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Presentación La asignatura de Habilidades Operativas ha sido diseñada para brindarte los conocimientos básicos de matemáticas, los cuales te permitirán profundizar en este campo y serán de gran utilidad para apoyar tus aprendizajes en otras asignaturas que requieran de estas herramientas. El estudio de las matemáticas te permitirá, además de conocer los diferentes conceptos y métodos utilizados para solución de temas específicos, desarrollar tu capacidad de abstracción, pensamiento lógico y deductivo, integración de ideas y sistematización de métodos. Durante el estudio de los temas se te presentará la información y el desarrollo de los ejercicios en lenguaje coloquial y al mismo tiempo en lenguaje matemático para que puedas hacer de éste último un lenguaje más cotidiano. El programa se integra por 5 unidades:

Esperamos que este recorrido inicial por el mundo de las matemáticas te resulte de gran interés y siente las bases para tus futuros estudios. El propósito general de esta asignatura es que al finalizar seas competente para resolver ejercicios que requieran un desarrollo matemático básico, mediante el conocimiento y la aplicación de operaciones aritméticas, expresiones algebraicas, ecuaciones de primero y segundo grado así como las principales formas geométricas. Esto le permitirá enfrentarse a problemas de la vida diaria planteando y encontrando su solución de manera lógica y efectiva. 1

Unidad 1. La Sociedad y los Números Introducción En la unidad 1 podrás conocer la manera como el ser humano requirió y creó los números, veras de forma sencilla cómo se forman las cantidades en el sistema decimal que utilizamos de manera cotidiana en nuestras actividades, utilizando la propiedad del valor relativo. También conocerás el significado y aplicación de los números negativos, los cuales junto con el cero y los positivos forman los números enteros. La unidad 1 está dedicada al desarrollo de las operaciones aritméticas, en esta sección podrás conocer el significado lógico de las operaciones, así como el procedimiento que requiere cada una de ellas. Aprenderás algunas herramientas adicionales como la jerarquía de las operaciones y el máximo común divisor; la primera te permitirá desarrollar largas cadenas de operaciones que representan problemas más complejos, mientras que la segunda te permitirá encontrar la mayor cantidad entre la que puedes dividir una serie de cantidades. En los ejercicios y ejemplos podrás observar cómo resolver problemas complejos de aplicación diaria con estas operaciones básicas.

Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para:

Resolver ejercicios con la utilización de operaciones aritméticas de números enteros positivos y negativos, con ello podrá resolver problemas de aplicación de la vida diaria. Los objetivos particulares de esta unidad son: 1. Comprender la importancia y utilidad de los sistemas de numeración. 2. Comprender el fundamento de las operaciones aritméticas. 3. Comprender y aplicar las Leyes de los Signos y la Jerarquía de las Operaciones en la realización de operaciones aritméticas. 2

1.1.

La sociedad y los números Cuando los seres humanos eran recolectores y cazadores no importaba mucho la cantidad de frutos reunidos o animales capturados, solo bastaba con que todos los integrantes del grupo saciaran su hambre. Con el tiempo el hombre se estableció

lugares

fijos

dedicó

principalmente al cultivo y a la crianza de animales que le proveían alimento y otros insumos útiles, pero ahora ¿cómo podía darse cuenta que faltaba algún canasto de alimentos? o ¿qué tenía más animales porque éstos se habían reproducido?, es entonces que surge la necesidad de contar, por lo que el hombre crea en su mente el concepto de número. Es importante destacar que un número: es un concepto abstracto al cual mentalmente se le da un significado, su representación gráfica depende de los sistemas de numeración utilizados.

Los primeros números que surgieron se conocen como números naturales las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades al relacionar cada elemento de un conjunto conocido, como frutas, con una cifra o número, por ejemplo:

Los símbolos o glifos utilizados para representar los números se llaman Numerales, los cuales varían de acuerdo a la cultura que desarrollo el sistema de numeración, los primeros sistemas de numeración fueron a base de símbolos, posteriormente los griegos y, los romanos, utilizaron un sistema a base de letras. El desarrollo de las notaciones numéricas de la India nos llevó al sistema que utilizamos mas cotidianamente el sistema indoarábigo el cual es un sistema de numeración de posición, este proceso llevó al concepto de "cero" que equivalente a "vacío". Este concepto del cero como tal, es decir "nada", les llevó a considerar la necesidad de los números negativos, o sea a la "no existencia de algo", lo que se conoce como "deuda". Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. Ahora sabes que nuestro sistema de numeración procede de la India, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa, que se denomina Sistema Decimal el cual necesita diez símbolos diferentes, además de ser un sistema posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que ocupe dentro del número que estemos considerando. Si quieres saber más: GARCÍA-NAVARRO F. "EL NÚMERO CERO - " DYNA Ingeniería e Industria. Febrero 2008. Vol. 83-1 p.3741 Disponible en: http://www.revistadyna.com/Dyna/cms/articulos/FichaArticulos.asp?IdMenu=10&IdDocu mento=1321&IdEjemplar=6 1

Unidad

Decena

100

Centena

1000

Millar

10000

Decena de Millar

100000

Centena de Millar

1000000

Millar de Millar (Millón) 4

De esta manera con los números naturales básicos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 más el 0 es posible crear una sucesión infinita de números que nos permite definir cualquier cantidad. Como puedes observar un

número puede tomar el valor de

una

unidad,

decena,

centenas decenas unidades

centena o millar dependiendo de la posición en la que se encuentre dentro de la cifra, así por ejemplo, en el número:

El 3 corresponde a la cantidad de centenas que se tienen, el 4 a las decenas y el 9 a las unidades de esta manera decimos que tenemos: 3 centenas, 4 decenas y 9 unidades; que nos representan la cantidad de tres cientos cuarenta y nueve.

A esta propiedad se le conoce como Valor Relativo, ya que depende de la ubicación que tiene el número dentro de la cantidad total. En nuestros días nos resulta muy familiar el concepto de números y lo que ellos representan, estamos acostumbrados a utilizarlos en todo momento, desde hacer una llamada telefónica, en las compras diarias o hasta para determinar la hora y la fecha, no debemos olvidar que su desarrollo represento un gran paso para la humanidad.

1.2.

El comerciante y el dinero perdido En una ocasión un comerciante de fruta tenía en sus arcas $10,500 con lo que adquirió un cargamento de bananas a un precio de $1.5 por kilogramo, con lo que pudo recibir 7000 kilos del producto, él esperaba vender los bananos a razón de $2.5 por kilo en el mercado de la localidad y así obtener una ganancia de

$7,000, pero el tiempo pasaba y el cargamento de bananos no se vendía y se maduraba, por lo que se vio en la necesidad de rematar el producto a un fabricante de dulces que se lo compro a $1.0 el kilo, de esta manera recibió $7,000, entonces el comerciante se dijo "al principio tenía $10,500 y ahora tengo $7,000, he tenido una pérdida de $3,500, ¿cómo puedo representar esta pérdida en mis registros?" Los pensadores coincidieron en que debería existir una

Dos características de los

numeración que representara las condiciones donde los

números

resultados no

fueran

buenos,

ahí que

negativos:

crearan

los Números Negativos.

1. Un

número

negativo

siempre es menor que Los números negativos siguen la misma secuencia que los

cero.

números naturales pero se representan con un signo menos

2. Un número negativos

delante

es menor entre más lejos

ellos,

-1,

-2,

-3,

-4,

etc.

se encuentre del cero, por Los números negativos son utilizados para expresar cantidades

ejemplo -7 es un número

que están por debajo de un punto de referencia (ejemplo).

menor que -2.

Al conjunto formado por los números negativos, el cero y los números naturales se le conoce como Números Enteros, y se puede representar mediante una recta, llamada Recta Numérica, donde el cero se ubica al centro, los números negativos a la izquierda y los números positivos a la derecha.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros. 7

El conjunto de los números enteros está formado por: Enteros = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma) 1.3.

Operaciones aritméticas

Actividad de diagnóstico (Se desarrolla en plataforma)

Suma Como hemos dicho un número es un concepto abstracto que tiene sentido en nuestra mente, al decir que tenemos 10 pelotas, en nuestra mente podemos imaginar un grupo de pelotas tal que todas ellas se representan por el número 10, si recibimos otras 5 pelotas estaremos agregando a nuestro conjunto inicial otro conjunto formado por 5 elementos, a este proceso de agregación lo llamamos Suma o Adición.

Elementos de la suma Cada elemento de la suma recibe el nombre de Sumando, es posible realizar una suma con dos sumandos o con una gran cantidad. Para realizar el proceso de adición se acomodan las cantidades a sumar una debajo de otra, de derecha a izquierda teniendo cuidado de colocar las unidades, decenas, centenas, etc., de cada cifra debajo de las anteriores.

Operación de suma de números positivos Cuando se suman dos cifras que exceden de la decena se coloca el valor de las unidades y se acarrea un 1 a la siguiente columna. Observa la siguiente operación: +

1345

 primer sumando

796

 segundo sumando

--------------(a)

(b)

1 1345

 resultado  acarreo  primer sumando

7 9 6  segundo sumando --------------4 1  resultado

 acarreo

1 3 4 5  primer sumando 7 9 6  segundo sumando

--------------1 4 1  resultado

(e) (f)

 acarreo

1 3 4 5  primer sumando +

7 9 6  segundo sumando --------------2 1 4 1  resultado

Operación de suma de números negativos Cuando se suman dos cantidades negativas se tendrá un resultado también negativo.

Propiedades de la suma Las propiedades de la suma son las siguientes: Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no cambia el resultado, matemáticamente se expresa como 3+7=7+3 Propiedad Asociativa: Cuando se suman tres o más cantidades el resultado no se altera si se cambia el orden en que se suman, por ejemplo 2+ (5+9)= (2+5)+9 Elemento Neutro: Cualquier número sumado con cero dará como resultado el mismo número, por ejemplo 2+0=2 Elemento Inverso Aditivo: Para cualquier número existe un número negativo tal que la suma de ambos dará como resultado cero, por ejemplo 3+(-3)=(-3)+3 =0 Propiedad Distributiva: La suma de dos números que se multiplica por un tercero es igual a la suma del producto de cada uno de ellos, por ejemplo (2+5)4=(2*4)+(5*4) Propiedad de Cerradura: Al sumar dos números naturales el resultado será siempre un número natural.

Diferencia Muy pronto los hombres debieron encontrar la manera de saber cuánto quedaba de alimento después de consumir una parte, ahora debemos retirar una fracción del grupo inicial, esta operación se conoce como Resta o Sustracción. A la cantidad de la que es descontada otra se le llama Minuendo, la cantidad que se descuenta se llama Sustraendo, mientras que el resultado se conoce como Resta o Diferencia.

Operación de resta Para realizar la operación de sustracción se deben colocar el sustraendo debajo del minuendo teniendo cuidado de ubicar las unidades debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas y así sucesivamente, se toma la primera cifra del minuendo y se determina la cantidad sobrante después de descontar la primera cifra del sustraendo, cuando en el minuendo existe una cifra menor que en el sustraendo se aumenta una decena a las unidades, se descuenta la cantidad del sustraendo y se coloca solo la cifra de las unidades del resultado, se arrastra un 1 a la siguiente columna que será sumada a la cifra del sustraendo.

Operaciรณn de resta Cuando el sustraendo es mayor que el minuendo el resultado serรก una cantidad negativa.

La resta de dos cantidades negativas se revisara más adelante cuando se estudie la Ley de los Signos. Propiedades de la resta Las propiedades de la resta son las siguientes: 

Propiedad No Conmutativa: Al cambiar el orden del minuendo y sustraendo si se afecta el resultado, por ejemplo 3-5≠5-3



Propiedad No Asociativa: Cuando se restan tres o más cantidades el resultado si se altera si se cambia el orden en que se realizan, por ejemplo 3-(5-2)≠(3-5)-2



Elemento Neutro: Cualquier número al que se le resta cero dará como resultado el mismo número, por ejemplo 5-0=5

Producto Con las operaciones de suma y resta los hombres ya podían saber con exactitud las cantidades de los bienes que poseían, un día un hombre que tenía un huerto recolecto 60 canastos con 55 manzanas cada uno y se pregunto ¿cómo puedo saber cuántas manzanas tengo sin hacer tantas sumas? Los pensadores se dieron a la tarea de encontrar un procedimiento que facilitara esta operación, así se creó la Multiplicación o Producto, que equivale a sumar la misma cantidad un determinado número de veces. Para expresar una multiplicación es posible utilizar diferentes notaciones como:

Elementos de la multiplicación Los elementos que forman la multiplicación se conocen como Multiplicando y Multiplicador o Factor, antes de revisar el procedimiento para realizar la multiplicación es conveniente que visites la siguiente página y estudies las tablas de multiplicación del 2 al 9. http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/tablas/nueve/practica9_p.ht ml Operación de la multiplicación Para realizar la operación se coloca el multiplicador debajo del multiplicando teniendo cuidado de hacer coincidir las unidades de ambos, se multiplica la primera cifra del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando:

9154

 multiplicando

248

 multiplicador

------------------(a)

(b)

 acarreo

3 x

9154

 multiplicando

248

 multiplicador

-----------------(c)

tenemos 8x5=40 donde sumamos el 3 que arrastrábamos, por lo que tenemos 43, colocamos el 3 y arrastramos 4.

