Programa Desarrollado de: Estadística y Probabilidad, del plan de estudios del B@DI CDMX

Estadística y Probabilidad Presentación La asignatura Estadística y Probabilidad, se encuentra dentro del bloque de las asignaturas básicas del Bachillerato Digital correspondiente al cuarto semestre que el estudiante debe cursar si considera continuar con estudios de licenciatura en las áreas Físico-Matemáticas o Químico-Biológicas; brinda los conocimientos básicos relativos a la Estadística Descriptiva, Inferencia Estadística, así como la Probabilidad y sus distribuciones. Esta asignatura dará al estudiante los conocimientos relativos a la Estadística Descriptiva, Inferencia Estadística, Análisis de la Probabilidad de un Eventos así como las posibles distribuciones de Probabilidad, esto le permitirá interpretar el comportamiento de fenómenos físicos o sociales a través de la organización, análisis y síntesis de los datos existentes.

Unidad 1. Distribución de Frecuencias Introducción En el complicado mundo de hoy pocas cuestiones están claras y no sujetas a controversia. Para entender y formarnos una opinión sobre un tema debemos recoger información, es decir, datos y, para interpretar los datos, debes tener conocimientos de Estadística. La Estadística es una de las herramientas más ampliamente utilizadas en la investigación científica. Se emplea en instituciones gubernamentales y educativas, en los negocios y en la industria, y en otras organizaciones. El empleo juicioso de las técnicas estadísticas permite obtener conclusiones útiles a partir de un conjunto de datos. Además es muy importante que los resultados de cualquier estudio se presenten en forma clara y concisa, de modo que rápidamente se pueda tener una idea de las características esenciales de los datos. Esto es particularmente necesario cuando se trata de un amplio conjunto de datos, como frecuentemente ocurre por ejemplo en las encuestas o en los censos de población. En esta unidad se tratarán algunas técnicas de presentación de datos tanto tabulares como gráficos que nos ayudarán a revelar elementos y características importantes de los mismos para analizar un problema físico o social. Propósito Al término de la unidad serás competente para realizar una distribución de frecuencias, elaborando un histograma a partir de una serie de datos y analizando gráficas estadísticas; lo que te permitirá analizar un problema físico o social tomando como base sus resultados.

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1.1 Antecedentes de la estadística La recopilación sistemática de datos económicos y de población se inició en Venecia y Florencia, las ciudades – Estado italianas, durante el Renacimiento. El término Estadística, derivado de la palabra Estado, se utilizó entonces para referirse a la obtención de datos de interés estatal. Esta idea de de recopilación de datos se extendi ó desde Italia a otros países de la Europa Occidental. De hecho durante, la primera mitad del siglo XVI, era habitual que los gobiernos Europeos obligaran a las parroquias a que registraran los nacimientos, matrimonios y defunciones. Debido a las muy escasas condiciones de salud pública, las estadísticas referidas a estos hechos tenían un especial interés. Las altas tasas de mortalidad en Europa antes del siglo XIX se debieron primordialmente a guerras, epidemias y hambruna. En 1562, como forma de conseguir que la corte real se trasladara al campo, la ciudad de Londres comenzó a publicar los datos de mortalidad. Inicialmente, esos datos listaban los lugares de defunción y si las muertes habían sido causadas por dicha plaga. Desde 1625, esta información se extendió a todas las causas de defunción. En 1660 el comerciante inglés John Graunt utilizó los datos de mortalidad de Londres para estimar la población de la ciudad, muestreó los hogares de ciertas parroquias de Londres y descubrió que, en promedio, se producían 3 defunciones por cada 88 habitantes. Dividiendo entre 3, observó que en pr omedio había una muerte por cada 88/3 habitantes. Puesto que las cifras de mortalidad de Londres recogían 13 200 muertes en Londres en el año en cuestión, Graunt estimó que la población de Londres era de habitantes. Graunt también usó las cifras de aproximadamente mortalidad de Londres para inferir las tasas de defunción por edad y con esa información confeccionó tablas que representaban las proporciones poblacionales de muerte por distintas clases de edad. Los estimadores de Graunt sobre la mortalidad por edades fueron de gran interés en los negocios de gestión de pensiones. Estos se diferenciaban de los seguros de vida en que la gente aportaba una cantidad establecida como inversión y, a su cuenta, recibía una cantidad regular de por vida 1.

Imagen 1. John Graunt” 1

Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté.

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Los trabajos de Graunt sobre las tablas de mortalidad inspiraron la aportación de Edmund Halley en 1693. Halley, descubridor del cometa que lleva su nombre, utilizó las tablas de mortalidad para calcular las probabilidades de que una persona de cualquier edad tenía de sobrepasar otra edad distinta. Halley ejerció gran influencia para convencer a las aseguradoras del momento de que los seguros tenían que depender de las edades de los asegurados. Tras Graunt y Halley, la recopilación de datos se incrementó de manera continuada durante todo el siglo XVII y hasta bien entrado el siglo XVIII. Por ejemplo, la ciudad de París empezó a registrar cifras de mortalidad en 1667; y en 1730 registrar las edades de muerte era una práctica común en toda Europa. El término Estadística, que se utilizó hasta el siglo XVIII como una abreviatura de la ciencia descriptiva de los Estados, se identificó cada vez más, en el siglo XIX, con las cifras cuantitativas. Hacia 1830, en Francia e Inglaterra, el término ya fue usado de forma general como sinónimo de la ciencia numérica de la sociedad. Este cambio de significado se debió a que, desde 1800, los gobiernos de Europa Occidental y de los Estados Unidos comenzaran a recopilar y publicar sistemáticamente una gran cantidad de registros de censos y de otros tipos de tablas. Aunque a lo largo del siglo XIX la teoría de la Probabilidad había sido desarrollada por matemáticos tales como Jacob Bernoulli, Karl Friedich Gauss y Pierre Simon Laplace, su aplicación al hecho de estudios estadísticos fue casi inexistente, ya que la mayor parte de los estadísticos sociales de la época se contentaban con dejar que los datos hablaran por sí mismos. En particular, en ésa época los estadísticos no estaban interesados en sacar inferencias a partir de individuos, más bien se centraban en la sociedad en su totalidad. Por consiguiente, no estaban preocupados por el muestreo sino que intentaban obtener censos de la población al completo. Como resultado, la inferencia probabilística sobre la población a partir de muestras era prácticamente desconocida en las estadísticas sociales del siglo XIX. No fue hasta finales de éste siglo cuando los estadísticos empezaron a preocuparse por inferir conclusiones a partir de los datos numéricos. El movimiento comenzó con los trabajos de Francis Galton sobre el análisis de la influencia de la herencia a través de la utilización de técnicas que actualmente se conocen como análisis de regresión y correlación, que alcanzaron su mayor auge con los trabajo de Karl Pearson.

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Dos de las áreas más importantes de aplicación de la Estadística a principios del siglo XX fueron la Biología y la Agricultura; todo ello gracias al interés de Pearson y otros investigadores de su laboratorio. Como resultado, tras los primeros años del siglo XX, aumentó muy rápidamente el número de personas, procedentes de la ciencia, los negocios y la administración que empezaron a considerar la Estadística como una herramienta capaz de suministrar soluciones cuantitativas a una gran variedad de problemas científicos y prácticos. En la actualidad, podemos encontrar las ideas estadísticas en muchos ámbitos. La Estadística Descriptiva puede verse en periódicos y revistas. La Inferencia Estadística se ha hecho indispensable en las investigaciones médicas y de salud pública, en la investigación de mercados y en el control de calidad, en la educación, la contabilidad, la economía, en la predicción meteorológica o de las votaciones, y en muestreos, deportes, seguros, en juegos de apuestas y en cualquier tipo de investigación que pretende ser científica. Hoy en día la Estadística de ha convertido realmente en una pieza integrante de nuestra herencia intelectual.

1.1.1

Conceptos básicos

1.1.1.1 Estadística La mayor parte de las palabras tienen varios significados; la palabra Estadística no es una excepción. En el lenguaje común, la palabra se emplea para denotar un conjunto de números o calificaciones. Por ejemplo, en relación con el deporte, las estadísticas se nos presentan como los resultados de los partidos jugados cada semana, como las posiciones de los equipos en los diferentes grupos o como la cantidad de partidos ganados, perdidos y empatados de cada equipo; también estamos acostumbrados a escuchar el número de accidentes automovilísticos o de muertes en los tradicionales “puentes” producto de los días festivos; en los diarios locales se presentan nacimientos y muertes como “estadísticas vitales”, La opinión pública está cada vez más atenta a la información sobre los índices mensuales de inflación o desempleo; en los informes gubernamentales hay mucho que decir al respecto; contar y medir estos hechos genera muchas clases de datos. El término Estadística empleado de ésta forma significa sólo un poco más que datos numéricos y estos ejemplos forman sólo una parte del concepto general de Estadística. Podemos definir a la Estadística como el conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de observaciones numéricas. Sus fines son describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones acerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración. En la actualidad, la Estadística se emplea en toda clase de estudios científicos como un procedimiento en la toma de decisiones. En medicina ¿cómo prueba un médico la eficiencia de un nuevo fármaco? En la industria, ¿cómo se determina la producción de un artículo específico? En Sociología, ¿de qué modo pronosticar el tamaño de la población mundial para el año 2025? O ¿cómo inferir el tipo de alimentación que nutrirá a la

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humanidad para ese mismo año? En la mercadotecnia, ¿qué reacciones tendrán los consumidores ante un nuevo producto dado? En agricultura, ¿qué tipos y en qué dosis los fertilizantes e insecticidas aumentan las cosechas? Es indiscutible que la Estadística ha llegado a ser un instrumento cotidiano para todo tipo de profesionistas y técnicos que por la índole de sus labores deben manejar datos para que se extraigan conclusiones de ellos. El estudio de la Estadística puede dividirse en dos grandes ramas

Descriptiva

Es aquella parte de la Estadística que se dedica a la obtención, organización, presentación y representar un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las características de ese conjunto.

Estadística

Inferencial

Es aquella parte de la Estadística que comprende métodos y procedimientos que por medio de la inducción determina propiedades de una población estadística, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra).

1.1.1.2 Variable Una variable es una forma de expresar una característica de un grupo de elementos de estudio, como el peso de una persona, su estatura, el color de sus ojos, etc. Las variables normalmente se identifican por medio de letras; por ejemplo, la variable b se usa para representar la base de un triángulo, la variable h para representar la altura, etc. Las variables pueden clasificarse de acuerdo con la forma de los valores que pueden asumir cuando se mide la característica que representa a la variable. Pueden ser cuantitativas o cualitativas. Las primeras, conocidas también como numéricas o escalares, expresan en forma numérica las características de los sujetos de estudio, por ejemplo, 25 kilos, 78 metros, 12.50 pesos, etc., mientras que las variables cualitativas o categóricas expresan una característica no numérica, por ejemplo, güero, blanco, moreno, delgado, etc. Las variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Las discretas sólo pueden tener algunos valores válidos, por ejemplo, el número de habitantes de una ciudad (forzoso un número entero positivo), el número de hijos (número entero positivo). En general sirven para contar, ya sean borregos, manzanas, metros, etc. Las variables continuas pueden tener cualquier valor, por ejemplo, la alt ura de una persona, 1.60, 1.615, 1.6153, etc., el espesor de una hoja puede ser de 1 mm, 0.99 mm, 0.999 mm, o cualquier otro valor. Sirven para medir ya sea el espesor de una hoja de papel, la altura de una persona, etc.

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Las variables cualitativas pueden clasificarse en nominales y jerarquizadas. Las primeras expresan una condición específica de las condiciones de los sujetos de estudio como su domicilio o nacionalidad, mientras que las variables cualitativas jerarquizadas denotan una característica de tamaño u orden por ejemplo, chico, mediano, grande; o malo, regular, bueno. El manejo de las variables cualitativas jerarquizadas puede facilitarse si se expresan mediante una clave numérica o alfabética, por ejemplo, 1 o A para soltero, 2 o B para casado; etc.

Las variables pueden tomar diferentes valores o datos, así los valores o datos también se clasifican en cualitativos y cuantitativos. Cualitativos: Cuando la observación de la variable se hace sobre una cualidad no numérica, como por ejemplo el sexo (Masculino o Femenino), el estado civil (Soltero o Casado), las enfermedades (Gripe, Faringitis, Anginas, etc.), o lugar de nacimiento (Jalisco, Guanajuato, DF, Morelos, etc.). Cuantitativos: Cuando la observación que se hace de la variable puede ser expresada en términos numéricos como por ejemplo la edad (15 años, 25, años, 42 años, etc.), el peso (74 kg, 12 libras, 45 gramos, etc.) o el número de hijos (3 hijos, 5 hijos, etc.).

1.1.1.3 Población y Muestra El término Población, igual que sucede con la palabra Estadística, tiene varios significados. Población en Estadística no significa exactamente lo mismo que en lenguaje común. Su significado en Estadística está estrechamente relacionado con el concepto de variable. Si recuerdas una variable está vinculada con el proceso de medición de una característica de interés que tienen en común los elementos de un conjunto determinado de personas o cosas. Para tener una población estadística es necesario que el correspondiente conjunto de personas o cosas (universo de estudio) haya quedado completamente determinado. Una POBLACIÓN en Estadística es la totalidad de todas las posibles mediciones y observaciones bajo consideración en una situación dada de un problema, es decir, es la colección de todos los valores que asume la variable en cada uno de los elementos del conjunto o universo que se ha determinado para dicha variable.

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Una MUESTRA es un conjunto de elementos, medidas u observaciones tomadas o extraídas a partir de una población dada, a fin de conocer aproximadamente las características de la población de donde proviene. Es un subconjunto de la población.

Desde luego el número de observaciones o elementos de una muestra es menor que el número de posibles observaciones en la población; de otra forma, la muestra sería la población misma. Las muestras se toman debido a que no es factible, desde el punto de vista tiempo y costo aunque en algunos casos sea probable como en el Censo de población que tú conoces, recolectar todas las posibles observaciones en la población. Pero ¿cómo obtenemos una muestra? La muestra debe lograr una representación adecuada de la población, en la que se reproduzca de la mejor manera los rasgos esenciales de dicha población que son importantes para la investigación. En Estadística Descriptiva el concepto de muestra no reviste gran importancia sin embargo en Estadística Inferencial es donde cobra primordial relevancia debido a que un objetivo de la Estadística Inferencial es sacar conclusiones acerca de una población mediante el análisis e interpretación de una colección pequeña de datos que es la muestra. ¿Cualquier muestra sirve para esto? No, para obtener conclusiones acerca de una población con los datos proporcionados por una muestra extraída de aquella, es necesario que la muestra contenga las características generales de la población es decir que sea representativa. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población, es decir ejemplificar las características de ésta. Al procedimiento de obtener una muestra se le llama MUESTREO. El muestreo es la rama de la Estadística que estudia cómo seleccionar una muestra de la poblaci ón.

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Existen diferentes métodos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos (aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Sólo estos métodos de muestreo probabilísticos nos a seguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más recomendables ) y los métodos de muestreo no probabilísticos (no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tiene n la misma probabilidad de ser elegidos, sin embargo, en general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando, en la medida de lo posible, que la muestra sea representativa). Finalmente, por ser este curso introductorio al fascinante mundo de la Estadística y Probabilidad no ahondaremos en ningún método de Muestreo, pero no te preocupes que en cursos de nivel superior los aprendas.

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

1.2 Método Estadístico El método estadístico consiste en una secuencia de procedimientos o pasos para el manejo de los datos cualitativos y cuantitativos cuando se lleva a cabo una investigación 2. Dicho manejo de datos tiene por propósito la comprobación, en una parte de la realidad, de una o varias consecuencias verificables deducidas de la hipótesis 3 general de la investigación. Las características que adoptan los procedimientos o pasos propios del método estadístico dependen del diseño de investigación 4 seleccionado para la comprobación de la consecuencia verificable en cuestión. El método estadístico tiene las siguientes etapas: 1. Recolección (medición) 2

Investigación: Es una actividad humana orientada a la obtención de nuevos conocimientos y, por esa vía, ocasionalmente dar solución a problemas o interrogantes de carácter científico. 3

Hipótesis: Una hipótesis es algo que se supone y a lo que se le otorga un cierto grado de posibilidad para extraer de ello un efecto o una consecuencia. 4

Diseño de investigación: El diseño de investigación constituye el plan general (plan de trabajo a seguir) del investig ador p ara obtener respuestas a sus interrog antes o comprobar la hipótesis de investigación.

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En esta etapa se recoge la información cualitativa y/o cuantitativa señalada en el diseño de la investigación. En vista de que los datos recogidos suelen tener diferentes magnitudes o intensidades en cada elemento observado (por ejemplo el peso o la talla de un grupo de personas), a dicha información o datos también se les conoce como variables. Por lo anterior, puede decirse que esta etapa del método estadístico consiste en la medición de las variables. La recolección o medición puede realizarse de diferentes maneras; a veces ocurre por simple observación y en otras ocasiones se requiere de complejos procedimientos de medición; en algunas ocasiones basta con una sola medición y en otras se requiere una serie de ellas a lo largo de amplios períodos de tiempo. La calidad técnica de esta etapa es fundamental ya que de ella depende que se disponga de datos exactos y confiables en los cuales se fundamenten las conclusiones de toda la investigación. Es tan grande la importancia de esta etapa que algunas clasificaciones de las investigaciones se basan en la forma en que ocurre la medición; por ejemplo si la información es recogida en una sola ocasión suele decirse que la investigación es transversal; en cambio, si la información es recogida a lo largo del tiempo se denomina longitudinal a la investigación. En ocasiones, la recolección de la información debe ocurrir en grupos tan grandes de individuos que se hace impráctico tratar de abarcar a todos ellos; entonces es cuando se ponen en práctica procedimientos de muestreo. Un ejemplo de ésta etapa es lo que hace el IFE. Como sabes, El Instituto Federal Electoral (IFE) es un organismo público, autónomo y permanente encargado de organizar las elecciones federales, es decir, las referentes a la elección del Presidente de la República y de los Diputados y Senadores que integran el Congreso de la Unión. Una de sus principales tareas es integrar el Registro Federal de Electores para lo cual recolecta toda la información personal: nombre, dirección, rfc, etc. de todos los habitantes de la República Mexicana mayores a 18 años y al quedar registrados nos proporcionan la famosa credencial de elector. 2. Recuento (cómputo) En esta etapa del método estadístico la información recogida es sometida a revisión, clasificación y cómputo numérico. A veces el recuento puede realizarse de manera muy simple, por ejemplo con rayas o palotes; en otras ocasiones se requiere el empleo de tarjetas con los datos y, en investigaciones con mucha información y muchos casos, puede requerirse el empleo de computadoras y programas especiales para el manejo de bases de datos. En términos generales puede decirse que el recuento consiste en la cuantificación de la frecuencia con que aparecen las diversas características medidas en los elementos en estudio; por ejemplo: el número de personas de sexo femenino y el de personas de sexo masculino o el número de niños con peso menor a 3 kilos y el número de niños con peso igual o mayor a dicha cifra. Como ejemplo de ésta etapa, el IFE hace su recuento de todos los votos de todas las casillas que se abrieron a través del país.

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3. Presentación En esta etapa del método estadístico se elaboran los cuadros y los gráficos que permiten una inspección precisa y rápida de los datos. La elaboración de cuadros, que también suelen llamarse tablas, tiene por propósito acomodar los datos de manera que se pueda efectuar una revisión numérica precisa de los mismos. La elaboración de gráficos tiene por propósito facilitar la inspección visual rápida de la información. Casi siempre a cada cuadro con datos le puede corresponder una gráfica pertinente que represente la misma información. Presentar la misma información tanto en un cuadro como en su correspondiente gráfico permite obtener una clara idea de la distribución de las frecuencias de las características estudiadas. En esta etapa, el IFE hace toda una presentación de sus resultados a través de su sitio oficial. Te recomiendo visitarlo: http://www.ife.org.mx/portal/site/ifev2/Estadisticas_y_Resultados_Electorales/ 4. Síntesis En esta etapa la información es resumida en forma de medidas que permiten expresar de manera sintética las principales propiedades numéricas de grandes series o agrupamientos de datos. La condensación de la información, en forma de medidas llamadas de resumen, tiene por propósito facilitar la comprensión global de las características fundamentales de los agrupamientos de datos. Tales medidas de resumen, al ser comunicadas, permiten a los interlocutores evocar de una misma manera la esencia de los datos; por ejemplo, cuando alguien inf orma que el promedio de calificaciones de un grupo de alumnos es 9.6, en una escala que va del O al 10, la imagen que se transmite es la de un grupo con buen aprovechamiento escolar; igualmente, cuando se dice que el porcentaje de defunciones con una cierta técnica quirúrgica es de 80%, las personas que escuchan se imaginan que se trata de un procedimiento peligroso. La información cualitativa, como el sexo, la ocupación o los tipos de enfermedades, requiere ser condensada a través de medidas de resumen diferentes a la que se usan para sintetizar la información cuantitativa o numérica como el peso, la talla o la concentración de glucosa. Entre las principales medidas de resumen para sintetizar a los datos cualitativos se encuentran las razones, las proporciones y las tasas. Entre las principales medidas para sintetizar los datos cuantitativos se encuentra la moda y la amplitud, la mediana y los percentiles y el promedio y la desviación estándar. Estas medidas las trabajaremos en la unidad 2. 5. Análisis En esta etapa, mediante fórmulas estadísticas apropiadas y el uso de tablas específicamente diseñadas, se efectúa la comparación de las medidas de resumen previamente calculadas; por ejemplo, si antes se han calculado los promedios de peso de

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dos grupos de personas sometidas a diferentes dietas, el análisis estadístico de los datos consiste en la comparación de ambos promedios con el propósito de decidir si parece haber diferencias significativas entre tales promedios. Existen procedimientos bien establecidos para la comparación de las medidas de resumen que se hayan calculado en la etapa de descripción. Tales procedimientos, conocidos como pruebas de análisis estadístico cuentan con sus fórmulas y procedimientos propios. Estos procedimientos los lleva a cabo la Estadística Inferencial la cual estudiaremos en la unidad 3. Cada prueba de análisis estadístico debe utilizarse siempre en función del tipo de diseño de investigación que se haya seleccionado para la comprobación de cada consecuencia verificable deducida a partir de la hipótesis general de investigación. Lo anterior se lleva a cabo a través de la Estadística Inferencial mediante un procedimiento llamado pruebas de hipótesis las cuales estudiarás en cursos posteriores. En los primeros párrafos se mencionó que el método estadístico es una secuencia ordenada de procedimientos para el manejo de los datos en las investigaciones. Luego de haber revisado las características y propósitos de las diversas etapas del método, parece quedar claro que tal secuencia guarda siempre el orden descrito. Es lógico efectuar el recuento de la información (2a. etapa, Recuento) solo hasta que previamente fue recogida (1a. etapa, Recolección o Medición). Antes de condensar la información en la etapa de síntesis (4a. etapa) siempre conviene haberla comprendido a través de la elaboración de cuadros y gráficos (3a. etapa Presentación). Desde luego es impensable efectuar análisis estadístico (5a. etapa, Análisis) para comparar medidas de resumen si antes estas no han sido calculadas (4a. etapa, Síntesis) Por lo anterior, puede considerarse a la estadística como una disciplina que posee su propio método. Tal disciplina emplea conocimientos de otras ciencias como la lógica y la matemática y por ello se dice que la estadística es una forma razonable de emplear el sentido común y la aritmética para el manejo de los datos en las investigaciones.

1.3 Distribución de frecuencias La capacidad humana para comprender al mismo tiempo grandes cantidades de datos es muy limitada, por eso es muy importante que los resultados numéricos de cualquier estudio se presenten en forma clara y concisa, de modo que rápidamente se pueda tener una idea de las características esenciales de los datos. Esto es particularmente necesario cuando se trata de un amplio conjunto de datos o una gran cantidad de los mismos, como frecuentemente ocurre en las encuestas o en los censos de población; la mayoría de los análisis estadísticos incluyen una gran cantidad de datos, los cuales sería casi imposible utilizar si no se les compactara mediante un sencillo procedimiento conocido como Distribución de Frecuencias. Las distribuciones de frecuencias son la forma más común de organizar un gran número de datos.

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Una distribución de frecuencias es una tabla que representa el número de elementos que pertenecen a cada una de las clases o categorías en las que se halla dividido el conjunto de datos para su estudio. La tabla está compuesta por los siguientes elementos:  



El número de clases o categorías en que se agruparán los datos. El intervalo o ancho de cada clase o categoría, delimitado por los valores mínimo y máximo aceptables en cada clase o categoría si se trata de datos cuantitativos. En el caso de datos cualitativos el número de clases queda definido por la naturaleza de los datos que se analiza y por el detalle que se desea de éstos. La frecuencia o número de elementos de cada clase.

Ejemplos de tablas de Distribución de Frecuencias +) La siguiente tabla de Distribución de Frecuencias nos proporciona las frecuencias de de peso, en kg, de 100 estudiantes distribuidos en diferentes clases. Cada clase abarca un intervalo de peso determinado por el límite inferior y límite superior. Por ejemplo, la clase A comprende los pesos entre 60 kg y 62 kg, la clase B comprende los pesos entre 63 kg y 65 kg, etcétera. Así entonces la tabla nos indica que de las 100 personas, 5 de ellas están en la clase A, 18 de ellas están en la clase B, etcétera. Clase A B C D E TOTAL

Límite Inferior 60 63 66 69 72

Límite superior 62 65 68 71 74

Frecuencia 5 18 42 27 8 100

+) La siguiente tabla de Distribución de Frecuencias nos indica que de 200 autos: 25 fueron de color rojo, 18 fueron de color Azul, 42 de color Negro y 15 de color Plata.

