Programa Desarrollado de: "Las Matemáticas en mi Vida II" del Plan: Bacho Digital CDMX de SECTEI

Presentación La asignatura Las matemáticas en mi vida II, forma parte del bloque de asignaturas básicas del Bachillerato Digital. Ubicada en el segundo semestre, es la continuación de matemáticas en mi vida I y corresponde al estudio de las matemáticas, basadas en el análisis de los principales indicadores poblacionales que se registran en las distintas delegaciones que conforman a la Ciudad de México partiendo de una relación entre diferentes tipos de funciones matemáticas. Toda sociedad que conoce el desarrollo social y económico de su entorno, puede motivar a cambios favorables en cuanto a su calidad de vida, a fin de lograr que la población cubra sus demandas en cuanto estas se relacionan con el crecimiento inevitable de la mancha urbana, servicios tales como; atención a la salud, servicios de agua potable y drenaje, disposición a lugares habitables con las condiciones favorables para un desarrollo sano, educación y esparcimiento, son los motores para el análisis de las matemáticas y lograr su comprensión desde el punto de vista de diferentes funciones, tales como; las polinomiales, racionales, logarítmicas y exponenciales, sirven para dar una introducción práctica en situaciones relacionadas con su entorno social y ambiental. El estudio de un caso de crecimiento población y la disposición de bienes y servicios en determinadas delegaciones de la Ciudad de México ponen de manifiesto los diferentes problemas que a nivel social, económico y ambiental tenemos para alcanzar los grados de sustentabilidad que se buscan en el marco de un crecimiento de una nación y en nuestro caso de la Capital de un país multicultural.

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UNIDAD I: ¿CUÁNTOS SOMOS? CAMBIOS EN EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN Y EN SU DISTRIBUCIÓN POR GÉNERO DE LAS DIFERENTES DELEGACIONES DE LA CIUDAD DE MÉXICO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Introducción Con la información que obtuvo Beto en las matemáticas en mi vida I, se ha hecho la siguiente pregunta -si los consumos de luz o agua en mi casa influyen sobre mis gastos familiares, ¿qué ocurre en una colonia, una delegación o en una entidad geográfica, en donde todos los que habitamos ahí, necesitamos de servicios tan importantes para nuestro desarrollo? Para ayudarlo a entender que ocurre y como ha crecido demográficamente el Distrito Federal acompañemos a Beto a través de este recorrido, partiendo ahora, al identificar las relaciones que se dan entre un valor y su dependencia directa, para ello, conoceremos los elementos que integran una función matemática y cómo se interpretan gráficamente.

Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será competente para: Plantear y resolver funciones como entidades de expresión algebraica al analizar la población de la delegación donde vive en función del número de habitantes por año, con el fin de reconocer la aplicación de las matemáticas en aspectos de la vida cotidiana.

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Temario En esta unidad utilizaremos algunos conceptos sobre funciones, pero más allá de las definiciones vamos a relacionar nuestro aprendizaje al conocimiento del desarrollo y crecimiento de la población a partir del análisis de datos demográficos en las distintas delegaciones del Distrito Federal. En esta unida revisaremos los siguientes temas: 1.1

Definición de función. Ejemplos de funciones

1.2

La población como función del tiempo

1.3

Representaciones de funciones por medio de conjuntos

1.4

Representación de funciones como expresiones algebraicas

1.5

Gráfica de una función

1.1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN. EJEMPLOS DE FUNCIONES

Es importante que recordemos a lo largo de nuestro curso que las matemáticas hacen la vida más fácil y nos ayudan a conocer mejor el mundo que nos rodea. Para ello empecemos definiendo ¿qué es una función? “En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio".

Imagen 2. Correspondencia de los elementos entre dos conjuntos 3

Antes de entrar a nuestros conceptos y definiciones es importante que tomes en cuenta que hay dos conceptos muy parecidos y en ocasiones pueden llegar a confundirse, estos conceptos son la Relación y la Función y ambos son importantes en Matemáticas. Para poder determinar si una regla de correspondencia es relación o función, analiza con detenimiento las siguientes ideas: 1. En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; es decir, a cada artículo le corresponde un precio.

Imagen 3. Cada artículo se relaciona con un precio

2. En una subasta un artículo tiene diferentes precios en un periodo determinado. Precios en el mercado

SUBASTA

Imagen 4. Subasta de productos. Sánchez Z. M. (2011)

4

Con estas ideas podemos definir de manera formal lo que es una relación y una función. Una RELACIÓN es una correspondencia entre dos conjuntos, uno de ellos lo denominamos Dominio y al segundo conjunto Rango (algunos autores también le denominan recorrido), de manera tal que en las relaciones a un valor del dominio puede corresponderles uno o más elementos del rango. Observa el siguiente diagrama Dominio

Rango

1

10

2

22

3

33

4

44

Imagen 5. Relación entre los conjuntos de números. Sánchez Z. M. (2011)

Ahora bien, las funciones son un tipo especial de relaciones, pues en ellas los elementos del dominio sólo pueden tener uno y solo un elemento del rango. Dominio

Rango

1

1

2

4

3

9

4

16

Imagen 6. Una función es una correspondencia de uno a uno entre los elementos del conjunto. Sánchez Z. M. (2011)

5

Es importante hacer notar lo siguiente, anรณtalo en tu cuaderno pues es muy importante

Todas las funciones son relaciones No todas las relaciones son funciones Todas las ecuaciones son relaciones No todas las ecuaciones son funciones Todas las relaciones pueden graficarse en el plano cartesiano

Vamos a revisar algunos ejemplos para aclarar los conceptos aprendidos

Ejemplo 1 Si A = {1,2} y B = {2,3, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Primeramente tienes que relacionar los elementos del conjunto A con el B, las parejas ordenadas que puedes realizar son:

B

A

2

3

5

1

(1,2)

(1,3)

(1,5)

2

(2,2)

(2,3)

(2,5)

Las parejas ordenadas que podemos formar son AxB= {(1,2), (1,3), (1,5), (2,2)(2,3)(2,5)} Las relaciones que pueden formarse son: R1= {(1,2),(2,2)} 6

R2= {(1,2) (1,3)(1,5)(2,3)(2,5)} R3= {(2,2)} Ahora vamos a definir en forma de algebraica las relaciones encontradas. La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 2, esto es, R1 = {(x, y) / y = 2}. La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y} La relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es igual al primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x} ¿Puedes tu encontrar alguna otra? Como puedes ver, las relaciones pueden expresarse como ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de “x” y “y”.

Ejemplo 2 Si C= {1,-3} y D= {2,3,6}, encontrar todas las parejas ordenadas (x, y) que satisfagan la relación R = {(x, y) / x + y = 3} Realicemos una tabla como la anterior, recuerda que en las casillas debe ir la condición que necesitamos, en este caso la suma de x+y. Importante relaciona los valores de la tabla y crea el par ordenado. +

2

3

6

1

3

4

7

-3

-1

0

3 7

Como puedes ver, las parejas que cumplen con la condición son R = {(1, 2), (–3, 6)} De esta manera podemos decir que todas las relaciones quedan definidas si se conoce el conjunto del cual partimos, el conjunto al cual llegamos y la regla que asocia a estos dos conjuntos. En el ejemplo que vimos el conjunto de partida es C, el conjunto de llegada es D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos. C

D

1

2

3 -3

6

Veamos ahora tres conceptos importantes para trabajar con funciones, estos elementos son: el Dominio, Codominio y el Rango.

Dominio, Codominio y Rango El Dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio está compuesto por todos los números Reales. Los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado tiene un significado válido. Por ejemplo la función: 8

En este caso si analizamos para qué valores de “x” tiene sentido la función, podemos ver que no hay raíces cuadradas de números negativos, de esta manera el conjunto de números para los cuáles tiene sentido la función son todos los reales positivos, y podemos expresarlos de la manera siguiente: {x/x ≥ 0}, esta expresión se lee, el conjunto de las “x”, tales que x es mayor o igual a cero. El Codominio de una función es el conjunto de valores en donde puede “estar la respuesta” de la función. El Rango (en algunos libros puedes encontrarlo como imagen) de las funciones está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función, estos valores son conocidos como y ó f(x) y son la variable independiente". Una acotación importante es que el rango es un subconjunto del Codominio, es importante que sepas que no siempre el Codominio es igual al Rango. Observa la siguiente figura, nos ayudará a comprender mejor estos conceptos.

Figura 1. Dominio, Codominio y Rango. Mejia, I y Sánchez, M. (2012) 9

Veamos el ejemplo, visto en el dominio: f(x)=x, si evaluamos algunos de los valores de x, tenemos

Como puedes observar, el rango toma los mismos valores del dominio, en este caso, el conjunto del rango puede expresarse como y Є (-∞,∞), que se lee como, y pertenece al conjunto de menos infinito a infinito, lo que nos indica que puede tomar cualquier valor. En este ejemplo, el Codominio y el rango son iguales. Veamos ahora el ejemplo de la raíz cuadrada

Realicemos nuevamente la tabla, recuerda que la raíz cuadrada de número negativos no existe, de esta manera el número más pequeño es el cero.

Dominio

x

f(x)

0 1 5 9 28 81

0 1 2.236 3 5.292 9

Rango

10

En este caso, el rango va de cero a cualquier valor del infinito (siempre y cuando sea resultado de una raíz cuadrada), podemos expresarla de la siguiente manera yЄ(0,∞) que se lee como, y pertenece al conjunto de cero a infinito, lo que nos indica que puede tomar cualquier valor a partir del cero. En este caso podemos decir que el Codominio son los Números Reales mayores a cero, al igual que en el ejemplo anterior, el Codominio es igual al rango. Analicemos un ejemplo más:

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontremos el dominio y el rango de la relación. El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano son: 4

5

6

7

8

1

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(1,7)

(1,8)

2

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(2,7)

(2,8)

3

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(3,7)

(3,8)

4

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(4,7)

(4,8)

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Veamos ahora la regla de correspondencia: “y es el doble de x” o “y = 2x”, veamos que pares ordenados cumplen que “y (el renglón de arriba) sea el doble de x”, estos pares ordenados, los vamos a marcar con naranja.

11

4

5

6

7

8

1

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(1,7)

(1,8)

2

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(2,7)

(2,8)

3

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(3,7)

(3,8)

4

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(4,7)

(4,8)

Como puedes ver, aunque el Codominio es todo el conjunto B, el rango es sólo r= {4,6,8} Hasta aquí, esperamos que vayamos reconociendo algunos de los elementos de las funciones. Te invitamos a repasar los conceptos manejados en esta parte a través de este video del maestro Erick Bonilla titulado: Función, dominio y rango.

http://www.youtube.com/watch?v=jq0q6LrPqNM&feature=related Y del tutorial Funciones: dominio y codominio

http://www.youtube.com/watch?v=fclwNoVpx6Q&feature=related

Nota: Si tus resultados no fueron iguales, entonces repasa nuestro primer ejercicio. Revisa con cuidado como se sustituyen los valores y analiza como lo resolviste en tu libreta de notas. Si sigues el procedimiento tomando en cuenta el manejo de tus signos debes de obtener el resultado correcto.

(Se desarrollan en plataforma)

12

Ahora que has verificado tus aprendizajes podemos pasar al siguiente tema en donde veremos algunas de las aplicaciones de las funciones.

1.2

LA POBLACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO

En un gran número de casos, cuando aplicamos el concepto de función, el cual nos puede ayudar a describir situaciones reales, los conjuntos A y B entre los que se define la función, pueden ser

conjuntos de números relacionados por

ejemplo con instantes de tiempo, temperaturas, valores de velocidad, humedad, entre otros. En

general

ahora

relacionaremos

dos

nuevos

conceptos,

la

variable

independiente que será una cantidad medible, como puede ser: el tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente que será alguna propiedad que le asignemos, por ejemplo la temperatura, la edad, concentración, etc. En el primer tema de esta unidad, hemos revisado junto con Beto, como se define una función y algunos elementos relacionados a ella y podrás preguntarte ¿qué tiene que ver eso con lo que vivo a diario?, pues déjanos decirte que las funciones tienen una gran aplicación en muchos de los fenómenos que vivimos día a día, en particular vamos a revisar cómo podemos representar a la población como función del tiempo. Existen varios tipos de funciones, de las cuales revisaremos algunas a lo largo del curso, en particular hoy estudiaremos aquellas que se relacionan con el crecimiento de una población. Es importante que hagamos énfasis en que conforme vayamos avanzando los modelos pueden irse complicando y tomar en consideración de algunos otros factores y traduciremos a un modelo matemático relacionado con un tipo de gráfica. 13

El aumento en la población, es un ejemplo solamente y suele ser uno de los más sencillos, ya que no toman en consideración todos los elementos que influyen en el crecimiento de la población, como son la mortalidad, la migración o el grado de estudios tan solo asociamos el número de nacimientos de nuevos individuos. Para iniciarnos en el tema, vamos a estudiar a la población de nuestra ciudad, el Distrito Federal, y para ello vamos a consultar la página del INEGI http://www.inegi.org.mx/ Consultemos los datos históricos de la población para el Distrito Federal

Como puedes ver, la Tabla 1 nos muestra una función, a cada elemento del dominio que está representado por los años, le corresponde uno en el codominio, es decir; el rango de la función. Las siguientes imágenes nos muestra también la función pero ahora de una forma gráfica. La variable independiente se representa por el número de años, mientras que la variable dependiente es el número de habitates en dicha población. Las funciones de forma gráfica pueden representarse en forma de líneas (gráfica 1) o en barras (gráfica 2).

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Población 10,000,000 9,000,000 8,000,000 7,000,000 6,000,000 5,000,000 4,000,000 3,000,000 2,000,000 1,000,000 0 1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1990 1995 2000 2005 2010

Gráfica 1. Crecimiento de la población humana en el Distrito Federal

Población 10,000,000 9,000,000 8,000,000 7,000,000 6,000,000 5,000,000 4,000,000 3,000,000 2,000,000 1,000,000 0 1895 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1990 1995 2000 2005 2010

Gráfica 2: Representación del aumento de la población en el Distrito Federal a partir de barras.

Con las gráficas anteriores puedes ver el comportamiento del crecimiento de la población tan sólo en el D.F. Imagina, cómo será el

15

crecimiento de los habitantes en otras entidades de nuestra República Mexicana. Ahora vamos a comparar el crecimiento de la población. Al relacionar la tabla 1 y las gráficas 1 y 2 de la población del DF, vemos que de 1960 a 2010, simplemente la población se ha duplicado en 50 años. Compara donde te facilita el análisis si en la tabla o en la forma gráfica. Vamos a calcular las tasas de crecimiento de la población para varios años.

¿CÓMO SE CALCULA LA TASA DE CRECIMIENTO? Para obtener este dato debemos de contar siempre con dos años como mínimo para hacer la comparación. La fórmula para calcular la tasa de crecimiento es

Como vamos a obtener la de la población sustituye la siguiente información:

Veamos una aplicación y comprobemos la tasa de crecimiento de 1960 a 2010 Población de 2010: 8,851,080 Población de 1960: 4,870,876 Sustituimos los valores

Entonces, podemos asegurar que la población creció en 81.71% en 50 años. 16

Ahora te toca a ti.

(Se desarrollan en plataforma) ¡Muy bien!, Estás listo para pasar al siguiente tema.

1.3 REPRESENTACIONES DE FUNCIONES POR MEDIO DE CONJUNTOS Utilizar conjuntos es muy amigable y fácil, pues de esta manera podemos ayudarnos a “ver” mejor los conceptos que estudiamos. Tal y como vimos al inicio de esta unidad, una función permite relacionar elementos, es decir, nos da la regla de correspondencia entre el dominio y el codominio. Para reforzar este aprendizaje, vamos a centrarnos en representar a las funciones por medio de conjuntos. Como vimos en el caso de los modelos de población, las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones de la vida diaria, por ejemplo, el costo de una llamada telefónica por celular, pues esta depende de su duración, o cuando mandas cosas por paquetería, el costo del envío depende del peso que quieras que se traslade. 

Aplicación 1

Como ejemplo, observa las siguientes columnas: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 ¿Qué puedes decir? ¿Cómo se relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha? 17

Si observas con atención puedes deducir que los números que se encuentran de lado derecho son el cuadrado de los números del lado izquierdo. 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Es decir, La regla de correspondencia es entonces "elevar al cuadrado": x --------> x2 Si sólo tuviéramos estos números, podemos decir que los conjuntos relacionados son: A={1,2,3,4} y B={1,4,9,16} y si queremos obtener las parejas ordenadas de estos dos conjuntos se tiene A x B= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} A este conjuntos se le denomina “el producto cartesiano de A por B”, este tipo de ejercicios es importante ya que nos permite realizar gráficas (lo cual veremos más adelante). Si queremos hacer una notación para esta regla de correspondencia se tiene f(x) = x2 

Aplicación 2

Cómo podemos expresar la correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos. Tenemos el conjunto X= {Miguel, Ana, Olivia, Juan, José} y Y={55,45,60,75,80,15}

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La tabla siguiente muestra la relación que hay entre los dos conjuntos X

Y

Miguel

55

Ana

45

Olivia

60

Juan

75

José

80

Cada persona que pertenece al conjunto X o dominio, es la variable independiente; el peso que perteneciente al conjunto Y o codominio, constituye la variable dependiente. Es importante que observes que una persona no puede tener dos pesos diferentes pero si dos personas pueden tener el mismo peso, por lo tanto la regla de correspondencia es una función. 

Aplicación 3

Definir la correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla de correspondencia "el doble del número más 3". Esta regla de correspondencia podemos escribirla de la siguiente manera: y=f(x) = 2x + 3 Recuerda que x es la variable independiente y=f(x) es la variable independiente. Algunos de los valores que tenemos son: x

y= f(x)

-3

2(-3)+3=-6+3=-3

-2

2(-2)+3=-4+3=-1

-1

2(-1)+3=-2+3=1

0

2(0)+3=0+3= 3

5

2(5)+3=10+3= 13

7

2(7)+3=14+3= 17

9

2(9)+3=18+3= 21

19

De manera gráfica se tiene Dominio

-3 -2 -1 0 5 7 9



Rango

-3 -1 1 3 13 17 21

Aplicación 4

Ahora, observa los siguientes conjuntos, Dominio

-3 -2 -1 0 5 7 9

Rango

-5 -3 -1 1 11 15 19

¿Puedes determinar el dominio, el codominio y el rango? ¿Qué puedes decir de la regla de correspondencia? Observando cuidadosamente. Podemos decir, que el Dominio A está formado por A= {-3,-2,-1,0,5,7,9}, que el rango R= {-5, -3, -1, 1,11,15,19}, que el codominio está formado por los impares (todos los elementos de R son impares), pero ¿y la regla de correspondencia?