3 2

(d)

4 9154 x

248

--------------(e)

(b) En la segunda multiplicación

232

 acarreo  multiplicando  multiplicador

(d) Repetimos el procedimiento para la segunda cifra del multiplicador, colocando los resultados un espacio a la izquierda.

(f) x

 acarreo

9154

 multiplicando

248

 multiplicador

-----------------(g)

73232

(h)

9154

 multiplicando

248

 multiplicador

--------------73232 (i)

(h) Repetimos las operaciones

hasta multiplicar la primera cifra del multiplicador con todas las cifras del multiplicando.

36616 9 1 5 4  multiplicando

(j) x

2 4 8  multiplicador (j) De nuevo se repite el procedimiento para la última cifra del multiplicador, ahora se suman los tres resultados y

--------------73232 +

36616

(k) 1 8 3 0 8 -----------------------(l) 2 2 7 0 1 9 2

 producto

Propiedades de la multiplicación Las propiedades de la multiplicación son las siguientes: 

Propiedad Conmutativa: El orden de la multiplicación no cambia el resultado, por ejemplo 3*2=2*3



Propiedad Asociativa: Cuando se multiplican tres o más cantidades el resultado no se altera si se cambia el orden en que se hacen las multiplicaciones, por ejemplo 3*(2*1)=(3*2)*1



Elemento Neutro: Cualquier número multiplicado por 1 dará como resultado el mismo número, por ejemplo 3*1=3



Elemento Inverso Multiplicativo: Cualquier número multiplicado por su inverso dará como resultado la unidad, por ejemplo 3*(1/3)=1



Propiedad Distributiva: La suma de dos números que se multiplica por un tercero es igual a la suma del producto de cada uno de ellos, por ejemplo (3+2)1=(3*1)+(2*1)

Cociente Tras una larga jornada de recolección un grupo de 8 hombres reunieron 112 canastos de fruta, como todos habían trabajado por igual convinieron repartir la fruta en partes iguales, la forma más obvia de repartir era entregar a cada uno una canasta hasta ya que ya no quedara ninguna, pero uno de ellos encargo a los pensadores encontrar un método

que

permitiera

hacer

reparto

sin

tener

que

mover

los

canastos.

Esta operación es conocida como División o Cociente, en forma similar al producto representa una resta en forma repetida, la cual permite determinar el número de veces que una cantidad cabe en otra. La cantidad que se va a dividir recibe el nombre de Dividendo, la cantidad entre la que se divide se llama Divisor, el resultado se conoce como Cociente y si tenemos un sobrante que ya no se puede dividir se llama Resto.

Para expresar una división es posible utilizar diferentes notaciones como:

División de un dividendo entre un divisor de un dígito Para realizar la operación se coloca el divisor dentro del símbolo de división y el dividendo a la izquierda. Se toman la primera cifra del dividendo, en caso de que sea menor que la del divisor se toma otro dígito, se determina el número de veces que el divisor cabe, el cociente se coloca debajo del divisor:

División de un dividendo entre un divisor de más de un dígito Para realizar la operación se coloca el divisor dentro del símbolo de división y el dividendo a la izquierda. Se toman los dígitos necesarios del dividendo de manera que sea mayor que el divisor, se determina el número de veces que el divisor cabe, el cociente se coloca debajo del divisor: Encontramos que 44 cabe 5 veces en 256, se multiplica el resultado por el divisor y se resta del dividendo:

Este resultado nos indica que al dividir 2567289 entre 44 tendremos un cociente de 58347 y resto o sobrante de 21. Es posible obtener mayor exactitud en la operación, para lo cual se agregan ceros al sobrante y se coloca un punto decimal en el cociente. División de un decimal entre un número entero Cuando se tiene una cantidad decimal que se desea dividir entre un número entero previo a la realización de las operaciones antes vistas se deben realizar los siguientes pasos: 1. Observar cuantos decimales del dividendo hacen una cantidad mayor al divisor. 2. Recorre el punto decimal del dividendo tantos dígitos como se haya determinado. 3. Agregar al cociente igual cantidad de ceros como dígitos se haya recorrido el punto. 4. Colocar el punto decimal inmediatamente después del primer cero. 19

5. Realizar la operación de la forma anteriormente vista.

Propiedades de la división Las propiedades de la división son las siguientes: 

No es Conmutativa: El orden de la división cambia el resultado, por ejemplo 4/2≠2/4



División de Cero: Cero dividido entre cualquier cantidad dará como resultado Cero, por ejemplo 0/4=0



División Exacta: En una división exacta el Dividendo es igual al Divisor por el Cociente, por ejemplo10=5*2



Elemento Entera: En una división entera el Dividendo es igual al Divisor por el Cociente mas el Residuo, por ejemplo 10=5*2+0

Sabemos que en la definición de división, la división por cero está excluida pues no existe el inverso del cero en la multiplicación. El matemático hindú Bhaskara (1114-1185) fue el más importante del siglo XII. Completo algunas de las lagunas dejadas por Brahmagupta. Por ejemplo, se enfrento con el problema de la división por cero. En una de sus obras se puede leer: la fracción 3/0 se llama cantidad infinita. En esta cantidad no hay alteración posible por mucho que se añada o se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable". Potencia Con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, el hombre ha logrado conocer y controlar su entorno, sin embargo, los grandes pensadores de la historia han continuado con el desarrollo de las matemáticas, una operación que te será de gran ayuda, sobre todo por su aplicación dentro del Algebra, es la Potencia. La

Potencia

equivale

a multiplicar repetidamente

número

por sí

mismo, matemáticamente se expresa como a y corresponde a multiplicar a x a x a hasta n veces.

Base --> an <-- exponente Por ejemplo 52 es igual a 5x5=25. Reglas de los exponentes Algunas reglas de los exponentes son: 1. Un número elevado al exponente 0 será igual 1. 2. Un exponente negativo es igual a su inverso, a-n=1/an 3. Un exponente fraccionario es igual a una raíz, a1/3=3√a 21

Leyes aritméticas Para observar cómo estas operaciones se realizan da clic en el siguiente enlace para ver algunos ejercicios resueltos. Ejercicio 1

Karen fue de compras para aprovechar las ofertas de una tienda departamental, primero se compró 3 pantalones de $950 por prenda cada una con undescuento de $200, 4 blusas de $350 con un descuento de $95, y 5 camisetas de $250 con un descuento de $35, ¿Cuánto pagó Karen por sus productos? Una técnica efectiva para resolver ejercicios es establecer claramente los datos que se tienen, establecer un planteamiento, realizar operaciones y determinar el resultado. Datos: Cantidad

Prenda

Costo

Descuento

Pantalones

$950

$200

Blusas

$350

$95

Camisetas

$250

$35

Planteamiento: Para obtener la cantidad pagada primero aplicamos el descuento al costo de la prenda, multiplicamos las prendas compradas por su nuevo precio y sumamos los subtotales. Operaciones:

Resultado: La cantidad total pagada es:

Pantalones

$ 2,250

Blusas

+ $ 1,020

Camisetas

1,075

--------$ 4,345

Ejercicio 2

Los cuatro integrantes de una familia trabajan y han decidido pagar los gastos en forma equitativa, el recibo de electricidad llega en forma bimestral por una cantidad $650, el teléfono es mensualmente por $890, como tienen un tanque de gas grande les dura 3 meses y pagan $1,800, la televisión por cable es mensual por $150 y el predial anual por $3,500, ¿cuánto debe pagar cada miembro de la familia mensualmente? Datos: Servicio

Costo

Frecuencia

Electricidad

$640 / 2

Bimestral

Teléfono

$880 / 2

Mensual

Gas

$1,800 / 3

Trimestral

$150 / 1

Mensual

Predial

$4,200 / 12

Anual

Planteamiento: Para obtener la cantidad que pagará cada uno, primero obtenemos los costos mensuales de todos los servicios, se suman para obtener el costo total y se divide entre los miembros de la familia. 24

Operaciones:

Ahora sumamos todos los costos mensuales: Costo mensual de electricidad

$320

Costo mensual de telĂŠfono

$880

Costo mensual de gas

$600

Costo mensual de TV

$150

Costo mensual de predial

$350

Total

$ 2300

Resultado La cantidad que cada miembro de la familia tiene que pagar es

Ejercicio 3

Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $5 600 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $220 diarios ¿Cuál es el salario diario de su compañero? Datos: Salario entre ambos estudiantes $5,600 cada 5 días. Salario diario de uno de ellos $ 620 Planteamiento: Primero debemos saber cuál es el ingreso diario de los salarios combinados, después restar el salario conocido de uno de ellos. Operaciones: Sabemos que entre los dos reciben $5,600 cada 5 días, primero debemos saber cuál es el ingreso diario: I = $5,600 / 5 = $1,120 Si uno de ellos recibe $620 diarios el salario de su compañero será: $1,120-$620 = $500 26

Respuesta Salarios de los estudiantes: $620 y $500 Una vez estudiados los ejercicios, te invitamos a realizar la actividad de aprendizaje para repasar este tema, para ello da clic en el siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

1.4.

Ley de los Signos

La Ley de los Signos se aplica al realizar multiplicaciones y divisiones con números positivos y negativos, nos expresa que: 1. Si multiplicamos o dividimos dos números positivos tendremos un resultado positivo. 2. Si multiplicamos o dividimos un número positivo y un número negativo (sin importar el orden) tendremos un resultado negativo. 3. Si multiplicamos o dividimos dos números negativos tendremos un resultado positivo. De esta manera podemos decir que:

Recuerda que

aplica por igual al dividir

¿Está donde se aplica?

Aplicación de la Ley de los Signos en las operaciones aritméticas: 1. Al realizar una suma donde se tienen varios números positivos y varios negativos, los números negativos se aplican como una resta directa de las cantidades positivas, por ejemplo: 3+7+(-5)+2+(-1) Tenemos: 3 + 7 = 10 10 - 5 = 5 5+2=7 7-1=6 2. Al realizar una resta de números positivos se aplica el procedimiento normal hasta ahora visto, para realizar una resta con dos números negativos, por ejemplo: (-8) - (-3) Se debe primero considerar que la expresión -(-3) equivale a la multiplicación de -1(-3) Por lo tanto, aplicando la ley de los signos (-) por (-) = (+), el -3 se convertirá a un número positivo La operación quedará como: - 8 + 3 de donde descontamos tres unidades positivas al número negativos que será igual a -5. 3. Al realizar una multiplicación con varios números positivos y negativos, por ejemplo: (3) x (-2) x (5) x (-4) x (-7), 28

Se debe considerar que el resultado será positivo si la cantidad de números negativos es par y será negativo si la cantidad de números negativos es impar. Esto es:

4. Al realizar una división se aplican directamente los criterios de la Ley de los Signos. Ejercicios resueltos Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Resumen de la unidad

EVALUACIร N DE LA UNIDAD 1 (Cuestionario en plataforma)

Instrucciones: Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opciรณn que consideres correcta.

Unidad 2. En el mundo de las fracciones Introducción En la unidad 2 conocerás el significado, manejo y aplicación de números racionales, conocidos como fracciones. Aprenderás las técnicas para simplificar y convertir fracciones, esto te será de gran utilidad para llevar a cabo las operaciones aritméticas con ellas de manera más sencilla. De la misma manera como desarrollamos las operaciones aritméticas con números enteros es posible realizarlas con fracciones, en esta unidad, conocerás las técnicas que se aplican en cada una de ellas. Al final de la unidad conocerás el significado y clasificación de los números decimales, los cuales se obtienen al realizar la división que expresan las fracciones. Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para: Resolver ejercicios con la utilización de operaciones aritméticas de números racionales (fracciones) positiva y negativa, con ello podrá resolver problemas de aplicación de la vida diaria.

Los objetivos particulares de esta unidad son: 1. Comprender la importancia y utilidad de las fracciones. 2. Comprender el fundamento de las operaciones aritméticas con fracciones. 3. Comprender la utilidad de los números decimales.

2.1 Números primos Múltiplos de un número: Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo, si multiplicamos 9x2 nos da 18. Decimos entonces que 18 es múltiplo de 9. Divisor de un número: Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0. Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; da 2 y queda de resto 0. Para calcular todos los divisores de un número lo dividimos entre los números naturales menores e iguales que él. Los números que hacen que la división sea exacta son sus divisores. En este sentido existe otra

condición

importante

que cualquier

número puede

ser dividido entre 1 dando como resultado su propio valor, también cualquier número puede ser dividido entre sí mismo dando como resultado el número 1.

Los números que pueden ser divididos entre varios números de manera que se obtienen resultados exactos, es decir, que tienen varios divisores o múltiplos, a esos números se les llama Números Compuestos. Propiedades de los múltiplos: 1. Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 3. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 4. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. 5. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo. Propiedades de los divisores: 1. Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo. 2. La unidad es divisor de cualquier número. 3. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. 4. Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero. 5. Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Número primo: solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Número compuesto: tiene más de dos divisores. Para obtener todos los divisores de un número lo dividimos entre los números naturales menores e iguales que él, y aquellos números con los que se obtenga una división exacta serán sus divisores. Si los números son muy grandes existe una manera más sencilla de hacerlo, y consiste en descomponer el número en producto de números primos, y expresar sus divisores mediante la combinación de esos números (llamados factores).

Descomponemos en factores primos el nĂşmero 36.

