Unidad 1. Funciones
muchas situaciones de la vida cotidiana se
En esta unidad estudiarás los siguientes
pueden aplicar las funciones, tal vez en
subtemas
algunos casos sea más complejo que en otros,
1.1 Definición de función
pero ahí están presentes.
1.2 Cuatro maneras de representar una
Generalmente con las funciones relacionamos
función
dos variables, por ejemplo, un ama de casa
1.3 Clasificación de funciones
cuando compra azúcar, puede comprar la
1.4 Características de funciones
cantidad que desee ½ kg. 1 kg, 2kg, etc., en
1.5 Operaciones con funciones
este caso dependiendo de la cantidad que compre es la cantidad que pagará, por lo que hace una relación entre dos variables que son
Propósito de la unidad
el peso y el costo. Cando estudias el
Con el estudio de la presente unidad:
crecimiento poblacional en un lugar relacionas Podrás diferenciar cuándo una ecuación representa o no una función. Identificarás los diferentes tipos de funciones.
dos variables que son la población (en cientos, miles o millones de habitantes) con los años de interés. Habrás notado que en algunos recibos
Representarás situaciones de la vida
de gas natural, agua, luz, etc. se muestra una
cotidiana
gráfica con un historial que relaciona dos
usando
funciones
seccionadas.
variables, que son el consumo y el mes.
Identificarás los intervalos en los cuales
Puedes encontrar una gran cantidad de
una función es creciente o decreciente.
ejemplos que relacionen dos variables. En esta
Introducción A diario utilizas el concepto de función aunque tal vez no te has dado cuenta de ello, en
unidad conocerás el concepto de función, así como sus diferentes
representaciones tales
como gráficas, ecuaciones, descritas con
palabras o bien con una tabla de valores de la
Constante.- Es toda aquella cantidad que no
misma, así como algunos casos en los cuales
cambia su valor bajo ninguna circunstancia;
se aplica en la vida cotidiana. También podrás identificar algunas de sus características, es
por ejemplo: 5, π, √3, etc. Se llaman
decir, si una función es creciente, decreciente,
ninguna circunstancia.
par, impar, etc.
Variable.- Es aquella cantidad que cambia su
La utilidad de las funciones en nuestra vida es
valor de acuerdo a las circunstancias; por
que nos ayudan a obtener un resultado de una
ejemplo, la asistencia a un partido de futbol
manera rápida y sencilla, en las taquillas del
depende de los equipos que jueguen, el ir al
metro las cajeras usan una tabla de valores en
cine puede depender de la película, del
donde rápidamente de ticen cuánto debes
horario, de la compañía, etc. es decir, depende
pagar dependiendo de la cantidad de boletos
de las circunstancias.
que compres, te habrás dado cuenta que en
En cursos anteriores ya has trabajado con
algunas tortillerías hacen lo mismo. En algunos
constantes y variables, solamente que las
periódicos habrás visto que te presentan la
llamabas “x” y “y”, incluso al trazar gráficas así
información haciendo uso de gráficas, con
se llamaba también a los ejes. (El eje “x” y el
ellas puedes ver el comportamiento de una
eje “y”).
variable con relación a otra y de una manera
Las variables pueden ser de dos tipos:
muy sencilla.
variables
1.1 Definición de función
dependientes.
Antes de ver lo que es una función revisa los
Variables independientes.- Como su nombre lo
siguientes conceptos que te serán de utilidad
indica son variables que no dependen de nada
para entender la definición de función.
y a las que se les puede asignar cualquier
constantes pues no cambian su valor bajo
valor.
independientes
y
variables
Variables dependientes.- Son variables que
Analizando la expresiĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 2: le
toman su valor de acuerdo al valor de otra
damos valores a “x� y obtenemos los valores
variable,
para “y�.
es
por
ello
que
se
llaman
dependientes, es decir, dependen de otras. Por ejemplo: đ?‘Ś = đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ − 2
x
0
1
2
3
4
y
-2
0
4
10
18
Expresiones como esta ya las has manejado
Si vemos a manera de diagrama las parejas
anteriormente y en ella tenemos dos variables:
ordenadas que se forman de la tabla anterior
“x� y “y�, “x� es a variable independiente y “y�
tenemos lo siguiente:
es la variable dependiente porque cuando trazamos la grĂĄfica le asignamos valores a “xâ€? y los valores de “yâ€? dependen de los valores que tome la variable “xâ€?. Dominio.- Es el conjunto de valores que toma la variable independiente (variable “xâ€?). Contradominio.- Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (variable “yâ€?). FunciĂłn.- Es una regla de asignaciĂłn en la que cada elemento del dominio le corresponde uno
Marcial VerĂłnica (2013).Diagramas FunciĂłn
y solamente uno del contradominio. Ejemplos:
Podemos ver en el diagrama que a cada
Identifica si las expresiones đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 2 y
elemento del dominio le corresponde uno y
đ?‘Ś = √đ?‘Ľ representan o no una funciĂłn.
solamente un elemento del contradominio, cumple entonces con la definiciĂłn de funciĂłn,
por lo tanto la expresiĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 2 es una funciĂłn.
Cuando
los
valores
del
dominio
y
contradominio son pocos ĂŠstos se pueden representar entre llaves y separados por comas, pero cuando son muchos se puede usar la notaciĂłn de intervalos. De acuerdo a la definiciĂłn de dominio y contradominio para este caso tenemos que: Dominio= {0, 1, 2, 3, 4}
Contradominio= {-2,
Marcial VerĂłnica (2013). Diagramas relaciĂłn En este caso podemos ver claramente que no
0, 4, 10, 18} O bien: Dominio= [0,4]
Contradominio= [-2,
cumple con la definiciĂłn de funciĂłn, pues a
18]
tres elementos del dominio les corresponden
En el segundo caso el dominio y contradominio
dos del contradominio, por lo tanto la expresiĂłn
se representaron usando la notaciĂłn de
đ?‘Ś = √đ?‘Ľ no es una funciĂłn
intervalos, lo cual nos indica que el dominio
Has visto el concepto de funciĂłn y los
toma
el
elementos que en ella intervienen, ahora verĂĄs
contradominio toma valores desde -2 hasta 18.
la forma en que podrĂĄs denotarlas para
valores
desde
0
hasta
4
Analizando la expresiĂłn đ?‘Ś = √đ?‘Ľ
y
tambiĂŠn
podemos darle valores a la variable “x�
referirte a ellas. Puedes consultar mĂĄs informaciĂłn sobre las
x
0
4
9
16
funciones en la siguiente direcciĂłn electrĂłnica:
y
0
-2, 2
-3, 3
-4,4
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarr
Si vemos a manera de diagrama las parejas
oyo/matematicas/materiales/4eso/solucionlibro
ordenadas que se forman de la tabla anterior
nuevo4b/U-4.pdf
tenemos lo siguiente:
1.1.1 NotaciĂłn de funciones
para identificar a las variables que intervienen
Debido a que en la prĂĄctica no es factible estar
en nuestra situaciĂłn a representar.
haciendo diagramas para relacionar a las variables de nuestro interĂŠs, es necesario
1.2 Cuatro maneras de representar una
asignarles un nombre a las funciones para
funciĂłn
poder referirnos a ellas.
Existen 4 posibles formas en las que se
De manera general para representar una
pueden representar las funciones y son las
funciĂłn se usa la siguiente notaciĂłn:
siguientes:
đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ)
En donde f es el nombre que damos a la funciĂłn y “xâ€? es la variable independiente, esta notaciĂłn es equivalente a la variable “yâ€? que usabas en asignaturas anteriores y se lee: “ye es igual a efe de equisâ€?, lo cual nos indica que tenemos una funciĂłn f que depende de la variable “xâ€?. En ocasiones se usa tambiĂŠn el nombre g y h para nombrar a las funciones, es decir: đ?‘”(đ?‘Ľ ) Ăł â„Ž(đ?‘Ľ), por ejemplo: đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ − 6 2

Verbalmente

NumĂŠricamente

GeomĂŠtricamente

Algebraicamente
1.2.1 Verbalmente. Como su nombre lo indica este tipo de representaciĂłn se hace mediante palabras, de tal manera que describa a la situaciĂłn que deseamos representar. 1.2.2 NumĂŠricamente. En esta representaciĂłn se hace uso de una tabla en donde se
â„Ž(đ?‘Ľ ) = 3 đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 1
muestren los valores de cada una de las
NOTA: no necesariamente se deben usar las
interpretaciĂłn
đ?‘”(đ?‘Ľ ) = 5đ?‘Ľ 2 − 2
letras đ?‘“, đ?‘” đ?‘œ â„Ž para nombrar a las funciones, ni
variables y en la cual se busca que la de
la
situaciĂłn
sea
mĂĄs
compacta.
la letra x para representar a la variable
1.2.3 GeomĂŠtricamente. En ĂŠsta forma de
independiente, se pueden usar otras letras
representaciĂłn
la
funciĂłn
se
presenta
mediante una gráfica en la que se muestran
asignaremos
los datos de la representación numérica.
respectivamente, el tiempo es la variable
1.2.4 Algebraicamente. La forma algebraica de
independiente y el número de vueltas la
representar una función es mediante una
variable dependiente.
expresión matemática que relaciona a las dos
Fonseca Andrés (2009).Atletas [Fotografía].
variables en cuestión, para encontrar dicha
Recuperado
fórmula debes usar los datos y procedimientos
http://www.flickr.com/photos/andresfonseca/36
adecuados que te permitan obtenerla.
74211768/
A continuación se presentan ejemplos en los
Forma numérica.
cuales se muestra una función en sus cuatro
t (min)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
formas posibles.
y
n
de
Forma geométrica. Forma Verbal.
Si localizamos los datos de la tabla en un
Juan trota 30 minutos
plano
todos
de
tendremos la representación geométrica de la
las
función, la cual nos queda como se muestra en
los
semana
fines por
mañanas en la pista del deportivo
que
se
encuentra frente a su casa, con reloj en mano ha encontrado que tarda 3 minutos en dar una vuelta completa a la pista. En este caso las variables son el tiempo y el de
t
nombres
(vueltas)
EJEMPLO 1
número
los
vueltas
a
las
cuales
les
cartesiano
la gráfica.
y
unimos
los
puntos
Marcial
Verónica
(2013).Gráfica
vueltas
de representación de la función, nuestras
[imagen].
variables son el tiempo y la distancia recorrida.
Forma algebraica.
Gaya
La
forma
algebraica
es
la
expresión
David
(2007).Bocho
[imagen].
Recuperado de
matemática que relaciona a las dos variables
http://www.flickr.com/photos/12675009@N02/1
en cuestión, en este caso la expresión queda
448502409/
como
Forma numérica
𝑛(𝑡) =
1
𝑡 3
o simplemente 𝑛 =
1 3
𝑡
En donde n es el número de vueltas y t el
t (horas)
0
1
2
3
4
5
d (km)
0
60
120
180
240
300
Forma geométrica
tiempo (en minutos) EJEMPLO 2 Forma Verbal Un automóv il
se desplaz
a de una ciudad a otra y lo hace con velocidad contante de 60 km/h. En este ejemplo podemos observar que por cada hora que transcurra el automóvil se desplaza 60 km, por lo que a partir de esta información podemos obtener las otras formas
Marcial
Verónica
(2013).Gráfica
distancia
[imagen]. Forma algebraica 𝑑(𝑡) = 60 𝑡 o también
𝑑 = 60 𝑡
En donde d es la distancia recorrida (en km) y t
es el tiempo transcurrido (en horas) En estos ejemplos puedes ver las 4 formas de representación de una función, como puedes
observar en todas ellas se puede obtener información de la función, aunque la forma geométrica es la más compacta y nos puede proporcionar información sobre más valores de la variable dependiente ya que podemos dar valores diferentes a la variable independiente.
1.2.5 Criterio de la recta vertical Cuando se tiene una gráfica una forma muy sencilla de saber si representa o no una función es aplicar el criterio de la recta vertical el cual establece lo siguiente:
Si sobre una gráfica se traza una recta vertical y ésta cruza a la gráfica en un solo punto se dice entonces que la gráfica representa una función. Si la recta vertical cruza a la gráfica en dos o más puntos entonces no es función, en
Marcial Verónica (2013).Gráfica Funciones
tal caso se llama relación.
2[imagen].
EJEMPLOS.
Marcial Verónica (2013).Gráfica Funciones
Las
siguientes
gráficas
representan
una
función porque al trazar una recta vertical sobre ellas (en cualquier parte) solamente son cortadas en un sólo punto.
3[imagen].
Marcial Verónica (2013).Gráfica Funciones 4[imagen]. Las siguientes gráficas NO representan una función (son relaciones) porque al trazar la recta vertical sobre ellas son cortadas en más de un punto.
Marcial Verónica (2013). Relación 1[imagen]. Marcial Verónica (2013).Relación 2[imagen].
1.2.6
Funciones
definidas
seccionalmente Ya has visto cómo se representa una función, pero en la vida cotidiana existen casos en los que no es posible representar una situación haciendo uso de una sola fórmula sino que es necesario usar dos o más.
Este tipo de funciones estĂĄn definidas por dos o mĂĄs fĂłrmulas en diferentes partes de sus dominios
y
seccionalmente
se
llaman
definidas
o
funciones simplemente
funciones seccionadas, de manera general se representan de la siguiente manera: đ?‘“Ăłđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ž 1 đ?‘“Ăłđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ž 2 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = { â‹Ž đ?‘“Ăłđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ž đ?‘›
đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ 1 đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ 2 â‹Ž đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘›
EJEMPLO
Trazar la grĂĄfica de la siguiente funciĂłn
Marcial
VerĂłnica
(2013).Funciones
Seccionadas[imagen]. Como puedes observar en la grĂĄfica hay puntos huecos y puntos rellenos en los extremos de cada parte, esto se debe al
đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ − 4 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = { 2
−2≤đ?‘Ľ ≤ 1 1<đ?‘Ľâ‰¤ 3
−đ?‘Ľ + 2
3<�≤ 6
dominio de cada fĂłrmula de la funciĂłn, pues el sĂmbolo de menor o igual que (≤) indica que ese valor en la grĂĄfica va relleno, y el sĂmbolo
Para trazar la grĂĄfica de una funciĂłn de este
menor que (<) indica que ese valor en la
tipo basta con hacer la tabulaciĂłn de cada
grĂĄfica va hueco. Esto es:
fĂłrmula usando los valores de x que se indican
El primer dominio se lee de la siguiente
para
manera: “equis es mayor o igual a -2 pero
cada
dominio
y
posteriormente
localizarlos en el plano cartesiano.
menor o igual a 1â€?, como en ambos extremos aparece el sĂmbolo ≤ es por eso que los extremos del primer tramo de la grĂĄfica son
Marcial VerĂłnica (2013).TabulaciĂłn [imagen].
puntos rellenos.
En el caso del segundo dominio tenemos que
Si representamos esta tarifa con una función
“equis es mayor a 1 pero menor o igual a 3”,
definida seccionalmente la función queda de la
en el primer extremo al ser “x” mayor a 1 nos
siguiente manera:
indica que no toca a este valor, es por eso que
0d 5 3 c(d ) 3.5 5 d 12 4.5 12 d
en el primer extremo de la segunda parte de la gráfica aparece un hueco. Lo mismo sucede con la tercera parte de la gráfica.
¿Tienes idea de dónde se pueden aplicar las funciones definidas seccionalmente en la vida cotidiana? En el siguiente ejemplo podemos ver un caso de aplicación de estas funciones:
En donde c representa el costo del pasaje y d la distancia recorrida, esta función nos indica que la función costo (c) tiene un valor de 3 mientras la variable distancia (d) tome valores menores a 5, cuando la variable distancia toma
EJEMPLO
valor
En la Ciudad de México la tarifa de los
es
microbuses es la siguiente: El pasaje por los
desd
primeros 5 km de recorrido es de $3.0, de 5 a
e
12 kilómetros de recorrido el costo del pasaje
hasta
es de $3.5 y de 12 kilómetros en adelante el
12 la
5
funci
costo es de $4.5.
ón
costo toma un valor de 3.5, y cuando la Sergio
Arturo
México[Fotografía].
(2008).Nuestro Recuperada
de
http://www.flickr.com/photos/gagc/2312906461/
variable distancia toma valores mayores o iguales a 12 la función costo toma el valor de 4.5.
La grĂĄfica de esta funciĂłn queda de la
multiplicaciĂłn, divisiĂłn, y extracciĂłn de raĂz),
siguiente manera:
por ejemplo las siguientes:
1.3.2
đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2 + 5x − 3 (5đ?‘Ľ 3 + 4)(3x − 1) ( ) đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ+2 3 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √5đ?‘Ľ 2 + x
FunciĂłn
constante.-
Como
su
nombre lo indica, una funciĂłn constante es aquella que no cambia su valor, es de la forma Marcial
VerĂłnica
(2013).Funciones
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘˜, en donde k es una constante, su grĂĄfica es de la forma:
Seccionadas2[imagen]. De esta forma podemos encontrar otros ejemplos para este tipo de funciones, por ejemplo la tarifa de un taxi, el costo de enviar por mensajerĂa un paquete, el costo de las copias cuando se sacan por volumen, etc.
1.3 ClasificaciĂłn de funciones
Marcial
Las funciones se clasifican de acuerdo a su
Constante[imagen].
presentaciĂłn como sigue:
En donde k representa un nĂşmero real y es el
1.3.1 Funciones algebraicas
valor en donde la grĂĄfica cruza al eje vertical,
Una funciĂłn algebraica es toda aquella que se puede
representar
operaciones
haciendo
algebraicas
uso
(suma,
de
las
resta,
VerĂłnica
(2013).FunciĂłn
por ejemplo la funciĂłn constante đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2
tiene como grĂĄfica la siguiente
1.3.5
Funciones
racionales.-
Las
funciones racionales se representan como la razĂłn (cociente) de dos polinomios, es decir, đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)
Marcial VerĂłnica (2013).Funciones Constante
tienen la forma: đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘„(đ?‘Ľ) en donde P(x) y
Q(x) son polinomios tales que Q(x) ≠0, por ejemplo las siguientes
2[imagen].
1.3.3 Funciones potencia.- Son aquellas que se tienen la forma đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘› , en donde k y n son valores constantes, pero ademĂĄs los
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =
2đ?‘Ľ 3 −3đ?‘Ľ 2
1.3.6
4đ?‘Ľ 5 +2
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =
Funciones
5đ?‘Ľ 4 +2đ?‘Ľ 3 −5 3đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľâˆ’1
irracionales.-
Son
aquellas en las que las variables estĂĄn
valores de n solamente son enteros, por
afectadas por algĂşn tipo de raĂz, (o lo que es lo
ejemplo los siguientes casos:
mismo,
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 ,
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ,
1.3.4
4
Funciones
potencias
son
nĂşmeros
fraccionarios), or ejemplo:
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 ,
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ , â‹Ż đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ
sus
đ?‘›
polinĂłmicas.-Son
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3 + 4√đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ 2 ,
4đ?‘Ľ 3 − 3,
3
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2
funciones de la forma đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘˜0 + đ?‘˜1 đ?‘Ľ + đ?‘˜2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜3 đ?‘Ľ 3 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘›
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √
3
3đ?‘Ľ 2 5
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √2đ?‘Ľ 2 +
+1
Como puedes ver es estas funciones, no
đ?‘˜0 , đ?‘˜1 , đ?‘˜2 , đ?‘˜3 , â‹Ż , đ?‘˜đ?‘› son valores
necesariamente en todos los tĂŠrminos las
el
variables deben estar afectadas por alguna
coeficiente đ?‘˜đ?‘› es diferente de cero entonces el
raĂz, con un solo tĂŠrmino en el cual la variable
grafo de la funciĂłn es n, por ejemplo:
aparezca con una raĂz la funciĂłn es irracional.
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 3 + 4đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ 3
1.3.7 Funciones trigonomĂŠtricas.- Son
En donde
constantes
llamados
coeficientes,
si
(Tercer grado o
grado 3)
6
2
funciones que involucran a las funciones 3
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √2 − 2đ?‘Ľ + 5 đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ grado o grado 4)
4
(Cuarto
trigonomĂŠtricas,
por
ejemplo:
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =
đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ, đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = cos đ?‘Ľ đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = tan đ?‘Ľ, đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą đ?‘Ľ, đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ľ,
1.3.8
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘?đ?‘ đ?‘? đ?‘Ľ.
Funciones
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) =
exponenciales.-Son
saber dĂłnde crecen o decrecen o si presentan algĂşn tipo de simetrĂa.
1.4.1
Funciones
crecientes
y
funciones que tienen la forma đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘˜ đ?‘Ľ , en
decrecientes
variable, por ejemplo.đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −32đ?‘Ľ
los que las funciones crecen o decrecen a
donde k es un coeficiente y la potencia es
dentro de las funciones exponenciales una
Esta caracterĂstica nos indica los intervalos en
medida que la variable independiente crece
muy usada en cålculo es la que involucra al número e (2.728281‌), por ejemplo � (� ) = 3� � , �(� ) = 5� 2�
1.3.9 Funciones logarĂtmicas.- Son todas aquellas que tienen logaritmos en diferentes bases o logaritmos naturales, por ejemplo: đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 2đ??żđ?‘›(3đ?‘Ľ ),
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 4 log đ?‘Ľ
Marcial VerĂłnica (2013).ParĂĄbola[imagen].
