segundo ejercicio traza con regla y compás siguiendo con la secuencia de trazar mediatrices a los ángulos centrales de un polígono de 12 lados, otro de 24 lados (estos se pueden obtener de la construcción que se hizo para el hexágono) y finalmente otro de 16 lados (este se puede obtener siguiendo la construcción que se hizo para el octágono).

12. Geometría: Área y perímetro de las figuras geométricas.

En este apartado utilizarás las fórmulas de perímetros y áreas de las distintas figuras geométricas y encontrarás el valor numérico de sus componentes. En específico obtendrás el área de cuadriláteros y triángulos.

1. Encuentra el área de las siguientes figuras geométricas simples.

bh 2 , cuadrados A  l  l  l , rectángulos A  b  h , rombos 2 Dd ( B  b)  h Pa nl a 2 A  y trapecios A  , así como polígonos regulares A  y círculos A    r . 2 2 2 2

Recuerda las fórmulas para encontrar las áreas: de triángulos

A

a) Triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. b) Triángulo equilátero de lado 8 cm y 6.92 de altura. c) Cuadrado de 7 cm de lado d) Rectángulo de 5 cm de altura y 14 cm de base e) Rombo de 6 cm de diagonal menor (D) y 10 cm de diagonal mayor (d). 59

f) Trapecio de base mayor (B) de 8 cm, base menor (b) de 3 cm y altura (h) de 5 cm. g) Polígono regular de 9 lados con medida de 6 cm y apotema de 5 cm. h) Hexágono regular de 3 cm. de lado y apotema 2.6 cm. i) Círculo de 9 cm de diámetro. j) Círculo de 4 cm de radio.

2. En los siguientes ejercicios obtén los elementos que faltan para completar los datos de las figuras correspondientes, es decir, aplica lo aprendido en el curso sobre despejes, para encontrar los datos faltantes. a) Un cuadrado tiene de área 144 cm ¿Cuál es la longitud de su lado? b) Un cuarto rectangular tiene de base 5 m. y el área total es de 35 m. ¿Cuál es la longitud de su base? c) Un papalote con forma de rombo tiene un área total de 36 cm2 y su diagonal menor tiene un largo de 4 cm. ¿Cuál es la longitud de su diagonal mayor? d) El área de una cara de una carpa tiene forma de trapecio y un área total de 11250 cm2, la base mayor que está pegada al piso tiene una longitud de 100 cm y una altura de 150 cm ¿Cuál es la longitud de la base menor? e) Un octágono de protección del feng shui, tiene un área total de 154.50 cm2 y un lado de 4 cm ¿Cuál es el largo de su apotema, aproximado a 2 decimales? f) Una coladera circular de la calle tiene un área aproximada de 1962.5 cm2 ¿Cuál es el radio de ésta en cm, si consideramos el valor de pi (π) como 3.14?

13. Álgebra y geometría: Uso de fórmulas dadas de perímetros y áreas B Por último, en esta sección solucionarás problemas relacionados con geometría, empleando no sólo el algebra sino la deducción y el planteamiento matemático.

1. Encuentra las áreas de las secciones sombreadas de las siguientes figuras. Recuerda que éstas se encuentran constituidas por las figuras básicas que se han visto en la sección anterior.

a) Para esta figura los lados del rectángulo miden 6 cm la base y 3 cm la altura.

b) En esta figura, considera que el lado del cuadrado mide 8 cm.

c) Las medidas a considerar son el diĂĄmetro de la circunferencia, mayor de 10 cm, y los cĂrculos menores tienen la mitad de tamaĂąo.

d) En la siguiente figura la medida del lado del cuadrado es de 24 cm.

e) Para esta figura, toma la medida del lado del cuadrado como 35 cm.

Autoevaluación

Ahora es momento que verifiques qué has aprendido. Te sugerimos, una vez realizados los ejercicios, ubiques en cuáles tuviste problemas al resolverlos y repases nuevamente el tema. a) 1113213211 b) 1131213110 c) 1111321321 d) 1321102112

Juegos y problemas lógicos 1) Considera la siguiente serie numérica: 1 11 21 1211 111221 312211 13112221 …….?