2.2 Mínimo común múltiplo Como lo mencionamos anteriormente es posible que un número tenga varios múltiplos, por ejemplo: 48 =2x3x8 =3x16 =6x8 =12x4 =2x2x2x2x3 4 =2 x3

Todas estas combinaciones nos dan como resultado 48, resulta de gran utilidad descomponer los números en sus factores primos, esto da lugar al Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número compuesto se puede descomponer de manera única, como producto de números primos. ¿Cómo encontrar factores primos?

Puede ocurrir que un mismo número primo sea factor de dos cantidades diferentes, entonces se dice que tienen un Factor Común, en algunos procedimientos matemáticos resulta de utilidad encontrar el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de dos o más cantidades. ¿Cómo encontrar el m.c.m.? El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. El mínimo común múltiplo se aplica, por ejemplo, para sumar fracciones de distinto denominador, lo cual se estudiará en la unidad 3 de este curso. 2.3 Máximo común divisor En una ocasión un hombre poseía cuatro terrenos y deseaba fraccionarlos de manera que todos fueran del mismo tamaño y además tuvieran la extensión más grande posible, para ello busco el método para encontrar esa "medida mágica", entonces encontró que determinando el Máximo Común Divisor (M.C.D.) lograría su objetivo. El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos:

1. Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados. Da clic en el siguiente enlace para ver el ejemplo. Ejemplo para encontrar el M.C.D. Se pretende encontrar el área máxima en que pueden ser fraccionados cuatro terrenos, de tal manera que todas las fracciones sean iguales, los terrenos miden 350m2, 1050m2, 1750m2y 2450m2. Para ello: 1. Se obtienen los factores de cada una de las cantidades Pasa el cursor sobre los factores obtenidos para observar cómo se obtuvieron.

2. Se obtiene el producto de los factores comunes 2 x 52 x 7 = 350 3. El máximo común divisor de los terrenos es: 350 De esta manera el propietario obtendrá: Del primer terreno obtiene (350/230) = 1 terreno Del segundo terreno obtiene (1050 / 3) = 3 terrenos

Del tercer terreno obtiene (1750 / 350) = 5 terrenos Del cuarto terreno obtiene (2450 / 350) = 7 terrenos Terminando de estudiar el ejemplo, da clic en el siguiente enlace para realizar una actividad de aprendizaje.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma) Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la opción correcta. ¿El Mínimo Común Múltiplo de 25, 60 y 190 es 5,700? Cierto. Falso.

¿El Mínimo Común Múltiplo de 36, 48 y 360 es 360? Cierto. Falso.

¿El Máximo Común Divisor de 24, 280 y 360 es 8? Cierto. Falso.

¿El Máximo Común Divisor de 1350, 1700 y 3650 es 50? Cierto. Falso.

2.4 En el mundo de las fracciones En la unidad uno conocimos los números enteros naturales y los enteros negativos que forman a los números enteros (Z), estos junto con los fraccionarios que veremos en esta unidad forman lo que se conoce como números Racionales (Q). Como ya hemos visto, podemos resolver problemas de la vida diaria mediante la aplicación de las operaciones aritméticas con números enteros, pero ¿Qué ocurre cuando tenemos un solo producto que debe ser distribuido entre varias personas?

Un día Lucia y sus tres compañeros de clase se reunieron para realizar el trabajo de Ciencias Naturales que debían entregar, ya se hacía tarde todos tenían hambre, así que decidieron pedir una enorme pizza, entonces Lucia se preguntó ¿cómo podremos dividir la pizza para que a todos nos toque la misma cantidad?, entonces recordó que existían las fracciones. Podemos entender una fracción como un entero que se divide en cualquier cantidad de pates iguales, dando lugar a la expresión:

El Denominador nos indica el número de partes iguales en que se divide el entero, mientras que el Numerador nos indica cuantas partes hemos tomado del entero, así por ejemplo, la pizza viene dividida en 8 partes por lo que cada parte será igual a un octavo.

Cuando expresamos la fracción ha dividido el entero.

significa que tomamos 3 de las 4 partes en que se

Da clic en los siguientes enlaces para ver:

Clasificaciรณn de las fracciones Las fracciones se clasifican en: Fracciones propias Fracciones impropias Fracciones Mixtas Fracciones equivalentes

Fracciones Propias Son las que el NUMERADOR es MENOR que el DENOMINADOR. Por ejemplo:

Fracciones Impropias Son las que Por ejemplo:

NUMERADOR es

MAYOR

IGUAL que

DENOMINADOR.

Fracciones Mixtas Son las que estรกn formadas Por ejemplo:

por una parte ENTERA y

una FRACCIONARIA.

Simplificación de fracciones Cuando se resuelve ejercicios con fracciones es importante reducirlas hasta su expresión mínima, para lo cual se pueden simplificar. Una propiedad muy útil es que cuando multiplicamos o dividimos los dos elementos de una fracción (numerador y denominador) por la misma cantidad su valor no se altera ya que se obtiene una fracción equivalente.

Para llevar a cabo la simplificación se debe dividir el numerador y el denominador entre la misma cantidad, de tal manera que se obtenga un resultado exacto para ambas divisiones, si alguno de los elementos no es divisible entre esa cantidad se deberá probar con otra, la manera más sencilla de realizarla es dividiendo entre los números primos iniciando con el 2. Ejemplo de simplificación de fracciones

Después de revisar la clasificación de fracciones y los procedimientos para su simplificación, realiza unos ejercicios para reforzar lo visto en este primer tema. Para ello da clic en el siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

Instrucciones: Realiza las siguientes conversiones de fracciones y selecciona la opción correcta (te recomendamos tener lápiz y papel para que realices tus cálculos).

Convierte la fracción impropia mixta.

a fracción

Convierte la fracci贸n impropia

a fracci贸n mixta.

Convierte la fracci贸n mixta

a fracci贸n impropia.

Convierte la fracciรณn mixta

a fracciรณn impropia.

Simplifica la fracciรณn propia

2.5 Operaciones con fracciones Una vez que comprendimos los tipos de fracciones analicemos que operaciones se pueden hacer con ellas. 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4

Suma y Resta Multiplicaciรณn Divisiรณn Potencias

2.5.1 Suma y Resta Para realizar la suma o resta con fracciones, primero se debe encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores, este valor será el denominador de la operación una vez completada. El m.c.m. se divide entre cada denominador y su resultado se multiplica por el respectivo numerador, los resultados de las multiplicaciones se suman o restan, según se requiera, y se obtiene el resultado final. Por ejemplo: Realizar la siguiente suma de fracciones

Primero obtenemos los factores de cada denominador:

De acuerdo al procedimiento del mínimo común múltiplo seleccionamos todos los factores diferentes, los que se repiten se toman con el exponente más alto. m.c.m.= Dividimos el m.c.m. encontrado entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

Si aplicas una resta, solo se cambian los signos y realizas las operaciones correspondientes.

En este caso el 101 es un número primo por lo que no es posible simplificar la fracción, pero podemos convertirla a una fracción mixta.

Cuando los denominadores son iguales, se hace la suma directamente con los numeradores, por ejemplo:

2.5.2 Multiplicación La multiplicación de fracciones es la operación más sencilla de realizar, ya que solo se debe multiplicar los numeradores y denominadores, en caso de que exista alguna fracción mixta se debe convertir a fracción impropia y posteriormente realizar los productos. Por ejemplo, realizar la siguiente multiplicación de fracciones:

Primero convertimos la fracción mixta en fracción impropia:

Ahora realizamos las multiplicaciones y simplificamos: 20

Cuando realizamos la multiplicación de un entero por una fracción, por ejemplo:

Es equivalente a realizar la multiplicación de:

Por lo que la operación nos queda como:

2.5.3 División Para hacer la división de fracciones se realizan los siguientes pasos: Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

El resultado se convierte en el numerador del cociente.

Repetimos la operación con el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda, el resultado ahora será el denominador del cociente.

Matemรกticamente podemos expresar la operaciรณn como:

Ahora ya podemos resolver la duda de Lucia; si la pizza tiene 8 partes iguales y ella junto con sus amigos son 4 tenemos la operaciรณn:

Como sabemos

Recuerdas el problema de Lucia a cada invitado le corresponde dos partes de pizza.

2.5.4 Potencias

Propiedades

3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. Divisiรณn de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

5. Potencia de una potencia: Es la potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

2.6 Operaciones combinadas La realización de operaciones combinadas implica resolver multiplicaciones, divisiones, sumas y restas en el orden correcto, para ello debemos recordar la jerarquía de las operaciones y sobre todo observar los símbolos de agrupación como paréntesis, llaves o corchetes. Ejemplo:

Resolver la siguiente operación con fracciones: Primero realizamos las operaciones de los paréntesis :

Por lo tanto la operación nos queda como:

Multiplicamos por las cantidades de afuera de los paréntesis

Simplificamos segundo término antes de hacer la última operación

Resolvemos la suma y obtenemos el resultado final

2.7 Números decimales

"Cuenta la leyenda que un hombre fue llamado a la presencia del rey, pero este respondió, "soy muy viejo y solo podré recorrer cada día la mitad de la distancia que nos separe", así que se puso en marcha y llego a la mitad del camino, al día siguiente recorrió la otra mitad, al día siguiente de nuevo recorrió la mitad del camino, ¿Cuándo crees que llego a la presencia del rey?"

La respuesta es que el hombre nunca llegará ante la presencia del rey, ya que siempre tendrá una fracción del camino por recorrer.

Con este ejemplo podemos observar que existe una cantidad infinita de números entre un entero y otro, por ejemplo, si consideramos que al hombre lo separa un kilómetro del rey tendrá que recorrer:

Nota: Las fracciones de recorrido de cada día se multiplican por ½ para el siguiente día ya que representa la mitad del recorrido faltante para el siguiente día. Ejemplo:

De tal manera que nunca llegara a su presencia porque tendrá otro día para recorrer una distancia por pequeña que ésta sea. Definición de número decimal Un número decimal se define como el cociente que se obtiene de una fracción.

Es aquel que se puede expresar mediante una fracción decimal. Consta de dos partes: entera y decimal. En el número 2.5444 2 es la parte entera y 5444 es la parte decimal. Da clic en los siguientes enlaces para leer sobre:

Clasificación de los números decimales Los números decimales se clasifican en: Da clic en cada recuadro para ver su definición.

Para conocer más acerca del número pi da clic en el enlace siguiente: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/chavezalejandro_mattje/trabajofinal/paginas/l ahistoriadelnumeropi.htm Ajuste de números decimales Redondeo Existen dos técnicas para redondear los números decimales, la primera se llama Redondeo y consiste en tomar la cantidad deseada de decimales y si el siguiente decimal es mayor que 5 la cifra anterior se convierte al siguiente número. Por ejemplo:

El número Pi lo redondeamos con 4 decimales, como la quinta decimal es 9 la cuarta decimal se convierte en 6 y utilizamos el número como 3.1416 Si la unidad decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad decimal anterior; en caso contrario, la dejamos como está.

Truncamiento La otra técnica se conoce como Truncamiento y consiste en tomar directamente la cantidad de cifras que se desea sin ajustar ninguna, en el caso del número Pi se utilizaría como 3.1415

Volviendo al caso del hombre y el rey podemos convertir a decimal las fracciones que debe recorrer cada día.

Primer día Segundo día Tercer día Cuarto día Quinto día Sexto día Séptimo día Octavo día Noveno día Decimo día

0.5 kilometro 0.25 kilometro 0.125 kilometro 0.0625 kilometro 0.03125 kilometro 0.015625 kilometro 0.0078125 kilometro 0.00390625 kilometro 0.001953125 kilometro 0.0009765625 kilometro

Con esto puedes confirmar que después del número 0 existe una cantidad infinita de cifras antes de llegar al siguiente entero, en este caso, el número 1. Para repasar lo visto en este tema, realiza la actividad que se propone; para ello da clic en el siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje Lee con atención cada uno de los ejercicios que se presentarán a continuación, completando en los espacios correspondientes los datos que se te solicitan:

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Resumen de la Unidad

EVALUACIร N DE LA UNIDAD 2 (Cuestionario en plataforma)

Instrucciones: Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opciรณn que consideres correcta.

Unidad 3. Trabajando con el Pensamiento Abstracto Introducción Ya hemos avanzado en el conocimiento y aplicaciones de algunas operaciones importantes en matemáticas, has aprendido las operaciones que puedes hacer con los números, las leyes de los signos, la jerarquía de las operaciones y algunas operaciones entre los números fraccionarios. Así que estamos listos para conocer algunas otras características de los números, su importancia y la manera en cómo podemos modelarlos según sus atributos. A esta parte de la matemática se le conoce como Álgebra, en la cual podemos trabajar con letras para representar números y de esta forma podemos ampliar nuestro campo de aplicación. El Álgebra se desarrolló principalmente por los matemáticos árabes de los siglos IX y X d. C. y ha llegado hasta nuestros días para hacernos la vida más fácil. Al finalizar esta unidad habrás aprendido que los números simbolizados como letras y sus operaciones nos permiten modelar y trabajar de manera más práctica y más sencilla. Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para:

Crear expresiones algebraicas y tendrá la habilidad para realizar operaciones entre las diferentes expresiones algebraicas.

Los objetivos particulares de esta unidad son: 1. Comprender las diferencias entre las distintas expresiones algebraicas. 2. Aprender a realizar operaciones con diferentes expresiones algebraicas. 3. Aplicar las habilidades sobre las Leyes de los Signos y la Jerarquía de las Operaciones en la realización de operaciones aritméticas aprendidas en las unidades anteriores.