Clase Rojo Azul Negro Plata TOTAL

Frecuencia 25 18 42 15 200

Pero te preguntarás ¿Cómo obtenemos toda esta información? ¿Porqué 5 o 4 clases? ¿Cómo se determina el ancho de clase? ¿Cómo se determina el límite inferior y superior de cada clase? ¿De dónde y cómo se obtiene la Frecuencia? ¡No te preocupes que a continuación lo sabrás ¡

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Los pasos a seguir para la elaboración de una Distribución de Frecuencias son: A) B) C) D) E) F)

Recopilación de datos. Ordenamiento de los datos. Determinación del número de clases. Cálculo del intervalo o ancho de cada clase. Elaboración de intervalos. Obtención de frecuencias.

Ejemplo 1: En un centro comercial se les preguntó a 22 personas (muestra) su estatura. Los resultados fueron los siguientes: Datos Originales 1.82 1.43 1.51 1.47 1.69 1.88

m m m m m m

1.52 1.72 1.78 1.54 1.61 1.66

m m m m m m

1.70 1.81 1.58 1.48 1.53 1.73

m m m m m m

1.61 1.56 1.57 1.78

m m m m

Obtener la distribución de frecuencias de éstos datos.

A) Recopilación de datos Consiste en escribir los datos de la muestra que nos interesa conocer, sin importar el orden. 1.82 1.43 1.51 1.47 1.69 1.88

m m m m m m

1.52 1.72 1.78 1.54 1.61 1.66

m m m m m m

1.70 1.81 1.58 1.48 1.53 1.73

m m m m m m

1.61 1.56 1.57 1.78

m m m m

B) Ordenamiento de los datos Consiste en ordenar los datos en forma ascendente o descendente para facilitar el conteo de datos que correspondan a cada uno de los intervalos. Los ordenamos de forma ascendente.

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1.43 1.47 1.48 1.51 1.52 1.53

m m m m m m

1.54 1.56 1.57 1.58 1.61 1.61

m m m m m m

1.66 1.69 1.70 1.72 1.73 1.78

m m m m m m

1.78 1.81 1.82 1.88

m m m m

C) Determinación del número de clases Número de clases= Así, el número de clases=

. Redondeado tenemos 5 clases.

El número de clases en que se agrupan los datos se determina con cuando éste es menor de 200. Para muestras con 200 o más datos el número de clases se determina con

.

D) Cálculo del intervalo o ancho de cada clase Intervalo =

Por lo tanto el Intervalo =

El intervalo o ancho de clase se debe ajustar, esto se logra aumentando el ancho de clase calculado a la siguiente unidad de variación después del ancho de clase; es decir, si por ejemplo el ancho calculado de un grupo de datos cuya unidad de variación es 1 resulta 193.4, el ancho ajustado debe ser 194; si la unidad de variación de un grupo de datos es de 50 y el ancho calculado es de 220 entonces se debe ajustar a 250. En nuestro ejemplo la unidad de variación es de 0.01 m por lo tanto el intervalo o ancho de clase ajustado es de 0.10 m.

E)

Elaboración de intervalos

Cada intervalo de clase está formado por un límite inferior (LI) y un límite superior (LS). Estos límites se calculan de la siguiente forma

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En nuestro ejemplo tenemos que LI LI LI LI

de la clase B = LI de la clase A + 0.10 =1.43 + 0.10 = 1.53 de la clase C= LI de la clase B + 0.10 = 1.53 + 0.10 =1.63 de la clase D= LI de la clase C + 0.10 = 1.63 + 0.10 =1.73 de la clase E= LI de la clase D + 0.10 = 1.73 + 0.10 =1.83

LS de la clase A=LI de la clase A + 0.10 – 0.01 = 1.43 + 0.10 – 0.01 = 1.52 LS de la clase B=LI de la clase B + 0.10 – 0.01 = 1.53 + 0.10 – 0.01 = 1.62 LS de la clase C=LI de la clase C + 0.10 – 0.01 = 1.63 + 0.10 – 0.01 = 1.72 LS de la clase D=LI de la clase D + 0.10 – 0.01 = 1.73 + 0.10 – 0.01 = 1.82 LS de la clase E=LI de la clase E + 0.10 – 0.01 = 1.83 + 0.10 – 0.01 = 1.92 Quedando los intervalos de cada clase

Clase A B C D E F)

Límite Inferior 1.43 1.53 1.63 1.73 1.83

Límite superior 1.52 1.62 1.72 1.82 1.92

Obtención de Frecuencias

La frecuencia de cada clase se obtiene contando, en la tabla de datos ordenados, el número de elementos incluidos o que están dentro de cada clase. Así obtenemos Clase A B C D E TOTAL

Límite Inferior 1.43 1.53 1.63 1.73 1.83

Límite superior 1.52 1.62 1.72 1.82 1.92

Frecuencia ///// /////// //// ///// /

5 7 4 5 1 22

Ejemplo 2: En un estadio de Futbol, durante el juego por el campeonato, se tomó una muestra de 35 personas a las cuales se les preguntó ¿cuánto pagó por sus boletos? Los resultados fueron los siguientes:

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Datos Originales 800 1350 450 1500 700 850

1050 700 1000 550 1100 1300

700 800 1400 1550 1000 750

600 950 1000 800 650 850

1350 1250 1150 1600 1350 750

600 650 850 900 950

Obtener la distribución de frecuencia.

A) Recopilación de datos 800 1350 450 1500 700 850

1050 700 1000 550 1100 1300

700 800 1400 1550 1000 750

600 950 1000 800 650 850

1350 1250 1150 1600 1350 750

600 650 850 900 950

950 950 1000 1000 1000 1050

1100 1150 1250 1300 1350 1350

1350 1400 1500 1550 1600

B) Ordenamiento de los datos Los ordenamos de forma ascendente. 450 550 600 600 650 650

700 700 700 750 750 800

800 800 850 850 850 900

C) Determinación del número de clases Número de clases= Lo redondeamos a 6 clases.

D) Cálculo del intervalo o ancho de cada clase Intervalo =

16

La unidad de variación en este ejemplo es de 50, por lo tanto el intervalo o ancho de clase se ajusta a 200.

E)

Elaboración de intervalos

Recordemos que cada intervalo de clase está formado por un límite inferior (LI) y un límite superior (LS) y que se calculan de la siguiente forma

En nuestro ejemplo tenemos que LI de la clase B = LI de la clase A + 200 = 450 + 200 = 650 LI de la clase C= LI de la clase B + 200 = 650 + 200 = 850 LI de la clase D= LI de la clase C + 200 = 850 + 200 = 1050 LI de la clase E= LI de la clase D + 200 = 1050 + 200 = 1250 LI de la clase F= LI de la clase F + 200 = 1250 + 200 = 1450 LS de la clase A=LI de la clase A + 200 – 50 = 450 + 200 – 50 = 600 LS de la clase B=LI de la clase B + 200 – 50 = 650 + 200 – 50 = 800 LS de la clase C=LI de la clase C + 200 – 50 = 850 + 200 – 50 = 1000 LS de la clase D=LI de la clase D + 200 – 50 = 1050 + 200 – 50 = 1200 LS de la clase E=LI de la clase E + 200 – 50 = 1250 + 200 – 50 = 1400 LS de la clase F=LI de la clase F + 200 – 50 = 1450 + 200 – 50 = 1600 Quedando los intervalos de cada clase

Clase A B C D E F

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

G) Obtención de Frecuencias La frecuencia de cada clase se obtiene contando, en la tabla de datos ordenados, el número de elementos incluidos o que están dentro de cada clase. Así obtenemos

17

Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

Frecuencia //// ///////// ///////// /// ////// ///

4 10 9 3 6 3 35

Ejemplo 3: En una tienda departamental se toma una muestra de 15 personas a las cuales se les pregunta sobre su preferencia por el sabor de un refresco. Los resultados obtenidos son los siguientes Toronja Tamarindo Cola

Cola Cola Manzana

Manzana Cola Toronja

Limón Manzana

Naranja Manzana

Toronja Cola

B) Ordenamiento de los datos Los ordenamos alfabéticamente de manera ascendente.

Cola Cola Cola

Cola Cola Limón

Manzana Manzana Manzana

Manzana Naranja Tamarindo

Toronja Toronja Toronja

C) Determinación del número de clases Como los datos son cualitativos, el número de clases está determinado por la naturaleza de los mismos datos, es decir: Cola, Limón, Manzana, Naranja, Tamarindo y Toronja. F)

Obtención de Frecuencias Clase Cola Limón Manzana Naranja Tamarindo

Frecuencia 5 1 4 1 1

18

Toronja TOTAL

3 15

1.3.1 Frecuencias Relativas La Frecuencia relativa de una clase es la proporción de la frecuencia de esa clase respecto al total de frecuencias de la tabla. Para poder calcularla utilizamos FR Esta FR se puede representar en porcentaje, sólo se multiplica cada FR por 100. Ejemplo 1: Clase A B C D E TOTAL

Límite Inferior 1.43 1.53 1.63 1.73 1.83

Límite superior 1.52 1.62 1.72 1.82 1.92

Frecuencia

FR

5 7 4 5 1 22

5/22=0.227 7/22=0.318 4/22=0.18 5/22=0.227 1/22=0.045

FR (%) 22.8 31.9 18.0 22.8 4.5 100

Ejemplo 2: Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

Frecuencia

FR

4 10 9 3 6 3 35

4/35=0.1142 10/35=0.2858 9/35=0.2571 3/35=0.0857 6/35=0.1715 3/35=0.0857

FR (%) 11.42 28.58 25.71 8.57 17.15 8.57

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

19

1.4 Presentaciones gráficas “Una gráfica vale más que mil palabras”, dice el refrán. Esto es particularmente cierto en el caso de los análisis estadísticos, donde los datos al natural e incluso tabulados pueden ser abrumadores, difíciles de comprender. Las gráficas tienen por objeto representar las características esenciales de los resultados obtenidos en la tabulación, en particular en una distribución de frecuencias. Las gráficas que usaremos básicamente son los Histogramas, para datos cuantitativos, y Gráficas de Sectores o Pastel, para datos cualitativos. 1.4.1

Histogramas

Un histograma es una gráfica de barras que representa, a escala, el número de elementos que comprende cada una de las clases de una distribución de frecuencias. En este tipo de gráficas se colocan los intervalos de clase en el eje horizontal y en el vertical el valor de la frecuencia correspondiente; la altura de las barras del histograma está dada por la frecuencia de la clase. Por ejemplo, para la distribución de frecuencias del ejemplo 2 de la sección 1.3 Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

Frecuencia //// ///////// ///////// /// ////// ///

4 10 9 3 6 3 35

Su histograma está dado por

En ésta gráfica podemos observar rápidamente que el precio de los boletos en su mayoría estuvieron dentro del intervalo B de $650 a $800, seguido del precio dentro del intervalo C

20

de $850 a $1000; al mismo tiempo podemos observar que el rango de precios entre $1050 -$1200 y $1450 - $1600, intervalos D y F respectivamente, fue el menos frecuente. Pero, ¿cómo construimos un Histograma? En la actualidad, y gracias a la tecnología, contamos con diferente software que nos permiten hacer gráficas rápidamente, en particular Excel 5. Con Excel podemos realizar nuestro histograma de una forma muy rápida, sencilla y práctica. Para poder realizarlo llevaremos a cabo el procedimiento siguiente: 1.- Copia la tabla de distribución de frecuencias en una hoja de Excel. Deja sólo la columna de frecuencias numéricas.

2.- Seleccionar las columnas de “Clase” y “Frecuencias”; para lograrlo primero seleccionas la columna clase, después oprimes la tecla “CTRL” y sin soltarla seleccionas la columna de frecuencias. Con lo anterior lo que consigues es una selección múltiple de celdas en Excel.

5

Existen algunos otros programas para hacer gráficas como los programas equivalentes en Ubuntu (Linux) con open office o los estudiantes que usan Mac. La versión que se utilizó para los ejemplos en este apartado es Microsoft Excel 2007.

21

3.- Del menĂş, escoges las opciones: Insertar, Columna, Columna en 2-D, el primer subtipo de grĂĄfica.

Una vez hecho lo anterior, debes obtener algo similar a lo siguiente

22

4.- Sobre cualquier barra de los datos debes colocar el puntero del ratón y darle botón derecho para desplegar el menú secundario, con lo anterior podrás modificar algunas características del gráfico.

Del menú que surge escoges la última opción “Dar formato a serie de datos” y aparece una ventana con varias opciones. La que nos interesa en particular es “Ancho del

23

intervalo” en la cual debes mover el medidor “Sin intervalo” hacia la izquierda; te debe quedar esta pantalla

Con lo anterior obtenemos lo siguiente

5.- Una vez más colocas el apuntador del ratón en cualquiera de las barras de los datos y aprietas el botón derecho para desplegar nuevamente el menú alterno donde una vez

24

más elijes “Dar formato a serie de datos” y ahora escoges la opción “Color del borde”, donde seleccionas las opciones Línea sólida y color negro

Obteniendo

25

6.- Seleccionas la leyenda “Frecuencia” que se encuentra a la derecha de la gráfica y la borras con la tecla suprimir (“supr”).

7.- Seleccionas el título Frecuencia y le das nuevamente “click” con el apuntador del ratón para editarlo y cambiarlo por “Frecuencia del precio del boleto por clase o intervalo”.

26

Finalmente con los pasos anteriores has logrado construir un Histograma.

La importancia de un histograma estriba en que al permitir organizar y presentar los datos gráficamente se puede prestar atención a determinadas características importantes de los datos. Es decir, un histograma puede a menudo indicar: 1. La simetría de los datos.

En este caso los datos se encuentran distribuidos uniformemente alrededor del valor con mayor frecuencia, es decir, 50% a la izquierda y 50% a la derecha con respecto a la frecuencia más alta. Se dice entonces que los datos están distribuidos normalmente. 2. La dispersión de éstos.

En este caso los datos se encuentran distribuidos dentro de todas las clases sin presentar alguna concentración en particular.

27

3. Si existen intervalos que tienen un alto nivel de concentraciรณn de datos.

En este caso los datos se encuentran concentrados en particular sobre alguna clase. 4. Si los datos estรกn sesgados a la derecha

5. Si los datos estรกn sesgados a la izquierda.

28

1.4.2

Gráficas de Sección o Pastel

Las gráficas de sección o pastel se usan como un recurso estadístico para representar porcentajes y/o proporciones. Son gráficas circulares divididas en secciones o “rebanadas” que suman el 100%; cada sección o rebanada está dada por la frecuencia relativa (%) y se utilizan particularmente para datos cualitativos. Si tomamos la distribución de frecuencias del ejemplo 3 de la sección 1.3 y calculamos su frecuencia relativa. Clase

Frecuencia

Cola Limón Manzana Naranja Tamarindo Toronja TOTAL

5 1 4 1 1 3 15

FR (%) 33.33 6.67 26.66 6.67 6.67 20

la gráfica de sección o pastel está dada por

Imagen 11. Gráfica de sección o pastel

Pero, ¿cómo elaboramos una gráfica de sección o pastel? Nuevamente utilizando Excel y el procedimiento siguiente:

29

1. Copia la tabla de distribución de frecuencias en una hoja de Excel.

2. Selecciona las columnas de “Clase” y “Frecuencias”. Ten mucho cuidado de no seleccionar el último renglón de la tabla.

30

3.- Del menú, escoges las opciones: Insertar, Circular, Gráfico 2D, el primer subtipo de gráfica.

Una vez hecho lo anterior, debes obtener algo similar a lo siguiente

31

4.- Sobre cualquier sección o rebanada debes colocar el puntero del ratón y darle botón derecho para desplegar el menú secundario, con lo anterior podrás modificar algunas características del gráfico. Debes escoger la opción “Agregar etiquetas de datos”

y al hacerlo te queda

32

Tienes que volver a darle con botón derecho del apuntador del ratón sobre cualquier sector o rebanada para escoger ahora la opción “Formato de etiquetas de datos”

Con lo anterior te queda

33

y quitas la opción “Valor” y seleccionas la opción “Porcentaje”

Para que la gráfica quede con los porcentajes respectivos

34

5.- Finalmente hay que cambiar el titulo de la gráfica por “Sabor de refresco”. Para cambiarlo debes editarlo y para editarlo tienes que darle “click” con el puntero del ratón, esperar unos segundos y volver hacerlo. Una vez editado lo debes cambiar.

(Se realiza en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

35

ConclusiĂłn Haz finalizado tu primera unidad del curso de EstadĂ­stica y Probabilidad, en el cual vimos

36

Referencias De contenido Libros     

Castillo, J. (1998). Estadística Básica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Freund, J. (1994). Estadística Elemental. México: Pearson Prentice Hall. Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté. Triola, M. (2009). Estadística. México: Pearson Prentice Hall. Zavala Aguilar, R. (2011). Estadística Básica. México: Trillas.

De consulta Sitios de internet Te sugiero revisar las siguientes ligas electrónicas para reforzar los temas aprendidos en esta unidad como los conceptos básicos, construcción de tablas de distribución de frecuencias, histogramas y gráficas de pastel.   

Mancilla, H. (sf). Estadística Descriptiva e Inferencial I. Colegio de Bachilleres. http://www.conevyt.org.mx/bachillerato/material_bachilleres/cb6/5sempdf/edin1/e din1_f1.pdf UNAM. (2012). Estadística y Probabilidad. http://www.recursoseducativos.unam.mx/eduCommons/search?Subject%3Alist=E stad%C3%ADstica%20y%20Probabilidad UNAM. (2012). Portal académico. Colegio de Ciencias y Humanidades. UNAM. http://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/sitiosdeinteres/matematicas/estadisti ca1

De imágenes 1. John Graunt Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/galeria-est/4531241325/ 2. Jacob Benoulli Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/9892313@N04/3580196007/ 3. Karl Pearson Recuperado de: http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/philosophy_and_history_of_science/phs-

37

archives/Images/pearson.p.jpg 4. Población y muestra Recuperado de: http://www.eyeintheskygroup.com/Azar-Ciencia/Analisis-Estadistico-Juegos-deAzar/Estadistica-Descriptiva-Poblacion-yMuestra_archivos/Poblaci%F3n%20y%20Muestra%20Estad%EDstica.jpg 5. Frecuencia del precio del boleto por clase o intervalo Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 6. Simetría de los datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 7. Dispersión de los datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 8. Concentración de datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 9. Datos sesgados a la derecha Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 10. Datos sesgados a la izquierda Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 11. Gráfica de sección o pastel Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech

38

Unidad 1

Distribuciรณn de frecuencias

NOMBRE:

TUTOR:

FECHA:

Situación: La Secretaria de Salud decidió hacer un estudio sobre la edad a la que las personas de la Ciudad de México contraían cierta enfermedad. Se tomó una muestra de 100 personas y se les preguntó la edad en la contrajeron la enfermedad. Instrucciones 

Solicita los 100 datos recolectados a tu Tutor Docente y escríbelos a continuación. Dato Edad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



Dato Edad 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Dato Edad 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Dato Edad 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Basándote en los datos recolectados realiza lo que se te solicita.

Dato Edad 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1. Ordena los datos de manera ascendente y escrĂ­belos en cada fila de la siguiente tabla. Comienza en la parte superior izquierda: Menor edad

Mayor edad

2. Determina el nĂşmero de clases utilizando la siguiente fĂłrmula:

Donde:

đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘ = √đ?‘› đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘

3. Calcula el intervalo o ancho de cada clase. Sustituye en la siguiente fĂłrmula: đ?‘–=

Donde:

đ??ťâˆ’đ??ż đ?‘˜

đ?‘– = đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ??ť = đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘œđ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ??ż = đ?‘€đ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘œđ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘˜ = đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘

4. Elabora los intervalos y escrĂ­belos en la siguiente tabla. 5. Realiza el conteo de las frecuencias absolutas y escrĂ­belas en la siguiente tabla, en este caso la sumatoria serĂĄ igual a 100. 6. Calcula las frecuencias relativas y escrĂ­belas en la siguiente tabla, recuerda que la sumatoria debe ser igual a 1. Intervalos

Frecuencia Absoluta

Frecuencia relativa

Totales

100

1

7. Utiliza Excel para realizar el histograma de frecuencias absolutas y pégalo en el siguiente espacio. En el eje “x” deben mostrarse los intervalos y en el eje “y” las frecuencias absolutas. La altura de cada columna debe corresponder a la frecuencia absoluta del intervalo que representa.

8. Para finalizar la actividad, haz una breve conclusión del comportamiento de los datos con base en el histograma.

Unidad 2. Estadística Descriptiva Introducción En la unidad anterior pudimos ver que tanto las tablas como las gráficas, pueden ser muy útiles para representar y comprender información numérica. Existen, sin embargo, circunstancias en las que ni las tablas ni las gráficas nos dan información suficiente para tomar decisiones. En estos casos debemos procesar nuestros datos o información de diversas maneras para obtener medidas de la misma. A estas medidas se les llama “parámetros” si trabajamos con toda la población y “Estadístico” si trabajamos con una muestra. La Estadística descriptiva se enfoca a la tarea de la presentación de la información o datos, de organizarlos y resumirlos, por lo general con ayuda de cuadros, gráficas o medidas numéricas de resumen. Este tipo de presentación, a diferencia de grandes cantidades de datos sin elaborar, logra que la información sea comprensible y muchas veces pone al descubierto ciertas características que de otra forma quedarían ocultas. Una vez que los datos han sido obtenidos y organizados, estamos listos para hacer un análisis descriptivo; en esta unidad mostraremos diferentes técnicas para resumir y describir los datos. Al inicio mostraremos la forma en que los datos obtenidos pueden resumirse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos se distribuyen. Por esta razón, a menudo se le llama a un valor central una Medida de tendencia central. Existen muchos tipos de valores centrales pero las utilizadas con más frecuencia son la Media aritmética, la Mediana y la Moda. Posteriormente, resultará muy importante describir la forma en que los datos o información están dispersos, a cada lado del centro; por eso mostraremos cómo calcular las llamadas Medidas de dispersión y cómo aplicarlas. Las más usadas son la Varianza y la Desviación estándar.

Propósito Al término de la unidad serás competente para aplicar estadística descriptiva, mediante la determinación de las medidas de tendencia central y medidas de dispersión así como el análisis exploratorio de datos. Lo que te permitirá analizar un problema físico o social a partir de tus resultados.

2.1 Medidas de Tendencia Central Al trabajar con histogramas, vimos que la distribución de los datos puede adoptar varias formas. En algunas distribuciones los datos tienden a agruparse más en una parte de la distribución que en otra. Comenzaremos a analizar las distribuciones con el objeto de obtener medidas descriptivas (parámetros o estadísticos), que nos ayuden en el análisis

1

de las características de los datos. Las Medidas de Tendencia central son las medidas descriptivas o indicadores que muestran hacia qué valor (o valores) se agrupan los datos. Las Medidas de Tendencia Central se pueden calcular para datos agrupados (en una tabla de distribución de frecuencias) y para datos no agrupados. Las Medidas de Tendencia Central que se trabajarán en esta unidad son: La media aritmética, la moda y la mediana.

1.1.1

Media aritmética

Podemos definir a la media aritmética, de una manera muy sencilla, como el promedio de los datos.  

Una muestra con n datos, tiene una media que se llama estadístico. Una población con N datos tiene una media que se llama parámetro.

Para datos no agrupados calculamos la media usando las siguientes fórmulas

Es importante mencionar que el símbolo es la letra griega sigma que en Matemáticas es un operador llamado sumatoria, el cual representa la suma de varios sumando. Así por ejemplo si tenemos

2

Ejemplo para datos no agrupados +) En una escuela se obtuvo una muestra de 9 alumnos de 2° año de bachillerato y se le preguntó sobre su calificación en el examen de Inglés. Las calificaciones fueron las siguientes: 7, 6, 7, 8, 9, 8, 9, 9 y 6. ¿Cuál es la media o promedio de las calificaciones? Como se trata de una muestra, la media la calculamos de la siguiente forma:

+) El profesor de Educación Física quiere saber el promedio de los saltos de longitud de los alumnos de su grupo, de 20 alumnos, en la pasada competencia. Los saltos registrados fueron: 0.20 m, 0.50 m, 0.25 m, 0.60 m, 0.30 m, 0.50 m, 0.25 m, 0.65 m, 0.20 m, 0.55 m, 0.25 m, 0.55 m, 0.20 m, 0.50 m, 0.25 m, 0.60 m, 0.15 m, 0.45 m, 0.25 m, 0.75 m. Como estamos tomando al total de los alumnos del grupo, la población, usamos para calcular el promedio o media aritmética la fórmula

Por lo tanto el promedio de los saltos de longitud de sus alumnos es de 0.3975 m

Para datos agrupados, en una tabla de distribución de frecuencias, calculamos la media usando la fórmula

Donde Nc= Número de clases Mci=Marca de clase de la clase i (la marca de clase de la clase i se calcula obteniendo el promedio entre el Límite Inferior y el Límite superior de la clase i). Fi =Frecuencia de la clase i

3

Ejemplo para datos agrupados +) En un estadio de Futbol, durante el juego por el campeonato, se tomó una muestra de 35 personas a las cuales se les preguntó ¿cuánto pagó por sus boletos?, la tabla de distribución de frecuencias que se obtuvo fue la siguiente Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

En base a la tabla anterior, se desea saber ¿cuál es la media o promedio del precio del boleto? PASO 1. Calculamos la Marca de clase de cada clase.

Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

MC 525 725 925 1125 1325 1525

PASO 2. Multiplicamos la MC por su F para cada clase y al final obtenemos su total. Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f

MC

MC f

4 10 9 3 6 3 35

525 725 925 1125 1325 1525

2100 7250 8325 3375 7950 4575 33575

PASO 3. Obtenemos su promedio o media; en este caso como los datos provienen de una muestra usamos la fórmula

4

Así el promedio del precio del boleto es de $959.28.

Ventajas de la media • Es la medida de tendencia central más usada. • El promedio es estable en el muestreo. • Es sensible a cualquier cambio en los datos (puede ser usado como un detector de variaciones en los datos). • Se emplea a menudo en cálculos estadísticos posteriores. • Presenta rigor matemático. Desventajas de la media • Es sensible a los valores extremos, es decir, si tenemos por ejemplo los datos 8, 7, 8, 7, 8, 7 su media es 7.5 la cual tiene sentido por el comportamiento y naturaleza de los datos; sin embargo si en estos datos hacemos cambios extremos sustituyendo dos de ellos por 0 y 10, por ejemplo 8, 7, 0, 10, 8, 7 su media es 6.66 la cual no es representativa y no tiene sentido ya que la mayoría de los datos está entre 8 y 7. • No es recomendable emplearla en distribuciones muy asimétricas.

