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PRESENTACIÓN

Esta asignatura forma parte de las materias de segundo semestre del Bachillerato Digital, está relacionado con Habilidades Operativas y Reconociendo mis Habilidades para el estudio, del primer semestre.

El pensamiento lógico constituye el eje sobre el cual se han construido las matemáticas, las ciencias, la filosofía y la mayoría de los conocimientos académicos actuales, esta asignatura está diseñada para tener un acercamiento más formal a la lógica como disciplina, tiene sus raíces en la filosofía y las matemáticas, por lo cual harás un recorrido por los elementos básicos que la componen interdisciplinariamente, partiendo del uso de la lógica en su vida cotidiana y aplicando el análisis del razonamiento en diferentes áreas, particularmente en la geometría.

En cada unidad tendrás la guía de uno de los grandes pensadores de la humanidad, quien te conducirá por diferentes aspectos del pensamiento lógico, y lo más importante podrás aprender algunos elementos básicos del pensamiento

lógico, que sabrás empezar a utilizar en tu vida cotidiana y sobre todo, te darán la estructura de pensamiento, para poder estudiar cada una de tus asignaturas.

Seguramente, algunos elementos del pensamiento lógico los reconocerás como parte de tu pensamiento cotidiano, habrá otros que tendrás que comprender y ejercitar para que formen parte de tu forma de pensar.

Te invito a que disfrutes este curso, que ha sido diseñado especialmente para ti.

Unidad 1. Pensamiento en la vida cotidiana

Introducción En esta unidad conocerás los métodos de Deducción e Inducción, cómo funciona el cerebro y el proceso histórico del desarrollo del pensamiento a través de los grandes pensadores de la antigüedad; bases que te servirán para analizar, discernir y actuar con racionalidad en todos y cada uno de los aspectos de tu vida diaria.

Imagen 1

Propósito Al finalizar la unidad el alumno será competente para: Observar la necesidad humana e histórica del pensamiento lógico, reconociendo sus propias necesidades de estructurar correctamente el pensamiento y analizando las estructuras lógicas de algunos pensadores de la antigüedad griega, así valorará la importancia de la comunicación correcta y racional de nuestros pensamientos.

1.1

Necesidad humana del pensamiento lógico

Seguramente te has dado cuenta que en diversas situaciones generas nuevas ideas, concluyes, que, sin detenerte demasiado, estructuras pensamientos. Desde que somos muy pequeños concluimos y modificamos nuestro comportamiento. Por ejemplo, los bebés lloran porque están equipados instintivamente con ese mecanismo para sobrevivir.

Es una forma muy efectiva de hacerse notar para que acudan a su auxilio. Sin embargo, cualquiera que haya cuidado un bebé sabe que si acude de inmediato y lo carga, repitiendo esta acción varias veces, el menor se vuelve cada vez más demandante, pero si no necesita nada urgente y lo dejas llorar unos minutos sin cargarlo, en al menos dos ocasiones, el bebé modifica su comportamiento y llora solo cuando realmente lo necesita.

Cuando un hecho o circunstancia se repite, esperas que siga sucediendo de esa forma. Este tipo de razonamiento es muy elemental, incluso algunos animales pueden hacerlo; modifican su comportamiento según la repetición o ausencia de eventos. Concluimos y actuamos.

Se ha estudiado mucho sobre las formas de razonamiento de los bebés, sabemos que asocian ideas e infieren, es decir, concluyen ideas distintas a partir de otras ideas previas.

Los niños tienen ya el poder de reconocer la causa de los fenómenos, somos, racionalmente hablando, una combinación de memoria, estrategia e inventiva. Los bebés no nacen con la mente en blanco, ellos no solo están equipados de reflejos innatos, sino que pueden sumar, ver la coherencia en las formas. Reconocen

ciertos

conceptos

matemáticos. Bebés de 10 meses esperan ver un número de objetos según lo que se agrega a una caja, pero si se les hace trampa y hay mucho menos de los que se colocaron se inquietan, se enojan, buscan. Imagen 2

Observa el siguiente video: http://www.dailymotion.com/video/x6vw5u_pequenos-cientificos_school

Reflexiona sobre esta pregunta ¿Por qué los seres humanos necesitamos organizar el mundo por medio de nuestros pensamientos?

Comparte tus reflexiones con tus compañeros en el Foro Pensamiento lógico (Actividad en plataforma), en el tema de discusión Mis reflexiones.

De tal manera que el ser humano al formar parte del cosmos tiene la necesidad y responsabilidad de conocer las dinámicas de funcionamiento de cada sistema al que se incorpora, incluyendo su propio ser para conservar el equilibrio y convivencia saludable.

Conforme

crecemos

operaciones

realizamos

racionales

más

complejas. Sabemos que poseemos neuronas que establecen vínculos entre

ellas,

realizando

sinapsis

(espacio entre neuronas). Se añaden conexiones, conforme

miles nos

millones

desarrollamos

pensamos. Hay 1000 millones de conexiones neuronales en un niño, tiene más neuronas que estrellas en nuestra galaxia.

Imagen 3

Este fenómeno permite el aprendizaje, es decir, tenemos que aprender a hacer las cosas, los animales nacen equipados con ello y es suficiente y sobreviven. Los humanos necesitamos estimulación para activar nuestro cerebro. Esto nos permite desarrollar una variedad de posibilidades de mecanismos de comprensión de los fenómenos que nos rodean. Por ejemplo, podemos aprender diferentes idiomas, o diferentes códigos para interpretar el mundo y comunicar lo que pensamos. Conforme crecemos perdemos algunas capacidades, nos concentramos solo en lo que nos interesa o solo con lo que convivimos, lo que nos estimula.

Parece entonces, que para conocer el mundo no solo lo hacemos por medio de los sentidos, no generamos pensamientos solo por estimulación sensorial, de hecho

nuestras conclusiones se generan de forma racional. No podemos agotar el mundo mirándolo u oyéndolo, o sintiéndolo, etc. Nuestro más legítimo mecanismo es la razón.

Para lograr una mayor comprensión del tema, revisa la página: http://matediscretasu3.wordpress.com/category/logica-matematica/

En nuestra vida asumimos ideas como obvias, conocimientos que no necesitan probarse uno a uno, les damos por hecho por un proceso racional. A nadie le solicitamos que pruebe experimentalmente que todos los seres vivos mueren algún día, cuando la mente de un niño comprende eso, comienza a hacer inferencias. Es decir, un niño se aterra cuando deduce, a partir de la idea de que todos mueren algún día, que él algún día morirá o que la gente con la que convive morirá, necesariamente será así, no hay posibilidad de error. Está haciendo una deducción que cambiará su forma de mirarse a sí mismo y a los demás. Aquí se efectuó un tipo de razonamiento llamado deducción, pero el niño no sabe que hubo un proceso lógico por el cual concluyó, solo lo hace, le es natural.

Imagen 4

A lo largo de nuestra vida también aplicamos otros procesos lógicos para generar conclusiones. Cuando caemos en la cuenta de que cierto alimento nos hace daño, es porque en repetidas ocasiones lo consumimos y notamos que algo no está bien, eso nos lleva a concluir que; probablemente siempre que comamos tal cosa nos sentiremos mal. Este tipo de razonamiento le llamamos inducción, juntamos un número de casos que consideramos suficientes como para generar una conclusión probable, decimos probable porque nunca agotamos todos los casos

Imagen 5 Otra forma racional a partir de la cual generamos conclusiones lógicas es cuando observamos cualidades de algunos elementos que constituyen un conjunto. Por ejemplo, si alguien nota que Pedro, Juana, Rosalía y Mariana son licenciados en derecho, trabajan en el mismo bufet y los cuatro tienen un auto último modelo, después se entera que Juana recibe dinero como soborno traicionando a sus propios clientes, puede por analogía pensar que los otros 3 licenciados también se corrompen y así consiguen sus lujosos carros. La vida cotidiana nos lleva a sacar conclusiones, a veces nos equivocamos, como ya dijimos, lo hacemos de forma muy natural, no tenemos opción, solo inferimos para comprender lo que está pasando.

Con esto probamos que aplicamos pensamiento lógico desde que nacemos o antes y que lo hacemos siempre por el solo hecho de habitar el mundo, es una

necesidad, no solo de sobrevivencia de la especie, el cerebro se estimula y busca respuestas, estamos formados fisiológicamente para ello.

Revisa el siguiente fragmento de un documental de la BBC sobre el cerebro humano. http://www.youtube.com/watch?v=6w9Z1VDNUgo

Analizando las características de los hemisferios del cerebro observamos que las de la derecha corresponden a las femeninas y las de la izquierda a las masculinas.

Imagen 6 Entonces, todos realizamos estos procesos racionales diariamente aunque no estemos conscientes de ello, es decir, no sabemos que son pensamientos lógicos con nombre y apellido. Ahora, que les pongamos nombre y estudiemos las estructuras a partir de las cuales llegamos a ciertas conclusiones es culpa de otra capacidad humana, esa capacidad que nos permite pensar sobre él ¿cómo es que pensamos? Suena a una locura, pero lo hacemos, cuando alguien logra

darse cuenta que algo pasa, que usamos estructuras en nuestro pensamiento para generar conocimientos, analiza esos procesos, reflexiona sobre qué tan viables son, si nos acercan a conocimientos validos o no, si estamos construyendo el conocimiento del mundo de forma correcta. Es como si nos saliéramos de nosotros mismos y pudiéramos mirarnos a perspectiva. ¡Es fantástico! Es a lo que se dedica la ciencia y la filosofía. Pero, notemos que partimos de algo que hacemos todos y todos los días; pensamos y lo hacemos sobre una estructura lógica.

Ahora que ya conoces el tema te invito a realizar una investigación breve y colocarla en el Foro Pensamiento lógico (Actividad en plataforma), en el tema de discusión Mis investigaciones, puedes complementar la participación de tus compañeros. Los puntos a investigar son: Definición de Pensamiento Lógico, sus elementos, qué es una premisa y una inferencia, tipos de proposiciones, cuál es el método deductivo y cuál el inductivo; además un ejemplo de cada método.

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

1.2

Necesidad histórica del pensamiento lógico

Desde la antigüedad, desde la aparición de las primeras culturas es que se está por la búsqueda del conocimiento. Todos los seres humanos nos hacemos preguntas y buscamos un sistema para darles respuestas.

Pensemos en los griegos, son una cultura a la que se le responsabiliza históricamente de este tipo de reflexiones, es decir, se preguntaron sobre el origen

del cosmos, pero también pensaron en cuál sería la mejor forma de responder a estas preguntas. Es con ellos que distingue mito de logos. La cultura griega tuvo, desde la antigüedad, un sistema mitológico para explicarse el mundo. Todo fenómeno real, humano o natural, queda justificado desde los símbolos que se expresan por medio de los dioses y sus relaciones. Pero es, a partir de un señor llamado Tales de Mileto, que podemos ver un esfuerzo por distinguir esta forma mítica de comprensión del mundo de una forma racional (logos) de acercarnos a la realidad; se habla en términos de lo que se puede probar físicamente y se pueda respaldar racionalmente; lo que se puede deducir o inferir.

Podemos ver que hay una necesidad histórica por comprender el mundo y de hacerlo a partir de pensamientos coherentes, es decir, lógicos. Es así que, debes saber que en Grecia surge una lista de filósofos que se preguntan sobre el origen del cosmos, en griego le decían “arché”. Observa el siguiente cuadro para que puedas notar el esfuerzo racional que hicieron estos primeros filósofos.

PENSADOR

ARCHÉ

RAZONAMIENTO

(Origen del cosmos) Tales de Mileto 639-547 a.C

Agua

Todos los seres vivos necesitamos del agua. El elemento original debe estar presente en todo. El agua debe ser el elemento original

Imagen 7 Anaximandro 610-546 a.C

“Apeiron”(lo indeterminado)

Todo lo que es determinado (materia) debe estar sustentado por algo indeterminado, algo que es siempre y sostiene sin modificarse todo lo que cambia.

Imagen 8 Anaxímenes 585-524 a.C

Aire

Todo está constituido esencialmente de aire. Las cosas se conforman según rarefacción o condensación del mismo.

Imagen 9 Empédocles 495-435 a.C

elementos

tierra, fuego)

(agua,

aire,

Estos cuatro elementos según amor y odio se unen y se separan. Esto explica el cambio y lo permanente en el mundo.

Imagen 10 Demócrito 460-370 a.C

Átomos

Todo lo que existe está constituido por átomos. Los átomos (elementos indivisibles) son lo que es, pero necesitan lo que no es (el vacio) para poder moverse, cambiar, ensamblarse. Todo lo que existe se mueve según el comportamiento de estos átomos.

Imagen 11 Pitágoras 582-507 a.C

Números

Todos los objetos tienen una figura. Las figuras corresponden a un valor numérico por su forma. Así, sin los números no existirían las cosas

Imagen 12 Heráclito 535-484 a.C

Los opuestos

Todo lo que existe cambia. Todo lo que existe está en movimiento. Este movimiento lo mantiene o genera la lucha entre opuestos. Este devenir constante hace que las cosas cambien en todo momento, por eso “somos y no somos al mismo tiempo”

Imagen 13 Parménides nace aprox. 530 a.C

El Ser

Todas las cosas que existen no pueden surgir de la nada Las cosas que existen surgen de algo que es constante, eterno, uno: el Ser Todo lo que existe surge del Ser

Imagen 14

Observa este documental, te ayudará a comprender el interés de estos filósofos por el origen y de dónde surge esta distinción entre mito y logos. http://www.youtube.com/watch?v=42KKWZqkM-M&feature=related Todos estos pensadores, llamados presocráticos –que vivieron y pensaron antes de Sócrates (otro griego que le gustaba pensar)- generaban sus pensamientos desde la pura deducción, el pensamiento racional les daba la posibilidad de la comprensión de lo que acontece, de lo que ellos concebían como cosmos. Estos

filósofos no podían atender solo a la información que emanaba de sus sentidos, de hecho desconfiaban mucho de ellos.

Si miramos con cuidado vemos una especie de obsesión por encontrar una razón única que diera origen al cosmos, y hay algunos que insistieron en algo corpóreo, material, es decir, se reinterpretan los principios del pensamiento alejándose de los mitos. Estos pensadores eran todos geómetras, matemáticos. Partían de la realidad pero sus conclusiones se generan por deducción.

Razonaron tal cual lo hacemos nosotros, si Tales de Mileto hablaba del agua, es de la misma agua que nosotros experimentamos hoy día y podemos concluir cosas a partir de la experiencia misma del agua. Este tipo de razonamientos nos une a pesar de la diferencia de cultura y de los tiempos. Lo podemos comprender, la estructura del razonamiento es la misma. Anaximandro insistió en algo indeterminado, el “apeiron”, algo que no debía ser físicamente perceptible, pero que fundamenta todo lo que existe. Anaxímenes estuvo de acuerdo solo que agregó que había algo esencial y material; no era el agua sino el aire. Por eso, decía, que nuestra última exhalación (pneuma) al morir era la salida de nuestra alma.