3.1 Variables y expresiones algebraicas Una expresión algebraica es como una expresión numérica excepto que esta tiene una o más letras incluidas. Para escribir una expresión algebraica para un problema, debes hacer lo que ya manejamos, pero en lugar de tener solo números tendremos unas cuantas letras en ella. Ejemplo: Si una persona es "y" años de edad ahora, que expresión muestra ¿qué tan viejo será dentro de 8 años a partir de ahora? El enunciado dice 8 años a partir de ahora, muestra que usted tiene que sumar 8 años a cualquier cantidad de años que se tengan. Si se tienen 16 años tendrá 16 + 8 dentro de 8 años o sea 24. Pero como se desconoce cuál es la edad actual esta es una pregunta abierta. Por eso, porque no sabemos si tiene 16 o más o menos es que usamos la letra "y" para representar esa cantidad que no conocemos. Y si "y" representa esa cantidad entonces (y + 8) es la expresión que representa la edad que esa persona tendrá dentro de 8 años. Variables ¿Qué es una variable? ¿Alguna vez has tenido un día en que tengas mucho calor y al poco rato tengas mucho frio? ¿Has salido de tu casa por la mañana con una gran chamarra y a medio día tengas ganas de quitarte hasta la camisa? Es muy probable que hayas pasado por situaciones como esta, y lo que decimos es: ¡Que cambiante (variable) está el clima! pero ¿Qué es una variable?

Concepto de variable Una variable es aquello que cambia y que puede tomar diferentes valores, por ejemplo el clima cambia, en un día puede haber ¡muchos tipos de clima!, desde calor hasta frio; el tiempo cambia, minuto a minuto y podemos ser más precisos: segundo a segundo, y

si lo piensas hay muchos fenómenos o actividades que van cambiando. En matemáticas tratamos de poner un símbolo que nos ayuda a representar a ese elemento que cambia, por regla general las variables pertenecen a un conjunto.

Concepto de Conjunto Un conjunto es una colección de elementos que comparten alguna característica en común. Por lo general los nombres de los conjuntos los identificamos por una letra mayúscula, mientras que a sus elementos se identifican con una letra minúscula, veamos algunos ejemplos: Recuerdas el conjunto de los números naturales los cuales conocimos en la unidad uno, lo colocaríamos como conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}, ponemos tres puntos suspensivos para indicar que la lista sigue hasta el infinito. U = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}, este es el conjunto de los planetas del sistema solar. Planetas: Recuerda que Plutón dejo de considerarse planeta por no cumplir con las características que se consideran para ser planeta

Como dijimos anteriormente, a los elementos de los conjuntos los denominamos con letras minúsculas: a, b, c,..., r, s, t,..., x, y, z. Pero puedes preguntarte ¿para qué te sirve representar a los números con letras si puedes trabajar tan bien sólo con los números?, solo te adelantaremos que es porque en esta unidad vamos a trabajar de manera importante con las expresiones algebraicas.

Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son como las expresiones numéricas que vimos en la unidad 1 excepto que puedes usar letras y números en tales expresiones. 3

¿Te parecen complicadas?, en realidad no lo es y lo comprobarás a lo largo de esta unidad. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

La evaluación de expresiones es muy importante, si sustituyes las letras por los números encontraras el valor de la expresión. Para que no te angusties vamos a ver algunos ejemplos, identificando cada paso para encontrar el valor de la expresión:

Veamos un ejemplo más.

Ejemplos de expresiones algebraicas

Para apoyarte en este tema, revisa el siguiente video Operaciones Algebraicas I parte http://www.youtube.com/watch?v=BNfnM7c2tXU&feature=player_embedded

Tipos de expresiones algebraicas Existen tres tipos de expresiones algebraicas: enteras, fraccionarias e irracionales, pero en este curso nos vamos a referir sobre todo a las dos primeras, las cuales veremos a continuaciรณn:

Expresiones algebraicas enteras En este tipo de expresiones, las variables y las constantes estรกn relacionadas por la suma, resta, multiplicaciรณn o potenciaciรณn: 5

Expresiones algebraicas fraccionarias En este tipo de expresiones, las variables se encuentran en el denominador o están elevadas a una potencia negativa.

Recuerda que la potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.

Expresión algebraica irracional Expresión algebraica irracional es aquella en que las letras, además de estar sometidas a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación, se halla sometida también a la operación de radicación. Puede decirse que es la expresión que tiene una o varias letras bajo signo radical. Son expresiones algebraicas irracionales:

Conforme vayamos avanzando en esta unidad comprobaras lo fácil que es trabajar con estas expresiones. Para verificar tu aprendizaje, realiza la siguiente actividad, es importante que la realices con mucho cuidado pues formará parte de tu evaluación.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma) Instrucciones: Lee con atención cada planteamiento y selecciona la respuesta correcta. La expresión algebraica de "la diferencia de dos números" está dada por: x+y

x-y

x:y La expresión algebraica de "cinco más que algún número" está dada por: x+5 x-5 5x x:5 El valor numérico de x-y, si x = 4 y y = -2 es: 2

-2 6 -6 Las fracciones algebraicas se clasifican en: Racionales, enteras y fraccionarias Enteras y fraccionarias Racionales y complejas Racionales e irracionales Las variables de la expresión algebraica w-3s+2, son: w, s S -3 -3,2 El valor numérico de la expresión algebraica 3xy+z, si x=2, y=-5, z=7 es: 37 -37 23 -23 La expresión 2 melones + 3 sandías es una: Expresión algebraica fraccionaria Expresión algebraica entera Expresión algebraica irracional No es expresión algebraica La expresión x3+8xy+x5+2y, es una expresión algebraica del tipo: Irracional Racional entera Racional fraccionaria No es expresión algebraica La expresión algebraica 1/y + yz + 1/yz, es una expresión algebraica del tipo: Irracional Racional entera

Racional fraccionaria No es expresión algebraica La expresión 5² + 2ˆ8, es una expresión algebraica del tipo: Irracional Racional entera Racional fraccionaria No es expresión algebraica

3.2

Monomios

Se le llama monomio a una expresión algebraica entera en la cual la variable (por ejemplo x, y o z), está afectada solamente por operaciones de potencia de exponente natural y multiplicación por números reales.

Los monomios estás compuestos por: 1. El coeficiente del monomio, es el número que multiplica a las variables. 2. La parte literal, constituida por las letras y sus exponentes. 3. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 9

Observa que la parte literal, es decir las variables son iguales en ambos monomios y están elevados al mismo exponente. Pero ¿qué operaciones pueden hacerse con los monomios?, al igual que en los números que vimos en la unidad 1, con los monomios podemos sumar, restar, multiplicar y dividir. Da clic en los siguientes enlaces para revisar las diferentes operaciones con los monomios:

Suma de Monomios Es importante que tomes en cuenta que sólo podemos sumar monomios semejantes, esto es, aquellos que tienen la misma parte literal, si los monomios no son semejantes tenemos entonces un polinomio. La suma de los monomios tiene como resultado otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

La parte literal es el producto de las partes literales.

Ejemplos de suma de monomios Sumar

Si seguimos la regla, la parte literal queda de la misma manera y sรณlo tenemos que sumar los coeficientes:

Sumar

Nuevamente aplicamos la regla, vemos que la parte literal es igual en los tres monomios, por lo tanto sรณlo debemos sumar los coeficientes:

Ejemplos de suma de monomios Cuando los monomios no son iguales en la parte literal no podemos aplicar la regla, observa el siguiente ejemplo: Sumar

Producto de un nĂşmero por un monomio El producto de un nĂşmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el nĂşmero. Ejemplos:

Producto de monomios El producto de monomios es otro monomio, el coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

Da clic en el siguiente enlace para ver los ejemplos. Ejemplos de producto de monomios Multiplicar

Seguimos la regla:

Ejemplos de producto de monomios Multiplicar

Seguimos la regla:

Cociente de monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

Ejemplo de cociente de monomios Obtener el cociente de: Seguimos la regla:

Ejemplo de cociente de monomios

Obtener el cociente de:

Seguimos la regla:

Obtener el cociente de:

Para simplificar el resultado podemos quitar el uno, puesto que uno es el neutro multiplicativo, esto es, cualquier nĂşmero o literal multiplicada por uno, da el mismo resultado:

Potencia de monomios La potencia de monomios es otro monomio que obtiene elevado el coeficiente y las literales, al exponente de la potencia.

Ejemplo de potencia de monomios

Obtener la potencia del siguiente monomio: Seguimos la regla:

Obtener la potencia del siguiente monomio:

Aplicando la regla, anota en los espacios en blanco los valores correspondientes:

Para verificar tu aprendizaje en cuanto a los monomios, resuelve los siguientes ejercicios, para ello da clic en el siguiente enlace:

Actividades de aprendizaje Instrucciones: Es importante que pongas en prรกctica los conocimientos que adquiriste hasta este momento, para ello realiza las siguientes actividades.

Actividad 2 Instrucciones: Lee con atenciรณn cada planteamiento y selecciona la respuesta correcta. 17

En la siguiente expresión 4x y, el coeficiente es: 2 4 x 3

En la expresión -12x3yz2, el grado del monomio es: 3 2 12 6

Se dice que dos monomios son semejantes si... ... tienen el mismo coeficiente ... tienen la misma parte literal ... tienen el mismo grado ... son iguales

Reduce la siguiente expresión 5x4 - 3x - 5x4 + 3x 10x4 + 6x -10x4 - 6x 0 10x4

Si llamamos x a un número natural cualquiera, traduce en un monomio la expresión : La mitad del número más 1

3.3 Polinomios Un polinomio es la suma o resta de cualquier nĂşmero de monomios, los mĂĄs conocidos son:

En general un polinomio se expresa de la siguiente forma:

Revisemos ahora algunas propiedades y las operaciones que podemos realizar con los polinomios.

Da clic en los enlaces para estudiar cada uno de los temas:

Propiedades de los polinomios:

Operaciones con polinomios



Grado de un polinomio



Suma de polinomios



Polinomio completo



Resta de polinomios



Polinomio ordenado



Polinomios iguales

Producto de un número por un polinomio



Valor numérico de un polinomio



Producto de un monomio por un polinomio



Producto de polinomios



División de polinomios



Factorización de un polinomio

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P (x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable principal del polinomio, en la mayoría de los casos está representado por x.

Y así sucesivamente…

Polinomio completo

Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado y el polinomio incompleto es el que no tiene todos los términos.

Polinomio completo

Polinomio incompleto

Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. Polinomio ordenado

Polinomio desordenado

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si se cumple: 1. Los dos polinomios tienen el mismo grado. 2. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Valor numérico de un polinomio Al igual que en los monomios, podemos obtener al valor numérico del polinomio con sólo sustituir el valor de la variable. Observa el siguiente ejemplo:

Otro ejemplo:

Suma de polinomios ¿Recuerdas como sumamos los monomios?, pues en el caso de los polinomios debemos sumar los coeficientes de los términos del mismo grado. Sumar los siguientes polinomios

¿Recuerdas como haces las sumas de números reales?, en este caso hacemos lo mismo, colocamos cada elemento con su semejante.

Por lo tanto Hagamos

otro ejemplo:

Sumar los polinomios

Por lo tanto,

Resta de polinomios Para realizar la resta de polinomios, procedemos de manera semejante a como lo hicimos con la suma, ¿recuerdas como lo hacemos con los reales?, la operación es muy parecida, solo cuida de ordenar cada uno de los términos con su semejante.

Restar los siguientes polinomios P(x)-Q(x) P(x)= 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3

Recuerda que para que sea más fácil de realizar las operaciones e identificar mejor los términos del polinomio, hay que ordenar de mayor a menor. Ordenados Q(x)= 2x3- 3x2+4x

¿Recuerdas como haces las sumas de números reales?, en este caso hacemos lo mismo, colocamos cada elemento con su semejante.

Es importante que no olvides que el signo de menos, multiplica a cada uno de los elementos del polinomio Q(x)

Por lo tanto, P(x)-Q(x)= 3x2 + x - 3

Un ejemplo más, resta los polinomios P(x) y Q(x)

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x4 – x2+ 8x + 3

Por lo tanto, P(x)-Q(x)= x4 + 5x2 - x - 1

Producto de un número por un polinomio Al multiplicar un polinomio por un número, el resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio original y como coeficientes el producto del número por los coeficientes.

Regla 1. Se multiplica cada uno de los coeficientes del polinomio por el número. 2. Las variables o literales no se ven afectadas. 3. El grado del polinomio no se ve afectado. b ( an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0) = anb xn + an - 1 bxn - 1 + an - 2 bxn - 2 + ... + a1 bx1 + a0b Ejemplos: Si seguimos la regla 1) Multiplicar el número por cada uno de los coeficientes del polinomio. 2) Las variables no se ven afectadas.

Multiplicar 5 por P(x) P(x)= 2x3 - 3x2 + 4x – 2 5 (2x3 - 3x2 + 4x –2) = (5*2)x3 - (5*3)x2 + (5*4)x - (2*5) = 10x3 - 15x2 + 20x - 10

3) El grado del polinomio no se ve afectado.