Para ver mĂĄs informaciĂłn sobre la clasificaciĂłn
Si analizamos la grĂĄfica anterior podemos
de las funciones revisa estas direcciones:
decir que en el intervalo [-2,0] la funciĂłn
http://www.youtube.com/watch?v=yLCSdk_DjS
decrece y en el intervalo [0,2] la funciĂłn crece.
s
1.4.2 SimetrĂa
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_clasifi
Las grĂĄficas de las funciones pueden ser
cacion.html
1.4 CaracterĂsticas de funciones Cuando trabajamos con funciones nos interesa analizar algunas de sus caracterĂsticas como
simĂŠtricas con respecto al eje vertical, con respecto al origen o bien no guardar ningĂşn tipo de simetrĂa, Cuando las grĂĄficas son simĂŠtricas con respecto al eje vertical se llaman
funciones
pares
y
cuando
son
simĂŠtricas
respecto
al
origen
se
llaman
funciones impares,. Una funciĂłn es par si cumple con la condiciĂłn: đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ), y es impar si cumple con la condiciĂłn: −đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ).
Nota: Una funciĂłn no puede ser par o impar al Marcial VerĂłnica (2013).ParĂĄbola
mismo tiempo.
desplazada[imagen].
EJEMPLOS Analizar si las siguientes funciones son pares o
2) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ
impares 1) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2 − 3
Aplicamos la condiciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ) para ver
si es par, por lo que tenemos que:
Aplicamos la condiciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ) para ver
đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = 2(−đ?‘Ľ)2 − 3
đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = (−đ?‘Ľ)3 − 2(−đ?‘Ľ)
si es par:
elevada a potencias pares queda positiva)
đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = −đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ
Si comparamos đ?‘“ (đ?‘Ľ ) con đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) observamos
Si comparamos đ?‘“ (đ?‘Ľ ) con đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) vemos que no
đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2 − 3
(ya
que
toda
cantidad
(Porque las potencias
impares conservan el signo de la variable)
que son iguales, por lo que se cumple la
son iguales, por lo tanto la funciĂłn no es par.
condiciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ), entonces la funciĂłn es
Aplicamos la condiciĂłn de funciĂłn impar
es simĂŠtrica con respecto al eje vertical, esto
[−đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ)]
quiere decir que el eje vertical es el eje de
−đ?‘“ (đ?‘Ľ ) Equivale a multiplicar la funciĂłn original
por (-1), por lo que se tiene:
simetrĂa.
−đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (−1)(đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ) −đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ
par, si trazamos su grĂĄfica podemos ver que
Si comparamos ahora đ?‘“(−đ?‘Ľ ) con −đ?‘“(đ?‘Ľ ) se observa que son iguales, por lo tanto la funciĂłn
es impar, si trazamos la grĂĄfica se aprecia que
−đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −2đ?‘Ľ − 3
Comparando −đ?‘“(đ?‘Ľ ) con đ?‘“(−đ?‘Ľ ) vemos que no
es simĂŠtrica con respecto al origen.
son
Nota:
Cuando
una grĂĄfica es simĂŠtrica
con
respecto
al
origen
se
iguales,
por
lo tanto
ve
exactamente igual si se gira 180Âş.
Como se ve a
continuaciĂłn Marcial
que su grĂĄfica no tiene simetrĂa ni con el eje VerĂłnica
(2013).FunciĂłn
VerĂłnica
vertical ni con el origen y lo podemos verificar trazĂĄndola.
Impar1[imagen]. Marcial
tampoco es funciĂłn impar, lo cual quiere decir
(2013).FunciĂłn
Impar
2[imagen]. 3) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ + 3
Aplicamos la condiciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ) para ver si es par:
đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = 2(−đ?‘Ľ) + 3 đ?‘“ (−đ?‘Ľ ) = −2đ?‘Ľ + 3
Marcial VerĂłnica (2013).GrĂĄfica sin simetrĂa[imagen].
Si comparamos đ?‘“ (đ?‘Ľ ) con đ?‘“(−đ?‘Ľ) vemos que no son iguales, por lo tanto no es funciĂłn par.
La simetrĂa nos sirve para trazar una grĂĄfica
Aplicamos la condiciĂłn de funciĂłn impar
completa cuando solamente tenemos parte de
[−đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ)]
ella y se sabe si es par o impar, y las
−đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = (−1)(2đ?‘Ľ + 3)
características de creciente y decreciente nos dice cómo se comporta nuestra función en ciertos intervalos del dominio. Por ejemplo los siguientes casos:
http://www.viajeabrasil.com/aracaju/cuando-irclima-en-aracaju.php
En esta gráfica de precipitaciones pluviales observa que se puede tener más de un intervalo de crecimiento o decrecimiento de las En esta gráfica se aprecia que la función es
funciones, esto ya depende de las variables de
creciente en el intervalo [dic.08, dic.09] y que
nuestro interés y del intervalo total del dominio.
decrece en los intervalos [dic.07, dic08] y
1.5 Operaciones con funciones.
[dic.09, 15 may 12] dichas características nos
Así como se pueden realizar operaciones de
indican los periodos en los cuales el dólar ganó
suma, resta, multiplicación y división con los
o perdió terreno frente al euro.
números,
http://oncetv-
funciones, estas operaciones se realizan tal
ipn.net/noticias/blog/economia/?p=742
como
lo
se
puede
hiciste
con
hacer
los
también
polinomios
con
en
asignaturas anteriores. y se representan de la siguiente forma:
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ),
Suma: đ?‘”)(đ?‘Ľ )
đ?‘“ + đ?‘”,
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − đ?‘”(đ?‘Ľ ),
Resta: đ?‘”)(đ?‘Ľ )
MultiplicaciĂłn:
(đ?‘“đ?‘”)(đ?‘Ľ )
DivisiĂłn:
đ?‘“ − đ?‘”,
đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘” (đ?‘Ľ ) ,
f(x)/g(x),
f/g,
o
(đ?‘“ +
o o đ?‘“đ?‘”,
(f/g)(x)
1) f(x) = x 3 + 2x 2 , g(x) = 3x 2 − 1 f(x) + g(x) = (x 3 + 2x 2 ) + (3x 2 − 1) = x 3 + Dominio (- ∞,∞)
f(x) − g(x) = (x 3 + 2x 2 ) − (3x 2 − 1) = x 3 − Dominio (- ∞,∞)
5
3
4
f g = (x + 2x 3x − 1) = 3x − x + 6x − 2x 2 = 3x 5 + 6x 4 − x 3 − 2x 2 Dominio (- ∞,∞)
1
nos quedarĂa una divisiĂłn entre cero. 2)
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √1 + đ?‘Ľ ,
đ?‘”(đ?‘Ľ ) = √1 − đ?‘Ľ
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ) = √1 + đ?‘Ľ + √1 − đ?‘Ľ = [−1,1]
y f/g asĂ como su dominio
2
1
Dominio(−∞, ∞) − {√3 y − √3}
llaves se quitan del dominio ya que con ellos
Con las funciones dadas encuentra f+g, f-g, fg
2 )(
3x 2 −1
o
EJEMPLOS.
3
x3 +2x2
En este Ăşltimo caso los dos valores entre
una y obtendremos su dominio
x2 + 1
= g
(đ?‘“ −
A continuaciĂłn veremos un ejemplo de cada
5x 2 − 1
f
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − đ?‘”(đ?‘Ľ ) = √1 + đ?‘Ľ − √1 − đ?‘Ľ = [−1,1]
đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ
đ?‘“ đ?‘” = √1 + đ?‘Ľ √1 − đ?‘Ľ = √(1 + đ?‘Ľ ) (1 − đ?‘Ľ ) = √1 − đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ = [−1,1] đ?‘“ √1 + đ?‘Ľ 1+đ?‘Ľ = =√ đ?‘” √1 − đ?‘Ľ 1−đ?‘Ľ
đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ = [−1,1)
Otra operaciĂłn que podemos realizar con las funciones es la composiciĂłn, la cual se representa con un pequeĂąo cĂrculo (o) y se denota de las siguientes formas: ComposiciĂłn:
đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘œđ?‘”(đ?‘Ľ ),
đ?‘“đ?‘œđ?‘”,
o
(đ?‘“đ?‘œđ?‘”)(đ?‘Ľ ) todas se leen como “efe composiciĂłn
g�
Al resultado obtenido también se le llama
Puedes obtener más información sobre estas
función compuesta y se obtiene sustituyendo la
operaciones en consultando las siguientes
segunda función en el lugar de la variable de la
direcciones:
primera función.
http://www.aprendermatematicas.com/1_BACH /funciones/operaciones_funciones.pdf http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funcion
EJEMPLOS Encuentre las funciones f ᵒg , gᵒ f, f ᵒ f y g ᵒ g
es/ap02_funciones.php
1) f(x) = 2x 2 − x, g(x) = 3x + 2
Una vez que ya tienes los conceptos de
4) − (3x + 2)=
las funciones como se muestra a continuación.
funciones
f o g = 2(3x + 2)2 − (3x + 2) = 2(9x 2 + 12x +
puedes
resolver
otro
tipo
de
ejemplos en los que se aprecie la aplicación de
2
18x + 24x + 8 − 3x − 2 = 18x 2 + 21x +6 = (−∞, ∞)
dominio
2
g o f = 3(2x − x) + 2 = 6x 2 − 3x +2 dominio(−∞, ∞)
Un
recipiente
rectangular
para
almacenamiento, y sin tapa en la parte superior tiene un volumen de 5 m3, la longitud de la base es el doble de su ancho, el material para la base tiene un costo de 5 dólares por
metro cuadrado y para los lados un costo de 3 f o f = 2(2x 2 − x)2 − (2x 2 − x) = 2(4x 4 − 4x 3 + dólares por metro cuadrado. Expresar el costo x 2 ) − (2x 2 − x) = 8x 4 − 8x 3 + 2x 2 − 2x 2 + x = 8x 4 − 8x 3 + total del material para la construcción del x dominio(−∞, ∞) recipiente únicamente en función del ancho de g o g = 3(3x + 2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x +8 dominio(−∞, ∞)
la base.
SoluciĂłn.- se dibuja una figura que muestre el
es de 5 m3 y que el volumen del recipiente es
recipiente y se asigna nombre a sus lados (usa
el producto de sus tres lados, es decir:
h para la altura y a para el ancho).
El costo de producciĂłn de
la
� = (2�)(�)(ℎ) 5 = (2�)(�)(ℎ) 5 = 2�2 ℎ
5
Despejando h: â„Ž = 2đ?‘Ž2 , sustituyendo ahora en la funciĂłn del costo
caja
serĂĄ el costo de la base
5
đ??ś = 10đ?‘Ž2 + 18đ?‘Ž 2đ?‘Ž2 90đ?‘Ž
đ??ś = 10đ?‘Ž2 + 2đ?‘Ž2
mĂĄs el costo de las caras laterales, primero se
Por lo que la funciĂłn del costo en tĂŠrminos del
obtienen las ĂĄreas correspondientes:
ancho solamente nos queda como:
đ??´đ??ľđ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = (2đ?‘Ž)(đ?‘Ž) = 2đ?‘Ž2 đ??´đ??żđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = 2(2đ?‘Ž)(â„Ž) + 2(đ?‘Ž)(â„Ž) = 4đ?‘Žâ„Ž + 2đ?‘Žâ„Ž = 6đ?‘Žâ„Ž Si multiplicas las ĂĄreas obtenidas por el costo de cada una obtendrĂĄs el costo total:
đ??ś = 10đ?‘Ž2 +
45 đ?‘Ž
Conclusiones Has llegado al final de la unidad 1 en la cual revisaste
đ??ś = 5(2đ?‘Ž2 ) + 3(6đ?‘Žâ„Ž) đ??ś = 10đ?‘Ž2 + 18đ?‘Žâ„Ž
el
concepto
de
funciĂłn,
su
representaciĂłn y los diferentes tipos, asĂ como
Esta funciĂłn te proporciona el costo total, pero
las operaciones que puedes realizar con ellas,
estĂĄ en funciĂłn de las variables “aâ€? y “hâ€? y el
es importante que si tienes dudas revises
problema
en
nuevamente el contenido de la unidad, pues
tĂŠrminos del ancho de la base (a), para esto
son temas que te servirĂĄn para llevar a cabo el
usamos el volumen, Sabemos que el volumen
estudio de las siguientes unidades.
solamente
pide
la
funciĂłn
Fuentes de contenido Además puedes complementar la información sobre los temas con la siguiente bibliografía. James Stewart (2003), Cálculo diferencial e integral.
México,
International
Thomson
Editores Ron Larson, Robert P. Hostetler(2005); Cálculo diferencial e integral séptima edición,México, Mc Graw Hill Dennis G. Zill (1987), Cálculo con Geometría Analítica,
México,
Iberoamericano.
Grupo
Editorial
Secretaría de Educación Coordinación General de Educación Dirección Ejecutiva de Planeación y Educación a Distancia Dirección de Educación a Distancia BACHILLERATO DIGITAL
EL CÁLCULO EN MI VIDA DIARIA Realiza esta actividad en un archivo en formato word El precio de la gasolina magna en el mes de enero de 2012 era de $9.82, como bien sabes ha sufrido incrementos mensuales en su precio de 9 centavos. Usando el concepto de función representa esta situación desde el mes de enero y hasta el mes de diciembre del año en cuestión en las 4 formas vistas.
Lista de Cotejo UNIDAD 1: ACTIVIDAD FINAL
ESTUDIANTE: GRUPO:
SI 1. El documento está hecho en Word. 2. Contiene el nombre del estudiante. 3. Contiene instrucciones de la actividad. 4. El estudiante muestra en forma verbal la función. 5. El estudiante muestra en forma numérica la función. 6. El estudiante muestra en forma geométrica la función. 7. El estudiante muestra en forma algebraica la función. 8. Muestra orden en cada uno de sus desarrollos. 9. Utilizó un graficador para la forma geométrica 10. Expresa de manera clara sus ideas en la forma verbal. 11. Uso un editor de ecuaciones 12. 13. 14.
NO
Peso % 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91 0.91
15. 16. 17. 18. 19. SUBTOTAL 9 – 10 8 - 8.9 7 - 7.9 6 – 6.9 0 - 5.9
Muy bien. Bien. Regular. Suficiente. Insuficiente
RETROALIMENTACIÓN DEL TUTOR:
10
Unidad 2 LÍMITES
Tal vez tienes una idea del significado de la
En esta unidad estudiarás los siguientes
palabra límite, pues algunas veces en la vida
subtemas
habrás
2.1 Concepto intuitivo de límite
alcanzando el límite de velocidad”, “Estás
2.2 Cálculo de límites y sus propiedades
llegando al límite de mi paciencia”, “Todo tiene
2.3 Límites indeterminados
un límite”, etc. Como puedes ver en estas
2.4 Límites laterales y continuidad
frases la palabra límite se refiere a un
2.5 Asíntotas verticales
acercamiento
escuchado
a
frases
algo
como:
pero
sin
“está
llegar
precisamente a ese algo. En matemáticas el concepto de límite se usa
Propósito de la unidad Con el estudio de la presente unidad:
de manera muy similar pero aplicado a las funciones, la palabra límite se referirá a que la
Podrás identificar el concepto intuitivo del límite de una función. Identificarás las propiedades de los límites y las aplicarás en la solución de ejercicios. Resolverás
límites
indeterminados
función con la que estás trabajando se acerca a un cierto valor pero sin llegar precisamente a tocarlo. En esta unidad debes poner especial atención a
los
conceptos
que
abordarás
y
aplicando diversas estrategias.
comprenderlos lo mejor posible, analizarás los
Analizarás la continuidad de una función
conceptos de límite y continuidad de una
aplicando las condiciones
función, los cuales son la base para el estudio
Identificarás cuándo una función tiene o no asíntotas.
Introducción
de la derivada, te apoyarás en la gráfica de una función para explicar el concepto de límite, de tal manera que te sea más sencilla su comprensión
para
poder
aplicarla
en
la 1
solución de problemas, así mismo identificarás
En el siguiente ejemplo puedes observar de
la aplicación de continuidad en algunas
manera
situaciones de la vida cotidiana.
analizando las tendencias o valores a los que
Es importante que tengas presentes y claras
se acerca la función.
algunas estrategias matemáticas que ya has
EJEMPLO.
estudiado
Un paciente toma 10 ml de un medicamento
con
factorización,
anterioridad
tales
como
ya que estas estrategias te
cada
gráfica
8
el
horas,
el
concepto
de
límite
comportamiento
del
ayudarán a resolver de una manera más
medicamento en su sangre es el que se
sencilla los llamados límites indeterminados
muestra en la gráfica.
que también serán tratados en esta unidad.
2.1 Concepto intuitivo de límite En Matemáticas se dice que el límite es un concepto que describe la tendencia de una función a medida que los valores de la variable independiente de esa función se acercan a un determinado valor. Cuando hablas del límite de una función te refieres al entorno de una función en un determinado punto, por ejemplo, si deseas calcular el límite de una función f(x) en un punto x, tienes que analizar los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado derecho como del lado izquierdo en el eje de las equis.
Aquí puedes ver lo que sucede con el medicamento en el torrente sanguíneo del paciente,
analizando
t=8
se
observa
claramente que a medida que el tiempo se acerca
a
las
8
horas
la
cantidad
de
medicamento va disminuyendo acercándose a 5ml, exactamente a las 8 horas que es cuando lo
vuelve
a
tomar,
el
medicamento
se 2
incrementa en el torrente sanguĂneo a 15 ml y
ÂżPero cĂłmo saber cuĂĄl es el lĂmite de una
empieza a disminuir con el paso de las horas.
funciĂłn?, ahora lo verĂĄs.
Para este caso podemos aplicar el concepto de lĂmite diciendo entonces que cuando el
2.2 CĂĄlculo de lĂmites y sus propiedades
tiempo se acerca a 8 horas, el medicamento
Para calcular el lĂmite de una funciĂłn se puede
en el torrente sanguĂneo se acerca a 5 ml. De
hacer por medio de su grĂĄfica o de la
esta misma forma puedes analizar los tiempos
expresiĂłn matemĂĄtica, esto depende de la
correspondientes a los demĂĄs tiempos que son
forma de cĂłmo se tenga representada a la
mĂşltiplos de 8 horas.
funciĂłn.
2.1.1 NotaciĂłn de lĂmite
2.2.1 CĂĄlculo de lĂmites en forma grĂĄfica
Al igual que en las funciones, tambiĂŠn a los
Las siguientes grĂĄficas correspondientes a la
lĂmites
funciĂłn
se
les
asigna
un
nombre
para
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −đ?‘Ľ 2 + 4
te
ayudarĂĄn
a
identificarlos, para hacer referencia al lĂmite de
comprender mejor el concepto de lĂmite, las
una funciĂłn se aplica la siguiente notaciĂłn.
flechas rojas indican a quĂŠ valor se acerca la
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ??ż đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž La cual se lee: El lĂmite de la funciĂłn f(x)
cuando “x� tiende a “a� es L.
En este caso la flecha significa “tiende a� o “se
variable “xâ€? tanto por la izquierda como por la derecha, mientras que las flechas verdes indican el valor al cual se acerca la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ)
acerca aâ€? y nos indica el valor al cual se acerca la variable “xâ€?, mientras que “Lâ€? es el valor al cual se acerca la funciĂłn. 3
Esto se representa como
��� �(� ) = 3 �→1
NOTA: Cuando calculas el valor de un lĂmite no interesa encontrar el valor de la funciĂłn en ese punto, sino lo que sucede en su entorno, dicho en otras palabras, te interesa saber a quĂŠ valor se acerca la funciĂłn Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite01 [imagen].
Observa en esta grĂĄfica que cuando el valor de la variable independiente “xâ€? se acerca a –2, el valor de la funciĂłn (el cual se mide sobre el eje vertical) se acerca a cero, por lo que podemos decir que: el lĂmite de la funciĂłn cuando equis
tiende a –2 es cero. Lo cual matemĂĄticamente se representa como: đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 0 đ?‘Ľ → −2 Analizando otro punto de la misma grĂĄfica, observa que cuando equis se acerca a uno, el valor de la funciĂłn se acerca a tres.
2.2.2 CĂĄlculo de lĂmites en forma numĂŠrica Para calcular el lĂmite de una funciĂłn de manera numĂŠrica basta con sustituir en ella el valor al cual tiende o se acerca la variable independiente y evaluarla en ese punto. EJEMPLO 2 Calcular el siguiente lĂmite đ?‘™đ?‘–đ?‘š −đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ľâ†’1
Como equis tiende a 1 evaluamos ese valor en la funciĂłn. đ?‘™đ?‘–đ?‘š −đ?‘Ľ 2 + 4 = đ?‘™đ?‘–đ?‘š −(1)2 + 4 = đ?‘Ľâ†’1 đ?‘Ľâ†’1 đ?‘™đ?‘–đ?‘š −1 + 4 =3 đ?‘Ľâ†’1 2 Por lo que đ?‘™đ?‘–đ?‘š −đ?‘Ľ + 3 = 3 đ?‘Ľâ†’1
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite02 [imagen].