Imagen 15 Pensemos

Pitágoras,

sujeto

que

explicaba el funcionamiento de todo lo que existe a partir de las relaciones numéricas que encuentra en la realidad. Solo tienes que mirar algunas cosas y verás que efectivamente todo puede

interpretarse

desde

geometría.

Pitágoras ha sido siempre vigente; la ciencia

hoy día se legitima con el lenguaje matemático que no es más que una gran deducción, son solo formas del pensamiento que nos permiten distinguir las razones coherentes dentro del caos que aparentemente reina en lo que existe.

Euclides (325-265 a.C) es un matemático que debe mucho a Pitágoras y otros geómetras, genera también, todo un sistema deductivo que se torna fundamental para el desarrollo de la física, la astronomía, la química, etc. Él no está en este grupo porque no buscó el origen del cosmos, pero usa la deducción matemática. De él te enterarás en otra unidad.

Imagen 16 Empédocles

hace

una

especie de síntesis de lo que se pensó antes de él, junta todos los elementos y asegura que las relaciones de los cuatro (agua, aire, tierra y fuego) generan todo lo que existe. Para él existe cierta mecánica que relaciona a estos elementos; se unen según el amor y se repelen según el odio. Esto hace pensar en la materia y antimateria de la que hablan los físicos astrónomos hoy día.

Demócrito es algo sorprendente, hablando de átomos hace 2,400 años y no porque los pudiera ver sino porque lo deduce racionalmente. Consideró que la materia no puede crearse a sí misma y que no puede surgir de algo inmaterial, es por eso que habló de partículas indivisibles que se movían como vórtices o remolinos, sus uniones o separaciones generan los objetos como los vemos. También aseguraba que nuestras experiencias sensoriales dependían de átomos

especialmente diseñados para ello en nuestro cuerpo. Parece estar hablando de las neuronas que vimos al inicio ¡Increíble!

Dejamos al final a Heráclito y Parménides porque con ellos podemos ver claramente una discusión que se torna fundamental para el pensamiento lógico.

1.3

Heráclito. “Somos y no somos”

Heráclito en su búsqueda del “arche” deduce que el fuego tiene que ver con todo lo que existe, parece que le concibe como una especie de combustible en el cosmos entero. Pero lo realmente importante en él es que reflexiona mucho sobre la cuestión del movimiento. Se da cuenta que todo lo que existe está sometido al devenir, que incluso, lo que parece estar estático está en constante movimiento. Este movimiento lo genera una lucha eterna entre opuestos. Todo lo que existe depende de esta lucha, es como dos fuerzas que tiran en sentido contrario y la rigidez provoca algo en equilibrio, en armonía, como una balanza. Si existe el día es porque existe la noche, si existe la vida es porque existe la muerte, las estaciones del año, el hombre la mujer, etc. Es decir, estamos hablando del Ser y del no Ser, son opuestos pero depende uno del otro y eso es la existencia.

Así Heráclito, suelta acertijos extraños que había que interpretar. Estaba un poco loco, se apartaba de la gente, lo acusan de misántropo (repulsión a la especie humana) hablaba siempre extraño, creía que el conocimiento era una cuestión de unos cuantos, le apodaban el obscuro y no era moreno.

Le atribuyen frases como estas:

“Nadie se baña dos veces en el mismo río” “Somos y no somos al mismo tiempo”

Interpreta las frases de Heráclito según lo expuesto y compártelo con tus compañeros en el foro de Avisos.

Tal vez consideraron que la primera frase se refiere justo a su idea del movimiento, una imagen que lo explica perfecto es un rio, el agua está en un constante fluir, igual que el tiempo y la materia. Cuando nos bañamos en un rio el agua no es la misma incluso al terminar de entrar en él. Esa frase es una forma de decir que todo está en movimiento, tanto que es posible que no lo notemos. Ahora, la segunda frase: “somos y no somos al mismo tiempo” puede parecer un contrasentido, ¿cómo algo puede ser y no ser al mismo tiempo? Sin embargo, lo que Heráclito trata de decir es que el movimiento es tal que lo que somos en un instante ya no es lo mismo de lo que somos en el siguiente. No hay manera de detener el tiempo y su movimiento, no podemos permanecer estáticos, se niega a cada instante nuestro ser para dar paso a la afirmación del mismo. También podría interpretarse de otra manera; si tienes 20 años, puedes declarar que eres joven y no eres viejo. ¿Tú qué opinas? Imagen 17

Pero va a llegar Parménides y exigirá que se hable con coherencia lógica.

1.4

Parménides. “Somos o no somos”

Parménides genera un sistema racional para explicar la naturaleza de lo que existe y su origen. Él parte de una idea: Todo lo que existe debe tener un origen. De la nada, nada puede surgir. Para que lo que existe se mueva y se transforme es necesario, según Parménides, que haya algo inmóvil, algo que sirva como un piso constante, que no esté sujeto a los cambios propios de la materia, es decir, que no muera ni nazca. Ese algo que es inmóvil permite que lo que se mueve se mueva a eso le llamó el Ser.

Ese Ser (se escribe con mayúscula porque, como verás, es general se refiere a una especie de síntesis esencial de todo lo que existe) es eterno, es inmóvil, es una unidad.

Aquí es donde comienza la controversia Heráclito vs. Parménides. Heráclito habla de la lucha de contrarios, es decir, el ser es negado, transformado continuamente y en esa medida nace una nueva afirmación del Ser. Todo esto es la consecuencia racional de su idea de que todo está en movimiento. Para Parménides el no Ser no es y punto, nada puede surgir de ahí y el Ser Es. Sí hay movimiento pero este surge del Ser no hay necesidad de su negación. Es por eso que Parménides asegura que debemos decir: “Somos o no somos” no puede haber una “y” entre dos cosas contrarias. Por ejemplo, es como si en la vida cotidiana dijéramos:

Pedro le va a las Chivas y al América José es cristiano y es ateo María estaba en su casa y conmigo en el cine

Todas estas frases nos harían dudar de la salud mental de cualquiera que las emite. Lo tachamos de incoherente, de ilógico. De eso tachó Parménides a Heráclito; de falto de lógica, de falto de razón.

Las frases anteriores suenan mejor si decimos: Pedro le va a las Chivas o al América José es cristiano o es ateo María estaba en su caso o conmigo en el cine

Vemos que una letra cambia el sentido de lo que se dice. La “y” junta ideas que parecen contrarias y nos parece ilógico y la “o” las separa teniendo así más coherencia. De eso habla Parménides, de buscar la forma más coherente de comunicación de nuestros pensamientos.

Defendiendo un poco a Heráclito debemos decir que su filosofía no es nada trivial ni torpe, incluso ha tenido uso en

diferentes

sistemas

filosóficos

que

permiten

comprender fenómenos humanos y naturales con mucho éxito (le llaman dialéctica).

Pero esta discusión que sostiene Parménides con Heráclito genera algo, que para la construcción del conocimiento se vuelve fundamental, la importancia de comunicar los conocimientos con un lenguaje coherente. Por eso, algunos dicen que es Parménides el padre de la lógica, esta disciplina que se dedica a estudiar las estructuras correctas del pensamiento.

De tal manera, podemos notar cómo el pensamiento lógico es una necesidad humana. Como vimos al inicio, pensar es una condición fisiológica y una capacidad que emana de nuestra necesidad natural de sobrevivencia y de comprender el mundo. Todos buscamos coherencia en nuestros pensamientos y generamos conclusiones. Los primeros filósofos se dieron cuenta de esta necesidad para poder acercarnos a develar los misterios de la creación y sus mecanismos, decidieron pensar sobre un sistema racional que los alejara del mito y los acercara al logos (la palabra, la razón).

Reflexión: ¿Consideras que con los elementos aprendidos puedes lograr un pensamiento lógico, un pensamiento racional?; ¿Acaso es importante el conocimiento que nos regalan los libros y demás medios educativos? ¡Qué tan importante puede ser una alimentación balanceada que proporciones a nuestro cuerpo y a nuestro cerebro en especial los minerales y nutrientes para su óptimo funcionamiento?

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

Resumen Pensamiento Lógico en la Vida Cotidiana

Métodos

Inductivo

Pensadores Presocráticos

Deductivo

De lo particular

De lo general a

a lo general

lo particular

Referencias De consulta Sitios de internet Discrete Mathematics Recuperado de: http://matediscretasu3.wordpress.com/category/logica-matematica/ Yahoo! Respuestas Recuperado de: http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080923124324AAImDI Y El Blog del Profe Alex Recuperado de: http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logicomatematico.html Grupo Once Recuperado de: http://once-marketing.blogspot.mx/2011/10/pensamiento-logico-yanalogico.html

Unidad 2. Analizando el pensamiento lógico en la geometría y sus orígenes

Introducción En esta unidad, conocerás los conceptos básicos que fundamentan a la geometría desde el punto de vista lógico, esto lo harás a partir del trabajo que realizaron los griegos hace 2500 años aproximadamente, en particular conocerás a Euclides, quien escribió de forma sistemática lo que se había hecho de geometría desde doscientos o trescientos años antes de que naciera hasta su época, Euclides utilizó el método deductivo, construyó la geometría a partir de definiciones, proposiciones básicas y proposiciones que se podían deducir de las definiciones y las proposiciones básicas, este método es conocido como axiomático.

Propósito Al finalizar la unidad el alumno será competente para:

Identificar algunos axiomas básicos de la geometría de Euclides y podrá analizar demostraciones sencillas que sigan esta axiomática, siguiendo los pasos lógicos de la misma, para desarrollar su pensamiento lógico y comprender los elementos básicos de la geometría euclidiana.

Temario

2.1 Euclides. Su necesidad de pensamiento lógico

Esta unidad va a ser presentada por Euclides, matemático griego, conocido como el padre de la geometría, él será tu guía por el estudio de esta unidad, así que te dejamos

directamente

con

él,

través

del

video

http://www.youtube.com/watch?v=Nl6qCJJkhWA o de la siguiente presentación escrita.

Imagen 18

Imagen 19

Imagen 18

Los griegos, propusieron que los hechos matemáticos deben ser establecidos por razonamientos deductivos en donde, las conclusiones matemáticas deben ser confirmadas mediante una demostración lógica y no por experimentación.

En la geometría formal no sólo importan las relaciones entre objetos geométricos, sino sus propiedades, es decir las características especiales que los distinguen de los demás y que pueden deducirse de las relaciones. Es decir, por medio de un análisis lógico se pueden obtener resultados.

Los griegos fueron muy cuidadosos en preguntarse cuál debía ser el punto de partida para las deducciones geométricas, entonces se dieron cuenta que había algunas ideas empíricas que no se pueden demostrar y que son la base de cualquier demostración geométrica.

Imagen 20 El haber sistematizado la geometría, que también sirvió de base para la sistematización de la aritmética fue lo que hizo que los griegos tuvieran un avance importante en matemáticas, lograron llegar más allá que cualquier otra cultura precedente y sentaron las bases para el conocimiento actual.

Las figuras geométricas principales son: el punto, la recta y el plano. Estas nociones son intuitivas y se pueden conocer mediante observaciones empíricas.

De hecho, cada uno de los movimientos que hacemos con nuestro cuerpo, requiere de una intuición geométrica, es decir nuestro cuerpo ha tenido que

aprender cómo es el espacio en que vivimos y cómo movernos de la mejor forma posible.

Imagen 21

Por ejemplo si ves a cualquier jugador de fútbol tratando de perseguir una pelota se dirige hacia donde cree que estará dentro de un momento, eso requiere que imagine cuál será su trayectoria, eso es intuición geométrica.

Imagen 22

O cuando caminamos de un lugar a otro, tratamos de que el camino sea lo más directo posible, esto es, casi siempre, caminando en línea recta, salvo por los obstáculos que tengamos que esquivar. Si no tuviéramos intuición geométrica la trayectoria que seguiríamos para ir de un lugar a otro sería muy diferente.

Todo lo que el ser humano sabe de geometría en la actualidad, no habría sido posible únicamente con la intuición o con una forma experimental de conocerla, fue necesario que la geometría se desarrollara como ciencia para poder llegar a dónde estamos. Como ya se mencionó, en el desarrollo formal de la geometría, los griegos tuvieron mucho que ver.

2.2 Definiciones, axiomas, postulados y teoremas

Seguramente, conoces muchos términos de geometría de manera empírica, los aplicas todos los días para moverte en el mundo, para tomar medidas de longitudes o superficies, lo que veremos en esta sección es una introducción a la geometría formal, a aquella que desarrollaron los griegos y que sirve de base para la construcción matemática de nuestros días.

Imagen 23

El libro de los Elementos de Euclides está basado en: definiciones, las cuales son enunciados que describen de manera precisa lo que se está definiendo, en muchos casos se hace a través de sus propiedades y éstas deben ser tales que al conjuntarlas únicamente describan lo que se está definiendo y nada más.

Los axiomas son proposiciones evidentes que no requieren demostración, son enunciados que es muy claro que son verdaderos.

Los postulados son proposiciones que es evidente que son verdaderas, no requieren demostración, pero no son tan evidentes como los axiomas.

Por último, están los teoremas que son proposiciones que no es tan evidente que son verdaderas, éstas requieren ser demostradas a partir de definiciones, axiomas, postulados u otros teoremas previamente demostrados.

El sistema geométrico puede verse de la siguiente manera:

Imagen 24

En la siguiente sección, trabajaremos algunos enunciados del libro de los Elementos de Euclides, tanto definiciones, como postulados y proposiciones (teoremas).

Rectas, segmentos y semi-rectas

Por ahora, iniciaremos con algunos ejemplos de definiciones de rectas, segmentos y semi-rectas, para que comiences a familiarizarte con el pensamiento lógico que se utiliza en la geometría.

Comencemos pues con las definiciones más modernas de los elementos básicos de la geometría.

Se llama segmento de recta al pedazo que se encuentra delimitado por dos puntos A y B, como puedes ver inicia en un punto y termina en otro, vamos a usar letras mayúsculas para decir en donde inicia y termina respectivamente, la forma de denotar el segmento es: AB (con una raya arriba del nombre de los puntos.

Imagen 25

Cuando se tiene un pedazo de recta que en uno de sus extremos está delimitado, pero en el otro no, le llamaremos semi-recta o rayo, como la figura que aparece a continuación, aquí puede decirse que inicia en C, pero aunque pasa por D no termina ahí, sigue infinitamente, aunque como el curso si tiene límites no se puede representar completamente aquí.

Imagen 26

El último de estos elementos se obtiene cuando el objeto no está delimitado por ninguno de los lados, simplemente la llamaremos recta. También con dos puntos está perfectamente definida una recta y se extiende infinitamente en ambos sentidos.