Sólo los coeficientes se ven afectados:

Multiplicar -3 por P(x) P(x) = 5x4 - 2x3 + x – 2 -3 (5x4 - 2x3 +1x –2) = (-3*5)x4 - (-3*2)x3 + (-3*1) x - (-3*2) = -15x4 - (-6)x3 + (-3)x - (-6)

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se tiene que multiplicar el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Regla

1. Se multiplican los coeficientes del monomio por cada uno de los miembros de polinomio. 2. Las variables o literales del monomio se multiplican por cada una de las variables o literales del polinomio. 3. Si las variables o literales existen en el monomio y en el polinomio, los exponentes se suman. 4. El grado del polinomio se ve afectado por la multiplicaciรณn.

b ( an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0) = anb xn + an - 1 bxn - 1 + an - 2 bxn - 2 + ... + a1 bx1 + a0b

Ejemplo de la obtenciรณn del producto de un monomio por un polinomio Seguimos la regla:

Da clic en siguiente >> para que completes un ejemplo. Ejemplo de la obtenciรณn del producto de un monomio por un polinomio Seguimos la regla: 1) Multiplicar el monomio por cada uno de los miembros del polinomio. 2) Las variables o literales del monomio se multiplican por cada una de las variables o literales del polinomio. 3) Si las variables o literales existen en el monomio y en el polinomio, los exponentes se suman. 4) El grado del polinomio se ve afectado por la multiplicaciรณn.

Producto de polinomios Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se tiene que multiplicar todos los elementos del polinomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 28

Regla 1. Se multiplica cada uno de los monomios del primer polinomio por cada uno de los miembros del segundo polinomio. 2. Las variables o literales del monomio se multiplican por cada una de las variables o literales del polinomio. 3. Si las variables o literales existen en el monomio y en el polinomio, los exponentes se suman. 4. Se suman los monomios semejantes. 5. El grado del polinomio se ve afectado por la multiplicación.

b( an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0) = anb xn + an - 1 bxn - 1 + an - 2 bxn - 2 + ... + a1 bx1 + a0b

Ejemplos de la obtención del producto de polinomios Multiplica P(x) por Q(x) P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x Hagamos un arreglo, tal y como lo hicimos para la suma y que seguro te será conocido pues de esta manera arreglamos las multiplicaciones de números reales. (a)

(b)

(c)

Da clic en siguiente >> para ver otro ejemplo.

Ejemplos de la obtenciĂłn del producto de polinomios

Completa los espacios en blanco, para desarrollar el ejemplo: Multiplica Z(x) por R(x) Z(x) = x2 + 2x â€“1 R(x) = x2 + 2x + 1 Hacemos el arreglo como en el ejercicio anterior

En este caso, tenemos un cero, por lo que podemos hacer la suma de términos independientes (0-1): x4 + 4x3 + 4x2 - 1 Por lo tanto, el resultado es: Z(x) R(x) = (x2 + 2x - 1) (x2 + 2x + 1)= x4 + 4x3 +4x2 – 1

División de polinomios Como has podido ver, muchas de las operaciones que hacemos con los números reales las aplicamos para resolver las operaciones entre los polinomios. ¿Recuerdas como haces las divisiones? Pues en este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética. Regla 1. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. 2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. 3. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo del dividendo y se resta. 4. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor. 5. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo del dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. 6. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor. Tal vez te parezca complicado, pero con los siguientes ejemplos verás que no es difícil. Da clic en siguiente >> para continuar. 31

Dividir P(x) entre Q(x) P(x)= x4 + 3 + x - 9x2 Q(x)= x + 3

Si seguimos la regla

Vemos que P(x)= x4 + 3 + x - 9x2,

primero debemos observar

no está ordenado.

si cumple que los

P(x)= x4 - 9x2 + x + 3

polinomios están ordenados, si no lo están hay que ordenarlos de

Como Q(x) está ordenado no tenemos que hacer ningún cambio.

mayor a menor.

Para escribir en notación,

(x4 - 9x2 + x + 3)

lo que tiene que hacerse

------------------

es:

(x + 3)

Ahora observa cómo se resuelve la división:

Ejemplo de división de polinomios Dividir P(x) entre Q(x) P(x)= 8a3 - 9b3 - 6a2b + 5ab2 Q(x)= 2a - 3b Para escribir en notación, lo que tiene que hacerse es (8a3 - 9b3 - 6a2b + 5ab2) ---------------------------(2a - 3b)

Es importante que veas que el residuo se suma al resultado de la división. Da clic en el icono para revisar un video que te será de gran ayuda para fortalecer tu aprendizaje, ¿de qué tema?. Ver el siguiente video Polinomios http://www.youtube.com/watch?v=YDxwQrht8Sw&feature=player_embedded

Factorización de un polinomio Factorizar una expresión es descomponerla como producto de sus factores. Puedes encontrar muchas técnicas para factorizar polinomios, sin embargo en este curso solo revisaremos la parte de factores comunes ya sea de manera individual o en grupos.

Factor común (individual)

Factor común en grupos

Consiste en la aplicación de la propiedad

Este caso se aplica cuando el polinomio

distributiva de la multiplicación con respecto a

tiene un número par de términos, esto es

la suma o a la resta:

importante pues de esta manera

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

a * (b - c) = (a * b) - (a * c)

garantizamos la agrupación. Lo que tiene que hacerse es identificar los términos que tienen algún factor común y se

Como puedes ver, el factor que se repite en

procede a realizar lo que hicimos en el caso

los dos términos de la derecha, se "extrae"

del factor común en grupos.

multiplicando.

Ejemplos de factorización (factor común individual) Factoriza las expresiones siguientes: (Da clic en la flecha

para ver el procedimiento)

Ejemplos de factorización (factor común en grupos) (Da clic en la flecha

para ver el procedimiento)

Es importante que revises a fondo el tema de la factorización, para apoyarte en este tema, revisa los siguientes videos, no los dejes pasar pues te ayudarán

mucho a entender y

reforzar tu aprendizaje, revisa los siguientes videos:

Factorización http://www.youtube.com/watch?v=BEZpQfXBsOc&feature=player_embedded Diferencia de cuadrados http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1YpNO6svSbg

Te preguntarás ¿para qué me sirve conocer las operaciones con tantas letras y números?, sólo te adelantamos que esta parte es muy importante en matemáticas pues si aprendemos a sintetizar los problemas que enfrentamos a partir de un modelo, este puede servirnos para 35

resolver muchos problemas que se parecen sin necesidad de hacer uno cada vez que tenemos problemas parecidos. Para verificar tus avances y logros, te invitamos a realizar la siguiente:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

3.4

Fracciones algebraicas

Como has podido ver, las operaciones con monomios y polinomios pueden ayudarnos a representar de manera más fácil, problemas que parecen ser complicados y que al trabajar con coeficientes y literales nos ayudan a representar modelos con diferentes características. Ahora que ya conocemos algunas de las operaciones de los polinomios vamos a trabajar con una de las ramas que se conoce como fracciones algebraicas. Las fracciones algebraicas son aquellas en las que el numerador y el denominador son polinomios. Se operan del mismo modo que las fracciones que conocemos de números reales. Se representa de la manera siguiente:

Una condición importante es que Q(x)≠0 (Q(x) diferente de cero) Es necesario que se cumpla esta condición, puesto que la división entre cero, NO está definida. Observa a continuación algunas de sus propiedades: Fracciones algebraicas equivalentes Si se tienen dos fracciones algebraicas de la forma

Decimos que son equivalentes si se cumple que

Y expresamos la equivalencia de la manera siguiente

Ejemplos de fracciones algebraicas equivalentes

Verifica que las siguientes fracciones algebraicas sean equivalentes

Para que sean equivalentes debe cumplirse que (x + 2)(x - 2) = (x2 - 4)(1)

(x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 4 = x2-4

Recuerda lo que vimos en la parte de multiplicaciรณn de monomios y polinomios.

(x2 - 4)(1) = x2 - 4

No olvides que 1 es el neutro multiplicativo

Vemos entonces que en ambas multiplicaciones, el resultado es el mismo, por lo tanto podemos decir que

Son equivalentes

Toma en cuenta que si tenemos una fracción algebraica y multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por un mismo polinomio, distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la original.

Sucede lo mismo si realizamos una división (cociente de polinomios)

Simplificación de fracciones algebraicas ¿Recuerdas como simplificamos fracciones con los números reales?, el procedimiento es similar, para simplificar una fracción algebraica debemos dividir el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Como (x + 2) se repite arriba y abajo, se "eliminan", por lo tanto el resultado es

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador En el caso de la reducción de fracciones algebraicas, debemos descomponer los denominadores en factores para encontrar de esta manera el mínimo común múltiplo, este será el común denominador. Ejemplo: Reducir las fracciones algebraicas a común denominador 1. x ---------(x2 - 1)

En este caso, hay que descomponer en sus factores al denominador:

2. 1 ---------------(x2 + 3x + 2)



de la fracción (1) es: x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)



de la fracción (2) x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Así:

Ya que tenemos el mcm (x + 1)(x – 1)(x + 2), lo dividimos entre los denominadores de las fracciones (los que ya habíamos descompuesto)

Fracción (1): (x + 1)(x - 1) (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x + 1)(x - 1) ------------------------- = ----------------- (x + 2) (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) = 1 * 1 * (x + 2) = (x + 2)

Fracción (2): (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x - 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) ------------------------ = ----------------- (x - 1) (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) = 1 * 1 * (x - 1) = (x - 1)

¿Recuerdas cómo hacemos las fracciones de números reales? En este caso tenemos que hacer lo mismo. En el denominador va el mcm. Fracción (1) xx ------- = ---------------x2 + 1 (x + 1)(x - 1) x(x + 2) = -----------------------(x + 1)(x - 1)(x + 2) x2 + 2 = -----------------x3 + 2x2 - x - 2

Fracción (2) 11 ------------- = ---------------x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) 1(x - 1) = -----------------------(x + 1)(x - 1)(x + 2) (x - 1) = -----------------x3 + 2x2 - x - 2

De esta manera tenemos dos fracciones con factor común. Tal vez te parezca complicado pero no es así, y como la práctica hace al maestro, después de que realices los ejercicios verás que es muy fácil. Ahora que ya conocemos algunas de las características de las fracciones algebraicas, vamos a conocer qué tipo de operaciones podemos hacer con ellas. Suma Suma de fracciones algebraicas Si recordamos como trabajamos los "quebrados" de número reales, esta parte será muy sencilla. Si tenemos dos fracciones algebraicas con el mismo denominador, lo trabajamos como sigue: Fracciones con el mismo denominador

Fracciones con distinto denominador

Cuando tenemos fracciones con el mismo Cuando

trabajamos con

las fracciones de

denominador, la suma de las fracciones se números reales, buscamos el mínimo común compone con el mismo denominador múltiplo y después se suman los numeradores. como factor común y la suma de los

Observa cuidadosamente la regla de resolución. 41

numeradores.

Veamos un ejemplo para que sea más Veamos un ejemplo para que sea más claro (da claro (da clic en el siguiente enlace para clic en el siguiente enlace para ver el ejemplo). ver el ejemplo).

Ejemplo de suma de fracciones con el mismo denominador Sumar las siguientes fracciones algebraicas: P(x)

Q(x) x2 - x ------------x2 - 5x + 6

R(x) 1 ------------x2 - 5x + 6

x+3 _ _________ x2 - 5x + 6

La suma queda como

En el último sumando tenemos un signo negativo, entonces (+)(-)=-, por lo que la suma tiene la forma

Siguiendo la regla, el denominador pasa igual (porque es el mismo para las 3 fracciones) y sólo hay que sumar los numeradores.

(x2 - x) + 1 - (x + 3) = --------------------------x2 - 5x + 6 x2 - x + 1 - x - 3 = ----------------------x 2 - 5x + 6 x2 - 2x - 2 = -----------------x 2 - 5x + 6 Ejemplo de suma de fracciones con distinto denominador Sumar las siguientes fracciones algebraicas S(x)

T(x) 1 ------x+1

U(x) 2x ------x2 - 1

1 - ________ x-1

La suma queda como 1 2x 1 _______ + _______ - _______ x + 1 x2 - 1 x - 1 T(x) 2x ------x2 - 1

El denominador del segundo sumando podemos descomponerlo en factores x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Reescribimos la suma 1 2x 1 _______ + _____________ - _______ x + 1 (x + 1)(x - 1) x - 1 Vemos que el mcm es (x + 1)(x - 1), ahora resolvemos nuestra suma:

Como puedes ver, la suma de fracciones es idéntica a la que hacemos con los números reales. Multiplicación Multiplicación de fracciones algebraicas En el caso de las multiplicaciones de fracciones algebraicas, ésta es mucho más sencilla que la suma, pues únicamente necesitamos multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Observa la siguiente regla.

Ejemplo: Multiplica las siguientes fracciones algebraicas

P(x)

Q(x)

Traducimos esta expresión a la forma conocida de la multiplicación.

Seguimos la regla: numerador por numerador y denominador por denominador

Buscamos factores comunes que nos hagan eliminar términos, por lo que: * Factorizamos el numerador

Por lo tanto, la fracción tiene la siguiente forma:

x2 – 2x = x(x – 2) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 * Factorizamos el denominador

Sustituimos en la expresión:

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) x2 – 4 = (x+2)(x – 2) Reordenamos la expresión

Hacemos las operaciones necesarias

Como el 1 es el neutro multiplicativo, el resultado es:

Como puedes ver, es necesario que practiquemos la factorización.