2) En una autopista ideal, los teléfonos de emergencia están instalados a una distancia de 3 kilómetros, en intervalos regulares. Cuando a un automovilista se le descompuso el coche, se dirigió hacia el sur y encontró un teléfono después de caminar 500 metros, pero desafortunadamente no funcionaba. Como deseaba caminar lo menos posible, se preguntó: ¿Será mejor seguir hacia el sur o caminar hacia el norte? Tú que le sugerirías al conductor.

¿Cuál es el renglón qué la continua? a) Sur b) Norte c) Oeste d) No se puede determinar

Una forma para resolverlo es: Lee la segunda línea y fíjate en la primera, lee la tercera línea y fíjate en la segunda, si encuentras de qué se trata podrás hacer la siguiente línea sin realizar ninguna operación matemática.

3) Mientras esperaba, a la grúa el automovilista se da cuenta que su odómetro indicaba el número 15951, que es un número palíndromo, es decir, que se puede leer igual al derecho y al revés, para pasar el tiempo se pregunta: ¿Quién sabe cuánto tiempo tendrá que pasar para que tenga otro número de este tipo otra vez?

5) El Banana Split lleva plátano y tres bolas de helado. Se disponen de los siguientes sabores de nieve: chocolate, fresa, vainilla, café y pistache. ¿Cuántas combinaciones distintas de Banana Split hay? a) 8 b) 6 c) 10 b) 12

a) 14941 b) 16951 c) 16961 d) 17891

6) Luis tiene 48 canicas y Mario 26. ¿Cuántas canicas debe darle Luis a Mario para que ambos tengan la misma cantidad?

3.1) Sin embargo, después de reparar su coche y continuar su camino, en tan sólo dos horas el odómetro vuelve a marcar otro número palíndromo ¿A qué rapidez ha viajado el automovilista durante esas dos horas?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 37

a) 55 Km/hr b) 110 Km/hr c) No se puede determinar d) 100 Km/hr

7) Un avión sale de Tijuana rumbo a Oaxaca con velocidad de 500 kilómetros por hora. En el mismo momento otro avión sale de Oaxaca rumbo a Tijuana pero con velocidad igual a 750 kilómetros por hora. Si la distancia entre las ciudades es 2,500 kilómetros, en cuanto tiempo se encontrarán.

4) En un campeonato estudiantil de fútbol los equipos inscritos deben jugar todos contra todos. ¿Cuántos juegos se realizarán en el campeonato si se inscriben 7 equipos? a) 21 b) 36 c) 39 b) 42

a) Una hora b) 90 minutos c) 2 horas d) 2.5 horas

8) Otro avión sale de Tijuana rumbo a Oaxaca con velocidad de 500 kilómetros por hora. En el mismo momento otro avión sale de Oaxaca rumbo a Tijuana pero con velocidad igual a 750 kilómetros por hora. La distancia entre las ciudades es 2,500 kilómetros.

11) Se va a celebrar una reunión secreta en el castillo del reino. No han invitado al Caballero Negro, pero él desea entrar a toda costa. En la entrada del castillo hay un guardia que pide la contraseña de pase. Para averiguarla el Caballero Negro se esconde cerca de la puerta.

¿A qué distancia de la ciudad de Tijuana se encontrarán?

Al llegar cada uno de los invitados el guardia les pregunta lo siguiente:

a) 1000 kms b) 1400 kms c) 1500 kms d) 2000 kms

Guardia: ¿Veinticuatro?, Invitado uno: doce, Guardia: correcto adelante. Para el siguiente, Guardia: ¿Dieciocho?, Invitado dos: nueve, Guardia: correcto adelante. Para el siguiente, Guardia: ¿Catorce?, Invitado tres: siete, Guardia: correcto adelante. Para el último invitado, Guardia: ¿Ocho?, Invitado cuatro: cuatro, Guardia: correcto adelante.

9) Un número entero es divisible entre 1, 3 y 5, no es impar y es mayor que 70. ¿Cuál es el menor número posible?