2.1.2

Mediana

La mediana, representada por Me y la podemos definir como el valor que divide al conjunto ordenado de datos, en dos partes con la misma cantidad de elementos. La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad son mayores. Para datos no agrupados (número de datos impar) Si el número de datos (n) es impar entonces la fórmula que nos da la posición del dato que será la mediana está dada por

Ejemplo: Encontrar la mediana para los datos:

4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 5, 3 PASO 1. Ordenamos los datos de forma ascendente 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5

5

PASO 2. Calculamos la posición del valor que divide en dos parte iguales el número de datos. El número de datos es 11.

Entonces el dato que se encuentra en la posición 6 es la mediana 1 1 2 2 2

3

3 4 4 5 5

Así la mediana Me=3. Esto quiere decir que éste valor parte a los datos en el 50% por debajo de él y 50% por arriba de él. Para datos no agrupados (número de datos par) Si el número de datos (n) es par, la mediana está dada por el promedio de los datos que . se encuentran en las posiciones

Ejemplo: Encontrar la mediana para los datos:

4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 5 PASO 1. Ordenamos los datos de forma ascendente 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5 de los valores que se usaran para el

PASO 2. Determinamos las posiciones cálculo de la mediana, n=10.

Los datos que tienen las posiciones 5 y 6 son 1 1 2 2

2 3

4 4 5 5

Entonces la Me =

Para datos agrupados Si los datos están agrupados en una tabla de distribución de frecuencias utilizamos la fórmula

6

Donde Me= mediana Lm=Límite inferior de la clase mediana (la clase mediana es la clase que contiene a la mediana). n = Número de datos. Fi-1= Frecuencia acumulada de la clase anterior al intervalo de la clase mediana. fi= Frecuencia de la clase mediana. h=amplitud del intervalo de clase. Ejemplo: +) En un estadio de Futbol, durante el juego por el campeonato, se tomó una muestra de 35 personas a las cuales se les preguntó ¿cuánto pagó por sus boletos?, la tabla de distribución de frecuencias que se obtuvo fue la siguiente Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

En base a la tabla anterior, se desea saber ¿cuál es la mediana del precio del boleto? PASO 1. Calculamos la columna con las frecuencias acumuladas. Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

F 4 4+10 =14 14 + 9 =23 23 + 3 =26 26 + 6 =32 32 + 3 =35

PASO 2. Determinamos la clase media. Es la clase que contiene a la mediana. Para y en las frecuencias acumuladas buscamos la encontrarla calculamos que contenga este valor, la frecuencia acumulada que contiene este valor de 18 es 23 la cual pertenece a la clase C. La clase media es la clase C.

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Clase Límite Inferior A 450 B 650 C 850 D 1050 E 1250 F 1450 TOTAL PASO 3. Para terminar, calculamos

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35 la mediana usando la fórmula.

F 4 4+10 =14 14 + 9 =23 23 + 3 =26 26 + 6 =32 32 + 3 =35

Ventajas de la mediana • •

Es estable a los valores extremos. Es recomendable para distribuciones muy asimétricas.

Desventajas de la mediana • • •

2.1.3

No presenta todo el rigor matemático Se emplea solo en variables cuantitativas. Si hay un gran número de datos, el tener que ordenarlos para hallar la mediana implica esfuerzo y tiempo.

Moda

La moda se representa por Mo y es el valor que más se repite en un conjunto de datos. Para datos no agrupados.

Ejemplo: +) Los siguientes datos son los resultados de haber preguntado a 30 personas sobre la marca de refresco que más consume en la semana: Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3

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PASO 1. Calcular la frecuencia de cada marca en los datos. Marca 1 se repite 15 veces. Marca 2 se repite 6 veces. Marca 3 se repite 9 veces. PASO 2. Para terminar, encontramos la moda. La moda Mo=Marca 1. Por lo tanto el valor que más se repite es la Marca 1. Puede ocurrir que para un conjunto de datos, dos de ellos sean los que más se repiten. En este caso se dice que los datos tienen dos modas. Por ejemplo, para los datos 2,3,4,4,4,5,6,7,7,7,9,10 los valores 4 y 7 tienen la mayor frecuencia, se repiten 3 veces; por lo tanto las modas son Mo=4 y Mo=7. Se dice entonces que los datos tienen una distribución Bimodal. Para datos agrupados. Si los datos se encuentran agrupados en una tabla de distribución de frecuencias utilizamos la fórmula

Donde Mo = Moda LMo = Límite inferior de la clase modal. La clase modal es el intervalo de clase que tenga la mayor frecuencia. d1= Es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior a ella, es decir, d1=fi – fi-1 d2= Es la frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior a ella, es decir, d2=fi – fi+1 h= amplitud del intervalo de clase.

Ejemplo: +) En un estadio de Futbol, durante el juego por el campeonato, se tomó una muestra de 35 personas a las cuales se les preguntó ¿cuánto pagó por sus boletos?, la tabla de distribución de frecuencias que se obtuvo fue la siguiente Clase A B C

Límite Inferior 450 650 850

Límite superior 600 800 1000

9

f 4 10 9

D E F TOTAL

1050 1250 1450

1200 1400 1600

3 6 3 35

Con base a la tabla anterior, se desea saber ¿cuál es la moda del precio del boleto? PASO 1. Encontramos la clase modal. La clase que tiene la mayor frecuencia es la B, entonces la clase modal es B.

Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

PASO 2. Usamos la fórmula para encontrar la moda.

La Moda es 778.57 Ventajas de la moda • •

Es estable a los valores extremos, es decir, no se ve afectada por los valores extremos. Es recomendable para el tratamiento de variables cualitativas.

Desventajas de la moda • • • •

Puede que no se presente. Cuando todas las frecuencias de un conjunto de datos tienen la misma frecuencia se dice que no tiene moda. Puede existir más de una moda. En distribuciones muy asimétricas suele ser un dato muy poco representativo. Carece de rigor matemático.

Pero, ¿Cuál es la mejor medida de Tendencia Central?

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2.1.4

Comparación entre las medidas de tendencia central

Las ventajas y limitaciones de usar la media, la moda y la mediana para describir un conjunto de datos dependen estrictamente de la forma (tipo) de la distribución de datos. Siempre que se pueda usar, en general se prefiere la media para describir la tendencia central, aunque algunas distribuciones se describen mejor por medio de la moda y la mediana. Si los datos se encuentran distribuidos simétricamente (distribuidos normalmente) entonces las medias de tendencia central coinciden En una distribución normal, la media, moda y mediana tienen un valor idéntico

Esto en realidad es evidente, dado que una distribución normal es perfectamente simétrica, y la curva tiene un sólo punto máximo (moda) que también se encuentra en el centro. Así, la media debe ser nuestra medida preferida de tendencia central para los conjuntos de datos que se distribuyen normalmente, puesto que es más fácil de calcular y de usar en forma matemática. Cuando se describen distribuciones asimétricas positivas (a la izquierda) o negativas (a la derecha), la media no es la mejor medida de tendencia central disponible. Mientras mayor sea la asimetría o sesgo de los datos, mayor utilidad tendrá la mediana (y más engañosa será la media), porque la mediana estará más cerca del ‘valor promedio’ real de las observaciones. Por ejemplo, en el caso de una distribución asimétrica positiva, la media se encuentra ‘inflada’ por la minoría de las observaciones que tienen un valor mayor. Esto sucede, por ejemplo, con el ingreso per cápita, puesto que las distribuciones del ingreso son asimétricas positivas.

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Observa que cuando la distribución es asimétrica ‘positiva’, (es decir, el extremo más largo de la distribución apunta hacia su derecha), la moda está a la izquierda de la mediana, y a su vez, la mediana está a la izquierda del promedio. Sucede lo contrario cuando la distribución es asimétrica negativa. Esto nos lleva a una consideración final: si una distribución es asimétrica, es decir, notoriamente sesgada, la mediana será mejor que la media (promedio) para describir la tendencia central de la distribución de los datos. Observa las figuras anteriores. Nota que en todas las distribuciones asimétricas, la mediana efectivamente se acerca más que la media al valor ‘promedio o ‘normal’ de las observaciones o, en otras palabras, refleja mejor la existencia de un sesgo en los datos.

(Se realiza en plataforma)

2.2 Medidas de Dispersión Anteriormente vimos las medidas de tendencia central, las cuales empleamos para encontrar el centro de un conjunto de datos y no sólo basta con determinar las medidas de tendencia central para comprender el comportamiento de un conjunto de datos. Con mucha frecuencia, es igualmente importante describir la forma en que los datos están dispersos o diseminados a cada lado del centro, es decir, conocer qué tan alejados están esos datos respecto a ese punto de concentración. A esto se le conoce como dispersión, variación o variabilidad. Las medidas de dispersión son indicadores que nos muestra la distancia promedio de los datos respecto a las medidas de tendencia central. Son muy útiles porque nos proporcionan información adicional que nos permite juzgar la confiabilidad de nuestra medida de tendencia central; si los datos están muy dispersos la posición central es menos representativa de los datos, como un todo, que cuando estos se agrupan más estrechamente alrededor de la media; como existen problemas característicos de

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distribuciones muy dispersas, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar los problemas y también nos permiten comparar varias muestras con promedios parecidos. Por ejemplo, para los siguientes datos Calificación 2 3 4 5 6 7 8 9 10 de la prueba Hombres 2 4 7 6 1 (n=20) Mujeres 1 1 2 3 6 3 2 1 1 (n=20) La calificación promedio (media), para hombres y mujeres, es de 6 pero las dispersiones de los datos para los hombres y mujeres son distintas.

2.2.1 Varianza y Desviación Estándar Las descripciones más comprensibles de la dispersión de los datos son aquellas que tratan con la desviación promedio con respecto a alguna medida de tendencia central. La varianza y desviación estándar nos dan una distancia promedio con respecto a la media de la distribución. Podemos definir a la varianza como el promedio del cuadrado de las distancias de los datos a su media. Si la varianza de un conjunto de datos es grande, se dice que los datos tienen mayor dispersión o variabilidad que un conjunto de datos que tenga una varianza pequeña.  

Una muestra con n datos, tiene una varianza s 2. Una población con N datos tiene una varianza .

La desviación estándar se puede definir como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

13

 

Una muestra con n datos, tiene una desviación estándar s. Una población con N datos tiene una desviación estándar

.

Para muchos fines prácticos es una medida de la variabilidad más útil que la varianza debido a que la desviación estándar se expresa en las mismas unidades que las de los datos recogidos. La varianza se expresa en unidades elevadas al cuadrado. Así p or ejemplo si los datos que se usen están en cm, la media y la desviación estándar estarán en cm. En cambio la varianza estará en cm2. La desviación estándar la podemos interpretar como “en promedio los valores se alejan de la media en …. unidades”. Para datos no agrupados calculamos la varianza y la desviación estándar usando las siguientes fórmulas

En realidad el cálculo de la desviación estándar, una vez que tenemos la varianza, es muy sencillo porque simplemente sacamos la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo: +) Los siguientes datos representan una muestra de la cantidad de pedidos diarios entregados: 17, 25, 28, 27, 16, 21, 20, 22, 18 y 23. Calcular su varianza y desviación estándar.

Para facilitar el cálculo, hacemos una tabla con todos los elementos involucrados en la fórmula para el cálculo de la varianza

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Dato (x)

Media ( )

16 17 18 20 21 22 23 25 27 28 217

21.7 21.7 21.7 21.7 21.7 21.7 21.7 21.7 21.7 21.7

(x- )2 32.49 22.09 13.69 2.89 0.49 0.09 1.69 10.89 28.09 39.69 152.1

x-5.7 -4.7 -3.7 -1.7 -0.7 0.3 1.3 3.3 5.3 6.3

Entonces 16.9 y = 4.11 Lo que significa que en promedio, la cantidad de pedidos se separa de la media (promedio) en 4.11 pedidos. Para datos agrupados calculamos la varianza y la desviación estándar, para la población o una muestra, usando las siguientes fórmulas:

Es importante recordar que MCci es la marca de clase para la clase i y Nc el número de clases.

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Ejemplo: +) En un estadio de Futbol, durante el juego por el campeonato, se tomó una muestra de 35 personas a las cuales se les preguntó ¿cuánto pagó por sus boletos?, la tabla de distribución de frecuencias que se obtuvo fue la siguiente Clase A B C D E F TOTAL

Límite Inferior 450 650 850 1050 1250 1450

Límite superior 600 800 1000 1200 1400 1600

f 4 10 9 3 6 3 35

En base a la tabla anterior, se desea saber ¿cuál es la varianza y la desviación estándar para el precio del boleto? PASO 1. Calculamos la media para los datos de la tabla de distribución de frecuencias.

PASO 2. Calculamos los componentes de la fórmula para la varianza usando la tabla de distribución de frecuencias de los datos (MC- )2

(MC- )2 f

959.28

188599.118

754396.474

725

959.28

54887.1184

548871.184

9

925

959.28

1175.1184

10576.0656

1200

3

1125

959.28

27463.1184

82389.3552

1250

1400

6

1325

959.28

133751.118

802506.71

F 1450 TOTAL

1600

3 35

1525

959.28

320039.118

960117.355 3158857.14

Clase

Límite f superior 600 4

MC

A

Límite Inferior 450

525

B

650

800

10

C

850

1000

D

1050

E

PASO 3. Calculamos la varianza y la desviación estándar usando las fórmulas.

, Finalmente, lo que nos indica es que en promedio el precio del boleto se separa de la media en $304.80

16

2.2.2

Aplicación de la desviación estándar

La desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de precisión, dónde están localizados los datos de una distribución de frecuencias en relación a la media. Una herramienta usada para esto es el Teorema de Chebyshev1.

El teorema nos dice que para cualquier distribución de datos (simétricos o asimétricos) de una muestra o una población el intervalo cuyo centro es la media de la colección de datos, cuyo punto extremo izquierdo es la media menos k desviaciones estándar y cuyo punto extremo derecho es la media más k desviaciones estándar, contiene por lo menos (1-1/k2) x 100 % del total de los datos, siendo k mayor o igual a uno. Lo anterior significa que si y (o bien y ) son la media y la desviación estándar de una colección de datos y si k 1 entonces el intervalo o bien contiene como mínimo al (1-1/k2) x 100 % del total de datos. Es decir  

Si k=2 el intervalo o (1-1/4)*100% = 75% de los datos. Si k=3 el intervalo o (1-1/9)*100% = 88.88% de los datos.

contiene como mínimo al contiene como mínimo al

Así por ejemplo, vamos a suponer que tenemos que una muestra de datos arroja una =3.96 y una =2.18 entonces los intervalos para k=2 y k=3 quedarían  

. Lo que indica que éste intervalo contiene al menos el 75% de los datos. . Lo que indica que éste intervalo contiene al menos el 88.88% de los datos.

1

Matemático ruso (1821-1894) reconocido por sus trabajos y contribuciones en la Estadística y Probabilidad.

17

Pero, para datos que particularmente tienen una distribución normal (datos que tienen una distribución simétrica alrededor de la media) la regla empírica nos indica que:   

El intervalo todos los datos. El intervalo de todos los datos. El intervalo de todos los datos.

o

contiene aproximadamente el 68% de o

contiene aproximadamente el 95%

o

contiene aproximadamente el 99%

Gráficamente quedarían así los porcentajes con respecto de los datos:

Imagen 18. Porcentajes con respecto a los datos

Ejemplo: +) En una escuela se obtuvo una muestra de 9 alumnos de 2° año de bachillerato y se le preguntó sobre su calificación en el examen de Inglés. Las calificaciones fueron las siguientes: 7, 6, 7, 8, 9, 8, 9, 9 y 6. Determinar los intervalos que contienen al menos el 75% y el 88.88% de los datos con respecto a la media. Como se trata de una muestra, la media la calculamos de la siguiente forma:

Y la desviación estándar es

18

Con lo cual los intervalos quedan:  

Si k=2, Si k=3,

Lo anterior nos indica que el intervalo contiene al menos el 75% de los datos y que el intervalo contiene al menos el 88.88%

(Se realizan en plataforma)

2.3 Medidas de Posición Las medidas de posición dividen un conjunto de datos ordenados de manera ascendente en grupos con el mismo número de individuos. La mediana se puede considerar como una medida de posición ya que divide a los datos en dos grupos que contienen el 50% de los datos menores que la mediana y 50% de los datos mayores a la mediana. Los cuantiles son otras medidas de posición que al igual que la mediana dividen a los datos en varios grupos con el mismo porcentaje de individuos en cada uno de ellos. Los cuantiles son: Cuartiles, Deciles y Percentiles.

2.3.1 Cuartiles Los Cuartiles dividen en cuatro partes los datos. Son cuatro Cuartiles los que dividen los datos en cuatro partes con la misma cantidad de valores en cada uno de ellos. El primer cuartil Q 1 es un valor que deja por debajo de él el 25% de los datos y por encima el 75% de los datos. El segundo cuartil Q 2 es un valor que deja el 50% por debajo de él y 50% de los datos por encima (es la mediana). El tercer cuartil Q 3 es el valor que deja por debajo el 75% y el 25% por encima de los datos. Gráficamente tenemos: PORCIENTO DE INFORMACIÓN

19

Para datos no agrupados los Cuartiles se calculan usando las fórmulas: 

Q1 es el valor que ocupa la posición



Q2 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.



Q3 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.

, donde n=número de datos.

Ejemplo: +) Calcular los Cuartiles para los siguientes datos: 3, 5, 6, 11, 14, 18,18, 20, 24, 25, 27, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 36, 44, 45, 47, 48, 48, 50, 50, 52. Tenemos que n=26 

Posición de Q1 =



Q1=18. Posición de Q 2 =



estar entre el valor que ocupa la posición 13 (el dato 28) y la posición 14 (el dato 29). Para determinar a la posición 13.5 tomamos el valor que ocupa la posición 13, el dato 28, y le sumamos 0.5 veces la diferencia entre el dato de la posición 14 y el dato de la posición 13; es decir, 28 + 0.5*(29-28)= 28 +0.5 = 28.5. Por lo tanto Q2= 28.5. . El dato que ocupa el lugar 20 es 45. Por lo Posición de Q 3 =

. El dato que ocupa el lugar 7 es 18. Entonces . Esto nos indica que el segundo cuartil debe

tanto Q3=45. 28.5 3 5 6 11 14 18 18 20 24 25 27 27 28

Q1 6 datos

29 31 33 34 36 44 45 47 48 48 50 50 52

Q2 6 datos

Q3 6 datos

6 datos

Para datos agrupados los Cuartiles se calculan usando las formulas: Posición del primer cuartil dentro de los intervalos de clase:

Q1=

20

Posición del segundo cuartil dentro de los

Q2=

intervalos de clase: Posición del tercer cuartil dentro de los

Q3=

intervalos de clase:

donde Li = Es el límite inferior exacto de la clase que contiene el cuartil deseado. n = Es la frecuencia total. F = Es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil deseado. Frecuencia de clase = Es la frecuencia de la clase que contiene el cuartil deseado. c = Es el ancho del intervalo de la clase que contiene el cuartil deseado.

Ejemplo: +) Para la siguiente tabla de distribución de frecuencias que representa una muestra de la producción de manzanas, en kg, de una huerta, determinar los Cuartiles. Clase 1 2 3 4 5 TOTAL

Límite Inferior 31 36 41 46 51

Límite Superior 35 40 45 50 55

PASO 1. Calcular el límite inferior exacto usando las fórmulas:

f

F

15 9 13 16 9 62

15 24 37 53 62

2

2

y el límite superior exacto de cada clase

Los límites exactos sirven para marcar con precisión el valor inicial y final de cada clase. Por ejemplo, en el caso de dos casas vecinas, el límite nominal o práctico ( límites inferior y superior ) no incluye la barda entre las casas; el límite exacto sí la considera.

21

Así para la clase 1 tenemos que

Para la demás clases se calcula de manera similar. Clase

Límite Inferior 30.5 35.5 40.5 45.5 50.5

1 2 3 4 5 TOTAL

Límite Superior 35.5 40.5 45.5 50.5 55.5

f

F

15 9 13 16 9 62

15 24 37 53 62

PASO 2. Calculamos los Cuartiles. En la muestra n=62. Posición del primer cuartil dentro de los intervalos

de

clase:

. Buscamos el valor 15.75 dentro de las frecuencias acumuladas y vemos que se encuentra en la segunda clase por lo tanto el intervalo que contiene el primer cuartil es el segundo.

Q1= Q1=

22

Posición del primer cuartil dentro de los intervalos

de

clase:

Buscamos el valor 31.5 dentro de las frecuencias acumuladas y vemos que se encuentra en la tercera clase por lo tanto el intervalo que contiene el segundo cuartil es el tercero.

Q2= Q2=

Posición del primer cuartil dentro de los intervalos de clase: Buscamos el valor 47 dentro de las frecuencias acumuladas y vemos que se encuentra en la cuarta clase por lo tanto el intervalo que contiene el tercer cuartil es el cuarto.

Q3= Q3=

En la vida diaria los porcentajes suelen constituir una herramienta muy descriptiva. Si los padres de Sofía descubren que sólo un 20% de sus compañeros saben más Matemáticas que ella quedarán perfectamente informados del nivel de su hija, y muy satisfechos al descubrir que ella supera al 80% de su clase. Por eso se usan los cuantiles en Estadística Descriptiva, porque señalan el porcentaje de datos inferiores a uno dado, lo que lo sitúa muy bien dentro del colectivo. En las revistas científicas se considera como un indicador para evaluar la importancia relativa de las revistas dentro del total de revistas de su área. ¿Cómo se usa? Si un listado de revistas ordenadas de mayor a menor factor de impacto 3 se divide en cuatro 3

Factor de impacto: El factor de impacto intenta medir la repercusión que ha obtenido una revista en la comunidad científica. Es un instrumento utilizado para comparar revistas y evaluar la importancia relativa de una revista concreta dentro de un mismo campo científico. El factor de impacto de una revista donde se ha publicado un artículo determinado se pueden obtener a partir de la búsqueda en el Journal Citation Reports (JCR). El JCR es una base de datos multidisciplinar producida por el ISI (Institute for Scientific Information) con un gran número de aplicaciones bibliométricas y cienciométricas.

23

partes iguales, cada una de ellas es un cuartil. Las revistas con el factor de impacto más alto están en el primer cuartil, los Cuartiles medios serán el segundo y tercero, y el cuartil más bajo el cuarto. Así, en un listado de 100 revistas, el primer cuartil serán las 25 primeras revistas y estas serán las que tienen el mayor factor de impacto y por lo tanto las más valoradas.

2.3.2 Deciles Los Deciles dividen en diez partes los datos. Son nueve Deciles los que dividen en 10 partes los datos con la misma cantidad de valores entre cada uno de ellos. El primer Decil D1 es un valor que deja por debajo de él el 10% de los datos y por encima el 90% de los datos; el segundo Decil D 2 es un valor que deja el 20% por debajo de él y 80% de los datos por encima; el tercer Decil D3 es el valor que deja por debajo el 30% y el 70% por encima de los datos y así sucesivamente hasta el noveno Decil D 9 que es el valor que deja el 90% por debajo y el 10% por encima de los datos. En particular el quinto Decil D 5 que deja el 50% por arriba y por abajo es la mediana. Gráficamente tenemos:

PORCIENTO DE INFORMACIÓN

Para datos no agrupados los Deciles se calculan usando las fórmulas: 

D1 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.



D2 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.



D3 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.

y así sucesivamente hasta 

, donde n=número de datos.

D9 es el valor que ocupa la posición

Ejemplo:

24

+) Calcular el primer y quinto Decil para los siguientes datos: 3, 5, 6, 11, 14, 18,18, 20, 24, 25, 27, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 36, 44, 45, 47, 48, 48, 50, 50, 52. Tenemos que n=26. 

Posición de D1 =



entre el valor que ocupa la posición 3 (el dato 6) y la posición 4 (el dato 11). Para determinar a la posición 3.1 tomamos el valor que ocupa la posición 3, el dato 6, y le sumamos 0.1 veces la diferencia entre el dato de la posición 4 y el dato de la posición 3; es decir, 6 + 0.1*(11-6)= 6 +0.5 = 6.5. Por lo tanto D1= 6.5. Posición de D5 = Esto nos indica que el quinto Decil debe

. Esto nos indica que el primer Decil debe estar

estar entre el valor que ocupa la posición 13 (el dato 28) y la posición 14 (el dato 29). Para determinar a la posición 13.5 tomamos el valor que ocupa la posición 13, el dato 28, y le sumamos 0.5 veces la diferencia entre el dato de la posición 14 y el dato de la posición 13; es decir, 28 + 0.5*(29-28)= 28 + 0.5 = 28.5. Por lo tanto D5= 28.5. 6.5 28.5 3 5 6 11 14 18 18 20 24 25 27 27 28 29 31 33 34 36 44 45 47 48 48 50 50 52

D1

D5

Si te fijas muy bien el procedimiento para obtener los Deciles es muy similar al que se usa para calcular los Cuartiles, sólo cambia el denominador de 4 a 10 en la primera parte de la fórmula. Para datos agrupados los Deciles se calculan usando las formulas: Posición del primer Decil dentro de los intervalos de clase:

D1=

Posición del segundo Decil dentro de los intervalos de clase:

D2=

Posición del tercer Decil dentro de los intervalos de clase:

D3=

y así sucesivamente hasta

25

Posición del noveno Decil dentro de los intervalos de clase:

D9=

donde Li = Es el límite inferior exacto de la clase que contiene el cuartil deseado. n = Es la frecuencia total. F = Es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil deseado. Frecuencia de clase = Es la frecuencia de la clase que contiene el cuartil deseado. c = Es el ancho del intervalo de la clase que contiene el cuartil deseado. Una vez más, si te fijas muy bien, las fórmulas son muy similares a las que se usan para calcular los Cuartiles así que no tendrás ningún problema para calcular los Deciles. Como un apoyo para analizar la distribución del ingreso, INEGI utiliza la ENIGH (Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares) en donde ordena a todos los hogares según el ingreso que perciben, de menor a mayor, y los agrupa en diez bloques denominados Deciles, de manera que en los extremos, el primero contiene a la décima parte de los hogares con menores ingresos, y el último, a la décima parte de los hogares con mayores ingresos. En el año 2010, el 10% más favorecido (Decil X) 4 de los hogares mexicanos concentró 34.6% del ingreso total mientras que 60% de los hogares menos afortunados (Deciles I – VI) sólo acumulaba 27.6% del ingreso total. Estas cifras confirman la percepción de que un pequeño porcentaje de la población tiene condiciones de vida mejores que la gran mayoría 5.