Imagen 27

En varias actividades del curso vamos a utilizar un programa para computadora que se llama Geogebra, mismo que deberás instalar en tu computadora. Es gratuito

puedes

bajar

directamente

Internet

página:

http://www.geogebra.org/cms/ . Para que el programa funcione debes tener Java, en

caso

tenerlo

puedes

bajarlo

también

en:

http://www.java.com/es/download/

Una vez que hayas instalado el programa que se indica con anterioridad ejercita la elaboración de rectas, segmentos y semi-rectas, apoyarte del documento GEOGEBRA: Elaboración de rectas, segmentos y semi-rectas, que se muestra a continuación:

GEOGEBRA: Elaboración de rectas, segmentos y semi-rectas Ingresa a GeoGebra en tu computadora y ejercita la elaboración de rectas, segmentos y semi-rectas. Vas a ver una pantalla como la que aparece a continuación, si en donde está la flecha no aparece la palabra Spanish, lo primero que debes hacer es seleccionarla.

Debes seleccionar el botón que dice Descarga, te llevará a otra página, en la cual debes seleccionar la opción Webstart, para que puedas tener acceso al programa desde tu computadora, estés o no conectado a internet. Durante la instalación te pide tu correo electrónico (es opcional darlo o no).

Una vez instalado, vas a ir aprendiendo a usarlo, lo primero es que reconozcas cómo se hacen: segmentos, rectas y semi-rectas.

Hay dos pasos que siempre vas a realizar cuando abras el programa:

1. Selecciona la opción Vista del menú y elige la opción ejes (siempre éstos van a desaparecer), no los necesitaremos en lo que vamos a realizar en esta asignatura. 2. Vuelve a seleccionar la opción Vista del menú y ahora elige la opción vista algebraica, el efecto es que te quedará una página en blanco, sólo tendrás visibles los menús. Primero vas a construir rectas, para hacerlo selecciona el tercer cuadrito del menú gráfico (en el que hay dos puntos y una recta pasando por ellos) Ya que lo seleccionaste, da clic con el botón izquierdo del mouse en cualquier punto de la parte blanca de la pantalla, luego mueve el mouse hacia otro punto y da clic nuevamente. Verás que aparece una recta que pasa por los dos puntos que marcaste.

Para construir segmentos y semi-rectas se hace de forma muy similar, para eso en la parte inferior derecha del cuadrito de rectas del menú gráfico da clic y se verá como en la siguiente pantalla, en la que se despliegan otras opciones, una de las cuales es segmento y la otra semi-recta.

Si eliges segmento, marcando dos puntos en la parte blanca de la pantalla, podrás

dibujar un segmento.

Si vuelves a desplegar las opciones del menú gráfico y ahora eliges semi-recta, también seleccionando dos puntos podrás dibujar una semi-recta, observa que siempre el primer punto que seleccionas es el que delimita la semi-recta.

Perpendicularidad

Cuando dos rectas al intersecarse forman un ángulo de 90º se dice que éstas son perpendiculares

Las rectas perpendiculares son muy importantes en geometría, son la base para hacer muchas construcciones, ya sea para trazar figuras como un cuadrado o un rectángulo o para hallar la altura de un triángulo, entre otras cosas.

Si se tiene una recta fija hay muchísimas rectas perpendiculares a ella, como puede verse en la siguiente figura:

Imagen 28

Por lo tanto, siempre que se quiera trazar una recta perpendicular hay que decir por cual punto pasa y a qué recta debe ser perpendicular. El símbolo para indicar que dos rectas son perpendiculares es una t al revés 

Paralelismo

Otras rectas que son tan importantes como las perpendiculares son las paralelas.

A continuación, se presentan parejas de rectas paralelas (se llama así a las rectas que no se cortan aunque se extiendan infinitamente).

Imagen 29

Ejercita el trazado de perpendiculares y paralelas en Geogebra, apóyate en el documento apoyarte del documento GEOGEBRA: Perpendiculares y paralelas, que se muestra a continuación:

GEOGEBRA: Perpendiculares y paralelas

Trazar perpendiculares y paralelas en Geogebra es muy sencillo, aunque trazarlas a mano con Geogebra puede resultar poco exacto, por eso hay una forma precisa de trazar perpendiculares y también paralelas, si seleccionas en el cuarto cuadrito del menú gráfico la esquina inferior derecha, verás que se despliega un menú,

entre las opciones está trazar rectas paralelas o perpendiculares, como se ve a continuación.

Es importante que tomes en cuenta que para trazar paralelas o perpendiculares debes tener una recta previamente dibujada que será tu referencia y un punto por el cual quieres que pase.

Así que primero debes elegir en el cuadrito del menú gráfico si quieres paralela o perpendicular, seleccionar un punto por el que quieres que pase y luego seleccionar la recta a la que quieres que sea paralela o perpendicular respectivamente.

Por ejemplo, para trazar un cuadrado, puedes comenzar trazando un segmento, después elegir la opción perpendicular y seleccionar uno de los puntos extremos del segmento y el segmento, después el otro punto extremo del segmento y el

segmento para trazar la otra perpendicular, la figura hasta este momento se vería así:

Después para trasladar la distancia AB a las rectas perpendiculares, se puede usar la opción circunferencia dados sus centro y uno de sus puntos, que se encuentra en el sexto cuadrito del menú.

Así que con esta opción, primero se seleccionar el punto A y luego el punto B se obtiene la siguiente figura:

Si se marca el punto de intersección de la circunferencia con la recta perpendicular que pasa por el punto A, se obtiene otro de los vértices del

cuadrado y si se traza la circunferencia con centro B y que pasa por B y se toma el punto de intersección de la circunferencia con la perpendicular que pasa por el punto B se obtiene el cuarto vértice del cuadrado, la figura completa queda de la siguiente manera:

ABCD es un cuadrado y aunque muevas los puntos A o B para hacerlo más grande o más pequeño, sigue siendo un cuadrado, pues fue construido con las propiedades específicas de un cuadrado. La construcción anterior puedes realizarla en Geogebra, ya que te servirá de práctica para las actividades que deberás realizar en esta unidad.

Ahora que ya conoces cómo hacer los trazos básicos con Geogebra, estás listo para conocer cómo se Euclides construyó el sistema geométrico.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

2.3 Algunos ejemplos del libro de los Elementos de Euclides

Lo que hemos visto hasta aquí de lo que es un punto, una recta, Euclides lo definió por primera vez en el libro de los Elementos,

A continuación Euclides te mostrará algunas definiciones directas de su libro, como podrás ver algunas son muy abstractas, otras corresponden a las definiciones que usamos cotidianamente. Él volverá a guiarte, para que conozcas cómo funciona el sistema deductivo en geometría. Imagen 18 Los trece libros que escribí están estructurados de la siguiente manera: en el primer libro, presento una serie de definiciones, cinco postulados (que serán los únicos que utilizaré a los largo de los

libros),

algunas

nociones

comunes,

que

podrían

considerarse también una especie de postulados y algunas proposiciones,

que

corresponderían

los

teoremas

construcciones, que se justifican a partir de las definiciones, postulados o proposiciones demostradas anteriormente. Muchas de las definiciones, seguramente te serán familiares, te presento aquí algunas definiciones, los postulados que enuncié y algunas proposiciones y su deducción lógica. Si quieres conocer más de mis libros, puedes consultarlos en: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

Definición 1 Un punto es lo que no tiene partes: Cuando en la actualidad pensamos en un punto, lo asociamos con una pequeña “mancha” o círculo pequeñísimo, pintado en un papel o el pizarrón, sin embargo, aunque así se representa, un punto es más pequeño que eso, de hecho un punto en el sentido euclidiano ni siquiera sería visible, sería la parte más pequeña de la que está compuesta

una línea, realmente trata de imaginar algo que no tiene partes y eso es un punto, como lo define Euclides.

Definición 2 Una línea es una longitud sin anchura: Para empezar, es importante definir que hay líneas rectas o curvas, pero al igual que el punto, lo que representamos como línea en la actualidad, cuando la dibujamos, ya tiene anchura, aunque sea muy delgada, así que una longitud sin anchura es un concepto ideal, que no se puede representar como tal.

Definición 3 Los extremos de una línea son puntos

Definición 4: Una línea recta es aquella que yace por igual, respecto de los puntos que están en ella. Aunque esta definición puede ser clara, se ha perfeccionado con los años, utilizando algunas otras propiedades para definir qué es una recta y diferenciando lo que son segmento, semi-recta y recta, como se mostró en la sección anterior.

Definición 10: Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.

Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.

Definición 15: Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas

que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16: Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17: Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Definición 18: Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.

Definición 20: De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales.

Definición 21: De los triángulos, el triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.

Definición 23: Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Ahora te presento los cinco postulados del Libro I de los Elementos, recuerda que un postulado, es una proposición que no necesita ser demostrada, que se le considera verdadera, aunque no necesariamente sea muy evidente.

Postulado 1: Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta. Intuitivamente se ve que es así, ¿no? Sin embargo este enunciado no necesita demostración, si dibujas dos puntos en una hoja ¿cuántas rectas pueden pasar por los dos puntos a la vez? Efectivamente, sólo una recta, eso es lo que dice este postulado, es muy intuitivo ¿verdad?, esto es válido si los trazos los hacemos sobre un plano, no necesariamente ocurrirá si los trazos los hacemos sobre un balón u otra superficie distinta. La geometría que estudia las propiedades del plano se conoce como geometría euclidiana, que es aquella que estudiaremos en esta asignatura, si las figuras las trazáramos sobre una superficie diferente a un plano, esto daría lugar a otras geometrías, es bueno que sepas que existen otras geometrías, como la geometría de Riemann o la geometría hiperbólica.

Postulado 2: Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado. Postulado 3: Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados. Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales. Postulado 5: Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Imagen 30

En la figura anterior, se puede ver que los ángulos que están marcados sumados miden menos que 180º y las rectas CD y AB se cortarán al prolongarse del mismo lado en el que están los ángulos marcados, eso es lo que dice ese postulado.

El quinto postulado de Euclides es muy importante, ha habido diferentes formulaciones, una de ellas, es que dada una recta y un punto exterior a ella, sólo hay una recta paralela que pasa por ese punto, ese enunciado parece evidente, si los trazos se hacen sobre un plano, pero si se hacen sobre una esfera u otra superficie distinta, ya no es tan evidente, de hecho, la negación de ese postulado da origen a las geometrías no euclidianas.

A continuación veremos algunas proposiciones que se deducen de las definiciones y postulados, presentados anteriormente.

Las demostraciones de las proposiciones 1 y 15 las puedes visualizar en el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=x-BKJYaTHik

Proposición 1: Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado. Esta construcción se va a realizar, utilizando algunas definiciones que se encuentran en el Libro I de los Elementos. Se construye un segmento AB.

Imagen 31

Y se construye una circunferencia que tenga centro A y radio AB

Imagen 32

Después se construye una circunferencia que tenga centro B y radio AB

Imagen 33

Las dos circunferencias anteriores se intersecan en dos puntos C y D Si se une A con C y B con C, se forma un triángulo, cuyos lados son iguales, por lo tanto es un triángulo equilátero.

Imagen 34

La demostración de que es un triángulo equilátero se tiene en que AB y AC son radios de la primera circunferencia, por lo tanto AB  AC , usando las definiciones 15 y 16 del libro I de los Elementos. Por otro lado, BA y BC son radios de la segunda circunferencia, por lo tanto BA  BC , pero como AB  BA entonces AB  AC  BC , por lo tanto se trata de

un triángulo equilátero, de acuerdo a la definición 20 del Libro I de los Elementos, ya que todos sus lados son iguales.

Otras proposiciones que se pueden demostrar a partir de las definiciones o postulados presentados anteriormente son: Proposición 10: Dividir en dos partes iguales un segmento dado. Proposición 11: Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento. Proposición 12: Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. Proposición 13: Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales a dos ángulos rectos. En las siguientes figuras, se puede apreciar los dos casos que se pueden obtener en los ángulos que se forman al levantar una recta sobre otra.

Imagen 35

La siguiente proposición también la vamos a demostrar.

Proposición 15: Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen ángulos opuestos iguales. La figura que representa la proposición es la siguiente:

Imagen 36

En este caso, si se considera que el segmento EB , se levantó sobre el segmento

CD ,

por

proposición

tiene

que:

DEB  BEC  90º90º  180º Por lo tanto BEC  180ºDEB Por otro lado, si se considera el segmento EC levantado sobre el segmento AB , por la proposición 13 se tiene que: BEC  CEA  90º90º  180º por lo

tanto BEC  180º CEA Igualando ambas expresiones se tiene que: 180ºDEB  180ºCEA Por lo tanto, DEB  CEA , es decir los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Otra proposición importante es: Proposición 17: En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos.

De esta manera, has tenido una introducción al sistema geométrico deductivo que se usa desde la época de Euclides hasta la fecha, en las siguientes unidades conocerás más de geometría y a otros personajes de la Antigüedad que fueron muy importantes para el desarrollo de esta área de las matemáticas.

Para una mayor comprensión de la unidad te invito a revisar esta página: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=631

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

Reflexión

Después de haber concluido esta unidad, ¿en qué aspectos de tu vida te podría ser útil? ¿Consideras que los temas están completos o te gustaría abordar algún otro aspecto? ¿Tienes alguna alternativa mejor para aprender este tema?

Resumen Pensamiento Lógico de Euclides

Sistema Geométrico

TEOREMAS

AXIOMAS Y POSTULADOS

DEFINICIONES

Referencias De consulta Sitios de internet Aprende en línea. Universidad de Antioquia Recuperado de: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=631 Geometría. Universidad del Bío Bío Recuperado de: http://cidcie.ubiobio.cl/wordpress/geometrianew/?page_id=274

Unidad 3. Aplicando el pensamiento lógico para demostrar congruencia y semejanza de triángulos

Introducción En esta unidad, conocerás el concepto de semejanza y congruencia de triángulos y algunos criterios para demostrar cada una de dichas relaciones, también conocerás a Tales de Mileto, un matemático y filósofo griego, que fue muy importante para el desarrollo de la geometría, en particular hay un teorema que lleva su nombre y que se puede utilizar para encontrar el valor de distancias inaccesibles, sin medirlas directamente.

¿Crees que te podría ser útil su teorema una vez que lo conozcas?, ¿en qué circunstancias te podría servir?

Propósito Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de: Demostrar si dos o más triángulos son congruentes o semejantes, utilizando los criterios definidos, basados en el pensamiento lógico, esto le permitirá comprender los elementos básicos de una demostración y le ayudará a construir estructuras mentales de orden.

3.1 Tales de Mileto. Su necesidad de pensamiento lógico

Esta unidad va a ser presentada por Tales de Mileto, filósofo y matemático griego, conocido como uno de los Siete Sabios de Grecia, él será tu guía por el estudio de esta unidad, así que te dejamos directamente con él, en la siguiente presentación escrita.

Imagen 39

Imagen 40

3.2 Criterios de congruencia. ¿Te has puesto a pensar si con cualesquiera tres segmentos puedes formar un triángulo?

Si nunca lo has pensado, llegó el momento de cuestionarte al respecto, para lo cual vas a realizar la siguiente actividad:

Para que respondas la pregunta anterior vas a construir un triángulo con los siguientes segmentos.