Factor común (individual)

Factor común en grupos

Consiste en la aplicación de la propiedad

Este caso se aplica cuando el polinomio

distributiva de la multiplicación con respecto a

tiene un número par de términos, esto es

la suma o a la resta:

importante pues de esta manera

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

a * (b - c) = (a * b) - (a * c)

garantizamos la agrupación.

Lo que tiene que hacerse es identificar los términos que tienen algún factor común y se

Como puedes ver, el factor que se repite en

procede a realizar lo que hicimos en el caso

los dos términos de la derecha, se "extrae"

del factor común en grupos.

multiplicando.

Da clic en el enlace para ver el ejemplo.

Ejemplos de factorización (factor común individual) Factoriza las expresiones siguientes (Da clic en la flecha

para ver el procedimiento)

Ejemplos de factorización (factor común en grupos) (Da clic en la flecha

para ver el procedimiento)

Es importante que revises a fondo el tema de la factorización, para apoyarte en este tema, revisa los siguientes videos, no los dejes pasar pues te ayudarán mucho a entender y reforzar tu aprendizaje:



División

De entre las operaciones de fracciones algebraicas, la última que revisaremos es la división, esta

realiza

multiplicando

forma

cruz

cada

una

fracciones.

La división se representa de la manera siguiente (los dos puntos indican "división")

Observa la regla de la división entre las fracciones algebraicas:

Realicemos el siguiente ejemplo. No olvides que en estas operaciones es necesaria la factorizaciรณn o simplificaciรณn para realizar las operaciones. Ejemplo de divisiรณn de fracciones algebraicas Realiza la siguiente divisiรณn: x2 + 2x x2 + 4x + 4 ------------- = --------------x2 - 5x + 6 x2 - 4 Utilizamos la regla para la divisiรณn:

Factoricemos:

Reordenamos los elementos para realizar las operaciones

Como uno es el neutro multiplicativo, el resultado es 49

Resumen de la Unidad

EVALUACIร N DE LA UNIDAD 3 (Cuestionario en plataforma)

Instrucciones: Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opciรณn que consideres correcta. 50

UNIDAD 4. Resolviendo problemas con ecuaciones Introducción La unidad 4 será el inicio de tu experiencia con los modelos matemáticos. A través de las ecuaciones de primero y segundo grado es posible modelar el mundo que nos rodea, es por ello muy importante conocer su significado y los métodos para resolverlas. Un concepto que siempre debes recordar es que ecuación significa igualdad, esto quiere decir que todas las expresiones indicadas en un lado de la ecuación tienen como resultado o equivalencia a las expresiones que se encuentren del otro lado. Partiendo de este concepto podrás aplicar la técnica de despeje para determinar una variable que resulte de interés. Al finalizar la unidad habrás conocido las diferencias técnicas para encontrar las raíces, que son los valores que cumplen la igualdad, de las ecuaciones de primero y segundo grado, este aprendizaje te será de gran utilidad para resolución de ejercicios de otras asignaturas como Física, Biología. etc. que se apoyan en modelos matemáticos para definir los fenómenos involucrados. Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para: Resolver ecuaciones de primero y segundo grado, que sirven para modelar fenómenos naturales y sociales.

Los objetivos particulares de esta unidad son: 1. Comprender el significado y utilidad de las ecuaciones de primero y segundo grado. 2. Resolver correctamente ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. 3. Resolver por dos diferentes métodos las ecuaciones de segundo grado.

4.1

Concepto de ecuación

En la unidad 3 hemos visto como se forma una expresión algebraica, la más sencilla se conoce como monomio, mientras que la unión de varias de ellas son polinomios, el siguiente paso es formar una Ecuación. 1

palabra

ecuación

viene del latín aequatio, aequationis, que significa igualación, nivelación o repartición igual de algo, esto nos indica que una Ecuación ante todo es una Igualdad.

En la expresión 3x-2=4x+1 significa que, una vez encontrado el valor correcto de x, el resultado de las operaciones del lado izquierdo será igual al que se obtenga del lado derecho 3x-2= 4x+1 Para recordar lo anterior, imagina que en una balanza ambas partes de la ecuación pesan lo mismo. En lenguaje cotidiano podemos decir que el polinomio 3x-2 significa que cualquier número se multiplica por tres y se restan dos unidades, mientras que el polinomio 4x+1 nos indica que cualquier número se multiplica por cuatro y se suma una unidad, al hacer estas expresiones iguales, se convierten en una ecuación. Ejemplos de ecuaciones

Las ecuaciones son utilizadas para representar el comportamiento de fenómenos físicos, químicos, meteorológicos, sociales, económicos, etc., inclusive situaciones de la vida diaria pueden ser modeladas por medio de ecuaciones. Da clic para ver un ejemplo.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para ciertos valores de las letras. Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple siempre sea cual sea el valor que les demos a las letras que forman dicha igualdad. Ejemplo de la utilidad de las ecuaciones Laura pago $83 por una pasta dental, un cepillo y una crema. Si el costo de la pasta excede en $15 al cepillo y $7 pesos a la crema, determinar el costo de los artículos. Datos: Artículo

Costo

Pasta dental

Cepillo

x – 15

Crema

x–7

Sabemos que el cepillo es $15 más barato que la pasta.

Planteamos la ecuación x+(x-15)+(x-7)=83

Sabemos que la suma de los tres artículos es igual a 83, con esto formamos la ecuación. Ordenamos los términos: x+x+x–15–7=83 Y tenemos: 3x-22=83 3

Al resolver la ecuación encontraremos el costo de la pasta y los demás artículos.

4.2

Elementos de una ecuación

Observa la siguiente ecuación e identifica sus elementos:

Grado de la ecuación: Es el mayor valor de los exponentes que contiene el polinomio, cuando se multiplican las variables de un monomio los exponentes se suman para definir el grado.

Es necesario que conozcamos los elementos de una ecuación Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado del signo de igualdad. Términos son los sumandos que forman los miembros. Incógnitas son las letras que aparecen en los términos. Soluciones o raíces son los valores que han de tomar las letras para que se cumpla la igualdad. Dos ecuaciones son equivalentes cuando sus soluciones coinciden.

4.3

Solución de ecuaciones

En muchas ocasiones las ecuaciones o fórmulas de algún fenómeno requiere de obtener una variable que está insertada entre las operaciones para obtener un dato que resulta de interés, una herramienta muy útil son los Despejes, lo cual consiste en dejar sola la variable que nos interesa

uno

los

lados

ecuación.

El principio de los despejes resulta muy sencillo, ya que para quitar un término solo se debe aplicar la operación inversa a la que tiene en ambos lados de la ecuación, recuerda que las operaciones inversas son: Suma - Resta Multiplicación - División Potencia – Raíz Por ejemplo en la ecuación 3x+1=4xy 2-2 se desea despejar y, lo primero que observamos es que un -2, entonces aplicamos la operación inversa, es decir sumamos 2 para dejar solo el monomio que contiene a y.

Recuerda que las ecuaciones están en equilibrio, así que si aplica una operación en uno de los lados el equilibrio se perderá, por lo tanto ya no es igual, si lo vemos en una balanza un lado de la ecuación pesa más.

Para volver a tener el equilibrio y conservar la igualdad aplicamos la misma operación en ambos lados de la ecuación, entonces nos queda:

podemos

simplificar

los

términos independientes y la ecuación

queda:

3x+3=4xy2

Ahora tenemos 4x que multiplica a y2 por lo tanto debemos dividir entre 4x, recuerda que deben ser ambos lados de la ecuación: Al dividir 4xy2 entre 4x obtenemos 1 que 2 multiplica a y por lo tanto la ecuación queda como: Por último como nos interesa tener solo y, y tenemos y2 aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación: 6

Con lo que finalmente despejada nos queda como:



Recomendaciones:



Al concluir el despeje trata de realizar todas las operaciones pendientes, de manera que la expresión sea lo más sencilla posible.



Si la variable deseada queda de signo negativo multiplica ambos lados por -1 y aplica la Ley de los signos.

Cuando una ecuación tiene solución o soluciones se dice que es compatible y si no tienen solución se dice que es incompatible si una ecuación compatible tiene una única solución es compatible determinada y si tiene muchas soluciones se dice que es compatible indeterminada.

Para reforzar lo visto en este tema, da clic en el siguiente enlace para ver las instrucciones de la actividad:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

4.4

Resolución de ecuaciones de primer grado

La Raíz o Solución de la Ecuación es el número que hace cierta la expresión de la ecuación al ser sustituido en la variable y realizar las operaciones, las ecuaciones de primer grado también son conocidas como Ecuaciones Lineales , ya que su gráfica corresponde a una línea recta, poseen solo una raíz, un método para encontrarla es el siguiente:

• Si se tienen, eliminar todos los paréntesis aplicando la Jerarquía de las operaciones. • Si se tienen, eliminar todos los denominadores multiplicando por el m.c.m. de los denominadores ambos lados de la ecuación. • Agrupar los monomios con variables del lado izquierdo y los términos independientes del lado derecho. • Despejar la variable. • Comprobar el resultado sustituyendo en la ecuación. • Puede ocurrir que alguna ecuación no tenga solución dentro del conjunto de los números reales.

Lo más importante ahora para resolver un problema de ecuaciones es saber traducir, es decir, leer y entender el texto y expresar esa misma situación mediante una ecuación Para traducir un problema al lenguaje algebraico y encontrar su solución, hay que dar los siguientes pasos: 1) Establecer con precisión cuál será la incógnita. 2) Expresar como una ecuación la relación contenida en el enunciado. 3) Resolver la ecuación. 4) Interpretar la solución de la ecuación en el contexto del enunciado. 5) Comprobar que la solución obtenida cumple las condiciones del enunciado. Resolvamos ahora el ejercicio de las compras de Laura, si recuerdas:

Laura pago $85 por una pasta dental, un cepillo y una crema. Si el costo de la pasta excede en $15 al cepillo y $7 pesos a la crema, determinar el costo de los artículos.

Donde encontramos la ecuación que defina el comportamiento de sus compras: 3x-22=83

Ahora resolvamos la ecuación:

Aplicando lo que vimos en los despejes tenemos:

3x-22+22=83+22 3x=105 x= 105/3 x=35

Ahora comprobamos el valor encontrado en la ecuación:

3x-22=83 3(35)-22=83 105-22=83 83=83

Y ya podemos encontrar el costo de cada artículo:

El costo de la pasta dental es: x; por lo tanto, la pasta cuesta 35 El costo del cepillo es: (x–15); el cepillo cuesta (35–15) = 20 El costo de la crema es: (x–7); la crema cuesta (35–7) = 28

Ejemplo 1.-Al sumar el doble de un número con la mitad de dicho numero se obtiene 60 ¿De qué número se trata?

Ejemplo 2.-Pablo es 4 años mas joven que Maria y 3 años mayor que Federico. Entre los tres igualan la edad de su madre, 34 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 9

Ejemplo 3.-Hallar los lados de un rectĂĄngulo de 27 cm de perĂmetro si la base es de 5/7 de altura.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

4.5

Ecuación cuadrática

Las ecuaciones cuyo exponente máximo es 2 se conocen como Ecuaciones Cuadráticas o Ecuaciones de Segundo Grado, la forma general de esta ecuaciones es ax2+bx+c=0 donde a ax2 se le conoce como término cuadrático, bx es el término lineal y c el término independiente. Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en:

4.6

Solución de ecuaciones cuadráticas

Como recordaras la Raíz o Solución de la Ecuación es el número que hace cierta la expresión de la ecuación al ser sustituido en la variable y realizar las operaciones, las ecuaciones de segundo grado poseen dos raíces, para encontrarlas existen 4 métodos:

En este curso solo estudiaremos los métodos de (da clic en los enlaces para leer más información): 

Factorización o

Para las ecuaciones completas 11

Método de Factorización para las ecuaciones completas Recuerda que el término factorización significa encontrar los factores que multiplicados nos den la expresión original, en el caso de tener una ecuación de la forma:

ax2+bx+c=0

Debemos encontrar los factores (x+m)(x+n)=0 de tal manera que al realizar este producto se obtiene la primera ecuación.

Para encontrar los valores de m y n debemos encontrar dos números que sumados nos den b y multiplicados nos den c, debes tomar en consideración el signo que tengan ambos valores. Da clic en siguiente

para ver un ejemplo.

Ejemplo del método de Factorización para las ecuaciones completas Encontrar las raíces de la ecuación: x2-7x+10 = 0 • Primer paso: Encontramos dos números que sumados den -7 y multiplicados 10, estos son -5 y -2, por lo tanto los factores quedan como:

• Segundo paso: igualar cada factor a cero.

• Tercer paso: Resolver cada una de estas nueva ecuaciones, para ello solo tienes que despejar x.

