Avances y Desarrollos en Variable Compleja Bienvenido al curso a distancia Avances y desarrollos de variable compleja
Mediante este curso conocerás los conceptos básicos de variable compleja, desde el álgebra de los complejos hasta las integrales de contorno. En todo momento se hace referencia a los conceptos correspondientes de variable real, ya que es importante entender los conceptos en variable compleja como una generalización de los de variable real. El curso está estructurado por cuatro unidades, cada una comienza con una breve introducción que te permitirá contextualizarte en el tema que se revisará. Unidad 1 Analizar el origen, operaciones básicas y álgebra de los números complejos, para identificar su representación geométrica y las diferencias entre el campo real y el campo complejo. Unidad 2. Demostrar la geometría de las funciones de variable compleja, sus logaritmos, trigonométricas, potenciales y raíces para determinar su mapeo, conociendo los conceptos de límite y continuidad para identificar la diferencia entre variable compleja y la real. Unidad 3 Analizar el concepto de derivada compleja, mediante la solución de funciones analíticas y raíces de los complejos, para determinar cuándo es una variable real y cuándo es una compleja. Unidad 4 Analizar la integración compleja mediante la solución de integrales de contorno, estableciendo las diferencias entre variable compleja y real. Al finalizar de estudiar el curso obtendrás una visión del quehacer matemático, podrás identificar las diferencias y similitudes de los conceptos en variable compleja con su correspondiente en variable real, podrás realizar operaciones básicas y álgebra de los números complejos, demostrar la geometría de las funciones de variable compleja, identificarás las diferencias entre variable compleja y variable real
Objetivos Al finalizar el curso el estudiante podrá: Analizar un área avanzada de las matemáticas con el fin de obtener una visión del quehacer matemático, para poder identificar y relacionar los conceptos de variable compleja con su correspondiente en variable real.
Unidades de aprendizaje Unidad 1. Números complejos
Unidad 2. Funciones complejas
Unidad 3. Funciones analíticas
Unidad 4. Integración compleja
Método Didáctico Guiar al estudiante en diversas actividades en las que deberá investigar, estudiar conceptos y analizar desarrollos, para presentar una evidencia de su aprendizaje, generalmente escritos donde ejemplifique los desarrollos analizados o explique los conceptos estudiados. Donde reflexione sobre aspectos importantes referentes, como por ejemplo una comparativa de los conceptos entre la variable compleja y la variable real. Participación en foros de discusión para generar conclusiones generales. Realiza actividades con problemas donde desarrolla sus habilidades para la solución de estos. Durante el curso se podrán observar algunos videos proporcionados que están relacionados con los temas de igual forma se leerán diferentes documentos los cuales permitirán diseñar diferentes formas de solucionar problemas matemáticos, se llevarán a cabo foros con diferentes temas a opinar, los comentarios que se establezcan deben de ser con respeto y responsabilidad de lo que se escribe, todos deberán complementar los comentarios de sus compañeros, el profesor al finalizar los foros dará una conclusión, durante el curso se trabajará con la manipulación de diferentes applet para la manipulación y solución de actividades, las cuales se deben de realizar en tiempo y forma ya que todas tendrán calificación para evaluación.
Referencias bibliográficas Unidad 1
Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 2
Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 3
Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. En esta referencia encuentran el texto completo de Marsden. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 4
Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. En esta referencia encuentran el texto completo de Marsden. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 1. Números Complejos Objetivo
Estudiar el origen, operaciones básicas y álgebra de los números complejos, para identificar su representación geométrica y las diferencias entre el campo real y el campo complejo.
Guía de actividades 1.
Actividad de inducción.
Concepto de campo Esta actividad te ayudará a identificar qué es un campo y reconocer los conocimientos que tienes acerca de cuáles números complejos y sus operaciones conoces 2.
Actividad 1.
Operaciones básicas con complejos Con esta actividad podrás determinar el proceso que se requiere al realizar la resta y división de números complejos. 3.
Actividad 2.
Inversos y neutros en los complejos Está actividad te permitirá definir los neutros e inversos aditivo y multiplicativo, mediante su comprobación. 4.
Actividad 3.
El campo de los complejos Al participar en el siguiente foro te permitirá verificar que los números complejos son un campo mediante las operaciones de suma y multiplicación. 5.
Actividad 4.