4
Este resultado lo puedes verificar en la
El lĂmite de una
segunda grĂĄfica de la secciĂłn anterior, pues en
constante
ella se aprecia que cuando equis se acerca a
variable tiende a
1, el valor de la funciĂłn se acerca a tres.
c es la misma
Puedes consultar mĂĄs informaciĂłn sobre el
cuando
la
constante. El lĂmite de una
cĂĄlculo de lĂmites en la siguiente direcciĂłn
variable cuando
electrĂłnica
la variable tiende
para
que
refuerces
tus
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ =đ?‘? đ?‘Ľâ†’đ?‘?
a c es c.
aprendizajes sobre el tema:
El lĂmite de una
http://matematica.50webs.com/calculo-de-
variable elevada
limites.html
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘? =đ?‘? đ?‘Ľâ†’đ?‘?
a una potencia n cuando
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘?đ?‘› đ?‘Ľâ†’đ?‘?
la
variable tiende a
RECUERDA: Cuando hablas del lĂmite de una funciĂłn te refieres al valor al
c es c elevada a la potencia n. El lĂmite de una
cual se acerca la funciĂłn, el hecho de
constante
evaluarla directamente en el valor de
multiplicada
equis no quiere decir necesariamente que sea el valor de la funciĂłn.
por
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘˜ đ?‘“(đ?‘Ľ ) đ?‘Ľâ†’đ?‘?
una funciĂłn, es la
constante
multiplicada
por
el lĂmite de la funciĂłn
2.2.3 Propiedades de los lĂmites Las propiedades de los lĂmites te ayudarĂĄn a calcular de una manera mĂĄs rĂĄpida el valor de algunos lĂmites bĂĄsicos, en la siguiente tabla se muestran las propiedades de los lĂmites:
El lĂmite de una funciĂłn
elevada
a una potencia n,
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [ đ?‘“ (đ?‘Ľ )]đ?‘› đ?‘Ľâ†’đ?‘?
es el lĂmite de la funciĂłn
elevado
a la potencia n. (donde
n
es
entero positivo).
5
El lĂmite de la raĂz n de una funciĂłn, es igual a la raĂz n de la
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘™đ?‘–đ?‘š √ đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √
đ?‘Ľâ†’đ?‘?
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľâ†’đ?‘?
se
cociente
de
funciones es el cociente de los
funciĂłn, si n es par
El lĂmite de un
lĂmites.
debe
cumplir que lim đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼0 đ?‘Ľâ†’đ?‘? Si se tienen las
funciones đ?‘“(đ?‘Ľ ), đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘Ś â„Ž((đ?‘Ľ) đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) =đ??´ , y đ?‘Ľâ†’đ?‘? đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘”(đ?‘Ľ) =đ??ľ , đ?‘Ľâ†’đ?‘? đ?‘™đ?‘–đ?‘š â„Ž(đ?‘Ľ) =đ??ś , đ?‘Ľâ†’đ?‘? entonces se cumplen
las
EJEMPLOS En los siguientes ejemplos podrĂĄs ver la aplicaciĂłn de estas propiedades: 1)
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ) − â„Ž(đ?‘Ľ)] = đ??´ + đ??ľ − đ??ś đ?‘Ľâ†’đ?‘?
siguientes relaciones: El lĂmite de una suma y/o resta de funciones es la suma y/o resta de los lĂmites.
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘”(đ?‘Ľ)â„Ž(đ?‘Ľ)] = đ??´đ??ľđ??ś đ?‘Ľâ†’đ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ)
đ??´
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [ ] = đ?‘”(đ?‘Ľ) đ??ľ đ?‘Ľâ†’đ?‘?
2)
��� 15 = 15 �→2 ��� � =8 �→8
3 3) ��� � = 33 = 27 �→3
Dadas
las
funciones
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 3,
đ?‘”(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ − 2 y â„Ž(đ?‘Ľ ) = 2đ?‘Ľ 2 obtener el valor de los lĂmites que se piden aplicando las propiedades.
Con B diferente de cero.
El lĂmite de un producto
de
funciones es el producto de los lĂmites.
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ) − â„Ž(đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľâ†’2 La propiedad de los lĂmites para una suma y
4)
resta dice que el resultado es la suma y/o resta de los lĂmites, por lo que los puedes obtener
6
por separado y luego sumar o restar los
Como
resultados, segĂşn sea el caso.
simplemente se usaron los valores de los lĂmites
lim đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 3 = 22 + 2 − 3 = 3 đ?‘Ľâ†’2 lim 3 đ?‘Ľ − 2 = 3(2) − 2 = 4 đ?‘Ľâ†’2
lim 2x 2 = 2(2)2 = 8 �→2
đ?‘™đ?‘–đ?‘š [đ?‘“(đ?‘Ľ ) + đ?‘”(đ?‘Ľ ) − â„Ž(đ?‘Ľ)] = 3 + 4 − 8 = −1 đ?‘Ľâ†’2
��� [� (� )�(� )] = (3)(4) = 12 5) �→2 6)
7)
8)
9)
đ?‘“(đ?‘Ľ)
3
��� [ℎ(�)] = 8 �→2
puedes
y
se
ver
en
estos
realizaron
las
ejemplos,
operaciones
correspondientes. Para ver mĂĄs sobre las propiedades de los lĂmites puedes ir a este link. http://www.educatina.com/calculo/propiedadesde-los-limites Has visto hasta ahora cĂłmo se calculan de manera mĂĄs sencilla los lĂmites de una funciĂłn y cĂłmo se aplican sus propiedades, ahora verĂĄs otro tipo de lĂmites en los que ya no se puede
obtener
el
resultado
por
simple
sustituciĂłn.
2.3 LĂmites indeterminados
��� 5�(�) = 5(4) = 20 �→2
��� [� (� )]4 = (3)4 = 81 �→2 3
đ?‘™đ?‘–đ?‘š 3√ℎ(đ?‘Ľ) = √8 = 2 đ?‘Ľâ†’2
Existen lĂmites en los cuales no es posible obtener el resultado de manera directa al sustituir en la funciĂłn el valor al cuĂĄl tiende la variable
independiente
(equis),
pues
te
quedarĂĄ una indeterminaciĂłn tal como lo puedes ver en el siguiente ejemplo:
7
2 2 đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − 2 đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2 − 2 − 2 = đ?‘Ľ → 2 22 − 4 đ?‘Ľ → 2 đ?‘Ľ2 − 4 4−2−2 0 = = 4−4 0
2.3.1 Indeterminaciones del tipo
se
puede
eliminar
la
indeterminaciĂłn
eliminando a dicho factor comĂşn.
0 0
EJEMPLOS.
Como sabes la divisiĂłn entre cero no estĂĄ definida, cuando al calcular un lĂmite llegas a đ?‘˜
un resultado de la forma 0, donde k es una constante, matemĂĄticamente se dice que el
resultado es infinito (∞) o infinito negativo (–∞), el signo dependerĂĄ del signo de k. Cuando el resultado al que llegas es del tipo
0
đ?‘˜
el resultado automĂĄticamente es cero, pero tambiĂŠn puedes llegar a resultados del tipo los cuales se les llama indeterminaciones.
0 0
a
Para eliminar estas indeterminaciones y llegar a un valor vĂĄlido es necesario aplicar alguna estrategia, la cual dependerĂĄ de la forma en
1) Calcular
đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2đ?‘Ľ2 +5đ?‘Ľ đ?‘Ľ → 0 đ?‘Ľ3 −4đ?‘Ľ
Si sustituyes directamente el valor de x=0 en la funciĂłn te quedarĂĄ:
đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2(0)2 +5(0) 0 = đ?‘Ľ → 0 (0)3−4(0) 0
Por lo que se tiene una indeterminación, pero puedes observar que el numerador y el denominador tienen un factor común que es x, por lo que en ambos se puede factorizar como sigue. ��� �→0
đ?‘Ľ(2đ?‘Ľ+5)
đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 −4)
=
5 đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2đ?‘Ľ+5 2(0)+5 0+5 2 −4 = (0)2 −4 = 0−4 = − 4 đ?‘Ľ đ?‘Ľâ†’0
đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2đ?‘Ľ4 +4đ?‘Ľ3 −6đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ → 0 8đ?‘Ľ4 −2đ?‘Ľ3 +10đ?‘Ľ2
que se presente la funciĂłn tal y como verĂĄs a
2) Calcular
continuaciĂłn.
Se sustituye de manera directa el valor de x:
2.3.2 Cuando existe factor comĂşn Cuando en una funciĂłn existe factor comĂşn tanto en el numerador como el denominador,
��� �→0
2(0)4+4(0)3−6(0)2
8(0)4 −2(0)3 +10(0)2
0
=0
Obteniendo factor comĂşn:
��� �→0
đ?‘™đ?‘–đ?‘š 2đ?‘Ľ2 (đ?‘Ľ2 +2đ?‘Ľâˆ’3) đ?‘Ľ2 +2đ?‘Ľâˆ’3 = đ?‘Ľ → 0 2đ?‘Ľ2 (4đ?‘Ľ2−đ?‘Ľ+5) 4đ?‘Ľ2 −đ?‘Ľ+5
2đ?‘Ľ 4 +4đ?‘Ľ 3 −6đ?‘Ľ 2
8đ?‘Ľ 4 −2đ?‘Ľ 3 +10đ?‘Ľ 2
=
8
=
(0)2 + 2(0) − 3 3 =− 2 4(0) − 0 + 5 5
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ → −5 đ?‘Ľâˆ’3 −5−3 −8 8 = = =
đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľâˆ’15
Factorizando:
Esta es la estrategia que debes aplicar si tanto en numerador como en denominador observas que existe factor comĂşn, pero no es el Ăşnico caso que se presenta, a continuaciĂłn verĂĄs otra estrategia.
đ?‘Ľ+2
−5+2
−3
2) Calcular: đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľâˆ’30 đ?‘Ľ 2 −36
=
Factorizando:
đ?‘Ľ 2 +7đ?‘Ľ+10
3
��� �→6
đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľâˆ’30
��� �→6
(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’6)
(6)2−6−30 (6)2 −36
đ?‘Ľ 2 −36
=
36−6−30 36−36
(đ?‘Ľâˆ’3)(đ?‘Ľ+5)
= (đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľ+2) =
0
=0 đ?‘Ľ+5
��� �→6 6+5
11
= đ?‘Ľ+6 = 6+6 = 12 (đ?‘Ľâˆ’6)(đ?‘Ľ+6)
2.3.3 Cuando existen diferencias de
Como pudiste ver en estos ejemplos, cuando
cuadrados o ecuaciones de segundo
se tienen ecuaciones de segundo grado ĂŠstas se factorizan como el producto de dos
grado En
una
funciĂłn
pueden
existir
tambiĂŠn
ecuaciones de segundo grado en el numerador y denominador, diferencias de cuadrados o bien una combinaciĂłn de ambos casos, en los cuales
tambiĂŠn
indeterminaciĂłn
es
posible
factorizando
eliminar de
la
manera
adecuada segĂşn sea el caso, tal y como lo
binomios, si se presentan diferencias de cuadrados como es el caso del denominador del segundo ejemplo se factoriza como el producto de binomios conjugados.
Analiza ahora quĂŠ sucede cuando tienes expresiones como potencias en un binomio.
viste en asignaturas anteriores.
2.3.4 Cuando existen binomios elevados
EJEMPLOS: 1) Calcular:
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ → −5
(−5)2 +2(−5)−15
(−5)2 +7(−5)+10
đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľâˆ’15
đ?‘Ľ 2 +7đ?‘Ľ+10
25−10−15
0
= 25−35+10 = 0
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘Ľ → −5
a una potencia Cuando
calculas
lĂmites
tambiĂŠn
pueden
aparecer binomios elevados a una potencia en
9
la funciĂłn, en tal caso se desarrolla la potencia
numerador o en el denominador, en estos
para poder eliminar la indeterminaciĂłn.
casos para eliminar la indeterminaciĂłn se
EJEMPLO:
racionaliza la funciĂłn multiplicando numerador
Calcular: (2+đ?‘Ľ)2 −4 đ?‘Ľ
=
��� �→0
(2+0)2−4 0
(2+đ?‘Ľ)2 −4
=
đ?‘Ľ
0 0
��� �→0
que contenga a la raĂz. EJEMPLO: Calcular:
Desarrollando el binomio: (2+đ?‘Ľ)2 −4 4+4đ?‘Ľ+đ?‘Ľ 2 −4 4đ?‘Ľ+đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ(4+đ?‘Ľ) đ?‘™đ?‘–đ?‘š = = = = đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľâ†’0 4+đ?‘Ľ = 4+0 = 4
Como puedes ver, cuando desarrollas las potencias de los binomios se eliminarĂĄ la indeterminaciĂłn, ahora ve un caso mĂĄs de indeterminaciĂłn que tambiĂŠn se te puede presentar.
√02 −9 −3 02
en
el
numerador
=
��� �→0 0
��� �→0
√đ?‘Ľ 2 −9 −3 đ?‘Ľ2
0
√đ?‘Ľ 2 −9 −3 đ?‘Ľ2
=
Racionalizando: ��� �→0
đ?‘Ľ2
đ?‘Ľ 2 (√đ?‘Ľ 2 −9+3)
Esta
[
√đ?‘Ľ 2 −9−3
= √đ?‘Ľ2
es
la
1
đ?‘Ľ2
−9+3
][
√đ?‘Ľ 2 −9+3
]=
√đ?‘Ľ 2 −9+3
= √02
forma
1
−9+3
=
de
(đ?‘Ľ 2 +9)−9
đ?‘Ľ 2 (√đ?‘Ľ 2 −9+3)
1
√9+3
1
=6
eliminar
=
las
indeterminaciones cuando al calcular un lĂmite te
2.3.5 Cuando en la funciĂłn existe raĂz cuadrada
y denominador por el conjugado del tĂŠrmino
aparezcan
expresiones
con
raĂces
cuadradas.
o
denominador. Te puedes topar algunas veces con lĂmites indeterminados en los cuales la funciĂłn contenga una raĂz cuadrada ya sea en el 10
NOTA:
es
conveniente
que
siempre
sustituyas de manera directa el valor de la variable independiente al calcular el límite para ver si el resultado obtenido te da una indeterminación, de ser así debes aplicar una de las formas de eliminación vistas, recuerda que también puedes llegar a resultados de la forma no
se
aplica
0
k
o
ninguna
k 0
, en tales casos estrategia
de
eliminación.
Cabe mencionar que la importancia de la continuidad o discontinuidad radica en que en nuestra vida podemos encontrar numerosas situaciones
que
presentan
este
tipo
de
comportamientos, por ejemplo, el crecimiento de una persona, el desplazamiento de un automóvil, el nivel de agua al llenarse un tinaco,
etc.
presentan
comportamientos
continuos. En cambio la corriente eléctrica al encender o apagar un foco, la tarifa de un taxi, o el comportamiento de un medicamento en el
Puedes ir al siguiente link para obtener más
torrente sanguíneo tal como lo apreciaste en el
información sobre los límites indeterminados y
ejemplo
reforzar los métodos de eliminación que
comportamientos discontinuos, es decir, sus
existen.
del
apartado
2.1
presentan
gráficas presentan brincos.
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.4%20Limites %20indeterminados.htm
2.4 Límites laterales y continuidad
2.4.1 Límites laterales Tal vez tengas hasta este momento una idea de lo que son los límites laterales, como su nombre lo indica, son límites que se obtienen
Ahora analizarás de manera gráfica y analítica la continuidad de una función y los tipos de
por los lados (izquierdo y derecho) de la función en el punto de interés.
discontinuidad que se pueden presentar en las funciones. 11
Para hacer referencia a ellos usarĂĄs las
La figura muestra la grĂĄfica de una funciĂłn
siguientes notaciones:
definida seccionalmente, apoyĂĄndote en ella
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) La cual se lee: Limite de f(x) đ?‘Ľ → đ?‘?− cuando equis tiende a “câ€? por la izquierda
podrĂĄs analizar los lĂmites laterales en los puntos que se indiquen:
đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) La cual se lee: Limite de f(x) cuando đ?‘Ľ → đ?‘?+ equis tiende a “câ€? por la derecha Como puedes ver las notaciones son muy similares a la que ya usaste al inicio del tema, con la diferencia de que ahora con un pequeĂąo signo como exponente (+/–) indicarĂĄs el lado por el cual te acercas al valor de equis.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite03[imagen].
Obteniendo los lĂmites laterales para cuando equis tiende a –1:
Cuando no se pone ningĂşn signo como exponente al valor al cual tiende x, quiere decir que hay que analizar el lĂmite por los dos lados, es decir: đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ) Significa que hay que obtener el lĂmite đ?‘Ľâ†’đ?‘? por la izquierda y la derecha de c
NOTA: para que el lĂmite de una funciĂłn exista el valor de los lĂmites laterales deben ser iguales. Revisa el siguiente ejemplo grĂĄfico para que lo
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite04[imagen].
En la gråfica puedes apreciar que cuando te acercas a x = –1 por el lado izquierdo (como lo indica la flecha
), la funciĂłn se acerca al
comprendas mejor. valor de y = –2 (como lo indica la flecha ). 12
Por lo que el lĂmite de la funciĂłn cuando equis se acerca a –1 por la izquierda es –2, lo cual se representa como: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2 đ?‘Ľ → −1− En la misma grĂĄfica puedes ver que cuando te
acercas a x = –1 pero por el lado derecho (como lo indica
), la funciĂłn se acerca a
y=1 (como lo indica ), esta situaciĂłn se representa como: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1 Lo cual nos indica que cuando đ?‘Ľ → −1+
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite05[imagen].
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 đ?‘Ľ → 0+ En ambos casos los lĂmites laterales son los lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 đ?‘Ľ → 0−
mismos, por lo que el lĂmite de la funciĂłn en lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 đ?‘Ľâ†’0
equis se acerca a –1 por la derecha, el lĂmite
x=0 sĂ existe y vale cero, es decir:
de la funciĂłn es 1
A simple vista puedes ver que tampoco existe
Como puedes ver los valores de los lĂmites
el lĂmite de la funciĂłn para cuando equis tiende
laterales en x= –1 son diferentes, por lo tanto
a 1 ya que los lĂmites laterales tambiĂŠn son
el lĂmite de la funciĂłn cuando equis tiende a –1
diferentes:
no existe, lo cual se representa usando el sĂmbolo de no existe (∄) como se muestra a continuaciĂłn:
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∄ đ?‘Ľ → −1 Analiza ahora el lĂmite de la funciĂłn para cuando equis se acerque a cero:
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1 đ?‘Ľ → 1−
Entonces:
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3 đ?‘Ľ → 1+ lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∄ đ?‘Ľâ†’1
Ahora ya sabes cĂłmo se obtienen los lĂmites laterales de manera grĂĄfica, tambiĂŠn los puedes
obtener
cuando
tienes
la
forma
algebraica de la funciĂłn, pero eso lo analizarĂĄs a continuaciĂłn en la parte de continuidad. 13
2.4.2 Concepto intuitivo de continuidad Sin entrar en cuestiones matemáticas se puede proporcionar y comprender el concepto de continuidad de una función de manera muy sencilla. Se dice que una función es continua en un intervalo si al dibujar su gráfica no se despega el lápiz del papel para su trazado en dicho intervalo.
Aplicando este concepto intuitivo, ¿Podrías decir
cuáles
de
las
siguientes
gráficas
representan funciones continuas? Referencias.
Marcial
Verónica.(2013).
Límite08[imagen].
Marcial Verónica.(2013). Límite09[imagen].
Si respondiste que las gráficas de los incisos a) y d) tu respuesta es correcta pues puedes ver claramente que para trazarlas no se despega el lápiz del papel, cosa que no sucede en las gráficas, de los incisos b) y c) las cuales son discontinuas en x=0 y x=.–1 respectivamente. Referencias:
Marcial
Verónica.(2013).
Marcial Verónica.(2013). Límite07[imagen].
Límite06[imagen].
Ahora verás cómo analizar la continuidad cuando no tengas presente la gráfica. 14
2.4.3 Condiciones de continuidad
Para decir si la funciĂłn es continua en todo el
Cuando tienes la funciĂłn representada en
intervalo se analizan los valores intermedios de
forma algebraica puedes saber si ĂŠsta es o no
de x en el intervalo total, en este caso x=0 y
continua
x=3, para ello se aplican las condiciones de
analizando
las
condiciones
de
continuidad que debe cumplir y las cuales son
continuidad en cada punto.
las siguientes: 1) Que el lĂmite de la funciĂłn exista en el punto de interĂŠs. 2) Que la funciĂłn estĂŠ definida en el punto de interĂŠs y que sea igual al lĂmite.