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¿Cómo son los números del rango con relación a los del dominio?, pues a simple vista podemos asegurar que son más que el doble, ¿qué pasa si a los elementos del dominio los multiplicamos por 2?, veamos la siguiente tabla

x

y= f(x)=2x

-3

2(-3)=-6

-2

2(-2)=-4

-1

2(-1)=-2

0

2(0)=0

5

2(5)=10

7

2(7)=14

9

2(9)=18

Pues casi le hemos atinado, sin embargo todavía nos falta sumar o restar “algo” pues nos falta completar los valores exactos del rango. Observando nuevamente, vemos que falta sumar un 1, probemos nuevamente con la tabla x

y= f(x)=2x+1

-3

2(-3)+1=-6+1=-5

-2

2(-2)+1=-4+1=-3

-1

2(-1)+1=-2+1=-1

0

2(0)+1=0+1=1

5

2(5)+1=10+1=11

7

2(7)+1=14+1=15

9

2(9)+1=18+1=19

Como puedes ver, los valores son los que están en el conjunto del lado derecho, de esta manera la regla de correspondencia es Y=f(x)=2x+1 Sabemos que puede parecerte difícil, sin embargo verás que con práctica podrás dominar este tema.

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Práctica resolviendo ejercicios de la bibliografía que se presenta al final de la unidad. Para ello acude a una biblioteca pública o quizá tengas por ahí libros tuyos o de algún familiar que te será de gran utilidad.

Imagen 7. Estudiantes en la biblioteca

1.4

REPRESENTACIONES DE FUNCIONES COMO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Como vimos en el tema anterior, los conjuntos son una manera fácil de identificar algunos tipos de funciones pero lo cierto es que, en muy pocos casos, las formas gráficas o la expansión de los conjuntos son la manera más adecuada de analizar las funciones. En este apartado, vamos a estudiar cómo podemos representar a las funciones en forma algebraica. Recuerda que los enunciados de problemas pueden plantearse en forma de símbolos, en este apartado veremos si esas expresiones que nos ayudan a resolver problemas son o no funciones.

Apoyemos a Beto a interpretar algebraicamente el siguiente problema:

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Al rentar un automóvil, el costo indicado por la compañía es de $300 pesos diarios, más $10 por cada kilómetro recorrido. Si se recorren en promedio 85 kilómetros diarios, ¿cuánto se tiene que pagar por 7 días?

SOLUCIÓN: Veamos, en este caso necesitamos una variable que mida el dinero y otra que mida los kilómetros, pongamos que la variable para el dinero es “d” y la variable para los kilómetros es “k”. Preguntémonos ahora, ¿Quién es la variable dependiente? ¿Quién es la variable independiente? Los kilómetros dependen del dinero a pagar o el dinero a pagar depende de los kilómetros. En este caso el dinero a pagar depende de los kilómetros recorridos, por lo tanto, la forma algebraica para resolver este problema queda expresado por:

d= 300 + 10k Con los datos del problema vemos que en un día se recorren 85 km, entonces el costo diario es de: d= 300 + 10(85) d= 300 + 850Vamos d= 1,150 pesos El costo por 7 días de uso es de: 7d= 7(1,150)= 8,050 Ahora, debemos preguntarnos, ¿esta expresión es una función?

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Analizando, vemos que para cada día, el costo va subiendo, por lo tanto no habrá un día (dominio) que tenga dos costos diferentes, por lo tanto, nuestra expresión es una función.

Analicemos otro ejemplo El precio del dólar el 3 de enero de 2011 fue de $12.26, suponiendo que el dólar tiene un aumento de $0.02 centavos diarios (a excepción del domingo que no hay transacciones), ¿cuál sería su precio para el día 10 de enero? y ¿para el día 17? Y pasado el tiempo ¿cuánto sería para el día 24? Ahora para realizar nuestra interpretación por una función algebraica, necesitamos una variable que sea el precio y la llamaremos “p” y la otra variable será el tiempo la cual representaremos con la letra “t”. ¿Quién es la variable dependiente? ¿Quién es la variable independiente? Veamos, ¿el precio depende del tiempo o el tiempo depende del dinero? La respuesta correcta es que el precio depende del tiempo, por lo tanto p es la variable dependiente y t es la variable independiente. La expresión algebraica que define nuestro problema es

p=12.26 + 0.02t Si vemos el calendario, para el día 10 de enero habían pasado 5 días (observa el calendario que tienes al inicio del ejemplo y recuerda que no se consideran los días sábado y domingo para contabilizar), por lo tanto; P= 12.26 + 0.02 (5)= 12.26 + 0.1=12.36 Para el día 17 habían pasado 10 días, por lo tanto la expresión queda como P= 12.26 + 0.02 (10)= 12.26 + 0.2=12.46

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Sigamos resolviendo más casos prácticos Es útil saber leer los conjuntos y las condiciones de las expresiones algebraicas, en estos últimos ejercicios vamos a leer y explicar la regla de correspondencia, pon mucha atención pues en los siguiente ejercicios vas a hacerlos tú. f= {(x,f(x)/ f(x)=8x2-2} Para interpretarlo textual se lee: “f” es la función que asigna a cada valor de “x”, ocho veces el valor de “x” elevado al cuadrado, disminuido en dos unidades. Otro ejemplo puede ser: “Determina el conjunto de la función tal que G sea la función que asigna a cada x, tres unidades menos el valor de x en el segundo elemento”, entonces podemos expresar algebraicamente el conjunto de la siguiente manera: G={(x,f(x))/G(x)=x-3} Estás listo, si tienes duda consulta a tu tutor, recuerda que la siguiente actividad será calificada de manera automática.

(Se desarrolla en plataforma)

1.5

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la antigüedad más lejana, a confeccionar mapas o cartas geográficas y a relacionar los puntos. En matemáticas, el sistema de referencia se forma sobre un plano con dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra “O” o también denominado “punto de origen”.

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Es necesario elegir una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las x, mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje de las y. Observa la siguiente figura

Imagen 8. Ejes del plano cartesiano

Las funciones (y por supuesto las relaciones) pueden ser graficadas en el sistema cartesiano, solo debemos tener presente que es en el eje de las abscisas en donde se ubican los valores de “x” (variables independientes) y que en el eje de las ordenadas se deben identificar los valores de “y” (variables dependientes). La siguiente figura muestra cómo podemos ubicarnos en el plano cartesiano.

Imagen 9. Signos asociados a los cuadrantes del plano Cartesiano. Sánchez, M. (2011).

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Ejemplo 1 Veamos como representamos estos puntos en el plano cartesiano.

A (+5, +2) y A’(+2, +5); B (–2, +3) y B’(+3, –2); C (+5, –6) y C’(–6, +5); D (–2, –3) y D’(–3, –2).

Imagen 10. Representación de puntos en el plano cartesiano

Ejemplo 2 Identifica los puntos en el siguiente plano cartesiano.

Imagen 11. Pares ordenados

Para cada uno de los puntos podemos contar los “cuadritos” e indicar su posición. Entonces podemos decir que cada uno de los puntos tiene las siguientes coordenadas. Y entonces, tenemos los siguientes pares ordenados o “coordenadas”: A (+3, +5); B (–2, 0); C (–1, 3); D (–3, 4); E (–4, –2); F (0, –1) Ejemplo 3 27

Existen casos en que todos los puntos son constantes para la variable dependiente y entonces se tiene la siguiente gráfica. Representar la recta cuyos puntos tienen todos ordenada 5, esto es F= {(x,fx(x)/y=5}

Imagen 12. Representación gráfica de la recta cuyos puntos tienen todos ordenada 5

La prueba de la vertical para las funciones Ya hemos visto como podemos dibujar las funciones en gráficas sobre el plano cartesiano, ahora resta mencionar una prueba gráfica llamada “la prueba de la vertical”, lo que es una manera muy fácil para determinar a partir de una gráfica si se tiene una función o una relación. Lo que tenemos que hacer es trazar líneas verticales a lo largo del eje x en nuestra gráfica, si la línea vertical interseca a la gráfica cuando mucho en un punto en cualquier coordenada x, entonces la relación es una función. En caso de que suceda lo contrario, no es una función.

28

Imagen 13. Identificación de puntos cuando corresponden a una función. Sánchez, M. (2011)

Esta gráfica es sólo para ilustrar, los diferentes casos a los que te puedes enfrentar. Ahora sí, estamos listos para la siguiente actividad.

(Se realiza en plataforma)

CONCLUSIÓN Muy bien, hemos concluido nuestra primera semana de estudio. El conocimiento de las funciones y como se pueden interpretar nos ayudará para nuestra siguiente unidad donde veremos las distintas formas de una función polinomial.

29

REFERENCIAS De consulta

Libros Cuellar L. J. (2005). Matemáticas para Bachillerato 2. Mc GrawHill. México. García J. M A. (2006). México.

Matemáticas 3 para preuniversitarios.

Esfinge.

Guzmán, Miguel de, Colera José Bas, María del Carmen, Gaztelu, Ignacio y Oliveira, María José. (1987). Matemáticas, Bachillerato 1. Anaya. Madrid. Harshbarger R.y Reynolds J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, economía y ciencias sociales. 7ª Edición. Mc Graw Hill. México. Tan, Soo Tang. (2005). Matemáticas para administración y economía. 3ª. Edición. Thomson. Australia. Sitios de internet Funcione en Profesores en línea Recuperado de: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html ¿Función o ecuación? En Funciones matemáticas, ¿con qué se comen? Autor Ignacio Barradas Rev. ¿Cómo ves? UNAM Recuperado de: http://www.comoves.unam.mx/articulos/funciones/funciones.html Tipos de Funciones. Profesores en línea Recuperado http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_tipos.html

de:

Tipos de Funciones. Recuperado de: http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html,

De imágenes 1. Imagen de apoyo. Conformada por tres imágenes.

Recuperadas de: http://3.bp.blogspot.com/_Hkt2mbX0nkA/SeQTlrZydBI/AAAAAAAAAE4/e0e 0wza8Eko/S150/smartguyreadinghgclrja7.gif 30

2.

3.

4.

5.

6.

7.

http://educacion.uncomo.com/educacion-matematica/3 http://s1.vivirmexico.com/files/2007/09/mapa.jpg http://t3.uccdn.com/images/0/2/3/img_como_graficar_las_funciones_matem aticas_basicas_1320_orig Correspondencia de los elementos entre dos conjuntos Recuperado de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/PolygonsFunctio n.svg/275pxCada artículo se relaciona con un precio Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/tamara_ibi/3190484157/ Subasta de productos Información: Sánchez Z. M. (2011) Edición: A, Martínez Relación entre los conjuntos de números Información: Sánchez Z. M. (2011) Edición: A, Martínez Una función es una correspondencia de uno a uno entre los elementos del conjunto Información: Sánchez Z. M. (2011) Edición: A, Martínez Estudiantes en la biblioteca Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/sisib/3079202931/

8. Ejes del plano cartesiano

Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez 9. Signos asociados a los cuadrantes del plano Cartesiano. Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez 10. Representación de puntos en el plano cartesiano Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez 11. Pares ordenados Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez 12. Representación gráfica de la recta cuyos puntos tienen todos ordenada 5 Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez 13. Identificación de puntos cuando corresponden a una función. Información: Sánchez, M. (2011) Edición: A, Martínez

31

32

UNIDAD II. ¿CÓMO SOMOS? DESCRIPCIÓN DEMOGRÁFICA DE LAS DIFERENTES DELEGACIONES

Introducción En las grandes ciudades del mundo uno de los problemas que enfrentan es el incremento en su población. A partir de comprender el comportamiento en parámetros como tasa de mortalidad, tasa de fecundidad y asociar con la edad de la población económicamente activa (PEA), aplicamos funciones para analizar su importancia en la interpretación de distintos tipos de gráficas. Nuestro amigo Beto, se ha sorprendido con los datos que encontró en el portal del INEGI y de ahí le ha surgido la idea de interpretar más a través de las gráficas, pues como recordarás en el último Censo de Población y Vivienda 2010, se recabo información muy relevante para entender cuántos somos, con qué nivel de escolaridad contamos y así poder interpretar el perfil de nuestra población, las necesidades materiales que se tiene como ciudadanos, el acceso a servicios, tales como educación, salud, transporte,

habitación,

entre

otros

importantes

parámetros

demográficos

asociados.

El primer dato que salta a la vista es un aumento poblacional impresionante. Hoy somos 112 millones 322 mil habitantes en todo el territorio nacional, lo cual supone prácticamente 4 millones de mexicanos más que lo proyectado. Este dato por sí solo, nos ubica en el undécimo lugar entre los países más poblados, lista que desde luego encabeza la República Popular China con mil 354 millones de habitantes.

El Estado de México continúa siendo la entidad con el mayor número de población rebasando los 15.2 millones de habitantes -uno de cada siete mexicanos es mexiquense-. En toda la República, las zonas metropolitanas suman 62 millones de habitantes, es decir, prácticamente 56 de cada cien habitantes de México 1

residen en alguna de estas zonas. Otro dato importante es la forma en que el crecimiento demográfico ha venido ensanchando la diferencia entre hombres y mujeres. Somos un país con más de 57 millones de mujeres mientras que hombres hay poco menos de 55 millones.

No obstante hay cifras que encierran un significado más profundo, aún faltando más análisis para entender que pasa en nuestro país. Por ejemplo, Oaxaca es la entidad federativa con la mayor cantidad de población en localidades menores de 2,500 habitantes. Prácticamente el 52% (2 millones de personas) vive en comunidades de estas características. Es decir, el censo nos informa del gran rezago y marginación que comunidades enteras han alcanzado en el estado de Oaxaca. Aunque la distribución de la población entre las localidades menores a 2,500 habitantes y las que albergan a más de 2,500 se ha cerrado notablemente en los últimos decenios. La presencia de 23% de la población en localidades aisladas y de alta marginación pone en perspectiva un dato más bien desalentador, Integrar al desarrollo a ese 23% de la población debe ser una alta prioridad de los gobiernos municipales, estatales y el federal, para alcanzar las expectativas de desarrollo que se proyectan en el crecimiento económico y educativo del país.

Imagen 14. El crecimiento poblacional

Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será competente para: Interpretar funciones polinomiales, constantes y lineales de fenómenos demográficos.

2

Temario Muchas situaciones en la vida cotidiana como: gastos, ingresos, salarios, ganancias en los negocios, consumos, cambios de temperatura, crecimiento de las poblaciones, entre otras muchas operaciones, pueden ser representadas usando funciones denominadas POLINOMIALES.

Éstas no son raras, las hemos venido estudiando conforme avanzamos nuestros cursos de matemáticas y siempre se relacionan con una ecuación algebraica después de que lo hemos analizado en habilidades operativas y Las matemáticas en mi vida I, irás asociado los términos aquí manejados.

En esta unida revisaremos los siguientes temas: 2.1 Funciones polinomiales, funciones constantes y lineales como casos particulares 2.2 Tasa de mortalidad infantil 2.3 Tasa de fecundidad 2.4 Población por edades 2.5 Población económicamente activa

2.1

FUNCIONES

POLINOMIALES,

FUNCIONES

CONSTANTES

Y

LINEALES COMO CASOS PARTICULARES

Recordando términos: Una función es una relación entre dos conjuntos tales que a cada elemento del dominio, le corresponde exactamente un elemento del rango. Entonces, podemos definir, una función mediante un conjunto de pares ordenados, una tabla, una gráfica o una ecuación. Cuando se define una función, la variable que representa los números del domino, se conocen como VARIABLE INDEPENIENTE de la función y la variable que representa los números del rango como VARIABLE DEPENDIENTE. 3

Por ejemplo, sea la ecuación y= 4x -3, se define como la función de “x” porque sólo un valor de “y” resultará para cada valor de “x” que se sustituye en una ecuación. Analiza el siguiente cuadro: Si tenemos la ecuación y= 4x – 3 y decimos que es una función de “x” Entonces se puede representar de igual forma en y= f(x), por lo tanto podemos decir que f(x) = 4x -3, para encontrar sus pares coordinados. f(x)

f(x)= 4x - 3

Sustituyendo

x

f(x)

Coordenadas (x,y)

0

f(x) =4(0) - 3

F(0) = -3

0

3

(0,3)

1

f(x) =4(1) - 3

F(1) = 4 -3

1

1

(1,1)

2

f(x) =4(2) - 3

F(2) = 8 -3

2

5

(2,5)

3

f(x) =4(3) - 3

F(3) = 12 -3

3

9

(3,9)

4

f(x) =4(4) - 3

F(4) = 16 -3

4

13

(4,13)

¡Muy bien! Como apreciarás ahora relacionamos cada dominio con su rango o contradominio, formando un par ordenado como se te introdujo en la unidad I de este curso. Si esto lo graficamos en nuestro plano cartesiano, tenemos la identificación de los puntos que unen los pares coordinados o solución.

4

Y si unimos los puntos, ahora se forma una línea recta.

Veamos, más sobre qué tipo de funciones polinomiales podemos encontrar en nuestro estudio. ¿Sabías que…? Un término algebraico es una expresión de la forma “ax”,

donde “a” es llamado el coeficiente, “x” se conoce en conjunto como la parte literal, formada por la variable “x” y el exponente “n” como lo vemos en la imagen es nuestro grado asociado a la función,

5

En este ejemplo la literal está con exponente a la dos, por lo cual se denomina de segundo grado, Una función polinomial de grado “n” es una función dada por un polinomio, es decir, de la forma: Donde: f(x)= anxn + an-1xn-1 + …, + a2x2 + a1x2 + a0 “n” es un número entero no negativo que denota el grado de la función polinomial, “x” es la variable y “a”, todos los números reales o términos que acompañan a nuestra variable, tal que an ≠ 0 y corresponden a los coeficientes. Identifiquemos el grado en una función polinomial, para tener más clara esta situación, analiza con atención los siguientes ejemplos de la tabla

Función polinomial f(x) = x2

Grado 2

2

f(a) = 6a - 2ª - a

2

f(x) = 4x

1

g(x) = 5x3 - 1

3

r(x) = -x4 + 3x3 + 7x2 -8

4

El grado de una función polinomial de una variable es independiente del coeficiente que multiplica a la variable. El grado de la función es la máxima potencia o exponente al cual está elevada la variable respectiva en el polinomio.

6

El grado de una función polinomial determina una diferencia entre la forma de la gráfica correspondiente. Esto es algo que se analizará con detalle cuando se vean los casos particulares, pero podemos ir asociando el nombre de su representación gráfica con la función polinomial según su grado:

Ejemplo de

Grado de

Se conoce

función

la función

como

Su gráfica asociada

polinomial f(x) = 3

0

Función constante

f(x) = 2x + 1

1

Función lineal

f(x)=x2 + 2x

2

Función cuadrática

7

g(x) = x3 – 6x2 +

3

4x +12

Función cúbica

g(x) = x4 – 2

4

Función

Su gráfica depende del número de

cuártica

términos que participen en su diseño.