Álgebra de complejos Mediante esta actividad podrás estudiar el álgebra de los números complejos dando soluciones, demostrando y construyendo geométricamente un número complejo. 6.
Actividad de cierre.
Diferencia entre el campo real y el campo complejo
Esta actividad te ayudarĂĄ a identificar las principales diferencias entre el campo de los reales y complejos, mediante tu participaciĂłn y la de tus compaĂąeros en el foro.
UMA 1 Un nĂşmero complejo đ?‘§ es de la forma đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–, donde đ?‘Ž y đ?‘? son nĂşmero reales e đ?‘– se define como đ?‘– = √−1, de modo que đ?‘– 2 = −1. Al ser đ?‘– un nĂşmero que elevado al cuadrado es negativo, entonces đ?‘– no es un nĂşmero real, pues ningĂşn real puede satisfacer tal cosa. Dado el complejo đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– se define la parte real de đ?‘§ đ?‘…đ?‘’ đ?‘§ = đ?‘Ž y la parte imaginaria đ??źđ?‘š đ?‘§ = đ?‘?. De este modo si đ?‘? = 0, entonces se dice que đ?‘§ es un real puro (un nĂşmero real), y si đ?‘Ž = 0, entonces se dice que đ?‘§ es un imaginario puro. Dados dos nĂşmeros complejos đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– y đ?‘¤ = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘– se define la suma de complejo como:
y el producto como:
đ?’› + đ?’˜ = (đ?’‚ + đ?’„) + (đ?’ƒ + đ?’…)đ?’Š đ?’› ∙ đ?’˜ = (đ?’‚đ?’„ − đ?’ƒđ?’…)) + (đ?’‚đ?’… + đ?’ƒđ?’„)đ?’Š
Los complejos surgen de la imposibilidad de resolver ecuaciones como đ?‘Ľ 2 + 1 = 0con los nĂşmeros reales. Si despejamos đ?‘Ľ obtenemos đ?‘Ľ = √−1, y por lo tanto tal ecuaciĂłn no tiene soluciĂłn real. Pero si tiene soluciones complejas: đ?‘Ľ1 = đ?‘– y đ?‘Ľ2 = −đ?‘–. AsĂ como los nĂşmeros reales se representan geomĂŠtricamente en la recta real, los complejos tambiĂŠn tienen una representaciĂłn geometrĂa, en el plano complejo:
Referencias bibliográficas. Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoria de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-
Unidad 2. Funciones complejas Objetivo:
El estudio de esta unidad te permitirá: Demostrar la geometría de las funciones de variable compleja, sus logaritmos, trigonométricas, potenciales y raíces para determinar su mapeo, conociendo los conceptos de límite y continuidad para identificar la diferencia entre variable compleja y la real.
Guía de actividades 1.
Actividad de inducción.
De cartesianas en polares en números reales. Esta actividad te ayudará a establecer el cambio que surge en coordenadas cartesianas a polares de números reales 2.
Actividad 1.
Funciones elementales. Esta actividad te permitirá estudiar las funciones exponenciales, logaritmos, trigonométricas, potenciales y raíz complejas mediante la solución de complejos. 3.
Actividad 2.
Geometría de funciones complejas. Esta actividad te ayudará a estudiar la geometría de funciones elementales para determinar el mapeo de estas 4.
Actividad 3.
Límite y continuidad complejos. Esta actividad te ayudará a conocer y repasar los conceptos de límite y continuidad en la variable compleja, mediante la demostración. 5.
Actividad de cierre.
Funciones complejas contra reales. Esta actividad te permitirá concluir esta unidad comparando y compartiendo tus conocimientos con tus compañeros acerca de algunos conceptos de funciones de variable real con su contra parte compleja.
UMA 1 Al estudiar funciones de variable real, es decir funciones que van de ℝ en ℝ, la gráfica de estas funciones esta contenida en el plano cartesiano ℝΧℝ. Sin embargo en el caso de las funciones de variables complejas, que van de ℂ en ℂ, sus gráficas estarían contenidas en ℂΧℂ, o lo que es lo mismo ℝ2 Χℝ2 , un espacio de cuatro dimensiones, que ya no podemos dibujar. En las funciones de variable compleja no se trabaja con la gráfica de la funciones; del mismo modo como en el cálculo vectorial, lo que se estudia son los mapeos o transformaciones de regiones en el dominio al contra dominio. Es decir, para las funciones de variables complejas estudiamos como las funciones mapean regiones del plano complejo en el plano complejo. Funciones que asocian un punto en el plano complejo con otro punto en otro plano complejo.