2.3.3 Percentiles Los Percentiles dividen en cien partes los datos. Son noventa y nueve percentiles los que dividen en 100 partes los datos con la misma cantidad de valores entre cada uno de ellos. El primer percentil P 1 es un valor que deja por debajo de él el 1% de los datos y por encima el 99% de los datos; el segundo Percentil P2 es un valor que deja el 2% por debajo de él y 98% de los datos por encima; el tercer Percentil P3 es el valor que deja por debajo el 30% y el 70% por encima de los datos y así sucesivamente hasta el Percentil número 99 P99 que es el valor que deja el 99% por debajo y el 1% por encima de los 4

La INEGI considera los Deciles como las 10 agrupaciones, recuerda que para poder lograr esa agrupación se usan 9 números: D1, D2, …, D9. El Decil X al que se refiere INEGI es el intervalo que se forma a partir de D 9. Cuidado, no hay un D10. 5 Fuente: ENIGH 2010, INEGI.

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datos. En particular el quinto Decil P50 que deja el 50% por arriba y por abajo es la mediana. Para datos no agrupados los Percentiles se calculan usando las fórmulas: 

P1 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.



P2 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.



P3 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.

y así sucesivamente 

P99 es el valor que ocupa la posición

, donde n=número de datos.

Ejemplo: +) Calcular P17 para los siguientes datos: 3, 5, 6, 11, 14, 18,18, 20, 24, 25, 27, 27, 28, 29, 31, 33, 34, 36, 44, 45, 47, 48, 48, 50, 50, 52. Tenemos que n=26 

. Esto nos indica que el P17 debe estar

Posición de P17 =

entre el valor que ocupa la posición 4 (el dato 11) y la posición 5 (el dato 14). Para determinar a la posición 4.92 tomamos el valor que ocupa la posición 4, el dato 11, y le sumamos 0.92 veces la diferencia entre el dato de la posición 5 y el dato de la posición 4; es decir, 11 + 0.92*(14-11)= 11+0.92*(3) = 13.76. Por lo tanto P17= 13.76.

Para datos agrupados los Percentiles se calculan usando las formulas: Posición del primer Percentil dentro de los intervalos de clase:

P1=

Posición del segundo Percentil dentro de los intervalos de clase:

P2=

Posición del tercer Percentil dentro de los intervalos de clase:

P3=

y así sucesivamente hasta

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Posición del noventa y nueve Percentil dentro de los intervalos de clase:

P99=

donde Li = Es el límite inferior exacto de la clase que contiene el cuartil deseado. n = Es la frecuencia total. F = Es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil deseado. Frecuencia de clase = Es la frecuencia de la clase que contiene el cuartil deseado. c = Es el ancho del intervalo de la clase que contiene el cuartil deseado. En general, y si te fijas muy bien, los Percentiles usan fórmulas muy similares a los Cuartiles y a los Deciles. Lo anterior es importante mencionarlo para que te des cuenta que su cálculo no será difícil. Las aplicaciones de los Percentiles son muy variadas, por ejemplo, Supongamos que tenemos una muestra con 1000 datos de personas y salarios. El P75 sería el valor de salario que ganan el 75% de las personas de esa muestra (ese conjunto de valores). O por ejemplo el P20 el que ganan el 20% de las personas; otro ejemplo más técnico, si registramos los días que tarda una alumna en encontrar trabajo, ¿cuál es el tiempo en el que encuentran trabajo el 40% de las alumnas? Pues P 40 (el percentil 40). Parece un poco complicado, pero la idea es simple: conocer cuál es el valor a partir del que un X% de los valores están por encima o por debajo. Otra aplicación, donde se utilizan los percentiles, es el de considerarlos como una medida para comparar el crecimiento de un niño con el crecimiento de otros niños de su edad. Hay percentiles de talla, peso, perímetro craneal, etc. Los más utilizados son los de talla y peso de los bebés. Así   

Cuando el pediatra nos dice que el niño está en el percentil 25 de altura, significa que de cada 100 niños de su edad, 75 son más altos que nuestro hijo y 24 serían más bajos. Por el contrario, si nuestro bebé está en el percentil 90 de altura significa que, de cada 100 bebés, solo hay 10 que midan más que nuestro niño, por lo que habría 89 que medirían menos. El percentil 50 es la media, por lo queque si tu hijo se encuentra en este percentil mide lo mismo que el 50 por ciento de los niños de su misma edad y sexo.

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(Se realizan en plataforma)

EvaluaciĂłn de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

ConclusiĂłn Haz finalizado tu segunda unidad del curso de EstadĂ­stica y Probabilidad, en el cual aprendiste los siguientes conceptos:

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Referencias De contenido Libros     

Castillo, J. (1998). Estadística Básica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Freund, J. (1994). Estadística Elemental. México: Pearson Prentice Hall. Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté. Triola, M. (2009). Estadística. México: Pearson Prentice Hall. Zavala Aguilar, R. (2011). Estadística Básica. México: Trillas.

De consulta Sitios de internet Las siguientes ligas electrónicas te servirán de apoyo para las medidas de Tendencia Central, las de Dispersión y las de Posición, te pido revisarlas.   

Mancilla, H. (sf). Estadística Descriptiva e Inferencial I. Colegio de Bachilleres. http://www.conevyt.org.mx/bachillerato/material_bachilleres/cb6/5sempdf/edin1/e din1_f1.pdf UNAM. (2012). Estadística y Probabilidad. http://www.recursoseducativos.unam.mx/eduCommons/search?Subject%3Alist=E stad%C3%ADstica%20y%20Probabilidad UNAM. (2012). Portal académico. Colegio de Ciencias y Humanidades. UNAM. http://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/sitiosdeinteres/matematicas/estadisti ca1

De imágenes 12. Distribución normal Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 13. Distribución asimétrica positiva Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 14. Distribución asimétrica negativa Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech

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15. Calificación promedio para hombres (media) Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 16. Calificación promedio para mujeres (media) Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 17. Pafnuti Lvóvich Chebyshev Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Tchebycheff 18. Porcentajes con respecto a los datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech

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Unidad 2

Estadística descriptiva NOMBRE:

TUTOR:

FECHA:

Situación: La Secretaria de Salud decidió hacer un estudio sobre la edad a la que las personas de la Ciudad de MÊxico contraían cierta enfermedad. Se tomó una muestra de 100 personas y se les preguntó la edad en la que contrajeron la enfermedad. Instrucciones 



Abre la actividad de la unidad 1, copia la tabla de intervalos con su frecuencia absoluta y pĂŠgala en el siguiente espacio:

Intervalos

Frecuencia Absoluta

Totales

100

BasĂĄndote en la tabla recuperada de la unidad 1 realiza lo que se te solicita.

1. Calcula la media de la edad en la que adquieren esta enfermedad. 2. Calcula la varianza para la edad en la que adquieren esta enfermedad. 3. Calcula la desviaciĂłn estĂĄndar para la edad en la que adquieren esta enfermedad. o

o

La fĂłrmula para determinar la media es: ∑đ?‘ đ??ś đ?‘–=1 đ?‘€đ??śđ?‘– ∙ đ?‘“đ?‘– đ?‘ĽĚ… = đ?‘›

La fĂłrmula para determinar la varianza es: 2

đ?‘ đ??ś

đ?‘ =∑ đ?‘–=1

(đ?‘€đ??śđ?‘– − đ?‘ĽĚ… )2 ∙ đ?‘“đ?‘– đ?‘›âˆ’1

o

đ?‘ = √đ?‘ 2

La fĂłrmula para determinar la desviaciĂłn estĂĄndar es:

Donde: đ?‘ đ??ś = đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘

đ?‘€đ??śđ?‘– = đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘–

đ?‘“đ?‘– = đ??šđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘?đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘– đ?‘› = đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘





đ?‘ĽĚ… = đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘

Para verificar los resultados de los incisos 1, 2 y 3 escribe los valores solicitados en la siguiente tabla. o LĂ­mite Inferior del Intervalo: Escribe los lĂ­mites inferiores de cada intervalo. o LĂ­mite Superior del Intervalo: Escribe los lĂ­mites superiores de cada intervalo. o Frecuencia Absoluta: Escribe la frecuencia absoluta de cada intervalo o Marca de Clase del Intervalo: Escribe la Marca de Clase de cada intervalo. o MC*Fcia.Abs.: Escribe el resultado de multiplicar la Marca de Clase por la Frecuencia Absoluta. Ě… : Escribe el valor que obtuviste para la media de los datos. o đ?’™ o đ?‘´đ?‘Ş âˆ’ Ě… đ?’™ : Escribe el valor que obtuviste de restar la marca de clase menos la media de los datos. o (đ?‘´đ?‘Ş âˆ’ Ě… đ?’™)đ?&#x;? : Escribe el valor que obtuviste de elevar al cuadrado el resultado de la columna anterior. Ě…)đ?&#x;? ∙ đ?’‡đ?’Š : Escribe el valor que obtuviste de multiplicar por la frecuencia el resultado de la o (đ?‘´đ?‘Şđ?’Š − đ?’™ columna anterior. Es recomendable que utilices Excel para elaborar esta tabla y obtener los resultados solicitados. DespuĂŠs copia y pega en este espacio. LĂ­mite Inferior del Intervalo

LĂ­mite Superior del Intervalo

Frecuencia Absoluta

Marca de Clase del Intervalo

MC*Fcia.Abs.

đ?‘ĽĚ…

đ?‘€đ??ś − đ?‘ĽĚ…

(đ?‘€đ??ś − đ?‘ĽĚ… )2

Suma

Suma

Media

Varianza

(đ?‘€đ??śđ?‘– − đ?‘ĽĚ… )2 ∙ đ?‘“đ?‘–

DesviaciĂłn EstĂĄndar

4. ÂżQuĂŠ interpretaciĂłn le darĂ­as a la desviaciĂłn estĂĄndar en tĂŠrminos del problema?

5. Utiliza la siguiente fĂłrmula para determinar el intervalo que contiene al 75% de los datos.

Donde:

(đ?‘ĽĚ… − 2đ?‘ ; đ?‘ĽĚ… + 2đ?‘ ) đ?‘ĽĚ… = đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘

đ?‘ = đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘Łđ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ??¸đ?‘ đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘‘đ?‘Žđ?‘&#x;

Unidad 3. Introducción a la Probabilidad Introducción Como bien sabes cada cierto tiempo se llevan a cabo las elecciones Presidenciales en diferentes países, en particular en México se llevan a cabo cada 6 años. Durante el proceso vemos y oímos todas y cada una de las propuestas que forman sus campañas de los candidatos y después de un cierto tiempo nos empezamos a preguntar: ¿Quién ganará las elecciones? ¿Qué probabilidad tiene el candidato “X” de ser presidente?; en esta última pregunta estamos involucrando la incertidumbre que se tiene sobre dichas elecciones en cuanto al ganador. Al lanzar una moneda, ¿Qué probabilidad hay de que caiga sol? ¿Qué probabilidad hay de que caiga aguila? Si compramos un billete de lotería, ¿Qué probabilidad hay de que sea el billete ganador? Pero no solo en este tipo de eventos se nos presenta esta incertidumbre. Nuestra vida cotidiana está llena de imponderables, cosas que nos suceden sin que podamos predecir los resultados con exactitud. Por ejemplo, por las mañanas al ver en la televisión el noticiero dentro de la sección de clima oímos que dicen “hoy tiene probabilidades de lluvia”; tras ponerle mermelada a una rebanada de pan en el desayuno, ésta se nos puede caer de las manos. ¿Sabemos a ciencia cierta si a consecuencia de ello ensuciaremos nuestra ropa? Claramente no, pues nuestra experiencia nos indica que algunas veces el lado con mermelada cae para abajo y otras para arriba. Cuando el referí de un partido lanza la moneda para determinar qué equipo hará el saque, ¿sabemos con seguridad a cuál le tocará hacerlo? La respuesta es no. Estos son sólo algunos de los innumerables ejemplos en los cuales el azar, la incertidumbre interviene. A los sucesos o eventos donde interviene el azar se les llama "aleatorios" o "probabilísticos". Diremos que hay una probabilidad de que gane el candidato “X”; hay una probabilidad que se caiga el pan y el mermelada ensucie mi ropa; hay una probabilidad que nuestro equipo gane el saque; pero no podemos tener la certeza de ello. En la vida cotidiana son más frecuentes las situaciones que podemos atribuir al azar que las que corresponden al acontecer previsible con exactitud. ¿De qué humor estará el profesor hoy? ¿Nos resfriaremos este invierno? ¿Quién ganará el campeonato? Hechos tan simples como los mencionados requieren ser interpretados con pensamiento probabilístico, el cual gira, nuevamente, alrededor de las nociones de azar e incertidumbre. Al analizar cada uno de estos hechos aisladamente, por ejemplo, informarnos solamente de la campaña de un solo candidato o cómo llegó el profesor el lunes, nada se puede concluir. Sin embargo, si se toma un conjunto de cada uno de esos datos en número y forma apropiados, por ejemplo, quién tiene más popularidad y está mejor colocado de los candidatos o cuántos y cuáles días el profesor llegó de mal humor, es posible prever con "cierto grado de certeza" qué es lo que posiblemente acontezca en el futuro que nos interesa. Es decir, si bien nuestra vida no es completamente previsible, tampoco nos dejamos sorprender demasiado por estos imponderables y nuestra actitud es prevenirnos de ellos o de sus consecuencias. Si no queremos que nuestra ropa esté sucia a causa de la mermelada, podemos tomar ciertas precauciones para que la rebanada de pan no caiga de nuestras manos y llegue a nuestra ropa. Nos interesa y podemos encontrar la manera de mejorar nuestra situación respecto de ello.

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Una rama de las matemáticas se ha encargado de estudiar el problema y de desarrollar métodos que nos ayuden a manejar la incertidumbre es la Probabilidad. La probabilidad se encarga de evaluar todos aquellas actividades o sucesos en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar. Es en 1654 cuando se comienza a desarrollarse el cálculo de probabilidades; cuando dos matemáticos franceses, Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) comienzan a aplicar métodos matemáticos para resolver problemas de juegos de azar con cartas y dados. Con ello se inician algunos esfuerzos por dar solución a éste y otros problemas similares que se plantean.

Con el paso del tiempo se sientan las bases y las experiencias necesarias para la búsqueda de una teoría matemática que sintetice los conceptos y los métodos de solución de los muchos problemas particulares resueltos a lo largo de varios años. “Video 1: Historia de la Probabilidad” encontrar en la siguiente dirección [Video de la Historia de la Probabilidad]. Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=GJDnk_p7wgI Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la ba se de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre, del teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar. A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales. Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de

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matemática. Actualmente, esta se utiliza en una gran variedad de campos y por tal razón se sigue investigando la misma a través de todo el mundo. Al realizar un análisis estadístico de un conjunto de datos provenientes de una determinada población que se desea estudiar, puede ocurrir que dichos datos hayan sido obtenidos de la población en su totalidad o de una muestra representativa de dicha población. Si los datos fueron obtenidos de toda la población, al organizarlos, presentarlos y resumirlos por medio de la estadística descriptiva, se extraerán conclusiones referidas a dicha población. Pero si los datos fueron obtenidos de una muestra, al realizar un análisis descriptivo de los mismos sólo se sacarán conclusiones referidas a esa muestra. En este caso, las conclusiones acerca de la población se deberán inferir a través de los resultados muestrales. En consecuencia, sólo al realizar un análisis descriptivo de toda una población, las conclusiones extraídas serán acerca de dicha población. En otra situación, los resultados de la estadística descriptiva no alcanzan, se deberá transferir esos resultados para obtener conclusiones sobre la población. Los métodos y procedimientos que permiten inferir los resultados muestrales a la población en su totalidad corresponden a la Estadística Inferencial y ésta se fundamenta en la teoría de la Probabilidad. En esta unidad haremos una introducción a la Probabilidad abarcando su teoría, conceptos y elementos más importantes los cuales, como lo indicamos anteriormente, te servirán para llevar acabo inferencias estadísticas y manejar la incertidumbre para tomar una decisión. Es importante mencionar que un estudio más completo y detallado de la teoría de la Probabilidad lo llevarás acabo en cursos posteriores a nivel superior. Propósito Al término de la unidad el estudiante será competente para aplicar la probabilidad en diferentes circunstancias; determinando la probabilidad de ocurrencia de un evento y las posibles combinaciones o permutaciones de elementos. Esto le permitirá adentrarse en el estudio de fenómenos físicos o sociales a partir de los datos disponibles.

3.1 Probabilidad de un evento 3.1.1 Conceptos básicos El término probabilidad se utiliza habitualmente en relación con la posibilidad de que ocurra un determinado suceso o evento cuando se lleva a cabo un fenómeno o experimento. La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Pero, ¿Qué es un experimento? Experimento: Es cualquier proceso, situación u operación en la cual se pueden presentar uno o varios resultados de un conjunto bien definido de posibles resultados. Los experimentos, si se repiten bajo idénticas condiciones, pueden ser de dos tipos:

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 

Determinístico: Al llevarlo a cabo siempre se obtienen siempre los mismos resultados. Por ejemplo, medir con la misma regla e idénticas condiciones la longitud de una mesa. Aleatorio: Al llevarlo a cabo no se obtienen siempre los mismos resultados. Por ejemplo, El lanzamiento de una moneda donde puede salir águila o sol o el lanzamiento de un dado donde puede salir cualquier número del 1 al 6.

Trabajaremos específicamente con experimentos aleatorios los cuales tienen las siguientes características:  El experimento se puede repetir indefinidamente bajo idénticas condiciones.  Cualquier modificación a las condiciones iniciales de la repetición puede modificar el resultado.  Se puede determinar el conjunto de posibles resultados pero no predecir un resultado particular.  Si el experimento se repite gran número de veces entonces aparece algún modelo de regularidad estadística en los resultados obtenidos. En principio, no sabemos cuál será el resultado del experimento aleatorio, así que nos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. ¿Dónde? En un conjunto que llamaremos Espacio muestral. Espacio muestral: Es el conjunto que contiene todos los posibles resultados del experimento aleatorio y se denota por medio de la letra griega (Omega). Ejemplos: 1. En el experimento de lanzar una moneda al aire hay dos posibles resultados: Águila (A) o Sol (S). Entonces el espacio muestral es = {A, S} 2. En el experimento de lanzar un dado, hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Entonces el espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. En el experimento de sacar, sin ver, dos dulces de una caja, que contiene 4 dulces en total, 2 de menta (m) y 2 de uva (u). El espacio muestral está dado por el conjunto = {(m, m), (m, u), (u, m), (u, u)}. Es importante que notes que del espacio muestral se pueden tomar algunos (o todos) elementos y formar conjuntos más pequeños o de igual tamaño que el mismo espacio muestral, éste conjunto es en realidad un subconjunto . Estos subconjuntos se nombran mediante cualquier letra mayúscula del abecedario: A, B, C, D, etc. Pero ¿Cómo se llama este subconjunto? Evento: Cualquier subconjunto de resultados de un Espacio muestral. Ejemplos: 1. Para el experimento “Lanzar una moneda al aire”, el espacio muestral está dado por = {A, S}. Entonces podemos formar los siguientes eventos: a. Evento M= {que salga águila al lanzar la moneda} = {A}, es decir M = {A}. b. Evento P= {que salga sol al lanzar la moneda} = {S}, es decir, P = {S}.

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2. Para el experimento “Lanzar un dado sobre la mesa”, el espacio muestral está dado el espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces podemos formar los siguientes eventos: a. Evento R= {que salga el número 1} = {1}, es decir R= {1}. b. Evento T= {que salga el número 4} = {4}, es decir, T= {4}. c. Evento D= {que salga el 6} = {6}, es decir, D= {6}. 3. Para el experimento “Sacar dos dulces de una caja” donde la caja contiene 4 dulces, 2 de menta (m) y 2 de uva (u), el espacio muestral está dado por el conjunto = {(m, m), (m, u), (u, m), (u, u)}. Entonces podemos formar los eventos: a. Evento Y = {que los dos dulces sean de menta} = {(m, m)}. b. Evento X= {que un dulce sea de menta y otro de uva} = {(m, u), (u, m)}. Los eventos pueden clasificarse de las siguientes formas:  Mutuamente excluyentes. Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo; por ejemplo al lanzar una moneda caiga águila y sol al mismo tiempo.  Independientes. Un evento no se ve afectado por otro evento; por ejemplo sacar dos dulces de menta y obtener sol al lanzar la moneda.  Dependientes. Cuando un evento afecta la ocurrencia de otro evento. Por ejemplo, si un trabajo de hace descuidadamente es más probable que resulte mal.  No excluyentes entre sí. Cuando la ocurrencia de un evento no impide la ocurrencia de otro; por ejemplo, que una persona sea doctor y que tenga más de 35 años.

3.1.2 Cálculo de Probabilidades El concepto intuitivo de probabilidad, por medio del cual una persona toma decisiones sin la certeza de que ocurran todos sus supuestos, es la base de un estudio sistemático que permite incrementar el grado de confianza que se puede tener en una decisión. A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad: Probabilidad subjetiva, Probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencia relativa y la Probabilidad objetiva bajo el enfoque clásico. Bajo el enfoque clásico

Bajo el enfoque de frecuencia relativa La probabilidad subjetiva 1 sólo refleja la percepción de quien la emite; es decir, cuando no se cuenta con información estadística objetiva sobre población o muestras, la única vía 1

De Morgan en el siglo XIX, Ramsey en 1926, De Finetti en 1937 fueron los precursores en el estudio de la probabilidad subjetiva, desarrollada posteriormente por Savage.

5

para asignar probabilidades es la subjetiva porque se basa en la experiencia y en la información que se tenga acerca del comportamiento del objeto estudiado. La probabilidad subjetiva no da ninguna norma para asignar una probabilidad, sólo nos da una manera pare evitar consecuencias indeseables en la toma de decisiones. Por ejemplo, en algún momento hemos oído a un doctor que dice “la probabilidad de que el paciente sobreviva a la operación es del 70%” ¿cómo fue que el médico asigno el 70%? Mediante un juicio subjetivo con bases empíricas, dadas por su experiencia basada en información obtenida de operaciones similares. Podemos definirla de la siguiente manera: Probabilidad subjetiva: Mide el grado de creencia personal sobre la ocurrencia de un evento; puede ser asignada de cualquier modo pero a condición de que deben tenerse fundamentos, aunque sean subjetivos (factores o ponderaciones individuales), para hacer dicha asignación. Por otro lado, la probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencia relativa (también llamado enfoque empírico) es el resultado de cálculos y determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número de observaciones. En este enfoque no se usa la suposición previa de aleatoriedad porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.

Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia relativa del evento es , es decir, fr(Evento)=f(Evento)=

.

Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada

cierto número de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad de las frecuencias relativas. Veamos un ejemplo: La siguiente tabla muestra el experimento del lanzamiento de una moneda al aire 1000 veces donde se contó el número de águilas que salieron y se calculó su frecuencia relativa N° de lanzamientos 1-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600

Número de águilas 52 53 52 47 51 53

6

Frecuencia Relativa 0.52 0.53 0.52 0.47 0.51 0.53

600-700 700-800 800-900 900-1000 TOTAL

48 46 52 54 508

0.48 0.46 0.52 0.54 0.508

En un total de 1000 lanzamientos ocurrieron 508 águilas, es decir, la frecuencia relativa es aproximadamente 0.50. Si nos fijamos bien la regularidad estadística o estabilidad de las frecuencias es entonces de 0.50. Tres investigadores realizaron el mismo experimento de lanzar al aire una moneda y obtuvieron los siguientes resultados Investigador Buffon K. Pearson K. Pearson

Número lanzamientos. 4040 12000 24000

de

Número de caras (águilas). 2048 6019 12012

Frecuencia Relativa 0.5069 0.5016 0.5005

Una vez más vemos la estabilidad de las frecuencias relativas de éste experimento. La mayoría de los experimentos aleatorios tienen estabilidad, por esto podemos sospechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento E en un gran número de ensayos es aproximadamente igual a un determinado número P(E), es decir La probabilidad del evento E, denotada por P(E), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento E cuando el número n de observaciones se incrementa cada vez más; esto significa que P (E)= Hay que notar que éste número es una propiedad que no depende solamente de E, sino que se refiere a un cierto espacio muestral y a un experimento aleatorio. Entonces, decir que el evento E tiene la probabilidad P(E) significa que si efectuamos el experimento muchas veces, es prácticamente cierto que la frecuencia relativa de E, f r(E) es aproximadamente igual a P(E) . En nuestro ejemplo del lanzamiento de la moneda podemos decir entonces que la probabilidad de que salga águila al lanzar una moneda al aire es de 0.50, es decir, 50%. Cuando se usa la definición frecuencial es importante tener en cuenta lo siguiente:   

La probabilidad obtenida de ésta manera es únicamente una estimación del valor real. Cuanto mayor sea el número de ensayos, será mejor la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación. La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones idénticas a aquellas en las que se obtuvieron los datos, es decir, la validez de emplear esta definición

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depende de qué condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente. Finalmente, el problema con esta definición radica en que al no poder repetir el experimento infinitas veces, la probabilidad de un suceso ha de ser aproximada por su frecuencia relativa para un n suficientemente grande, pero ¿cuán grande es un n grande? ¿Cuántas veces es lo ideal, lo óptimo repetir un experimento? o, ¿qué hacer con aquellos experimentos que sólo se pueden repetir una vez? Por la situación anterior se recurre a la probabilidad objetiva desde el enfoque clásico, la cual también es el resultado de cálculos y se define como:

Si es un espacio muestral con un número finito de elementos igualmente probables, la probabilidad de cualquier evento A es el cociente formado por el número de elementos de A (casos favorables) entre el número de elementos del espacio muestral (casos totales). Si el espacio muestral tiene N elementos y el evento A tiene k de los N elementos, la probabilidad del evento A está dada por P(A)=

Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace 2; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados que entran a formar parte del evento.