(x-5)(x-2)=0

x-5=0 x-2=0

x1=5 x2=2

Para las ecuaciones incompletas mixtas

Método de Factorización para las ecuaciones incompletas mixtas Recuerda que la ecuación tiene la forma ax2+bx=0 porque el valor de c es cero, la factorizamos aplicando el facto común de la forma x(x+m)=0. Por ejemplo: Encontrar las raíces de la ecuación: x2-5=0

•Primer paso: Factorizar la ecuación por medio del factor común:

•Segundo paso: cada factor a cero.

x =0

igualar

• Tercer paso: Resolver cada una de estas nuevas ecuaciones

x(x-5)=0

x-5=0

x1 = 0 x2 = 5 En este tipo de ecuaciones una de las raíces siempre es cero

Para las ecuaciones incompletas puras

Recuerda que la ecuación tiene la forma ax 2+c=0 estas son las ecuaciones más sencillas de resolver ya que solo debes despejar el valor de x, como tenemos la variable elevada al cuadrado siempre debemos aplicar una raíz cuadrada. Por ejemplo: 13

Encontrar las raíces de la ecuación: x2-9=0 •Primer paso: Despejamos

x2 = 9

la variable x : •Segundo

paso:

Para

encontrar las dos raíces se debe aplicar el signo ± a la raíz cuadrada. x1 = 3 x2 = -3 • Tercer paso: Resolver la raíz cuadrada.



En este tipo de ecuaciones las raíces son iguales pero de signo contrario.

Fórmula general

Método por Fórmula General El método por fórmula general se aplica a todos los tipos de ecuación de segundo grado, dado que la ecuación tiene la forma ax2+bx+c=0 se utilizan los coeficientes a, b, c de la ecuación y los sustituimos directamente en las fórmulas:

Observa que la diferencia entre x_1 y x_2 es la suma o resta del valor de la raíz cuadrada.

Al valor de la expresión I = b2-4ac se le conoce como el discriminante de la ecuación, al determinar su valor podemos conocer cómo serán las raíces de la ecuación: Si I > 0 las raíces son reales y diferentes. Si I = 0 entonces las raíces son reales e iguales, ya que su valor es

Si I < 0 entonces las raíces no son reales

Por ejemplo: Encontrar las raíces de la ecuación: 3X2+15x-72 = 0

•Primer paso: valores de a,b,c:

Determinar

los

a= 3 b= 15 c= -72 Debes tomar el signo correspondiente de cada elemento.

• Segundo paso: Sustituir en las fórmulas.

•Tercer paso: Resolver el discriminante y la raíz cuadrada.

Recuerda

que

operaciones

realizar

debes

estas

aplicar

Jerarquía de la Operaciones y la Ley de los Signos.

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

4.7

Multiplicación de binomios

La multiplicación de binomios es una sencilla y útil herramienta, para llevarla a cabo debes tener presente que: • Al multiplicar dos variables los Coeficientes se multiplican. • Al multiplicar dos variables iguales los exponentes se suman. • Al multiplicar dos variables diferentes los exponentes quedan igual. Ejemplos: Si tienes la operación:

Tendrás como resultado

(3x)(2x)=6x2 (3x)(2x)

Los coeficientes se multiplicaron y los exponentes se sumaron.

Si tienes la operación:

Tendrás como resultado (3x)(2y)=6xy

(3x)(2y)

Los coeficientes se multiplicaron, los exponentes se dejan como están y se indica el producto de las variables.

Para multiplicar dos binomios debes llevar a cabo los siguientes pasos: 1. Multiplicar el primer término del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio. 2. Multiplicar el segundo término del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio. 3. Agrupar los términos semejantes.

Por ejemplo: (3x - 7)(5x + 4) Multiplicamos la primera x por cada elemento del segundo binomio

Repetimos la operación para el segundo

(3x)(5x+4)=15x2+12

(-7)(5x+4)=-35x-28

elemento del primer binomio

Ahora simplificamos

(3x-7)(5x+4)=15x2+12x35x-28 =15x2-23x-28

Recuerda que un binomio al cuadrado es igual a una multiplicaciĂłn por sĂ mismo: (x+a)2=(x+a)(x+a)

Para reforzar lo visto en este tema, da clic en el siguiente enlace para realizar la actividad de aprendizaje:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

Resumen de la Unidad 4

EVALUACIร N DE LA UNIDAD 4 (Cuestionario en plataforma)

Instrucciones: Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opciรณn que consideres correcta.

Unidad 5. El Mundo es Geométrico Introducción

En esta unidad vamos a aprender características importantes sobre algunas figuras geométricas, en particular revisaremos la circunferencia, los triángulos, los polígonos y los ángulos. Todas estas figuras se encuentran en nuestro entorno; la geometría es tan amplia y está presente aunque no lo notes: ¿has visto lo simétricos que somos lo humanos, los animales y las plantas?, ¿has observado con detenimiento las construcciones que hacemos los humanos? Y las abejas ¿has visto sus panales?, ¿has visto las telarañas? éticas, observas las siguientes imágenes, ¿Qué formas identificas? En la unidad anterior hemos revisado y aprendido algunas características de las ecuaciones. >>> Algo de historia...

Algo de historia… El término Geometría proviene del griego geo, que quiere decir 'tierra'; y de metrein, que quiere decir 'medir'. Geometría: rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio y en su forma más elemental, se ocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos

Otros campos de la geometría son la geometría analítica, la geometría descriptiva, la topología, la geometría fractal, y la geometría no euclídea, entre otras, pero no te asustes eso lo verás en algún otro curso.

Uno de los primeros problemas que permitieron el desarrollo de la geometría fueron los problemas de construcción, aunque no fueron los únicos, uno de los grandes geómetras griegos fue Arquímedes, que hizo un gran número de aportaciones a la geometría. Inventó formas para medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros, también elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (¿te acuerdas de su valor?) que es la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. Arquímedes pensativo. Óleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620).

Pues bien, con estos breves antecedentes, iniciemos nuestra última unidad, la cual será muy interesante. ¡VÁMOS A LA RECTA FINAL! Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para:

Identificar las diferentes formas geométricas y utilizar las fórmulas para

obtener ángulos, perímetros y áreas.

Los objetivos particulares de esta unidad son: 1. Aprenderá a identificar ángulos. 2. Aprender las características de las diferentes formas geométricas. 3. Analizar y comprender el uso de las fórmulas para obtener perímetros y áreas. 5.1

Punto y recta

Así como existe en el sistema numérico decimal la base es el 10, en la geometría la base es el punto. El punto junto con la recta y el plano son los conceptos básicos y fundamentales con los que vamos a trabajar. El punto es una "figura geométrica" a dimensional, esto quiere decir que no tiene longitud, ni área, ni volumen. Este describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Algunas características (también llamados postulados) que se relacionan con los puntos son:

Por un punto pasan infinitas rectas y planos.

Dos puntos determinan una recta y sólo una.

Una recta contiene infinitos puntos.

Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.

Observa cómo se ven los puntos (A,B,C,D,E,F…, ETC) en el plano cartesiano (fig.1), cada uno está determinado su lugar dentro del plano cartesiano mediante las coordenadas (x,y) Ahora para conocer acerca de la recta da clic en el siguiente enlace: Recta Para repasar lo visto en este tema, responde al siguiente ejercicio dando clic en el siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

5.2

Ángulos

Ahora que hemos visto algunos tipos de rectas, vamos a ver una de sus características, que es el ángulo

Generalmente la notación para definir un ángulo es

, pero existen varias manera para

hacer referencia al ángulo, veremos algunas de ellas que son las más utilizadas en los libros de texto y en algunas publicaciones científicas. Formas de representar ángulos 1. Representación con tres letras, en donde la primera letra indica un extremo del ángulo(A), la letra de en medio indica el vértice (B) y la tercera letra indica el extremo final del ángulo(C). Observa la siguiente figura.

Podemos representar nuestro ángulo como

ABC

2. Representación con una sola letra, en este caso, la letra indica el vértice del ángulo y su notación es

3. Representación mediante letras griegas. En este caso se utiliza el alfabeto griego para representar al ángulo. Su notación es

La equivalencia entre estas escrituras es:

Ejemplos:

En la figura siguiente, identifica los siguientes รกngulos:

IDENTIFICA LOS ANGULOS DE LA TABLA ACE = DEF = ABC = Los รกngulos quedan entonces como:

Como puedes ver es muy fácil identificar los ángulos. En los ángulos podemos hablar de congruencia (te acuerdas cuando decíamos que los monomios o polinomios eran semejantes), decimos que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida. El símbolo para nombrar la congruencia es

, entonces la

notación es A

También es importante que revises la forma de medir los ángulos: Formas de medir los ángulos y su clasificación Formas de medir los ángulos Los ángulos pueden ser medidos en radianes, en grados sexagesimales o en grados centesimales. Los grados son más fáciles de usar en la vida diaria, pero cuando trabajamos con operaciones matemáticas más complicadas es mejor trabajar con los radianes, pero no te preocupes, en este momento sólo trabajaremos con los grados sexagesimales. En los grados sexagesimales, la circunferencia (que es nuestra referencia) se divide en 360 partes iguales, recuerda que como su base es 60, por lo tanto cada 60 unidades tenemos un grado, si dividimos un grado, tenemos 60 minutos, etc., las equivalencias en este sistema son:

1°=60’ (un grado son 60 minutos) 1’= 60” (un minuto son 60 segundos) Por lo tanto 1°=3600” (un grado son 3600 segundos) Revisa estos videos para apoyarte:

Video 1 |

Video 2

Clasificación Clasificación de los ángulos

De acuerdo a la abertura (medida) de los ángulos, estos tienen una clasificación, las cuales puedes ver en la tabla siguiente:

Tipo de ángulo

Medida

Ángulo nulo

Mide 0°

Forma

Ángulo agudo

mide más de 0º y menos de 90º

Ángulo recto

mide 90º

Ángulo obtuso

mide más de 90º y menos de 180º

Ángulo llano

mide 180º

Ángulo completo

mide 360º

Como los ángulos deben ser complementarios, la suma es de 180°, realicemos el modelo para encontrar el valor de los ángulos. X. es el valor del primer ángulo Necesitamos un segundo ángulo cuyo valor sea 30° más que el doble del primer ángulo, lo que se representa de la manera siguiente: 2x+30 Ahora sumamos los dos ángulos y ponemos la condición: X+ 2x +30 = 180 Resolvemos: 3x +30 = 180 3x = 180 - 30 3x = 150 X = 150 / 3 = 50 Por lo tanto el primer ángulo mide 50° y el segundo mide 2(50) + 30 = 130 Si sumamos los dos ángulos tenemos 50° + 130° = 180°

Pero los ángulos también pueden tener intersecciones, es decir compartir alguna de sus rectas con algún otro ángulo, de esta manera se tienen: Ángulos Adyacentes: Tenemos este tipo de ángulos cuando comparten uno de sus lados y el vértice.

Los dos ángulos son adyacentes porque comparten el lado C y el vértice B. Ejemplos de ángulos adyacentes y no adyacentes

Estos ángulos SON adyacentes comparten el vértice, pero y un lado

NO SON adyacentes sólo comparten el vértice, pero ningún lado

NO SON adyacentes sólo comparten un lado, pero no el vértice

Tipos de ángulos formados Ángulos

correspondientes

entre

Ángulos alternos entre paralelas.

paralelas.

1=5

1=7

2=6

2=8

3=7

3=5

4=8

4=6

Son suplementarios (suman 180Â°)

Ángulos contrarios o conjugados

1 2 3 4

∩ ∩ ∩ ∩

6 5 8 7

Ángulos colaterales

1 2 3 4

∩ ∩ ∩ ∩

8 7 6 5

Con los ángulos se pueden hacer operaciones, como la suma de ángulos, de acuerdo al resultado de la suma pueden ser: Complementarios: si la suma de los ángulos es de 90° Suplementarios: Si la suma de los ángulos es 180° Conjugados: Si la suma de los ángulos es 360° Ángulos opuestos por el vértice: estos ángulos se forman cuando se cruzan dos líneas.

Una característica importante es que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (recuerdas lo que significa congruente). Realicemos el siguiente ejercicio: Calcula los ángulos

Recuerda que el ángulo completo de la circunferencia es 360°. Ahora revisemos la información que tenemos:

como

es opuesto a 30°, estos tienen que ser congruentes, por lo tanto

= 30°

30° + 30° = 60° 2. el ángulo completo de la circunferencia es 360°

3. Restamos

360°

los

60°

del

ángulo

complemento

360° - 60° = 300° 4. Como

son congruentes por ser opuestos por el vértice deben medir lo mismo, esto lo podemos representar como

x + x = 300° 2x = 300° x = 300°/2 x = 150° 5. Por lo tanto

miden cada uno 150°

Los ángulos también pueden formarse por dos rectas paralelas y una secante, veamos como:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. 15

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son: 1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. La siguiente tabla puede ayudarnos Tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas

1=5 2=6 3=7 4=8

Ángulos alternos entre paralelas

1=7 2=8 3=5 4=6

Son suplementarios (suman 180°)

Ángulos contrarios o conjugados

Ángulos colaterales

1∩6 2∩5 3∩8 4∩7

1∩8 2∩7 3∩6 4∩5

Una vez que hayas estudiado estos temas, realiza un ejercicio para reforzar el aprendizaje, para ello da clic en el siguiente enlace: Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma) 5.3

Triángulos

Empezaremos ahora con una figura geométrica muy importante, los triángulos. En la historia de la humanidad la presencia más significativa de los triángulos son las pirámides de Egipto, ¿las recuerdas? En geometría podemos definir un triángulo como la figura geométrica que se forma a partir de tres rectas que se cortan en tres puntos diferentes. 17

Los puntos donde se cortan las rectas (intersección) se les llama vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo; dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. De esta manera, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices Existen acuerdos para determinar las componentes de los triángulos: 1. Los vértices se escriben con letras mayúsculas. 2. Los lados se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos. 3. Los ángulos se escriben igual que los vértices.