1ÂŞ condiciĂłn de continuidad (que el lĂmite exista, o bien que los lĂmites laterales sean iguales)
EJEMPLOS
1) Analiza la continuidad de la funciĂłn −đ?‘Ľ 2 − 1 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = { 3 6−đ?‘Ľ
Analizando x=0
−2< đ?‘Ľ ≤0 0<đ?‘Ľ<3 3≤đ?‘Ľâ‰¤6
lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim −đ?‘Ľ 2 − 1 = −(0)2 − 1 = −1 đ?‘Ľ → 0− đ?‘Ľ → 0−
Para calcular el lĂmite por la izquierda se usĂł la
En este caso la funciĂłn toma valores en x
expresiĂłn −đ?‘Ľ 2 − 1 pues es la fĂłrmula que le
desde –2 hasta 6, si se marcan los intervalos
del cero como lo puedes ver en la recta
en una recta numĂŠrica se tiene:
anterior en donde se marcaron los intervalos.
corresponde al intervalo que estĂĄ a la izquierda
lim �(�) = lim 3 = 3 � → 0+ � → 0+
15
En el caso del lĂmite por la derecha del cero se
Los lĂmites laterales son iguales, por lo tanto el
usĂł la funciĂłn
lĂmite existe (vale 3) y se cumple la primera
đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3, pues es la fĂłrmula
correspondiente al intervalo que se encuentra
condiciĂłn de continuidad.
del lado derecho del cero. 2ÂŞ condiciĂłn de continuidad
(que la funciĂłn
Puedes observar que los lĂmites laterales son
estĂŠ definida en el punto de interĂŠs y que sea
diferentes, entonces no existe el lĂmite de la
igual al lĂmite)
funciĂłn cuando equis tiende a cero, por lo tanto la funciĂłn es discontinua en x=0.
Para esta segunda condiciĂłn se evalĂşa la funciĂłn en el punto de interĂŠs (x=3) y se usa la segunda
fĂłrmula del intervalo que toca a 3 (debe
condiciĂłn, pues para que haya continuidad se
aparecer con el sĂmbolo ≤, de lo contrario se
deben cumplir las dos condiciones.
dice que la funciĂłn no estĂĄ definida).
Ya
no
tiene
caso
analizar
la
Analizando x=3
1ÂŞ condiciĂłn de continuidad lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim 3 = 3 đ?‘Ľ → 3− đ?‘Ľ → 3− lim đ?‘“(đ?‘Ľ) =lim 6 − đ?‘Ľ = 6 − 3 = 3 đ?‘Ľ → 3+ đ?‘Ľ → 3+
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = 6 − đ?‘Ľ = 6 − 3 = 3 La funciĂłn estĂĄ definida y vale lo mismo que el lĂmite, por lo tanto se concluye que en x=3 la funciĂłn es continua.
Estos
resultados
se
pueden
comprobar
trazando la grĂĄfica de la funciĂłn que es la que se muestra a continuaciĂłn.
16
b) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ → −2− đ?‘‘) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ → −2
đ?‘Ž) đ?‘“ (−2) =
c) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ → −2+ e) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’2 đ?‘“) đ?‘“ (3) = đ?‘”) đ?‘“ (2) = Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite10[imagen].
Esta es la forma en que se analiza la continuidad de las funciones cuando se presentan en su forma algebraica, tambiĂŠn se puede presentar la grĂĄfica y de ella analizar la continuidad o los lĂmites laterales como se muestra a continuaciĂłn.
Soluciones: b) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1 đ?‘Ľ → −2− đ?‘‘) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∄ đ?‘Ľ → −2
đ?‘Ž) đ?‘“ (−2) = 4
c) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4 đ?‘Ľ → −2+
e) lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 đ?‘Ľâ†’2 ∄
đ?‘“) đ?‘“ (3) = 1
đ?‘”) đ?‘“ (2) =
Analiza estas respuestas y si tienes alguna 2) A partir de la grĂĄfica mostrada indica el valor de lo que se pide:
duda
revisa
nuevamente
el
tema
correspondiente para que sigas avanzando satisfactoriamente.
Otro tipo de ejemplos que te puedes encontrar son aquellos que te proporcionan de manera verbal una situaciĂłn y debes identificar si representan
funciones
continuas
o
discontinuas, por ejemplo los siguientes casos: Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite11[imagen].
17
1) El desgaste en las llantas de un automóvil
2.5 Asíntotas verticales.
como función del kilometraje recorrido.
Ahora
Esta situación representa una función
importante de las funciones: las asíntotas, una
continua ya que las llantas se van
función
desgastando paulatinamente con su uso.
horizontales o bien oblicuas, en el caso de la
estudiarás
puede
una
tener
característica
asíntotas
muy
verticales,
2) El timbrado que escuchas en un teléfono
asignatura solamente estudiarás las asíntotas
antes de que te contesten cuando haces
verticales, pues éstas tienen que ver con el
una llamada
concepto de límite.
Representa una función discontinua ya que cuando haces una llamada no escuchas un tono continuo sino cortado.
2.5.1 Comprendiendo el concepto. De manera muy sencilla diremos que la
3) El funcionamiento de un refrigerador como función del tiempo. Representa una función discontinua ya que
asíntota de una función es la línea recta que sigue la gráfica de dicha función pero sin llegar a tocarla.
por ratos se enciende y por ratos se
Las
apaga.
comprender mejor el concepto de asíntota.
Para
obtener
más
información
sobre
la
siguientes
gráficas
te
ayudarán
a
continuidad de una función y disipar posibles dudas sobre este tema puedes consultar la siguiente página:
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Límite12[imagen].
http://matematica.50webs.com/continuidad.htm l
En éstas gráficas las líneas rojas representan a las asíntotas, como puedes ver, son las 18
đ?‘Ľ
pero sin llegar a tocarlas, y es en esos valores
1) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ2 +đ?‘Ľâˆ’2 El denominador de la funciĂłn
de x donde el lĂmite de las funciones es ∞, ya
si encuentras los valores que hagan cero al
sea positivo o negativo.
denominador (ya sea por fĂłrmula general o
Pero, ÂżCĂłmo se obtienen las asĂntotas?, ahora
factorizaciĂłn) encontrarĂĄs que đ?‘Ľ1 = −2
lĂneas a las que van siguiendo las grĂĄficas
verĂĄs el procedimiento.
es una expresiĂłn de segundo grado, por lo que
y
đ?‘Ľ2 = 1, por lo tanto las asĂntotas de la funciĂłn son đ?‘Ľ = −2 y đ?‘Ľ = 1.
Puedes verificar ĂŠstos resultados trazando la grĂĄfica de la funciĂłn, la cual queda como se
2.5.2 Encontrando las asĂntotas.
muestra a continuaciĂłn. En rojo se muestran Como recordarĂĄs, en la secciĂłn 2.3.1 se
las dos asĂntotas.
mencionĂł que matemĂĄticamente toda cantidad dividida entre cero da como resultado infinito, este hecho te ayudarĂĄ a encontrar las asĂntotas de una funciĂłn Âżya te imaginaste cĂłmo?, muy simple: Encontrando todos aquellos valores que hagan cero al denominador de la funciĂłn. Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). LĂmite13[imagen].
EJEMPLOS. Encuentra las asĂntotas (si existen) de las siguientes funciones:
1) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ2
đ?‘Ľ
+đ?‘Ľâˆ’2
2
2) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ − 5
NOTA: La ecuaciĂłn de las asĂntotas verticales siempre tendrĂĄ la forma x=k, en donde k es el valor de x que hace cero al denominador.
2) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = 3đ?‘Ľ 2 − 5 19
Esta función no tiene asíntotas, pues no tiene
Con los conceptos que ya aprendiste en esta
denominador, por lo tanto no existe ningún
unidad puedes darte cuenta que las funciones
valor que haga que te quede una división entre
definidas de manera seccionada presentan
cero.
discontinuidad, tal es el caso de la función que
Puedes revisar más ejemplos sobre asíntotas
muestra la tarifa del microbús o la tarifa del
en la siguiente dirección electrónica:
taxi.
http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/averticales.html
Ahora ya tienes elementos para pasar al estudio de la siguiente unidad.
Conclusiones Fuentes de contenido Has llegado al final de la unidad 2, en ella
Puedes complementar los temas de esta
trabajaste con el concepto de límite del cual
unidad apoyándote en la siguiente bibliografía:
debes recordar que no es el valor de la
James
función, sino el valor al cual se aproxima la
diferencial
función a medida que la variable independiente
México,International Thomson Editores
tiende a un cierto valor. Conociste las propiedades de los límites y analizaste la continuidad de una función mediante la aplicación de los límites laterales. Aplicando también el concepto de límite te diste cuenta que cuando el límite de una función tiende a infinito negativo o positivo es
Stewart
(2003), e
Cálculo integral.
Ron Larson, Robert P. Hostetler(2005); Cálculo diferencial e integral séptima edición,México, Mc Graw Hill Dennis G. Zill (1987), Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericano.
porque tiene asíntotas verticales. 20
SecretarĂa de EducaciĂłn CoordinaciĂłn General de EducaciĂłn DirecciĂłn Ejecutiva de PlaneaciĂłn y EducaciĂłn a Distancia DirecciĂłn de EducaciĂłn a Distancia BACHILLERATO DIGITAL
EL CĂ LCULO EN MI VIDA DIARIA UNIDAD 2: ACTIVIDAD FINAL
Resuelve los siguientes ejercicios en un archivo en formato word, indicando de manera clara tus procedimientos para llegar a los resultados, o bien explicando la razĂłn de los mismos en el caso en el que no sea necesario realizar procedimientos matemĂĄticos. 1) Con ayuda de la grĂĄfica de la funciĂłn g(x) que se muestra a continuaciĂłn encuentra el valor de los lĂmites que se solicitan. đ?‘Ž) limđ?‘Ľâ†’−2− đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘?) lim + đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’−2
đ?‘?) lim đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’−2
đ?‘‘) lim− đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’0
�) lim+ �(�) = �→0
2) Dado que limđ?‘Ľâ†’đ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3 ,
đ?‘“) lim đ?‘”(đ?‘Ľ) =
lim�→� �(�) = 0 y
�→0
lim�→� ℎ(�) = 8
Encuentra los siguientes lĂmites aplicando las propiedades. a) lim[đ?‘“(đ?‘Ľ) + â„Ž(đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž
đ?‘?) đ?‘™đ?‘–đ?‘š[đ?‘“(đ?‘Ľ)]2 = đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž
3
đ?‘?) đ?‘™đ?‘–đ?‘š √ℎ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž
�) ��� �→�
�) ��� �→�
1 = đ?‘“(đ?‘Ľ)
đ?‘“(đ?‘Ľ) = â„Ž(đ?‘Ľ)
đ?‘Ľ
3) Para la funciĂłn â„Ž(đ?‘Ľ) = { đ?‘Ľ 2 grĂĄfica.
8−đ?‘Ľ
đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ < 0 đ?‘ đ?‘– 0 < đ?‘Ľ ≤ 2 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ > 2
evalĂşa los lĂmites solicitados y traza su
�) lim+ ℎ(�) = �→0
đ?‘?) lim â„Ž(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’0
đ?‘?) lim â„Ž(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľâ†’1
4) Encuentra las asĂntotas de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) =
1
đ?‘Ľ 2 −6đ?‘Ľ+8
y traza su grĂĄfica.
5) Se proporciona la grĂĄfica que muestra la tarifa del pasaje en funciĂłn del recorrido de un microbĂşs en la Ciudad de MĂŠxico. En base a ella responde lo que se pide:
a) ÂżEn quĂŠ valores de “dâ€? es discontinua?. b)
c)
d)
lim = đ?‘‘ → 5−
lim = � → 5+ lim = �→5
Lista de Cotejo UNIDAD 2: ACTIVIDAD FINAL ESTUDIANTE: GRUPO:
SI 1. El documento estå hecho en Word. 2. Muestra resultado correcto del ejercicio uno. 3. Muestra resultado correcto del ejercicio dos. 4. Muestra resultado correcto del ejercicio tres. 5. Muestra resultado correcto del ejercicio cuatro. 6. Muestra resultado correcto del ejercicio cinco. 7. Indica desarrollo o explicación del ejercicio uno. 8. Indica desarrollo o explicación del ejercicio dos. 9. Indica desarrollo o explicación del ejercicio tres. 10. Indica desarrollo o explicación del ejercicio cuatro. 11. Indica desarrollo o explicación del ejercicio cinco. 12. Utilizo editor de ecuaciones. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. SUBTOTAL 9 – 10 Muy bien.
NO
Peso % 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83
10
8 - 8.9 7 - 7.9 6 – 6.9 0 - 5.9
Bien. Regular. Suficiente. Insuficiente
RETROALIMENTACIÓN DEL TUTOR:
Unidad 3 LA DERIVADA Y SUS
manera?,
pues
bien,
algunos
ejemplos
APLICACIONES
sencillos son los siguientes: cuando vas en el
En esta unidad estudiarás los siguientes
transporte, al caminar, al manejar una bicicleta,
subtemas 3.1 La derivada
al trotar, en el movimiento de un automóvil, de un avión, de un tren, etc. En todos estos casos
3.2 Derivación de funciones algebraicas
se presenta siempre un cambio de velocidad el
3.3 Derivación de funciones trascendentes
cual se puede representar con la derivada de
3.4 Derivación de funciones implícitas
una función.
3.5 Aplicaciones de la derivada
Propósito de la unidad Con el estudio de la presente unidad: Comprenderás el concepto de derivada. Aplicarás las reglas de derivación para obtener la derivada de una función.
Referencia: Andy Tucker.(2012).The Delta Spirit[fotografía].
Identificarás algunas situaciones de la
Recuperado
vida cotidiana en donde se aplique la derivada. Aplicarás la derivada en la solución de problemas.
http://www.flickr.com/photos/mspdude/6361688961/sizes/m/in/ photostream/
En esta unidad estudiarás el concepto de la derivada, así como también entenderás y aplicarás diferentes técnicas de derivación para diversos tipos de funciones.
Introducción
Identificarás cómo aplicar la derivada a la
La derivada es uno de los conceptos más
solución de problemas, no solamente de
importantes en el cálculo diferencial y todos los
movimiento
días de una u otra forma se hace presente en
anteriormente, sino en todo tipo de problemas
tu vida cotidiana, ¿te puedes imaginar de qué
que involucren el cambio de una variable, así
como
los
ejemplos
citados
1
como
en
problemas
de
frenar, claramente puedes ver en este ejemplo
optimizaciรณn, con ello te darรกs cuenta del
que la velocidad del tren va cambiando en
potencial
diferentes intervalos de tiempo, lo cual se
tan
grande
que
requieren
que
tiene
esta
herramienta matemรกtica en la soluciรณn de
puede modelar con una derivada.
problemas, es por estas razones que se considera como una parte muy importante del cรกlculo.
3.1 La derivada La derivada sirve para estudiar el cambio o variaciรณn
de
una
funciรณn
en
diferentes
intervalos de su variable independiente, es decir, representa la razรณn de cambio de una variable con respecto a otra, dicho en otras palabras
y
sin
involucrar
Referencia:
Moreno
Sergio.(2012).Trenes
que
ya
no
volverรกn[fotografรญa]. Recuperado de http://www.flickr.com/photos/sergial/7534301398/in/photostrea m/
cuestiones
matemรกticas:
Si a este ejemplo le aplicas el concepto de
La derivada de una funciรณn nos indica cรณmo estรก cambiando el valor de la funciรณn a medida que cambia la variable independiente.
derivada puedes decir que la derivada te indica cรณmo cambia el valor de la velocidad (que es la funciรณn) a medida que cambia el tiempo (que es la variable independiente).
Retomando
tren
En la vida cotidiana puedes encontrar varios
para
ejemplos de variaciรณn de funciones, tal es el
comprender mejor el concepto: Cuando un tren
caso del crecimiento de la poblaciรณn a medida
va de una estaciรณn a otra se mueve con
que pasan los aรฑos, el cambio de temperatura
velocidades
reposo,
en un lugar a medida que transcurren las
acelera, alcanza una velocidad mรกxima y
horas, la reducciรณn de un medicamento en la
mencionado
el en
movimiento la
diferentes,
de
un
introducciรณn
parte
del
cuando va a llegar a la otra estaciรณn empieza a 2
sangre de un paciente al paso de las horas, etc. Para reforzar el concepto de derivada y conocer más sobre ella puedes obtener más información
en
las
siguientes
páginas
electrónicas.
3.1.2 Interpretación geométrica En la unidad 1 estudiaste las formas de representar una función y una de ellas es la forma geométrica que es a través de su
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
gráfica, pues bien, la interpretación geométrica
materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcio
de la derivada tiene que ver con la gráfica de
n/Derivada_de_una_funcion.htm
una función:
http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicacion es/guias/servicio_docente/2009/texto21/deriva da_marzo2009.pdf
Geométricamente la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica en un determinado punto de la misma.
Observa la siguiente fotografía, en ella se puede ver que la persona va caminando por
3.1.1 Notación de derivada Así como en los temas anteriores has visto que para las funciones y los límites se emplea una notación específica, también para referirte a la derivada de una función emplearás una
una
pendiente,
la
pendiente
puede
ser
prolongada o suave, en Matemáticas a eso se refiere la pendiente: al grado de inclinación que se tiene, si la inclinación es suave la pendiente es pequeña, si la inclinación es prolongada la
notación (aquí no solamente es una), las más
pendiente es grande y si no hay inclinación la
usadas son las siguientes:
pendiente vale cero.
Ambas indican la derivada de una función y respectivamente se leen como:
Derivada de efe de equis con respecto a equis. Efe prima de equis
3
Referencia. Lynxpardina.(2007).Subiendo al Madsen[fotografía]. Recuperado de http://www.flickr.com/photos/lynxpardina/458180300/
pendiente en un determinado punto de una gráfica.
La pendiente de una recta se representará
Más adelante, en aplicaciones de la derivada y
usando la letra “m”
cuando tengas los elementos para poder
y puede ser positiva,
negativa, cero, o bien no existir.
derivar una función retomarás esta parte de la
Si la recta se inclina a la derecha la
interpretación geométrica.
pendiente es positiva.
Ahora verás las formas de cómo derivar
Si la recta se inclina a la izquierda la
funciones y al final de la unidad estudiarás
pendiente es negativa.
ejemplos de aplicación de las derivadas.
Si la recta es horizontal (no tiene inclinación) la pendiente vale cero.
3.2 Derivación de funciones algebraicas
Si la recta es vertical la pendiente
En la unidad 1 viste que una
no existe.
algebraica es toda aquella que se puede
función
representar haciendo uso de las operaciones Estos casos los puedes apreciar en la
algebraicas
(suma,
resta,
multiplicación,
siguiente gráfica donde se muestran rectas
división, y extracción de raíz).
tangentes a ella.
En esta unidad aprenderás cómo obtener las derivadas de ese tipo de funciones, lo cual se hace de una manera muy sencilla y práctica aplicando las llamadas reglas de derivación.
3.2.1 Reglas básicas de derivación Las reglas de derivación son fórmulas que te Referencia. Marcial verónica.(2013).derivada01[imagen].
ayudarán a derivar una función de una manera
En pocas palabras se puede decir que
más sencilla, solamente es cuestión de que
geométricamente (o gráficamente) la derivada
identifiques la forma de la función para poder
de una función nos indica el valor de la
aplicar la fórmula adecuada para derivarla. 4
Las
reglas
de
derivación
básicas
para La derivada de un
funciones algebraicas son las siguientes:
producto
de
funciones está dada por: La derivada de una k es una constante
constante es cero.
La primera función multiplicada derivada
de
segunda más
por
la la
función,
la
segunda
La derivada de equis
función
multiplicada
con respecto a sí
por la derivada de la
misma es 1.
primera función.
La derivada de una variable
elevada
a
cualquier potencia es
La derivada de un
la
cociente
potencia
de
multiplicada
por
el
funciones está dada
coeficiente
de
la
por:
variable
y
al
exponente
de
la
variable se le resta 1.
La función de abajo multiplicada derivada
por de
función
de
la la
arriba,
menos la función de La derivada de una
arriba
suma
de
por la derivada de la
funciones es la suma
función de abajo, y
o
la
todo entre la función
cada
de abajo elevada al
o
resta
derivada función
resta
de de
multiplicada
cuadrado.
5
Estas reglas de derivación te servirán para
Ahora ya se puede derivar como en el ejemplo
obtener la derivada de diferentes funciones
anterior
algebraicas, la más usada es la de una variable elevada a cualquier potencia como lo verás a continuación. EJEMPLOS. 1) Deriva
la
función Nuevamente
aplicando
las
leyes
de
los
Como puedes ver en esta función hay sumas y
exponentes se hacen positivas las potencias
restas, por lo que se aplicará la fórmula de
negativas y las potencias fraccionarias se
derivación de sumas y restas, es decir:
regresan a raíces.
Si ya no recuerdas las leyes de los exponentes Ahora se aplicará la fórmula de las variables elevadas a cualquier potencia para encontrar el resultado final:
es bueno que les des un repaso para continuar sin problema alguno. 2) Encuentra la derivada de la función En este caso se aplica la fórmula para derivar
Deriva la función
un producto de funciones
Como puedes ver en esta función aparece una variable en el denominador y tiene también raíz, no hay fórmulas para derivar este tipo de funciones pero se pueden cambiar de forma aplicando las leyes de los exponentes como se muestra a continuación:
3) Deriva la función
6
fórmulas de derivación para las funciones Como puedes ver, cuando vas a derivar una
trascendentes,
función tienes que identificar la forma de la
siguientes:
las
más
usadas
son
las
misma para poder aplicar la fórmula de derivación adecuada. Ahora estudiarás otro La derivada de la función
tipo de derivadas de funciones que no son
seno de u es la función
algebraicas, pero antes de ello pon en práctica
coseno de u multiplicada
lo aprendido.
por
la
derivada
del
argumento u.