Imagen 41

Toma la medida exacta de cada segmento (puede ser abriendo el compás del tamaño de cada segmento) y en una hoja de papel corta barras de tamaño correspondiente de cada segmento, con las barras trata de formar un triángulo.

¿Se puede formar un triángulo con los segmentos AB, CD, EF ?

Ahora, con las medidas de los segmentos que aparecen en la siguiente figura, repite el procedimiento.

Imagen 42

¿Se puede formar un triángulo con los segmentos AB, CD, EF ?

¿Qué relación había entre los primeros tres segmentos con los que pudiste formar un triángulo, que no hay entre los últimos tres segmentos con los que no pudiste formar un triángulo?

Si comparas el triángulo que hiciste con el de cualquiera de tus compañeros, notarás que la forma del primer triángulo es idéntica, probablemente sólo cambie si está girado o no, pero si haces coincidir el lado menor de uno de los triángulos con el lado menor del otro, prácticamente se sobrepondrían exactamente uno sobre, cuando dos triángulos son así, en matemáticas se llaman congruentes.

Se dice que dos triángulos son congruentes si son idénticos, es decir si sus lados tienen las mismas medidas y sus ángulos también.

El triángulo que construiste en la actividad anterior lo realizaste de manera muy artesanal, sólo utilizaste las medidas de sus lados y eso bastó para que los triángulos que se construyeran fueran idénticos, más adelante tendrás que

construir más triángulos, así que te presentamos una forma sencilla de construirlos con regla y compás, puedes hacerlo siguiendo los pasos que se presentan a continuación:

Dados 3 segmentos, a los que llamaremos AB, CD, EF Paso 1. Se traza una línea con la recta. Paso 2. Se abre el compás del tamaño EF Paso 3. Sobre la línea se marca con el compás un segmento de tamaño EF , ésa será la base del triángulo.

Paso 4. Se nombra a los extremos del segmento construido E y F Paso 5. Se abre el compás del tamaño del segmento CD Paso 6. Con esa apertura se apoya el compás sobre el punto F de la base y se traza un arco de circunferencia. Paso 7. Se abre el compás del tamaño del segmento AB Paso 8. Con esa apertura se apoya el compás sobre el punto E de la base y se traza un arco de circunferencia que corte al arco trazado en el paso 5. Paso 9. El punto de intersección de los dos arcos será el otro vértice del triángulo, los otros vértices son E y F. El triángulo así trazado tendrá las medidas requeridas.

Ahora ya puedes responder, para que un triángulo pueda formarse con tres segmentos dados ¿qué relación deben tener las medidas de los segmentos? En efecto, para que un triángulo pueda construirse a partir de tres segmentos dados, siempre debe ocurrir que la suma de la longitud de dos de los lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado, es necesario hacer la comparación de que cada pareja de lados es mayor que el otro lado (así que deben hacerse 3 comparaciones). Con lo que has aprendido hasta ahora tienes los elementos para saber si es posible construir un triángulo cuyos lados midan lo que tres segmentos dados, aún sin realizar la construcción, sólo conociendo las propiedades.

Hasta el momento hemos visto qué pasa cuando dos triángulos tienen segmentos correspondientes de la misma longitud, pero, aún no hemos trabajado con los otros elementos de un triángulo: sus ángulos.

¿Crees que dos triángulos sean congruentes si tienen sus ángulos correspondientes iguales? O ¿qué combinación de lados y ángulos correspondientes iguales de dos triángulos garantizarán la congruencia de éstos?

Para que puedas responder esto de forma sistemática, vas a realizar con Geogebra una actividad. Apóyate en el documento GEOGEBRA: Elaboración de triángulos que se muestra a continuación.

GEOGEBRA: Elaboración de triángulos Para que puedas responder esto de forma sistemática, vas a realizar con Geogebra la siguiente actividad.

Entra a Geogebra y oculta la vista algebraica y los ejes, desde la opción: ―Vista‖ del menú. Ahora selecciona en el menú: ―Opciones‖ y después ―Redondeo‖ y elige ―0 lugares decimales‖ esto es para que te sea más fácil realizar tu construcción. Construye un triángulo y mide sus ángulos, siguiendo los siguientes pasos. Desde el menú gráfico elige la opción ―polígono‖ que es quinto cuadrito, en el que hay un triángulo, hay que marcar sobre la pantalla un punto, mover el Mouse a otro punto y regresar al punto de par.

Una vez construido el triángulo, mide Después selecciona en el menú gráfico el octavo cuadrito en el que aparece un ángulo y mide los ángulos interiores del polígono que construiste, debes seleccionar 3 puntos, si te marca el ángulo exterior, puedes seleccionar la opción ―deshace‖ de la opción ―Edita‖ del menú y seleccionar los puntos en orden inverso.

Ya que tengas las medidas de los 3 ángulos interiores, selecciona el primer cuadrito del menú gráfico, en donde está la flecha y mueve los puntos de tal forma que uno de los ángulos mida 95º y otro 37º

Observa ¿Cuánto mide el ángulo que falta?

Cambia el tamaño del segmento AC y vuelve a hacer que los ángulos midan 95º y 37º ¿cuánto mide el ángulo que falta? ¿Es congruente este triángulo con el que habías hecho anteriormente? Recuerda que congruente en geometría significa idéntico. ¿Es congruente con el triángulo que se presenta en la figura anterior?

Con este ejercicio que acabas de hacer, has comprobado que el hecho de que dos triángulos tengan sus lados iguales no es suficiente para que éstos sean congruentes.

Vas a trabajar ahora con otros dos elementos de un triángulo: dos lados y un ángulo, para verificar si la congruencia se puede establecer a partir de su relación.

Ahora vas a construir un triángulo a partir de dos lados y un ángulo.

Para esta actividad es mejor que el redondeo sea de un decimal, así que modifícalo, en el menú ―opciones‖ Vas a necesitar medir los lados del triángulo, para eso, en el octavo cuadrito del menú gráfico, en donde está la opción para medir ángulos, si seleccionas la flechita que se encuentra en la esquina inferior derecha del cuadrito te aparecen varias opciones, elige distancia o longitud, con esta opción selecciona los lados del triángulo, para obtener su medida.

Ahora elige el primer cuadrito del menú gráfico (la flecha) y mueve el triángulo que construiste de tal forma que uno de los lados mida 3.4 el otro 2.1 y uno de sus ángulos 50º ya que tengas las medidas, compara tu triángulo con el de los compañeros de tu grupo.

a) ¿Cuánto mide el lado que falta? b) ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? c) ¿Son congruentes tu triángulo y el siguiente triángulo?

Aquí tu respuesta puede variar, si el ángulo que mediste fue el que estaba entre los lados que midieron 2.2 y 3.4 entonces el triángulo si será congruente, sin embargo, si el ángulo que mediste no se encontraba comprendido entre los lados con medidas específicas, notarás que los triángulos no son congruentes.

De esto se puede deducir que dos triángulos son congruentes si las medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre éstos son iguales, si esto ocurre de forma automática, el lado que falta y los ángulos que faltan, aunque no se hayan medido, serán iguales.

Ya que analizaste la combinación de igualdades entre los lados y/o ángulos de un triángulo, podemos pasar de manera formal a verificar cuándo dos triángulos son congruentes. Para verificar si dos triángulos son congruentes tiene que ocurrir que los lados y ángulos de uno de los triángulos sean iguales a los lados y ángulos correspondientes del otro triángulo; aunque, como ya pudiste apreciar en los ejercicios anteriores, no es necesario tomar las seis medidas (3 ángulos y 3 lados) para verificar la congruencia, lo que veremos a continuación es cuáles son los elementos mínimos que se tienen que comparar entre dos triángulos para garantizar que son congruentes. A eso se le llaman criterios de congruencia, los cuales son tres.

Criterios de congruencia entre triángulos

LLL (Lado-Lado-Lado)

Como pudiste ver en el primer ejercicio de Geogebra, conociendo los lados del triángulo, éste está completamente definido, el primer criterio de congruencia es

LLL

(lado-lado-lado)

dos

triángulos

tienen

sus

lados

correspondientes iguales entonces los triángulos son congruentes.

Imagen 43

Si observas con cuidado el triángulo ABC y el triángulo A‘B‘C‘ los lados correspondientes son iguales: AB = 2.52= A' B'

BC = 3.6= B'C ' ‘ CA = 4.68 = C ' A'

Con esto, sin siquiera saber cuánto miden sus ángulos se puede garantizar que los triángulos son congruentes.

ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)

Para comprender este criterio de congruencia, realiza la siguiente actividad.

Traza un segmento AB de 4 cm, apoyado en A traza un ángulo de 40º y apoyado en B traza un ángulo de 70º que ambos abran hacia el mismo lado del segmento. a) Si prolongas ambos lados de cada ángulo ¿qué ocurre? b) Llama C al punto en donde se intersecaron las líneas que prolongaste, ¿cuánto mide el segmento AC ?

c) ¿Cuánto mide el segmento BC ?

La primera construcción anterior te lleva a deducir un criterio de congruencia que se llama ALA ángulo-lado–ángulo, si en dos triángulos se verifica que dos de sus ángulos correspondientes son iguales y en lado comprendido entre ellos también, entonces los triángulos son congruentes.

LAL (Lado-Ángulo-Lado) Para comprender este criterio de congruencia, realiza la siguiente actividad. Por otro lado, dibuja un triángulo con un lado AB igual 3 cm, otro lado AC igual a 5 cm y el ángulo entre estos dos lados igual a 45°. a) Si unes los puntos B y C ¿qué ocurre? b) ¿Cuánto mide el segmento BC ? c) ¿Cuánto mide ACB ?

Al criterio que se obtuvo para ese caso se le conoce como LAL y se lee lado-ángulo-lado, el cual indica que dos triángulos son congruentes si dos de los lados y él ángulo comprendido entre ellos son iguales a los dos lados y el ángulo correspondiente del otro triángulo.

Por cierto, la geometría ha estado presente desde que los seres humanos comenzaron a hacer sus casas y sus monumentos, en particular muchas construcciones

prehispánicas

usaban

geometría

para

alinear

las

construcciones con eventos astronómicos o para ubicar en puntos geográficos específicos algunos sitios, como puede apreciarse en el resumen de una ponencia de anrqueo-astronomía en donde se afirma que hace algunos años la Fundación de Investigaciones Mesoamericanas ―…hizo un estudio del Mapa de Cuauhtinchan como cartografía histórica y una hipótesis sobre la región de Cholula, y la región de Tetimpa, y la arqueó-astronomía de lo mismo. Se refiere

al Cerro Teotón como un axis mundi (ombligo) y un paralelogramo cósmico formado por triángulos congruentes. Es decir, un paralelogramo de dos diagonales formadas por el paso cenital del levante solar y el paso estelar de Alnilam; y que ellos forman una imagen de la constelación de Orión. Vea la publicación, La Montaña en el Paisaje Ritual, 2001, cap. 3.‖1. En la actualidad, la mayoría de las construcciones se hacen sobre calles previamente trazadas y, salvo en casos excepcionales, no se busca la ubicación astronómica o geográfica precisa. ¿Te gustaría construir tu casa usando elementos geométricos, astronómicos o geográficos?

Ahora que ya conoces los criterios de congruencia de triángulos te corresponde utilizarlos para realizar la actividad 2 de esta unidad. Recuerda que los criterios de congruencia, permiten garantizar la congruencia con el mínimo de elementos necesarios. Los criterios son: LLL, ALA y LAL, en los dos últimos criterios es fundamental que tomes en cuenta el orden de los elementos del triángulo, el criterio ALA debe tomar el lado comprendido entre los ángulos conocidos; por otro lado, el criterio LAL debe tomar el ángulo comprendido entre los lados conocidos.

Para saber más consulta el video identificación de criterios de congruencias, dando clic en el siguiente enlace: http://www.youtube.com/watch?v=FBeTFJUPxEA&feature=related

En algunos de los ejemplos anteriores pudiste apreciar la utilidad de los criterios de congruencia, pues no siempre se conocía que eran iguales tanto los lados como los ángulos de los triángulos que se demostró que eran congruentes y conociendo sólo una parte de la información, se pudo deducir la otra parte, por ejemplo en el caso de la demostración de que los lados 1

Programa del Coloquio Antropología y la Montaña, http://www.inaoep.mx/~astrokids/cholula/miercoles.html

opuestos de un paralelogramo son iguales, que aunque es algo que es evidente visualmente, se pudo demostrar utilizando congruencia, o también la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se corta exactamente en su punto medio.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

3.3 Criterios de semejanza Iniciaremos esta sección trabajando con el concepto de semejanza, es muy sencillo, antes de que lo definamos formalmente, es importante que lo observes y tú mismo trates de describirlo de la forma más precisa posible. Observa detenidamente las siguientes parejas de figuras

Imagen 45

Describe en cuanto a sus lados y sus ángulos ¿cómo es cada figura con respecto a su pareja?

A las figuras que se presentaron anteriormente se les llama semejantes.

Ahora observa la siguiente figura, suponiendo que los triángulos que se presentan en ella son semejantes ¿Cuál es la altura del triángulo grande?

Imagen 46

El problema que acabas de resolver, por lo general hay dos formas de solucionarlo. Una es observar que el lado que mide 6 unidades del triángulo mayor es tres veces más grande que el lado correspondiente del triángulo pequeño, así, la primera operación es

6  3 , luego multiplicando ese resultado 2

por 4, la otra longitud del triángulo pequeño, se obtiene que el lado x mide

12  4  3 Otra forma es observar primero los dos lados del triángulo pequeño y fijarse que el lado grande es el doble del lado pequeño,

4  2 , así, en el triángulo 2

grande el lado x debe medir el doble del lado pequeño que mide 6, es decir,

6  2  12 . Cada una de las formas de resolver el problema corresponde a una de las proporciones que se presenta a continuación.

6 x  2 4 Se

dice

4 x  y ambas son válidas para resolver el problema. 2 6 que

dos

figuras

son

semejantes,

tienen

sus

ángulos

correspondientes iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En la siguiente imagen se pueden ver dos triángulos semejantes.

Imagen 47

Los triángulos cumplen las siguientes seis condiciones: EGF  E ' G ' F ' , GFE  G ' F ' E ' , FEG  F ' E ' G ' EF FG  , E ' F ' F ' G'

GE EF  , G' E ' E ' F '

GE FG  G' E ' F ' G'

Si dos triángulos son semejantes se escribe así EFG  E‘F‘G‘ es importante tener cuidado que el orden de los vértices corresponda al de los ángulos correspondientes que son iguales. La expresión EFG  E‘F‘G‘ se lee: el triángulo EFG es semejante al triángulo E prima, F prima, G prima.

Cuando

dos

triángulos

son

semejantes,

llama

constante

proporcionalidad al valor que se obtiene de dividir la longitud de sus lados correspondientes.