Pensando que ya conoce la clave el caballero negro se presenta en la puerta y sucede lo siguiente Guardia: ¿Cuatro?, Caballero Negro: dos, Guardia: incorrecto y el caballero negro es apresado.

a) 65 b) 78 c) 90 d) 120

¿Cuál es la respuesta correcta para la contraseña?

10) Un número entero es divisible entre 1, 5 y 7, no es impar y es menor que 90. ¿Cuál es el mayor número posible?

a) Dos b) Seis c) Ocho d) No se puede saber

a) 75 b) 70 c) 110 d) 80

14) El MCD de dos números es 8, el mcm es 504, y uno de los números es 56. Hallar el otro número.

Lenguaje simbólico 12) Sea n un número Multiplícalo por 3 Al resultado réstale 10 Multiplica la resta por 5 Al resultado, suma 5 Divide el último número entre 3 Obtuviste 10. ¿Cuál es el valor de n?

a) 7 b) 56 c) 72 d) 4032

15) Encuentra el MCD y el mcm de los siguientes arreglos: 28, 42 y 56

a) 5 b) 10 c) 16/3 d) 17/3

a) 14 - 4704 b) 14 - 65856 c) 21 - 4704 d) 21 - 2352

Mcm y MCD 16) El Máximo común divisor de los números 16 y 27 es:

13) Encuentre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de 84 y 60.

a) 1 c) 3 b) 6 d) 72

a) 6 - 420 b) 6 - 840 c) 12 - 420 d) 12 - 840

17) ¿Cuál es el número más pequeño divisible entre 1, 2, 3 y 4? a) 6 b) 10 c) 12 b) 24 67

18) ¿Cuál es el número más pequeño divisible entre 1, 2, 3, 4 y 5?

21) ¿Cuál es el valor relativo del número 4 en la siguiente cifra?

a) 15 b) 60 c) 90 d) 120

4729.016 a) 4 centenas d) 4 unidades de millar b) 400 unidades c) 4 decenas de millar

19) Moisés va a preparar perros calientes (hot dog) para la fiesta y quiere comprar el mismo número de salchichas que de media-noches.

22) ¿Cuál es el valor absoluto de la siguiente cifra? Las salchichas vienen en paquetes con 8 unidades y los panes en paquetes con 6. ¿Cuál es el menor número de paquetes que tiene que comprar de cada uno?

537.18 a) quinientos treinta y siete enteros, dieciocho centésimos b) quinientos treinta enteros, dieciocho milésimos c) quinientos treinta y siete enteros, dieciocho decimas d) quinientos treinta enteros, dieciocho cienmilésimos

a) S = 3, P = 4, b) S = 4, P = 3 c) S = 6, P = 8 d) S = 8, P = 6

Números naturales

20) El número n está entre 70 y 80. El MCD de n y 36 es 9. ¿Cuánto es n?

23) ¿Cuánto es 5 • ( - 6 + 8 • (-5 + 7) - ( -268) / 4) • ( -9 ) ?

a) 72 d) 76 b) 79 c) 81

a) 3065 b) -3465 c) -3065 d) -3735

24) Juan pagó 35 pesos por un refresco y una hamburguesa Laura pagó 80 pesos por dos hamburguesas y tres refrescos

C) ¿Quién dirá 71?

¿Cuánto debe pagar Javier por dos hamburguesas y un refresco?

a) Ninguno b) Arturo c) Carlos d) Beto

a) $45 b) $50 c) $55 d) $60

Propiedades de los números naturales Bases 26) ¿Cuántos números uno aparecen en la representación binaria de 71?

25) Arturo empieza diciendo 3, sigue Beto con 6, Carlos dice 9 y Daniel 12, es decir, cuentan de tres en tres, diciendo cada uno un número.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

A) ¿Cuáles son los siguientes tres números que seguirán en el conteo?

27) ¿Cuántos números cero aparecen en la representación binaria de 71?

a) 12, 15, 18 b) 13, 16, 19 c) 15, 18, 21 b) 15, 16, 17

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

B) ¿Quién dirá 45?