Ejemplos 1. Para el experimento “Lanzar una moneda al aire”, el espacio muestral está dado por = {A, S}. Para los eventos 2

Pierre Simon Laplace (1749- 1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que contribuyó a las Matemáticas con diversos trabajos.

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a. Evento M= {que salga águila al lanzar la moneda}={A} tenemos que la, P(M)= Por lo tanto P(M)=50% b. Evento P= {que salga sol al lanzar la moneda} = {S} tenemos que . Por lo tanto P(S)=50% P(S)=

2. Para el experimento “Lanzar un dado sobre la mesa”, el espacio muestral está dado el espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para los eventos a. R= {que salga el número 1} = {1}, tenemos que P(R)= . Por lo tanto P(R)=16.67% b. T= {que P(T)=

salga

un

número

par} = {2, 4, 6}, . Por lo tanto P(T)=50%

tenemos

que

c. Evento D= {que salga un número impar} = {1, 3, 5}, tenemos que P(D)= . Por lo tanto P(D)=50%

3. Para el experimento “Sacar dos dulces de una caja” donde la caja contiene 4 dulces, 2 de menta (m) y 2 de uva (u), el espacio muestral está dado por el conjunto = {(m, m), (m, u), (u, m), (u, u)}. Para los eventos a. Y = {que los dos dulces sean de menta} = {(m, m)}, tenemos que . Por lo tanto P(Y)=50% P(Y)= b. X= {que un dulce sea de menta y otro de uva} = {(m, u), (u, m)}, tenemos . Por lo tanto P(X)=50% que P(X)=

4. Si ={aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} donde a=niña y o=niño, para los eventos a. B={que hayan dos niñas y un niño}={aao, aoa, oaa}, tenemos que P(B)= . Por lo tanto P(B)=37.5% b. K={que hayan 3 niños}={ooo}, tenemos que P(K)= . Por lo tanto P(B)=12.50%

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5. Para el experimento de lanzar dos dados a la mesa, el espacio muestral dado por la siguiente tabla; nota que son 36 casos totales. (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

está

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para el evento G = {la suma de los números de los dados sea 7} = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, tenemos que P(G)= Por lo tanto P(G)=16.67% (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

b. Para el evento W={la suma de los números de los dados sea par}={(1,1), (3,1), (5,1), (2,2), (4,2), (6,2),…, (2,6), (4,6), (6,6)}, tenemos que P(W)= Por lo tanto P(W)=50% (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

6. En un colegio de 4000 alumnos de Primaria, Secundaria y Bachillerato se lleva a cabo una encuesta sobre si están a favor o en contra de poner un campo de futbol soccer. Los resultados son los siguientes

A favor En contra TOTAL

Primaria 1250 1530 2780

Secundaria 465 350 815

Bachillerato 270 135 405

Si se selecciona un alumno al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que está a favor del campo de Fútbol?

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TOTAL 1985 2015 4000

Si H={Que esté a favor del campo de Futbol} tenemos que P(H) =

. Por

lo tanto la probabilidad es del 49.63% b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Primaria? Si T={Que sea de Primaria} tenemos que P(T) =

. Por lo tanto la

probabilidad es del 69.5% c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de Bachillerato? Si W={Que no sea de Bachillerato} tenemos que P(W) =

. Por lo tanto

la probabilidad es del 89.9% d. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Bachillerato y esté a favor? Si V={Que sea de Bachillerato y esté a favor} tenemos que P(V) =

. Por

lo tanto la probabilidad es del 6.75% e. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Secundaria y esté en contra? Si Z={Que sea de Secundaria y esté en contra } tenemos que P(Z) =

.

Por lo tanto la probabilidad es del 8.75% Como te habrás dado cuenta, el cálculo de la probabilidad bajo el enfoque clásico es en realidad sencillo porque sólo basta conocer el número de elementos que forman al evento al cual se le quiere calcular la probabilidad y el número de elementos del espacio muestral; sin embargo no en todos los experimentos aleatorios es tan fácil, sencillo y rápido obtener ese número de elementos. Por ejemplo, ¿Cuántos números telefónicos existen en el DF que contengan al menos un 2? ¿Cuántas comidas, de 3 tiempos, podemos armar si un restaurante cuenta con 5 sopas, 10 guisados y 6 postres? No sería tan fácil determinar cada uno de los números y menús si tratáramos de hacerlo uno por uno ¿verdad? ¿Qué podemos hacer entonces? Recurrir a las técnicas de conteo y al análisis combinatorio.

(Se realizan en plataforma)

3.2 Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo permiten contar el número total de elementos que tiene un conjunto sin necesidad de hacerlo elemento por elemento; éstas técnicas son muy útiles cuando el conjunto tiene una cantidad muy grande de elementos en donde sería imposible contarlos exhaustivamente inspeccionando uno por uno.

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3.2.1. Principio de multiplicación Una de las primeras técnicas de conteo, y que son base de otras técnicas que se abordarán más adelante, es el principio de multiplicación.

Principio de Multiplicación: Supongamos que un evento se puede llevar a cabo de m1 maneras diferentes, y después de que ha ocurrido, un segundo evento se puede llevar a cabo de m 2 maneras diferentes, y después de que ha ocurrido, un tercero y así sucesivamente hasta llegar al r-ésimo evento que se puede efectuar de mr maneras diferentes; entonces el número total de las maneras en que se puede llevar a cabo estos eventos juntos, es decir, el evento m1 y el evento m2 y así hasta el evento mr, corresponde al producto: m1*m2*m3*….*mr. Ejemplos: 1.- En un restaurante nos ofrecen 2 sopas: arroz y pasta; 4 guisados: carne, pollo, ternera y pescado y 3 postres: flan, pastel y gelatina. Si el experimento es formar una comida de 3 tiempos a. ¿Cuántas comidas de 3 tiempos podemos armar? (Nota que éste número es la cardinalidad 3del espacio muestral). Si te fijas bien hay 3 eventos por desarrollar y cada una de ellos se pude llevara a cabo de diferentes formas. El primer evento, escoger la sopa, se puede llevar a cabo de 2 maneras diferentes (Arroz o pasta); el segundo evento, escoger el guisado, se puede llevar a cabo de 4 maneras diferentes (carne, pollo, ternera o pescado) y el tercer evento, escoger el postre, se puede llevar a cabo de 3 maneras diferentes (flan, pastel o gelatina). Por el principio de multiplicación tenemos que (2)(4)(3)=24 con lo que podemos formar 24 comidas diferentes. b. Dado el evento R={Que en una comida halla arroz} ¿Cuál es la probabilidad de que en una comida halla arroz? Primero tenemos que obtener el número de elementos (cardinalidad) que forman el evento, si te fijas usando nuevamente el principio de multiplicación tendríamos solamente (1)(4)(3)=12 comidas que lleven arroz; por lo tanto P(R)=

. Entonces hay un 50% de probabilidad de que en una

comida halla arroz. 2.- ¿Cuántas parejas integradas por un pitcher y un cátcher se pueden formar con un equipo de beisbol que incluye a 5 pitchers y 3 cátchers? 3

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que lo forman. Así por ejemplo el conjunto de las vocales tiene una cardinalidad de 5 elementos: a, e, i, o, u.

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Tenemos que podemos escoger de 5 maneras diferentes al pitcher y de 3 maneras diferentes al cátcher (evento 1 y evento 2 respectivamente), aplicando el principio de multiplicación tenemos que hay (5)(3)=15 parejas que se pueden formar. 3.- La contraseña de acceso a un sistema de asesoría en línea está formada por 3 letras y 4 números distintos entre si. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? Podemos considerar que hay 7 eventos, cada uno asociado a una posición en la contraseña. Para cada uno de los tres primeros eventos hay 26 opciones. Para los cuatro últimos eventos hay 9, 8, 7, y 6 opciones respectivamente porque no pueden repetirse los números. Entonces hay (26)(26)(26)(9)(8)(7)(6) = 53,149,824 contraseñas distintas.

3.2.2 Principio de suma Existe otra técnica llamada el principio de suma la cual es el complemento del principio de la multiplicación. Principio de suma: Sean t1, t2, t3 y así sucesivamente hasta t k eventos ajenos, es decir, eventos que no pueden suceder al mismo tiempo. Si t 1 puede ocurrir de m1 maneras, t2 de m2 maneras y así sucesivamente hasta el tk evento que puede ocurrir de mr maneras, entonces t1 o t2 o t3 o … tk pueden ocurrir de m1 + m2 + m3 + … + mr maneras. Ejemplos 1.- Un club que consiste en 4 mujeres y 2 hombres desea elegir algunos funcionarios; un presidente, un vicepresidente y un secretario. ¿De cuántas maneras pueden elegir a sus tres funcionarios si el presidente debe ser de un sexo y el vicepresidente junto con el secretario de otro? Podemos dividir el problema en 2 eventos: a. Elegir una mujer de presidente y un hombre de vicepresidente y un hombre de secretario. b. Elegir un hombre de presidente y una mujer de vicepresidente y una mujer de secretario. Es notorio que estos dos eventos son ajenos, es decir, se puede llevar a cabo sólo uno de ellas. Así por el principio de multiplicación tenemos que a. El evento 1 puede llevarse a cabo de (4)(2)(1)=8 maneras. b. El evento 2 puede llevarse a cabo de (2)(4)(3)=24 maneras Y por el principio de la suma, el evento 1 o el evento 2 pueden ocurrir de 8 + 24 = 32 maneras. 2.- En la oficina existen diferentes bebidas que se pueden tomar. Las opciones son café, té o chocolate. La máquina que proporciona el servicio cuanta con café americano, café

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moka y café descafeinado; además hay siete diferentes sabores de té y chocolate frío o caliente. ¿Cuántas opciones hay en la oficina? Los eventos son ajenos, es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces aplicando el principio de adición tenemos 3 + 7 + 2 = 12 opciones. 3.- Para trasladarme a la oficina puedo abordar el 2 líneas del metro, tomar uno de 3 líneas de metrobus o tomar un taxi. ¿Cuántas opciones tengo? Aplicando el principio de la suma tengo 2 + 3 + 1 = 6 opciones. Los principios de conteo multiplicativo y de suma son la base para lo que conoceremos en el siguiente apartado como análisis combinatorio, en el cual veremos otras técnicas de contar que cumplen con ciertas características que los principios de conteo no contemplan, por ejemplo, el orden y el reemplazo en un experimento.

3.3 Análisis Combinatorio El análisis combinatorio es la rama de las Matemáticas que estudia los procedimientos y estrategias para contar las posibles agrupaciones de los elementos de un conjunto, permitiendo determinar el número de posibilidades lógicas que cabe esperar al realizar algún experimento, sin necesidad de enumerarlas; es una forma abreviada de contar que se resume en unas cuantas técnicas basadas en procedimientos y fórmulas recurrentes. Es decir, con el análisis combinatorio podremos calcular de cuántas formas se pueden agrupar los objetos tomados de un conjunto dado. Las características más importantes por conocer de estas agrupaciones son:   

El número de elementos que contienen. La presencia o no de elementos repetidos. El orden que ocupan los elementos.

Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, hay conceptos dentro del análisis combinatorio que permiten conocer de forma exacta las características de las agrupaciones a través de expresiones que permitan efectuar los cálculos de manera más rápida. Dentro del análisis combinatorio se encuentran las Ordenaciones, Permutaciones y Combinaciones.

3.3.1 Ordenaciones Si tenemos las letras A, B y C y nos preguntamos ¿cuántas palabras de 2 letras (sin importar si significan algo o no juntas) se pueden formar? O ¿De cuántas maneras se pueden ordenar estas 3 letras de 2 en 2? ¿Cómo lo resolvemos? Una forma sería anotar todas las posibles combinaciones que se pueden formar: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA,

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CB, CC y contarlas, 9 maneras de ordenar las letras; sin embargo no resulta muy práctico porque si tuviéramos 10 letras y las queremos tomar de 2 en 2 nuevamente; el trabajo sería más laborioso. La forma más rápida de obtener el resultado es usando las ordenaciones con repetición las cuales se representan por OR y se definen de la siguiente manera Ordenaciones con repetición: El número de ordenaciones con repetición objetos tomados de r en r, con r n es ORnr = nr.

de n

Ejemplos 1.- ¿Cuántas palabras podemos formar de 3 letras tomadas de 2 en 2? En este caso n=3 letras y r=2, entonces OR3 2=32=9 palabras. 2.- ¿Cuántas palabras podemos formar de 10 letras tomadas de 2 en 2? En este caso n=10 letras y r=2, entonces OR32=102=100 palabras. 3.- ¿Cuántos passwords o palabras clave de 4 caracteres se pueden construir usando un conjunto de 60 caracteres? En este caso n=60 caracteres y r=4, entonces OR604=604=12960000 passwords. En los ejemplos anteriores se toma en cuenta la repetición, pero ¿qué pasaría si ahora no se permite la repetición? Es decir, ¿Cuántas palabras de 2 letras tomadas de A, B y C se pueden formar sin repetir letras? Tendríamos que quitar las combinaciones AA, BB Y CC teniendo en total 6 combinaciones. Pero ¿cómo lo obtenemos más fácilmente? Ordenaciones sin repetición: El número de ordenaciones sin repetición de n objetos tomados de r en r, con r n, está dada por O nr=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1). Ejemplos 1.- ¿Cuántas palabras podemos formar de 3 letras tomadas de 2 en 2 sin repetir letras? Tenemos que n=3 y r=2, entonces (n-r+1)=3-2+1=1+1=2. Por lo tanto O 32=(3)(2)=6 palabras. Es muy importante que te des cuenta que los productos para obtener las ordenaciones empiezan en n, después por n-1 y así sucesivamente hasta el valor que de (n-r+1). 2.- ¿Cuántas palabras podemos formar de 4 letras tomadas de 2 en 2 sin repetir letras? Tenemos que n=4 y r=2, entonces (n-r+1)=4-2+1=2+1=3. Por lo tanto O 42=(4)(3)=12 palabras. Es muy importante que te des cuenta que los productos para obtener las ordenaciones empiezan en n, después por n-1 y así sucesivamente hasta el valor que de (n-r+1). 3.- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 52 personas en un salón que tiene 50 sillas?

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Tenemos que n=60 y r=52, entonces (n-r+1)=60-52+1=8+1=9. O6052=(60)(59)(58)(57)(56)...(10)(9)=2.06374 x 10 77 maneras.4

Por

lo

tanto

3.2 Permutaciones Antes de empezar a trabajar con las permutaciones es necesario que aprendas a calcular lo que se conoce como el factorial de un número, el cual de representa por el símbolo !, debido a que lo necesitarás para poder llevar a cabo las permutaciones y las combinaciones. Factorial de un número: Dado un número entero, positivo, n!=(n)*(n-1)(n-2)(n-3)…(1). Por definición 0!=1. Por ejemplo:   

5!=(5)(4)(3)(2)(1)=120 3!=(3)(2)=6 7!=(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)=5040

Ahora si estás listo para empezar a trabajar con las permutaciones así que te pido revisar antes el siguiente video Insertar “Video 2: Permutaciones” encontrar en la siguiente dirección [Video de Permutaciones]. Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=_m3Fjngw4hE Como te habrás dado cuenta podemos decir entonces que las permutaciones son las ordenaciones de n eventos u objetos distintos sin repetición. La notación para las permutaciones es nP r. Permutaciones: El Número de ordenaciones diferentes de n eventos u objetos tomados de r en r, con r n y en los que: 1. Los n objetos o eventos son distintos 2. Una vez que se ha seleccionado un evento u objeto no puede repetirse 3. El orden es muy importante Está dado por nPr= Ejemplos 1.- ¿De cuántas maneras pueden ser escogidos un presidente y un secretario de un grupo de 6 personas? Como podemos ver hay un orden en cuanto a que primero puede ser el presidente o primero el secretario y en segundo el secretario o el presidente respectivamente, además no puede haber repetición; es decir, si ya se escogió a una persona como presidente no 4

Recuerda que este número está en notación científica y nos indica que el ponto decimal lo debemos recorrer a la derecha 77 lugares, llenando con cero las posiciones que falten: 2063740000000000000000………

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puede ser escogida como secretario. Por lo tanto se trata de una permutación de 6 personas tomadas de 2 en 2. 6P2=

Por lo tanto hay 30 maneras de escoger a un presidente y un secretario. 2.- ¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden formar con el alfabeto inglés de 26 letras (no incluye la ch, la ll, la ñ ni la rr) si no se permite repetir letras? Nuevamente se trata de un problema de permutaciones porque estamos buscando ordenaciones sin repetición debido a que las letras no se pueden repetir y además debe haber un orden ya que se puede escoger primero cualquiera de las letras, en segundo cualquiera de las letras restantes diferente a la primera y así sucesivamente. Entonces palabras.

26P4=

3.- Un club contiene 10 miembros, y se desea elegir una mesa directiva consistente en un presidente, un vicepresidente y un secretario. ¿Cuántas mesas directivas son posibles? Se trata de un problema de permutaciones debido a que una persona no puede repetir ya que si es presidente no podrá tener ningún otro cargo, además la mesa directiva lleva un orden: primero es el presidente, segundo el vicepresidente y tercero el secretario. Por lo mesas directivas.

tanto 10P 3=

4.- Considerando las letras de la palabra FOCA, 1.- ¿Cuántas palabras de cualquier longitud se pueden hacer utilizando estas 4 letras? 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una palabra ésta sea de 2 letras? Para responder a la pregunta 1 tenemos que: Si te fijas bien, se tienen 4 eventos posibles: a. Hacer palabras de 4 letras, es decir, 4P 4. b. Hacer palabras de 3 letras, es decir, 4P 3 c. Hacer palabras de 2 letras, es decir, 4P 2 d. Hacer palabras de 1 letra, es decir, 4P1 Así, llevar a cabo el evento 1 o el evento 2 o el evento 3 o el evento 4 sería, usando el principio de suma: palabras. 4P4+4 P3+4 P2+ 4P1 = Por otro lado, para responder la pregunta 2 usaremos lo que ya sabemos del cálculo de la probabilidad de un evento. El evento es T={escoger una palabra de 2 letras}. Tenemos entonces que P(T)= 4P2/(4 P4+4 P3+4 P2+4 P1) = 12/64 = 0.1875. Entonces la probabilidad seria de 18.75%. Pero, ¿qué pasaría si en una permutación NO importa el orden? Esto nos genera lo que conoceremos como una Combinación.

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3.3 Combinaciones Si tenemos que las permutaciones de 4 letras, A, B, C y D, tomadas de 2 en 2 son 12 en total tendríamos lo siguiente: AB AC AD

BA BC BD

CA CB CD

DA DB DC

Como puedes ver hay varias parejas que son semejantes excepto por el orden en que aparecen las letras AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC En ciertos casos es posible que no se desee establecer una distinción entre las parejas AB y BA, por ejemplo, y considerarlas como una misma; en estos casos el orden no cuenta y a las parejas resultantes se les da el nombre de Combinaciones. Así el número de combinaciones de 4 letras tomadas de 2 en 2 son 6: AB, AC, AD, BC, BD y CD. Combinaciones: El número de combinaciones diferentes de n eventos u objetos tomados de r en r, con r n y e n los que: 1.- Los n objetos o eventos son distintos. 2.- Una vez que se ha seleccionado un objeto o evento no se puede repetir. 3.- El orden no es importante Está dado por nCr= Ahora revisa el siguiente video: “Video 3: Combinaciones” encontrar en la siguiente dirección [Video de combinaciones]. Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=XyUZ5PkY_6k

Ejemplos 1.- ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas se pueden formar de un grupo de 7 personas? Si te das cuenta, aquí no hay repetición debido a que una persona que ya fue seleccionada no puede ser vuelta a escoger y además el orden en como sean seleccionadas no es importante, por lo tanto el problema radica en calcular el número de combinaciones de 7 objetos tomados de 3 en 3. 7C3=

comités diferentes.

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2.- Para la comida, un paciente de un hospital puede elegir una de 4 carnes posibles, dos de 5 vegetales y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas diferentes puede elegir el paciente si selecciona el número especificado de cada grupo? Si te fijas bien, el problema se puede dividir en 3 eventos: 1.- Escoger una de 4 carnes, lo cual se puede calcular con 4C1 2.- Escoger dos de cinco vegetales, lo cual se puede calcular con 5 C2 3.- Escoger uno de 3 postres, lo cual se puede calcular con 3 C1 Y si recuerdas el principio de multiplicación, tenemos que el número total de maneras en . que se puede escoger una comida sería (4 C1)( 5C2)( 3C1) = 3.- Una profesora debe seleccionar 4 alumnos de su clase de 12 alumnos para una visita a la Universidad. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? El problema lo resolvemos con las

12 C4=

maneras.

4.- ¿Cuántos equipos de Voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles? Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo tanto n=9 y r=6. Así el problema se resuelve con las 9 C6= equipos. 5.- Si en el sorteo Melate se tienen 54 números y hay que atinarle a seis de ellos cualesquiera para sacarse el primer lugar: 

¿Cuántas maneras diferentes es posible atinarle a seis números?

Si hay 54 números y se toman 6, la solución está dada por

54 C6=

25, 827, 165

maneras diferentes. 

¿Cuál es la probabilidad de que me saque el Melate si juego con 2 combinaciones de números diferentes? Si el evento es G= {Jugar 2 números diferentes el Melate}, entonces . La probabilidad sería del P(G)= 0.00000743 %, lo que significa que es una probabilidad extremadamente pequeña. ¿Jugarías?

7. En una empresa se presentan a solicitar empleo 2 contadores, 3 doctores y 5 abogados. Una vez que se ha hecho el proceso de selección, la empresa ha decidido contratar a 2 profesionistas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que sean contratados dos abogados?

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Si tomamos que el evento

T={ Que sean contratados dos abogados} 5C2

tenemos que la P(T)=

/

10C2

=

.

Por lo tanto la probabilidad sería de 22.22%. b. ¿Cuál es la probabilidad de que sean contratados dos doctores? Si tomamos que el evento

X={ Que sean contratados dos doctores} 3C2

tenemos que la P(X)=

/

10C2

=

.

Por lo tanto la probabilidad sería de 6.66%.

(Se realiza en plataforma)

3.4 Algunas reglas de probabilidad El cálculo de probabilidades hasta el momento se ha centrado en el conteo de eventos. Contar ha sido suficiente para el cálculo de probabilidades simples, es decir, probabilidades de ocurrencia de un solo evento; sin embargo en muchas ocasiones es necesario calcular las probabilidades de ocurrencia de un evento que no sea simple, es decir, de un evento compuesto. Por ejemplo, al lanzar dos dados a la mesa ¿cuál es la probabilidad de que salgan en ambos dados un número par? O ¿cuál es la probabilidad de que en dado salgo un número par y en el otro un número impar? Si te fijas las probabilidades son sobre dos eventos lo que se llama en general evento compuesto. Para poder calcular estas probabilidades nos auxiliaremos de algunas reglas básicas de probabilidad que estudiaremos en esta sección.

3.4.1 Axiomas de probabilidad A los axiomas también se le denominan postulados y son declaraciones que se aceptan sin prueba. Si E es cualquier evento para el cual vamos a calcular su probabilidad, se cumplen los siguientes axiomas: 1.- P(E) 0. La probabilidad de cualquier evento siempre es un valor positivo o cero. Si la probabilidad es cero significa que el evento que se está considerando no ocurrirá.

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2.- P(Ω)=1. Como Ω es el espacio muestral, el cual incluye a todos los eventos, la probabilidad de ocurrencia de Ω es 1. Este es el caso cuando se tiene la certeza de que un evento ocurrirá. 3.- P(E) 1. La probabilidad de un evento nunca puede ser mayor que 1. Es igual a 1 cuando el evento E es Ω Estos axiomas se consideran como las reglas más básicas de la probabilidad.

3.4.2

Reglas de Suma

4.2.1 Suma del complemento de un evento. Para cualquier evento A, existe otro evento denominado complemento 5 de A o Ac. Entonces la suma de las probabilidades de de A y Ac debe ser igual a 1. P(A) + P(Ac)=1. De lo anterior podemos deducir que P(A)=1- P(Ac) y P(Ac)=1- P(A). Ejemplos 1.- Si la probabilidad de P(A)=0.25 entonces la P(Ac)=0.75 para cualquier evento A. 2.- Si la probabilidad de P(Ac)=0.40 entonces la P(A)=0.60 para cualquier evento A. 3.- Si la probabilidad de obtener un número menor que 3 al lanza un dado a la mesa es del 33.33%. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado obtengamos un número mayor o igual a 3? Si te das cuenta los eventos obtener un número menor que 3 y obtener un número mayor o igual a 3 son complemento uno del otro, por lo tanto P(número menor que 3)=1P(número mayor o igual que 3)=1-0.3333=0.6667 lo que significa el 66.67%.