Como puedes ver la constante de proporcionalidad se puede calcular de dos formas: dividiendo los lados correspondientes del triángulo grande entre los lados correspondientes del triángulo pequeño o al revés, en todo caso, la constante de proporcionalidad es la recíproca una de la otra. Por ejemplo si todos los lados del triángulo grande son del doble que los del triángulo

pequeño, la constante de proporcionalidad puede ser 2 o

1 , en el primer caso 2

dividiendo los lados del triángulo grande entre los del pequeño y en el segundo dividiendo los lados del triángulo pequeño entre los del grande, ambas son correctas, lo único es que hay que ser consistente y dividir siempre en el mismo sentido. ¿Qué crees que ocurra cuando la constante de proporcionalidad es uno?

Exactamente, tendremos un

caso

particular de

semejanza:

congruencia.

Al igual que para la congruencia de triángulos, aunque sean necesarias seis características para que ocurra que dos triángulos sean semejantes, no es necesario verificar todas, pues con verificar algunas de ellas es suficiente, a estas condiciones mínimas para verificar la semejanza de triángulos se les llama criterios de semejanza y son tres.

A continuación tú mismo descubrirás los criterios de semejanza. , al realizar la siguiente actividad en GeoGebra. Apóyate en el documento GeoGebra: Criterios de semejanza, que se muestra a continuación.

GeoGebra: Criterios de semejanza a) Dibuja dos segmentos cada uno del tamaño que quieras, a los puntos extremos de uno llámales A B y a los del otro A‘ B‘ respectivamente (puedes cambiar el nombre de los puntos seleccionando el objeto con el botón derecho del Mouse, para que aparezca un menú, en el cual debes elegir la opción ―Renombra‖. b) Sobre el punto A construye un ángulo de 25º, elige el octavo cuadrito del menú gráfico (en el que se encuentra el ángulo) y ahí selecciona la opción ángulo dada su amplitud

Después selecciona el punto B, luego el A, te aparece una caja de diálogo que dice 45º (modifica los números y deja el símbolo de grados como aparece), selecciona sentido anti horario y da aceptar, aparece un punto nuevo llámale D y une por medio de una recta los puntos A y D. Realiza el mismo procedimiento para A' B' , renombrando respectivamente los puntos que vayas construyendo de la misma forma que para AB , pero agregando ‗(prima). c) Ahora construye un ángulo de 68º sobre el punto B, elige la opción ángulo dada su amplitud, del menú gráfico, selecciona el punto A después el punto B, cambia el valor numérico de los grados de la caja de diálogo y elige sentido horario, llama al nuevo punto que construiste E y une por medio de una recta los puntos B y E. De nuevo realiza el mismo procedimiento para A' B'

d) Marca el punto de intersección de las rectas AD y BE y llámale C y también de A‘D‘ y B‘E‘ y llámale C‘, de esta forma has construido los ABC y A' B' C ' . e) Mide respectivamente los ángulos ACB y A' C ' B' desde el menú de medida de ángulos (el octavo cuadrito del menú gráfico) ¿qué valor tienen?

f) Ahora mide los lados de cada uno de los triángulos, también en el octavo

cuadrito del menú gráfico, seleccionando la opción distancia o longitud de cada uno.

g) Al dividir cada lado de un triángulo entre su correspondiente del otro triángulo ¿qué resultado obtienes?

h) Piensa cuáles fueron los elementos mínimos que requeriste para construir los triángulos semejantes de este ejercicio. Puedes mover los puntos A, B y también los puntos A‘ y B‘ respectivamente y observarás que los ángulos no se modifican y si realizas la división de la longitud de uno de los lados de un triángulo entre la longitud del lado correspondiente del otro triángulo, observarás que cambia la constante de proporcionalidad, sin embargo los triángulos siguen siendo semejantes.

Así como llegaste a las conclusiones de cuál debe ser un criterio de semejanza de triángulos, descubrirás los otros criterios, pero ahora a partir de construcciones en papel.

a) Construye con regla y compás un triángulo que mida 3, 4 y 5 cm y otro que mida 4.5, 6 y 7.5 cm respectivamente, usando la técnica que se vio en la sección anterior para construir triángulos con regla y compás dado el tamaño de sus lados.

b) Mide los ángulos de cada uno de los triángulos.

c) Divide la longitud del lado pequeño de uno de los triángulos entre la longitud del lado pequeño del otro de los triángulos ¿qué valor obtuviste?

d) Realiza también la división de las longitudes de los lados medianos y grandes respectivamente ¿qué valor obtuviste?

e) ¿Cómo son los dos triángulos?

f) Piensa, a partir de la información mínima con la que construiste triángulos semejantes de este ejercicio, ¿cuáles son los elementos mínimos que necesitaste para garantizar la semejanza de los triángulos que acabas de construir?

Hasta aquí ya trabajaste con dos criterios de semejanza, con la siguiente construcción, vas a identificar un criterio más.

a) Construye un triángulo que tenga por lados 2 y 5 cm respectivamente y que entre estos lados se forme un ángulo de 45º, (puedes utilizar el transportador para medirlos o simplemente construir una perpendicular y dividirla en dos partes iguales).

b) Construye otro triángulo que tenga por lados 4 y 10 cm respectivamente y que entre sus lados se forme un ángulo de 45º

c) Mide los ángulos y lados de los que no tenías las medidas originalmente de cada triángulo.

d) ¿cómo son esos triángulos?

e) ¿Cuáles son los elementos mínimos para definir un criterio de semejanza que se podría utilizar para verificar triángulos semejantes, a partir de la información mínima con la que construiste los triángulos de este ejercicio.

Ya que concluiste cuáles son los tres criterios para verificar la semejanza de triángulos, ahora los enunciaremos formalmente.

Criterio AA (ángulo-ángulo) Si en un triángulo dos de sus ángulos son iguales los triángulos son semejantes.

Imagen 48 Criterio LLL (lado-lado-lado) Si en dos triángulos sus lados correspondientes por parejas son proporcionales entonces los triángulos son semejantes.

Imagen 49

Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) Si en una pareja de triángulos dos de sus ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes entre los ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Imagen 50

Ahora que ya conoces los criterios de semejanza de triángulos,

puedes

realizar la actividad 3 en la que identificarás algunos triángulos semejantes y seleccionarás un criterio para garantizar su semejanza.

La semejanza de triángulos tiene muchas aplicaciones, una de ellas es poder calcular distancias inaccesibles.

Por ejemplo si hay un árbol muy alto y quieres saber cuánto mide, puedes calcular su altura de la siguiente manera, puede pararse una persona cerca del árbol una o dos horas antes o después del medio día, para que la sombra exista y no sea muy larga, de tal forma que la sombra de la persona y del árbol se proyecten en el piso, si se mide la sombra que proyecta la persona y la que proyecta el árbol y se conoce la estatura de la persona, se calcula la razón entra la sombra del árbol y la de la persona, como se están formando triángulos semejantes porque el ángulo que la inclinación del Sol es la misma y las persona y el árbol forman un ángulo de 90º con respecto al piso, entonces la razón entre la altura del árbol y la estatura de la persona debe ser igual a la constante de proporcionalidad.

Presentamos un ejemplo de un problema concreto, utilizando lo que se acaba de explicar.

Si una persona mide 1.65, se para junto a un árbol y a las 2 de la tarde y proyecta una sombra de 90 cm y el árbol proyecta una sombra de 3.25 metros a la misma hora, ¿cuál es la altura del árbol?

Para conocer cuánto mide el árbol, podemos plantear el problema a partir de la proporcionalidad de los lados correspondientes de los triángulos semejantes que se forman, así se tiene:

3.25 x  despejando se obtiene que x  5.95 la 1.65 0.9

cual es la altura del árbol.

¿Recuerdas que Tales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Ghiza, usando esta técnica? Lo impresionante, es que en su época ese método no era conocido, él contribuyó mucho al desarrollo del tema de semejanza de triángulos, tanto, que el teorema más importante de esa área lleva su nombre.

Ahora que ya conoces qué son los triángulos semejantes y cuáles son los criterios para justificar su semejanza, estás listo para conocer el Teorema de Tales, el cual trataremos en la siguiente lección.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

3.4 Teorema de Tales

Además de calcular la altura de la pirámide de Ghiza, Tales de Mileto también logró calcular la distancia de un barco en el mar hacia la playa. Esto resultaba muy útil cuando tenían que saber qué tan lejos estaban las naves enemigas en esa época.

Imagen 51

Hay muchas versiones del teorema de Tales, a continuación enunciamos una de éstas:

Teorema de Tales. Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, entonces está recta paralela divide a los dos lados en segmentos proporcionales. Su inverso también es cierto, si una recta divide a dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces esta recta es paralela al tercer lado (observa la imagen siguiente).

Imagen 52 En la actualidad tenemos instrumentos de medición muy precisos, gracias a toda la base científica que se ha construido a lo largo de la historia, las

aportaciones geométricas de los griegos fueron fundamentales para llegar a tener los instrumentos de medición que hoy en día usamos.

Haciendo un ejercicio de imaginación y trasladándonos a la época de Tales y a su ciudad natal: Mileto, que estaba en la costa y era una ciudad que era muy importante por quedar en el paso al bordear el mar Egeo, tanto, que quien tuviera el control de la ciudad, tendría mucho poder en la zona, así que había muchas guerras territoriales y Mileto podía ser fácilmente invadida por enemigos, así que era necesario estar preparados para no ser conquistados, para esto era útil conocer la distancia a la que se encontraban las naves enemigas, así que, Tales ideó un método para calcular la distancia a la que se encontraban las naves en el mar. Su método se basaba en trazar un par de líneas paralelas en la playa y tomar medidas sobre dichas líneas, para ejemplificar está la siguiente imagen, las líneas BD y B‘C‘ son paralelas,

BD  30 m , B' C '  28 m y DC'  10 m

Imagen 53 En la imagen anterior se forman varios triángulos semejantes, debido al paralelismo entre las rectas iniciales, en particular BB' C  AB'C ' como las recta B‘C es paralela a C‘D entonces el cuadrilátero B‘CDC‘ es un paralelepípedo y tiene sus lados iguales, por lo cual B' C  10 m y CD  28 m por

lo tanto

BC  2 m así que aplicando el Teorema de Tales, dada la

proporcionalidad de los triángulos semejantes se tiene que: AC ' B' C ' sustituyendo los valores que ya se conocen se tiene que:  B' C BC

AC ' 28 despejando se tiene que AC '  140 m que es la distancia a la que se  10 2

encuentra la nave enemiga.

Para comprender mejor el Teorema de Tales te sugerimos que revises los siguientes videos: http://www.youtube.com/playlist?list=PL8FDB819E92728DEF http://www.youtube.com/watch?v=N2whkkubRjE&feature=related

El Teorema de Tales, también puede ser muy útil, para dividir un segmento en partes iguales, sin necesidad de medir con regla, sólo realizando la construcción con compás y regla (sin medidas), para aplicar esto resolverás un problema en la actividad 4 de esta unidad.

¿Te imaginas en qué momento de tu vida te puede ser útil este conocimiento? Comparte tu respuesta con tus compañeros en el foro de Avisos.

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

Con esto concluimos esta unidad, esperamos que hayas aprendido mucho y sobre todo que puedas aplicar a tu vida cotidiana los conocimientos que aquí adquiriste, la siguiente unidad tratará de otro de los gigantes de la geometría griega: Pitágoras, seguramente habrás oído hablar de él, te invitamos a que lo conozcas más a fondo y que te familiarices con las importantes aportaciones que hizo a la geometría. Te recomiendo que veas los siguientes videos:

http://www.youtube.com/watch?v=-sMsxeAiHoo&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=KKhEv3wA7kU&feature=related

Evaluación de Unidad (Se desarrolla en plataforma)

Reflexión

¿Qué tal te pareció el tema?, seguramente estupendo. Imagina en cuantos aspectos de tu vida diaria puedes aplicar esta enriquecedora unidad. No puedo creer que este señor Tales de Mileto lograra tal abstracción en esa época. Te invito a u reto. Imagina que cualquiera calle que elijas es un río de aguas turbulentas y profundas albergando pirañas, cocodrilos y demás bichos venenosos; es imposible llegar al otro lado y quieres saber lo ancho del río. Dinos, ¿que harías si fueras este tal Tales de Mileto para encontrar la respuesta?

Resumen

Pensamiento Lógico de Tales de Mileto

Triángulos Congruentes

Triángulos Semejantes

(iguales)

(proporcionales)

Criterios de Congruencia

Criterios de Semejanza

ALA

LAL

LLL

Teorema de Tales

ALA

Referencias De consulta Sitios de internet Portland Public Schools — Portland, Oregon Recuperado de: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/S EC_37.HTM Profesor en línea Recuperado de: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Triangulos_congruencia.html Ditutor Recuperado de: http://www.ditutor.com/geometria/triangulos_semejantes.html Vitutor Recuperado de: http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_3.html Descartes 2D. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Tria ngulos_semejantes/index.htm Recuperado de: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej2.htm Matemáticas. Videoturoriales de La Pizarra de Fonemato Matemáticas para Bachillerato y Carreras de Ciencias Recuperado de: http://www.matematicasbachiller.com/anejos/tales.html

Unidad 4. Relacionando la geometría y los números a través del pensamiento lógico

Introducción

En esta unidad, conocerás el concepto de número irracional, a partir del Teorema de Pitágoras, quien fue uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad, el Teorema de Pitágoras es muy importante y ha sido utilizado casi en 2500 años en cuestiones prácticas.

A los seguidores de Pitágoras, se les llamaba los pitagóricos y ellos fueron los primeros en descubrir que había números que no era posible escribirlos como una fracción, a esos números se les llama irracionales y algunos de ellos están relacionados con el Teorema de Pitágoras.

Propósito

Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de:

Aplicar el Teorema de Pitágoras a la solución de problemas y en la construcción de segmentos de longitud irracional, a través de construir con regla y compás ciertas figuras, lo anterior le permitirá adquirir el concepto de inconmensurabilidad y reconocer la existencia de los números irracionales.

4.1 Pitรกgoras. Su necesidad de pensamiento lรณgico

Imagen 54

Imagen 55

En la imagen anterior, se representa lo que se explicaba, el segmento DE mide

2 unidades, el segmento

DG mide una unidad, si se fracciona el

segmento DG y se compara con el segmento GE , no coincide de forma exacta con alguna fracción de DG , siempre sobrará o faltará algo, aunque se aproxime mucho, esto quiere decir que los segmentos DG y

GE son

inconmensurables.

Para pertenecer a la secta se tenían que cumplir muchas reglas, en primer lugar abandonar las pertenencias y dedicarse a una vida de estudio y contemplación, éramos vegetarianos y nos despegábamos de lo material, para alcanzar la sabiduría.

Ahora te invito a conocer el teorema que lleva mi nombre, lo cual te presentaré en la siguiente unidad.