Puedes reforzar la aplicación de las reglas de derivación
consultando
la
La derivada de la función
información
coseno de u es la función
contenida en el siguiente link, en donde podrás
seno de u, pero negativa,
consultar más ejemplos.
multiplicada por la derivada del argumento u.
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/De La derivada del logaritmo
rivadas/Derivadas_Algebraicas.pdf
3.3
Derivación
de
natural
funciones
de
u
es
multiplicada por la derivada
trascendentes
del argumento u.
Otra clasificación de las funciones son las funciones trascendentes o trascendentales que son
aquellas
que
involucran
La derivada de una función
funciones
exponencial es la misma
trigonométricas, logarítmicas o exponenciales.
función
exponencial,
multiplicada por la derivada
3.3.1
Reglas
de
derivación
para
del exponente u
funciones trascendentes Así como hay fórmulas de derivación básicas para las funciones algebraicas también hay
EJEMPLOS 1) Deriva la función 7
Si aplicas las fórmulas de derivación para funciones trascendentes la derivada queda como: 2) Deriva la función
A las derivadas posteriores que vayas obteniendo después de la primera se les conoce como derivadas sucesivas o de orden superior, pero también se les llama segunda derivada, tercera derivada, etc.
Las derivadas de orden superior también tienen una razón de ser, pues tienen un
En todos los casos los coeficientes que
significado que depende de lo que represente
multiplican a la función se quedan como están
la función original con la que estás trabajando.
y solamente derivas la función trascendente,
Por ejemplo, si tienes una función que
éstas funciones también se pueden combinar
representa la posición de un cuerpo y obtienes
con las algebraicas, las cuales ya aprendiste a
su derivada lo que estás encontrando es la
derivar.
velocidad de su movimiento, pues la velocidad
Para verificar que has comprendido cómo
se define como el cambio de la posición de un
derivar funciones trascendentes realiza la
cuerpo (recuerda que la derivada representa la
siguiente actividad.
variación de una función). Si ahora encuentras la segunda derivada (la derivada de la como
velocidad) ésta representará a la aceleración,
trascendentes se pueden derivar dos o más
pues la aceleración es el cambio de la
veces como verás a continuación.
velocidad.
Tanto
las
funciones
algebraicas
Tienes entonces que para este ejemplo la
3.3.2 Derivadas de orden superior
primera derivada representa la velocidad y la
Cuando derivas una función has encontrado lo
segunda derivada representa la aceleración.
que se conoce como primera derivada, pero
Ejemplos como este los puedes encontrar a
puede suceder que la derivada que has
menudo,
encontrado la puedas seguir derivando otra y
movimiento,
otra vez.
no
solamente recuerda
que
que
la
involucren derivada
representa una variación y en todos los casos
8
donde haya variación de variables estarán
Como puedes ver, obtener las derivadas
presentes las derivadas.
sucesivas de una función simplemente es ir
Las derivadas sucesivas se denotarán como:
derivando el número de veces que se solicita y
las
cuales
significan primera derivada, segunda derivada,
se pueden combinar funciones algebraicas con trascendentes.
tercera derivada, y así sucesivamente. EJEMPLOS:
3.3.3
1) Encuentra la tercera derivada de la función
compuestas (regla de la cadena)
Se deriva aplicando las fórmulas de derivación anteriores, con la diferencia que se deriva tres veces:
Ya
has
Derivación aprendido
de a
funciones
derivar
funciones
algebraicas y funciones trascendentes, ahora aprenderás a derivar funciones compuestas. En la unidad 1 aprendiste que al realizar la operación de composición entre dos funciones se
obtiene
como
resultado
una
función
compuesta, para derivar una función de éste tipo aplicarás la regla de la cadena. 2) Encuentra la tercera derivada de la función
La regla de la cadena es una estrategia que te ayudará a derivar de una manera más sencilla una función compuesta.
Sea
una función derivable con
respecto a la variable
, y sea
una
función derivable con respecto a la variable , entonces la función compuesta
es
una función derivable dada por la siguiente fórmula:
9
Derivando las funciones: Analiza los siguientes ejemplos para que veas cómo se aplica esta regla.
Pero
, entonces:
EJEMPLOS. 1) Deriva la función Observa que
es una función compuesta,
si haces
Ahora
y , con
entonces puedes ver que
Multiplicando los resultados:
las reglas de derivación que ya conoces puedes derivar las funciones
y
y la
fórmula de la regla de la cadena te indica que la derivada de la función es el producto de las
Este es el procedimiento a seguir cuando
y de , por lo tanto se procede
derivas funciones compuestas, primero debes
derivadas de
identificar a la función
a derivar dichas funciones: Sabiendo que
y
se
y a la función
puede decir que la función
es la expresión
de la parte interna y la función
tiene que:
, se
corresponde
a la expresión de la parte externa. Pero
, por lo que te queda:
Ahora analiza cómo se derivan las funciones implícitas.
Multiplicando los resultados se tiene:
3.4 Derivación de funciones implícitas La mayor parte de las funciones que hasta
Por lo tanto la derivada es:
ahora has trabajado son funciones explícitas, es decir, la variable
2) Deriva Haciendo
y
se encuentra despejada.
Una función implícita es aquella en la que ninguna de las variables de la función se encuentra despejada. 10
Las siguientes expresiones son ejemplos de
obtención
funciones implícitas:
electrónica.
consulta
la
siguiente
dirección
http://www.wikimatematica.org/index.php?title= Derivaci%C3%B3n_Impl%C3%ADcita Como puedes ver en ninguna de ellas se
Analiza los siguientes ejemplos de derivación
ni la
implícita para que observes cómo se aplica el
encuentra despejada ni la variable
variable , para derivar este tipo de funciones
procedimiento.
no es necesario despejar a la variable , pues
EJEMPLOS.
en muchos de los casos no es posible, para
1) Encuentra la derivada de la función
ello se aplica el método de la derivación implícita.
Se deriva cada uno de los términos de la
La derivación implícita consiste en derivar cada término de la función con respecto a equis y posteriormente resolver la ecuación resultante para . Nota: Siempre que derives deberás incluir no es la variable independiente debido a que
La derivación implícita como tal no tiene una aplicación directa en la solución de problemas, pero te sirve como una herramienta que usarás
función con respecto a la variable equis.
Observa que cada vez que se derivó un término con la variable “y” se incluyó Una vez que ya se derivaron todos los términos se resuelve la ecuación para decir, de despeja
, es
.
en materias posteriores en donde tendrás que derivar funciones de este tipo y, junto con otras herramientas
que
obtengas
en
esas
asignaturas, puedas aplicarlas en su conjunto
2) Deriva
de
la
función
a la solución de problemas. Si deseas ver más ejemplos de derivación
Nuevamente se deriva cada término respecto a
implícita y reforzar el procedimiento para su
equis. 11
tasa de crecimiento poblacional, la rapidez con la que se llena un tinaco en cierto instante, las pendientes de las rectas tangentes a una
Se despeja
curva, para obtener máximas ganancias y pérdidas
mínimas
en
una
empresa,
en
minimizar costos de producción etc., ahora analizarás estos casos: Esta es la forma de cómo debes derivar las funciones implícitas, como vez, para derivar
3.5.1 Pendiente de la recta tangente a
cada
una curva
término
se
aplican
las
reglas
de
derivación que ya conoces, incluyendo en algunos casos también la regla de la cadena, como fue el caso del término
en el
segundo ejemplo. donde
analizarás
aplicaciones
de
conocer la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. En
Antes de pasar al estudio del siguiente tema en
Una de las aplicaciones de la derivada es
la
algunos
derivada
casos
de
resuelve
la
siguiente actividad.
3.5 Aplicaciones de la derivada Como se mencionó al principio de la unidad, la derivada representa una razón de cambio de una variable respecto a otra, por lo tanto tiene muchas aplicaciones en diferentes áreas de la vida cotidiana. Se puede aplicar para conocer la velocidad de un automóvil en un momento determinado, la
cursos
anteriores
aprendiste
que
la
pendiente de una recta se calculaba como , pero esta fórmula solamente la aplicabas para encontrar pendientes en rectas, ahora
con
la
derivada
podrás
calcular
pendientes en curvas. Recuerda que la pendiente de una recta te indica cuántas unidades debes avanzar en “x” y cuántas en “y” para encontrar otro punto de la recta. Para conocer la pendiente de la recta tangente basta con derivar la función y evaluar la derivada en el punto de interés.
EJEMPLO: 12
Encuentra
las
pendientes
de
las
tangentes a la función puntos
rectas
Estos dos resultados los puedes observar
en los
gráficamente en las siguientes gráficas:
y
Para resolver este ejercicio lo primero que debes hacer es encontrar la derivada de la función: Referencia. Marcial Verónica.(2013).Derivada02[imagen]
Una vez que ya tengas la derivada la evalúas en los puntos solicitados, en este caso
Como puedes ver en los ejemplos anteriores,
y
con la derivada se puede obtener la pendiente en cualquier punto de la gráfica de una
La pendiente de la recta tangente en este caso es negativa, lo cual quiere decir que la recta en
función, ahora verás otra aplicación.
ese punto se inclina a la izquierda y para poder
3.5.2 Cálculo de velocidades
encontrar otro punto de la misma tienes que
Recuerda que la derivada de una función se
avanzar una unidad en “x” y cuatro unidades
interpreta como la razón de cambio o variación
en “y” Evaluando ahora la derivada en
:
de la función con respecto a la variable independiente, lo cual se puede aplicar para calcular velocidades o razones de cambio.
En x=1 la pendiente es positiva (lo cual quiere decir que la recta tangente se inclina hacia la derecha) y si te ubicas en un punto de la recta tienes que avanzar una unidad en “x” y dos unidades en “y” para encontrar otro punto de la misma (ya que 2 se puede representar como ). 13
EJEMPLO:
entonces
1) La función de la posición de un carrito de
proporciona la velocidad.
la
derivada
control remoto que se mueve en línea recta está dada por donde
, en
se da en metros y
en segundos,
de
la
posición
Esta es la función de la velocidad. Para calcular la velocidad en los instantes solicitados solamente se evalúan los tiempos
encuentra: a) La función que representa la velocidad del
en la función obtenida.
carrito b) La velocidad del carrito a los 2 y a los 4 A los 2 segundos el carrito se mueve con una
segundos. c) La aceleración con la que se mueve el carrito a los 3 segundos
velocidad de
, y a los 4 segundos la
velocidad es
, lo cual indica que está en
reposo. La aceleración es la variación de la velocidad con respecto al tiempo, por lo tanto si se deriva la velocidad se encuentra la aceleración. Esta es la función de la aceleración Calculando ahora la aceleración a los tres segundos: Novedades 2009.(2008).Zi6_4888[fotografía]. Recuperado de
La aceleración en ese instante vale
http://www.flickr.com/photos/39484126@N03/4113621493/in/p
el signo negativo indica que se está frenando
hotostream/
La variación de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, y si la derivada representa
la
variación
de
una
función,
,
(por eso a los 4 segundos la velocidad vale cero, porque en ese momento se detuvo). Este es un ejemplo de aplicación de la derivada al cálculo de velocidades, otra 14
aplicación que se le da es al cálculo de máximos
y
mínimos,
como
verás
a
continuación.
¿Pero cómo encontrar los valores máximos o mínimos de una función?, muy sencillo, si te basas en la gráfica puedes ver que en los
3.5.3 Máximos y mínimos
puntos
máximos
o
mínimos
las
rectas
La mayoría de las gráficas representativas de
tangentes son horizontales, como se muestra
funciones son curvas que pueden ir en
en la gráfica, esto quiere decir que las
ascenso o descenso una o más veces, a los
pendientes valen cero, por lo tanto puedes
puntos donde las gráficas empiezan a subir o a
apoyarte en el siguiente criterio que te ayudará
bajar se les llama puntos críticos y son los
a encontrar los valores máximos y/o mínimos
puntos donde están los máximos o mínimos
en un función.
relativos, lo puedes apreciar mejor en la siguiente gráfica: Los puntos Ay B que muestra la gráfica son mínimo y máximo relativos respectivamente, porque en el punto A la gráfica empieza a ascender después de descender y en el punto B sucede lo contrario.
Referencia. Marcial Verónica.(2013).derivada05[imagen]. Los valores máximos o mínimos de una función se encuentran en aquellos puntos donde la derivada de la función vale cero, a estos puntos también se les conoce como puntos críticos.
Para conocer más sobre máximos y mínimos de una función y así reforzar lo que acabas de Referencia. Marcial Verónica.(2013).derivada 04[imagen].
aprender
consulta
la
siguiente
página
electrónica. 15
http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematic a/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node3. EJEMPLOS. 1) Encuentra los valores máximos y mínimos
De acuerdo al criterio, en
hay un
mínimo. Analizando
: Se evalúan en la derivada
valores antes y después y se aplica el criterio.
de la función Para encontrar los valores máximos o mínimos de esta función sea plica el criterio citado arriba, por lo tanto se deriva la función y la derivada se iguala a cero.
De acuerdo al criterio, en
hay un
máximo. Analizando
: Se evalúan en la derivada
valores antes y después y se aplica el criterio.
Puedes ver que los valores que hacen cero a la derivada son: ahora solamente falta saber si son máximos o
De acuerdo al criterio, en
hay un
mínimo.
mínimos, para ello se aplica el siguiente criterio: Se evalúa en la derivada un valor antes y después de cada valor encontrado, si el resultado que se obtiene es positivo y negativo respectivamente, se trata de un máximo; pero si el resultado que se encuentra es negativo y positivo respectivamente, se trata de un mínimo. Referencia. Marcial Verónica.(2013).derivada06[imagen].
Analizando
: Se evalúan en la derivada
valores antes y después y se aplica el criterio. 16
Estos resultados se pueden verificar si se traza la gráfica de la función original, y en la cual se observan los valores máximos y mínimos de la : misma
Referencias. Marcial Unzueta.(2013).derivada08[imagen].
Despejando perímetro
2) Una persona cuenta con 2400 m de cerca
del
río,
¿cuáles
son
y
área se tiene:
limita con un río recto, no necesita cerrar lado
del
sustituyendo en el
y desea cerrar un terreno rectangular que del
L
las
dimensiones del campo que harán que el área cercada sea máxima? En las siguientes figuras se muestran las posibilidades que puede tener la persona para
Esta es la función que representa al área, para esta función se obtendrá el máximo.
cercar el terreno, sin embargo las áreas son diferentes y desea abarcar la máxima
Entonces: analizando en la derivada valores antes y después de 600
Referencias. Marcial Unzueta.(2013).derivada07[imagen].
De acuerdo al criterio visto anteriormente con Este es un problema que se puede resolver con derivadas, como el terreno es rectangular , en donde L es el largo y su área será a es el ancho del terreno, el perímetro que será cercado está dado por , de acuerdo a lo que se muestra en el esquema.
a=600 se tiene un máximo, encontrando ahora el valor de L:
Por lo tanto el terreno a cercar y que tenga área máxima debe medir 600m por 1200m. Los máximos y mínimos te sirven para resolver problemas de este tipo, en donde tengas que maximizar o minimizar la función que te represente el problema. 17
¿Recuerdas los conceptos estudiados en esta
para poder inicial el estudio de otro concepto
unidad? Resuelve la siguiente actividad para
muy importante en el cálculo: la integral.
recordarlos. Ahora resuelve la siguiente actividad con la
Fuentes de contenido
cual habrás concluido esta unidad.
Puedes complementar los temas de esta unidad apoyándote en la siguiente bibliografía:
Conclusiones
James Stewart (2003), Cálculo
¡Enhorabuena! has concluido la unidad 3,
diferencial e integral.
donde estudiaste y aplicaste los conceptos y
México,International Thomson Editores
las principales fórmulas para hallar la derivada
Ron Larson, Robert P. Hostetler(2005);
de
una
función,
ya
sea
algebraica,
trascendente o combinada también aprendiste a obtener derivadas de orden superior e implícitas y como puedes ver necesitas tener un
buen
dominio
equivocarte
al
del
álgebra
momento
de
para
no
realizar
los
Cálculo diferencial e integral séptima edición,México, Mc Graw Hill Dennis G. Zill (1987), Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericano.
procedimientos. En esta unidad aprendiste derivada
de
una
función
también que la representa
la
variación de dicha función con respecto a una variable, puedes ver que la mayoría de las situaciones se pueden modelar por medio de una función y que de toda función puedes obtener su derivada. Ahora ya tienes un panorama más amplio de la aplicación del cálculo en tu vida cotidiana y cuentas también los elementos necesarios 18
SecretarĂa de EducaciĂłn CoordinaciĂłn General de EducaciĂłn DirecciĂłn Ejecutiva de PlaneaciĂłn y EducaciĂłn a Distancia DirecciĂłn de EducaciĂłn a Distancia BACHILLERATO DIGITAL
EL CĂ LCULO EN MI VIDA DIARIA
UNIDAD 3: ACTIVIDAD FINAL
En un archivo en formato word resuelve los siguientes problemas de aplicaciĂłn de la derivada indicando de manera clara el procedimiento seguido para llegar a los resultados. 1) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s, su altura despuĂŠs de t segundos estĂĄ dada por đ?‘ = 80đ?‘Ą − 16đ?‘Ą 2 en donde t se mide en segundos y đ?‘ se mide en pies. a) ÂżCuĂĄl es la altura mĂĄxima que alcanza la pelota? b) ÂżCuĂĄl es la velocidad con la que se mueve la pelota cuando estĂĄ a 96 pies de altura?
2) Se desea construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartĂłn que tiene 30 cm por lado, al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba, encuentra el volumen mĂĄximo que pueda tener la caja. 3) Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm3, encuentra las dimensiones d la caja que minimicen la cantidad de material usado.
1
Unidad 4. La integral y los métodos de
directa o bien mediante alguno de los métodos de integración que se tratarán.
integración En esta unidad estudiarás los siguientes subtemas
Durante el desarrollo de la unidad verás la relación existente entre el cálculo diferencial y el integral mediante un eslabón importante que
4.1 La integral
es el teorema fundamental del cálculo, el cual
4.2 Integral definida
es una herramienta de gran importancia que te
4.3 Teorema fundamental del cálculo
permitirá evaluar integrales de una manera
4.4 Integral indefinida
sencilla.
4.5 Métodos de integración
De la misma forma que hay integrales definidas verás que existen también las
Propósito de la unidad
integrales
Con el estudio de la presente unidad: Aplicarás las fórmulas de integración inmediata para integrar funciones. y
aplicarás
el
y
aprenderás
a
encontrar el valor de una integral de éste tipo.
Comprenderás el concepto de integral.
Conocerás
indefinidas,
teorema
fundamental del cálculo. Resolverás integrales definidas
Cabe señalar que en esta unidad aprenderás procedimientos meramente matemáticos para resolver
integrales,
las
aplicaciones
las
estudiarás en la siguiente unidad.
Identificarás y aplicarás los diferentes
4.1 La integral
métodos de integración.
La integral es un concepto fundamental en el cálculo, sin entrar en cuestiones matemáticas (por el momento) se puede decir que:
Introducción En esta unidad empezarás a estudiar los fundamentos matemáticos del cálculo integral, tratarás
el
desarrollarás
concepto la
de
habilidad
la
integral
para
y
resolver
integrales de una función ya sea de forma
La integral básicamente es la generalización de una suma cuyos sumandos son infinitos e infinitamente pequeños.
El concepto de la integral surgió básicamente por el problema del cálculo de áreas de figuras 1
irregulares,
más
adelante
entenderás
de
Piensa por ejemplo en un terreno, algunos
manera clara por qué se considera como la
terrenos no tienen forma regular, tal es el caso
suma de sumandos infinitos.
de la forma que se muestra la siguiente figura. Referencia. Marcial Verónica. (2013). Area2[imagen].
4.1.1 El problema del área Como sabes, el área de una figura es la región limitada por fronteras que pueden ser rectas o pueden ser curvas, cuando has calculado áreas has visto que es muy sencillo, pues con conocer la forma de la figura y la fórmula correspondiente puedes calcular el área de cualquier figura siempre y cuando ésta sea regular, por ejemplo las siguientes:
En este caso la solución no es complicada, pues para calcular el área total del terreno lo puedes dividir en figuras regulares que pueden ser triángulos, posteriormente calcular el área total sumando todas las áreas como se muestra en la figura, de esta manera estarás encontrando el área del terreno.
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Area1[imagen].
Existen también fórmulas para calcular el área de otras figuras poligonales como un trapecio, un paralelogramo, un rombo, etc.; figuras curvilíneas como el trapecio circular, la corona
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Area3[imagen].
circular,
bien
Analiza ahora una superficie más compleja:
superficies de cuerpos esféricos como una
¿Cómo encontrarías el área de la siguiente
esfera, un casquete esférico, una zona esférica
figura?
el
sector
circular,
etc.;
o
o un huso esférico. ¿Pero qué pasa cuando una superficie tiene una forma irregular y quieres calcular su área? 2
ver el mĂŠtodo solamente te da un valor aproximado del ĂĄrea, por lo que para tener un valor exacto se puede aplicar el mĂŠtodo que verĂĄs a continuaciĂłn.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area4[imagen].