28) ¿Qué letra aparece en la representación hexadecimal de 93?

a) Carlos b) Arturo c) Daniel d) Beto

a) Ninguna b) B c) C d) D 69

Sistemas antiguos de numeración

29) ¿Qué letra aparece en la representación hexadecimal de 96?

33) Trasladar el siguiente número maya a su equivalente decimal.

a) Ninguna b) A c) B d) C 30) ¿Cuántos unos aparecen en la descomposición de 245 en binario? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

a) 3003 b) 1313 c) 3000 d) 1003

31) En numeración binaria, el abuelo tiene 1, 000, 000 años. Esa cantidad en decimal es:

34) Escribe en el sistema decimal el siguiente número maya.

a) 32 b) 64 c) 128 d) 100 32) En numeración hexadecimal (base 16), el abuelo tiene 40 años. Esa cantidad en decimal es: a) 32 b) 64 c) 100 d) 128 70

a) 86,127 b) 13,287 c) 861,127 d) 1, 328, 647

Múltiplos y divisores

35) ¿Cual es el valor del siguiente número babilónico?

a) 4 b) 28 c) 30 d) 39

37) Busco un número que es la mitad del producto de 7 y 8 ¿Cuál es el número?

38) Un número entero es divisible entre 6, si es divisible entre 2 y entre 3 ¿Cuál de los siguientes números no es divisible entre 6?

a) 444 b) 18,305 c) 184 d) 4304

a) 126 b) 252 c) 268 d) 696

36) Valor de la siguiente representación números babilónicos.

39) Un número entero es divisible entre 9, si la suma de sus dígitos es divisible entre 9 ¿Cuál de los siguientes números no es divisible entre 9? a) 126 b) 252 c) 268 d) 693

a) 435 b) 4350 c) 14355 d) 14585

Números primos y compuestos

44) El número primo más cercano a 77 < 100 es:

40) ¿Cuántos divisores primos y distintos tiene 735?

a) 78 b) 79 c) 75 d) 81

a) 2 b) 3 b) 4 c) 5

45) ¿Cuál es la descomposición en factores primos del número 360?

41) ¿Cuántos divisores primos y distintos tiene 1260? a) b) c) d)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

6 2  11 2 2  3 2  11 2 2  9  11 18  2  11

Números enteros Factorización en primos

46) 17 X 32 es lo mismo que:

42) El total de divisores del número 500 es:

a) 10 x 30 + 2 + 7 x (30 + 2) b) 10 x (30 + 2) + 7 x (30 + 2) c) 10 x (30) + 2 + 7 x (30 + 2) d) 10 x (30 + 2) + 7 x (30) + 2

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 43) El total de divisores del número 137 es:

47) Se compran 216 docenas de lápices a $50 la docena. Si se venden 3 lápices en 10 pesos, ¿cuál es el beneficio obtenido?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Ninguno

a) No hay beneficio b) $2160 c) $6480 d) $864 72

48) Se compran 84 metros cuadrados de terreno a $300 el metro cuadrado y se venden en $6,000 la docena de metros cuadrados, ¿cuánto se gana en la operación?

a) 25 b) 39 c) -39 d) +263

a) $16,800 b) $42,000 c) $25,200 d) $20,200

Representación en la recta numérica a los números enteros 52) Encuentra la representación correcta en la recta numérica para los siguientes números: -6, -4, 4, 2, -2

Propiedades de los enteros a) 49) Resuelve la siguiente operación 3 x (-7) – 72 ÷ (-4) + 630 ÷ (-9) a) -31 b) -73 c) -373/4 d) -99

-6

-4

-2

-4

-6

-2

-4

-2

-4

-6

50) Resuelve la siguiente operación c)

-72 ÷ (-4) + 8 x (-6) x 5 ÷ (-4) a) -42 b) 42 c) 78 d) -78

51) Resuelve la siguiente operación (-8) x (9 x (-2) + 7 ÷ (-8) - 3.5 x (-4)) 73

56) Un cubo de madera de 4 metros de lado está pintado de blanco. Se corta en cubos que tienen un metro de longitud.