Bibliografía. Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 3. Funciones analíticas Objetivo: El estudio de esta unidad te permitirá:
Analizar el concepto de derivada compleja, mediante la solución de funciones analíticas y raíces de los complejos, para determinar cuándo es una variable real y cuándo es una compleja
Guía de actividades 1.
Actividad de inducción.
Derivada en funciones de variable real. Esta actividad te ayudará a definir el concepto de derivada y su importancia en las funciones de variable real. 2.
Actividad 1.
Derivación compleja. Está actividad te permitirá analizar el concepto de derivada en la variable compleja. 3.
Actividad 2.
Funciones analíticas. Esta actividad te servirá para determinar los aspectos que se requieren para que una función sea analítica, mediante la solución de ejemplos en condiciones particulares. 4.
Actividad 3.
Raíces en los complejos. Esta actividad te ayudará a reconocer el concepto de raíz y el teorema del factor en un polinomio con variable compleja, para identificar las raíces que existen en un polinomio.
5.
Actividad de cierre.
Función derivable en el sentido real contra función analítica en el sentido complejo. Esta actividad te permitirá comparar el concepto de derivada con su contraparte compleja, que ya revisaste en la unidad.
UMA 1
Si se revisa la definición de deriva en el sentido real y derivada en el sentido complejo, ambas se definen con el siguiente límite: lim┬(z→z_0 )〖(f(z))-f(z_(0)))/(z-z_0 )〗 con z en el campo correspondiente. Sin embargo, hay diferencias significativas en las consecuencias de que dicho límite exista en uno u otro caso. Por ejemplo, en el caso real, que una función sea derivable no implica que las derivadas superiores existan, a diferencia del caso complejo donde al existir la derivada compleja, todas las derivadas de orden superior existen. Geométricamente la diferencia esta que en el caso real, cuando nos acercamos a un punto, lo hacemos por la derecha o bien, por la izquierda
Pero para las funciones complejas nos podemos acercar a un punto por una trayectoria cualquiera:
Referencias bibliográficas (Sitios de interés)
Ahlfors, L. V. (1971). Análisis de Variable Compleja. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. Madrid, España: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. En esta referencia encuentran el texto completo de Marsden. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20Análisis%20Básico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 4. IntegraciĂłn compleja Objetivos:
El estudio de esta unidad te permitirĂĄ: Analizar la integraciĂłn compleja mediante la soluciĂłn de integrales de contorno, estableciendo las diferencias entre variable compleja y real
GuĂa de actividades
Actividad de inducciĂłn IntegraciĂłn en variable real. Retomar el concepto de integral para determinar su importancia en las funciones de variable real. Actividad 1. La integral compleja. Esta actividad te permitirĂĄ reconocer el concepto de integraciĂłn en la variable compleja, para realizar cĂĄlculos de integrales. Actividad 2. Integral en una curva cerrada. Esta actividad te permitirĂĄ ejemplificar la integraciĂłn en una curva cerrada mediante la argumentaciĂłn del valor de âˆŤđ?›ž Actividad 3.
1 �� �2
El teorema fundamental del ĂĄlgebra. Al participar en este foro podrĂĄs estudiar las caracterĂsticas mĂĄs importantes acerca del teorema fundamental del ĂĄlgebra, complementando tus conocimientos con los de tus compaĂąeros. Actividad de cierre. Conclusiones entre la variable real y compleja. Al participar en el siguiente foro podrĂĄs reflexionar y contrastar los conocimientos acerca de variable real y lo aprendido de variable compleja.
UMA 1 En la integraciĂłn en variable real, siempre se integra sobre intervalos, subconjuntos de la recta real. Pero en funciones complejas podemos integrar sobre una regiĂłn cualquiera, un subconjunto del plano complejo. En funciones complejas tambiĂŠn se puede integrar sobre una lĂnea, pero a diferencia de la variable real, dicha lĂnea no tiene que ser recta, sino una curva cualquiera. Tales integrales se llaman integrales de contorno. Por contorno entendemos una funciĂłn continua de un intervalo a los complejos: đ?›ž: [đ?‘Ž, đ?‘?] → â„‚
Al igual que en variable real, que el signo de la integral cambia segĂşn el recorrido del intervalo, del mismo modo en la integral compleja, segĂşn el recorrido del contorno se afecta el signo de la integral. En esta unidad se estudian las integrales de contorno.