4.2 Su teorema

El teorema de Pitágoras es muy importante y conocido. Existen en México varios museos de ciencia y tecnología en donde seguramente encontrarás algo referente a Pitágoras, en particular en el Universum que se encuentra en la Ciudad Universitaria de la UNAM, en la sala de matemáticas, puedes ver ahí experimentos sobre el Teorema de Pitágoras. Te recomendamos que lo visites. El teorema de Pitágoras aplica para triángulos rectángulos, por lo cual definiremos algunos términos referentes a los lados de este tipo de triángulos que necesitaremos más adelante.

un triángulo rectángulo el lado mayor se

llama hipotenusa, la cual

siempre es el lado opuesto del ángulo recto. Los otros dos lados

se llaman

catetos, los cuales son los lados que forman el ángulo recto.

Hay muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, una de las más visuales es la que te presentamos a continuación. Observa la siguiente figura,

se tiene un cuadrado de color azul de lado c, inscrito en otro cuadrado de lado (a+b), como se puede apreciar en la figura también hay 4 triángulos rectángulos cuyos catetos son a y b respectivamente y tienen hipotenusa c.

Imagen 58



El área del cuadrado grande es (a  b)2 lo cual al realizar la operación de elevar al cuadrado un binomio da a 2  2ab  b2



El área de cada triángulo es

ab ya que, como los triángulos son 2

rectángulos, si su base es a, su altura es b, porque es perpendicular a la base y pasa por el vértice. 

El cuadrado pequeño tiene por área c 2

Como toda el área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado chico más el área de los cuatro rectángulos, se tiene la siguiente igualdad:  ab   ab  a 2  2ab  b 2  c 2  4  se puede simplificar 4   2ab , así que de si de la  2   2

igualdad de las áreas se resta 2ab de ambos lados se obtiene: a 2  b2  c 2 Para conocer más te invito a ver el siguiente video:

http://www.youtube.com/watch?v=yDR5FDcMO5o

Lo que acabamos de demostrar es el Teorema de Pitágoras que dice: En un triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo numérico del Teorema de Pitágoras.

Imagen 59

Como se puede observar sobre cada lado se construyó un cuadrado, las áreas azules son las que corresponden al cuadrado de los catetos y la roja es el cuadrado de la hipotenusa, así que la suma de las áreas de los cuadrados azules es igual al área del cuadrado rojo, esta relación numérica se cumple para cualquier triángulo rectángulo.

Otra forma de ver cómo se cumple el Teorema de Pitágoras es la siguiente: Considera el siguiente triángulo rectángulo con un cuadrado en su hipotenusa y otro en uno de sus catetos, como se muestra en la imagen.

Imagen 60

Si trazamos la altura extendida por el vértice correspondiente al ángulo recto, C, podemos dividir al cuadrado que está en la hipotenusa en dos rectángulos. Observaremos cómo el rectángulo adyacente al vértice B tiene la misma área que el cuadrado pequeño, como está en la imagen siguiente.

Imagen 61

Para verificar que efectivamente el cuadrado pequeño y el rectángulo adyacente al vértice B tienen la misma área, usaremos algunas propiedades de triángulos semejantes.

 

Sabemos que el área del cuadrado pequeño es BC

Y el área del rectángulo azul es BE  BF Los triángulos BCA y BEC son semejantes por el criterio ángulo-ángulo, por lo tanto, al dividir sus hipotenusas, entre los catetos correspondientes se obtiene

una igualdad, dado que sus lados son proporcionales por ser semejantes los triángulos, de esa forma se tiene:

BA BC si se multiplican los denominadores se obtiene que:  BC BE

BA  BE  BC  BC Es decir el área del rectángulo azul es igual al área del cuadrado pequeño. Ahora, considera el rectángulo que se forma sobre el tercer lado del triángulo en la siguiente imagen. Usando la misma idea que en la construcción anterior, utilizando las propiedades de triángulos semejantes demuestra cómo el área de este cuadrado es igual al área del rectángulo, adyacente al vértice A, que se forma con la altura y el cuadrado que está en la hipotenusa (ve la siguiente imagen).

Imagen 62 Con lo que se obtuvo de las dos imágenes anteriores, observa la siguiente imagen y reflexiona: ¿Qué puedes decir con respecto a las áreas de los cuadrados que se presentan? ¿Existe alguna relación entre la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa? ¿Cómo podrías representar lo anterior?

Imagen 63

Para complementar las representaciones geométricas del Teorema de Pitágoras, realiza una investigación acerca de las demostraciones del este Teorema y súbelo al Foro de avisos.

Actividad de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

4.3 Números irracionales

Para comenzar con este tema, primero resuelve el siguiente ejercicio, no es para entregar, sin embargo es importante que lo realices para que puedas comprender mejor el subtema que se estará desarrollando aquí. Sean a y b los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

cada caso calcula el lado que falta. a= 5 a= 3 a= 15 a= 5 a=

b=7 b=6 b= b=7 b=17

c= c= c=17 c= c=26

Habrás notado que al resolver estos ejercicios, a diferencia de la actividad 1 que habías realizado, los resultados que obtuviste no fueron números enteros, ni fracciones exactas, ¿recuerdas que al inicio de esta unidad habíamos comentado sobre los números que fueron descubiertos por los pitagóricos? Pues, los números que acabas de encontrar son números irracionales, si utilizaste la calculadora para obtenerlos, sólo tienes una aproximación de ellos, dado que estos números se caracterizan por tener una expansión decimal infinita e impredecible, es decir no hay algún patrón de comportamiento de los decimales de estos números y nunca se terminan sus decimales, así que por ejemplo es más exacto decir

2 que 1.4142135….

Si calculas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 1 unidad, usando el Teorema de Pitágoras se obtiene que: c  12  12  2 , ya se había explicado que un segmento de longitud

2 es

inconmensurable con la unidad, porque no hay forma exacta de dividir la unidad, de tal forma que coincida perfectamente con ese número, hay aproximaciones, pero nunca es exacta la división, éste número es un número irracional.

Los números irracionales se caracterizan porque no se pueden expresar como una fracción, como los números que se pueden expresar como fracciones se llaman racionales, los que no cumplen con esta propiedad se llaman irracionales.

Cualquier número que sea una raíz cuadrada inexacta es un número irracional, aunque las raíces inexactas no son los únicos números irracionales, hay otros números como  , el que se ocupa para calcular el área de un círculo o su circunferencia, el cual se toma como valor aproximado como 3.1416 sin embargo, este número también tiene un número infinito de decimales, que no tienen un patrón determinado, otro número irracional es e, este número tiene

un valor aproximado de 2.7172 y también es irracional, ese número se utiliza para modelar crecimiento y es la base del logaritmo natural.

Por ahora, nos concentraremos en construir números irracionales en forma de raíces cuadradas, vamos a construir sus longitudes, utilizando el Teorema de Pitágoras y la construcción de otros números irracionales, a continuación se muestra una lista de números irracionales, que se pueden representar como raíces cuadradas.

8 ,…

Piensa que otros números menores o iguales que 20 no tienen raíz cuadrada exacta. Ya utilizamos el Teorema de Pitágoras para construir un segmento de tamaño

2 , esto se logra con un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos miden una unidad, como se muestra en la siguiente imagen.

Imagen 64

Ahora, para construir, un segmento de longitud

3 , se debe buscar que éste

sea un lado de un triángulo rectángulo, es más fácil si se busca que sea la hipotenusa,

porque

con

esto

los

catetos

sabe

que

deben

ser

perpendiculares, entonces se buscan dos números que al elevarlos al cuadrado y sumarlos den como resultado 3, si se tiene que uno de los números es 1 y el otro

2 , al elevarlos al cuadrado se obtiene respectivamente 1 y 2, al sumarlos

da 3, así que la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y

2 respectivamente medirá

3 , como ya se vio anteriormente como construir

un segmento que mida

2 , podemos ocupar la medida,

abriendo un compás de tamaño

trasladándola

2 , tomando como punto de apoyo el punto

A, así se obtiene:

Imagen 65

AB y AD miden

AC mide 1, utilizando el Teorema de Pitágoras se

puede observara que CD mide

Del mismo modo, se puede construir un segmento que mida hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos midan

5 como la

2 y

respectivamente o también con catetos que midan 1 y 2 respectivamente.

Imagen 66

En ese caso AE mide 2 y AC mide 1, entonces la hipotenusa CE mide

Reflexiona cómo realizarías la construcción de un segmento que tenga por longitud

Ya que conociste diversos números irracionales, estás preparado para reflexionar acerca de lo que los pitagóricos consideraron que era una imperfección de la naturaleza, de hecho, visto después de muchos años, los números irracionales se pueden ver como una parte que faltaba de los números, por ejemplo, cuando el ser humano empezó a contar sólo conocía los números positivos, pero al comenzar a restar, en cierto momento necesitó los números negativos, después con los números enteros le bastaba, pero al empezar a dividir descubrió la necesidad de los números racionales (las fracciones), y al comenzar a realizar otras operaciones, como calcular raíces cuadradas, se vio en la necesidad de tener otro tipo de números, los irracionales, así que como puedes ver cada uno de los números que ha ido “inventando” el ser humano, ha sido por la necesidad de su pensamiento lógico, de hecho, hay todo un debate (no resuelto) entre si los números son inventados o descubiertos. ¿Tú qué crees?

Al hacer operaciones entre números irracionales se obtienen otros números irracionales, por ejemplo al sumarlos entre ellos mismos o con números racionales, otros ejemplos de números racionales son: 1 2 , 10  3 ,

15  11

Éstos se pueden construir geométricamente a partir de segmentos que tengan las medidas originales, juntándolos y quitando a uno la longitud del otro, en el caso de ser restas y que los números sean positivos.

También hay otras formas de llegar a números irracionales de este tipo, por ejemplo, con las diagonales de polígonos regulares, uno de los ejemplos más significativos se puede encontrar con las diagonales de un pentágono. Observa las siguientes imágenes

Imagen 67

Los triángulos ABD y BFA son semejantes, por criterio ángulo-ángulo. Cada ángulo interior del pentágono mide 108º, ya que en cualquier figura cerrada convexa, la suma de los ángulos exteriores debe ser igual a 360º (como dar una vuelta completa), si 360º se divide entre 5, que son los ángulos del pentágono se obtiene 72º y los ángulos interiores son el suplemento de esto, es decir lo que les falta para llegar a 180º, como 180º-72º=108º, ésa es la medida de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Por otro lado, las diagonales de un pentágono regular, se cruzan en otro pentágono regular más pequeño al centro del pentágono grande y por ser un pentágono regular sus ángulos interiores miden 108º y por lo tanto sus ángulos exteriores miden 72º, por ejemplo un ángulo exterior sería AFB y BFC =108º por ser opuesto por el vértice al ángulo interior del pentágono pequeño formado por las diagonales, como la figura es simétrica BF  BC , por lo que el triángulo BFC es isósceles y si su ángulo diferente mide 108º, los dos ángulos iguales se deben repartir en lo que resta para 180º, esto es

180  108 72   36 por lo 2 2

tanto CBF  36º  FCB , como esto ocurre en cada vértice, se puede

observar que las dos diagonales que pasan por un vértice, dividen al ángulo interior de un pentágono en 3 partes iguales, cada una de 36º De esta forma, observando las figuras anteriores se puede ver que ADB  FAB por lo cual, si tomamos el pentágono de lado 1, tendremos que AB  1 y si llamamos x  AD , al valor de cualquier diagonal, dado que los

triángulos son isósceles AD  AF y AD  AB

Y dado que son semejantes, se tiene la siguiente relación de proporcionalidad entre sus lados correspondientes, la cual es:

AB AD  BF AB

Como BF  x  1 dado que DF  AF  AB  1 Sustituyendo se tiene

1 x  x 1 1

Multiplicando por los denominadores se tiene la ecuación 1  x( x  1)

La cual se puede escribir como: x2  x  1

Si se iguala a cero y se resuelve por la fórmula general se tiene que x2  x  1  0

En la fórmula general a=1, b= -1 c=-1

1  (1)2  4(1)(1) 1  5  Por lo tanto x  2 2

Como se está buscando una longitud, el resultado que se debe ser positivo, y por lo tanto su valor es

1 5 , este número es conocido como el número de 2

oro y es la proporción.

Si quieres conocer más del número de oro, ve la presentación que se encuentra en: http://www.ieslaasuncion.org/departamento/documentos/inicio/1151.swf

Ahora que ya conoces diversos números irracionales, regresemos al Teorema de Pitágoras, para que conozcas algunas de sus aplicaciones.

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

4.4 Aplicaciones

¿Sabías que los triángulos rectángulos son usados en la construcción de las casas y edificios?

Si observas las casas y edificios que habitamos están llenos de ángulos rectos, muchos albañiles usan las propiedades de los triángulos rectángulos para construir las esquinas de las casas, lo conocen como la regla 3, 4 y 5. Para construir las esquinas, una cuerda cualquiera, de la medida que sea, la dividen en 12 partes iguales, usando nudos para marcar cada una de las partes, por ejemplo pueden dividirla primero en dos partes y hacen un nudo, después cada una de las partes la dividen en otras 2 partes y en cada una de ellas hacen un nudo respectivamente y, finalmente, cada una de las partes entre cada nudo la dividen en 3 partes iguales (haciendo coincidir los dobleces de las cuerdas). Ya que tienen la cuerda dividida en 12 partes iguales, la unen en los extremos y la

estiran para formar un triángulo, de tal manera que queden 3 nudos en un lado, 4 nudos en otro y en el último queda 5 nudos, con esto tienen la certeza de que el ángulo que está entre los lados que miden 3 y 4 es exactamente de 90º y no necesitan ni regla, ni transportador, ni compás para tener una medición precisa de los ángulos de las esquinas.

A continuación vamos a trabajar en algunas aplicaciones del Teorema de Pitágoras, por ejemplo si se quiere calcular el área de un triángulo isósceles, que tiene por lado 5 cm.

Aplicación 1

Para calcular el área, con la fórmula convencional se requiere conocer las medidas de la base y de la altura, la base puede tomarse como cualquiera de los lados del triángulo, sin embargo para calcular su altura vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras, como se presenta a continuación.

Imagen 68 Como falta conocer un cateto, si le llamamos a, se tiene que: a  42  22  16  4  12

Ese es el valor de la altura, por lo tanto el área del triángulo es

A  bxh  4 12

Aplicación 2

Otra aplicación del Teorema de Pitágoras es el cálculo de alturas, por ejemplo se tiene una escalera de madera apoyada contra la pared (llega hasta la parte más alta de ésta), si se sabe que la escalera mide 8 m. y la distancia de la base de la escalera y el piso es de 1 m. ¿Cuál es la altura de la pared? En este caso, vamos a hacer un esquema para resolver el problema.

Imagen 69

Aquí hay que calcular el cateto que falta, si le llamamos b, se tiene que: b  82  12  64  1  63 sería la altura de la pared.

Aplicación 3

Un último ejemplo de aplicación, para que después tu resuelvas algunos problemas aplicando este importante Teorema.

Si tienes un cuadrado que mide 5 m de lado y se quiere construir una circunferencia circunscrita al cuadrado (que pase por sus vértices), ¿cuál será el área de dicha circunferencia?