3.4.2.1 Suma de eventos mutuamente excluyentes Si recordamos, dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, si A y B son don eventos mutuamente excluyentes entonces A B= 6 ( es decir, los eventos no tienen nada en común). Entonces la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B está dada por Un evento A es en realidad un subconjunto de Ω. Por lo tanto existe otro subconjunto de Ω llamado Ac que está compuesto por todos los elementos de Ω que no están en A y tiene la característica de que al hacer AUA c =Ω. Por ejemplo, si Ω={1,2,3,4,5} y A={1,3] entonces Ac={2,4,5}. 5

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P(A B)=P(A) + P(B). Ejemplos 1.- Al lanzar una moneda al aire, ¿Cuál es la probabilidad de que salga águila o sol?. Si tomamos que el evento A={Que salga águila} y B={Que salga sol} vemos que son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto la probabilidad de que salga águila o sol queda representada por P(A B). Entonces P(A B)=P(A) + P(B)=1/2 + 1/2 = 1. 2.- Una bolsa contiene 10 pelotas etiquetadas con los números 1, 2, 3, …, 10. Si el evento A={extraer una bola marcada con el número 3 o menos} y el evento B={extraer una bola marcada con el número 6 o más} ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? Como el evento A={1, 2, 3} y el evento B={6, 7, 8, 9, 10} tenemos que P(A)=

y P(B)=

respectivamente. Por otro lado, tenemos que A y B son eventos mutuamente excluyentes, . Así que la probabilidad de que salga una bola por lo que P(A B)= etiquetada con el número 3 o menor o etiquetada con el número 6 o más es del 80%. 3.- Si un estudiante tiene la probabilidad de entrar a estudiar a una universidad particular del 45% y tiene una probabilidad del 40% de entrar a una universidad de gobierno, ¿cuál es la probabilidad de que entre a una universidad particular o de gobierno? Claramente se trata de dos eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto la P(A o B) = P(A B) = 0.45 + 0.40 = 0.85. Es decir, tiene una probabilidad del 85%. 4.- Las probabilidades de una persona que planea salir un domingo a medio día para asistir a un juego de futbol (F) o a una corrida de toros (T) o al cine a ver una película (P), son 0.35, 0.30 y 0.20 respectivamente. Los eventos son a la misma hora y sólo puede asistir a uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que haga una de éstas 3 cosas? Si te fijas muy bien tenemos que se trata de eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto la P(F T P)=0.35 + 0.30 + 0.20 = 0.85. Como habrás notado en el último ejemplo, se calculó la probabilidad de la suma de 3 eventos. La regla para llevar a cabo ésta probabilidad se puede generalizar a n eventos mutuamente excluyentes. Es decir: Si E 1, E2, E3,…, E n son n eventos mutuamente P(E1 E2 E3 ,…, En) = P(E1) + P(E 2) + P(E3) + … + P(En)

6

excluyentes

entonces

El conjunto es llamado el conjunto vacío, el cual no contiene elementos. Si tenemos que A B= entonces quiere decir que la intersección no tiene elementos lo que significa que los conjuntos o eventos no tienen nada en común.

22

3.4.2.2 Suma general de eventos Dados dos eventos A y B, mutuamente excluyentes o no, la probabilidad de que ocurra el evento A o de que ocurra el evento B está dada por P(A B)=P(A) + P(B) – P(A B) Cuando A B= la P( )=0 y la regla queda exactamente igual que la regla vista en la sección anterior. 7 Ejemplos 1.- Si la probabilidad de que una persona llegue asistir a la Universidad es de 0.6; la probabilidad de que trabaje es de 0.7 y la probabilidad de que asista a la Universidad y la probabilidad de que trabaje tiempo completo es de 0.5 ¿Cuál es la probabilidad de que asista a la Universidad o trabaje tiempo completo? Si P(A)= la probabilidad de asistir a la Universidad, p(B)= la probabilidad de que trabaje tiempo completo y P(A B)= la probabilidad de que asista a la Universidad y trabaje tiempo completo entonces P(A B)=0.6 + 0.7 – 0.5 = 0.8. 2.- Una bolsa contiene 10 pelotas etiquetadas con los números 1, 2, 3, …, 10. Si A={Extraer una bola marcada con un número par} y B={Extraer una bola marcada con el número 5 o menos} ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? Tenemos que A={Extraer una bola marcada con un número par}={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 2, = 0.8. 3, 4, 5} y A B={2, 4} entonces P(A B)=P(A) + P(B) – P(A B) = 3.- En una clase hay 40 alumnos: 5 de primer año, 25 de segundo año, 6 de tercer año y 4 de cuarto año. Entre los 40 alumnos 2 de primero, 12 de segundo, 3 de tercero y 3 de cuarto son hombres. Si seleccionamos aleatoriamente a un estudiante 

¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea hombre o mujer? Como son dos eventos mutuamente excluyentes, tenemos que para calcular la P(Hombre o Mujer) usamos la regla P(H M)=P(H) + P(M). Entonces al calcular 1. P(H M)=



¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea de primer año o de segundo año? P(Primer año Segundo año)= 0.75



¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer o de segundo año? Para calcular esta probabilidad es muy importante que te des cuenta que no son eventos mutuamente excluyentes porque si puede haber Mujeres y de segundo

7

Cuando un evento está formado por el conjunto vacío se dice que es un evento imposible porque nunca ocurrirá, por tal motivo su probabilidad es CERO.

23

año (son 13 estudiantes con ésta característica porque si hay en total 25 estudiantes de segundo y 12 son hombres entonces 13 son mujeres) entonces la P(Mujer o Segundo año)= P(M)+P(S)-P(M S). Así 0.8.

P(M)+P(S)-P(M S)=



3.4.3

¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea de segundo o de tercero o de cuarto año? Nuevamente tenemos que se tratan de eventos mutuamente excluyentes por lo que la P(Segundo o Tercero o Cuarto) se calcula P(S T C)=P(S)+P(T)+P(C)= 0.875.

Reglas de Multiplicación

Si recuerdas dos eventos A y B pueden ser independientes, es decir, si la ocurrencia de A (o B) no afecta la probabilidad de que B (o A) ocurra se dice que A y B son independientes. Se les denomina independientes debido a que el hecho de que un evento ha ocurrido en ninguna forma influirá en la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. En caso contrario, se dice que lo eventos son dependientes. Cuando tenemos dos eventos independientes y queremos calcular su probabilidad entonces tenemos que usar la regla de multiplicación llamada regla especial de multiplicación, mientras que si los eventos son dependientes tenemos que usar la regla de multiplicación llamada regla general de multiplicación. 3.4.3.1 Regla especial de multiplicación Si A y B son dos eventos independientes, entonces la probabilidad de ocurrencia tanto de A como de B (que se puede tomar como la ocurrencia de A y la ocurrencia de B) es igual al producto de sus probabilidades respectivas P(A y B) = P(A B)=P(A)P(B) Ejemplos 1.- Se lanza una moneda al aire dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga águila en el primer lanzamiento y salga águila en el segundo lanzamiento? Tenemos dos eventos que son independientes ya que la probabilidad de ocurrencia de salga águila en el primer lanzamiento no afecta al resultado del segundo lanzamiento, por lo tanto P(Águila primer lanzamiento y Águila segundo lanzamiento)=P(A A)=P(A)P(A)=(0.5)(0.5) = 0.25. La probabilidad es del 25%.

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2.- Al lanzar dos dados sobre una mesa, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 en el primer dado y un número menor que 3 en el segundo dado? Si tomamos que A={salga un número menor que 5 en el primer dado}={1, 2, 3, 4} y que =0.2222. B={salga un número menor que 3}={1, 2}, la P(A B)=P(A)P(B)= Por lo tanto la probabilidad de que salga en el primer dado un número menor que 5 y en el segundo dado un número menor que 3 es de 22.22%.

3.4.3.2 Regla general de multiplicación Si A y B son eventos dependientes, entonces la probabilidad de que ocurra A y ocurra B es igual al producto de la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B con la condición de que A haya ocurrido; es decir P(A B)=P(A)P(B/A) La barra / entre B y A significa “con la condición de”, y P(B/A) denota a la probabilidad condicional de B dada A. De la expresión anterior, despejando, podemos obtener que la probabilidad de B dado A se puede calcular con

P(B/A)=

.

Ejemplos 1.- Al terminar un partido de futbol en el campeonato Mexicano, a cada equipo se le hace la prueba de anti doping. Si al tomar el primer equipo en el cual hay 8 juga dores mexicanos y 3 extranjeros 

¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a los dos jugadores sean extranjeros? Si tomamos que A={El primer jugador seleccionado es extranjero} y B={El segundo y la P(B/A)= . Es jugador seleccionado sea extranjero} entonces la P(A)= importante que notes que en la segunda probabilidad dado que ya salió un jugador extranjero sólo tendríamos 1 jugador extranjero como caso favorable de 10 jugadores restantes como casos totales. Por lo tanto P(A B)= P(A)P(B/A) = =0.0545, es decir, la probabilidad de que el primer jugador



seleccionado sea extranjero y el segundo jugador seleccionado sea extranjero es de 5.45% ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar los dos jugadores sean mexicanos?

25

Si tomamos que A={El primer jugador seleccionado es mexicano} y B={El segundo jugador seleccionado es mexicano} entonces P(A B)= P(A)P(B/A) = =0.5090. La probabilidad es de 50.90%. 2.- En una bolsa hay 16 tarjetas. Ocho de ellas son rojas, seis naranja y dos azules. Si extraemos dos tarjetas una después de la otra, sin reemplazarlas, 



¿Cuál es la probabilidad de que ambas tarjetas sean del mismo color? Si te fijas bien, el evento Z={que salgan dos tarjetas del mismo color} puede ocurrir de varias formas: o A={La primera tarjeta roja} y B={la segunda tarjeta roja} ó o C={La primera tarjeta naranja} y D={la segunda tarjeta naranja} ó o E={La primera tarjeta azul} y F={la segunda tarjeta azul}. Para calcular la probabilidad del evento original, tenemos que obtener la probabilidad de cada opción y sumarlas (recuerda el principio de suma visto anteriormente), además como el evento es sin reemplazo tenemos que calculara cada probabilidad usando la regla general de multiplicación: P(Z)=P(A B) + P(C D) + P(E F)= P(A)P(B/A) + P(C)P(D/C) + P(E)P(F/E) = = 0.3666. Por lo tanto P(Z)=36.66%. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas tarjetas sean de color naranja? Si tomamos que A={La primera tarjeta es de color naranja} y B={La segunda tarjeta es de color naranja? Entonces = 0.0083 que significa el 0.83%. P(A B)= P(A)P(B/A) =

3.- En la ciudad de México existen 80 candidatos que buscan obtener una franquicia de alimentos rápidos. Algunos tienen un grado universitario y otros no. Algunos tienen experiencia previa en la industria del servicio de alimentos rápidos y otros no. La tabla siguiente muestra la distribución de los 80 candidatos

Experiencia previa en el servicio de alimentos Ninguna experiencia previa en el servicio de alimentos TOTAL

Graduados universidad 24

de

No graduados universidad 36

de

TOTAL 60

12

8

20

36

44

80

Si el orden en que se revisa a los candidatos es aleatorio, G={El primer candidato revisado tiene un grado universitario} y E={El primer candidato revisado tiene experiencia previa en el servicio de alimentos}, calcular: a. P(G)=36/80 = 0.45

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b. c. d. e.

P(E)=60/80 = 0.75 P(Gc)=44/80 = 0.55 P(E G) = 24/80 = 0.3 P(Gc Ec)= 8/80 = 0.1

f.

P(E/G)=

g. P(Gc/EC)=

0.6666 0.4

h. P(E G)= P(E) + P(G) – P(E G) = 0.75 + 0.45 – 0.3 = 0.9

(Se realizan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

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ConclusiĂłn Haz finalizado tu segunda unidad del curso de EstadĂ­stica y Probabilidad, en el cual aprendiste los siguientes conceptos:

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Referencias De contenido Libros     

Castillo, J. (1998). Estadística Básica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Freund, J. (1994). Estadística Elemental. México: Pearson Prentice Hall. Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté. Triola, M. (2009). Estadística. México: Pearson Prentice Hall. Zavala Aguilar, R. (2011). Estadística Básica. México: Trillas.

De consulta Sitios de internet Las siguientes ligas electrónicas te servirán de apoyo para el cálculo de probabilidades, técnicas de conteo y análisis combinatorio  FACULTAD DE CIENCIAS, CENTRO DE MATEMATICA. (2006). Probabilidad. http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/7_probabilidad.pdf  UNAM. (2012). Estadística y Probabilidad. http://www.recursoseducativos.unam.mx/eduCommons/search?Subject%3Alist=E stad%C3%ADstica%20y%20Probabilidad  UNAM. (s.f.). Matemáticas III: Unidad 3. Análisis combinatorio. http://ecampus.fca.unam.mx/ebook/imprimibles/informatica/matematicas_III/Unida d_3.pdf

De imágenes 19. Blaise Pascal

Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/63794459@N07/6542486179/ 20. Pierre de Fermat Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/32699173@N02/3055003585/ 21. Pierre Simon Laplace Recuperado de: http://www.flickr.com/photos/48658964@N07/4578223826/

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Unidad 3

Introducciรณn a la Probabilidad

NOMBRE:

TUTOR:

FECHA:

Situación: La Secretaria de Salud decidió hacer un estudio sobre la edad a la que las personas de la Ciudad de México contraían cierta enfermedad. Se tomó una muestra de 100 personas y se les preguntó la edad en la contrajeron la enfermedad. Instrucciones 

Abre la actividad de la unidad 1, copia la tabla de intervalos con su frecuencia absoluta y pégala en el siguiente espacio:

Número de Intervalo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalos Frecuencia

Total 

100

Basándote en la tabla recuperada de la unidad 1 realiza lo que se te solicita.

1. Se aplicará un tratamiento para atender la enfermedad. La persona será elegida aleatoriamente y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de elegir: a. Dos personas del intervalo 2, una después de la otra.

b. Una persona del intervalo 4 y después una persona del intervalo 7.

2. De las 100 personas que componen la muestra, el 70% recibió atención a tiempo. En la actividad de la unidad 1 ordenaste los datos de forma ascendente. Revísalos y llena la siguiente tabla con los valores solicitados:

Personas menores de 40 años Personas mayores de 40 años

Recibieron atención a tiempo

No recibieron atención a tiempo

Total de personas

0.7A

0.3A

A

0.7B

0.3B

B

70 personas

30 personas

100 personas

Donde: o o o o o o o

A es el número de personas menores de 40 años B es el número de personas mayores de 40 años 0.7A es el 70% del número de personas menores de 40 años. 0.7B es el 70% del número de personas mayores de 40 años. 0.3A es el 30% del número de personas menores de 40 años. 0.3B es el 30% del número de personas mayores de 40 años. En caso necesario aplica redondeo a enteros en los resultados de los porcentajes.

Si se selecciona una persona al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una persona menor de 40 años?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una persona menor de 40 años y que recibió atención a tiempo?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una persona mayor de 40 años?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una persona mayor a 40 años y que no recibió atención a tiempo?

Unidad 4. Distribuciones de Probabilidad Introducción En la mayoría de los problemas de estadística, sólo nos interesamos en un aspecto o a lo sumo en unos cuantos aspectos de los resultados de los experimentos. Por ejemplo, un estudiante que hace una prueba de “si” o “no” puede interesarse sólo en el número de preguntas que se responden correctamente y no en cuales; a un sociólogo tal vez sólo le interese el nivel socioeconómico de una persona entrevistada en una encuesta y no su edad ni su peso. Así mismo, a un agrónomo le puede interesar sólo el rendimiento por hectárea de un nuevo maíz pero también la temperatura a la que germina; y a un ingeniero automotriz le puede interesar el brillo y la durabilidad de los faros propuestos para un nuevo automóvil pero también su costo proyectado. En los ejemplos anteriores, el interés está en los números que se asocian con los resultados de situaciones que implican un elemento de probabilidad, es decir, en los valores de las llamadas variables aleatorias. La Estadística Descriptiva nos ofrece una serie de herramientas muy útiles para resumir gráfica y numéricamente los datos que hemos obtenido sobre una característica o variable de interés, X, de una población. Estos resúmenes son muy interesantes, pero el objetivo de la Estadística habitualmente va más allá: pretende obtener conclusiones sobre la población a partir de los datos obtenidos en la muestra. La obtención de conclusiones será el objetivo de la Inferencia Estadística y para su desarrollo necesitaremos los modelos de probabilidad. Por su parte, la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Recordemos que un experimento aleatorio es todo aquel experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, es necesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular aún cuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismas condiciones iniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la probabilidad tiene el objetivo de modelar matemáticamente cualquier experimento aleatorio de interés. Para poder trabajar con esto modelos de probabilidad necesitamos variables aleatorias. Es muy importante señalar que un modelo de distribución de probabilidad de una variable aleatoria nos permitirá estudiar una enorme cantidad de procesos naturales y sociales de carácter aleatorio. En esta unidad trabajaremos con los modelos de probabilidad, llamados también modelos de distribución de probabilidades o simplemente distribución de probabilidad, Binomial, Poisson y Normal no sin antes saber y conocer lo que es una variable aleatoria. Propósito Al término de la unidad el estudiante serás competente para determinar la forma en que la probabilidad de un evento se distribuye; mediante la utilización de variables aleatorias, así como el análisis de la distribución de probabilidad normal, binomial y de Poisson. Esto te permitirá realizar un mejor análisis de un fenómeno físico o social.

1

4.1 Variables Aleatorias En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. La importancia de las variables aleatorias radica en que nos permitirá introducir modelos matemáticos en el cálculo de probabilidades. Podemos decir que una variable aleatoria es aquella que toma valores numéricos determinados por los resultados de un experimento aleatorio y generalmente se representan por las últimas letras del alfabeto X, Y o Z. Ejemplos 1.- En el experimento de lanzar 3 monedas al aire, el espacio muestral está dado por Ω={(A,A,A), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,S,S), (S,A,S), (S,S,A), (S,S,S)}. Podemos definir la variable aleatoria X=número de águilas en las 3 monedas. Los valores que toma la variable X=0, 1, 2 y 3. Es decir Valores de X (Número de águilas en las 3 monedas) 0 1 1 1 2 2 2 3

Ω (S,S,S) (S,S,A) (S,A,S) (A,S,S) (S,A,A) (A,S,A) (A,A,S) (A,A,A)

2.- Para el experimento de observar 2 niños recién nacidos en un Hospital. El espacio muestral está dado por Ω={HH, HM, MH, MM}. Podemos definir la variable aleatoria X=número de varones, entonces los valores que toma X=0, 1, 2. Ω HH HM MH MM

Valores de X (Número par) 2 1 1 0

3.- De una caja que contiene 5 tarjetas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 tarjetas una por una y sin reemplazo. El espacio muestral está dado por Ω={(1,2,3), ((1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5), (3,4,5)}. Podemos definir a X=El mayor de los tres números sacados, así X=3, 4, 5. 4.- Se lanzan dos dados a una mesa. El espacio muestral está dado por Ω = {(1,1), (1,2),…(1,6), (2,1), (2,2), (2,3),…, (3,1), (3,2), (3,3),…, (4,1), (4,2), (4,3), …, (5,1), (5,2),

2

(5,3),…, (6,1), (6,2), (6,3),…, (6,6)}. Podemos definir X=La suma de los números, entonces X=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. 5.- Un profesor califica sus pruebas en una escala de 4 puntos (1, 2, 3 y 4). Para un curso que tiene con 15 alumnos los resultados ordenados fueron 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Podemos definir la variable aleatoria Y= Resultado de la prueba de un alumno, entonces Y=1, 2, 3, 4. 6.- En un hospital, de los nacimientos en el último mes, podemos definir la variable aleatoria X=Peso del recién nacido. Si te fijas, los valores que puede tomar esta variable son cualquiera por arriba de cero; es decir, cualquier real positivo. 7.- En una encuesta en una colonia que consta de 100 casas, se escoge una al azar y se le pregunta ¿cuántos hijos tienen? Podemos definir la variable aleatoria Z=El número de hijos del sexo masculino. La variable toma los valores Z=0, 1, 2, 3, 4, etc. 8.-Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en seleccionar una persona y apuntar su altura. Podemos crear una variable aleatoria cuyos valores sean el número de centímetros que tiene de alto la persona observada. En conclusión, una variable aleatoria X es aquella en la que se establece una correspondencia entre el espacio muestral Ω y el conjunto de los números reales, correspondencia en la cual a cada elemento de Ω le corresponde uno y solamente un número real. Es decir, una variable aleatoria es una función de Ω en el conjunto de los números reales. Las variables aleatorias se clasifican en Discretas y Continuas.  Las variables aleatorias Discretas son aquellas que en las cuales el conjunto de posibles valores es numerable finita o infinitamente, es decir, sólo toma valores enteros. Generalmente están asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. Por ejemplo: El número de hijos, número de páginas de un libro, los puntos obtenidos al lanzar un dado, el número de preguntas en una clase de una hora, etc.  Las variables aleatorias Continuas son aquellas en las que el conjunto de posibles valores es no numerable, es decir, puede tomar todos los valores de un intervalo y generalmente son el resultado de medir en un experimento. Por ejemplo, el peso de los recién nacidos en un hospital, la altura de loa alumnos de una clase, el tiempo de duración de un foco, la longitud de una planta dentro de 2 meses, etc. Pero, ¿cómo se distribuye una variable aleatoria?

(Se realiza en plataforma)

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4.2 Distribución de Probabilidad Empecemos a trabajar con la distribución de probabilidad de una variable discreta la cual se puede definir de la siguiente manera: La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula, función o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas. Ejemplo Una enfermera tiene a su cargo 50 familias. Vamos a construimos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X=el número de niños por familia para esta población. La siguiente tabla muestra la frecuencia de niños en las familias así como la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor de 0, 1, 2, …, 10. X (Número de niños) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL

Frecuencia de ocurrencia de x. 1 4 6 4 9 10 7 4 2 2 1 50

P(X=x) P(X=0)=1/50=0.02 P(X=1)=4/50=0.08 P(X=2)=6/50=0.12 P(X=3)=4/50=0.08 P(X=4)=9/50=0.18 P(X=5)=10/50=0.2 P(X=6)=7/50=0.14 P(X=7)=4/50=0.08 P(X=8)=2/50=0.04 P(X=9)=2/50=0.04 P(X=10)=1/50=0.02 1

La cual se puede representar gráficamente

Imagen 22. Distribución de probabilidad del número de niños

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Si te fijas bien, te darás cuenta que los valores de P(X=x) son todos positivos, que todos son menores que 1 y su suma es igual a 1. Lo anterior son las propiedades esenciales que tienen todas las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas; es decir 1. 2. Con la distribución de probabilidades pueden hacerse proposiciones de probabilidad referentes a la variable aleatoria X. Vamos a suponer que la enfermera, con las 50 familias a su cargo, elige aleatoriamente una de ellas para visitarla.  ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga 3 niños? En la tabla anterior y en la gráfica se ve claramente que es 4/50=0.08; es decir P(X=3)=0.08.  ¿Cuál es la probabilidad de que la familia elegida al azar tenga 3 o 4 niños? Para responder a esta pregunta se aplica la regla de adición de probabilidades, es decir, P(X=3) + P(X=4) =0.08 + 0.18 = 0.26. A veces resultará conveniente y útil trabajar con la distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria. La distribución de probabilidad acumulada se obtiene sumando sucesivamente las probabilidades P(X=x), por ejemplo, en la tabla anterior tendríamos que X (Número niños) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL

de

Frecuencia de ocurrencia de x. 1 4 6 4 9 10 7 4 2 2 1 50

P(X=x)

P(X x)

0.02 0.08 0.12 0.08 0.18 0.2 0.14 0.08 0.04 0.04 0.02 1

0.02 0.1 0.22 0.3 0.48 0.68 0.82 0.9 0.94 0.98 1

Con lo anterior podemos responder a preguntas como:  ¿Cuál es la probabilidad de que una familia al azar de entre las 50 tenga menos de 5 niños? Lo que necesitamos para responder es calcular P(X<5), ésta se obtiene determinando el valor de la probabilidad acumulada para los valores de X=0 hasta X=4; es decir, P(X<5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) lo cual se puede calcular sumando cada una de las probabilidades que sería lo mismo que ubicar la distribución de probabilidad acumulada hasta X=4. Entonces P(X<5)=0.48.  ¿Cuál es la probabilidad de que una familia elegida aleatoriamente tenga 5 o más niños? Usando el concepto del complemento de una probabilidad, visto

5



anteriormente, el conjunto de familias con 5 o más niños es el complemento del conjunto de familias con menos de 5. Su suma es igual al conjunto universal de 50 familias. Como la probabilidad total es 1 y se ha encontrado que P(X<5)=0.48; la probabilidad P(X 5)=1-P(X<5) = 1 – 0.48 = 0.52. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia seleccionada al azar tenga entre 3 y 6 niños, incluyendo 3 y 6? Lo que debemos calcular es P (3 6). Para calcular lo anterior tenemos que P (3 X 6)=P(X 6) – P(X<3) = 0.82 – 0.22=0.6 Para comprobar lo anterior podemos también calcular P(3 X 6)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) = 0.08+0.18+0.2+0.14=0.6.

Si consideramos que la distribución de probabilidad anterior se desarrollo a partir de una experiencia real, encontrar otra variable aleatoria siguiendo esta distribución sería una coincidencia; sin embargo, las distribuciones de probabilidad de muchas variables de interés pueden determinarse o suponerse sobre la base de consideraciones teóricas. Más adelante se estudiarán dos de éstas distribuciones teóricas de probabilidad: La Binomial y la de Poisson. Con respecto a las variables aleatorias continuas, como pueden tomar muchos valores dentro de un intervalo lo que hicimos para las variables aleatorias discretas no nos funcionaria, es decir, tomar cada valor con su probabilidad asociada porque representa un punto y no un intervalo. Para poder conocer la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua nos valdremos de lo que se conoce como una función de densidad. Dicha función nos proporciona una gráfica parecida a un histograma, y no será difícil creer que, en general, a medida que el número de observaciones tiende al infinito y el ancho de los intervalos de clase tiende a cero el histograma se aproxima a una curva suave

Curvas suaves como ésta son la que se usan para representar gráficamente a las variables aleatorias continuas. Esto tiene algunas consecuencias importantes, cuando se trabaja con las distribuciones de probabilidad de variables continuas, como que el área total bajo la curva es igual a 1. Así mismo, la probabilidad entre dos puntos cualesquiera, sobre el eje X, es igual al área limitada por las rectas perpendiculares levantadas en esos dos puntos, la curva y el eje X.