Referencias bibliogrĂĄficas (Sitios de interĂŠs)
Ahlfors, L. V. (1971). AnĂĄlisis de Variable Compleja. IntroducciĂłn a la teorĂa de funciones analĂticas de una variable compleja. Madrid, EspaĂąa: Aguilar. Marsden, J. E., & Hoffman, M. J. (1996). AnĂĄlisis BĂĄsico de Variable Compleja. MĂŠxico: Trillas. En esta referencia encuentran el texto completo de Marsden. http://galletue.ingmat.udec.cl/~camilo/material_udec/icm/Libros/Marsden,%20J.%20E.,%20Hoffman,%20M. %20J.%20-%20AnĂĄlisis%20BĂĄsico%20de%20Variable%20Compleja.pdf
Unidad 1Números complejos
U1. Actividad de inducción Concepto de campo Esta actividad te ayudará a identificar qué es un campo y reconocer los conocimientos que tienes acerca de cuáles números complejos y sus operaciones conoces En un archivo Word realiza una investigación acerca de qué es un campo, compleméntala mencionando y de los conjuntos de números que conoces (N, Z, Q y R), así como sus operaciones, y cuáles estructuras son campos, y cuáles no. Expón detalladamente porqué hay casos que no lo son. Al finalizar guarda tu documento en tu PC, selecciona tu archivo, da clic en subir archivo, selecciona enviar.
Unidad 1Números complejos
U1. Actividad de aprendizaje 1 Operaciones básicas con complejos Con esta actividad podrás determinar el proceso que se requiere al realizar la resta y división de números complejos. En un archivo Word explica cómo se realiza la resta y la división compleja. Desarrolla un ejemplo de estos dos tipos de operaciones. Al finalizar tu actividad guarda tu documento en tu PC, da clic en subir archivo, selecciónalo, da clic en enviar.
Unidad 1Números complejos
U1. Actividad de aprendizaje 2 Inversos y neutros en los complejos Está actividad te permitirá definir los neutros e inversos aditivo y multiplicativo, mediante su comprobación. Dado un complejo z=a+bi, menciona y comprueba cuál es su neutro aditivo y multiplicativo; del mismo modo menciona y comprueba cuál es su inverso aditivo y multiplicativo. Redacta tu respuesta en un archivo Word. Al finalizar tu actividad guarda tu documento en tu PC. Da clic en subir archivo, selecciónalo de tu PC, y envíalo
Unidad 1Números complejos
U1. Actividad de aprendizaje 3 El campo de los complejos Al participar en el siguiente foro te permitirá verificar que los números complejos son un campo mediante las operaciones de suma y multiplicación. En este foro se encuentra un tema de discusión publicado por tu tutor, al participar haz lo siguiente. 1. Ve al tema de discusión de apertura en él mencionaras y comprobaras como es qué los números complejos con sus operaciones de suma y multiplicación son un campo. 2. Haz clic en el botón “responder” y envía tu comprobación. 3. Al finalizar haz clic en el botón que señala su elección de no obtener copias de este foro para evitar la saturación de e-mail. 4. Una vez que hayas respondido a tu tutor, revisa las comprobaciones de tus compañeros, y realízales un comentario acerca de si se cumple o no su comprobación.
5. No abra nuevo tema de discusión 6. Tu tutor publicará la conclusión de todas las participaciones al finalizar el foro. 7. Toma en cuenta que se calificarán todas las participaciones.
Unidad 1Números complejos
U1. Actividad de aprendizaje 4 Algebra de complejos Mediante esta actividad podrás estudiar el álgebra de los números complejos dando soluciones, demostrando y construyendo geométricamente un número complejo. Estudia el álgebra de los complejos, para ello y en un documento Word realiza lo siguiente: 1. Encuentre las soluciones de: z4-i=0 (z+1)2=3+4i 2. Calcúlense:
Unidad 2Funciones complejas
U1. Actividad de inducciĂłn De cartesianas en polares en nĂşmeros reales
Esta actividad te ayudará a establecer el cambio que surge en coordenadas cartesianas a polares de números reales 1. En archivo Word redacta una descripción acerca de como pasar un punto de coordenadas cartesiana a polares. 2. Igualmente, escoge una función en coordenadas cuadraticas y escríbela en coordenadas polares. 3. Realiza el trazo de su gráfica en ambas coordenadas. 4. Cuando finalices tu actividad, guarda tu archivo en tu PC, da clic en subir archivo, selecciónalo y envíalo.