Como puedes ver en este caso el ĂĄrea total ya no se puede obtener dividiendo la figura en
4.1.2 CĂĄlculo de ĂĄreas mediante la
triĂĄngulos como se hizo en el caso anterior.
suma de rectĂĄngulos infinitesimales
Ahora para encontrar el ĂĄrea total se puede dividir en figuras geomĂŠtricas cuyas ĂĄreas sean conocidas, para tal caso se eligen cuadrados, y cada cuadrado medirĂĄ una unidad de ĂĄrea
(cm2,
m2,
km2,
ft2,
in2,
etc.) de
tal forma que quedarĂĄ como se muestra.
En esta parte obtendrĂĄs el ĂĄrea de una curva por aproximaciĂłn de rectĂĄngulos,
de tal
manera que si cada vez tomas rectĂĄngulos de bases mĂĄs pequeĂąas verĂĄs que el ĂĄrea que obtienes serĂĄ mĂĄs exacta. EJEMPLO. Encontrar el ĂĄrea debajo de la parĂĄbola
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area5[imagen].
De acuerdo a esto el ĂĄrea aproximada de la
đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 en el intervalo comprendido desde
đ?‘Ľ = 0 hasta đ?‘Ľ = 1.
figura es de 67 unidades de ĂĄrea o unidades cuadradas. Nota: Si quieres encontrar un valor mĂĄs
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area 6 [imagen].
exacto del ĂĄrea puedes reducir el tamaĂąo de los cuadrados de tal manera que quepan mĂĄs, entre mĂĄs pequeĂąos sean los cuadros mĂĄs exacta serĂĄ el ĂĄrea.
Esta es la forma como se puede calcular el ĂĄrea de figuras irregulares, pero como puedes
En la figura (a) se muestra el ĂĄrea que se estĂĄ buscando y en las figuras (b) y (c) se muestran rectĂĄngulos
las
ĂĄreas
inscritos,
aproximadas los
cuales
con
pueden 3
quedar
arriba o
abajo de
la
parĂĄbola,
dependiendo si se toman como alturas los extremos derechos o izquierdos de cada rectĂĄngulo. En ambos casos se puede calcular el ĂĄrea aproximada conociendo el ancho y la altura de los rectĂĄngulos. Para la grĂĄfica de la figura (b): đ??´ = (0.2)(0.2) + (0.2)(0.4) + (0.2)(0.6) + (0.2)(1) = 0.44 đ?‘˘2
Para la grĂĄfica de la figura (c): đ??´ = (0.2)(0.2) + (0.2)(0.4) + (0.2)(0.6) = 0.24 đ?‘˘2
Como puedes observar el ĂĄrea en los dos
Se puede ver en la tabla de resultados que a medida que el nĂşmero de rectĂĄngulos crece de manera infinita, la suma en ambos casos se va haciendo muy parecida, en este caso se puede concluir que el valor del ĂĄrea buscada 1
es de đ??´ = 0.333 đ?‘˘2 = đ?‘˘2 . 3
En este ejemplo se obtuvo el ĂĄrea total mediante la suma de las ĂĄreas de todos los rectĂĄngulos que se consideraron, pero debido
casos es aproximada, en la figura (b) el valor
a que no es prĂĄctico calcular ĂĄreas para una
obtenido es mayor que el real, mientras que en
infinidad de rectĂĄngulos ahora verĂĄs un
la figura (c) el valor obtenido es menor que el
mĂŠtodo matemĂĄtico para llegar al mismo
real, lo cual quiere decir que el valor exacto del
resultado.
ĂĄrea estĂĄ entre 0.24 y 0.44 Se pueden obtener mejores estimaciones si
4.1.3 Sumas de Riemann
tanto en las figuras (b) y (c) se incrementa el
Las sumas de Riemann conforman un mĂŠtodo
nĂşmero de rectĂĄngulos, en la siguiente tabla se
matemĂĄtico
muestran los valores obtenidos (usando una
numĂŠricas, sirven para obtener el valor del
computadora) para diferentes nĂşmeros de
ĂĄrea de una figura irregular, similar al mĂŠtodo
rectĂĄngulos.
que
para
estudiaste
en
resolver
la
secciĂłn
integrales
anterior,
solamente que con un nĂşmero infinito de rectĂĄngulos.
4
La suma de Riemann estĂĄ dada por la đ?‘™đ?‘–đ?‘š ∑đ?‘› expresiĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ y para la đ?‘› → ∞ đ?‘–=1 aplicaciĂłn de ĂŠste mĂŠtodo se aplicarĂĄn las siguientes fĂłrmulas: đ?‘?−đ?‘Ž ∆đ?‘Ľ = đ?‘›
đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ž + đ?‘– ∆đ?‘Ľ
Antes
de
presentarte
los
ejemplos
es
necesario que conozcas las siguientes reglas para trabajar con sumatorias. đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘›(đ?‘› + 1) đ?‘–= 2
En donde
EJEMPLOS.
đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘–2
đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) = 6 =
đ?‘›(đ?‘› + 1) 2
2
đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘–3
1) Mediante la suma de Riemann encuentra el ĂĄrea de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 en el
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area7[imagen].
∆đ?‘Ľ
a, b
n
Representa el ancho de los rectĂĄngulos Es el intervalo en el cual se va a calcular el ĂĄrea Es el nĂşmero de rectĂĄngulos que se van
intervalo comprendido desde đ?‘Ľ = 0 hasta đ?‘Ľ=1 Como puedes ver este ejemplo ya se resolviĂł anteriormente pero con un nĂşmero finito de
rectĂĄngulos, ahora serĂĄ resuelto con un nĂşmero infinito de rectĂĄngulos que es lo que marca la suma de Riemann, en la figura puedes ver el ĂĄrea a calcular:
a usar đ?‘Ľđ?‘–
Es el valor del extremo izquierdo o derecho de cada rectĂĄngulo
Estos valores los puedes identificar en la figura mostrada:
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area8[imagen].
5
Lo primero que se hace es aplicar las fĂłrmulas para encontrar ∆đ?‘Ľ y đ?‘Ľđ?‘–
đ?‘–=1
đ?‘?−đ?‘Ž 1−0 1 = = đ?‘› đ?‘› đ?‘› 1 đ?‘– = 0+đ?‘–( ) = đ?‘› đ?‘› Ahora se aplica la suma ∆đ?‘Ľ =
de
Riemann
evaluar la funciĂłn dada en đ?‘Ľđ?‘– y multiplicarla por
el valor que encontraste para ∆đ?‘Ľ đ?‘–=1
đ?‘› đ?‘–=1
Ahora
đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ =
đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ = se
đ?‘›
đ?‘–=1
=
2
1 2 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘–
đ?‘›
1 đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘›
(đ?‘Ľđ?‘– ) ∆đ?‘Ľ =
(đ?‘Ľđ?‘– )2
1 đ?‘– 2 1 đ?‘–2 1 ( ) = ( 2) = 3 đ?‘–2 đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘›
aplica
una
de
las
reglas
mencionadas anteriormente, como quedĂł đ?‘– 2
se aplica entonces: đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘–2 =
đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ =
đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ž + đ?‘–∆đ?‘Ľ
∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ la cual te indica que debes
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) 6
1 2 1 đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) đ?‘– = 3 3 6 đ?‘› đ?‘›
2đ?‘›3 + 3đ?‘›2 + đ?‘› 6đ?‘›3 3 2đ?‘› 3đ?‘›2 đ?‘› = 3+ 3+ 3 6đ?‘› 6đ?‘› 6đ?‘› 1 1 1 = + + 3 3đ?‘› 6đ?‘›2 =
Finalmente se aplica el lĂmite para cuando n tiende a infinito ya que se estĂĄ considerando un nĂşmero infinito de rectĂĄngulos. đ?‘›
1 1 1 1 1 1 + + 2= + + 3 3đ?‘› 6đ?‘› 3 3∞ 6∞2 đ?‘–=1 1 1 = +0+0= 3 3 Como puedes observar es el mismo resultado đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘›â†’∞
que se muestra en la tabla obtenida en computadora para 1000 rectĂĄngulos. 2) Encuentra
el
f ( x)  2 x 2  4 x đ?‘Ľ = −2 đ?‘Ž đ?‘Ľ = 1
ĂĄrea en
Encontrando ∆đ?‘Ľ y đ?‘Ľđ?‘–
de el
la
funciĂłn
intervalo
ď „x 
de
1 ď€ (ď€2) 3  n n
3 xi  ď€2  i n
6
Evaluando la sumatoria
ď ›2 x
2 i
 4 xi
ď ? n3
3 pero xi  ď€2  i n
∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ =
lim 9 9 lim n 9 9 f ( xi )ď „x    2   00  0 ďƒĽ 2 n ď‚Ž ď‚Ľ i 1 nď‚Žď‚Ľn n ď‚Ľ ď‚Ľ
Este es el procedimiento para aplicar las
ďƒĽ f ( x )ď „x  ď ›2 x n
i
i 1
2 i
 4 xi
3 ďƒśďƒš 3sumas de Riemann, como puedes ver es mĂĄs ďƒŚ  4ďƒ§ ď€ 2  i ďƒˇďƒş n ďƒ¸ďƒťďƒş nsencillo que calcular el ĂĄrea de los rectĂĄngulos, ďƒ¸ ďƒ¨
ďƒŠ
ď ? n3  ďƒŞ2ďƒŚďƒ§ ď€ 2  n3 i ďƒśďƒˇ ďƒŤďƒŞ ďƒ¨
2
para reforzar este tema puedes consultar la
ďƒŠ ďƒŚ 9
n
ďƒĽ f ( x )ď „x  ďƒŞ2ďƒ§ďƒ¨ n i
i 1
ďƒŤ
2
informaciĂłn de los siguientes links:
i2 ď€
ďƒš 3 ďƒŠ 18 12 24 12 ďƒš3 ďƒś 12 i  4 ďƒˇ  i ď€ 8ďƒş  ďƒŞ 2 i 2 ď€ i  8  i ď€ 8ďƒş n n n ďƒťn ďƒ¸ n ďƒť n ďƒŤn
http://sumaderiemann.blogspot.mx/2011/08/eje rcicios-suma-de-riemann.html
ďƒŠ 18
n
ďƒĽ f ( x )ď „x  ďƒŞďƒŤ n i
i 1
2
i2 ď€
12 ďƒš 3 54 2 36 i  i ď€ 2i n ďƒşďƒť n n 3 n
Aplicando las reglas de sumatorias đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘›(đ?‘› + 1) đ?‘–= 2
n
54
ďƒĽ f ( x )ď „x  n i 1
i
3
i2 ď€
đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘–2 =
đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) 6
36 54 ďƒŚ n(n  1)(2n  1) ďƒś 36 ďƒŚ n(n  1) ďƒś i 3ďƒ§ ďƒˇď€ 2 ďƒ§ ďƒˇ 2 6 n n ďƒ¨ ďƒ¸ n ďƒ¨ 2 ďƒ¸
27 9 18 9 9 54 ďƒŚ 2n 3  3n 2  n ďƒś 36 ďƒŚ n 2  n ďƒś ďƒˇďƒˇ  18  ďƒˇďƒˇ ď€ 2 ďƒ§ďƒ§  ď€ 18 ď€ ď€˝ 2  f ( xi )ď „x  3 ďƒ§ďƒ§ ďƒĽ n n2 n n n 6 n ďƒ¨ i 1 ďƒ¸ n ďƒ¨ 2 ďƒ¸ n
http://agonzales.bligoo.es/media/users/14/7083 10/files/95833/CuadernillOo_de_C_lculo.pdf
Pasa ahora al estudio del siguiente tema.
4.2 Integral definida En la secciĂłn anterior aprendiste que para calcular el ĂĄrea de una superficie irregular puedes aplicar una suma de Riemann dada por la expresiĂłn:
đ?‘™đ?‘–đ?‘š ∑đ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘–)∆đ?‘Ľ. đ?‘› → ∞ đ?‘–=1
Este tipo de lĂmite no solamente aparece al Aplicando el lĂmite.
calcular ĂĄreas, sino que aparece en una amplia variedad de situaciones tales como encontrar la longitud de una curva, el volumen de un 7
sĂłlido, el centro de masa de un cuerpo, el
Las integrales definidas presentan propiedades
trabajo mecĂĄnico que realiza una fuerza, etc.
que son muy Ăştiles para facilitar su soluciĂłn
debido a esto se hace necesario darle una
Ahora verĂĄs cuĂĄles son.
notaciĂłn y nombre especial: Integral definida. La integral definida de una funciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) desde “aâ€? hasta “bâ€? es đ?‘?
đ?‘™đ?‘–đ?‘š âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘›â†’∞ đ?‘Ž
đ?‘› đ?‘–=1
đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )∆đ?‘Ľ
4.2.1 Propiedades de la integral definida Ahora estudiarĂĄs algunas de las propiedades bĂĄsicas de las integrales definidas que te ayudarĂĄn a evaluarlas con mayor facilidad.
En donde: Es el sĂmbolo de integral y es una “sâ€? alargada debido a que es un lĂmite de sumas.
Si se tienen dos funciones đ?‘“ y đ?‘” que son
continuas en el intervalo đ?‘Ž đ?‘? se cumplen las siguientes propiedades:
f(x)dx Se llama integrando y
a, b Se llaman lĂmites de integraciĂłn, inferior y superior respectivamente. NOTA: Al procedimiento para calcular una integral se le llama integraciĂłn, y una integral definida siempre darĂĄ como resultado un valor numĂŠrico.
Ahora en lugar de usar la notaciĂłn de sumatoria usarĂĄs la notaciĂłn de integral, regresando al primer ejemplo que se resolviĂł la sumatoria se puede expresar como: 1
âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 0
1 3
8
1)
đ?‘? đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
= đ?‘? (đ?‘? − đ?‘Ž) Donde c es
cualquier constante 2)
đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ ) + đ?‘Ž đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ =
+
đ?‘? đ?‘”(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
la
integral de una suma es la suma de las integrales 3)
đ?‘? đ?‘?đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
=đ?‘?
Donde c constante 4)
đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ ) − đ?‘Ž đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
La segunda propiedad indica que el ĂĄrea de đ?‘“ + đ?‘” es el ĂĄrea que se encuentra debajo de
la funciĂłn đ?‘“ sumada al ĂĄrea que se encuentra
debajo de la funciĂłn đ?‘”, grĂĄficamente esto lo puedes ver en la siguiente representaciĂłn:
đ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
es
đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ =
−
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area9[imagen].
cualquier
đ?‘? đ?‘”(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
la
integral de una resta es la resta de las integrales.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area10[imagen].
La tercera propiedad indica que la integral de La primera propiedad indica que la integral de una funciĂłn constante đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘? es la constante multiplicada por la longitud del intervalo,
grĂĄficamente se representa de la siguiente manera, esto es de esperarse ya que el ĂĄrea del rectĂĄngulo es: đ?‘? (đ?‘? − đ?‘Ž).
una constante multiplicada por una funciĂłn, es la constante multiplicada por la integral de la funciĂłn, es decir, el ĂĄrea se hace mĂĄs grande en un factor de c si c > 1, y el ĂĄrea se hace mĂĄs chica en un factor de c si c<1, grĂĄficamente esta situaciĂłn se representa de la siguiente manera:
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area11[imagen].
9
La cuarta propiedad es muy similar a la
En el tema de las sumas de Riemann se
segunda, la integral de una resta de funciones
resolviĂł el ejemplo
es la resta de las integrales, grĂĄficamente esta
el resultado de esta integral es , es por eso
propiedad queda representada de la siguiente
que en este ejemplo se usĂł directamente el
forma:
resultado ya obtenido anteriormente.
1 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 0
y se llegĂł a que 1 3
Es asĂ como se aplican las propiedades, al separar las integrales en sumas y/o restas se hace mĂĄs sencilla su evaluaciĂłn. Analiza ahora un teorema que es muy Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area12[imagen].
Estas propiedades tambiĂŠn se pueden aplicar de manera algebraica.
4.3 Teorema fundamental del cĂĄlculo El teorema fundamental del cĂĄlculo (TFC) es
EJEMPLO Usando las propiedades de las integrales evalĂşa
1 (7đ?‘Ľ 2 0
+ 5)đ?‘‘đ?‘Ľ
+ 5)đ?‘‘đ?‘Ľ =
1 7đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 0
+
ademĂĄs de que te permite tambiĂŠn calcular el
1 5 0
đ?‘‘đ?‘Ľ
propiedad 3.y para la segunda integral se aplica la propiedad 1 +
1 5 0
đ?‘‘đ?‘Ľ = 7 7 3
valor de una integral definida con mĂĄs facilidad porque no tienes que emplear sumas de Riemann como lo hiciste en las secciones anteriores. El TFC se establece en dos partes, la primera parte es la que indica que la derivaciĂłn y la
1 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 0 22
7 ( ) + 5(1 − 0) = + 5 = 3
la conexiĂłn entre las dos ramas del cĂĄlculo, el derivada y la integral son procesos inversos,
Para la primera integral se aplica la
1 7đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 0 1
de gran importancia, pues permite establecer
diferencial y el integral, esto debido a que la
Primero se aplica la propiedad 2 1 (7đ?‘Ľ 2 0
importante en el cĂĄlculo.
3
+ 5 (1 − 0 ) =
integraciĂłn
son
procesos
inversos,
matemĂĄticamente se enuncia como:
10
Dada una funciĂłn đ?‘“ que es continua en el intervalo
đ?‘” (đ?‘Ľ ) =
đ?‘Ž, đ?‘? , y la funciĂłn đ?‘” definida por
đ?‘Ľ đ?‘“ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ž
con đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘? y tambiĂŠn
continua en đ?‘Ž, đ?‘? y derivable en (ab), entonces đ?‘”´(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ).
En pocas palabras lo que indica esta primera parte del teorema es que la derivada y la integral son procesos inversos, es decir: đ?‘‘ đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
Que indica que si primero integras la funciĂłn đ?‘“ y posteriormente derivas el resultado obtenido, encuentras nuevamente la funciĂłn original đ?‘“
EJEMPLOS
matemĂĄticamente se enuncia de la siguiente manera: Dada una funciĂłn đ?‘“ que es continua en el
intervalo đ?‘Ž, đ?‘? , entonces: đ?‘?
âˆŤ đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??š (đ?‘?) − đ??š(đ?‘Ž) đ?‘Ž
En donde đ??š es una integral de đ?‘“, de modo que
se cumple que đ??šÂ´ = đ?‘“
En tĂŠrminos mĂĄs sencillos esta segunda parte nos indica que si conocemos una integral đ??š de la funciĂłn original đ?‘“, se puede conocer el valor de la integral đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
Evaluando primero đ??š en el valor de đ?‘?,
posteriormente en el valor de đ?‘Ž y finalmente hacer la resta.
EJEMPLOS
1) Encuentra la derivada de la funciĂłn đ?‘” (đ?‘Ľ ) =
đ?‘Ľ (3đ?‘Ą 2 đ?‘Ž
+ 5)4 đ?‘‘đ?‘Ą
�´(� ) = (3� 2 + 5)4 ,
ya
1) EvalĂşa la integral que
el
teorema
establece que la derivada de una integral es la misma funciĂłn.
đ?‘” (đ?‘Ľ ) =
đ?‘‘đ?‘Ľ
1
La integral de esta funciĂłn es đ??š = đ?‘Ľ 3 (en la siguiente
secciĂłn
aprenderĂĄs
3
a
obtener
integrales)
2) Encuentra la derivada de la funciĂłn đ?‘Ľ √4đ?‘Ą 3 đ?‘Ž
1 2 đ?‘Ľ 0
− 6đ?‘Ą + 1đ?‘‘đ?‘Ą
đ?‘”´(đ?‘Ľ ) = √4đ?‘Ą 3 − 6đ?‘Ą + 1
La segunda parte del TFC te ofrece una manera mĂĄs sencilla de evaluar integrales,
Aplicando la segunda parte del TFC que dice que primero se evalĂşa en el lĂmite superior y luego en el lĂmite inferior se tiene: 1 1 1 31 1 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ | = [ (1)3 ] − [ (0)3 ] = − 0 3 3 3 3 0 0 1 = 3 1
2
11
La parte
1
1
đ?‘Ľ3| 3
0
indica que la expresiĂłn se
En esta secciĂłn aprenderĂĄs a obtener la
evaluarĂĄ de x=0 a x=1 2) EvalĂşa la integral
4.4 Integral indefinida
1 2đ?‘Ľ 2 −2
+ 4đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
antiderivada de una funciĂłn a la que tambiĂŠn 2
La integral de la funciĂłn f(x) es đ??š = 3 đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 aplicando el TFC con 1 y -2 queda:
se le conoce como la integral de la funciĂłn. En la secciĂłn anterior estudiaste la relaciĂłn que existe entre la derivada y la integral
1 2 3 2 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ 2 | [ (1)3 + 2(1)2 ] 3 −2 3 −2 2 − [ (−2)3 + 2(−2)2 ] 3 2 16 8 8 = ( + 2) − (− + 8) = − 3 3 3 3 =0 Estos dos ejemplos son los mismos que se 1
âˆŤ 2đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ =
resolvieron
con
sumas
de
Riemann
anteriormente, haz una comparaciĂłn de las soluciones tanto con sumas de Riemann y TFC
establecida por el TFC, debido a esta relaciĂłn se usarĂĄ la notaciĂłn
đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ para expresar
una antiderivada de la funciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ), a esta
notaciĂłn se le conoce como integral indefinida.