Orden y valor absoluto 53) Resuelva (y – 7) / (y + 3) ≥ 2

¿Cuántos cubos no tienen pintura? a) y ≤ -3 b) y ≤ -13 c) y > -3 d) -13 ≤ y < -3

a) 8 b) 12 c) 16 d) 24

ALGEBRA 57) Los números a, b, c son los mayores enteros que hacen que la primera columna sea divisible entre 6. ¿Cuánto es a + b + c?

54) El lunes, un grupo de alumnos vendió 453 boletos y el martes sólo la tercera parte. ¿Cuántos boletos vendieron en ambos días?

a) 6 b) 11 c) 12 d) 16

a) 453 b) 755 c) 600 d) 604 55) Sea n un entero. De las cuatro siguientes opciones sólo una no representa a un número par. ¿Cuál es? 1) 2n + 4

2) 4n - 6

3) n + 2

58) A, B y C son tres enteros distintos. Encuentra el valor de A en la siguiente suma:

4) 6n

A B + B C ---------------B C B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

a) 0 b) 1 c) 5 d) 9 74

59) A, B y C son tres enteros distintos. Encuentra el valor de A en la siguiente suma:

62) Fahrenheit 451 es el nombre de una novela de Ray Bradbury, y es a esta temperatura que arde el papel de los libros. Si la fórmula que relaciona ambas temperaturas es F = 9 C / 5 + 32, ¿cuántos grados centígrados son 451°F?

A A + A B ---------------C B A

a) 232.77°C b) 268.33°C c) 754.2°C d) 843.8°C

a) 0 b) 1 c) 5 d) 9

63) Laura gana $55 al día por su trabajo. El mes pasado recibió $1,320 incluido un pago extra por $165.

60) La fórmula para cambiar grados Fahrenheit a Centígrados es C = 5 (F - 32) / 9

¿Cuántos días trabajó? a) 20 b) 21 c) 23 b) 24

¿Cuántos grados Fahrenheit son 40° Centígrados? a) 40/9°F b) 40°F c) 104°F d) 129.6°F

64) Benito gastó $375 de su salario en renta y $120 en víveres y le quedaron $495. ¿Cuánto le dan de salario?

61) La fórmula para cambiar grados Centígrados a Fahrenheit es F = 9 C / 5 + 32

a) $0 b) $240 c) $750 d) $990

¿Cuántos grados Centígrados son 113° Fahrenheit? a) 45°C b) 80.55°C c) 235.4°C d) 145.8°C 75

65) Manuel debe vender 11 laptops al mes. Gracias a sus ventas, este mes ha obtenido $79,100 pero aún le falta recaudar $45,200. ¿Cuánto cuesta cada computadora?

¿Llegarán a venderse 22 millones antes de 2020? De ser así En que año se venderán: a) No se venderán b) 2012 c) 2016 d) 2020

a) $3,390 b) $11,300 c) $12,430 d) $13,100

69) En la olimpiada en Atenas, 2004, China obtuvo 15 medallas de oro, más que de plata. Obtuvo 3 medallas de plata más que de bronce. Si la suma de las medallas de oro y bronce es 46 ¿Cuántas recibió de oro?

66) José compró este mes 4 revistas más que el mes pasado. Si este mes compró 7 revistas, ¿Cuántas compró el mes pasado?

a) 15 b) 17 c) 32 d) 28

a) 3 b) 5 c) 10 d) 11 67) Tengo en la cuenta de cheques $3,955. ¿Cuánto habrá después de expedir un cheque por $5,250 y depositar $1,300?

70) En clase, alguien escribió un número en el pizarrón y dijo que había que restarle 25 y dividir el resultado entre 3. Eva estaba hablando con Nico, sin prestar atención, y restó 3 del número y dividió entre 25. Cuando confrontó la solución, la respuesta era correcta.

a) -$5 b) $5 c) $2595 d) $7905

¿Cuál fue el número que se escribió en el pizarrón? a) 25 b) 28 c) -28 d) 30

68) El número de boletos para ir al cine que se vendieron en el país, está dado en millones de boletos por la siguiente fórmula: F(x) = x/4 – 482, donde x es el número del año, por ejemplo, para el año 2,000: F (2000) = 2000/4 – 482 = 500 – 482 = 18 millones de boletos. 76

71) Se busca un número de dos cifras, tal que, la suma de los dígitos sea 13 y si se invierte la cifra, el número que se forma es 45 unidades mayor que el original.