Unidad 2Funciones complejas
U2. Actividad de aprendizaje 1 Funciones elementales Esta actividad te permitirá estudiar las funciones exponenciales, logaritmos, trigonométricas, potenciales y raíz complejas mediante la solución de complejos. Estudia las funciones exponencial, logaritmo, trigonométricas, potencia y raíz complejas, y realiza lo siguiente: En un archivo Word expresa en la forma a+bi los complejos e3-i y cos( 2 + 3i). Resuelve sen z = 3/4 + i/4 y sen z = 4. Encuentra todos los valore de log (1+i). Al terminar tu actividad guarda tu archivo en tu PC. Da clic en subir archivo, selecciónalo y da clic en enviar.
Unidad 2Funciones complejas
U2. Actividad de aprendizaje 3
Límite y continuidad complejos
Unidad 2Funciones complejas
U2. Actividad de cierre Funciones compleja contra reales Esta actividad te permitirá concluir esta unidad comparando y compartiendo tus conocimientos con tus compañeros acerca de algunos conceptos de funciones de variable real con su contra parte compleja. En este foro se encuentra una pregunta de discusión publicada por tu tutor. Al participar haz lo siguiente:
1. Ve al tema de discusión de apertura, en él tendrás que reflexiona y redactar la comparación que existe entre las funciones complejas y los conceptos relacionados de límite y continuidad en función de la variable real. 2. Una vez que terminaste tu respuesta da clic en el botón “responder” y envía tu respuesta. 3. Las comparaciones mencionadas por tus compañeros no se podrán repetir. 4. Al finalizar haz clic en el botón que señala su elección de no obtener copias de este foro para evitar la saturación de e-mail. 5. Una vez que hayas respondido a tu tutor, revisa las respuestas de tus compañeros, y realiza un comentario mencionando si estás de acuerdo o no acerca de la comparación que realizaron y porqué 6. No abra nuevo tema de discusión 7. Tu tutor publicará la conclusión de todas las participaciones al finalizar el foro. 8. Toma en cuenta que se calificarán todas las participaciones
Unidad 3Funciones analíticas
U3. Actividad de inducción Derivada en funciones de variable real. Esta actividad te ayudará a definir el concepto de derivada y su importancia en las funciones de variable real. 1. En un archivo Word redacta porqué una función de variable real es derivable, interpreta el concepto de variable real y explica su importancia. 2. Al terminar tu interpretación, guarda tu documento en tu PC. 3. Da clic en subir archivo, selecciona tu documento y da clic en enviar.
Unidad 3Funciones analíticas
U3. Actividad de aprendizaje 1 Derivación compleja Está actividad te permitirá analizar el concepto de derivada en la variable compleja. Antes de realizar esta actividad estudia las funciones analíticas, al tener claro las funciones podrás realizar lo siguiente: En un archivo Word comprueba que las funciones z2 y z3 satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Determina el conjunto dónde la función z2+3z+2 es analítica y calcula su derivada. Prueba que si g(w) y f(z) son analíticas, entonces g(f(z))) es analítica. Al finalizar tu actividad guarda tu documento en tu PC. Da clic en subir archivo, selecciónalo y da clic en enviar
Unidad 3Funciones analíticas
U3. Actividad de aprendizaje 2 Funciones analíticas
Unidad 3Funciones analíticas
U3. Actividad de aprendizaje 3 Raíces en los complejos Esta actividad te ayudará a reconocer el concepto de raíz y el teorema del factor en un polinomio con variable compleja, para identificar las raíces que existen en un polinomio. En un archivo Word realiza lo siguiente: Muestra que si un polinomio p(z)=an zn+⋯+a1 z+a0 tiene una raíz c, entonces se puede escribir p(z)=(z-c))h(z), donde h(z) es un polinomio de grado n-1. Usa el punto 1. para mostrar que p no puede tener más de n raíces.