Imagen 70

Se puede ver en la figura, que el diámetro de la circunferencia circunscrita es la diagonal del cuadrado de lado 5, por lo tanto, si sus catetos miden 5, su hipotenusa medirá

25  25  50 , como ése es el diámetro, el radio es

50 2

 50   25  por lo tanto su área es A   r 2          4  2

Para finalizar esta unidad, te invitamos a que mires a tu alrededor y observes en qué lugares hay triángulos rectángulos, reflexiona sobre lo que aprendiste del Teorema de Pitágoras, ¿podrías explicar la necesidad del pensamiento lógico de Pitágoras? Y ¿cómo el desarrollo de su pensamiento lógico influyó en los conocimientos que tenemos actualmente? Piensa ¿para qué te sirve haber desarrollado tu pensamiento lógico conociendo el Teorema de Pitágoras?

Esperamos, al igual que hayas disfrutado mucho lo que aprendiste en esta unidad y te invitamos a continuar desarrollando tu pensamiento lógico, en la siguiente unidad, en la cual hablaremos de forma más directa de la lógica en sí, como parte de las matemáticas.

Para consolidar este tema, te invito a revisar esta página: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

Actividades de aprendizaje (Se desarrollan en plataforma)

Evaluación de Unidad (Se desarrollan en plataforma)

Reflexión

Ahora que ya eres un experto de las Matemáticas, dinos ¿cómo podría serte útil el conocimiento del Teorema de Pitágoras?, ¿crees que valga la pena aprender

este

teorema?,

¿has

intentado

reproducir

las

diferentes

demostraciones de este teorema?, ¿alguna vez te has dado la oportunidad de arreglar los aspectos de tu vida como en un tangram para tomar la mejor decisión en tu proyecto de vida?, ¿cómo te consideras a ti mismo, un sujeto o un objeto dentro de la sociedad?, ¿estás seguro del proceso de causalidad o te guías por la casualidad?; cada sistema tiene un arreglo para mantener el equilibrio de sus dinámicas de vida, ¿conoces las dinámicas de tu cuerpo?

Conclusiones

Después de haber estudiado esta unidad te has dado cuenta que el Teorema de Pitágoras nos ayuda a resolver un sinfín se situaciones de nuestras actividades diarias; has entendido que este teorema se usa únicamente en triángulos rectángulos y que mediante el entendimiento de este fascinante tema puedes

encontrar

todos

los

números

irracionales

imaginables.

¡Enhorabuena! Ahora te invito a cerrar esta asignatura como uno de los grandes genios que has conocido a lo largo de esta maravillosa aventura del conocimiento; así que a encender motores y cargar más energía; ¿qué te parece si agregamos una mega dosis de entusiasmo?

Resumen Pensamiento Lógico de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Números Irracionales

El cuadrado de la hipotenusa es igual

Números que no son enteros por lo

a la suma del cuadrado de los catetos

que no puede expresarse como una

en todo triángulo rectángulo,

división exacta de dos números

c2 = a2 + b2

enteros.

Referencias De consulta Sitios de internet Disfruta las matemáticas Recuperado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teoremapitagoras.html Vitutor Recuperado de: http://www.vitutor.com/geo/eso/asActividades.html Aplicaciones teorema Pitágoras Recuperado de: http://nea.educastur.princast.es/repositorio/RECURSO_ZIP/1_jantoniozu _Fig_plan_espac/Fig_plan_espac/DOCS/problem%201.swf

Artículos Problemas resueltos Teorema de Pitágoras Recuperado de: http://matematicasjjp.webcindario.com/pitagoras_resueltos.pdf

Unidad 5. Simbolizando el pensamiento lógico

Introducción

En las cuatro unidades anteriores has visto cómo se desarrolló históricamente el pensamiento lógico, en particular para los griegos, simultáneamente también has estado desarrollando tu propio pensamiento lógico.

En esta unidad, vamos a dar un salto histórico hasta hace 150 años aproximadamente, cuando algunos filósofos y matemáticos se preocuparon por buscar algunas reglas para representar la lógica del pensamiento, creando una rama llamada “lógica simbólica”. Esta lógica es la base sobre la cual, casi todo el pensamiento científico del siglo XX fue construido, sus símbolos se incorporaron al lenguaje científico e incluso una buena parte de este lenguaje, es el que se usa en los lenguajes de programación de computadoras.

Como estudiante de bachillerato es fundamental que conozcas lo básico de la lógica simbólica y de sus reglas y esta unidad está dedicada a eso, así que te invitamos a iniciar este recorrido por la lógica simbólica.

Propósito

Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: Reconocer los principios básicos de la lógica de conjuntos, el uso de los símbolos y tablas de verdad como formas de evaluación del pensamiento; mediante la elaboración de ejercicios que le permitan reconocer la estructura racional del pensamiento; lo anterior le permitirá valorar la importancia de la comunicación correcta.

5.1 Necesidad de pensar en conjuntos

Para tener orden en nuestro pensamiento hacemos clasificaciones, desde niños aprendemos a clasificar, cuando empezamos a usar las palabras, en particular, los sustantivos como silla, coche, árbol, casa, etc., observamos que cada uno de ellos, por ejemplo las sillas, comparten muchas propiedades en común, como que sirven para sentarse, tienen respaldo y entonces aprendemos que una silla y un banco, no son lo mismo, a pesar de que pueden ser parecidos.

Esas categorías de clasificación que aprendemos a utilizar son las que nos permiten establecer las bases del conocimiento que se va construyendo socialmente.

Casi a finales del siglo XIX, los matemáticos comenzaron a preocuparse por buscar los fundamentos de las matemáticas, para eso trataron de encontrar cuáles debían ser las bases sobre las cuales se podían sustentar las matemáticas, al mismo tiempo, también buscaban una notación que fuera similar para todas las áreas de las matemáticas, ya que antes de eso, la notación que se usaba era personal, lo cual dificultaba el entendimiento entre matemáticos, aunque estuvieran tratando los mismos conceptos o conceptos similares a veces no se daban cuenta, porque cada uno los representaba de forma diferente.

Un grupo de matemáticos se dio cuenta que un concepto básico para todas las áreas de las matemáticas era el de conjunto, considerado como una agrupación abstracta de objetos, los cuales pueden ser tangibles como un conjunto de sillas o un conjunto de casas o abstractos, como un conjunto de números.

Este descubrimiento fue tan importante que a partir de entonces, se creó una

rama de las matemáticas, que se llama Teoría de Conjuntos, a quien se debe esta rama es a George Cantor, matemático alemán, que dedicó su vida precisamente al estudio de conjuntos.

Lo importante de los conjuntos es que a partir de ciertas clasificaciones abstractas, que están dadas por propiedades comunes, se puede construir todo el aparato matemático y también la ciencia en sí, pues le darán coherencia y validez a la misma. Muchas afirmaciones científicas se pueden expresar como relaciones entre conjuntos, por ejemplo: “todos los anfibios tienen una piel con glándulas que la humedecen”, dado que los sapos son anfibios, entonces los sapos tienen una piel con glándulas que la humedecen.

Imagen 71

De hecho, el ejemplo que se mencionó de los anfibios, muestra cómo al verificar que se cumplen ciertas características comunes se forman conjuntos y éstos permiten ordenar el conocimiento y encontrar más características de los mismos, de esta forma se va construyendo el pensamiento científico.

Piensa en alguna afirmación científica que pudieras validar de forma similar al ejemplo de los anfibios, seguramente muchos de los conocimientos que has adquirido, están basados en relaciones entre conjuntos.

¿Te das cuenta cómo toda tu vida has utilizado los conjuntos para aprender y comunicarte con los demás? Por eso los conjuntos son tan importantes para

pensar de manera lógica.

Después de los ejemplos que hemos analizado, comenzaremos por definir propiamente qué son los conjuntos.

Un conjunto es una agrupación de objetos, que pueden tener una relación común o no.

Los conjuntos tienen gran importancia en matemáticas, porque permiten delimitar de manera muy precisa lo que se va a estudiar.

Formas de conjuntos •

Por extensión, mencionando uno a uno sus elementos. Casi siempre los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y sus elementos van entre llaves, separados por comas, por ejemplo: A= {a, e, i, o, u} B= {1, 3, 5, 7, …} En el último caso, que el conjunto es infinito y no se pueden expresar todos

sus

elementos,

pero

éstos

tienen

cierto

patrón

comportamiento, entonces se pueden escribir los primeros y después escribir puntos suspensivos para indicar que el conjunto sigue infinitamente, con el patrón descrito por los elementos enunciados. •

Por comprensión (o intensión), describiendo de manera precisa qué características tienen los miembros del conjunto, de esta forma los mismos conjuntos del ejemplo anterior, definidos por comprensión son. A= {x | x es una vocal del alfabeto} B= {x | x es un número impar}

En el primer ejemplo, se lee “el conjunto de x tal que x es una vocal del alfabeto”, en este caso cualquier “cosa” que al ser sustituida en el enunciado por x y que haga verdadera la afirmación, será un elemento del conjunto, por ejemplo, si se sustituye “a” donde dice “x” se puede leer “a es una vocal del alfabeto” como este enunciado es verdadero, se puede afirmar que “a” es un elemento del conjunto. Por otro lado, cualquier “cosa” que al sustituirla no haga el enunciado verdadero no será elemento del conjunto, por ejemplo, si donde dice “x” se sustituye por “b”, la afirmación “b es una vocal del alfabeto” es falso y por lo tanto “b” no es elemento del conjunto. Es importante mencionar, que no todos los conjuntos se pueden definir por extensión y por comprensión, a veces la naturaleza del conjunto determina esto, por ejemplo, cuando los elementos del conjunto no tienen una característica común es mejor definirlos por extensión, mientras que si tienen características bien definidas y tienen muchos elementos, es mejor definirlos por comprensión.

Hasta ahora, con la definición de conjuntos, se han manejado implícitamente dos categorías de objetos matemáticos, los conjuntos y aquellos que son sus miembros, llamados en matemáticas: elementos.

Existe una relación entre elementos y conjuntos que es la de pertenencia y se denota por los símbolos  (pertenece) y ∉ (no pertenece). Por ejemplo, a partir de los conjuntos A y B definidos anteriormente se puede decir: uA 2∉B 5

En el primer caso se lee: “u pertenece a A” o también “u es elemento da A”, e igualmente “u está en A” En el segundo caso se lee: “2 no pertenece a B” o también “2 no es elemento de B”, e igualmente “2 no está en B” Los conceptos de elementos o conjuntos, no pueden ser remplazados por sinónimos en matemáticas, ya que están definidos precisamente y es importante utilizar estos términos.

Como puedes ver, casi lo que quieras puede ser representado como conjunto, por ejemplo, si quieres referirte a los aficionados que le van a cierto equipo de fútbol, como conjunto, puede expresarse como:

C= {x| x le va al Cruz Azul} D= {y | y le va a Pumas} E= {z | z le va al Barcelona}

Imagen 72

Para consolidar este tema haz una investigaciĂłn breve y sĂşbela al Foro de avisos. Menciona los tipos de conjuntos, los conectivos de las proposiciones compuestas, que es un antecedente y un consecuente y la caracterĂstica principal de cada tabla de verdad.

5.2 Simbolizando pensamientos

En la actividad que acabas de realizar, de alguna forma ya comenzaste a simbolizar pensamientos, en esta parte de la unidad, veremos otras formas de simbolización, que tienen que ver con la realización de operaciones entre conjuntos y su representación por medio de diagramas, vamos a trabajar cuatro operaciones entre conjuntos.

La primera operación con la que trabajaremos es la intersección, el símbolo que se utilizará para denotarla es: ∩ Al realizar esta operación se obtiene un nuevo conjunto formado por los elementos que coinciden en ambos conjuntos originales. Ejemplo: A= {3, 4, 5, 6, 7}

B= {1, 3, 5, 7}

A ∩ B= {3, 5, 7} Otro ejemplo, para obtener la intersección cuando los conjuntos están definidos por comprensión, las proposiciones que describen a cada conjunto se unen por la conjunción “y”. Ejemplo: A= {x | x es persona que usa lentes} B= {x | x es persona que tuvo varicela} A ∩ B= {x | x es persona que usa lentes y tuvo varicela} Es importante que prestes atención al conectivo “y” cuando se utiliza en el lenguaje matemático o científico, siempre se refiere a que se deben cumplir las dos propiedades que están siendo unidas por el conectivo, en este caso, cuando se habla de una persona que usa lentes y tuvo varicela, para pertenecer al conjunto A ∩ B debe cumplir las dos condiciones.

Para representar conjuntos y sus operaciones se utilizan los llamados diagramas de Venn, su nombre se debe al apellido de su inventor.

Los diagramas de Venn, usualmente se representan por medio de un rectángulo, que se considera el conjunto universal, el cual es el conjunto que contiene todos los elementos que serán considerados para las operaciones y después por medio de círculos u óvalos se representan los conjuntos que se encuentran dentro del conjunto universal y que tienen elementos específicos, por ejemplo si tomamos el primer ejemplo y consideramos el conjunto universal U={x | x es número natural menor que 10}, los conjuntos A y B con sus respectivos elementos se pueden representar de la siguiente manera:

Imagen 73

Aquí se puede ver que los elementos que están en la intersección, deben estar contenidos en los dos conjuntos y también que hay elementos que están en el conjunto universal, pero que no se encuentran ni en A, ni en B. Si, de forma general se quiere representar la intersección de dos conjuntos cualesquiera, se ilumina o sombrea, la parte que corresponde a la intersección, como se representa en la siguiente imagen:

Imagen 74

Operaciones de conjuntos

Unión A∩B Otra operación entre conjuntos es la unión, al realizar esta operación se obtiene un nuevo conjunto formado por todos los elementos que aparecen en cualquiera de ambos conjuntos originales.

Retomando los conjuntos definidos anteriormente, para realizar la unión entre ellos se tiene.

Ejemplo: A= {3, 4, 5, 6, 7} B= {1, 3, 5, 7} A U B= {1, 3, 4, 5, 6, 7}

Para obtener la unión cuando los conjuntos están definidos por comprensión, las proposiciones que describen a cada conjunto se unen por la conjunción “o”.

Ejemplo: A= {x | x es persona que usa lentes} B= {x | x es persona que tuvo varicela} A U B= {x | x es persona que usa lentes o tuvo varicela} Cuando se usa el enlace “o” en matemáticas, lo que indica es que es válido si se cumple una de las características, en este caso, al tomar la unión de los conjuntos, se tiene que si una persona usa lentes, aunque no le haya dado varicela pertenece a A U B, también si tuvo varicela aunque no use lentes, pertenece a A U B, y también pertenecen a ese conjunto los que cumplen las dos condiciones, es decir los de la intersección.

Esta idea puede quedar más clara si se ve el diagrama de Venn, de la unión.

Imagen 75

AUB. La unión representa el juntar todos los elementos de ambos conjuntos, la cual es diferente a la intersección.

Diferencia

Para calcular la diferencia entre dos conjuntos el orden es muy importante, se toma como base el primer conjunto y se le quitan todos los elementos que también aparezcan en el segundo conjunto.