75) La compañía A cobra 50 centavos por hoja copiada más $30 por engargolar y poner pasta. La compañía B cobra 45 centavos por hoja, más $40 por engargolar y empastar. Tienes un libro de 250 páginas y otro de 150 páginas que deseas copiar y empastar.

a) 49 b) 58 c) 67 d) 94

Si escoges la opción más barata, ¿cuánto pagaste en total? a) $ 212.50 b) $257.50 c) $ 260 d) $ 262.50

72) Resolver 8(2x+1) + 6 = 5(x-3)+7 a) x = 2 b) x = -2 c) -14/11 d) -10/11

76) La compañía A cobra 50 centavos por hoja copiada, más $30 por engargolar y poner pasta. La compañía B cobra 45 centavos por hoja más $40 por engargolar y empastar.

73) Resuelve la ecuación 2(z - 5) + 3z = 6 + z a) z = -1 b) z = -4 c) z = 4 d) z = 8/3

Tienes un libro de 250 páginas y otro de 150 páginas que deseas copiar y empastar. Por error llevaste los libros a los lugares donde cobran más. ¿Cuánto pagaste en total?

74) Resuelve la ecuación siguiente: (3m - 4) – (3 - 4m) + 4 = (-3 + 6m) + m

a) $ 260 b) $262.50 c) $ 257.50 d) $ 307.50

a) m = 1/2 b) m = 3/7 c) m = 4/3 d) m = -2

GEOMETRÍA 77) Si tienes dados de 2 cm3 ¿Cuántos necesitas para llenar un prisma de 6 cm de largo, 4 de alto y 4 de fondo?

a) 8 b) 12 c) 24 d) 36

78) Queremos llenar un vaso cilíndrico con agua, si contamos con un cono de igual base y altura, ¿cuántos conos de agua necesitas para llenar el cilindro?

80) A continuación se presenta un pentágono formado por dos cuadrados iguales y un triángulo equilátero. Si el perímetro del triángulo es 42 unidades, ¿cuánto mide el área del pentágono?

a) 1.5 b) 2 c) 3 d) 4

Polígonos 79) ¿Cuál de las siguientes figuras tiene solamente ángulos obtusos? a) 476.8 b) 480.3 c) 483.8 d) 490.8

b) 78

Perímetro, área y volúmenes 81) Un terreno rectangular tiene perímetro igual a 104 metros. Si el largo es 3 veces el ancho, ¿que área tiene el terreno?

83) Escribe de mayor a menor las áreas de los siguientes círculos.

a) 52 m2 b) 338 m2 c) 507 m2 d) 10,816 m2

1) Un círculo de 16 pulgadas de diámetro. 2) Dos círculos de 12 pulgadas de diámetro cada uno. 3) Tres círculos de 8 pulgadas de diámetro cada uno. 4) Quince círculos de 4 pulgadas de diámetro cada uno.

82) Si deseas llevar la mayor cantidad de pizza ¿cuál de las siguientes opciones prefieres?

a) 1, 2, 4, 3 b) 2, 1, 4, 3 c) 3, 2, 4, 1 d) 4, 2, 3, 1

a) Una de 16 pulgadas de diámetro. b) Dos de 12 pulgadas de diámetro. c) Tres de 8 pulgadas de diámetro. d) Quince de 4 pulgadas de diámetro.

Respuestas de la autoevaluación 1 2 3, 3.1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a b c,a a c b c a c d b a c c a a c b a a



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

b a b c c,a,a c b d a c b b b d b d b c c b

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

a c a b b b a a b c b a d d c a a d d c

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

a a b d b a b c c b a b c a b b b c a a

Bibliografía de consulta

Material de apoyo para la modalidad Semi-Escolar del IEMS

Matemáticas 1

Gabriel Silva Ramírez IEMS 80

81 82 83

c b b