Una vez que terminaste tu actividad guarda tu documento en tu PC. Da clic en subir archivo, selecciona tu documento y da clic en enviar. Después de haber concluido tu actividad participaras en el foro donde responderás a la siguiente pregunta: ¿Cuándo, c es una raíz tanto de p(z) como de p'(z)? Para ello deberás: Dar clic en el botón "responder" y enviar su respuesta y opinión. Haz clic en el botón que señala su elección de no obtener copias de este Foro para evitar la saturación de e-mail. Una vez que hayas respondido a tu tutor, deberás enviar comentarios a por lo menos tres de sus compañeros de clase complementando su respuesta. No abra un nuevo tema de discusión. Su tutor publicar la conclusión de todas las participaciones en el final de el foro. Se calificará todas las participaciones
Unidad 3Funciones analíticas
U3. Actividad de cierre Función derivable en el sentido real contra función analítica en el sentido complejo Esta actividad te permitirá comparar el concepto de derivada con su contraparte compleja, que ya revisaste en la unidad. En este foro, se encuentra un tema de discusión publicado por tu tutor. para participar, haz lo siguiente: 1. Ve al tema de discusión de apertura en el cual mediante una reflexión compararas las funciones derivables, de variable real, con las funciones analíticas
2. Haz clic en el botón "responder" y envía tu respuesta. 3. Haz clic en el botón que señala su elección de no obtener copias de este Foro para evitar la saturación de e-mail. 4. Una vez que haya respondido a tu tutor, tendrás que enviar comentarios a por lo menos tres de sus compañeros de clase. 5. No abra un nuevo tema de discusión. 6. Tu tutor publicar la conclusión de todas las participaciones en el final del foro. 7. Se calificará todas las participaciones
Unidad 4Integración compleja
U4. Actividad de inducción Integración en variable real. Retomar el concepto de integral para determinar su importancia en las funciones de variable real. En un archivo Word mediante tus conocimientos previos da la definición de qué una función de variable real sea integrable, interpreta el concepto y explica su importancia. Al terminar tu actividad guarda tu documento en tu PC. Da clic en subir archivo, selecciónalo y da clic en enviar.
Unidad 4Integración compleja
U4. Actividad de aprendizaje 3 El teorema fundamental del álgebra Al participar en este foro podrás estudiar las características más importantes acerca del teorema fundamental del álgebra, complementando tus conocimientos con los de tus compañeros
En este foro, se encuentra un tema de discusión publicado por tu tutor. para participar, haz lo siguiente: 1. Ve al tema de discusión de apertura en el cual tienes que mencionar cuál es el teorema fundamental del algebra y sus principales características. Argumenta la validez de este resultado 2. Una vez que tengas tu respuesta da clic en el botón "responder" y envía tu respuesta. 3. Haz clic en el botón que señala su elección de no obtener copias de este foro para evitar la saturación de e-mail. 4. Una vez que haya respondido a tu tutor, tendrás que enviar comentarios a por lo menos tres de sus compañeros de clase complementando el teorema y las características que ellos mencionaron. 5. No abra un nuevo tema de discusión. Tu tutor publicará la conclusión de todas las participaciones en el final del foro. 6. Se calificará todas las participaciones.
Unidad 4Integración compleja
U4. Actividad de cierre Conclusiones entre la variable real y compleja Al participar en el siguiente foro podrás reflexionar y contrastar los conocimientos acerca de variable real y lo aprendido de variable compleja. En este foro, se encuentra un tema de discusión publicado por tu tutor. para participar, haz lo siguiente: 1. Ve al tema de discusión de apertura en el cual tienes que redactar la relación que consideras que existe entre tus conocimientos de variable real con lo estudiado de variable compleja en esta unidad. 2. Una vez que tengas tu respuesta da clic en el botón "responder" y envía tu respuesta. 3. Haz clic en el botón que señala la elección de no obtener copias de este foro para evitar la saturación de e-mail.
4. Una vez que haya respondido a tu tutor, tendrás que enviar comentarios a por lo menos tres de sus compañeros de clase complementando la relación que ellos identificaron en sus conocimientos, menciona si estas o no de acuerdo con ellos y porqué. 5. No abra un nuevo tema de discusión. Tu tutor publicará la conclusión de todas las participaciones en el final del foro. 6. Se calificará todas las participaciones