Ejemplo: A= {3, 4, 5, 6, 7} B= {1, 3, 5, 7} A - B= {4, 6} Por otro lado, si calculamos B – A = {1} Nótese que B – A ≠ A – B El diagrama de Venn de A – B es:

Imagen 76

Éste representa lo que está en A que no está en B. Por otro lado, el diagrama de Venn de B – A es:

Imagen 77

En este caso lo que representa el diagrama es lo que está en B que no está en A.

Para operar la diferencia entre conjuntos que están definidos por comprensión las proposiciones que definen cada uno de los conjuntos se unen por la conjunción “y” negando la segunda proposición. Ejemplo: A= {x | x es persona que usa lentes} B= {x | x es persona que tuvo varicela} A - B= {x | x es persona que usa lentes y no tuvo varicela}

Complemento

La última operación que veremos es el complemento de un conjunto, para saber cuál es el complemento de un conjunto se debe tener como referencia el conjunto universal (o universo), que llamaremos U, el cual es el conjunto que tiene a la totalidad de objetos. A'=U–A El complemento es todo aquello que no está en A, pero sí en el universo. Ejemplos: Si el universo son los números naturales A= {2, 4, 6, 8, 10,…} A’ = {1, 3, 5, 7, 9,…} Si el universo son las letras del alfabeto 

B={x | x es vocal}

B’= {x | x es letra del alfabeto y no es vocal} El diagrama de Venn del complemento, se representa de la siguiente manera:

Imagen 78

A continuación consulta los ejemplos para representar por medio de diagramas algunos conjuntos.

Todas las operaciones que se acaban de representar, se pueden hacer no sólo con dos conjuntos, sino con más.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean los conjuntos R, S y C definidos de la siguiente forma: R= {x | x es una persona a la que le gusta el rock } S= {x | x es una persona a la que le gusta la salsa} C = {x | x es una persona a la que le gusta la música clásica}

Imagen 79

Vamos a representar por medio de diagramas de Venn y operaciones con conjuntos, algunos conjuntos derivados de los anteriores, por ejemplo el conjunto {x | x es una persona que le gusta la música clásica y el rock, pero no la salsa}

Su diagrama de Venn es el siguiente:

Imagen 80 Y en operaciones entre conjuntos se puede escribir como (R ∩ C) - S Ejemplo 2

El uso de paréntesis es importante, para determinar qué operaciones se hacen primero, es análogo al uso de paréntesis al realizar operaciones numéricas. Veamos otro ejemplo, el conjunto es:

{x | x es una persona a la que le gusta la salsa pero no el rock ni la música clásica}

En diagramas de Venn, esto se representa:

Imagen 81

Como operaciones entre conjuntos, esto puede representarse como: S- (R U S)

Ejemplo 3

Un ejemplo más, sea otro conjunto definido como {x | x es una persona a la que no le gusta la música o le gusta la música clásica}

La representación de este conjunto por medio de diagramas de Venn es:

Imagen 82

Su representación mediante operaciones con conjuntos es: (RUSUC)’ U C Es importante mencionar en este momento, que hay ocasiones en las cuales el mismo conjunto se puede representar de diversas formas mediante operaciones con conjuntos.

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5.3 Una fórmula básica para evaluar el pensamiento.

Los conjuntos definidos por extensión utilizan ciertos enunciados muy precisos, esos enunciados son muy importantes en el pensamiento lógico y se llaman proposiciones lógicas.

Para que un enunciado sea una proposición lógica debe poder ser calificado como verdadero o falso, no dependiendo del criterio de la persona que lo está calificando, sino que cualquier persona lo debe calificar de la misma manera, un ejemplo de proposición lógica es:

Los gatos vuelan

Es una proposición lógica, porque es falsa, cualquier persona puede calificarla de esta manera.

Un enunciado que no es una proposición lógica es:

La mejor obra musical que se ha compuesto es la novena sinfonía de Beethoven.

En este caso, aunque muchas personas pudieran estar de acuerdo, no hay un criterio que pueda determinar que esto es verdadero o falso.

También hay otros enunciados que no son proposiciones lógicas como:

Ponte a estudiar mucho.

Ese enunciado no puede ser calificado como verdadero o falso, por lo tanto no es una proposición lógica.

Para trabajar en lógica nos concentraremos únicamente en proposiciones lógicas, que serán la base para ir construyendo y validando el pensamiento lógico.

El estudio de la lógica proposicional se basa en la estructura de los enunciados y su valor de verdad, no en su contenido.

Vamos a denotar las proposiciones lógicas por letras minúsculas. a: Los árboles son seres vivos. b: Los elefantes son rosas.

Con las proposiciones anteriores, se puede apreciar que en las proposiciones lógicas, no es importante su significado, por ejemplo la proposición b podría considerarse incluso un absurdo, sin embargo, cumple con ser una proposición lógica, porque es falsa.

5.4 Cómo utilizar una tabla para validar proposiciones

Las proposiciones lógicas se pueden unir mediante ciertos conectivos y existen reglas para determinar el valor de verdad (verdadero o falso)

de cada

proposición compuesta para cada uno de los conectivos, a partir de los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Vamos a trabajar aquí los cinco conectivos principales:

Negación

Su símbolo es ¬, lo que hace este conectivo es que niega la proposición, por ejemplo, si la proposición

a: Las abejas vuelan ¬ a: Las abejas no vuelan.

Como se puede ver, la proposición a es verdadera y ¬ a es falsa. Otro ejemplo, la proposición b: El Everest no es la montaña más alta del mundo. Su negación sería:

¬ b: No es cierto que el Everest no es la montaña más alta del mundo. En este caso b es falsa y ¬ b es verdadera. Se puede ver que los valores de verdad para la negación son intuitivos, ya que si sabemos que una proposición es verdadera su negación debe ser falsa y viceversa, sin embargo con los otros conectivos lógicos ya no es tan intuitivo, para contar con todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta (con conectivos) se puede usar su tabla de verdad, la cual es un arreglo que considera todas las posibilidad, la tabla de verdad para la negación es la siguiente:

¬a

V F F V

Para construir una tabla de verdad se consideran todos los valores posibles de las proposiciones, en este caso, la proposición a puede ser o verdadera o falsa, eso se tiene en la columna correspondiente a “a”, después se considera cuáles son los valores de verdad de la negación, en este caso si “a” es verdadera entonces ¬ a es falsa y si a es falsa entonces a es verdadera.

Por cierto, con esto se puede apreciar, que la doble negación es lo mismo que la afirmación, por ejemplo, decir que: No es cierto que el Everest no es la montaña más alta del mundo, proposición que es verdadera, es lo mismo que decir que: El Everest es la montaña más alta del mundo.

Imagen 83

Muchas veces, en el lenguaje cotidiano se usa de forma incorrecta la doble negación, por ejemplo: decir que no hay ninguno, es lo mismo que decir que hay alguno.

En el lenguaje matemático la estructura es muy importante y hay que tener en cuenta detalles tan importantes como las dobles negaciones.

Conjunción Las tablas de verdad fueron inventadas por Charles Pierce, un filósofo inglés que nació en el siglo XIX, aunque la versión de ellas más conocida y utilizada es la propuesta por otro filósofo nacido en Austria: Ludwig Wittgenstein.

Ahora veamos la tabla de verdad de otro conectivo, la conjunción, su símbolo es  se lee como “y” Para formar la conjunción se requieren dos proposiciones, si a una proposición le llamamos a y a la otra b, todos los posibles valores de verdad son que ambas sean verdaderas, que a sea verdadera y b falsa, que a sea falsa y b verdadera o que ambas sean falsas. Una conjunción es verdadera solamente cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas.

ab

V V V V F F F V F F F F

Es importante hacer énfasis en que para el análisis de la lógica proposicional no es importante el contenido de las proposiciones, al usar un conectivo entre las proposiciones simples, no es necesario que éstas se refieran a cosas que tengan que ver.

Analicemos el valor de verdad de la conjunción de ciertas proposiciones, comencemos con las siguientes proposiciones simples:

c: Los perros tienen cuatro patas. d: La Segunda Guerra Mundial terminó en 1945 f: Hay unicornios en las calles.

Imagen 84

Imagen 85

Estas proposiciones pretenden ejemplificar que lo que importa es la estructura de la conjunción, es decir los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen y no que el contenido sea coherente.

Formemos algunas conjunciones y encontremos su respectivo valor de verdad. c  d: Los perros tienen cuatro patas y la Segunda Guerra Mundial terminó en 1945.

En este caso como c es verdadera y d es verdadera, tenemos que la conjunción c  d es verdadera.

ab

V V V V F F F V F F F F

Estaríamos en el caso del primer renglón de la tabla de verdad. Hagamos otro ejemplo. c  f: Los perros tienen cuatro patas y hay unicornios en las calles.

En este caso, el valor de verdad de la proposición c  f es falsa, observando la tabla, estaríamos en el caso del segundo renglón. a

ab

V V V V F F F V F F F F

Disyunción Ahora trabajaremos con otro conectivo, se llama disyunción, su símbolo es  y se lee “o” Su tabla de verdad es: a

ab

V V V V F V F V V F F F

Una proposición compuesta por disyunción, sólo es falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas, en otros casos, con que una de las proposiciones que la componen es verdadera, toda la disyunción es verdadera.

Si retomamos las proposiciones c, d y f del ejemplo anterior y formamos disyunciones con ellas, obtenemos: d  f: La Segunda Guerra Mundial terminó en 1945 o hay unicornios en las calles.

La proposición d  f es verdadera, ya que una de sus componentes es verdadera, estaríamos en el caso del segundo renglón a

ab

V V V V F V F V V F F F Si ahora formamos la disyunción f  c su enunciado queda: Hay unicornios en las calles o los perros tienen cuatro patas Esa proposición es verdadera también, en ese caso estamos en el tercer renglón de la tabla. a

ab

V V V V F V F V V F F F Un último ejemplo de disyunción es  c  f cuyo enunciado queda: Los perros no tienen cuatro patas o hay unicornios en las calles. Como esta proposición está formada por dos proposiciones simples falsas, entonces se tiene que es falsa y estaríamos en el cuarto renglón de la tabla. a

ab

V V V V F V F V V F F F

Los conectivos que hemos visto hasta el momento, se emplean en el lenguaje cotidiano también, aunque, como ya se mencionó, no siempre se emplean adecuadamente.

Implicación Vamos a ver otro conectivo, que se ocupa menos en el lenguaje cotidiano y usualmente se ocupa en un sentido distinto que en la lógica simbólica, ese conectivo se llama implicación, su símbolo es:  una flecha exactamente así, la expresión ab se lee “Si a entonces b” En el lenguaje cotidiano casi sólo se usa para marcar las consecuencias, sin embargo en lógica simbólica representa un enunciado en sí mismo, con su propio valor de verdad. La tabla de verdad es la siguiente:

a b

ab

V V

F F

V V

F V

La implicación sólo es falsa, si la primera proposición, conocida como antecedente, es verdadera y la segunda proposición, conocida como consecuente, es falsa.

De esa forma, utilizando las proposiciones c, d y f anteriores, se puede formar la implicación fc que es: Si hay unicornios en la calle entonces los perros tienen cuatro patas.

Y aquí, contrariamente a cualquier intuición, esta proposición es verdadera, estaríamos en el tercer renglón de la tabla.

ab

V V V V F F F V V F F V

Sin embargo, la proposición cf que es: Si los perros tienen cuatro patas entonces hay unicornios en la calle, es una proposición falsa y estaríamos en el segundo renglón de la tabla, en la implicación el orden de las proposiciones simples que la componen es muy importante. a

ab

V V V V F F F V V F F V

Doble implicación

El último conectivo que veremos se conoce como doble Implicación, se escribe ab y se lee: “a si y sólo si b” Su tabla de verdad es: a

ab

V V V V F F F V F F F V

En este caso, si las dos proposiciones que lo componen tienen el mismo valor de verdad, el resultado de la doble implicación es verdadero, pero si las

proposiciones que componen la doble implicación tienen diferente valor de verdad, entonces el valor de verdad de la proposición compuesta es falso.

Vamos a hacer un par de ejemplos de proposiciones compuestas con doble implicación. c  d: Los perros tienen cuatro patas si y sólo si la Segunda Mundial terminó en 1945

En este caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. Por otro lado, si se forma f  d: Hay unicornios en la calle si y sólo si la Segunda Guerra Mundial terminó en 1945, es una proposición falsa ya que sus componentes tienen diferente valor de verdad.

Todo lo que trabajamos en esta unidad es de gran importancia, porque es la base de la estructura del pensamiento científico, para que alguna afirmación pueda considerarse científica, debe cumplir con varias características, una de ellas es que debe ser verdadera y “universal”, es decir que la afirmación no sea válida sólo a veces o en ciertas regiones o para ciertos elementos, sino que se cumpla siempre, en donde sea, a menos que la misma afirmación delimite el lugar o las circunstancias bajo las cuales se cumple.

Por ejemplo, son afirmaciones científicas: “todos los peces viven en el agua” “cuando sobre la superficie de un planeta es lanzado un objeto hacia arriba y adelante describe una trayectoria parabólica.” Sin embargo, hay otras afirmaciones que no son científicas. “si una persona se moja por la lluvia se enferma de gripe”

Aunque pudiera ser cierta muchas veces, no siempre es así. Lo que hemos trabajado en esta unidad es fundamental para desarrollar tu propio pensamiento lógico y para que puedas comenzar a pensar científicamente, con las reglas de estructura que tiene este tipo de pensamiento.

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Reflexión

Ya que has terminado esta unidad y conocer el concepto de conjunto, los conectivos entre conjuntos, esto es sus relaciones entre ellos, ¿Qué tan importante puede ser el estudio de la Teoría de Conjuntos?, ¿crees que podrías relacionar la teoría de conjuntos con nuestro papel dentro de la familia, de nuestra escuela, de la sociedad, de nuestro planeta, del universo?, ¿te parece importante conocer el conectivo con el que nos insertamos en cada sistema?

Esperamos que hayas disfrutado esta unidad y todo el curso y que realmente tu pensamiento lógico se haya desarrollado y hayas adquirido los elementos básicos para seguir desarrollándolo por tu cuenta.

Resumen Lógica de Conjuntos

Conjunto

Agrupación de elementos que tienen una o varias características en común.

Por extensión o explícito

Por intensión o

A= {a, e, i, o, u}

implícito A={x | x es una vocal del alfabeto}

Simbolización

A ∩ B; A y B

A U B; A o B

ab; a entonces b

ab; a si y solo si b

ab

ab

ab

ab

Referencias De consulta Sitios de internet Colegio de Postgraduados, FES Zaragoza UNAM Recuperado de: http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm Blog. Razonamiento matemรกtico Recuperado de: http://razonamientomatematicow.blogspot.mx/2012/01/teoria-deconjuntos-teoria-y-problemas.html Scribd Recuperado de: http://es.scribd.com/doc/13972233/CONJUNTOS-teoria-y-problemas