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Es muy importante destacar que la probabilidad de cualquier valor específico de la variable aleatoria continua es cero, esto parece lógico puesto que un valor específico se representa por un punto sobre el eje X y el área por encima de un punto es cero. Una función f(x) recibe el nombre de distribución de probabilidad (llamada también función de densidad de probabilidad) de la variable aleatoria X, si el área total limitada por su curva y el eje X es igual a 1, y si el área debajo de la curva limitada por la curva, el eje X y las perpendiculares levantadas en dos puntos cualesquiera a y b, da la probabilidad de que X esté entre los puntos a y b. Es decir P(a<X<b).

Más adelante trabajaremos con una función de distribución de probabilidades para variables aleatorias continuas llamada la Distribución Normal.

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4.3 Distribución de Probabilidad Binomial La distribución Binomial es una de las distribuciones de probabilidad que se encuentran con más frecuencia en la estadística aplicada. La distribución se obtiene de un proceso conocido como ensayo de Bernoulli, en honor al matemático suizo James Bernoulli (1654 – 1705), quien realizó importantes contribuciones en el campo de la probabilidad, incluyendo en particular, a la distribución binomial.

Cuando un solo ensayo de algún proceso o experimento puede conducir sólo a uno de dos resultados mutuamente exclusivos, tales como águila o sol, muerto o vivo, enfermo o saludable, masculino o femenino, el ensayo se conoce como ensayo de Bernoulli. Una sucesión de ensayos de Bernoulli forman un proceso de Bernoulli bajo las condiciones siguientes: 1.- Cada ensayo conduce a uno de dos resultados posibles, mutuamente exclusivos. Uno de los resultados posibles se denota (arbitrariamente) como éxito y el otro se denota como fracaso. 2.- La probabilidad de éxito, denotada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. La probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q. 3.- Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de cualquier ensayo particular no es afectado por el resultado de cualquier otro ensayo. Un proceso o experimento aleatorio tiene una distribución Binomial si se compone de n ensayos de Bernoulli, estadísticamente independientes y con la misma probabilidad de éxito p en cada uno de ellos. En este caso la variable aleatoria X es X=”Número de éxitos obtenidos en los n ensayos de Bernoulli”, donde los posibles valores de X=0, 1, 2, 3, …, n. Una distribución Binomial está determinada por dos parámetros: uno es el número n de ensayos y el otro es la probabilidad de éxito p y se representa X b(n,p). La función de distribución de probabilidad para x=0, 1, 2, 3, …, n. es

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Ejemplos 1. Se lanza una moneda 5 veces y se cuenta el número de águilas que salen. Podemos tomar la variable aleatoria X=Número de águilas, tomando que el éxito es obtener águila. Como se trata de lanzar una moneda, la probabilidad de que salga águila es 0.5, por lo tanto p=0.5 y como consecuencia q=1-p=1-0.5=0.5. Además n=5. a. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3 águilas? P(X=3) = (5C3)(0.5)3(0.5)5-3 =

, es decir 31.25%.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 soles? Como n=5 y x=3 águilas (éxitos), los fracasos son n-x=5-3=2 que son los soles. Como tenemos que P(X=3)=0.3125 entonces usando el complemento 1-P(X=3) obtenemos la probabilidad buscada, así que al calcular 1-0.3125=0.6875. c. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan menos de 3 águilas, incluyendo 3 águilas? La probabilidad buscada es P(X )=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3), entonces  P(X=0)= (5 C0)(0.5)0(0.5) 5-0= 

P(X=1)= (5 C1)(0.5)1(0.5) 5-1=



P(X=2)= (5 C2)(0.5)2(0.5) 5-2=



P(X=3)= (5 C3)(0.5)3(0.5) 5-3=

Entonces P(X

)=0.03125+0.15625+0.3125+0.3125 = 0.8125.

d. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan entre 2 y 4 águilas, incluyendo 2 y 4 águilas? La probabilidad buscada es P(2 X 4), la cual la calculamos haciendo P(2 X 4)=P(X 4) - P(X 2) o podemos calcularlo haciendo P(2 X 4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=3). Realiza los cálculos en tu cuaderno. e. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan más de 2 águilas, incluyendo 2 águilas? Lo resolvemos con P(X 2)=1-P(X 2)=1-[0.03125+0.15625+0.3125]=0.5. 2. Supóngase que se sabe que el 30% de cierta población son inmunes a alguna enfermedad. Si , se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 8 de ésta población a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente cuatro personas inmunes? b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga al menos 5 personas inmunes? c. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga máximo 7 personas inmunes, incluyendo 7 personas?

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Para resolver el problema podemos proceder como en el ejemplo anterior y usar directamente la función de distribución Binomial como lo hicimos en el ejemplo anterior sin embargo también podemos resolverlo usando la tabla de distribución d e probabilidades acumulada. Tomaremos que el éxito es que sea inmune la persona con los que p=0.3, por lo tanto q=0.7. Calculemos dicha tabla Número de personas seleccionadas (X) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X=x)

P(X x)

0.05764801 0.19765032 0.29647548 0.25412184 0.1361367 0.04667544 0.01000188 0.00122472 0.00006561

0.05764801 0.25529833 0.55177381 0.80589565 0.94203235 0.98870779 0.99870967 0.99993439 1

Ahora si podemos responder las preguntas a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente cuatro personas inmunes? P(X=4) = 0.1361367 b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga al menos 5 personas inmunes? P(X>5) = 1-P(X 5) = 1- 0.98870779 = 0.01129221 c. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga máximo 7 personas inmunes, incluyendo 7 personas? P(X 7)=0.99993439 Los cálculos de las probabilidades pueden resultar un poco laboriosa y tediosa cuando n tome un valor muy grande, por esa razón existen tablas donde se ha calculado ya la probabilidad, de una variable aleatoria que se distribuye en forma Binomial, para diferentes valores de n, p y x.

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Imagen 27. Tabla de la distribuciรณn binomial

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También existen tablas con la distribución de probabilidad acumulada

Imagen 28. Tabla de distribución binomial acumulada En cualquiera de los casos, se pueden utilizar para calcular la probabilidad que necesites.

4.4 Distribución de Probabilidad Poisson La siguiente distribución discreta que estudiaremos es la distribución Poisson, llamada así en honor al matemático francés Simeon Denis Poisson (1781-1840). Esta distribución se ha utilizado mucho en biología y medicina.

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La distribución de Poisson se caracteriza por dos cosas: 1.- Porque en el proceso estudiado está identificado una UNIDAD cualquiera (que puede ser de tiempo, de espacio, de volumen o peso material, etc.). Como unidades podemos entender:       

Un litro Una hectárea Uno o diez minutos Una página de un libro Una semana, un lapso de 25 minutos, una hora Una comunidad con un tamaño específico Un siglo

2.- Porque se contabiliza un cierto NÚMERO DE OCURRENCIAS EVENTUALES para cada unidad. Como ocurrencias eventuales podemos entender  La aparición de cierta bacteria  La maduración de granos cultivados  La llegada de una persona a una caja de una tienda  La llegada de un paciente a un hospital determinado  El desperdicio del agua en una comunidad Podemos a. b. c.

afirmar entonces que los siguientes son procesos con distribución Poisson: El número de bacterias por litro que hay en cierto tipo de recipientes. La cantidad de granos por hectárea recogidos en una cosecha. El tiempo (cada minuto o cada diez minutos) de espera de una persona en la cola de una caja registradora. d. El tiempo de estadía de un paciente en el servicio de emergencias de un hospital (por día, por mes, por semana, etc.). e. La cantidad en metros cúbicos de agua desperdiciada por comunidad de tamaño específico.

Si X es una variable aleatoria discreta que satisface las condiciones de la distribución de Poisson y λ es el número promedio de ocurrencias por unidad, entonces la función de distribución de probabilidad para los posibles valores de X=0, 1, 2, … es f(x)=P(X=x)= En este caso escribimos X

donde e es una constante cuyo valor es 2.718…. Poisson( ).

Ejemplos 1.- El administrador de un hospital, que ha estado estudiando las admisiones diarias de emergencia durante un periodo de varios años, ha llegado a la conclusión de que están distribuidas de acuerdo con la ley de Poisson. Los registros del hospital revelan que, durante este periodo, las admisiones de emergencia han sido, en promedio, de 3 por día. Si el administrador está en lo cierto al suponer una distribución de Poisson, encontrar la s siguientes probabilidades:

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Antes de calcular las probabilidades es importante dejar claro que la variable aleatoria X=Número de admisiones diarias de emergencia y =3. 

La probabilidad de que en un día dado, ocurran exactamente dos admisiones de emergencia. P(X=2)=



La probabilidad de que en un día particular no ocurra admisión de emergencia alguna. P(X=0)=





0.225

0.050.

La probabilidad de que en un día particular sean admitidos tres o cuatro casos de emergencia Usando la suma de probabilidades tendríamos que la probabilidad buscada está dada por P(X=3) + P(X=4). Entonces si o

P(X=3)=

0.225 y

o

P(X=4)=

0.16875

o

P(X=3) + P(X=4)= 0.225 + 0.16875 = 0.39375

La probabilidad de que en un día particular sean admitidos a los más tres casos de emergencia incluyendo el tercer caso. Esta probabilidad la calculamos P(X 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.050+0.15+0.225+0.225=0.65.

con

2.- En una call center entran en promedio 4 llamadas telefónicas cada 10 minutos en horas hábiles. Si X=Número de llamadas telefónicas, calcular 

La probabilidad de que en un intervalo de 10 minutos entren exactamente 3 llamadas. 0.192

Tenemos que =4 entonces P(X=3)= 

La probabilidad de que sucedan a lo más dos llamadas en un intervalo de 10 minutos. P(X 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=



=0.2381

La probabilidad de que se presenten más de dos llamadas en un intervalo de 10 minutos. P(X>2)=1-P(X 2)=1-0.2381=0.7619.

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Al igual que la distribuciรณn Binomial, existen tablas donde ya estรกn calculadas las probabilidades para diferentes valores de y de X.

Imagen 30. Tabla de distribuciรณn Poisson

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4.5 Distribución de Probabilidad Normal La distribución Normal es la más importante de toda la estadística. La fórmula para esta distribución fue publicada por primera vez por Abraham De Moivre (1667 – 1754). Muchos otros matemáticos figuran de manera prominente en la historia de la distribución normal, incluyendo a Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Con frecuencia se le nombra como distribución gaussiana en reconocimiento a sus contribuciones. La distribución Normal es aquella en la que la función de densidad f(x) crece y decrece suave y simétricamente a derecha e izquierda de la media. Su representación gráfica se aproxima o es semejante a una campana como lo muestra la siguiente figura

Imagen 31. Distribución normal

Su función de densidad está dada por f(x)=

donde

y

(los

parámetros característicos de la distribución normal) son respectivamente la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X. La distribución normal de una variable aleatoria X se representa X ( , ). Por su gran importancia es necesario conocer sus propiedades: 1.- Como toda distribución de una variable aleatoria continua, el área de la superficie delimitada por la curva y el eje x es igual a uno.

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2.- Es simétrica con respecto a su media 3.- La media, la mediana y la moda son iguales. 4.- Si se levantan perpendiculares a una distancia de una desviación estándar de la media, en ambas direcciones, el área encerrada por estas per pendiculares, el eje x y la curva será aproximadamente el 68% del área total.

Si se extienden estas fronteras laterales hasta una distancia de dos desviaciones estándar, hacia cada uno de los dos lados de la media, se encerrará aproximadamente el 95% del área.

Imagen 34. Gráfica del área a 2 desviaciones estándar Si se extiende hasta una distancia de 3 desviaciones estándar, se provocará que aproximadamente el 99.7% del área total queda encerrada.

Imagen 35. Gráfica del área a 3 desviaciones estándar 5.- La distribución normal queda completamente determinada por los parámetros µ y σ. En otras palabras, se especifica una distribución normal diferente para cada valor deferente

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de µ y σ. Los valores diferentes de µ trasladan a la gráfica de la distribución a lo largo del eje x.

Imagen 36. Variación de la distribución normal en función de μ Los valores diferentes de σ determinan el grado de aplastamiento o de lo puntiagudo de la gráfica de la distribución.

Imagen 37. Variación de la distribución Normal en función de σ Esta última propiedad de la distribución normal implica que en realidad ésta es una familia de distribuciones, en la cual se distingue un miembro de otro con base en los valores de µ y σ. El miembro más importante de ésta familia es la distribución normal unitaria o estándar, llamada así porque tiene una media de cero y una desviación estándar de uno. La función de densidad de ésta distribución puede obtenerse a partir de sustituir µ=0 y σ=1 en la función de densidad de la distribución normal. Pero, ¿por qué es la más importante? Porque todos los casos particulares de distribuciones normales pueden ser trasladados a una distribución normal unitaria en la cual la variable aleatoria X cambia a Z, con lo cual tenemos que Z N(0,1), es decir, cualquier evento de una variable aleatoria X se traslada a un evento de la normal unitaria, Z, que mantenga la misma probabilidad (las probabilidades de ambos eventos deben corresponder a áreas iguales).

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Y, ¿Cómo logramos transformar X

( , ) en Z N(0,1)? Usando la fórmula Z=

. Así

la P(a<X<b) será lo mismo que calcular P(0<Z<z). Si te das cuenta, para poder calcular la probabilidad, en cualquiera de los casos, tendríamos que encontrar el área bajo la curva.

Imagen 38. Gráfica del área bajo la curva Esta tarea se tendría que hacer usando Cálculo Integral. No lo haremos a través del Cálculo sino usando la tabla de la distribución normal unitaria con la cual se nos facilitará más el cálculo de las probabilidades. Las tabla nos dan el valor del área bajo la curva entre cero y el valor de z (ver figura). ¿Cuál es la tabla?

Imagen 39. Gráfica del área bajo la curva entre 0 y el valor de z

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Imagen 40. Tabla de distribuciรณn normal

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Y ¿Cómo se usan? Ejemplos 1.- ¿Cuál es la probabilidad de que z esté entre 0 y 2.27? Lo que nos piden queda representado en la gráfica siguiente

Imagen 41. Gráfica de probabilidad de que z esté entre 0 y 2.27 Para localizar el valor de 2.27 en las tablas, primero buscamos en la primer columna el valor 2.20, después de manera vertical sobre el reglón que corresponde a 2.2 buscamos la columna de 0.07 y la intersección de columna y renglón finalmente nos da el valor buscado. En este caso P(0<z<2.27)=0.4884. 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que una z elegida al azar de entre la población de z tenga un valor entre -2.55 y 2.55? La región buscada está dada por la siguiente imagen:

Imagen 42. Gráfica de la probabilidad de que una z elegida al azar de entre la población de z tenga un valor entre -2.55 y 2.55 La probabilidad buscada es en realidad P(-2.55<z<2.55). El valor de la probabilidad entre 0 y 2.55 es de 0.4946 (buscándolo en tablas como en el ejemplo anterior) sin embargo estamos buscando sobre el área entre -2.55 y 2.55, así que aprovechando el hecho de la distribución es simétrica, nos damos cuenta que se ha encontrado la mitad del área deseada. Para obtener el área total, duplicamos el valor de 0.4946 con lo que el área total es de 0.9892, es decir, la probabilidad de que z esté entre -2.55 y 2.55 es de 0.9892.

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Como te habrás dado cuenta calcular el área entre 0 y un valor positivo es el mismo que calcularlo entre 0 y un valor negativo. 3.- Calcular la probabilidad de que z esté entre -3.01 y 0. Si nos fijamos bien, es la misma probabilidad que calcular entre 0 y 3.01, por lo tanto la P(-3.01<z<0)=P(0<z <3.01)=0.4987. 4.- ¿Cuál es la probabilidad de que z esté entre -2.74 y 1.53? P(-2.74<z<1.53)=P(0<z<2.74) + P(0<z<1.53)=0.4969 + 0.4370 = 0.9339. 5.- Calcular P(z 2.71). Debido a que se trata de una distribución de probabilidad para

variables aleatorias continuas, calcular P( La probabilidad que nos piden es a partir de 2.71 hacia la derecha al infinito. Como sabemos que la mitad del área de la distribución normal vale 0.5 y con las tablas obtenemos P(0<z<2.71) entonces P(z 2.71)=0.5 - P(0<z<2.71) = 0.5 – 0.4996 = 0.0034. 6.- Calcular P(0.84 z 2.45). P(0.84 z 2.45)= P(0 z 2.45) - P(0 z 0.84) = 0.4929 – 0.2996. Ahora que ya sabemos usar las tablas de la distribución normal unitaria o estándar, estás listo para resolver problemas de aplicación de la distribución normal. Ejemplos 1.- Un psicólogo nota que las calificaciones que se obtienen en una cierta prueba de habilidad mental están distribuidas aproximadamente en forma normal, con una media de 10 puntos y una desviación estándar de 2.5. Si un individuo elegido al azar realiza la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga una calificación de 15 puntos o más? La variable aleatoria es X=Número de puntos obtenidos en la prueba. Además, tenemos que se trata de una distribución normal con media de 10 puntos y desviación estándar de 2.5. Anteriormente vimos que cualquier distribución normal se puede transformar en una distribución normal unitaria con media cero y desviación estándar de 1 haciendo la transformación de X en Z. Tenemos entonces que Z=

=

= 2. Con lo anterior,

tenemos que P(X>15) = P(z>2) y ésta última probabilidad la podemos calcular como lo hicimos anteriormente usando la tabla de la distribución normal unitaria. Es importante que te des cuenta que el hecho de hacer la transformación de X en Z nos da la ventaja de usar la tabla de la distribución normal unitaria para calcular cualquier probabilidad. Entonces P(z>2) = 0.5 – P(0<z<2) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228. Con esto se dice que la probabilidad de que un individuo elegido al azar y que lleve a cabo la prueba obtenga una calificación de 15 o más puntos es de 0.0228, es decir, el 2.28%.

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2.- Se sabe que los pesos de cierto grupo de individuos están distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 70 kg y una desviación estándar de 12.5 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de éste grupo pese entre 50 kg y 80 kg? Primero hacemos la transformación de x=50 y x=80: 

Si x=50 entonces Z=

=

= -1.6



Si x=80 entonces Z=

=

= 1.2

Así la probabilidad pedida P(50 x 85)=P(-1.6 probabilidad tenemos que: P(-1.6

z

1.2) y al calcular la segunda

z 1.2)=P(-1.6 z 0)+P(0 z 1.2)=P(0 z 1.6)+P(0 z 1.2)=0.4452+0.3849

Finalmente P(50 x 85)=0.8301.

(Se realizan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

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ConclusiĂłn Haz finalizado tu cuarta unidad del curso de EstadĂ­stica y Probabilidad, en el cual aprendiste los siguientes conceptos:

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Referencias De contenido Libros     

Castillo, J. (1998). Estadística Básica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Freund, J. (1994). Estadística Elemental. México: Pearson Prentice Hall. Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté. Triola, M. (2009). Estadística. México: Pearson Prentice Hall. Zavala Aguilar, R. (2011). Estadística Básica. México: Trillas.

De consulta Sitios de internet Las siguientes ligas electrónicas te servirán de apoyo para las variables aleatorias discretas, continuas así como para las distribuciones binomial, Poisson y normal. 

BUÑUELOS, L. (s.f.). Probabilidad y Estadística. Tema III: Varia bles aleatorias, http://dcb.fiUNAM. c.unam.mx/users/angellbs/htm/GRUPO1/ARCHIVOS_VARIOS_G1/PyE_T3.pdf  UNAM. (2012). Estadística y Probabilidad. http://www.recursoseducativos.unam.mx/eduCommons/search?Subject%3Alist=E stad%C3%ADstica%20y%20Probabilidad  UNAM. (s.f.). Capítulo 9: Las variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad. http://dcb.fic.unam.mx/profesores/irene/BEPI/capsbfc/cap09_bfc2011.pdf  UNAM. (S.F). Unidad 5: Distribuciones de probabilldiad. http://ecampus.fca.unam.mx/ebook/imprimibles/informatica/matematicas_III/Unida d_5.pdf De imágenes 22. Distribución de probabilidad del número de niños Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 23. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 24. Distribución de probabilidad de una variable continua Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 25. Distribución de probabilidad Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 26. James Bernoulli Recuperado de: http://www.mhhe.com/math/calc/smithminton2e/cd/tools/timeline/bernoulli.html 27. Tabla de distribución binomial Recuperado de:

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http://www.matematicayfisica.com/descargas/binomial.jpg 28. Tabla de distribución binomial acumulada Recuperado de: http://matematica.laguia2000.com/wpcontent/uploads/2012/11/tablabidiacumulada.png 29. Simeon Denis Poisson Recuperado de: http://www.umass.edu/wsp/images/poisson.jpg 30. Tabla de distribución Poisson Recuperado de: http://destio.us.es/calvo/graficos/tablas07.gif 31. Distribución normal Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 32. Gráfica de una distribución normal donde el eje x es igual a 1 Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 33. Gráfica del área total encerrada por perpendiculares Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 34. Gráfica del área a 2 desviaciones estándar Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 35. Gráfica del área a 3 desviaciones estándar Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 36. Variación de la distribución normal en función de μ Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 37. Variación de la distribución Normal en función de σ Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 38. Gráfica del área bajo la curva Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 39. Gráfica del área bajo la curva entre 0 y el valor de z Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 40. Tabla de distribución Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 41. Gráfica de probabilidad de que z esté entre 0 y 2.27 Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 42. Gráfica de la probabilidad de que una z elegida al azar de entre la población de z tenga un valor entre -2-25 y 2.55 Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech

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Unidad 4

Distribuciones de probabilidad NOMBRE:

TUTOR:

FECHA:

SituaciĂłn: La Secretaria de Salud decidiĂł hacer un estudio sobre la edad a la que las personas de la Ciudad de MĂŠxico contraĂ­an cierta enfermedad. Se tomĂł una muestra de 100 personas y se les preguntĂł la edad en la contrajeron la enfermedad. Instrucciones: SupĂłngase que las edades en las que se contrajo la enfermedad estĂĄn distribuidas en forma aproximadamente normal. Revisa la actividad de la unidad 2 y recupera los siguientes datos: Media DesviaciĂłn EstĂĄndar En una distribuciĂłn Normal la fĂłrmula para transformar valores es: đ?&#x2018;?=

Donde: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x153;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;ĄĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;

1. Se sabe que una persona acaba de contraer esta enfermedad. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que la persona tenga: a. Sustituye en la fĂłrmula y determina la probabilidad de que la persona que enfermĂł tenga entre 10 y 15 aĂąos de edad.

b. Sustituye en la fĂłrmula y determina la probabilidad de que la persona que enfermĂł tenga mĂĄs de 30 aĂąos de edad.

c. Sustituye en la fĂłrmula y determina la probabilidad de que la persona que enfermĂł tenga menos de 50 aĂąos de edad.

2. SupĂłngase que se sabe que en cierta ĂĄrea de la ciudad, el nĂşmero promedio de personas por manzana que adquieren esta enfermedad es de 4. Suponiendo que el nĂşmero de personas se distribuye segĂşn Poisson, encontrar la probabilidad de que en una manzana elegida aleatoriamente: En una distribuciĂłn Poisson la fĂłrmula para transformar valores es: đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x2018;Ľ) =

Donde: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;

Sabemos que:

đ?&#x153;&#x2020;=

đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ!

a. Sustituye en la fรณrmula y determina la probabilidad de que en una manzana se tengan exactamente 4 personas.

b. Sustituye en la fรณrmula y determina la probabilidad de que en una manzana se tengan mรกs de 4 personas.

c. Sustituye en la fรณrmula y determina la probabilidad de que en una manzana se tengan menos de 4 personas.

d. Sustituye en la fรณrmula y determina la probabilidad de que en una manzana se tengan entre 4 y 6 personas, incluyendo 4 y 6.

Unidad 5. Inferencia Estadística

Introducción Estas a punto de concluir este curso introductorio de Estadística y Probabilidad, para ello, nos falta estudiar dos últimos temas principales muy importantes: Distribuciones Muestrales y Análisis de Tendencias. Con respecto al primero es importante mencionar que a menudo necesitamos estudiar las propiedades de una determinada población, pero nos encontramos con el inconveniente de que ésta es demasiado numerosa como para analizar a todos los individuos que la componen. Por tal motivo, recurrimos a extraer una muestra 1 de la misma y a utilizar la información obtenida para hacer inferencias sobre toda la población. Estas estimaciones serán válidas sólo si la muestra tomada es “representativa” de la población. En principio, podríamos distinguir dos tipos de muestra: la probabilística y la no probabilística; una muestra probabilística es una muestra seleccionada de tal forma que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de formar parte de la muestra. De esta manera, si se utilizan métodos no probabilísticos, no todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos. En este caso, diríamos que los resultados están sesgados, lo cual quiere decir que tal vez los resultados de la muestra no sean representativos de la población. Una forma de asegurarnos de que el subconjunto escogido es representativo de toda la población consiste en tomar una muestra aleatoria simple, la cual se caracteriza por: 1. Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido, y 2. Las observaciones son elegidas siguiendo una secuencia aleatoria. La técnica con la cual obtendremos la muestra es el muestreo aleatorio, el cual realizado bajo ciertas condiciones y sometidos a ciertos requisitos, se constituye en un procedimiento práctico, económico y rápido para generalizar conclusiones obtenidas a través de una muestra, aplicable a toda la población de la que forma parte, dentro de ciertos límites de confiabilidad, establecidos de antemano. Existen diferentes técnicas de muestreo, las cuales mencionaremos (por las características del curso y ser sólo introductorio) sin entrar en detalle de cómo realizarlo:  

1

Muestreo aleatorio simple: En el cual se da igual oportunidad de selección a c ada muestra de la población. Muestreo aleatorio estratificado: Garantiza la representatividad, reduciendo el error de la muestra al formar grupos o subpoblaciones más o menos homogéneas, en cuanto a su composición interna y heterogénea cuando se comparan los estratos entre sí.

Una muestra es un subconjunto de la población.