NOTA: es importante que distingas los dos tipos de
integrales: una integral definida
đ?‘? đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
tiene lĂmites
de integraciĂłn y da como resultado una cantidad numĂŠrica, mientras que una integral indefinida đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ no tiene lĂmites de integraciĂłn y da como resultado una funciĂłn.
y observa cĂłmo se simplifica grandemente el
Existen fĂłrmulas bĂĄsicas de integraciĂłn en las
procedimiento al usar el TFC.
que te puedes apoyar para encontrar de una
Para conocer mĂĄs acerca de este teorema
manera mĂĄs sencilla la integral de una funciĂłn,
revisa la informaciĂłn de las siguientes pĂĄginas:
a continuaciĂłn descubre cuĂĄles son.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafunda mental.htm
4.4.1 Tabla de integrales indefinidas.
http://www.geogebratube.org/student/m9179
En la siguiente tabla de integrales indefinidas
Ahora
aprenderĂĄs
cĂłmo
antiderivada de una funciĂłn.
encontrar
la
puedes ver algunas fĂłrmulas de integraciĂłn bĂĄsicas que te servirĂĄn para integrar tanto funciones algebraicas como trascendentes:
12
1)
2)
3) 4)
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
12)
đ?‘?đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘? đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘Ľ + đ??ś đ??ś= đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ =
đ?‘Ľ đ?‘›+1 đ?‘›+1
+đ??ś
đ?‘“ (đ?‘Ľ) Âą đ?‘”(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ =
1
đ?‘Ľ
đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??żđ?‘› đ?‘Ľ + đ??ś
đ?‘Ľ
đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’
(đ?‘› ≠−1)
đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ Âą đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ
tanto, aplicando las fĂłrmulas 1 y 3 para el primer tĂŠrmino de la integral, y las fĂłrmulas 1 y 9 para el segundo tĂŠrmino se tiene que:
NOTA: la primera parte del TFC establece que la derivada y la integral son operaciones contrarias, por
đ?‘Ľ
lo
cuando
integras
una
funciĂłn
y
el integrando.
đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = sen đ?‘Ľ + đ??ś
Para verificar que el resultado de la integral es correcto puedes aplicar la primera parte del
đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = tan đ?‘Ľ + đ??ś
TFC, es decir, derivar el resultado para obtener
đ?‘?đ?‘ đ?‘? 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = −cot đ?‘Ľ + đ??ś
el integrando
đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = sec đ?‘Ľ + đ??ś
Verificando el resultado:
đ?‘?đ?‘ đ?‘? đ?‘Ľ cot đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = −csc đ?‘Ľ + đ??ś
En los siguientes ejemplos verĂĄs la aplicaciĂłn
đ?‘‘ 3 (đ?‘Ľ + 5 tan đ?‘Ľ + đ??ś) = 3đ?‘Ľ2 + 5 đ?‘ đ?‘’đ?‘?2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
de algunas de ĂŠstas fĂłrmulas. EJEMPLOS integral
tanto,
posteriormente derivas el resultado debes encontrar
đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = − cos đ?‘Ľ + đ??ś
la
3
đ??ś = đ?‘Ľ 3 + 5 tan đ?‘Ľ + đ??ś
đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘’ + đ??ś
Encuentra
đ?‘Ľ3
(3 đ?‘Ľ 2 + 5 đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = 3 ( ) + 5 tan đ?‘Ľ +
de
las
siguientes
funciones:
Como puedes ver al derivar el resultado de la integral encuentras el integrando, lo cual quiere decir que la funciĂłn obtenida al hacer la
1)
(3 đ?‘Ľ 2 + 5 đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ
La fĂłrmula 4 indica que cuando se tiene la integral de una suma o resta de funciones el resultado es la integral de cada funciĂłn, por lo
integral es correcta.
2)
2
2 đ?‘Ľ4
( đ?‘Ľ 3 − 3 đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = ( ) − 3 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ś =
3 2 đ?‘Ľ4 12
− 3 đ?‘’đ?‘Ľ + đ??ś =
đ?‘Ľ4 6
3
4
− 3 đ?‘’đ?‘Ľ + đ??ś
13
3
√đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ
4
3)
đ??ś= 4)
(
12 5
6
5đ?‘Ľ 2
5 3
=
6
5đ?‘Ľ
4 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 4 (
đ?‘Ľ +đ??ś =
12 5
3
√đ?‘Ľ 5 + đ??ś
4.5. MĂŠtodos de integraciĂłn )+
6
+ cos đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = ( đ?‘Ľ −2 + 6 đ?‘Ľ −1
cos đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = (
−
2 3
5 đ?‘Ľ3 5 3
5
−1
+ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ + đ??ś
5
) + đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ + đ??ś =
Como puedes ver en estos dos Ăşltimos ejemplos se aplicaron las leyes de los
En algunas ocasiones las funciones a integrar no presentan las formas bĂĄsicas de integraciĂłn mostradas en la tabla de integrales indefinidas, por lo que se hace necesario aplicar un mĂŠtodo de integraciĂłn que ayude a integrar la funciĂłn en cuestiĂłn. A continuaciĂłn verĂĄs algunos de los mĂŠtodos utilizados para integrar funciones que no presenten las formas bĂĄsicas.
exponentes, en el ejemplo 3 para representar a
4.5.1 IntegraciĂłn por cambio de variable
la raĂz como una potencia y aplicar la fĂłrmula 3
Este mĂŠtodo permite transformar una funciĂłn
y en el ejemplo 4 para pasar la variable al
aparentemente
numerador y volver a aplicar la fĂłrmula 3.
sencilla para poderla integrar, consiste en
Puedes reforzar tus conocimientos sobre la integral indefinida consultando la informaciĂłn
complicada
en
una
mĂĄs
pasar la función a una nueva variable � la cual
es funciĂłn de đ?‘Ľ.
de las siguientes pĂĄginas electrĂłnicas.
EJEMPLOS.
http://www.manolomat.com/atenea/images/stor
Encuentra
ies/pdf/ejercicios_resueltos/Ejercicios_integral_i
funciones:
la
integral
de
las
siguientes
ndefinida.pdf integraciĂłn, aunque no siempre va a ser
1) âˆŤ √3đ?‘Ľ 2 + 5 6đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
posible aplicarlas de manera directa, esto lo
Como puedes ver en la tabla de integrales
verĂĄs a continuaciĂłn, pero antes verifica lo
bĂĄsicas no hay una fĂłrmula que nos permita
aprendido.
hacer esta integral de manera directa, pero se
Es asĂ como se aplican las fĂłrmulas de
puede aplicar la regla de la sustituciĂłn, para 14
ello se harå un cambio de variable y se usarå �
en lugar de �. Se elige �� ��
= 6đ?‘Ľ
� = 3� 2 + 5
đ?‘˘ = 3 − 2đ?‘Ľ 2
đ?‘‘đ?‘˘ = −4đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ
�� ��
= −4đ?‘Ľ
Entonces
Se deriva �:
se despeja ��: �� = 6� ��
Se reacomoda la integral para una fĂĄcil identificaciĂłn de los tĂŠrminos:
2
En este caso se multiplicĂł por (− ) porque 2 đ?‘‘đ?‘˘ = −4đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ y solamente se tenĂa 2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ
Por lo tanto la integral se puede representar como:
Si se representa la integral en tÊrminos de � es mås fåcil encontrar el resultado, pues se puede integrar aplicando una de las formas båsicas
1
âˆŤ √đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = âˆŤ đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘˘ =
3 �2
3 2
+ đ??ś=
2 √đ?‘˘ 3 + đ??ś 3
Finalmente se regresa el resultado en tÊrminos de la variable �, sabiendo que � = 3� 2 + 5, por lo tanto:
âˆŤ √3đ?‘Ľ 2 + 5 6đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2) âˆŤ
2 √(3đ?‘Ľ 2 + 5)3 + đ??ś 3
2đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ (3 − 2đ?‘Ľ 2 )5
1 đ?‘˘âˆ’4 đ?‘˘âˆ’4 1 đ?‘‘đ?‘˘ 1 âˆŤ 5 = âˆŤ đ?‘˘âˆ’5 đ?‘‘đ?‘˘ = ( )+đ??ś = +đ??ś 2 2 −4 −8 2 đ?‘˘ 1 =− 4+đ??ś 8đ?‘˘
Regresando a la variable đ?‘Ľ se tiene que finalmente el resultado es:
âˆŤ
2đ?‘Ľ 1 đ?‘‘đ?‘Ľ = − +đ??ś (3 − 2đ?‘Ľ 2 )5 8(3 − 2đ?‘Ľ 2 )4
Con
la
siguiente
actividad
verifica
tu
comprensiĂłn sobre ĂŠste mĂŠtodo. Analiza ahora otro caso de integrales de funciones que no se resuelven de manera directa con fĂłrmulas bĂĄsicas. 15
4.5.2 IntegraciĂłn por partes Este es un mĂŠtodo de mucha utilidad para integrar funciones donde aparece un producto,
Se aplica la fĂłrmula de integraciĂłn por partes: u dv = uv − vdu x3 âˆŤ x lnx dx = lnx 3 2
para realizar una integral por partes se aplica la siguiente fĂłrmula: âˆŤ đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘˘
La aplicación de esta fórmula te llevarå a una integral mås sencilla de resolver, pero es muy importante la selección que realices de � y ��
Ahora se resuelve la integral obtenida, la cual es mĂĄs sencilla que la original
ya que una buena elecciĂłn harĂĄ que la integral se
facilite,
puedes
aplicar
la
âˆŤ x 2 lnx dx =
siguiente
estrategia: 1) Intentar tomar como �� la porción mås complicada del integrando que se ajuste a una regla båsica de integración y como � el factor restante del integrando. 2) Intentar tomar como � la porción del integrando cuya derivada es una función mås simple que �, y como �� el factor restante del integrando.
x3 1 − âˆŤ ( ) ( ) dx 3 x 3 1 x lnx − âˆŤ x 2 dx = 3 3
2) âˆŤ x 2 senx dx
dv = sen x dx u = x2
x3 x3 lnx − + c 3 9
v = âˆŤ senx dx = −cosx du = 2x dx
Se aplica la fĂłrmula de integraciĂłn por partes âˆŤ x 2 sen x dx = −x 2 cosx + âˆŤ 2x cos x dx
EJEMPLOS. Encuentra el resultado de las siguientes
Se puede observar que la integral obtenida no
integrales:
es
1) âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ??żđ?‘› đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ
nuevamente el mĂŠtodo para esta integral
Se selecciona u y dv de la funciĂłn original y a partir de esa selecciĂłn se obtiene dv y v x3 dv = x 2 dx v = âˆŤ x 2 dx = 3 1 u = lnx du = dx x
inmediata,
dv = cos x dx u = 2x
por
lo
tanto
se
aplica
v = âˆŤ cos x dx = sen x du = 2 dx
âˆŤ 2xcosx dx = 2x senx − âˆŤ 2sen x dx = 2xsenx + 2 cosx + c
16
Sustituyendo este resultado en la integral
alternas
inicial se llega al resultado final
presenten formas básicas de integración.
∫ x 2 senx dx = −x 2 cosx + 2x senx + 2cosx + c
Como puedes ver en este último ejemplo la
integración por partes se puede aplicar dos o
de
integrar
funciones
que
no
Con el estudio de esta unidad que estás finalizando cuentas con los elementos básicos para resolver integrales tanto definidas como indefinidas
que
te
ayudarán
a
resolver
más veces, de tal forma que la integral que va
problemas de aplicación los cuales estudiarás
resultando se vaya haciendo más sencilla.
en la siguiente unidad.
Para conocer más sobre los métodos de integración y reforzar lo aprendido consulta la
Fuentes de contenido
información contenida en el siguiente link.
Puedes complementar los temas de esta
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/met
unidad apoyándote en la siguiente bibliografía:
odos.pdf
James
Stewart
Resuelve ahora la siguiente actividad para
diferencial
poner en práctica éste método de integración.
International Thomson Editores
e
(2003), integral.
Cálculo México,
Ron Larson, Robert P. Hostetler(2005);
Conclusiones
Cálculo diferencial e integral séptima
Con los métodos de integración estudiados
edición, México, Mc Graw Hill
has llegado al final de la unidad 4, en ella
Dennis G. Zill (1987), Cálculo con
aprendiste algunos puntos importantes del
Geometría Analítica, México, Grupo
cálculo integral como: calcular áreas de figuras curvas irregulares mediante la aplicación de
Editorial Iberoamericano.
las sumas de Riemann, integrar funciones algebraicas y trascendentes que presenten formas básicas, la importancia del Teorema fundamental del cálculo y algunas formas
17
SecretarĂa de EducaciĂłn CoordinaciĂłn General de EducaciĂłn DirecciĂłn Ejecutiva de PlaneaciĂłn y EducaciĂłn a Distancia DirecciĂłn de EducaciĂłn a Distancia BACHILLERATO DIGITAL
EL CĂ LCULO EN MI VIDA DIARIA Lista de Cotejo UNIDAD 4: ACTIVIDAD FINAL
ESTUDIANTE: GRUPO:
En un archivo en formato Word resuelve los siguientes ejercicios indicando el procedimiento de manera clara: 1) Traza la grĂĄfica de la funciĂłn y=x+2 y usando rectĂĄngulos de ancho igual a 0.5 unidades obtĂŠn el ĂĄrea desde x=0 a x=3 (toma como alturas los extremos derechos de los rectĂĄngulos). đ?&#x;? 2) Resuelve la integral âˆŤđ?&#x;Ž (đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;?)đ?’…đ?’™ mediante sumas de Riemann. Encuentra el resultado de las siguientes integrales: đ?&#x;“
đ?&#x;‘
3) âˆŤ ( đ?&#x;‘ + − đ?&#x;?) đ?’…đ?’™ đ?’™ đ?’™ đ?’…đ?’™
4) âˆŤ (đ?’™+đ?&#x;’)đ?&#x;“
5) âˆŤ đ?’™đ?’„đ?’?đ?’”đ?’™ đ?’…đ?’™
SI 1. 2. 3. 4.
El documento estĂĄ hecho en Word. Muestra resultado correcto del ejercicio uno. Muestra resultado correcto del ejercicio dos. Muestra resultado correcto del ejercicio tres.
NO
Peso % 0.83 0.83 0.83 0.83
5. Muestra resultado correcto del ejercicio cuatro. 6. Muestra resultado correcto del ejercicio cinco. 7. Indica desarrollo o explicación del ejercicio uno. 8. Indica desarrollo o explicación del ejercicio dos. 9. Indica desarrollo o explicación del ejercicio tres. 10. Indica desarrollo o explicación del ejercicio cuatro. 11. Indica desarrollo o explicación del ejercicio cinco. 12. Utilizo editor de ecuaciones. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. SUBTOTAL 9 – 10 8 - 8.9 7 - 7.9 6 – 6.9 0 - 5.9
Muy bien. Bien. Regular. Suficiente. Insuficiente
RETROALIMENTACIÓN DEL TUTOR:
0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83
10
Unidad 5. Aplicaciones de la integral En esta unidad estudiarás los siguientes subtemas 5.1 Área bajo la curva 5.2 Área entre curvas 5.3 Volúmenes 5.4 Valor promedio de una función
Propósito de la unidad Con el estudio de la presente unidad: Aprenderás a calcular áreas entre una curva y el eje x Calcularás el área entre dos curvas. Aplicarás la integral para calcular volúmenes. Obtendrás el valor promedio de una función aplicando la integral.
Introducción En la unidad anterior aprendiste a resolver integrales y a evaluarlas mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, en esta unidad analizarás ahora algunas de las tantas aplicaciones que tiene la integral tales como al área bajo una curva y entre curvas, así como el cálculo de volúmenes y el valor promedio de una función. Te darás cuenta que al finalizar esta unidad contarás con los elementos matemáticos que te permitan analizar algunas aplicaciones de la integral. Se sugiere que si no recuerdas los pasos para integrar una función repases los conceptos y procedimientos vistos en la unidad anterior, ya que un buen manejo de las fórmulas de integración básicas así como de los métodos te ayudarán a comprender mejor la solución del problema. Te darás cuenta también que no solamente puedes trabajar las integrales de manera aislada para la solución de problemas o de ciertas aplicaciones, pues el cálculo es una herramienta muy poderosa que la puedes combinar con otras ramas de las matemáticas para ampliar el campo de solución de problemas. 1
A continuaciĂłn verĂĄs algunas de las aplicaciones del cĂĄlculo integral, en donde tambiĂŠn aplicarĂĄs lo que ya aprendiste en la unidad anterior.
5.1 Ă rea bajo la curva Si recuerdas, en la unidad anterior cuando empezaste a estudiar el concepto de integral se mencionĂł que la integral surgiĂł a partir del problema que existĂa sobre calcular ĂĄreas de figuras irregulares, pues bien, geomĂŠtricamente la integral de una funciĂłn representa el ĂĄrea bajo la curva, esto quiere decir que se puede calcular el ĂĄrea de una regiĂłn irregular mediante una integral. El ĂĄrea siempre estarĂĄ comprendida entre la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) y el eje đ?‘Ľ, en el intervalo [a,
b], los extremos del intervalo indicarĂĄn los limites de integraciĂłn como se muestra en la figura.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area1 [imagen].
NOTA: Para calcular el ĂĄrea comprendida entre la funciĂłn y el eje đ?‘Ľ basta con integrar la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) y evaluarla en el intervalo [a, b], es decir: đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =
đ?‘?
đ?‘Ž
đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ
EJEMPLOS 1
1) Traza la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ + 1 y calcula el ĂĄrea en el intervalo 3 [0.5, 3.5]
2
Como se solicita calcular el área en el intervalo [0.5, 3.5], se puede trazar la gráfica dese x=0 hasta x=4 para abarcar el intervalo en el cual se desea calcular el área y poderla visualizar. Ahora se procede a calcular el área sombreada Referencia. Marcial Verónica.(2013). Area2[imagen].
Area = =[
3.5
0.5
3.5 1 3 1 4 2 3 3 2 2 ( x − 2x + 3x + 1 ) dx = x − x + x +x| 3 12 3 2 0.5
1 2 3 1 2 3 (3.5)4 − (3.5)3 + (3.5)2 + (3.5)] − [ (0.5)4 − (0.5)x 3 + (0.5)2 + (0.5)] 12 3 2 12 3 2
= (5.796) − (0.796) = 5 Area = 5 u2
En donde u2 = unidades cuadradas
2) Calcula el área de la función f(x) = x 3 en el intervalo [−2, 2]
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Area3[imagen].
Aplicando un método similar al anterior:
3
Area =
2 1 1 1 x 3 dx = x 4 | = [ (2)4 ] − [ (−2)4 ] = (8) − (8) = 0 4 4 4 −2 −2 2
El resultado obtenido no quiere decir que no exista ĂĄrea, lo que pasa es que la integral toma como negativas las ĂĄreas que quedan abajo del eje x y las suma con las ĂĄreas positivas que son las que quedan arriba del eje x, como se muestra en la siguiente figura:
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area4[imagen].
En el ejemplo que acabas de ver se aprecia claramente en la grĂĄfica de la funciĂłn que la porciĂłn de ĂĄrea que se encuentra debajo del eje x es igual a la porciĂłn de ĂĄrea que se encuentra arriba del eje, es por eso que el resultado obtenido fue cero. Debido a esta situaciĂłn es de gran importancia trazar la grĂĄfica para poder ver cĂłmo calcular el ĂĄrea total, en el caso del segundo ejemplo se debe calcular el ĂĄrea en dos partes, primero integrando de đ?‘Ľ = −2 a đ?‘Ľ = 0 y luego de đ?‘Ľ = 0 a đ?‘Ľ = 2 como se muestra a continuaciĂłn:
1 4 0 1 1 Area1 = x dx = x | = [ (0)4 ] − [ (−2)4 ] 4 4 4 −2 −2 = (0) − (8) = −8 0
Area2 =
2
0
3
1 4 2 1 1 x dx = x | = [ (2)4 ] − [ (0)4 ] 4 4 4 −2 = (8) − (0) = 8 3
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area5[imagen].
Ahora se suman las ĂĄreas pero todas se toman como positivas debido a que fĂsicamente no existen ĂĄreas negativas. đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = 8 + 8 = 16 đ?‘˘2
4
Es asĂ como se calcula el ĂĄrea bajo una curva y el eje x. Puedes consultar mĂĄs informaciĂłn sobre el cĂĄlculo de ĂĄreas en la siguiente liga: http://elblogdeinma.files.wordpress.com/2009/03/integral-definida.pdf Ahora aprenderĂĄs a calcular el ĂĄrea pero entre dos curvas.