Tabla 2. Función polinomial y su representación gráfica

Otras de las características básicas de una función polinomial, se asocia con el coeficiente principal y el término constante. Para localizar estos términos observa la siguiente aplicación: f(a) = 6a2 – 2a -1 Como verás hemos encerrado el coeficiente principal que es 6, y en un cuadro hemos señalado el término constante, ya que este no es multiplicado por la variable, o también, se puede interpretar como a 0, si recuerdas todo base elevada a cero siempre es igual a 1, y esto no afecta a nuestro término constante. Realiza ahora, el análisis de los coeficientes de cada una de las funciones enlistadas y cuál es su término constante. Por ejemplo, si damos las función g(x) = -3x3 + x – 8; Tomamos primero el orden decreciente de nuestro exponente y vamos organizando los coeficientes para determinar, -3x

3

+ 0x2 +1x1 – 8x0

por lo tanto

los coeficientes asociados a una literal son: -3, 1 Y el término constante es -8, es decir, es aquel asociado al término “ax0”. Ahora llenemos la tabla:

8

Función

Grado

Coeficiente X4

f(X)= -x2+5x-1

2

f(X)= x4+- x3 +7x+10

4

g(X)= -9x+5x3-5x2

3

g(X)= -1/2

0

1

X3

X2 X1

Coeficiente

Término

principal

constante

X0

-1

5

-1

1

-1

-1

0

7

10

1

10

5

-5

9

0

5

0

-1/2

0

-1/2

Como te darás cuenta, es importante que ordenes siempre tus términos en función de su exponente.

PRACTICANDO EN TU LIBRETA DE APUNTES

Encuentra el término constante y el coeficiente de las siguientes funciones. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa los resultados.

Función

Grado

Coeficiente

Término

principal

constante

f(X)= x4-x3 +2 f(X)= 9 + 2x -3x2 + x4 g(X)= 5x3 -9x4 +5x2-x g(X)= x + 3 f(X)= 7x2 + 2x+3

Bien, ahora comparemos los resultados que debes haber obtenido.

SOLUCIÓN Función

Grado

Coeficiente

Término

(indicado por el

principal

constante

9

exponente más alto de la función) f(X)= x4-x3 +2

4

1

2

f(X)= 9 + 2x -3x2 + x3

3

1

9

g(X)= 5x3 -9x4 +5x2-x

4

-9

0

g(X)= x + 3

1

1

3

2

7

2

2

f(X)= 7x + 2x+2

¡Muy bien!, no olvides está parte que es la forma más sencilla para encontrar los valores en funciones constantes y lineales.

Pero si fallaste, analiza el número que anotaste y compara, subraya con algún color las relaciones y ubica.

2.1.1 LA FUNCIÓN CONSTANTE COMO CASO PARTICULAR DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL Cuando una función tiene grado cero es llamada una función constante. Es decir, el valor de la función no cambia, independientemente de los valores que tome la variable “x”. Por esta razón se define como constante f(x) = c. Veamos un repaso, de las siguientes funciones, ¿cuáles serían constantes? a) f(x)= 4x3 – 2x + x4 b) g(x)= -2 c) f(x) = x d) g(x)= -11x e) f(x)= 4 f) g(x)=0(x)

RESPUESTA: incisos b, e y f. 10

VAMOS, sigamos adelante. Como sería entonces el caso del inciso b) g(x)1= -2

Si esto lo llevamos a una tabulación, donde asignamos números positivos y negativos para después graficar tenemos lo siguiente: x

g(x)= -2 ; g(x) = y

(x,y)

1

g(1)= -2

(1, -2)

2

g(2)= -2

(2, -2)

0

g(0)= -2

(0, -2)

-1

g(-1)= -2

(-1, -2)

-2

g(-2)= -2

(-2, -2)

Y llevamos a ubicar los puntos en una gráfica 4 3

Independientemente del valor de la variable “x”, la función siempre toma el valor de -2, es decir, se mantiene constante.

2 1 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3

2.1.2 LA FUNCIÓN LINEAL Y SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN DE LA RECTA Una función lineal es una función polinomial de grado 1, entonces, según la definición de función polinomial, cualquier función lineal debería poder ser escrita en la forma general: 1

Podemos usar función con f(x), g(x), h(x), etc.

11

f(x) = a1x + a0 Donde el coeficiente principal es a1 y a0 corresponde al término constante. Para hacer la función más práctica de ahora en adelante asociamos la función lineal a la siguiente forma f(x) = mx + b Es decir, a1 = m y a0 = b, en otra parte de tu estudio hemos aclarado que f(x) =y Entonces ahora, lo correcto es decir, que el coeficiente principal corresponde al valor de “m” y esto se asocia con el valor de la pendiente en una recta y “b” es el término constante, que de ahora en adelante nombraremos la ordenada al origen, ya que cuando “x” es igual a cero siempre nos queda ese valor definido.

2.1.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL De lo que hemos estado trabajando, ahora vamos a graficar, lo recomendable es siempre tabular y formar los pares de coordenadas. Recuerda la relación dominio y contradominio (uno a uno).

Sea la función f(x)= 5x, entonces tenemos la siguiente tabulación: x

f(x)=5x

(x,y)

1

f(1) =5(1)

(1, 5)

2

f(2) =5(2)

(2,10)

0

f(0) =5(0)

(0, 0)

-1

f(3) =5(-1)

(-1, -5)

-2

f(-2) =5(-2)

(-2,-10)

12

y al graficar obtenemos la siguiente representación.

Recuerda ubicar el término constante se asocia con la ordenada al origen, que en este caso es 0. Si lo realizamos ahora para la función f(x)= 2x – 1, realiza su tabulación y gráfica en tu cuaderno y compara con la que nos resulta. x

f(x)=2x -1

(x,y)

1

f(1) =2(1) -1

(1, 1)

2

f(2) =2(2) - 1

(2,3)

0

f(0) =2(0) - 1

(0, -1)

-1

f(-1) =2(-1) -1

(-1, -3)

-2

f(-2) =2(-2) -1

(-2,-5)

Vamos bien, has empezado a identificar

los

valores

de

la

pendiente y la ordenada al origen.

13

2.1.4 LA PENDIENTE (m) ES UNA RAZÓN En matemáticas, se entiende como razón, al cociente entre dos cantidades, generalmente se usa como una comparación entre ellas. En el caso de la pendiente es en realidad una diferencia de la razón y se determina con la siguiente operación: m=

Consideremos nuestra tabla de la función f(x)= 2x-1, tomemos como puntos para calcular la pendiente los pares de coordenadas (1,1) y (2,3), es importante considerar que en ese orden de selección los definimos como (x1, y1) y (x2, y2) Ahora sustituimos: (1, 1)

(2,3)

(x1, y1)

(x2, y2)

Es importante considerar el orden de los puntos para determinar la posición. m =

m=

m= 2, como te darás cuenta es el valor que ya habías

determinado como tu coeficiente principal.

Probemos con otro par ordenado diferente, por ejemplo (-1,-3) y (-2,-5) m= m= Tomando la regla de los signos

m= 2

Es importante que sigas el orden y apliques tus reglas de los signos. Esto nos ayudará a identificar si es una línea ascendente o descendente por el valor del signo asociado a “m”. 14

2.1.5 LA FUNCIÓN CUADRÁTICA COMO CASO PARTICULAR DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL Si te ha quedado claro, que tenemos que hacer si se nos presenta la siguiente función polinomial f(x) = x2, como vemos es una función de segundo grado, por lo que corresponde a una cuadrática. Tabulamos dando valores conocidos en “x” tanto positivos como negativos x

f(x) = x2

(x, y)

1

f(1) = 12

(1,1)

2

f(2) = 22

(2,4)

0

f(0) = 02

(0,0)

-1

f(-1) = -12

(-1,1)

-2

2

(-2,4)

f(-2) = -2

Y al graficar tenemos la siguiente representación, la cual puede ser extendida en números positivos o negativos, como nosotros lo necesitemos trabajar.

Y en este caso lo que obtuvimos es una PARÁBOLA.

PONIENDONOS RETOS: Encuentra los valores de la función h(x)= 2x2 + 3x -2. Instrucciones: Resuelve en tu libreta de notas la función h(x)= 2x2 + 3x -2 y grafica en el plano cartesiano para relacionar con la gráfica que le corresponde.

15

x

h(x)= 2x2 + 3x -2

h(x)

(x,y)

1 2 3 0 -1 -2 -3 -4

Si has seguido correctamente el procedimiento, debes tener algo equivalente en tu libreta de apuntes:

x

h(x)= 2x2 + 3x -2

h(x)

(x,y)

1

h(1)= 2(1)2 + 3(1) -2

3

(1,3)

2

h(2)= 2(2)2 + 3(2) -2

12

(2,12)

3

h(3)= 2(3)2 + 3(3) -2

25

(2,25)

0

2

h(0)= 2(0) + 3(0) -2

-2

(0, -2)

-1

h(-1)= 2(-1)2 + 3(-1) -2

-3

(-1,-3)

-2

h(-2)= 2(-2)2 + 3(-2) -2

0

(-2,0)

-3

h(-3)= 2(-3)2 + 3(-3) -2

7

(-3,7)

-4

h(-4)= 2(-3)2 + 3(-3) -2

18

(-4,18)

16

Tú gráfica debe ser algo parecida a esto. Muy bien, lo estamos logrando. Para seguir practicando con las funciones polinomiales de segundo grado y su representación gráfica, te recomendamos consultes las siguientes páginas electrónicas ahí tendrás más ejercicios para resolver: Ejercicios de la función cuadrática. Recuperado de http://www.vitutor.com/fun/2/e_c.html La función cuadrática en Red Escolar Nacional del Gobierno de Venezuela http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA27/funcionCuadratica.html

PRÁCTICA EN TU LIBRETA Identifica el grado y tipo de gráfica que se obtiene de las siguientes funciones. a) f(x) = -2x3 + 3x2 + 2x -1 b) f(x) = 3x2 + 2x -2 c) f(x) = -3x +4 d) f(x) = 2x4 + 8x3 + 3x2 – x + 5

17

SIEMPRE PARA MEJORAR HAY QUE PRACTICAR

(Se realizan en plataforma)

2.2. TASA DE MORTALIDAD INFANTIL Ahora, que ya conoces algunas de las funciones más representativas en matemáticas, integremos la información a cuestiones de poblaciones. Primero entendamos que estudia la demografía.

¿Qué es la demografía? Es el estudio interdisciplinario de las poblaciones humanas. La demografía trata de las características sociales de la población y de su desarrollo a través del tiempo. Los datos demográficos se refieren, entre otros, al análisis de la población por edades, situación familiar, grupos étnicos, actividades económicas y estado civil; las modificaciones de la población, nacimientos, matrimonios y fallecimientos; esperanza de vida, estadísticas sobre migraciones, sus efectos sociales y económicos; grado de delincuencia; niveles de educación y otras estadísticas económicas y sociales.

La demografía se encarga de tres partes fundamentales:

1. La medición: Cuantificación de eventos poblacionales. 2. La explicación: Análisis de causas de los efectos. 3. Fenomenología: Explicación de las variables.

Para entender esto, entonces el estudio del tamaño de una población comprende cualquiera de las siguientes ecuaciones:

18

Población Final = Población Inicial + Nacimientos - Defunciones + Inmigración - Emigración

Población Final = Población Inicial + Crecimiento Natural ó Vegetativo + Migración Neta

Crecimiento de la Población = Nacimientos - Defunciones + Migración Neta

Cómo apreciarás hay distintos eventos que apoyan en el número de habitantes que conforman una población, y esto no es exclusivo de cuantas personas nacen o mueren, influye también la edad, el sexo, las actividades que pueden desarrollar, etc., pero algo muy importante es que todo está en función del tiempo, ya sea en días, meses, años. Por lo tanto, tenemos que el comportamiento en el crecimiento de una población está en función del tiempo.

Para continuar, también debemos definir que es una tasa en concepto matemático… Una tasa es una relación entre dos magnitudes. Se trata de un coeficiente que expresa la relación existente entre una cantidad y la frecuencia de un fenómeno. De esta forma, la tasa permite expresar la presencia de una situación que no puede ser medido o calculado de forma directa.

Por ejemplo, en una región donde viven 1,000 personas, si la tasa de desempleo es 10% no quiere decir que hay 100 desocupados, porque aquí estás considerando a todos los integrantes, incluyendo niños y estos no pueden estar trabajando, pero que tal, si hay 500 personas que son económicamente activas por su grado de estudio y edad, entonces la tasa anterior se interpreta que hay 50 personas sin empleo. De la misma forma se hacen la relación para otros parámetros que analizarás en esta unidad.

A continuación te presentamos datos generales de la población en la República Mexicana, para que te vayas dando una idea. 19

Población en el territorio mexicano

112,322,757 (54,858,298 hombres y 57,464,459 mujeres)

Distribución por edad

0-14 años: 28.2 % (16,395,974 hombres y 15,714,182 mujeres) 15-64 años: 65.2% (35,842,495 hombres y 38,309,528 mujeres) 65 años en adelante: 6.6% (3,348,495 hombres y 4,113,552 hombres)

Tasa de crecimiento

1.102%

Tasa de natalidad

19.13 nacimientos /1,000 habitantes

Tasa de mortalidad

4.86 muertes/1,000 habitantes

Tasa de mortalidad infantil

Hombres: 19.14 muertes/1000 nacimientos Mujeres: 15.36 muertes/1000 nacimientos TOTAL: 17.29 muertes/1000 nacimientos

Expectativa de vida al nacer

Hombre: 73.65 años Mujeres: 79.43 años

Tasa de fertilidad

2.29 infantes nacidos/mujer

Número de habitantes en el DF por Km2 5,937 Tabla 3. México Perfil poblacional 2012. Fuente: Index Mundial

http://www,indexmundi,com/es/mexico/poblacion_perfil,html

Veamos cómo se comporta la población y en particular analiza el caso de dos delegaciones en el Distrito Federal.

TASA DE MORTALIDAD La tasa de mortalidad es un indicador que refleja el número de defunciones por cada 1,000 habitantes de una población en un cierto periodo de tiempo (generalmente es un año). 20

La tasa de mortalidad está inversamente vinculada a la esperanza de vida al momento del nacimiento; a mayor esperanza de vida, menor tasa de mortalidad. Los países en vías de desarrollo tienen una tasa de mortalidad más elevada que los países desarrollados. Observa

la

siguiente

gráfica, que relaciona la expectativa de vida en diferentes años, y como a mayor edad y mejores condiciones

en

la

atención a la salud en la edad adulta o en la vejez,

el

número

de

personas alcanzan más personas a vivir. Imagen 15. Tasa de mortalidad por grupo de edad. [Estadísticas de la PAHO. Gráfica]

En cambio, en el análisis de la misma gráfica los infantes, suelen ser más susceptibles de fallecer en los primeros 5 años de vida y al mismo tiempo entre los hombres y mujeres hay mucha diferencia. Se suele considerar que la tasa de mortalidad: Tasa de mortalidad

Porcentaje

Alta

>30%

Moderada

Entre 15 a 30%

Baja

<15%

A nivel mundial, la mortalidad relacionada con la mala nutrición es la principal responsable de las altas tasas de defunción en país en vías de desarrollo.

21

En cambio, en los países desarrollados, las principales causas de mortalidad son los tumores, las enfermedades del sistema circulatorio y las de vías respiratorias, principalmente en la edad adulta.

Imagen 16. Enfermedades cardiovasculares de mayor impacto en los países desarrollados.

La tasa de mortalidad infantil, por otra parte, es el indicador demográfico que indica el número de defunciones por cada 1,000 nacimientos vivos registrados, durante el primer año de su vida. Aunque la tasa de mortalidad se mide sobre los niños menores de 1 año, también se han medido algunas veces en niños menores de 5 años. La consideración del primer año de vida para establecer el indicador de la mortalidad infantil se debe a que el primer año de vida es el más crítico en la supervivencia del ser humano, además se ha relacionado directamente con los niveles de pobreza y calidad sanitaria en un país, pues a mayor pobreza o menor calidad sanitaria, mayor es la tasa de mortalidad infantil.

Tasa de mortalidad infantil =

Defunciones de niños < 1 año Total de nacidos al año

= x 1000

De acuerdo al Consejo Nacional de Población (CONAPO), el Distrito Federal se presentan los siguientes los Indicadores de Tasa de Mortalidad infantil del 2005 al 2011, con proyección al 2020 en la siguiente tabla 3. Indicador 2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2015*

2020*

Tasa de mortalidad infantil por cada 1000

12.14

11.76

11.40

11.05

10.70

10.36

9.16

7.73

12.87

Tabla 4. Tasa de mortalidad infantil 22

Fuente: CONAPO www.conapo.gob.mx consultado el 26 de agosto 2011

Y al graficar, la tasa de mortalidad contra los años.

Obtenemos la siguiente representación

tasa de mortalidad infantil en el DF 14 12 10 8 tasa

6 4 2 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2015 2020

Imagen 17. Tasa de mortalidad infantil con proyección al año 2020

Como apreciarás la tendencia es que ha ido disminuyendo la mortalidad entre los infantes menores de un año. Si recuerdas y relacionas los puntos podrías encontrar el valor de tu decremento asociado a la razón de la pendiente de dicha función.

EJERCICIO: Completa la siguiente tabla anotando los valores de la tasa de mortalidad infantil de tu delegación en el Distrito Federal del 2000 al 2009 de acuerdo al documento de la siguiente liga: http://www.salud.df.gob.mx/ssdf/index2.php?option=com_docman&task=doc_view &gid=102&Itemid=28 y compara como se ha comportado

(Nota: esta actividad no tiene evaluación, la opción es que el estudiante ingrese datos pero sin verificar por el sistema) 23

Delegación

2000

2001

2002

2003

2004

2005 2006

2007

2008

2009

Azcapotzalco 17.1

17.4

20.7

30.2

22.3

21.1

13.1

15.4

14.4

20.5

(anota aquí tu delegación)

¿Qué puedes interpretar de esos datos?

2.3 TASA DE FECUNDIDAD La tasa de fecundidad general es el cociente del número de nacimientos en el año de madres en ese grupo de edades, y el número total de mujeres de esas edades a la mitad del año. Generalmente, la tasa global se calcula con nacimientos totales y el grupo de mujeres entre 15 y 49 años que conformen esa población.

La tasa bruta de reproducción es el número de hijos que tendría una mujer a lo largo de su vida, si no estuviera sujeta a mortalidad y estuviera expuesta a las tasas de fecundidad de ese año.

Esta variable da el número promedio de hijos que nacerían por mujer si todas las mujeres vivieran hasta el final de sus años fértiles y dieran a luz de acuerdo a la tasa de fecundidad promedio para cada edad.

24

La tasa total de fecundidad es una medida más directa del nivel de fecundidad que la tasa bruta de natalidad, ya que se refiere a los nacimientos por mujer.

Veamos ahora, otro tipo de gráficas. En el reciente censo de población y vivienda, por ejemplo el Distrito Federal se registró con un promedio de 1.9 hijos nacidos vivos por mujer, ubicándolo por debajo de la media nacional, que es de 2.3.

Imagen 18. Perspectiva estadística Distrito Federal, Junio 2011. Fuente: INEGI. Perspectiva estadística Distrito Federal, Junio 2011.

Este indicador muestra el potencial de los cambios demográficos en el país. Un promedio mayor a dos hijos por mujer se considera la tasa de sustitución para una población, dando lugar a una relativa estabilidad en términos de cifras totales.

Promedios por encima de dos hijos por mujer indican poblaciones en aumento y cuya edad media está disminuyendo.

Tasas más elevadas también puede indicar dificultades para las familias, en algunas situaciones, para alimentar y educar a sus hijos y para las mujeres que 25

desean apoyar laboralmente con un ingreso a sus hogares, el problema de la crianza de los hijos. Promedios por debajo de dos hijos por mujer indican una disminución del tamaño de la población y una edad media cada vez más elevada.

Las tasas mundiales de fecundidad están disminuyendo en general y esta tendencia es más pronunciada en los países industrializados, especialmente en Europa occidental, donde se espera que la población disminuya dramáticamente en los próximos 50 años.

RESOLVIENDO UN CASO PRÁCTICO PASO A PASO: Practicando con la diferencia en tasas de fecundidad global y tasas de mortalidad de México en distintos años. A continuación se te presenta una tabla con los valores de la Tasa de fertilidad, para calcular el cambio porcentual en función de una razón, para ello realizarás la siguiente operación 1) Selecciona tu par de coordenadas (año, tasa). 2) Calcula su razón de acuerdo a la siguiente ecuación para cada período de tiempo indicado. Δ% =(

- 1) x 100%

3) Por ejemplo el primer año a relacionar se considera como el cambio en 0% Así que tenemos la siguiente relación (2003, 2.53); (2004, 2.45) Sustituyendo: Δ% =(

- 1) x 100%

Δ% =( 0.968 - 1) x 100% Δ% =( -0.0316) x 100% Δ% = -3.16% y así para todos los valores de la tabla.

26

Año

Tasa de fertilidad Cambio Porcentual (Δ%)

2003

2.53

2004

2.45

-3.16 %

2005

2.45

0.00 %

2006

2.42

-1.22 %

2007

2.39

-1.24 %

2008

2.37

-0.84 %

2009

2.34

-1.27 %

2010

2.31

-1.28 %

2011

2.29

-0.87 %

Práctica antes de resolver el siguiente ejercicio que tiene calificación automática. Calcula los cambios porcentuales de los años 2001, 2002 y 2003. ANOTA TUS OPERACIONES EN TU LIBRETA DE APUNTES.

Año

Tasa de mortalidad Cambio Porcentual

2000

5.05

2001

5.02

2002

4.99

2003

4.97

2004

4.73

-4.83 %

2005

4.73

0.00 %

2006

4.74

0.21 %

2007

4.76

0.42 %

2008

4.78

0.42 %

2009

4.80

0.42 %

2010

4.83

0.63 %

2011

4.86

0.62 %

27

Ahora revisa si tus cálculos son correctos comparando con la tabla ya completa.

Año

Tasa de mortalidad Posición Cambio Porcentual

2000

5.05

199

2001

5.02

199

-0.59 %

2002

4.99

199

-0.60 %

2003

4.97

199

-0.40 %

2004

4.73

199

-4.83 %

2005

4.73

199

0.00 %

2006

4.74

199

0.21 %

2007

4.76

193

0.42 %

2008

4.78

190

0.42 %

Si tus datos fueron iguales, ¡FELICIDADES! Estamos dominando el tema. A continuación se presenta una actividad de evaluación automática, por ello inicia hasta que estés seguro de dominar el tema de cambios porcentuales y su interpretación.

Ahora observa la Figura 11 de la gráfica de la tasa mortalidad y encontramos que el cambio donde el aumento es alto (-4.83%), efectivamente se visualiza entre el año 2003 y 2004. Y del 2004 al 2005, se forma una línea constante en función de que no hay cambio porcentual.

28

Imagen 19. Tasa de mortalidad en México del año 2000 a 2011. Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=26&l=es

(Se realizan en plataforma)

2.4 POBLACIÓN POR EDADES Actualmente la población en México asciende a un poco más de 112 millones de habitantes. Se estima que para el año 2015, 2025 y 2030 se alcance una 37población de 116, 126 y 130 millones de habitantes, respectivamente.

La población mexicana, cuenta con una proporción promedio de 50.50% de mujeres y 49.50% de hombres.

La disminución de la mortalidad, el descenso en la fecundidad y la modificación de los patrones reproductivos han sido los tres elementos que han determinado durante los últimos 25 años tanto el crecimiento de la población como los cambios significativos en su composición por edades.

29

A partir de 1970, comienza a declinar el ritmo de crecimiento de la población en nuestro país, atribuible a los nuevos patrones de fecundidad, tendientes a reducir el número de hijos por mujer, así como el tamaño de las familias.

Para el año 2020, se estima que la población mexicana reflejará el envejecimiento, donde la población menor a los 15 años representará el 22.04%; la población entre los 15 y 34 años el 32.58%; mientras que la población entre los 35 y 64 años se incrementará significativamente al 37.15%; la población de 65 años y más representará el 8.22% de la población, el doble de lo que se registra actualmente.

Imagen 21. Estimación del crecimiento poblacional en México al 2020. Fuente: http://www.rolandocordera.org.mx/esta_nac/graficas/grafica6.gif

El Consejo Nacional de Población (CONAPO), señala que uno de cada 3 mexicanos tiene actualmente 15 años, mientras que uno de cada 20 tiene más de 65 años. Situación que se modificará radicalmente en el año 2050, cuando uno de cada 4 habitantes tendrá 65 años y más.

Definición de Tasa de crecimiento: Promedio porcentual anual del cambio en el número de habitantes, como resultado de un superávit (o déficit) de nacimientos y muertes y el balance de los migrantes que entran y salen de un país. El porcentaje puede ser positivo o negativo.

La tasa de crecimiento es un factor que determina la magnitud de las demandas que un país debe satisfacer por la evolución de las necesidades de su pueblo en 30

cuestión

de

infraestructura

(por

ejemplo,

escuelas,

hospitales,

vivienda,

carreteras), recursos (alimentos, agua, electricidad) y empleo. El rápido crecimiento demográfico puede ser visto como un problema por la demanda que requerirá a corto plazo en bienes y servicios.

Año

Cambio Porcentual

2000

1.53

2001

1.50

2002

1.47

2003

1.43

2004

1.18

2005

1.17

2006

1.16

2007

1.15

2008

1.14

2009

1.13

2010

1.12

2011

1.10

Tabla 5. Cambio en la tasa de crecimiento porcentual en México del 2000 al 2011

Tasa de crecimiento (%)

Imagen 22. Tasa de crecimiento porcentual en México de los años 2000 al 2011. Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?v=24&c=mx&l=es

31

Aplicando lo aprendido Como te darás cuenta tenemos oportunidad de sacar valores de la pendiente en nuestra gráfica de crecimiento población, para ello retomaremos el concepto de la recta cuya función es y = mx + b; donde m es la pendiente entre dos puntos. Calcula las pendientes en base a la tabla 3 para los siguientes años:

1) Del 2001 al 2002 2) Del 2003 al 2004 3) Del 2006 al 2008

Para ello retoma la forma de cálculo de una pendiente m=

Por ejemplo. Si tomamos los valores para 2000 a 2001 y hacemos su relación de pares de coordenadas (x. y); quedarían de la siguiente forma: (2000. 1.53) ; (2001. 1.50)

Al sustituir en la ecuación de la pendiente tenemos: m=

m=

por lo tanto m= -0.03

Efectivamente nuestra función presenta una pendiente en decaimiento como se aprecia en la gráfica. Anota tus valores de la siguiente tabla en tu libreta de apuntes y realiza los cálculos. Compara con lo que obtenemos finalmente. F (tiempo. años)

Tasa de crecimiento (%)

2001

1.50

2002

1.47

2003

1.43

2004

1.18

2006

1.16

2008

1.14

Pendiente m=

m=

m=

32

Vemos entonces que para el cálculo de cada par de datos ordenados obtenemos entonces lo siguiente: F (tiempo. años)

Tasa de crecimiento (%)

2001

1.50

2002

1.47

2003

1.43

2004

1.18

2006

1.16

2008

1.14

Pendiente m= -0.03

m= -0.25

m= -0.01

Te darás cuenta que nuestros tres cálculos son negativos, lo que indica para nuestro análisis que hay un deceso en la tasa de crecimiento de la población mexicana. Al revisar el hecho encontramos que entre el año 2003 a 2004 cae notoriamente, probablemente esto se pudo deber a que un mayor número de ciudadanos migro a otro país y se registraron más defunciones de las estimadas. Pero, en la realidad la población total de México, va en aumento y es una medida del impacto potencial de nuestro país en el mundo y dentro de su región económica, como lo demuestra la siguiente gráfica.

Imagen 23. Número de habitantes para la República Mexicana del 2000 al 2001. Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=21&l=es

33

¿Qué pasa en el Distrito Federal?

En la gráfica observa el crecimiento acelerado de la población en la capital del país comparado al inicio del siglo XX y el nuevo milenio.

Imagen 23. Población total del Distrito Federal (1900-2010). Fuente: INEGI. Censo de Población y Vivienda 2010

En la actualidad en el Distrito Federal viven más de 8 millones 851 mil 80 habitantes, si lo graficamos tenemos la siguiente representación:

34

Imagen 24. Pirámide poblacional. Distribución de habitantes en el DF de acuerdo a edad y sexo Fuente INEGI (2011).

Esta, es otra forma de representar mediante gráficas utilizando ahora barras. El largo de cada barra representa en miles de personas de acuerdo al sexo y cada ancho es el rango de edades que abarca.

Analizando está gráfica, observamos que el mayor número de personas se encuentran entre los 10 a 14 años, tanto en hombres como mujeres.

2.5 POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA (PEA) Parte de la población total que participa en la producción económica y que en su conjunto tienen edades por arriba de los 12 años que desempeñan una ocupación que les reditúe un ingreso económico.

En la práctica, para fines estadísticos, se contabiliza en la Población Económicamente Activa (PEA) a todas las personas mayores de una cierta edad (15 años, por ejemplo) que cuentan con un empleo o que, aún no teniéndolo, 35

están buscándolo o se encuentran a la espera de alguno. ¿Crees qué tú perteneces a este grupo?

Imagen 25. Población Económicamente Activa

Ello excluye a los pensionados y jubilados, a las amas de casa, estudiantes y rentistas así como, por supuesto, a los menores de edad.

Si se calcula el porcentaje entre la PEA y la población total se obtiene la tasa de actividad general de un país.

Cuando un país tiene altas tasas de Crecimiento demográfico la tasa de actividad suele ser baja, pues existe un alto número de menores de edad y estudiantes en relación al total.

Ello ocurre frecuentemente en los países menos desarrollados, como producto de la llamada transición demográfica, constituyéndose en una traba para alcanzar un mayor crecimiento económico, pues las personas que laboran tienen que producir -directa o indirectamente- para un gran número de personas que no generan bienes.

Para conocer más sobre el PEA en distintas regiones del mundo te recomendamos la página electrónica de LABORSTA, la cual cuenta con estadística por temas, país e indicadores a corto plazo del mercado de trabajo. http://laborsta.ilo.org/applv8/data/c1s.html

36

Te invitamos a leer el documento “La población económicamente Activa. El mercado laboral a principios del siglo XXI” De Brígida García Guzmán donde la autora hace una reflexión del estado laboral en México hasta el año 2000. http://www.ejournal.unam.mx/dms/no13/DMS01311.pdf

(Se realizan en plataforma)

Conclusión Muy bien, estamos avanzando satisfactoriamente al integrar conceptos de demografía y su relación con la expresión en matemáticas de gráficas y algebraicamente. Continuemos este aprendizaje. Además, revisa periódicos y revistas y localiza ¿Cuántas gráficas se presentan y la información que aportan? Te das cuenta cuanto puedes interpretar.

37

Referencias

De consulta Libros Castro P, J y González N. A. (2002). Problemario de matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Cuellar L, J. (2005). Matemáticas para Bachillerato 2. México: Mc GrawHill. García J, M A. (2006). Esfinge.

Matemáticas 3 para preuniversitarios. México:

Harshbarger, R y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, economía y ciencias sociales. 7ª México: Edición. Mc Graw Hill. Tan, Soo Tang. (2005). Matemáticas para administración y economía. 3ª. Edición. Australia: Thomson. Sitios de internet Algunas funciones elementales. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Recuperado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#funcione s_racionales Aspectos de economía. El financiero en línea. Recuperado de: http://www.elfinanciero.com.mx/ Estadísticas de Índices económicos. Banco de México. Recuperado de: http://www.banxico.org.mx/ Funciones racionales. Wikimatemáticas. Recuperado de: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_Polinomiales Gobierno del Distrito Federal. http://www.df.gob.mx/ Instituto Mexicano del Seguro Social http://www.imss.gob.mx/

38

Instituto Nacional de Estadística y geografía INEGI. http://www.inegi.org.mx/ PIB, educación. El economista en línea. Recuperado de: http://eleconomista.com.mx/index.php De Imágenes 14. El crecimiento poblacional

Recuperado de: http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/poblacion/modulo3/u d1/photos/01_img.jpg 15. Tasa de mortalidad por grupo de edad

Recuperado de: http://www.paho.org/images/DD/AIS/traffic_fig6_s.gif 16. Enfermedades cardiovasculares de mayor impacto en los países

desarrollados 17. Tasa de mortalidad infantil con proyección al año 2020 18. Perspectiva estadística Distrito Federal, Junio 2011

Recuperado de: http://www.inegi.gob.mx/est/contenidos/espanol/sistemas/perspectivas/pers pectiva-df.pdf 19. Tasa de mortalidad en México del año 2000 a 2011

Recuperado de: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=26&l=es 20. Tasa de natalidad en México al año 2011

Recuperado de: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=25&l=es 21. Estimación del crecimiento poblacional en México al 2020

Recuperado de: http://www.rolandocordera.org.mx/esta_nac/graficas/grafica6.gif

22. Tasa de crecimiento porcentual en México de los años 2000 al 2011

Recuperado de: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?v=24&c=mx&l=es

39

23. Número de habitantes para la República Mexicana del 2000 al 2011

Recuperado de: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=21&l=es 24. Pirámide poblacional. Distribución de habitantes en el DF de acuerdo a

edad y sexo Fuente: INEGI (2011) www.cuentame.inegi.org.mx 25. Población económicamente activa

Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/silvinasisterna/5404020124/

40

UNIDAD III. ¿CÓMO VAMOS EN DESARROLLO HUMANO? CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES DEMOGRÁFICOS Y ECONÓMICOS COMO FUNCIONES RACIONALES

Introducción Hemos visto a lo largo de las dos unidades anteriores las características de las funciones, algunas aplicaciones así como las particularidades de las funciones polinomiales, constantes y lineales; ahora entraremos al estudio de las funciones racionales y analizaremos algunas de las aplicaciones que tienen en la interpretación de datos. Beto se ha encontrado con tanta información, que ahora reflexiona la importancia que tiene el PIB en el desarrollo económico de un país. Como te habrás dado cuenta, al estar estudiando las funciones estás tienen aplicaciones en nuestra vida cotidiana y quizá no te habías dado cuenta. Ahora con el estudio de esta unidad comprenderemos mejor el uso de índices1 en temas como la educación, salud y desarrollo humano, ello nos permitirá interpretar de otra forma los números dentro de una población. Así que es un momento adecuado para que plantees las dudas que te han surgido sobre funciones a tu tutor.

Imagen 26. Desarrollo Económico

1

Valor comprendido entre el 0 y la unidad.

Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será competente para: Identificar y realizar operaciones con funciones racionales, así como calcular índices demográficos y económicos.

Temario Con la información que llevas podrás identificar no sólo las aplicaciones que estamos analizando en el curso, si no que le encuentres utilidad para aplicar en muchos otros fenómenos de tu vida diaria. Así que empecemos con este tema tan interesante. En esta unidad revisarás los siguientes temas: 3.1. Funciones racionales. 3.2. PIB, PIB per cápita, índice de ingresos. 3.3. Índice de educación 3.4. Índice de salud 3.5. Índice de Desarrollo Humano (IDH)

3.1 FUNCIONES RACIONALES Te acuerdas de ¿qué es un racional en matemáticas? Un racional es un número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, siempre y cuando el denominador no sea cero, es decir; en notación lo expresamos de la siguiente forma:

Esto se lee “El cociente de dos números reales; tales que “a” es el numerador y “b” el denominador, donde “b” siempre debe ºser distinto de cero”. No olvides que la división por cero no está definida. De la misma manera que los números, las funciones racionales se definen por ser el cociente de dos funciones, es importante que la función que se encuentra en el denominador sea diferente de cero.

Llamaremos R(x) a la función racional y se define como:

De manera general podemos decir, que f(x) y g(x) son funciones polinomiales, si atendemos a esta característica, la forma extendida de representar este tipo de funciones es

Donde

:

Veamos algunos ejemplos de funciones racionales:

Es importante que siempre tengas presente que el denominador NUNCA puede ser cero, si esto ocurre la función racional deja de “existir” para ese valor. Veamos un caso que tiene esta característica:

Como ya mencionamos antes es importante que g(x)=x-2 sea SIEMPRE diferente de cero, pero sucede que cuando x=2 se tiene

Observa que aunque el numerador, cuando x=2 es cero, por lo tanto la función no está definida en ese valor, por lo tanto, como estudiamos en la unidad 1, el dominio de la función no contempla al 2, lo cual podemos definir como D(r) ={x/ xϵR, con x≠2} Es importante tener cuidado con este tipo de funciones, pues si el dominio no se especifica desde el inicio de la función podemos tener problemas de indeterminaciones.

Cuando se tienen estas características, se dice entonces que la función no está definida para estos valores, y se tiene lo que conocemos como funciones por intervalos.

Funciones por intervalos Algunas funciones por intervalos no están definidas en todo el conjunto de los números reales, sólo satisfacen la definición de una función en un intervalo o en diferentes intervalos, como vimos en el caso anterior, veamos algunos otros casos que tienen este tipo de características y cómo pueden definirse sus dominios para que sea cumpla la característica de funciones. Caso 1

En este caso vemos que si x=3, entonces

Nuevamente tenemos que

, no está definido, entonces s(x) es función cuando

x≠3, el dominio de la expresión para que sea función queda expresado como D(s) = {x/ x ϵR, con x≠3} Caso 2 Una función más

En esta expresión no es tan directo ver cuándo se hace cero el denominador, pero como es una ecuación de segundo grado, pueden calcularse sus raíces (esto es, cuando se hace cero)

Debes recordar la fórmula general para obtener los valores de x, que hacen cero a la ecuación.

Donde a=1, b= -5 y c=6

Podemos decir entonces que el denominador no está definido cuando x=2 y x=3, por lo tanto el dominio queda definido como D(f) ={x/ x ϵR, con x≠2,3} Caso 3

Y definamos al dominio con los siguientes elementos D(s) ={-3, -2, -1, 0, 1, 2.5, 3.2, 3.5, 4, 5} Vamos a calcular los elementos del rango asociado a los valores del dominio D(s)

x

(x,s(x))

-3

(-3,0)

-2

(-2,1)

-1

(-1,2)

0

(0,3)

1

(1,4)

2.5

(2.5,5.5)

3.2

(3.2,6.2)

3.5

(3.5,6.5)

4

(4,7)

5

(5,8)

y=s(x)

x

El punto verde indica que en este punto la función presenta un “hueco”, pues en x=3, el valor no está definido. Existen otros métodos para trabajar las funciones por intervalos, para esto es necesario que recuerdes como se factoriza, pues para nuestro tema que nos interesa (y si en el futuro tomas la asignatura de cálculo) es muy importante manejar esta operación matemática para conocer el factor que es común en nuestra ecuación algebraica. Ahora bien, vayamos al caso de análisis.

Para eliminar la posibilidad de que el denominador sea cero, vamos a factorizar, vemos que la expresión del numerador puede descomponerse de la manera siguiente:

De esta manera se tiene que

= -2 Entonces, la gráfica de la función constante igual a -2 es q(x)

x

El lugar en donde se encuentra el punto café es el valor para el que la función no está definida, x=2.

3.1.1 Gráficas de las funciones racionales Como vimos en los casos anteriores, si obtenemos las parejas ordenadas podemos graficar la función, sin embargo en ocasiones si conocemos la función y su representación, podemos imaginar cómo será la gráfica.

Imagen 27. Interpretación de ecuaciones racionales y su representación gráfica.

Esta habilidad es importante porque permite verificar si lo que estamos obteniendo es correcto o no. No te preocupes si al principio no es tan fácil, con la práctica podrás desarrollar e interpretar esta habilidad. Las funciones racionales que tienen la forma , con a=constante

Se les llama de proporcionalidad inversa y tiene las siguientes características: 1) su gráfica es una hipérbola 2) sus asíntotas son los ejes de coordenadas a. asíntota horizontal y=0

Las asíntotas son las rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, en al menos una de las variables x, y ó ambas.

b. asíntota vertical x=0 3) El coeficiente a nos indica los cuadrantes en los que está situada

a. Si a>0, entonces

b. Si a<0, entonces

Ejemplos de funciรณn de proporcionalidad inversa , como 2>0, entonces las grรกficas se encontraran en el cuadrante I y III.

, como -3<0, entonces las grรกficas se encontraran en el cuadrante II y IV.

Si la función tiene la forma

Se tienen las siguientes características 1) su gráfica es una hipérbola 2) sus asíntotas son los ejes de coordenadas a. asíntota horizontal

b. asíntota vertical

Veamos un ejemplo

a= 2, b=3, c=1, d=-2

Se calculan las asíntotas asíntota horizontal

asíntota vertical

Si has atendido las explicaciones que hemos visto hasta aquí, estás listo para resolver tu primera actividad.

3.2. PIB, PIB per cápita E ÍNDICE DE INGRESOS Con los temas vistos hasta este momento, tenemos ya la herramienta básica para que conozcamos lo que es el Producto Interno Bruto (PIB), primero veamos una definición de lo que es esta medida. El PIB es el valor monetario de los bienes y servicios finales producidos por una economía en un período determinado, por regla general se toma en consideración 1 año. EL PIB es un indicador representativo que ayuda a medir el crecimiento o decrecimiento de la producción de bienes y servicios del país.

Como ya se mencionó, el PIB es la suma de TODOS los bienes y servicios finales que se producen en el país durante un año, por nacionales y extranjeros; el año se cuenta del 1° de enero al 31 de diciembre. Veamos algunas características del PIB Supongamos que una economía está compuesta por dos empresas, una de las cuales produce maíz y la otra utiliza el maíz para fabricar aceite. La primera empresa paga $20 a sus trabajadores y vende su producción a la empresa 2 a $100. La empresa 2 paga $50 a sus trabajadores y vende su producción a $200. Los datos se presentan en el cuadro siguiente: Empresa

Ingresos por

Salarios

Beneficio

ventas 1

100

20

80

2

200

50

150

Entonces, ¿Podemos decir qué el PIB son los ingresos por ventas de ambas empresas? Respuesta

No

Recuerda, que el producto interno bruto es un balance económico al final del año.

Imagen 28. El PIB influye en la balanza comercial de un país Puesto que la empresa 1, le vende su producción a la empresa 2, recuerda que el PIB es el valor de los bienes y servicios FINALES producidos en un año.

¿Cómo podemos calcular el PIB? Vamos a considerar qué solo tenemos 2 productos, zanahorias y jícamas Venta por unidad Productos

Cantidad

en UM (unidades monetarias)

Zanahorias

100

3

Jícamas

200

5

El valor del PIB en esta economía es de PIB=(100 zanahorias)(3 UM)+(200 jícamas)(5 UM)=300+1,000=1,300 UM Ahora, que sucede si tenemos, la siguiente información

Productos

Cantidad

Costo de producción por

Venta por unidad

unidad en UM (unidades

en UM (unidades

monetarias)

monetarias)

Zanahorias

100

1

3

Jícamas

200

2

5

¿Cuál es el valor de la economía? En este caso el valor del PIB sigue siendo el mismo, pues por definición el valor del PIB es el valor monetario de los bienes y servicios FINALES producidos por una economía. Ahora, supongamos que la economía ahora produce jugo de zanahoria, y consume todas las zanahorias para realizarlo, entonces se tiene Venta por unidad Productos

Cantidad

en UM (unidades monetarias)

Zanahorias

100

3

Jícamas

200

5

Jugo de

50

8

zanahoria

¿Cuál es el valor del PIB? PIB = (100 zanahorias)(3 UM)+(200 jícamas)(5 UM)+(50 jugos)(8 UM)=300+1,000+400=1,700 UM

Imagen 29. Ejercicio de PIB [Mejía, I. (2012)

Si no hacemos el análisis, podemos decir que el PIB es de 1,700 UM, sin embargo las zanahorias son un bien intermedio para el jugo, por lo tanto no debe considerarse en el valor del PIB, de esta manera el valor del PIB es de PIB = (200 jícamas)(5 UM)+(50 jugos)(8 UM)=1,000+400=1,400 UM

Ahora, revisa los puntos enlistados a continuación, es importante tomar en consideración las siguientes precisiones. 1) El PIB incluye la venta de un horno de microondas elaborado y vendido en el año XXXX, pero no se incluye su venta si fue vendido como artículo de segunda mano, pues este ya se contó en el año que se produjo y con su primera venta. 2) El PIB incluye lo que se produce por nacionales y extranjeros en el país, es decir, incluye lo que se fabrica y vende en las empresas extranjeras pero que se encuentran en México (Volkswagen, por ejemplo es una empresa alemana), pero no incluye lo que las empresas mexicanas producen en otros países (por ejemplo la fábrica de BIMBO en China).

3) El PIB mide la riqueza GENERADA por un país, pero no mide la riqueza total de un país (pues aquí se debe incluir los recursos naturales, su capital humano, etc) 4) El PIB es una medida de bienestar, sin embargo, hay que tener cuidado cuando se comparan los PIB’s de diferentes países, pues a simple vista puede parecer que un PIB más alto indica mayor bienestar, pero en este caso debemos incluir a la población. Observa la siguiente información: PIB en UM País

(unidades

Población

monetarias) A

1,000,000

500 habitantes

2,000 UM

B

1,500,000

800 habitantes

1,875 UM

Si sólo observamos el PIB en UM, podemos decir que el país B tiene un mayor bienestar, sin embargo, cuando lo relacionamos con la población tenemos que el país A, es el que tiene un mayor bienestar ya que su población cuenta con un PIB de 2,000 UM contra las 1,875 UM que tiene el país B. La siguiente tabla se muestra el valor del PIB Año

Miles de millones de pesos

1999

865.5

2000

915

2001

920

2002

900

2003

941.2

2004

1,006

2005

1,064

2006

1,149

2007

1,353

2008

1,563

2009

1,463

2010

1,567

Tabla. 6. Valor del PIB. Fuente: Datos Estadísticos Index Mundi. http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=65&l=es

Una manera de medir el PIB es mediante el

flujo de gasto (este término es

manejado por los economistas), y en este tipo de medición el PIB está en función del consumo (C), la inversión (I), el gasto público (G), las exportaciones (X) y las importaciones (M) PIB(C, I, G, X, M) = C+I+G+X-M Como puedes observar, el PIB puede presentarse en función del tiempo, en este sentido podemos decir que es una función lineal como las que vimos en la unidad 2, ahora ¿recuerdas la tabla en donde relacionábamos el PIB con la población?, este tipo de medidas se conoce como PIB per cápita.

3.2.1 PIB per cápita El producto interno bruto per cápita representa el promedio del producto interno bruto por habitante de una economía. También se le llama renta per cápita o ingreso per cápita. La manera de calcularlo es

El producto interno bruto per cápita es muy utilizado como medida de bienestar de un país, ya que permite comparar en teoría el bienestar entre países, dado que representa el valor de los bienes y servicios producidos por cada habitante en promedio. Regularmente y para permitir una comparación más ágil, el PIB per cápita se expresa en dólares. La tabla siguiente muestra el PIB per cápita de México.

Año

PIB per cápita en US

1999

8,500

2000

9,100

2001

9,000

2002

9,000

2003

9,000

2004

9,600

2005

10,000

2006

10,700

2007

12,400

2008

14,200

2009

13,200

2010

13,900

Tabla 7. Producto Interno Bruto per cápita. Fuente: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=65&l=es

PIB per cápita en US

15,000 14,000 13,000 12,000 11,000 10,000 9,000 8,000

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

¿Qué puedes decir del PIB per cápita? Si observas con detenimiento, la manera de calcular esta medida es una función racional, y una característica es que el denominador no es cero, si esto sucede, ¡¡No habría población!!

3.2.2 Índice de ingresos Obtener indicadores de bienestar a nivel desagregado es difícil, sin embargo en los últimos años se han desarrollado una serie de índices que permiten conocer de mejor manera las características de la población. El índice de ingresos mide los recursos monetarios, tan importantes dentro de los hogares pues estos permiten satisfacer la alimentación, la vivienda, la salud, educación entre otros. El índice de ingresos según el Consejo Nacional de Población, se calcula de la manera siguiente

Para aprender más consulta el documento que tiene información sobre los distintos índices utilizados para la cuantificación del Desarrollo humano. Fuente: http://www.conapo.gob.mx/publicaciones/indicesoc/IDH2000/dh_AnexoMetodologi co.pdf Sólo nos falta interpreta que significa el PIB per cápita, para ello retoma el valor que se expresa en el año 2010 para la tabla 2 y sustituyendo tenemos entonces;

Por lo tanto, índice de ingresos de México para 2010 es de 0.8236. La escala se muestra a continuación

Categorías del índice Nivel de

Rango

Denominación

[0.850 a

Países

1.00]

desarrollados

ingreso Muy alto

Alto

Medio Bajo

[0.700 a 0.849] [0.450 a 0.699]

Países en desarrollo

[0 a 0.449]

Por lo tanto México es un país en vías de desarrollo, y su nivel de ingreso puede ser considerado en el rango de alto.

Imagen 31. Índice de Desarrollo Humano. Análisis realizado por la SEMARNAT para el año 2000 en “Desarrollo Humano: El capital de la libertad”.

El valor que obtuvimos para el 2010 anteriormente, fue de 0.826 apenas de un ligero aumento con respecto al del año 2000 que estaba en 0.796. En una década solo se aumento en 0.030 unidades. Cómo puedes ver, el

análisis por separado, puede conducirnos a falsas

conclusiones, pues en el índice de ingreso, parece que los mexicanos tenemos ingresos altos y sin embargo, tenemos Estados y Delegaciones cuyas demarcaciones se encuentran catalogadas en la “extrema pobreza” lo que modifica realmente el valor del índice de ingresos. Con esta revisión, ya estamos listos para realizar nuestra segunda actividad, esta será calificada por el sistema. Revisa cuidadosamente y contesta lo que se te pide.

3.2.3 Índices En este apartado veremos el cálculo de los índices de educación, salud y llegaremos a la construcción del Índice de Desarrollo Humano (IDH). En la figura siguiente, podemos ver la relación que tienen los índices y como cada uno de ellos forman parte del IDH.

Esquema 1. Índice de desarrollo humano

Este esquema nos permite conocer de manera rápida los elementos de cada uno de los índices y los elementos que se toman en cuenta para su cálculo. Al final del tema anterior vimos el Índice de Ingreso, ahora revisaremos cómo se construye el Índice de educación. Analiza la siguiente información y compara el IDH de México con respecto a otros países a Nivel Mundial, asimismo para la región de América Latina.

Imagen 31. Índice de Desarrollo Humano. Análisis realizado por la SEMARNAT para el año 2000 en “Desarrollo Humano: El capital de la libertad”.

El valor que obtuvimos para el 2010 anteriormente, fue de 0.826 apenas de un ligero aumento con respecto al del año 2000 que estaba en 0.796. En una década solo se aumento en 0.030 unidades lo que representa poco avance, es por ello que ahora abordaremos los índices de salud, educación e ingresos.

3.3. Índice de educación El índice de educación mide el progreso de un país en materia de educación.

Imagen 32. La educación base en el progreso de una nación

Se toma en consideración la proporción de personas de quince años o más que son alfabetas (personas que saben leer y escribir) y la proporción de personas de 6 a 24 años de edad que asisten a la escuela. Ambas mediciones se combinan para crear el índice de educación, en el que se otorga una ponderación de dos terceras partes a la alfabetización de adultos y de una tercera parte a la proporción de personas que asisten a la escuela. Para calcular el índice de educación se necesita el Índice de alfabetización de adultos y el índice bruto de matriculación. Ambos datos se obtienen de los censos, en México el censo se realizó en 2010 y los resultados puedes consultarlos en el INEGI, también puedes consultar la siguiente página: www.inegi.org.mx

o

en

http://www.inegi.org.mx/sistemas/TabuladosBasicos/Default.aspx?c=16852&s=est En ella puedes encontrar los resultados a nivel nacional y por localidad. Para encontrar estos valores tienes que consultar el portal del Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI), los tabulados básicos de educación y buscar el tabulado “Población de 15 años y más por entidad federativa y grupos quinquenales de edad según condición de alfabetismo y sexo”, aquí buscas la población de 15 años y más que son alfabetas y divides entre el total de la población. Por ejemplo con los datos obtenidos en el 2011, tenemos la siguiente relación:

Esto puedes hacerlo también por estado de la República Mexicana.

Ahora, debemos consultar el número de personas de 6 a 24 años que asisten a la escuela para obtener el Índice, debes consultar el tabulado “Población de 3 años y más por entidad federativa y edad según condición de asistencia escolar y sexo” aquí tienes que buscar la población de 6 a 24 años y sumar los valores, tanto de los que asisten a la escuela, como del total de la población.

Igual que con el índice de alfabetas, el índice de matriculación total, lo puedes obtener para cualquier estado de la República Mexicana. Ahora con los datos que obtuvimos, podemos calcular el Índice de Educación.

Como puedes ver, esta también es una función racional. Sustituyendo los valores, el valor del índice de educación es

Vayamos con el último componente del IDH, el Índice de salud.

3.4. Índice de salud El índice de salud, se mide a partir de la esperanza de vida, la manera de calcular este índice es a partir de la función siguiente:

En donde e0 es la esperanza de vida y 25 y 85 años son los límites teóricos de la vida media. De acuerdo con los datos del censo, la esperanza de vida es de

Imagen. 33. El índice de salud se determina por la esperanza de vida y la edad promedio de vida en los humanos por sexo

Con este índice terminamos la serie de datos que necesitamos para el cálculo del Índice de Desarrollo Humano o IDH por sus siglas.

(Se realizan en plataforma)

3.5. Índice de desarrollo humano (IDH)

Un poco de historia El IDH surge como una iniciativa para clasificar los países a partir de otras variables que no fueran las usadas tradicionalmente: Económicas.- PIB, balanza comercial, consumo, desempleo, etc. Educación.- Índice de alfabetización, número de matriculados en primaria y secundaria, etc. Salud.- tasa de natalidad, esperanza de vida, etc. El IDH busca medir dichas variables a través de un índice compuesto, por medio de indicadores que se relacionan en los tres aspectos mencionados en forma conjunta. Este índice es calculado desde 1990 por el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD) de acuerdo con el trabajo de investigación del economista pakistaní Mahbub ul Haq realizado en 1990 y gran parte de estas ideas se fundamentan en las ideas desarrolladas por el economista Amartya Sen, premio Nobel de Economía en 1998. El Índice de Desarrollo Humano mide el progreso medio de un país con base en tres dimensiones básicas del desarrollo humano: • Índice de salud, el cual permite se tenga una vida larga y saludable, se mide a través de la esperanza de vida al nacer. • Índice de Educación, este índice permite medir la disponibilidad de la educación, medida a través de la tasa de alfabetización de adultos (con una ponderación de dos terceras partes) y la tasa bruta combinada de matriculación en primaria, secundaria y terciaria (con una ponderación de una tercera parte).

• Índice de Ingreso, el cual contempla se pueda disfrutar de un nivel de vida digno, se mide

a través del PIB per cápita en términos de la paridad del poder

adquisitivo en dólares estadounidenses (US$). El cálculo del IDH se realiza de la siguiente manera

Como ya habíamos trabajado estos tres índices con anterioridad, sólo vamos a sustituir estos tres datos

0.837

0.839

0.824

0.834

(Se realizan en plataforma) Conclusión El aprender a interpretar los índices como un valor en forma de números racionales, nos acerca a entender el comportamiento de nuestra economía y la forma como se relacionan datos tan importantes como El Producto Interno Bruto (PIB) o el Índice de Desarrollo Humano (IDH) para la evaluación de las condiciones de crecimiento en un país como el nuestro. Además de aprender a interpretar también en forma gráfica esos valores tan mencionados en nuestros días.

Esperamos que este tema tambiĂŠn te haya resultado igual de interesante y lo integres como una parte mĂĄs de las matemĂĄticas en mi vida.

Referencias De consulta Libros Castro P, J y González N. A. (2002). Problemario de matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Cuellar L, J. (2005). Matemáticas para Bachillerato 2. México: Mc GrawHill. García J, M A. (2006). Esfinge.

Matemáticas 3 para preuniversitarios. México:

Harshbarger, R y Reynolds, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, economía y ciencias sociales. 7ª México: Edición. Mc Graw Hill. Tan, Soo Tang. (2005). Matemáticas para administración y economía. 3ª. Edición. Australia: Thomson. Sitios de internet Algunas funciones elementales. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Recuperado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#funcione s_racionales Aspectos de economía. El financiero en línea. Recuperado de: http://www.elfinanciero.com.mx/ Estadísticas de Índices económicos. Banco de México. Recuperado de: http://www.banxico.org.mx/ Funciones racionales. Wikimatemáticas. Recuperado de: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_Polinomiales PIB, educación. El economista en línea. Recuperado de: http://eleconomista.com.mx/index.php Gobierno del Distrito Federal. http://www.df.gob.mx/index.jsp

Instituto Mexicano del Seguro Social. http://www.imss.gob.mx/ Instituto Nacional de Estadística y geografía INEGI. http://www.inegi.org.mx/

De Imágenes 26. Desarrollo económico Recuperado de: http://economiaybanca.com/wp-content/uploads/2011/04/Desarrollo-de-laEcon%C3%B3mico-de-los-Pa%C3%ADses.jpg 27. Interpretación de ecuaciones raciales y su representación gráfica Recuperado de: http://www.ematematicas.net/imagenes/asintota_v_ejemplo.png 28. El PIB influye en la balanza comercial de un país Recuperado de: http://icipev.files.wordpress.com/2009/03/economia_2005.jpg?w=300&h=21 2 29. Ejercicio de PIB Información: Mejía, I. (2011) Edición: Martínez A. (2012) 30. PIB per cápita en US Recuperado de: http://www.indexmundi.com/g/g.aspx?c=mx&v=65&l=es 31. Índice de Desarrollo Humano. Análisis realizado por la SEMARNAT para el año 2000 en “Desarrollo Humano: El capital de la libertad” Recuperado de: http://www.paot.org.mx/centro/inesemarnat/informe02/estadisticas_2000/informe_2000/01_Poblacion/imagen es/idh_mexico_mundo.jpg 32. La educación base en el progreso de una nación Recuperado de: http://us.cdn4.123rf.com/168nwm/sculder1909/sculder19091108/sculder190 9110800020/10251914-un-nino-de-subir-los-libros-como-simbolo-del-pasode-la-educacion--hito.jpg 33. El índice de salud se determina por la esperanza de vida y la edad promedio de vida en los humanos por sexo Recuperado de: http://deconceptos.com/wp-content/uploads/2008/09/concepto-de-salud.jpg

UNIDAD IV. ¿CÓMO PREDECIR EL CRECIMIENTO DE UNA POBLACIÓN? Introducción Dentro de la dinámica del crecimiento en toda población está la relación del número de individuos en función del tiempo, sin olvidar factores como la disponibilidad del espacio, el alimento, el número de descendencia y el número de muertes asociadas a ella. Si las poblaciones solamente se reprodujeran todo el tiempo, entonces ciertos factores esenciales para vivir se agotarían y podrían ser los elementos que desencadenarán luchas por espacios para habitar, alimentarse o por oportunidades de acceso a fuentes de trabajo con un ingreso económico aceptable. Para entender este tipo de comportamiento, abordaremos ahora el estudio de las funciones de tipo exponencial.

Imagen 34. La demanda de recursos por la sobrepoblación mundial pone en riesgo la capacidad de espacio y alimento en el planeta Tierra

Es importante conocer cómo se expresan y grafican las funciones exponenciales, ya que a partir de ellas, se pueden describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rápida proporcionalmente a su tamaño. De estas situaciones encontramos innumerables ejemplos en física, biología, economía y medicina, entre otras disciplinas, que describen este tipo de comportamientos. En esta ocasión entenderás cómo se comporta un crecimiento de bacterias y un decaimiento radiactivo. Aplicarás un ejercicio de la depreciación de un vehículo y reflexionarás como es el crecimiento de las poblaciones humanas en particular, como es el crecimiento de la población mexicana en cuanto al número de habitantes en nuestro territorio. Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será competente para:

1

Interpretar el crecimiento de una población bacteriana, como modelo a comparar con las funciones exponenciales y poder extrapolar a otras poblaciones biológicas, incluyendo la humana.

Temario 4.1 4.2 4.3 4.4

Modelos de crecimiento poblacional ¿Cómo crecen las poblaciones de bacterias? Funciones exponenciales Aplicación de funciones para modelar el crecimiento poblacional.

4.1. Modelos de crecimiento poblacional La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de las poblaciones humanas, las colonias de bacterias, en la desintegración de sustancias radiactivas y entre otros muchos procesos vinculados a las aplicaciones matemáticas. Para entender cómo se comporta el crecimiento de una población humana, tomemos como ejemplo las estimaciones de la población en México desde 1960 al año 2050. TIEMPO Década (años)

0 1960

1 1970

2 1980

3 1990

4 2000

5 2010

6 2020

9 2050

Población 36,940 50,596 67,570 83,226 97,966 112,336 165,640* 550,175*1 (en millones de habitantes) Tabla 8. Población mexicana en millones de habitantes de 1960 a 2050. Fuente: Banco Mundial e INEGI www.inegi.org.mx e www.bancomundial.org

Partiendo del valor inicial que se tenía en la población de 1960, se decide que ese será el tiempo cero (t0), entonces cada década se contará como una unidad en aumento. 1

Valor estimado a un crecimiento poblacional del 35% para efectos de ejercicio académico.

2

Podemos calcular ¿cuál sería la población estimada para el año 2020 en millones de personas? Vamos a evaluar que nos indican nuestros datos, así que como primera actividad, vas a graficar en tu libreta los datos de la población mexicana contra el tiempo en décadas que se registran en la tabla 1. Debes obtener una grafica similar a la de la siguiente imagen.

Imagen 35. Estimación de la población mexicana al año 2050. Mejía I, (2011)

Es increíble, como del año 2020 al 2050 aumenta en tres veces el número de habitantes en la República Mexicana. Pero, sabemos que eso es un gran riesgo, pues nuestras condiciones de país, no tendrían la capacidad para ofrecer fuentes de trabajo, lugares donde vivir, alimento y contar también con medios de transporte, educación y salud. La dinámica del crecimiento poblacional es esencial para los estudios de las diversas interacciones entre los grupos de organismos y tiene, además, una importancia práctica enorme. Entre las propiedades de las poblaciones, que regulan se encuentran la tasa de crecimiento, la tasa de mortalidad, la estructura por edades, la densidad y la distribución espacial. El modelo más simple de crecimiento de una población cuyo número se incrementa a una tasa constante es conocido como CRECIMIENTO EXPONENCIAL y se describe con la siguiente función: f(x) = P0x P0= población o número de individuos al tiempo cero (t0) 3

X= unidad de tiempo Un aspecto clave del crecimiento exponencial es que, aunque la tasa de crecimiento permanezca constante, la población se incrementa con el paso del tiempo.

Imagen 36. Curva de crecimiento exponencial Después de una fase de establecimiento inicial, la población se incrementa del mismo modo que una cuenta de ahorros con interés. Aunque la tasa de incremento por individuo permanece constante, la tasa de crecimiento de la población aumenta rápidamente a medida que se incrementa el número de reproductores, como se nota en los conejos.

Imagen 37. Incremento exponencial en función de las etapas reproductivas

4

El crecimiento exponencial es característico de poblaciones pequeñas con acceso a recursos abundantes. Sin embargo, el crecimiento exponencial no puede continuar sin una caída en el tamaño de la población. Por lo que existe una representación conocida como el modelo logístico, el cual toma en cuenta la capacidad de carga2, describe uno de los patrones de crecimiento de población más simples observados en la naturaleza.

Imagen 38. La población tiende a comportase con una curva de tipo logística

La curva logística que te mostramos en la figura 4 se asemeja, en un principio, a la curva de crecimiento exponencial, elevándose lentamente cuando la población es aún pequeña y luego se dispara rápidamente a medida que pasa el tiempo. Sin embargo a medida que la población se aproxima a la capacidad de carga se vuelve más lento, para finalmente estabilizarse cerca de la capacidad de carga, en la cual está en forma oscilante para mantener un equilibrio del número de individuos de la población.

4.1.1 La curva sigmoide o en forma de “S”

Uno de los patrones de crecimiento más simples observados en las poblaciones naturales se conoce como crecimiento de tipo logístico, en curva sigmoidea.

2

Número potencial de individuos que pueden nacer.

5

Como ocurre con el crecimiento exponencial, hay una fase de establecimiento inicial en que el crecimiento de la población es relativamente lento (1), seguido de una fase de aceleración rápida (2). Luego, a medida que la población se aproxima a la capacidad de carga del ambiente, la tasa de crecimiento se hace más lenta (3 y 4) y finalmente se estabiliza (5), aunque puede haber fluctuaciones alrededor de la capacidad de carga.

Imagen 39. Curva en forma “S” o sigmoidea Cuando en lugar de aumentar el número de individuos, empieza a disminuir progresivamente, la curva se denomina CURVA DE DECAIMIENTO y se interpreta como el proceso inverso a la curva exponencial. Generalmente, este tipo de curva se asocia con procesos de extinción en las poblaciones naturales, como resultado de que los individuos de dicha población ya no son capaces de continuar reproduciéndose. En el caso de elementos radiactivos como el Carbono 14 (14C) que es un radioisótopo, frecuentemente este tipo de curvas se denomina de desintegración radioactiva o vida media. La vida media (T1/2) es el tiempo necesario para que una sustancia se descomponga o desaparezca la mitad de su masa. Analiza el caso de la curva de decaimiento para el 14C en la Fig. 7. Imagen 40. Isótopos radioactivos del átomo de Carbono

6

Imagen 41. Desintegración del 14C Si deseas conocer más de modelos de crecimiento te sugerimos navegar las siguientes páginas electrónicas en ellos podrás profundizar sobre los tipos de crecimiento en la población humana. http://www.lifeisastoryproblem.org/worksheets/sp_exponential_growth.pdf http://www.gerrymarten.com/ecologia-humana/capitulo02.html

4.2 ¿Cómo crecen las poblaciones de bacterias? Las bacterias son pequeños microorganismos formados por una sola célula carente de núcleo, por lo cual su DNA se encuentra disperso en el citoplasma. Se consideran las formas más primitivas y sencillas que pudieron establecerse al inicio del desarrollo de la vida en el planeta Tierra, por lo que se consideran células procariotas3. Las bacterias generalmente se reproducen de forma asexual por fisión binaria, es decir, partiendo de una célula original, se dividen en información genética idéntica y en citoplasma, dando lugar a la formación de dos nuevas células, que en un periodo muy corto, inicia nuevamente la fisión de las nuevas células bacterianas y así sucesivamente.

3

Procariota= del griego pro antes y carion núcleo, lo que se interpreta antes de la presencia de una membrana nuclear.

7

Da clic en el siguiente enlace para que veas la rapidez con que se reproducen las bacterias. http://www.youtube.com/watch?v=N0-un6oQudI (duración 0.42min en inglés) Para conocer más sobre las Bacterias y como se estudian a nivel de estudios de laboratorio y ambiental te recomendamos leer el documento http://docencia.udea.edu.co/bacteriologia/MicrobiologiaAmbiental/microbiologia_2. pdf 4.2.1 Analizando el crecimiento de una colonia de bacterias Basado en el concepto que una célula se divide dando dos células hijas, y éstas a su vez se vuelven a dividir dando dos células cada una de ellas, se presenta en el siguiente cuadro la proliferación de una población de células a partir de una sola, con un tiempo de generación de 30 minutos. Tiempo (horas) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 …

Número de células 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024 2,048 4,096

…

Imagen 42. Crecimiento bacteriano

10.0

... 1,048,576

8

Al graficar en un sistema de coordenadas el tiempo (eje de las abscisas) y el número de células (eje de las ordenadas) se obtiene una gráfica como la que se muestra en la siguiente imagen.

Imagen 43. Crecimiento exponencial del número de células bacterianas Ahora entenderás porque ante determinadas infecciones con bacterias como la salmonella, los estreptococos, o los neumococos causantes de neumonía e infecciones gastrointestinales, llegan a desarrollarse en períodos de pocos días si nuestro sistema inmunológico no se encuentra bien, pues las bacterias proliferan a una velocidad increíble, prueba de ello es que en este cálculo a las 10 horas ya tenemos más de un millón de bacterias partiendo de una sola originalmente. Imagen 44. Infección gripal causada por bacterias

4.2.2 ¿Cómo predecir el número de bacterias en el tiempo? Para poder predecir el número de bacterias que se formarían en un determinado tiempo, podríamos aplicar la siguiente función exponencial. Número de bacterias= 2x

9

La base aquí es dos porque después de la primera división todas las células se estarán duplicando a determinados tiempos. En nuestra, función el exponente “x” es el tiempo a determinar. Quizá te preguntes y -¿cómo llegamos a tener más de un millón de bacterias en 10 horas? La respuesta es nuevamente considerar en que tiempo tardan en reproducirse, en tu ejemplo las bacterias se dividen cada 30 minutos. Si nuestra tabla se da en horas, entonces tenemos un total de 20 episodios de 30 minutos en 10 horas. Al sustituir en nuestra función, nos queda la siguiente expresión. Número de bacterias = 220 Número de bacterias = 1,048,576

No olvides que el exponente, nos indica el número de veces que se multiplica por si mismo nuestra base, es decir, (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)= 1,048,576 bacterias. Por lo que, te recomendamos que mejor te auxilies de una calculadora científica o que incluya la función de elevar a potencias.

PRACTICA EN TU LIBRETA DE APUNTES

¿Cuántas bacterias podríamos tener en el curso de una infección si se reproducen cada 15 minutos y desde su exposición (contagio inicial) han transcurrido 7 horas? Asume que solamente te expusiste a una bacteria solamente. Propuesta de solución: 1. Elabora tu tabla de tiempo (horas) en función de número de bacterias. 2. Considera dividir tu tiempo en una hora para conocer su proporción. En este caso en una hora, tenemos 4 veces 15 minutos, equivalente a 0.25 de una hora. 3. Finalmente realiza tu gráfica en tu libreta o en una hoja de cálculo utilizando las herramientas tecnológicas a las que tienes acceso. 10

RESPUESTA: No. Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 20 24 28

Tiempo (horas) 0 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50 2.75 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Número de células 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024 2,048 4,096 65,536 1,048,576 16,777,216 268,435,456

Imagen 45. Gráfica del crecimiento de bacterias cada 15 minutos durante 7 horas. Mejía, I. (2011) Como aprecias en un principio es difícil distinguir una gran diferencia, pero a las 4 horas ya tenemos un incremento considerable, y si ajustas tu gráfica empieza a tomar la forma de una exponencial. Como estudiarás en nuestra última unidad, estos números llegan a ser tan grandes que es mejor manejar su expresión en forma de logaritmos. 11

Analiza el siguiente diagrama de la reproducción bacteriana en forma radial, algo similar se presenta en el rompimiento de núcleos atómicos para la obtención de energía nuclear.

Imagen 46. División de bacterias en función del tiempo Las poblaciones microbianas, raramente mantienen un crecimiento exponencial prolongado. Si ello ocurriera en poco tiempo la Tierra estaría tapada de una masa microbiana mayor que la Tierra misma. El crecimiento está normalmente limitado por el agotamiento de nutrientes o por la acumulación de productos de origen del metabolismo microbiano, que les son tóxicos a la población. La consecuencia es que el crecimiento al cabo de cierto tiempo llega a disminuir hasta detenerse. Visita las siguientes páginas electrónicas donde puedes repasar los distintos temas de matemáticas vistos en tus asignaturas. Función exponencial en http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html Tipos de funciones http://www.x.edu.uy/estudiantes.htm responsable profesor Saúl Tenembaum. El caso de las bacterias nos explica muy fácil como es el comportamiento matemático y gráfico de la función exponencial, pero sabías que lo mismo ocurre con los mensajes de celular en cadena. Para aprender más te recomiendo leer el siguiente documento titulado “Las Bacterias y los SMS” por Lolita Brain. http://aula2.elmundo.es/aula/laminas/lamina1137406678.pdf 12

RECUERDA: En algunas ocasiones los resultados son números tan grandes que la forma más fácil de expresar es en notación científica.

4.3 Funciones exponenciales Hemos ejercitado con exponente positivo, es decir x>0; pero también es factible trabajar con exponente de valor negativo, por lo tanto nuestro valor de x<0.

Ahora exponente es negativo.

veamos

funciones

exponenciales

cuyo

valor

del

Recordando las leyes de los exponentes. Si 1 ; = a-n

an Si esta regla la llevamos a la práctica en funciones exponenciales, tenemos una nueva aplicación, el proceso de decaimiento. Pero, ¿qué significa el decaimiento exponencial? Cuando analizas la forma de reproducirse las bacterias, siempre determinas que se duplica el número en forma de un número entero, pero, cuando nosotros partimos de una cantidad entera y conforme transcurre el tiempo vamos disminuyendo a porciones cada vez más pequeñas entonces se presenta una gráfica denominada de decaimiento. Muy brevemente veremos porque es importante entender el decaimiento de una sustancia. En la naturaleza existen sustancias que se conocen como elementos radiactivos, los cuales son utilizados con fines de obtener energía nuclear, o bien en cuestiones médicas, al exponer a un paciente a tratamiento de quimioterapia en cuestiones de cáncer, al médico le interesa conocer cuando el paciente dejará 13

de tener en su cuerpo radiaciones por lo cual hace una estimación de la cantidad de exposición en un principio y como se irá eliminando en su cuerpo.

Imagen 47. Curva de decaimiento exponencial

Uno de los estudios más representativos de este trabajo es la datación4 para conocer la edad del planeta Tierra o de los fósiles5.

Imagen 48. Fósil de pez teleósteo en roca sedimientaria

Veamos un ejemplo práctico. Necesitas saber en ¿qué tiempo podrías tener la 32ava parte de un gramo de 14C, si el tiempo para que se desintegre la mitad es de 12,000 años?

4

14

Identificación de la edad geológica que presenta una roca a partir de la presencia del radioisótopo C. Estructura que se deja como una huella o hueso de un organismo que existió otra era geológica y que se preserva en una roca sedimentaria, o en ámbar. 5

14

No. Tiempo (miles Masa en Representación Tiempo de años) gramos en fracción 0 0 1000 1 1 12 500 1/2 2 24 250 1/4 3 36 125 1/8 4 48 62.5 1/16 5 60 31.25 1/32 6 72 15.625 1/64

Masa en gramos 1200 1000 800

Miles de años

600

Masa en gramos

400 200 0 0

12

24

36

48

60

72

Imagen 49. Gráfica decaimiento del Carbono 14 (C14). Mejía I, (2011)

Comparando otro caso de Carbono 14, pero con diferentes tiempos de desintegración radiactiva, se nos presenta la siguiente gráfica.

Imagen 50. Comparación de dos radioisótopos de Carbono 14

15

Te invitamos a navegar por la siguiente liga del Blog de Mónica Juárez para repasar las funciones exponenciales. http://monicajuarez.blogia.com/2010/052603--center-funciones-exponencialescenter-.php

4.3.1 Funciones exponenciales asociadas a una diferencia de razón Veamos otro ejemplo, Juan está jugando con una pelota y la ha soltado desde una altura de 1.50 m, después de un rebote alcanza una altura de 1.30 m, y al segundo rebote tiene una altura de 1.11 m. Juan se pregunta en ¿qué número de rebotes la pelota estará a menos de 0.20 m del piso? Analiza y observa que aquí no consideramos nada de la velocidad de caída sino, ¿cuántos rebotes necesita realizar para alcanzar esa altura?, así que decide hacer una tabla de ajustes de rebotes.

Imagen 51. Niños botando la pelota

No. De rebotes

Altura al piso (en metros)

0

1.50

1

1.30

2 4 ….

16

Como en esta ocasión no tenemos un referente, podemos aplicar una razón como constante en la caída, entre el tiempo 0 y el primer tiempo de diferencia.

¡Claro algo parecido hicimos en la diferencia de razón de la pendiente en la unidad 2! Δrazón =

= 0.86

Si entonces, ahora consideramos la razón como un factor asociado al evento exponencial, tenemos la siguiente representación: f(x) = (1.50)(0.86)x Si decimos que la altura inicial es igual a la base “P0” y la razón es “n”, podemos generar una función general del tipo: f(x) = P0 nx Ahora podemos calcular la altura que irá teniendo la pelota en el tiempo y podremos conocer cuando este aproximadamente a una altura de 0.20 m del piso. No. De rebotes

Altura al metros)

piso

(en Sustitución de nuestra nueva función exponencial

0 1.50 F(0)= 1.50(0.86)0 1 1.30 F(1)= 1.50(0.86) 2 1.11 F(2)= 1.50(0.86)2 3 0.95 F(3)= 1.50(0.86)3 4 0.82 F(4)= 1.50(0.86)4 5 0.70 F(5)= 1.50(0.86)5 6 0.57 F(6)= 1.50(0.86)6 7 0.52 F(7)= 1.50(0.86)7 8 0.45 F(8)= 1.50(0.86)8 9 0.38 F(9)= 1.50(0.86)9 10 0.33 F(10)= 1.50(0.86)10 11 0.28 F(8)= 1.50(0.86)11 12 0.24 F(9)= 1.50(0.86)12 13 0.21 F(10)= 1.50(0.86)13 RESPUESTA. Entonces, su pelota estará a menos de 0.20 m después del rebote 14.

17

¡Muy bien! Ahora, grafiquemos nuestros valores en número de rebotes en el eje de las abscisas y la altura en el eje de las ordenadas. Altura al piso (en metros) 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Altura al piso (en metros)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Imagen 52. Gráfica del rebote de una pelota en el tiempo. Mejía, I. (2011)

Nuevamente tenemos un decaimiento.

4.3.2 Analizando ejemplos de la vida diaria Ejemplo 1 Rosa María es una estudiante como cualquiera de nosotros y siempre está pendiente de sus gastos para poder apoyar a la economía familiar. A últimas fechas sus gastos se han incrementado y tendrá que dejar de estudiar un tiempo pero eso podría implicar que tarde más en concluir su meta. Su abuelo Don Fausto, ve el gran esfuerzo y compromiso que pone a la escuela así que ha decido apoyarla con un poco de dinero extra para sus gastos. Veamos que le ofreció: Como Rosa María, es una estudiante cumplida su abuelo ha ofrecido recompensarla dándole el 5% de su mesada anterior si no baja su rendimiento escolar durante el semestre. Entonces Rosa María ha decido saber ¿qué cantidad de mesada recibiría al sexto mes si cumple su reto? Si normalmente le da $450.00 mensualmente, eso significaría que su ingreso mensual irá en aumento. Imagen 53. Haciendo cálculos

18

Aplicando la diferencia de razón tenemos: Mes

Mensualidad (en pesos $)

0 1 2 3 4 5 6

300

Si el aumento es de 5% sobre el inicial, primero tenemos que conocer ¿cuánto es el equivalente al 5% de esa cantidad. (300)(0.05)= 15, por lo tanto a un mes recibirá 315. Una forma muy sencilla de hacer este cálculo, es aplicando la siguiente ecuación, como siempre es en aumento, sumamos la unidad al porcentaje en aumento. Solamente no olviden convertir tu porcentaje a números decimales. f(x) = P0 (1+n)x Completemos la tabla. Mes

Mensualidad (en pesos $)

Sustituyendo el valor

0

300.00

f(0) = 300(1+0.05)0

1

315.00

f(1) = 300(1+0.05)

2

330.75

f(2) = 300(1+0.05)2

3

347.28

f(3) = 300(1+0.05)3

4

364.65

f(4) = 300(1+0.05)4

5

382.88

f(5) = 300(1+0.05)5

6

402.02

f(6) = 300(1+0.05)6

Rosa María está muy contenta porque si eso se da, al final del semestre tendría una incremento de $102.02 de su ingreso al inicio del semestre, por lo cual ha decidido esmerarse en su estudio. 19

Ejemplo 2 A continuación se presenta otro problema, por ello copia en tu libreta de notas y ve resolviendo paso a paso para identificar todos los elementos de la operación. Compara al final el resultado de plataforma y el tuyo. ¿Se dieron diferencias o no? Supongamos que un coche que hoy cuesta $90,000.00 se deprecia de tal forma que cada año que pasa, el valor es el 95% de su valor anterior. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál será el valor del auto luego de dos años? Y ¿luego de 3 años? 2. ¿Cuál será el valor del auto luego de 12 años? Podrás observar rápidamente que para obtener el valor del automóvil luego de 10 años deberíamos conocer el valor del noveno año, y para éste necesitamos el valor luego de 8 años.

Uff! Esto parece que se complica, pero veamos como participan las matemáticas.

Creamos una fórmula que nos permita obtener los cálculos directamente, considerando luego el año de nuestro interés que denominaremos “X”, y entonces vamos aplicando un algoritmo para encontrar el valor: Es así, que x=años transcurridos, tenemos que el valor de la función es F(x) = 90,000.00(0.95)x ; Pero como lo generalizamos; decimos que: x= t (tiempo en años) C= valor comercial (90,000.00) cuando x=0 y p= el porcentaje de depreciación (0.95) y matemática.

obtenemos la siguiente función

F(t) = C(p)t Ya te parece más conocida, claro es como el ejemplo de las bacterias, pero ahora con un porcentaje que aplicamos en la resolución de problemas económicos. 20

Resolviendo para saber cuánto valdrá nuestro automóvil a los dos años: F(2) = 90,000(0.95)2 = 81,225

RECUERDA, primero debes resolver el número elevado a la potencia y después multiplicas, esto ya lo has analizado en tu asignatura de Las matemáticas en mi vida 1 y en otras de nuestras unidades de este curso. Cómo te darás cuenta ahora nuestro automóvil cuesta $ 81,225.00. Los bienes inmuebles como casas, terrenos cada año aumentan su valor comercial, mientras que automóviles, equipos electrodomésticos o de cómputo, se deprecian, es decir, disminuyen su valor original. 1 Obtén el valor para cuando sean 3 años Retroalimentación Respuesta: $ 77,157.00 Sustituyendo los valores originales (90,000)(0.95)3 (90,000)(0.8573)= 77,157

2 Dando respuesta al costo a los doce años nuestro coche vale Retroalimentación Respuesta: $ 48,636.00 Sustituyendo los valores originales (90,000)(0.95)12 (90,000)(0.5404)= 48,636

Nuestro automóvil se ha depreciado en un 54.04% de su valor de compra original. Es hora de evaluar cómo vamos en tu aprendizaje, para ello resolverás el siguiente RETO.

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Para repasar funciones exponenciales y de decaimiento, consulta el blog de Mónica Juárez en http://monicajuarez.blogia.com/2010/052603--centerfunciones-exponenciales-center-.php

(Se desarrolla en plataforma)

4.4 Aplicación de las funciones para modelar el crecimiento poblacional Thomas Malthus, nació en Inglaterra en el siglo XVIII y sus ideas revolucionarias marcadas por los movimientos de fines del siglo e inició del XIX, le permitieron imaginar un escenario del comportamiento de las sociedades de ese momento en relación al aumento de la población, el problema del la alimentación y el incremento en la pobreza asociada a los lugares con hacinamiento. La teoría poblacional de Thomas Malthus En su Ensayo sobre el principio de la población, Malthus explicó su famosa "teoría poblacional", estableciendo que las personas se reproducen más rápido que los alimentos. …..Supongamos en mil millones el número de habitantes de la Tierra; la raza humana crecería con los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, en tanto que las subsistencias como éstos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Al cabo de dos siglos la población sería a los medios de subsistencia como 256 es a 9; al cabo de tres, como 4.096 es a 13, y después de dos mil años la diferencia sería inmensa, incalculable (...) El principio de la población de período en período es tan superior al principio productivo de las subsistencias, que para mantenerse al nivel, para que la población existente encuentre alimentos proporcionados, es preciso que a cada instante impida este progreso una ley superior; que la dura necesidad la someta a su imperio; en una palabra, que uno de los dos principios contrarios cuya acción es preponderante esté contenido en ciertos límites. “Ensayo sobre el Principio de la Población, Thomas Malthus, 1798”

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En lo esencial, esta teoría tiene dos postulados. El primero dice que la población, cuando no se ve limitada, aumenta en progresión geométrica (1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.) en periodos anuales, de tal modo que se dobla cada veinticinco años. El segundo postulado establece que en las circunstancias más favorables los alimentos no pueden aumentar más que en progresión aritmética (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) por año. De estos dos postulados, Malthus llegó a una conclusión dramática: a menos que se tomaran medidas, vendría un momento en que los alimentos no alcanzarían para todos. Imagen 54. Crecimiento Maltusiano. Población total mundial Era evidente que cualquiera fuera el punto de partida dentro de ambas series, tarde o temprano la situación sería insostenible. El freno último del Crecimiento de la población sería la falta de alimentos, lo que llevaría a que la gente simplemente se muriera de hambre y también, por otro lado, a que no tuviera más hijos, dadas las malas condiciones sociales que los esperaban en el futuro. En el siglo XXI, se hacen nuevas aplicaciones en economía, demografía y estadística que ya no se ajustan a la teoría de Malthus en sus conceptos iniciales, sin embargo; sigue siendo un excelente ejemplo para entender la función exponencial. Para apoyar tu aprendizaje sobre el crecimiento de la población humana, consulta los siguientes documentos genera una reflexión “Evolución de la población: Características, modelos y factores de equilibrio” De Concha Camarero Bullón. http://www.encuentrosmultidisciplinares.org/Revistan%C2%BA10/Concepci%C3%B3n%20Camarero%20 Bull%C3%B3n.pdf 23

Una nueva lectura sobre la teoría de Malthus acerca de la población. http://www.losrecursoshumanos.com/contenidos/2407-una-nueva-lectura-sobre-lateoria-de-malthus-acerca-de-la-poblacion.html La teoría malthusiana y el hambre de hoy. http://www.monimbo.us/files/La_Teor_a.pdf Para concluir el estudio de esta unidad vamos a reafirmar nuestros conocimientos sobre el tema de crecimiento poblacional y sus modelos de representación.

(Se desarrolla en plataforma)

Conclusión Estamos concluyendo un aprendizaje más y en esta unidad nos dimos cuenta de la forma más rápida de hacer cálculos utilizando las funciones exponenciales y apreciando en casos tanto hipotéticos como reales. Esperamos que te haya sido de gran utilidad.

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Referencias De consulta Libros Castro J y González A. (2002). Problemario de matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Harshbarger R y Reynolds J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, economía y ciencias sociales. 7ª México: Edición. Mc Graw Hill. Tan, Soo Tang. (2005). Matemáticas para administración y economía. 3ª. Edición. Australia: Thomson. Simth L y Smith T. (2001). Ecología. 4ª. Edición. Madrid: Addison Wesley. Sitios de internet Algunas funciones elementales. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Recuperado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#funcione s_racionales Aplicaciones exponenciales. Las bacterias y los SMS. Recuperado de: http://aula2.elmundo.es/aula/laminas/lamina1137406678.pdf Cambios en las poblaciones. Ecosistemas. Recuperado de: http://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?idIdioma=ES&Tema Clave=1189&est=3 Crecimiento exponencial. La magia de las matemáticas. Recuperado de: http://magiamats.blogspot.com/2010/03/crecimiento-exponencial.html Entendiendo el crecimiento exponencial. Plandinero. Recuperado de: http://www.plandinero.com/entendiendo-el-crecimiento-exponencial/ Funciones exponenciales. Wikimatemáticas. Recuperado de: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_Polinomiales Modelos de Crecimiento. Curso de ecosistemas y políticas públicas. Recuperado de: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/esp/esp-06.htm Gobierno del Distrito Federal. http://www.df.gob.mx 25

Instituto Nacional de Estadística y geografía INEGI. http://www.inegi.org.mx/

De Imágenes 34. La demanda de recursos por la sobrepoblación mundial pone en riesgo la capacidad de espacio y alimento en el planeta Tierra Recuperado de: http://files.lalagar.webnode.com.co/20000005028d0f29cae/sobrepoblacion.gif 35. Estimación de la población mexicana al año 2050. Mejía I, (2011) Información: Mejía, I. (2011) Edición: Martínez A. (2012) 36. Curva de crecimiento exponencial Recuperado de: http://iescarin.educa.aragon.es/estatica/depart/biogeo/varios/BiologiaCurtis/ Seccion%208/52-2.jpg 37. Incremento exponencial en función de las etapas reproductivas Recuperado de: http://lacasadegauss.files.wordpress.com/2010/09/97b8x1024y768.jpg 38. La población tiende a comportarse con una curva de tipo logística Recuperado de: http://www.librosvivos.net/smtc/img/1189_curvas.jpg 39. Curva en forma de “S” o sigmoidea Recuperado de: http://www.equinoxio.org/UserFiles/image/germanq/curva_sigmoidea.png 40. Isótopos radioactivos del átomo de Carbono Recuperado de: http://4.bp.blogspot.com/_WvphIQHJ6T0/TNvwHiqL0PI/AAAAAAAAAAg/_C BlJpHt9YQ/s320/isotopos 41. Desintegración del 14C Recuperado de: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/08/imgs/f 24p64.gif 42. Crecimiento bacteriano Recuperado de: http://www.ojocientifico.com/sites/www.ojocientifico.com/files/imagecache/p rimera/Clasificaci%C3%B3n%20de%20las%20bacterias%20segun%20su %20forma.jpg 43. Crecimiento exponencial del número de células bacterianas Recuperado de:

26

http://www.fca.uner.edu.ar/academicas/deptos/catedras/microbiologia/unid ad_3_crecimiento_bacteriano.pdf 44. Infección gripal causada por bacterias Recuperado de: http://elmundodetrilicienta.files.wordpress.com/2012/01/gripe-02.jpg 45. Gráfica del crecimiento de bacterias cada 15 minutos durante 7 horas. Mejía I, (2011) Información: Mejía, I. (2011) Edición: Martínez A. (2012) 46. División de bacterias en función del tiempo Recuperado de: http://aula2.elmundo.es/aula/laminas/lamina1137406678.pdf 47. Curva de decaimiento exponencial Recuperado de: http://www.cnea.gov.ar/xxi/divulgacion/radiactividad/ficha5_dib1.gif 48. Fósil de pez teleósteo en roca sedimentaria Recuperado de: http://oldearth.files.wordpress.com/2008/06/pez-fosil.jpg?w=300&h=166 49. Gráfica decaimiento del Carbono 14 (C14). Mejía I, (2011) Información: Mejía, I. (2011) Edición: Martínez A. (2012) 50. Comparación de dos radioisótopos de Carbono 14 Recuperado de: http://www.cnea.gov.ar/xxi/divulgacion/radiactividad/ficha5_dib2.gif 51. Niños botando la pelota Recuperado de: http://movimientoydeporte.files.wordpress.com/2012/07/imagen6.png?w=43 8&h=227 52. Gráfica del rebote de una pelota en el tiempo. ). Mejía I, (2011) Información: Mejía, I. (2011) Edición: Martínez A. (2012) 53. Haciendo cálculos Recuperado de: http://www.reeditor.com/img_col/col_1482.jpg 54. Crecimiento Maltusiano. Población total mundial Recuperado de: http://www.eumed.net/cursecon/2/crecimiento-y-total.gif

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UNIDAD V. ¿CÓMO REPRESENTAR EL TIEMPO EN FUNCIÓN DE LA POBLACIÓN?

Introducción A lo largo de este interesante recorrido de un mes, hemos estudiado los diferentes tipos de funciones así como sus aplicaciones. En esta última unidad vamos a revisar ahora la función logarítmica y la función exponencial. Es importante que revisemos los antecedentes y las características de los logaritmos para que podamos entrar sin problemas al estudio de las funciones. Los logaritmos fueron “inventados” en el siglo XVII y son muy útiles en la aplicación de la matemática, esta herramienta es útil para encontrar los conjuntos solución de algunos tipos de ecuaciones o funciones. Las leyes de los logaritmos se basan en las leyes de los exponentes como lo estudiaste en tu asignatura de “Habilidades operativas” por eso es importante que los tengas presentes. Es importante que relaciones ambos temas pues existe una relación inversa entre ambos. Algunas aplicaciones importantes en el área de las ciencias que podemos hacer de este tema se encuentran el crecimiento en microorganismos como el caso de las bacterias, la desintegración radiactiva, los valores del pH en química, la severidad de los temblores en la escala Richter entre muchos más, pues al ser números muy grandes podemos reducir su escala a números más pequeños o de fácil ubicación por el manejo de los logaritmos.

Imagen 55. Escala Richter para los terremotos. Es una función logarítmica

Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será competente para: Identificar funciones logarítmicas exponenciales, así como resolver problemas relacionados con el crecimiento de una población y sus parámetros de evaluación.

Temario En esta unidad revisaremos los siguientes temas: 5.1 Cálculo de logaritmos 5.2 Funciones logarítmicas 5.3 La función logarítmica como inversa de la función exponencial. 5.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 5.5 Resolviendo problemas con logaritmos y exponenciales.

5.1 CÁLCULO DE LOGARITMOS Como ya mencionamos anteriormente, la teoría de los logaritmos se basa en las leyes de los exponentes, de ahí que la siguiente definición involucra a ambos términos. El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Su expresión es la siguiente

a se le conoce como la base x es el número que debemos encontrar y es el exponente al que hay que elevar el número

Veamos algunos ejemplos ¿A qué exponente debemos elevar la base para encontrar el número? Log264=6,

porque

26=64 es decir, 2x2x2x2x2x2=64

Log464=3,

porque

43=64 es decir, 4x4x4=64

Log864=2,

porque

82= 64 o su equivalente 8x8=64

Log1664= ,

porque

163/2= 64 o su equivalente a exponente en

radicación es (161/2)3= (4)3=4x4x4=64 En este caso tienes que recordar que las raíces son exponentes, por ejemplo

Otros ejemplos son: Log3N=4

entonces

N=34=3x3x3x3=81

Logb125=3

entonces

b3=125=5x5x5=53 por lo tanto b=5

Log164=L

entonces

16L=4=161/2

por lo tanto L=1/2

Como puedes ver, los logaritmos pueden expresarse con bases de números enteros o en fracción (número racional). Vayamos ahora a las propiedades de los logaritmos, esto nos será de mucha utilidad para resolver algunos problemas con logaritmos. 5.1.1 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS En este caso, como los logaritmos son exponentes cumplen las siguientes leyes. Te recomiendo los anotes en tu libreta para repasar más adelante. 1) log a (x y)=log a x + log b x

2) log a (x/ y)=log a x - log b x 3) log a (x w )=w log a x 4) log a 1=0 5) log a (a n )=n 6) a

log n a =n

Vamos a aplicar algunas propiedades de los logaritmos en casos numéricos para que te sea más práctico el concepto. Analiza cada ejemplo propuesto a continuación:

Recuerda el cociente de un logaritmo primero se escribe el numerador menos el denominador.

Revisa cuidadosamente las propiedades de las exponentes ya que los aplicarás en la siguiente evaluación. Copia algunos de los ejemplos y repasa en tu libreta de notas como se obtiene el logaritmo o su forma exponencial.

(Se desarrollan en plataforma)

5.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS Como mencionamos en la parte introductoria de esta unidad, la función logarítmica tiene un papel muy importante puesto que constituye un poderoso instrumento de análisis en la vida cotidiana. Aparece en

la reproducción de una colonia de

bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, entre otras aplicaciones.