La tabla siguiente nos muestra un breve resumen de estas características: Triángulos

Vértices

Lados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

En el triรกngulo cumple con las siguientes desigualdades:

___ ___ ___ 1) AC + BC > AB ___ ___ ___ 2) AB + AC > BC ___ ___ ___ 3) AB + BC > AC

Estas desigualdades se conocen como "Desigualdad triangular". Da clic en el siguiente enlace para ver un ejercicio resuelto sobre "Desigualdad triangular" ejercicio. Ejercicio En el siguiente triรกngulo, comprueba la desigualdad triangular

Da clic en los siguientes enlaces para estudiar: 19



Propiedades de los triángulos

Los triángulos como cualquier figura geométrica cumplen una serie de propiedades, entre las que tenemos: 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a<b+c a>b–c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. (Esta propiedad es una de las fundamentales, recuérdala siempre) +

= 180º

3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes

= 180º - (

)

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.



Igualdad de triángulos

Existen varios puntos a considerar, si queremos probar si dos triángulos son iguales. Consideremos lo siguiente:

1. Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. 2. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido. 3. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.



Clasificación de triángulos

El mapa siguiente muestra la clasificación de los triángulos:

Estas características son importantes y debes guardarlas cerca como una guía para que en el futuro puedan servirte. Pasemos a nuestra última parte que tiene que ver con el perímetro y el área de los triángulos.



Perímetro y área del Triángulo Hasta ahora hemos visto algunas de las propiedades de los triángulos, cuándo son semejantes, cuándo son congruentes, cómo son sus ángulos y su clasificación, sin embargo aunque eso es muy interesante vamos a ver algunas aplicaciones sobre cómo obtener el perímetro (contorno) y el área (superficie delimitada por el contorno). Pero puedes preguntarte, y eso ¿para qué me sirve?, imagina por un momento que tienes un terreno con forma de triángulo y deseas ponerle una barda, para saber cuántos metros lineales de malla necesitas comprar, lo que necesitas saber

es el perímetro. Ahora imagina que después de ponerle una cerca, quieres ponerle pasto, para saber cuánto pasto necesitas comprar, debes conocer cuál es el área del terreno. Como puedes comprobar, saber obtener el perímetro y el área nos puede hacer la vida un poco más fácil. Da clic en los siguientes enlaces para ver estos conceptos de: Perímetro | Área Perímetro de un triángulo Como recordarás: Los triángulos son diferentes de acuerdo a la longitud de sus lados, de manera general, el perímetro se obtiene sumando cada uno de sus lados. P=

Para ser un poco más precisos y recordando las características de los triángulos tenemos que Triángulo

Fórmula

Figura

Equilátero

P = 3l

Isósceles

P = 2l + b

Escaleno

P=a+b+c

Área de un triángulo Calcular el área también es una tarea importante, para calcular el área tenemos la siguiente regla:

A = (bc) 2

Donde:

A = área b = base del triángulo c = altura del triángulo Ejercicio 1 Calcula el perímetro y el área del triángulo siguiente

Para obtener el perímetro, solo necesitamos sumar cada uno de sus lados, por lo tanto el perímetro es P=

+ P = 11cm + 7.5cm + 11cm = 29.5

Para calcular el área se tiene A = (bc) 2 A = ((11)(7)) = 77 = 38.5cm2 22 Ejercicio 2 Hallar el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6.8m y la altura 9.3m A = (bc) 2 A = ((6.8)(9.3)) = 63.24 = 31.62 cm2 22

Como recordarás los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90°, en un curso posterior revisaras más propiedades de este tipo de figuras, pero es importante que mantengas en tu maleta de viaje para los próximos cursos esta característica. Observa la figura siguiente:

En el caso de los triángulos rectángulos, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos

A = (bc) 2

En el caso de los triángulos rectángulos, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos

A = (bc) 2 Ejercicio

Encontrar el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

A = ((3)(4)) = 12 = 6 cm2 22 ¡Muy bien. Ahora estás listo para realizar nuestra siguiente actividad! Una vez que hayas estudiado estos temas, realiza un ejercicio para reforzar el aprendizaje, para ello da clic en el siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

5.4

Polígonos

Muy bien, hemos avanzado a buen ritmo así que ahora pasemos a nuestro siguiente tema: LOS POLIGONOS Polígonos regulares e irregulares Los polígonos son formas bidimensionales y están formados por líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas). Ejemplos de polígonos son los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Los polígonos se clasifican en:

Muchas de las figuras pueden ser regulares o irregulares, eso dependerá de las condiciones que les demos. Observa las siguientes figuras, ¿qué puedes decir de ellas?

Como puedes ver A y C son polígonos regulares, mientras que B y D son polígonos irregulares. Ahora bien, cuando trabajamos con Polígonos podemos hacernos dos preguntas 1. ¿Cuánto mide el perímetro del polígono? 2. ¿Cuánto mide el área del polígono? De la misma manera en que vimos los triángulos, el perímetro de un polígono es el contorno de la figura, mientras que el área es la medida de la región o superficie encerrada por ese contorno. Calcular el perímetro de los polígonos es muy fácil, pues solo tenemos que sumar las longitudes de sus lados, sin embargo calcular el área puede ser un poco más complicado si el polígono es irregular, pero no te preocupes, vamos a realizar algunos ejercicios para que esto nos quede más claro.

Veamos la siguiente tabla, ahí encontrarás las fórmulas para calcular los perímetros y las áreas de los polígonos regulares.

TABLA DE FORMULAS PARA EL CÁLCULO DE PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES

Nombre

Perímetro

Área

Elementos

Cuadrado

P = 4a

A = a2

a = lado

Rectángulo

P = 2a + 2b

A = ab

a = altura b = base

A = ab

a = altura b = base c = lado

Figura

Paralelogramo El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo

P = 2c + 2b

Rombo Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales

P = 4a

A = Dd 2

A = lado. D= diagonal mayor. d= diagonal menor.

P=b+c +d

A = ab 2

b = base. a = altura. c, d = lados.

A = (B +b) 2

B = base mayor. b = base menor. a = altura. c, d = lados

A = Pa 2

b = lado a= apotema P= perímetro n= número de lados

Triángulo Un triángulo es la mitad de un paralelogramo

Trapecio

Polígonos regulares

P=b+B +c+d

P = nb

Círculo Π: número Pi = 3.14159...

P = 2Πr

A = Πr2

r = radio

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Observa cómo se resuelven algunos ejercicios: Ejercicios resueltos Ejercicio 1. El área de un cuadrado es 5.76 cm2. Calcula su perímetro La fórmula para obtener el área es: A = a2 Si A = 5.76, entonces hay que sacar la raíz cuadrada para obtener el valor del lado

Entonces a = 2.4 La fórmula para obtener el perímetro es P = 4a Sustituimos el valor de a P = 4(2.4) P = 9.6 Por lo tanto el perímetro es 9.6 cm.

Ejercicio 2. La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2.8 cm. ¿Cuál es el área del paralelogramo? Los datos que tenemos son a → altura = 2.8 cm b → base = 5 cm. La fórmula para obtener el área es: A = ab Podemos obtener el área A = (5cm)(2.8cm) = 14 cm2 Por lo tanto el área es de 14 cm2 Ejercicio 3.

Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm y su apotema 1.5 cm.

Los datos que se tienen son: a → apotema = 1.5 cm b → lado = 2.3 cm

n → número de lados Para obtener el perímetro y el área usamos las siguientes fórmulas: P = nb P =5(2.3 cm) P = 11.5 cm A = Pa 2 A = (11.5 cm)(1.5 cm) = 17.25 = 8.625 cm2 22 Da clic en el siguiente enlace para ver cómo calcular perímetros y áreas de polígonos irregulares.

Calcular perímetros y áreas de polígonos irregulares. Como ya habíamos mencionado, el perímetro de un polígono irregular es muy fácil de obtener pues lo que tienes que hacer es sumar el valor de cada uno de sus lados y ¡¡ya está!! El perímetro es igual a la suma de las longitudes de todos los lados. P=

+...

Pero el área se complica un poco, lo que debemos hacer es descomponer la figura irregular en figuras regulares. Al final la suma de las áreas será el valor del área del polígono. Una forma puede ser descomponiendo en triángulos, de esta manera el área se obtiene sumando el área de los triángulos contenidos en la figura.

Ejemplo. Obtener el área del siguiente polígono irregular.

Se obtienen los triángulos y se suman las áreas. A = T1 + T2 + T3 + T4 Donde: A → Área T1, T2, T 3, T4 → áreas individuales de los triángulos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Ejercicio 1 Calcular el área del polígono irregular de las siguientes dimensiones.

Descomponemos la figura en figuras geométricas conocidas.

Ahora, tenemos tres triángulos y un rectángulo. Recuerda que el área de los triángulos se calcula como A = ab 2 El área del triángulo A es A = (2)(2) =4 = 2 22 El área del triángulo B es A = (4)(2) = 8 = 4 22 El área del triángulo C es A = (2)(2) = 4 = 2 22 El área del rectángulo D es A =ab = (8)(4) = 32 Por lo tanto el área es 2 + 4 + 2 + 32 = 40

Muy bien, has aprendido a trabajar con polígonos regulares e irregulares, vayamos ahora a nuestro último tema, pero antes de entrar a nuestra última parte, te invito a realizar la siguiente actividad.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

5.5

Circunferencias

Circunferencia. En este apartado vamos a trabajar con la circunferencia y sus características ¿Qué imaginas cuando escuchas la palabra circunferencia? Es importante que sepas que hay una diferencia entre circunferencia y círculo, la circunferencia es una curva cerrada de la que todos sus puntos están a la misma distancia del centro, mientras que el círculo es el área que está dentro de la circunferencia. Circunferencia

Círculo

El contorno verde es la circunferencia El área pintada de amarillo es el círculo

¿Qué más te imaginas u observas que tiene una circunferencia o un círculo?

Una característica de la circunferencia es que todos sus puntos están a la misma distancia del centro.

En este último tema, estudiaremos los siguientes tópicos, da clic en el enlace para ver su contenido:

1. Elementos de la circunferencia

A partir de los puntos de la circunferencia, podemos trazar una serie de rectas, es importante que las observes y memorices, pues nos serán de gran utilidad Da clic en las diferentes rectas que están señaladas en la circunferencia para que revises su definición:

Elementos de la circunferencia

2. Perímetro y Área. Como ya mencionamos anteriormente, el perímetro de un círculo es la circunferencia y su longitud se calcula como:

Donde:

P es la longitud del perímetro

Π es la constante matemática pi (Π = 3.14159265...)

r es la longitud del radio

d es la longitud del diámetro El área del círculo delimitado por la circunferencia se calcula como:

Esta fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al apotema por el perímetro del polígono entre dos, esto es:

L =?

Datos

Fórmula

Sustitución

Resultado

r=6 cm = 3.1416 P=?

P=L= 2 r

L= 2(3.1416)(6) L = 37.6992

L= 37.70cm

Datos

Fórmula

Sustitución

Resultado

D= 22cm = 3.1416 P=?

P=L= 2Πr D = 2r r=D 2

r = D = 22 = 11 22 L= 2(3.1416)(11) L = 69.1152

L= 69.12cm

3. Ángulos en la circunferencia

Ángulo central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios ángulo

central

Ángulo inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.

ángulo inscrito =

Ángulo semi-inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, donde uno de sus lados es una tangente y el otro una secante. ángulo semi-inscrito =

Ángulo ex-inscrito: Es aquel ángulo adyacente a un ángulo inscrito es el ángulo ex-inscrito. Ángulo adyacente: Es aquel que tiene el mismo vértice con otro ángulo y un lado común que los separa.

Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia y sus lados son dos secantes. ángulo interior =

son ángulos interiores.

Ángulo exterior: Es aquel cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia. ángulo exterior =

Fuente: Tomado de MATEMÁTICAS II, SEP. Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje. 1998.

Observa algunos ejercicios sobre los ángulos y la circunferencia

Datos Si: AB = 100° encontra r AOB =?

Fórmula

Sustitucióny Resultado

ángulo central O=

AOB =

Como AB

AOB =

AOB = 100º Respuesta: AOB = 100º

Si:

ángulo inscrito

AC = 150° Respuesta: encontra r

ABC = 75º

ABC =? Si:

ángulo semi-inscrito

BC = 220° Respuesta: encontra r:

ABC = 110º

ABC =? Si:

ángulo exterior

BD = 20° y AE = 80°

Respuesta: BCD = 30º

encontra r BCD =? Si: DC = 60° y AE = 130°

ángulo interior Respuesta DBC = 95º

encontra r DBC =?

Si:

ángulo central

AOC = 70º

AOC =

ángulo inscrito

Como AOC =

AC = 70º y

encontra r ABC =?

Respuesta ABC = 35º

Muy bien, hemos finalizado los temas correspondientes a esta unidad, ahora te invito a que realices tu última actividad antes de realizar tu evaluación del curso. ¡Te deseo mucho éxito y ADELANTE!

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

Resumen de la Unidad 5

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 5 (Cuestionario en plataforma) Instrucciones: Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opción que consideres correcta.

EVALUACIÓN FINAL Instrucciones: Es importante que pongas en práctica los conocimientos que adquiriste en la asignatura.