1

 

Muestreo aleatorio sistemático: Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio por conglomerados: Se usa cuando la población se encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se supone que contienen toda la variabilidad de la población, es decir, la representa fielmente respecto a la característica a elegir, pueden seleccionarse sólo algunos de estos grupos o conglomerados para la realización del estudio.

En muchos casos, el muestreo es la única manera de poder obtener alguna conclusión de una población, entre otras causas, por el coste económico y el tiempo empleado que supondría estudiar a todos los miembros de una población. Tras entender la importancia de escoger una muestra representativa de la población, vemos que para lograr esto, podemos seleccionar, por ejemplo, una muestra aleatoria simple de la población, pero es muy improbable que la media de la muestra sea idéntica a la media de la población. De la misma manera, tal vez la desviación estándar u otra medición que se calcule con base en la muestra no sea igual al valor correspondiente de la población Por tanto, es posible que existan ciertas diferencias entre los estadísticos de la muestra (como la media o la desviación estándar), y los parámetros de población correspondientes. A dicha diferencia se la conoce como error de muestreo. En esta unidad veremos cómo es posible estimar la media de la población a partir de la distribución que siguen las medias de las diferentes muestras obtenidas. Lo anterior es una parte muy importante para trabajar con la Inferencia Estadística. Con respecto al segundo tema principal, Análisis de Tendencias, surge porque a menudo se está interesado en la relación que existe entre un par de variables, por ejemplo, la presión de la sangre y la edad; la altura de un padre con la altura de un hijo; la estatura y el peso; el ingreso total familiar y los gastos médicos; el nivel de consumo de un nutriente y la ganancia del peso; etcétera. La naturaleza y la intensidad de la relación entre las variables como éstas, puede examinarse por medio de regresión y el coeficiente de correlación que son técnicas del análisis de tendencias. Es decir, el análisis de regresión será útil para averiguar la forma probable de la relación entre las variables y, cuando se emplea este método de análisis, el objetivo final por lo general es predecir o estimar el valor de una variable, correspondiente a un valor dado de otra variab le. En esta unidad veremos de qué se trata el análisis de regresión, en particular trabajaremos con la regresión lineal simple, y el coeficiente de correlación de Pearson.

Propósito Al término de la unidad el estudiante serás competente para inferir el comportamiento de un fenómeno físico o social, a partir del análisis de su comportamiento estadístico; lo anterior te permitirá estimar el comportamiento futuro del mismo.

2

5.1 Distribuciones Muestrales La Estadística Inferencial trata sobre las inferencias con respecto a poblaciones a partir de la información contenida en las muestras, es decir, trata de hacer inferencias sobre los parámetros µ y σ2 a través de los estadísticos y s2. Para poder llevar a cabo estas inferencias es necesario conocer la relación que se establece entre los estadísticos y los parámetros. El concepto que permite poner en relación ambas cosas es la distribución muestral de un estadístico. La distribución muestral de un estadístico es la distribución de todos los valores posibles que pueden ser tomados por algún estadístico, calculados a partir de muestras del mismo tamaño extraídas aleatoriamente de la misma población. Las distribuciones muestrales pueden construirse empíricamente cuando se obtienen de una población discreta finita. Para construir una distribución muestral se procede como sigue: 1. De una población finita, discreta, de tamaño N, se extraen aleatoriamente todas las muestras posibles de tamaño n. 2. Se calcula el estadístico de interés para cada muestra (puede ser la media y/o la varianza). 3. Se enumeran en una columna los diferentes valores observados del estadístico y, en otra columna, la frecuencia correspondiente de la ocurrencia de cada uno de esos valores.

Ejemplo Vamos a suponer que tenemos una población con N= 3 elementos, X = {1, 2 y 3]. Donde, si fijas bien, µ=2 y σ2=0.67. Se extraen muestras de n=2 elementos y, si lo hacemos con reemplazo, obtenemos las siguientes muestras (1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3) Al calcular los estadísticos  

y s2 obtenemos que:

Las medias serían: 1; 1.5; 2; 1.5; 2; 2.5; 2; 2.5 y 3 respectivamente. Las varianzas serían: 0; 0.25; 1; 0.25; 0; 0.25; 1; 0.25 y 0 respectivamente.

Si te fijas bien, los estadísticos son variables aleatorias que pueden adoptar diferentes valores y que tienen su propia distribución de probabilidad. En el ejemplo vemos que puede tomar 5 valores y que la probabilidad que corresponde a cada uno de ellos (f( ), su distribución) es:

f(

)

1

1.5

2

2.5

3

TOTAL

1/9

2/9

3/9

2/9

1/9

1

3

Gráficamente tenemos

Imagen 43. Media muestral Por lo común, se tiene interés en conocer tres cosas acerca de una distribución muestral dada: su media, su varianza y su forma funcional (como se ve cuando se construye la gráfica). Puede reconocerse la dificultad de construir una distribución muestral de acuerdo con los pasos dados arriba, cuando la población de muy grande. También puede tenerse un problema cuando se considera la construcción de una distribución muestral para una variable continua. Lo mejor que se puede hacer experimentalmente, en este caso, es aproximar la distribución muestral de un estadístico. En la siguiente sección trabajaremos con una de las distribuciones muestrales que se usan con más frecuencia, la distribución muestral de la media.

5.2 Distribución Muestral de la Media Una importante distribución muestral es la distribución muestral de la media. Veamos cómo se construye ésta distribución muestral, siguiendo los pasos que se indicaron en la sección anterior. Ejemplo Supóngase que se tiene una población de tamaño N=5 que consiste en las edades de cinco niños, pacientes externos en un centro de enfermedades mentales. Las edades son las siguientes: 6, 8, 10, 12 y 14. La media, µ, de ésta población es 10 y la varianza σ2=8 Si extraemos de ésta población todas las muestras posibles de tamaño n=2 (sin (debajo de cada pareja) tenemos la siguiente tabla: reemplazo), junto con su media

4

(6,6) 6 (8,6) 7 (10,6) 8 (12,6) 9 (14,6) 10

(6,8) 7 (8,8) 8 (10,8) 9 (12,8) 10 (14,8) 11

(6,10) 8 (8,10) 9 (10,10) 10 (12.10) 11 (14,10) 12

(6,12) 9 (8,12) 10 (10,12) 11 (12,12) 12 (14,12) 13

(6,14) 10 (8,14) 11 (10,14) 12 (12,14) 13 (14,14) 14

En la tabla se puede observar que cuando el muestreo es con reemplazo, se tienen 25 muestras posibles. En general, cuando el muestreo es con reemplazo, el número de muestras posibles es igual a Nn. Podemos construir la distribución muestral de colocando los diferentes valores de una columna y sus frecuencia de ocurrencia en otra. Frecuencia 6 7 8 9 10 11 12 13 14 TOTAL

en

Frecuencia relativa (P(X= )) 1/25 2/25 3/25 4/25 5/25 4/25 3/25 2/25 1/25 1

1 2 3 4 5 4 3 2 1 25

Si te fijas bien, los datos de la tabla cumplen con los requisitos para una distribución de probabilidades. Las probabilidades individuales son mayores que cero y su suma es igual a 1. La gráfica quedaría creciendo gradualmente hasta formar un pico para después decrecer de manera simétrica, como la distribución Normal ¿Recuerdas? Entonces tenemos que

5

Imagen 44. Media muestral

, de la distribución muestral.

Calculemos ahora la media, a la cual denotaremos por

Para hacerlo sumamos las 25 medias y las dividimos entre 25, obteniendo que =10. Si te fijas muy bien verás que la media de la distribución muestral de tiene el mismo valor que la media de la población original. Por último, calculemos la varianza de , a la cual denotaremos por

Se puede ver que la varianza de la distribución muestral no es igual a la varianza de la población. Sin embargo, resulta interesante observar que la varianza de la distribución muestral es igual a la varianza de la población, dividida entre el tamaño de la muestra σ

usado para obtener la distribución muestral. Es decir, σ . La raíz cuadrada de la varianza de la distribución muestral se llama error estándar de la media o simplemente error estándar. Para generalizar, tendremos 2 situaciones: 1. Si el muestreo se lleva a cabo a partir de una población normalmente distribuida, es decir X N(µ,σ). 2. Si el muestreo se lleva a cabo a partir de una población no distribuida normalmente. En el primer caso, cuando el muestreo es a partir de una población distribuida normalmente, la distribución de la media de la muestra poseerá las siguientes propiedades: I. La distribución de será normal. II.

La media de la distribución de cual se extrajeron las muestras.

será igual a la media de la población de la

6

III.

La varianza de σ , de la distribución de dividida entre el tamaño de la muestra.

será igual a la varianza de la población

En resumen, En el segundo caso, cuando el muestreo se realiza a partir de una población no distribuida normalmente, usaremos un teorema muy importante en Matemáticas llamado Teorema del límite central. Teorema del límite central: Dada una población distribuida de cualquier forma, la distribución muestral, calculada a partir de muestras de tamaño n de ésta población, estará distribuida aproximadamente a una normal con media µ y varianza , cuando el tamaño de la muestra es grande. Nota que el Teorema del límite central nos permite muestrear a partir de poblaciones no distribuidas normalmente con una garantía de aproximadamente los mismo resultados que se obtendrían si la población estuviera distribuida normalmente, siempre que se tome una muestra grande. ¿Qué tan grande debe ser la muestra? No existe una respuesta firme y rápida, dado que el tamaño necesario de la muestra depende de la extensión de la no normalidad presente en la población. Una regla empírica ampliamente usada afirma que, en la mayoría de las situaciones prácticas, resulta satisfactorio un tamaño de la muestra de 30. Agreguemos que, en general, se hace mejor y mejor la aproximación hacia la normalidad de la distribución muestral de , a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Como lo verás más adelante en cursos de licenciatura, el conocimiento y comprensión de las distribuciones muestrales será un requisito necesario para entender los conceptos de la Inferencia estadística. La aplicación más sencilla del conocimiento de la distribución muestral de la media de la muestra es el calcular la probabilidad de obtener una muestra con une media de alguna magnitud especificada. Ejemplo 1.- Supóngase que se sabe que, en cierta población humana grande, la longitud craneal está distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 185.6 mm y una desviación estándar de 12.7 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 10 de ésta población tenga una media mayor que 190? Como la población se distribuye aproximadamente como una normal, podemos tomar que se distribuye como una normal con media

= 185.6 mm y varianza σ

σ

. De ésta

última expresión tenemos que la desviación estándar muestral, obtenida a partir de la varianza, está dada por σ

σ

.

7

Si recuerdas, de la unidad anterior, aprendiste que siempre que se tiene una variable aleatoria normalmente distribuida, fácilmente se puede convertir en una variable aleatoria distribuida de manera normal unitaria. Para transformar la variable aleatoria en la distribución normal unitaria usaremos la fórmula Z=

.

La probabilidad que da respuesta a la pregunta formulada queda representada por el área hacia la derecha de =190 bajo la curva de la distribución muestral. Esta área es igual al área hacia la derecha de Z=

. Usando las tablas de la unidad 4, tenemos

que P( >190)= P(Z>1.09)=0.5 - P(0<z<1.09) = 0.5 – 0.3621 = 0.1379. 2.- El CI (coeficiente intelectual) de los alumnos de un centro especial de educación se distribuye normalmente con una media de 80 y desviación estándar de 10. Al extraer una muestra aleatoria de 25 alumnos  ¿Cuál es la probabilidad de que su media sea mayor que 75? P( >75)= P(Z>-2.50)=P(Z<2.50)=0.5+P(0<z<2.50)=0.5+0.4938=0.9938  ¿Cuál es la probabilidad de que su media sea como máximo 83? P( <83)= P(Z<1.50)=0.5+P(0<z<1.50)=0.5+0.4332=0.9332

(Se realiza en plataforma)

5.3 Análisis de Tendencias La observación metodológica de los fenómenos es la base del conocimiento y de la experiencia humana. Nuestro aprendizaje está fundamentado en el análisis de las tendencias u orientación que muestran las cosas que nos rodean. Por ejemplo, si se aplica un poco de fertilizante a un cultivo agrícola, lo más seguro es que se observe un aumento en la producción. Si se continúa aplicando el fertilizante, seguramente la producción seguirá aumentando. Sin embargo también existe la relación entre el presupuesto de publicidad de una empresa y el monto de las ventas que genera o entre la presión barométrica del ambiente y la probabilidad de que llueva. Sin embargo, hay relaciones que no existen, o que no tienen sentido, como la edad de una persona y el costo de un automóvil o el número de llamadas a Guadalajara y la producción de árboles en Canadá, por lo que es necesario identificar lógicamente las relaciones entre dos o más variables. ¿Cómo? Con el análisis de regresión. El análisis de regresión es útil para averiguar la forma probable de la relación entre las variables y, cuando se emplea éste método de análisis, el objetivo final por lo general es predecir o estimar el valor de una variable, correspondiente a un valor dado de otra

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variable. Las ideas de regresión fueron aclaradas por primera vez por el científico inglés, Sir Francis Galton (1822-1911) en los informes de sus investigaciones sobre la herencia, primero en los chícharos y posteriormente, en la estatura humana. Describió una tendencia del hijo adulto, que tiene padres bajos o altos, de regresar hacia la estatura promedio de la población general. Primero usó la palabra reversión y, después, regresión para referirse a éste fenómeno.

En el problema típico de regresión, como en la mayoría de los problemas de la estadística aplicada, el investigador cuenta, para el análisis, con una muestra de observaciones de alguna población real o hipotética. Basado en los resultados de su análisis de los datos de la muestra, tiene interés en llegar a decisiones acerca de la población de la cual se supone que se ha extraído la muestra. Por lo tanto, es importante que el investigador comprenda la naturaleza de la población en la que está interesado. Debe conocer lo suficiente acerca de la población, para ser capaz de construir un modelo matemático que lo represente, o bien, determinar si se ajusta razonablemente a algún modelo establecido. Un investigador, que va a analizar un conjunto de datos por los métodos de regresión lineal simple, por ejemplo, debe tener la seguridad de que el modelo de regresión lineal simple es, al menos, una representación aproximada de su población. Es improbable que el modelo sea un retrato perfecto de la situación real, ya que ésta característica se encuentra rara vez en los modelos de valor práctico. Un modelo construido de modo que corresponda precisamente con los detalles de la situación, generalmente es demasiado complicado como para proporcionar información alguna de valor. Por otra parte, los resultados que se obtienen del análisis de datos que se ha forzado en un modelo al que no se ajustan, tampoco tiene valor. No obstante, afortunadamente no se requiere un modelo que ajuste perfectamente para obtener resultados útiles. En esta sección trabajaremos con el modelo más sencillo de regresión, el modelo de regresión lineal. Es importante mencionar que no es el único modelo para realizar el análisis de regresión ya que existen otros modelos que incluso no son lineales pero por ser un curso introductorio sólo veremos el lineal. En la práctica real, se tiene que realizar una gráfica de los datos de la muestra para ver cómo están dispersos y en base a est o verificar si el modelo que mejor se ajusta es un modelo lineal o no lineal.

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En el modelo de regresión lineal simple interesan dos variables, X y Y. Por lo general, la variable X se le conoce como variable independiente, ya que se encuentra bajo el control del investigador, es decir, los valores de X son seleccionados por el investigador y, correspondiendo a cada valor preseleccionado de X, se obtienen uno o más valores de Y. Como consecuencia, a la otra variable, Y, se le da el nombre de variable dependiente y se habla de la regresión de Y sobre de X. En la regresión lineal simple, el objeto de interés del investigador es la ecuación de regresión de la población, es decir, la ecuación que describe la relación verdadera entre la variable independiente X y la variable dependiente Y. Para llegar a una decisión referente a la forma probable de ésta relación, se extrae una muestra de la población de interés y, usando los datos resultantes, calcula una ecuación de regresión de la muestra, que es la base para llegar a conclusiones referentes a la ecuación desconocida de regresión de la población. ¿Cómo calcula esa ecuación? Como su nombre lo dice, en el modelo de regresión lineal, la ecuación buscada es una línea recta. El método que se emplea para obtener la recta deseada se conoce como “método de los mínimos cuadrados” y la recta resultante se llama recta de los mínimos cuadrados que es finalmente la ecuación que usaremos para el análisis de regresión. Si recuerdas, la ecuación de la recta es y=mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen, el método de los mínimos cuadrados nos proporciona el valor de la pendiente y de la ordenada al origen a partir de los datos de la muestra. La ecuación de la recta de los mínimos cuadrados está da da por y=mx + b donde m=

y

b=

Con la ecuación de la recta finalmente podremos hacer una estimación o pronóstico del comportamiento de la variable y para valores de x que no se encuentren en la muestra, que finalmente es el objetivo del análisis de regresión. Ejemplo 1.- Se tienen los siguientes datos sobre la aplicación de fertilizante a un campo agrícola. X: Fertilizante (kg/m2) Y: Producción (ton/ha)

1.5

3.3

4.8

6.5

7.5

7

18

20

23

30

Encontrar: a) La ecuación de la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos de la tabla.

10

Al graficar los datos, para ver cómo están dispersos, obtenemos

Imagen 46. Dispersión de datos Si te fijas, los datos están dispersos de tal manera que si trazamos una línea recta vemos que es la que mejor se ajusta a su dispersión, por lo tanto el modelo que nos conviene usar es el modelo de regresión lineal. Es decir, debemos encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos.

Imagen 47. Dispersión recta de datos

Para encontrar la recta, usaremos la siguiente tabla y las fórmulas dadas anteriormente

11

X Y X2 X*Y m=

b=

1.5 7 2.25 10.5

3.3 18 10.89 59.4

4.8 20 23.04 96

6.5 23 42.25 149.5

7.5 30 56.25 225

Sumas 23.6 98 134.68 540.4

= 3.342

= 3.823

Entonces, la ecuación de la recta es y = 3.342x + 3.823

b. Estimar la producción si se aplican 0.58 y 0.8 kilos de fertilizante por metro cuadrado.  Si x=9 entonces y = 3.342(9) + 3.823 = 33.901 ton/ha  Si x=15 entonces y = 3.342(15) + 3.823 = 53.953 ton/ha Al graficar los puntos de la tabla (muestra) y la ecuación anterior tenemos

Imagen 48. Dispersión recta de datos Finalmente, como puedes observar la recta se ajusta a los datos originales lo cual nos hace pensar que es una buena estimación.

(Se realiza en plataforma)

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5.4 Coeficiente de Correlación de Pearson El análisis de correlación se refiere a la medición de la intensidad de la relación entre las variables. Cuando se calculan medidas de correlación a partir de un conjunto de datos, el interés se centra en el grado de la correlación entre las variables. De nuevo, el origen de los conceptos y la terminología del análisis de correlación se debe a Galton, quien usó la primero la palabra correlación en 1888. Así como el análisis de regresión permite obtener una fórmula que expresa la relación entre 2 variables, el análisis de correlación obtiene un índice que mue stra el grado de relación entre dos variables. El coeficiente de correlación lineal, desarrollado por el matemático inglés Karl Pearson (1857-1936), y conocido con la letra r, puede tomar valores desde -1 hasta +1, siendo estos extremos los valores que manifiestan una relación lineal perfecta (positiva o negativa y cuando la recta se ajusta perfectamente a los datos de la muestra pasando sobre ellos) según se ejemplifica en los siguientes diagramas de dispersión:

Imagen 49. Diagramas de dispersión 

En el caso (a) y (b) el índice es positivo y negativo, significa que es muy bueno, lo que se traduce en una relación muy buena entre las variables, es decir, están relacionadas.

13



En el caso (b) y (c) el índice es positivo y negativo, significa que los datos están muy dispersos con respecto a la recta, lo que se traduce en que las variables no están relacionadas.

Pero, ¿cómo calculamos el valor de r? con la fórmula

Ejemplo 1.- Determine el coeficiente de correlación de Pearson para los siguientes datos obtenidos de una muestra: X Y

1.5 7

3.3 18

4.8 20

6.5 23

7.5 30

Usando la siguiente tabla calculemos el valor de r

X Y X2 Y2 X*y

1.5 7 2.25 49 10.5

3.3 18 10.89 324 59.4

4.8 20 23.04 400 96

6.5 23 42.25 529 149.5

7.5 30 56.25 900 225

Sumas 23.6 98 134.68 2202 540.4

Entonces

El valor obtenido nos indica un ajuste muy bueno con lo que podemos decir que las variables X y Y están muy bien relacionadas.

(Se realizan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

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ConclusiĂłn Haz finalizado tu quinta unidad del curso de EstadĂ­stica y Probabilidad, en el cual aprendiste los siguientes conceptos:

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Referencias De contenido Libros     

Castillo, J. (1998). Estadística Básica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Freund, J. (1994). Estadística Elemental. México: Pearson Prentice Hall. Ross, S. (2007). Introducción a la Estadística. México: Reverté. Triola, M. (2009). Estadística. México: Pearson Prentice Hall. Zavala Aguilar, R. (2011). Estadística Básica. México: Trillas.

De consulta Sitios de internet Las siguientes ligas electrónicas te servirán de apoyo para la distribución muestral de medias y la regresión lineal.  FACULTAD DE INGENIERIA. (s.f.). Probabilidad y Estadística: Capítulo 15 Los http://dcb.fiEstadísticos y sus Distribuciones. UNAM. c.unam.mx/profesores/irene/BEPI/capsbfc/cap15_bfc2011.pdf  FACULTAD DE CONTADURIA Y ADMINISTRACION, Coordinación de Matempáticas. (s.f.). Estadística II. UNAM. http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/4/estadis_2.pdfUNAM.  Capítulo 18: Análisis de regression lineal. UNAM. http://pendientedemigracion.ucm.es/info/socivmyt/paginas/D_departamento/mater iales/analisis_datosyMultivariable/18reglin_SPSS.pdf De imágenes 43. Media muestral Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 44. Media muestral Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 45. Sir Francis Galton Recuperado de: http://www.probertencyclopaedia.com/CX_FRANCIS_GALTON.HTM 46. Dispersión de datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 47. Dispersión recta de datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 48. Dispersión recta de datos Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech 49. Diagramas de dispersión Elaborada por: Víctor Manuel Terreros Muñoz Editado por: Alma Martínez Campech

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Unidad 5

Inferencia Estadística

NOMBRE:

TUTOR:

FECHA:

Situación: La Secretaria de Salud decidió hacer un estudio sobre la edad a la que las personas de la Ciudad de México contraían cierta enfermedad. Se tomó una muestra de 100 personas y se les preguntó la edad en la contrajeron la enfermedad. Instrucciones Revisa las actividades realizadas durante el curso y recupera las partes solicitadas de cada actividad. Unidad 1  

Incluye en el siguiente espacio la tabla de frecuencias absolutas y relativas realizada en el punto 6 de la actividad realizada en la unidad 1. Enseguida incluye el histograma realizado en el punto 7 de la actividad realizada en la unidad 1.

Unidad 2 ď&#x201A;ˇ

Incluye en el siguiente espacio la tabla de valores y resultados de los incisos 1, 2 y 3 que elaboraste en la actividad de la unidad 2.

Unidad 3 ď&#x201A;ˇ

Incluye en el siguiente espacio los incisos a) y b) del primer problema que resolviste en la actividad realizada en la unidad 3.

Unidad 4 ď&#x201A;ˇ

Incluye en el siguiente espacio los incisos a) y d) del problema referente a la distribuciĂłn Poisson que resolviste en la actividad realizada en la unidad 4.

Unidad 5 SupĂłngase que la media y la desviaciĂłn estĂĄndar que obtuvimos en la actividad de la unidad 2 se pueden considerar para personas con edades normales que contraen esta enfermedad. Revisa la actividad de la unidad 2 y recupera los siguientes datos: đ?? đ?&#x2019;&#x2122;Ě&#x2026; = đ??&#x2C6;=

Media DesviaciĂłn EstĂĄndar

En una distribuciĂłn Normal la fĂłrmula para determinar la desviaciĂłn estĂĄndar de las medias es:

Donde: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;ĽĚ&#x2026; =

đ?&#x153;&#x17D;

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x153;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;ĄĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;

1. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 personas normales proporcione una media entre 35 y 45 aĂąos?

Recupera los primeros 10 datos de la tabla que te proporcionĂł tu tutor en la unidad 1: Dato (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Edad (y)

2. BasĂĄndote en los datos de la tabla determina la ecuaciĂłn de la recta de mĂ­nimos cuadrados. ď&#x201A;ˇ

ď&#x201A;ˇ

Para verificar los resultados que necesitas para determinar los valores de la pendiente y la ordenada al origen de la recta de mĂ­nimos cuadrados, escribe los valores solicitados en la siguiente tabla. o NĂşmero de dato (x): Se escriben los nĂşmeros con los que enumeraste los datos. o Edad (y): Se escribe la edad que le corresponde a cada dato. o (đ?&#x2019;&#x2122;)(đ?&#x2019;&#x161;) : Se escribe el resultado de multiplicar el valor de (x) por el valor de (y) o đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? : Se escribe el resultado de elevar al cuadrado el valor de (x) o đ?&#x2018;Ś 2 : Se escribe el resultado de elevar al cuadrado el valor de (y) Es recomendable que utilices Excel para elaborar esta tabla y obtener los resultados solicitados. DespuĂŠs copia y pega en este espacio. NĂşmero de dato (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sumas 2

(â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;Ľ)

Edad (y)

(đ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ś)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

Utiliza las siguientes fĂłrmulas para determinar la ecuaciĂłn de la recta de mĂ­nimos cuadrados. đ?&#x2019;&#x17D;=

La ecuaciĂłn ordinaria de la recta es:

đ?&#x2019;&#x192;=

đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;)đ?&#x;?

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;)đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x192;

a. Realiza la sustituciĂłn y operaciones correspondientes para determinar la pendiente y la ordenada al origen, despuĂŠs escribe la ecuaciĂłn de la recta de mĂ­nimos cuadrados:

b. Utiliza GeoGebra para realizar la grĂĄfica de los puntos de dispersiĂłn junto con la recta de mĂ­nimos cuadrados. Insertarla en el siguiente espacio.