Se llama función logarítmica a las funciones que cumplen la forma f(x) = loga(x) donde "a" es una constante (un número) y como vimos en el tema anterior es la base del logaritmo. ¿Recuerdas como hicimos en la unidad 1 para obtener la gráfica de la función?, vamos a hacer lo mismo para el caso del logaritmo Veamos un ejemplo f(x)=log2x

Imagen 56. Gráfica de la función logarítmica f(x)=log2x Veamos que sucede con f(x)=log1/2x

Imagen 57. Gráfica de la función logarítmica f(x)=log1/2x Con base en estas dos funciones, observa lo siguiente Si a>1 entonces loga (x) aumenta a medida que x aumenta Si 0<a<1, loga (x) disminuye a medida que x aumenta Si a>1 entonces loga (x) es positivo si x>1 Si a>1, entonces loga (x) es negativo si 0<x<1 La función no está definida para x ≤ 0 La función logarítmica corta al eje x siempre en x=1 loga (x) = 1 si y sólo si x=a Si a>1 entonces loga (x) tiende a menos infinito (-∞) a medida que x tiende a cero por la derecha Si 0<a<1 loga (x) tiende a infinito (∞) a medida que x se acerca a cero por la derecha

Resumen de la función exponencial 1) Su dominio es R 2) Su rango pertenece a R 3) Es continua (no tiene hoyos) 4) Los puntos (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica 5) A cada valor de x en el dominio, solo le corresponde uno de “y” en el contradominio 6) Es creciente si a>1 7) Es decreciente si a<1

Con estos datos pasemos a nuestro siguiente tema.

5.3. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA COMO INVERSA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Las funciones exponenciales nos muestran el crecimiento o decremento del comportamiento de una situación. La notación de estas funciones es f(x)= ax con 0<a<1 ó a>1

ó

f(x)= ex

donde “a” es una constante y “x” es la variable. La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función loga se denotan como loga (x) y puesto que ax es la función exponencial con base a y ambas son inversas se puede afirmar que:

f(x) = loga (x)

si y sólo

si x = ay

El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su codominio es el conjunto de los números reales. La gráfica de la función logarítmica es simétrica a la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Veamos algunos ejemplos

Te acuerdas cuando trabajamos con los logaritmos en la sección anterior Log 6 x = 5 Recuerda que nos preguntabamos ¿A qué exponente debemos elevar la base para encontrar el número? Aquí la base es 6, el exponente es 5 y con eso encontramos el número, por esa razón la respuesta es X=65 Veamos otro ejemplo

Identificamos los elementos Base: 4 Número: (2t + 3) Exponente: W Nuevamente nos preguntamos ¿A qué exponente debemos elevar la base para encontrar el número?, la respuesta es: 4W=(2t + 3) Un ejercicio más:

Nuevamente, identificamos los elementos y verifica la respuesta. Base: p Número: q Exponente: r

Para reforzar lo visto en este tema, te sugiero revisar el siguiente video:

Función logarítmica y función exponencial. Explicado por el profesor Álvaro Suárez López http://www.youtube.com/watch?v=FGwxP3F5Qj0&feature=related (duración de 8:48 min) Es importante mencionar que: 1) Cuando la base a>1, la función exponencial y=ax

no está acotada

x

superiormente. Esto es, a crece sin límite al aumentar la variable x. 2) La función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , ax tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 3) Igualmente, cuando la base a<1, la función exponencial y=ax no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, ax crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y ax tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial ax con a>1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que en la función exponencial a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio sin repetirse (se conoce como función inyectiva). Este característica y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica). En resumen

Observa que en la función exponencial 2x, la gráfica corta en el punto (0,1) y en el caso de la función log2x, la gráfica corta en el punto (1,0). No te preocupes, es necesario que practiques para que tu aprendizaje sea exitoso, te sugerimos hacer notas y repasarlas. Recuerda que haremos una evaluación que nos permitirá reforzar el aprendizaje.

(Se desarrolla en plataforma) Pasemos ahora a nuestro siguiente tema.

5.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Ahora que conoces el tema de las funciones exponenciales y logarítmicas, vamos a trabajar con las ecuaciones. Una ecuación recibe el nombre de ecuación exponencial si la variable aparece en uno o más exponentes. Se le llama ecuación logarítmica a aquellas en las que la incógnita figura en un logaritmo. Veamos algunos ejemplos

Funciones exponenciales

En estas ecuaciones, la variable x, es un exponente

Funciones logarítmica log x + log 20 = 3 2 log x = log (4x + 12)

En estas ecuaciones, la variable x se relaciona con un logaritmo

Vayamos a unos ejemplos Resolver la ecuación 3x+4=5x+2 Para resolver, tenemos que aplicar logaritmos en ambos lados de la igualdad, recuerda que lo que hacemos de un lado, hay que hacerlo del otro pues es como una balanza Log 3x+4 = log 5x+2 Recuerda las propiedades de los logaritmos (x+4)log 3=(x+2)log5 xlog3+4log3=xlog5+2log5 pasamos lo que tiene x de lado izquierdo xlog3-xlog5=2log5-4log3 se factoriza “x” x(log 3 – log 5)= log 52 - log 34 x(log 3 – log 5)= log 25 - log 81

despejamos “x”

Con tu calculadora obtén los valores del logaritmo

Resolver Log6(x+3)+log6(x-2)=1 Sabemos que la suma de los logaritmos es el logaritmo del producto, entonces Log6(x+3)(x-2)=1 Recuerda ahora que la base debe elevarse al exponente para obtener el número ¿lo recuerdas? (x+3)(x-2)=61 (x+3)(x-2)=6 Realizamos el producto del lado derecho x2-2x+3x-6=6 x2+x-6=6 pasamos el 6 del lado derecho al lado izquierdo x2+x-6-6=0 x2+x-12=0 factorizamos (x+4)(x-3)=0 Por lo tanto los valores de x que son solución X=-4 X=3 Sin embargo, cuando revisamos en la ecuación original se tiene Cuando x=-4 Log6(x+3)+log6(x-2)=1

Log6(-4+3)+log6(-4-2)=1

-4 no puede ser solución, pues no están definidos los logaritmos de números negativos

Log6(-1)+log6(-6)=1 Veamos la otra raíz x=3 Log6(3+3)+log6(3-2)=1 Log6(0)+log6(1)=1 Por lo que la solución es x=3 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica

Log10 x +log10 20 = 3 Recuerda que el producto de los logaritmos es la suma de cada logaritmo, esta regla es válida en los dos sentidos Log10 20x = 3 Log10 3 = 1000, Log10 20x = Log10 3 20x=1000 Despejamos x X=1000/20 X= 50 Resuelve ahora tú el siguiente ejercicio, no formará parte de tu calificación pero podrás verificar tu aprendizaje.

Resuelve la siguiente ecuación 2 log x = log (4x +12) X=6

Muy bien, aunque tienes dos valores, sólo x=6 hace válida la ecuación

b)

X=-6

Revisa nuevamente como se solucionan las ecuaciones de segundo grado y la validez del logaritmo.

c)

X=2

Revisa nuevamente como se solucionan las ecuaciones de segundo grado y la validez del logaritmo.

d)

X=-2

a)

Revisa la validez del logaritmo.

Resolvamos ahora la siguiente ecuación exponencial

Recordemos que el producto de potencias con la misma base es la suma de las potencias, tenemos entonces

Despejamos y pasamos el 256 de lado derecho

Necesitamos saber a qué potencia pertenece 256, tenemos que obtener su descomposición: 256

2

128

2

64

2

32

2

16

2

8

2

4

2

2

2

1

Por lo tanto la potencia es 28=256 Ahora podemos igualar las potencias x 2 +2x=8 Transformamos la ecuación para que tenga la forma de una ecuación de 2° grado x 2 +2x-8=0 Resolvemos la ecuación de 2° grado a= 1 b=2 c=-8

En este caso como son potencias, ambos valores son válidos. Para practicar más sobre soluciones de ecuaciones logarítmicas de segundo grado te sugerimos revisar el video elaborado por el Prof. Julio Ríos en http://www.youtube.com/watch?v=LW_sP5jDBQA&feature=fvwrel (duración 9:46 min).

Y para repasar la solución de ecuaciones exponenciales, veamos el video del Prof. Julio

Ríos

en

http://www.youtube.com/watch?v=Fl1PvjOh9Us&feature=fvwrel

(duración 6:36 min)

Ahora te toca a ti.

Resuelve la siguiente ecuación

4x+1=8 a)

X=1

Revisa nuevamente tu ecuación

b)

X=1/2

Muy bien

c)

X=-1/2

Revisa nuevamente tu ecuación

d)

X=-1

Revisa nuevamente tu ecuación

Esperamos que no hayas tenido dudas, si tienes problema con algunos ejercicios, te pedimos consultes la bibliografía o a tu tutor, él te ayudará a resolverlas.

5.5 RESOLVIENDO

PROBLEMAS

CON

LOGARITMOS

Y

EXPONENCIALES Podemos decir que ya tenemos todo un equipo de funciones que pueden ayudarnos, en este apartado vamos a trabajar con dos problemas en los que el uso de los logaritmos y de la exponencial es muy importante, sin embargo estas aplicaciones no son las únicas en donde las funciones y ecuaciones estudiadas son útiles.

El uso de los logaritmos y las exponenciales va mucho más allá y se ha utilizado también para hacer proyecciones sobre el comportamiento de fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

5.5.1 EL CRECIMIENTO POBLACIONAL En Demografía, se tienen una de las principales aplicaciones de los modelos logarítmicos, en particular la del crecimiento poblacional de una región o población en años, (recuerda que ya estudiamos parte de esta información en la unidad 4, pero de una forma simple, ahora aplicaremos la estrategia a través de las funciones logarítmicas). Este crecimiento se relaciona con una curva de característica

exponencial

que

sugiere

el

modelo matemático dado por la ecuación: N = N0 ekt donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante que mide el crecimiento poblacional. Para obtener el valor de k tenemos

Veamos

algunos

ejemplos,

basados

nuevamente en el modelo de población.

En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano

1. Modelo de crecimiento exponencial 2. Modelo de crecimiento logístico Es importante que hagamos énfasis en que estos modelos son muy sencillos y no toman en consideración todos los elementos que influyen en el crecimiento de la población, tales como la mortalidad individuos.

o

el

nacimiento

de

nuevos Imagen 60. Thomas Robert Malthus, (1766-1834)

Modelo de crecimiento exponencial Recuerda que el modelo exponencial fue introducido por el economista Malthus como lo vimos en la unidad 2, en su libro “Ensayo sobre el principio de la población”, donde el eje central del modelo malthusiano es la teoría sobre la evolución de la población. En este tipo de modelos utilizamos el número e, este número es muy especial ya que permite modelar crecimiento o decrecimiento de diferentes fenómenos, el logaritmo natural ln1 es el logaritmo en base e. La solución del modelo exponencial es precisamente la función exponencial, de ahí su nombre, en este modelo la población aumenta según la función: Nt=N0 ert Nt es la población en el tiempo t N0 es la población inicial r es la tasa de reproducción neta, se calcula como nacimientos - defunciones t es el tiempo que ha pasado Veamos un ejemplo Supongamos que en un ser vivo se está desarrollando una bacteria con crecimiento de tipo exponencial cuyas tasas de natalidad y mortalidad son 0.2 y 0.1 por día, respectivamente. Inicialmente hay una población de 100 individuos, ¿cuántas bacterias habrá en t=10 minutos? Y ¿en t=15 minutos? Usemos la fórmula de la población e identifiquemos los valores Nt es lo que necesitamos calcular N0 = 100 individuos r = natalidad – mortalidad= 0.2 – 0.1= 0.1 t=10 Nt=100 e0.1(10) Nt=100 e

1

Para calcular el número

e, utiliza tu calculadora.

Nt=100(2.712) Nt=271.83 1

Ln se denomina como logaritmo natural o logaritmo neperiano e = 2.71

Lo que quiere decir que en el tiempo 10 minutos, habrá aproximadamente 271 virus, ¿qué pasa en t=15 ? realizamos el mismo procedimiento con t=15 Nt=100 e0.1(15) Nt=100 e1.5 Nt=100(4.482) Nt=448.17 En este caso tenemos que en t=15 minutos, se tienen aproximadamente 448 bacterias. ¿Recuerdas el modelo de población visto en la unidad 2?, en ese momento veíamos el comportamiento de la población a través de los años. A lo largo de las unidades hemos visto algunos problemas de población, así que ya estas más familiarizado con los conceptos. Revisemos una vez más, qué pasa con la población de nuestro Distrito Federal, consulta la página del INEGI http://www.inegi.org.mx/ Revisemos nuevamente los datos de población del DF Año

Población

1895

476,413

1900

541,516

1910

720,753

1921

906,063

1930

1,229,576

1940

1,757,530

1950

3,050,442

1960

4,870,876

1970

6,874,165

1980

8,831,079

1990

8,235,744

1995

8,489,007

2000

8,605,239

2005

8,720,916

2010

8,851,080

Fuente: Estadísticas históricas de México, Tomo I. INEGI. Primera Reimpresión: Enero del 2000.

Vamos a ver una aplicación del modelo del comportamiento del crecimiento de la población, vamos a utilizar este modelo para hacer una proyección de la población. Vamos a utilizar el modelo exponencial, ¿cuántos habitantes seremos en el DF en el 2012? Recordemos el modelo exponencial para la población. Nt=N0 ert Vamos a calcular el valor de r, para eso necesitamos la tasa de natalidad y la tasa de

mortalidad,

estos

datos

los

podemos

encontrar

en

CONAPO

(http://www.conapo.gob.mx/index.php?option=com_content&view=article&id=125& Itemid=193) Mortalidad para el DF en 2011: 5.88% = 0.0588 Natalidad para el DF en 2011: 14.49% = 0.1449 Calculamos r= natalidad – mortalidad=. 1449 -.0588 = 0.0861 Sustituimos los valores, para obtener la población de 2012 N

2012

= 8,851,080 e0.0861(1) en este caso t=1 por que sólo vamos a pronosticar un

año más N 2012 = 8,851,080 (1.0899)=9,646,792 personas Con esto podemos decir que en el 2012 habrá 9,646,792 personas en el DF. Crees que nuestro valor calculado se aproximo al número de habitantes reales.

Modelo logarítmico Observamos la tabla de la población del DF que vimos antes, vemos que de 1960 a 2010, la población se ha duplicado tan sólo en 50 años. Con base en esta observación, y tomando como base el 2010, ¿cuál será la población en el 2025 si el ritmo se mantiene igual? Entonces tenemos N(t)= 8,851,080(2t) Como nuestra base de datos demuestra que la población se duplica cada 50 años y ahora lo vamos a proyectar la población a un periodo de 25 años, el valor de “t” es la mitad de la unidad, es decir t=0.5. N(0.5)= 8,851,080(20.5)= 8,851,080(1.4142)=12,517,197 personas Por lo tanto, si se mantiene el mismo ritmo de crecimiento, la población en 2025 será de 12,517,197 personas.

Aplicaciones financieras Cuando invertimos nuestro dinero, queremos saber cuánto será lo que recibiremos al final de cierto periodo, el mismo principio aplica cuando pedimos dinero prestado al banco; la manera de calcular los intereses se hace a través del cálculo de interés compuesto en el cual se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P 0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n Donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).

Veamos un ejemplo de este caso. Calcule la cantidad de intereses por pagar después de 1 año sobre un préstamo de $5000 si el interés es 8 % anual. ¿Cuál es el periodo de interés? Solución: El interés se puede calcular mediante: Intereses = Monto adeudado al final – Monto original del préstamo El monto adeudado al final será igual a: P = P0 (1+i)n Identificamos los valores P0 = $5000 i= 0.08 n=1 (porque es un año) Reemplazando valores: Monto adeudado al final = $5000 * (1.08) = $5400 Luego el interés será: Intereses = $5400 - $5000 = $400 Ahora veamos el siguiente problema Se pidió un préstamo de $5000 y a una tasa de interés del 10%, ¿cuánto tiempo pasó si se pagó al final $8000? Vamos a nuestra fórmula P= P0 (1+i)n Identifiquemos los valores P0 = $5000 P= $8000

I=10%= 0.10 n= desconocido Sustituimos los valores 8000=5000 (1+0.10)n Pasamos el 5000 dividiendo

1.6=(1.10)n Obtenemos logaritmos de ambos lados Log 1.6 = n log 1.10 Despejamos a n

n= 4.93 años Entonces han pasado casi 5 años desde que se pidió el préstamo.

(Se desarrollan en plataforma) Para seguir practicando antes de tu evaluación final, te recomendamos resolver algunos de los ejercicios de tipos de funciones propuestos en nuestro curso en los sitios web especializados en matemática http://www.x.edu.uy/estudiantes.htm y http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=4 y en la bibliografía propuesta.

CONCLUSIÓN Hemos concluido una asignatura más en tu formación, como te habrás dado cuenta las matemáticas si están presentes en mucha información de nuestra vida cotidiana. No olvides aplicar lo aprendido.

REFERENCIAS

De consulta Libros Castro J y González A. (2002). Problemario de matemáticas para administración y economía. México: Thomson. Demana D, Foley D, Fuerte R, Ibarra V, kennedy D y Waits B. (2007) Precálculo. Gráfico, numérico, algebraico. 7ª Edición. Pearson-Addison Wesley. México. Harshbarger R y Reynolds J. (2005). Matemáticas aplicadas a la Administración, economía y ciencias sociales. 7ª México: Edición. Mc Graw Hill. Tan, Soo Tang. (2005). Matemáticas para administración y economía. 3ª. Edición. Australia: Thomson. Sitios de internet Algunas funciones elementales. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Recuperado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#funciones_racio nales Entendiendo el crecimiento exponencial. Plandinero. Recuperado de: http://www.plandinero.com/entendiendo-el-crecimiento-exponencial/ Función exponencial y logarítmica. Matemáticas. Recuperado de: http://docencia.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html Funciones logarítmicas. Recuperado de: http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/logaw.htm Relación entre la función logarítmica y la función exponencial. Recuperado de: http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcioneslogaritmicas.htm Funciones. Sitio educativo de matemáticas. Recuperado de: http://www.x.edu.uy/estudiantes.htm Ejercicios elementales con logaritmos. Resolución en línea. Ejercicios de matemáticas. Recuperado de: http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=4

De Imágenes 55. Escala Richter para los terremotos. Es una función logarítmica Recuperado de: http://microrespuestas.com/wpcontent/uploads/2010/03/ESCALA_RITCHER.gif 56. Gráfica de la función logarítmica f(x)=log2x Edición: Martínez A. (2012) 57. Gráfica de la función logarítmica f(x)=log1/2x Edición: Martínez A. (2012) 58. Simetría entre la gráfica de la función logarítmica y la gráfica de la función exponencial Edición: Martínez A. (2012) 59. Gráfica de la función logarítmica y de la función exponencial Edición: Martínez A. (2012) 60. Thomas Robert Malthus, (1766-1834) Recuperado de: http://www.eumed.net/cursecon/dic/bzm/m/malthus.jpg