5.2 Ă rea entre curvas Ya has aprendido cĂłmo calcular el ĂĄrea bajo una curva y el eje x, ahora aprenderĂĄs a calcular el ĂĄrea comprendida entre dos curvas. Para esto es importante que observes las siguientes grĂĄficas ya que te ayudarĂĄn a comprender cĂłmo calcular el ĂĄrea comprendida entre dos curvas:
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area6[imagen].
Como puedes ver en las grĂĄficas anteriores, para calcular el ĂĄrea entre las dos curvas se aplicĂł el siguiente procedimiento: a) Se obtuvo el ĂĄrea mĂĄs grande (que en este caso es đ?‘“(đ?‘Ľ))
b) Se calculĂł el ĂĄrea de menor tamaĂąo (en este caso la de đ?‘”(đ?‘Ľ))
c) Se restaron las dos ĂĄreas, el ĂĄrea mayor menos el ĂĄrea menor y el resultado dio el ĂĄrea entre las dos curvas.
De acuerdo a esto se puede establecer que
5
Para calcular el ĂĄrea entre dos curvas aplica la expresiĂłn:
Area =
b
a
[f(x) − g(x)] dx
En donde đ?‘“(đ?‘Ľ) representa la funciĂłn que queda arriba y đ?‘”(đ?‘Ľ) la funciĂłn que queda abajo NOTA: no siempre se van a llamar a las funciones đ?‘“(đ?‘Ľ) o đ?‘”(đ?‘Ľ), por lo que es conveniente trazar primero las grĂĄficas de las funciones para que sepas quĂŠ funciĂłn queda arriba y quĂŠ funciĂłn queda abajo y asĂ poder hacer la resta del ĂĄrea mayor menos la menor.
EJEMPLOS 1) Encuentra el ĂĄrea comprendida entre las funciones đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + 4 y [−3,3]
đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 1 en el intervalo de
Como ves en este caso las funciones no se nombraron ni con đ?‘“(đ?‘Ľ) ni đ?‘”(đ?‘Ľ), por lo que se trazan
primero las grĂĄficas para identificar el ĂĄrea a obtener, la cual se muestra sombreada. Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area7[imagen].
Se puede observar que la funciĂłn que queda arriba es la parĂĄbola, por lo que en la integral se restarĂĄ la funciĂłn de la parĂĄbola menos la funciĂłn de la recta y se integrarĂĄ de đ?‘Ľ = −3 a đ?‘Ľ = 3 aplicando el teorema fundamental del cĂĄlculo. đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =
3
[(đ?‘Ľ 2 + 4) − (−đ?‘Ľ + 1) ] đ?‘‘đ?‘Ľ =
−3
3
[đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 3] đ?‘‘đ?‘Ľ
−3
3 1 3 1 2 1 1 1 1 đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ| = [ (3)3 + (3)2 + 3(3)] − [ (−3)3 + (−3)2 + 3(−3)] 3 2 2 2 3 3 −3
6
đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =
45 27 − (− ) = 36 2 2
đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = 36 đ?‘˘2
En este ejemplo se proporcionaron los extremos del intervalo en el cual se calculĂł el ĂĄrea, no siempre va a ser asĂ.
Generalmente cuando las grĂĄficas se cruzan tĂş debes encontrar los puntos de cruce para poder evaluar la integral.
2) Encuentra el ĂĄrea comprendida entre las funciones đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + 1 y đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 4
Nota que en este caso no se proporciona el intervalo en el cual se va a calcular el ĂĄrea, por lo que primero hay que obtener los puntos de cruce para poder trazar las grĂĄficas.
Con las expresiones de las funciones se forma un sistema de ecuaciones y se resuelve. đ?‘Ś = đ?‘Ľ2 + 1 đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 4 Igualando las expresiones y resolviendo para x đ?‘Ľ 2 + 1 = 2đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ − 3 = 0 (đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ − 3) = 0 Por lo tanto đ?‘Ľ1 = −1 đ?‘Ś đ?‘Ľ2 = 3
Esto quiere decir que se debe calcular el ĂĄrea en el intervalo (−1, 3), por lo que se trazan las grĂĄficas en un intervalo mayor al que vamos a usar para poderlas visualizar bien, en la figura se muestra el ĂĄrea a calcular, como puedes ver las grĂĄficas se cruzan en đ?‘Ľ1 = −1 đ?‘Ś đ?‘Ľ2 = 3.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Area8[imagen].
7
Como en el intervalo donde nos interesa calcular el ĂĄrea la grĂĄfica de la recta queda arriba, entonces en la integral se harĂĄ la funciĂłn de la recta menos la funciĂłn de la parĂĄbola.
đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =
3
2
[(2đ?‘Ľ + 4) − (đ?‘Ľ + 1)] đ?‘‘đ?‘Ľ =
−1
3
(−đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 3)đ?‘‘đ?‘Ľ
−1
3 1 1 1 đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ| = [− (3)3 + (3)2 + 3(3)] − [− (−1)3 + (−1)2 + 3(−1)] 3 3 3 −1
5 32 5 đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = 9 − (− ) = 9 + = 3 3 3
32 2 đ?‘˘ 3 Es asĂ como se calcula el ĂĄrea entre dos curvas, se pueden proporcionar los lĂmites del intervalo o đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž =
bien, los debes obtener.
Antes de pasar a la siguiente aplicaciĂłn pon en prĂĄctica lo aprendido resolviendo la siguiente actividad. Analiza ahora otra aplicaciĂłn de las integrales.
5.3 VolĂşmenes Otra de las aplicaciones de la integral es en el cĂĄlculo de volĂşmenes de sĂłlidos de revoluciĂłn. ÂżQuĂŠ es un sĂłlido de revoluciĂłn?
Se llama sĂłlido de revoluciĂłn al cuerpo que se forma de hacer girar una figura plana sobre un eje llamado eje de revoluciĂłn o eje de giro.
8
En las siguientes figuras puedes ver un sólido de revolución que se forma al girar la figura plana alrededor del eje x
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Volumen1[imagen].
Referencia.
Andrea
Mellado.(2011).sólido
de
revolución[fotografía].
Recuperado
de
http://www.flickr.com/photos/8690379@N08/6062132383/in/photostream/
En la vida cotidiana te puedes encontrar con varios cuerpos que tienen volumen y que representan sólidos de revolución tal es el caso de un florero (como el ejemplo mostrado anteriormente, un vaso, una botella, una tuerca, etc. Para calcular el volumen del sólido que se genera se pueden tomar rectángulos de diferentes alturas que giren alrededor del eje x como se muestra a continuación:
9
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Volumen2 [imagen].
Como puedes ver al hacer girar un rectĂĄngulo se va a formar un disco, el cual se puede ver como si fuera un cilindro de una altura muy pequeĂąa, por lo tanto de puede calcular el volumen de todos los cilindros que conforman al sĂłlido de revoluciĂłn y al final sumarlos, tal y como se hizo con las sumas de Riemann al calcular las ĂĄreas. Se puede hacer una analogĂa entre el cilindro y el disco como se muestra en la figura, el radio del cilindro estarĂĄ dado por el valor de đ?‘“(đ?‘Ľ) y la altura del cilindro estarĂĄ dada por đ?‘‘đ?‘Ľ ya que se estĂĄn
tomando alturas demasiado pequeĂąas, por lo tanto si se sabe que el volumen del cilindro esta dado
por đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 â„Ž entonces se puede sustituir el radio por đ?‘“(đ?‘Ľ) y la altura por đ?‘‘đ?‘Ľ, quedando el volumen
de cada uno de los discos como đ?‘‰ = đ?œ‹đ?‘“(đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Volumen3 [imagen].
Como se tiene que calcular el volumen de un número infinito de discos y al final se tienen que sumar, se puede aplicar entonces el concepto de integral para hacer la sumatoria, es decir: El volumen de un sólido de revolución se calcula como: �=
đ?‘?
đ?‘Ž
đ?œ‹đ?‘“(đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ
En donde đ?‘“(đ?‘Ľ) representa el radio y đ?‘‘đ?‘Ľ representa la altura de cada cilindro
10
EJEMPLOS 1) Calcular el volumen del sĂłlido que se genera al girar la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1 alrededor del eje đ?‘Ľ, en el intervalo de đ?‘Ľ = 0 a đ?‘Ľ = 2
En la siguiente figura se muestra la grĂĄfica para ver la porciĂłn plana que va a girar, asĂ como el sĂłlido que se genera al girar la regiĂłn sobre el eje x
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Volumen4 [imagen].
Calculando el volumen:
�=
đ?‘?
đ?‘Ž
đ?œ‹đ?‘“(đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ‹
2
0
(đ?‘Ľ 2 + 1)2 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ‹
2
0
(đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 2 + 1) đ?‘‘đ?‘Ľ
2 2 2 1 1 1 5 2 3 đ?‘‰ = đ?œ‹ [ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ] = đ?œ‹ [[ (2)5 + (2)3 + (2)] − [ (0)5 + (0)3 + (0)]] 3 3 3 5 5 5 0
đ?‘‰ = đ?œ‹ [(
206 206 ) − 0] = đ?œ‹ đ?‘˘3 15 15
Donde đ?‘˘3 son unidades cĂşbicas (cm3, m3, ft3, đ?‘’đ?‘Ąđ?‘?. ) por tratarse de un volumen.
11
Las regiones planas no solamente pueden girar con respecto al eje đ?‘Ľ como en el ejemplo que acabas de ver, tambiĂŠn pueden girar con respecto al eje đ?‘Ś, en tal caso la integral se hace con respecto a đ?‘Ś y los lĂmites de integraciĂłn se toman en đ?‘Ś.
2) Calcular el volumen del sĂłlido que se genera al girar la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1 alrededor del eje đ?‘Ś, en el intervalo de đ?‘Ś = 1 a đ?‘Ś = 5
Como ahora la grĂĄfica va a girar en torno al eje y, se toma la regiĂłn entre la grĂĄfica y el eje y, la figura muestra la grĂĄfica de la funciĂłn y el volumen que se genera con dicho giro.
Referencia. Marcial VerĂłnica.(2013). Volumen5 [imagen].
Para calcular el volumen se debe integrar con respecto a đ?‘Ś, por lo tanto se deja la funciĂłn original en tĂŠrminos de đ?‘Ś en lugar de đ?‘Ľ y para la integral se toma el intervalo de đ?‘Ś
En la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1 se cambia đ?‘“(đ?‘Ľ) por đ?‘Ś para despejarla e integrarla
đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + 1, entonces đ?‘Ľ = √đ?‘Ś − 1
�=
5
1
2
đ?œ‹ (√đ?‘Ś − 1) đ?‘‘đ?‘Ś = đ?œ‹
5
1
(đ?‘Ś − 1) đ?‘‘đ?‘Ś
5 1 2 1 1 đ?‘‰ = đ?œ‹ [ đ?‘Ś − đ?‘Ś] = đ?œ‹ [[ (5)2 − 5] − [ (1)2 − 1]] 2 2 2 1
12
1 25 1 15 − 5) − ( − 1)] = đ?œ‹ [ − (− )] = 8đ?œ‹ đ?‘˘3 2 2 2 2 Como puedes ver no es complicado calcular el volumen de un sĂłlido de revoluciĂłn, solamente tienes đ?‘‰ = đ?œ‹ [(
que tener cuidado con respecto al giro en đ?‘Ľ o en đ?‘Ś para hacer la integral adecuada.
Para reforzar lo aprendido sobre ĂĄreas y sĂłlidos de revoluciĂłn consulta las siguientes direcciones electrĂłnicas:
http://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/4/7417.pdf
RECUERDA: 1. Cuando la regiĂłn gira en torno al eje đ?‘Ľ la integral se hace con respecto a đ?‘Ľ, y cuando gira con respecto al eje đ?‘Ś la integral se hace con respecto a đ?‘Ś
2.
Cuando la regiĂłn plana gira en torno al eje đ?‘Ľ el volumen encontrado es el que se genera entre la grĂĄfica y el eje đ?‘Ľ, y cuando gira en torno a đ?‘Ś el volumen encontrado es el que se genera entre la grĂĄfica y el eje đ?‘Ś
Analiza ahora una aplicaciĂłn mĂĄs de las integrales. En el siguiente link puedes consultar otro mĂŠtodo para calcular volĂşmenes. http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/index.htm
13
5.4 Valor promedio de una función Cuando estudiaste el tema de funciones al inicio del curso viste que varias situaciones de la vida cotidiana se pueden modelar con una función, pues bien, una más de las aplicaciones de la integral es obtener el valor promedio de una función. En muchos casos de la vida cotidiana cuando se realizan mediciones se tiene una cantidad infinita de valores, tal es el caso por ejemplo de un electrocardiograma, la velocidad de un automóvil durante su movimiento, las temperaturas en un determinado lugar en un día o en un periodo específico de tiempo, la altura que alcanza un avión desde que despega en una ciudad A hasta que aterriza en una ciudad B, la intensidad de la luz del día desde que va amaneciendo hasta que anochece, etc. Referencia imagen: Sman-13.(2011).latido[fotografía]. Recuperado de http://www.flickr.com/photos/42317677@N04/6082473796/
Analiza la siguiente gráfica que representa la velocidad de un ciclista en función del tiempo
Referencias. Marcial Verónica.(2013). Promedio1 [Fotografía e imagen].
14
Esta grĂĄfica estĂĄ compuesta por un valor infinito de nĂşmeros tanto en el eje đ?‘Ľ como en el eje đ?‘Ś,
aunque en el eje đ?‘Ľ no aparecen en la escala los valores intermedios entre los tiempos marcados (como1.03, 1.567,1.876, etc.) sabemos que existen y ahĂ estĂĄn, lo mismo sucede con las velocidades
La integral te ayuda a encontrar el promedio de esa cantidad infinita de nĂşmeros que representan la funciĂłn como se muestra en la siguiente figura.
Referencias. Marcial VerĂłnica.(2013). Promedio2 [imagen].
El valor promedio de una funciĂłn en un intervalo cerrado [a, b] se obtiene como: đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š =
1 đ?‘?−đ?‘Ž
đ?‘?
đ?‘Ž
đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ
EJEMPLO Calcula el valor promedio de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 1 en el intervalo [−1,2]
Conociendo los valores de a y b se usa la definiciĂłn:
đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š =
1 đ?‘?−đ?‘Ž
đ?‘?
đ?‘Ž
đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ =
1 2 − (−1)
2
(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 1) đ?‘‘đ?‘Ľ
−1
15
đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š =
2 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ] = [[ (2)3 − (2)2 + 2] − [ (−1)3 − (−1)2 + (−1)]] 2+1 3 2 3 3 2 3 2 −1
đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š =
11 1 9 3 1 8 [[ ] − [− ]] = [ ] = 6 3 2 2 3 3
Este es el valor promedio de la funciĂłn proporcionada en el intervalo [−1,2],
Puedes consultar mĂĄs informaciĂłn sobre el promedio de una funciĂłn
en la pĂĄgina:
http://colegiocristorey.com/nenuca/Matematicas/M_ciencias/M_2_C_3_eva_Barrow.pdf Para verificar que has comprendido el procedimiento resuelve los siguientes ejercicios. Analiza ahora un teorema importante en el cĂĄlculo integral.
5.4.1 Teorema del valor medio Este teorema es de gran importancia en el cĂĄlculo integral y establece lo siguiente: Si đ?‘“ es continua en [đ?‘Ž, đ?‘?] entonces existe un nĂşmero c en [đ?‘Ž, đ?‘?] tal que: đ?‘?
đ?‘Ž
đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘“ (đ?‘? )(đ?‘? − đ?‘Ž)
Donde đ?‘“ (đ?‘? ) = đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š
La interpretaciĂłn geomĂŠtrica de ĂŠste teorema indica que existe en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?] un nĂşmero đ?‘?, tal que el rectĂĄngulo de base [đ?‘Ž, đ?‘?] y altura đ?‘“ (đ?‘? ) = đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š tiene la misma ĂĄrea que la regiĂłn debajo de đ?‘“.
16
Dicho en otras palabras para que quede aĂşn mĂĄs claro, el teorema dice que đ?‘?
đ?‘Ž
đ?‘“(đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘? )(đ?‘? − đ?‘Ž) đ?‘?
Como ya estudiaste anteriormente, la integral âˆŤđ?‘Ž đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ representa el ĂĄrea bajo la curva, y đ?‘“(đ?‘? )(đ?‘? − đ?‘Ž) es el ĂĄrea de un rectĂĄngulo cuyo ancho es el intervalo y altura el valor promedio de la funciĂłn. El teorema establece que ambas ĂĄreas son iguales.
Analiza el ejemplo anterior para que verifiques lo que establece el teorema: Si calculas el ĂĄrea bajo la curva de la funciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 1 en el intervalo [−1,2] se tiene que:
2 1 3 1 2 1 1 1 1 đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 1) = [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ] = [ (2)3 − (2)2 + 2] − [ (−1)3 − (−1)2 + (−1)] 3 3 3 2 2 2 −1 −1 2
2
8 11 9 đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = [ ] − [− ] = đ?‘˘2 3 6 2
3
Para la funciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 1 en el intervalo [−1,2] se encontrĂł que đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š = 2, por lo tanto si se calcula đ?‘“ (đ?‘? )(đ?‘? − đ?‘Ž) = đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š (đ?‘? − đ?‘Ž) se tiene que: đ?‘“đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š (đ?‘? − đ?‘Ž) =
3 3 9 [2 − (−1)] = (3) = đ?‘˘2 2 2 2
Como puedes ver son los mismos valores como lo establece el teorema del valor medio, grĂĄficamente se tiene que:
17
Referencia. Marcial Verónica.(2013). Promedio3 [imagen].
Conclusiones Enhorabuena, has llegado al final de la unidad y con ello al final del curso a lo largo del cual aprendiste los conceptos básicos tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral. Aprendiste en esta unidad cómo calcular áreas de figuras irregulares mediante el concepto de la integral, así como calcular volúmenes de los llamados sólidos de revolución como los mostrados en la figura, de los cuales te puedes encontrar a menudo y que tal vez no habías puesto atención en ellos. José María Moreno García.(2010).Alfarería de Alejandro Brunete[fotografía]. Recuperado de http://www.flickr.com/photos/josemariamorenogarcia/5038621027/ Puedes observar a tu alrededor que te encontrarás con varios objetos considerados como sólidos de revolución como las botellas de los refrescos, los envases de latas, piezas mecánicas, etc. Analizaste algunas de las tantas aplicaciones que tiene la integral pero puedes encontrar muchas más 18
pues como has visto en las unidades anteriores el cálculo se aplica en diversas áreas, se te sugiere que para ampliar aún más tus conocimientos sobre este tema de las aplicaciones tú mismo investigues otras aplicaciones en áreas de tu interés, Al finalizar este curso cuentas con las nociones básicas de dónde te puedes encontrar con el cálculo en la vida cotidiana, pues has analizado algunos ejemplos que te muestran de manera clara las aplicaciones de los conceptos estudiados y tú mismo puedes identificar otros más en los que también puedes aplicar lo que hasta ahora has aprendido. Fuentes de contenido Puedes complementar los temas de esta unidad apoyándote en la siguiente bibliografía: James Stewart (2003), Cálculo diferencial e integral. México, International Thomson Editores Ron Larson, Robert P. Hostetler(2005); Cálculo diferencial e integral séptima edición, México, Mc Graw Hill Dennis G. Zill (1987), Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericano.
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Secretaría de Educación Coordinación General de Educación Dirección Ejecutiva de Planeación y Educación a Distancia Dirección de Educación a Distancia BACHILLERATO DIGITAL
EL CÁLCULO EN MI VIDA DIARIA Lista de Cotejo UNIDAD 5: ACTIVIDAD FINAL ESTUDIANTE: GRUPO:
En un archivo en formato word realiza la siguiente actividad indicando de manera clara y ordenada el procedimiento seguido para llegar al resultado. La siguiente figura muestra las dimensiones de un vaso de unicel, así como la recta AB que al hacerla girar en torno del eje Y dará origen al sólido de revolución que representa al vaso. 1) Aplicando lo aprendido en esta unidad calcula el volumen del vaso, el cual te quedará en cm3. 2) Sabiendo que 1 litro =1000 cm3 = 1000 ml, ¿de cuántos ml es el vaso?
SI 1. El documento está hecho en Word. 2. Muestra resultado correcto de la ecuación de la recta 3. Aplica correctamente fórmula para el cálculo del volumen aplicando la integral. 4. Muestra resultado correcto del volumen en cm3. 5. Muestra resultado del volumen en ml. 6. Indica desarrollo o explicación para resolver inciso 1. 7. Indica desarrollo o explicación para resolver inciso 2. 8. Utilizo editor de ecuaciones. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. SUBTOTAL 9 – 10 8 - 8.9 7 - 7.9 6 – 6.9 0 - 5.9
Muy bien. Bien. Regular. Suficiente. Insuficiente
NO
Peso % 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25
10
RETROALIMENTACIÓN DEL TUTOR: