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Avances y Desarrollos en Biomatemáticas Presentación

La asignatura de Avances y Desarrollos en Biomatemáticas se ubica en el currículo de la MADEMS en el cuarto semestre, dentro de las materias optativas. Se ubica en la línea de formación disciplinaria. Su objetivo particular es la utilización de las herramientas matemáticas en la modelación de diversos fenómenos biológicos para dar respuesta y resolver problemas de trascendencia en el desarrollo y convivencia de algunos grupos de seres vivos. Proporciona los elementos conceptuales del área biológica y los vincula con los objetos matemáticos que mejor modelen los fenómenos dinámicos La asignatura proveerá de las herramientas básicas matemáticas para abordar algunos de los fenómenos que más han impactado a la humanidad: crecimiento de poblaciones, epidemias, ciclos circadianos y osciladores biológicos entre otros.

Autores: (en orden alfabético) Mtro. Jorge Javier Jiménez Zamudio y Mtra. Jeanett López García.

Objetivo

El alumno(a) será capaz de: Mostrar capacidad para comprender y utilizar los contenidos disciplinarios en aplicaciones de las Matemáticas en otros campos del conocimiento, en específico la Biología, y que muestre la capacidad de investigación y creación de documentos escritos adecuados al nivel de un posgrado dentro o fuera de la UNAM.

Unidades

Unidad 1: Introducción a la biología matemática. Unidad 2: Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas. Unidad 3: Modelos Poblacionales. Unidad 4: Interacción entre especies. Unidad 5: Ciclos biológicos y sincronización.

Método didáctico

La asignatura está planeada para cursarse en dieciséis semanas. Este curso ser trabajará a través de diferentes lecturas que tendrás que realizar, así como las actividades de inducción, de aprendizaje y cierre en cada una de las unidades de la asignatura. Las actividades consisten en reflexiones, resúmenes, ensayos, simulaciones y resolución de ecuaciones matemáticas. La originalidad, calidad, claridad y entrega oportuna de las diversas tareas serán componentes de tu calificación. Si surge alguna duda al realizar las actividades no dudes en comentarlo en el foro general de la asignatura. La evaluación de la asignatura se llevará durante todo el curso, es decir, será continua. Cada actividad que realices se guardará en la plataforma y no con correos electrónicos. También trabajarás en la redacción de un documento conjunto a través de foros y de una wiki. Las actividades son muy importantes para tu evaluación, incluyendo las actividades de foro. Las actividades que lo requieran, te serán reenviadas con observaciones y correcciones que deberás realizar y entregar a tiempo según marque tu asesor (a). Es recomendable que antes de entrar al curso te familiarices con la plataforma, navegues por ella y ubiques los rubros que tiene, localices tu carpeta y el calendario, Para conocer los criterios de evaluación y su porcentaje consulta el apartado de Evaluación.

Evaluación

Porcentaje

Indicadores de desempeño

Simulaciones

35%

Asertividad, calidad, claridad, exposición auto-explicable y entrega oportuna

Cuestionarios

20%

Asertividad, calidad, claridad y entrega oportuna

Ejercicios matemáticos

20%

Asertividad, calidad, claridad, exposición auto-explicable y entrega oportuna

Lectura y resúmenes o ensayos.

15%

Asertividad, calidad, claridad y entrega oportuna

Participación en foro

Participación activa, reflexiva y argumentada; originalidad, calidad, claridad y entrega oportuna

Wiki

Creatividad, asertividad, calidad, claridad y entrega oportuna

Bibliografía

Unidad 1

Pacheco, J. (s/f). ¿Qué es la biología matemática?, http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo35.pdf

Recuperado

Esteva, L. y Falconi, M. (2012). “Biología matemática”. Un enfoque desde los sistemas dinámicos. México: Facultad de Ciencias. UNAM. Miramontes, P. (s/f). “La Biología Matemática”. http://www.matematicas.unam.mx/biomat/pedro/raymundo.pdf

Recuperado

Biología matemática (s/f). Wikipedia Recuperado http://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADa_matem%C3%A1tica

de de

III Carnaval de Biología: “El crecimiento exponencial de las bacterias”. (2011). Francis (th)E mule Science's News. Recuperado de http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/04/23/iii-carnaval-de-biologia-elcrecimiento-exponencial-de-las-bacterias/ Ensayo sobre el principio de la población. (s/f). Wikipedia. Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_sobre_el_principio_de_la_poblaci%C3%B3n Ramírez, J., Contreras, G. y Gómez, C. (2005). “La fase estacionaria en la bacteria Escherichia coli”. Recuperado de http://www.medigraphic.com/pdfs/lamicro/mi2005/mi05-3_4f.pdf

Unidad 2

Esteva L. “Clásicos de la Biología Matemática” México: Siglo XXI Editores OMS (2013) “Epidemias mundiales e impacto del cólera” , recuperado de http://www.who.int/topics/cholera/impact/es/ Dietz, K., Heesterbeek, J.A.P. () “Daniel Bernoulli’s epidemiological model revisited”recuperado de http://faculty.uml.edu/klevasseur/courses/92.555/Bernoulli_epidemiology.pdf Strogatz S. (1994) “Nonlinear Dynamics and Chaos” Estados Unidos: Westview Press Montecinos OA, Hernandez CM.(2007)“Modelos matemáticos para enfermedades infecciosas” recuperado de http://www.scielo.org.mx/pdf/spm/v49n3/07.pdf Ortega C. “Ecopatología de las Enfermedades Animales” recuperado de http://acteon.webs.upv.es/CONGRESOS/XI%20Reunion%20MG%20PAMPLONA %202002/Docs%20XI/COrtega.pdf Pliego, CE. (2011). “Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas” recuperado de http://fismat2.fcfm.buap.mx/fismat/secacad/tesisLicMat/EmileneCarmelitaPliegoPliego.pdf

Unidad 3

Malthus: An Overview, February (1996). http://www.cs.hmc.edu/~belgin/Population/malthus.htm.

Recuperado

Unidad 4

Allman, E. & Rhodes, J. (2004). “Mathematical Models in Biology an Introduction” New York, Cambridge. Esteva, L. y Falconi, M. (2012). “Biología matemática Un enfoque desde los sistemas dinámicos” México, UNAM: May, R. & McLean, A. (2007). “Theoretical Ecology”. New York: Oxford. Murray, J. (2002). “Mathematical Biology: I. An introduction”, Third Edition. New York, Springer.

Unidad 5

Lara-Aparicio, M. (2002). “Modelos Matemáticos de los Ritmos Circadianos: de Wiggleswoth a Winfree” En Sánchez, G., Miramontes, P. y Gutiérrez, J. (ed.) “Clásicos de la Biología Matemática” México: Siglo XXI. Strogatz, S. (1994). “Nonlinear Dynamics and Chaos” USA Perseus Books. Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la UNAM. “Ritmos circadianos” Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=NXGdSSi1peE National Institute of General Medical Sciencies. “Tick Tock: New Clues About Biological Clocks and Health”. Recuperado de http://publications.nigms.nih.gov/insidelifescience/biological-clocks.html

Unidad 1. Introducción a la biología matemática

Introducción a la biología matemática Bienvenidos a la Unidad 1 de Biológia Matemática Objetivo Durante la revisión de esta unidad se busca introducir al estudiante en algunas de las principales áreas de estudio de la biomatemática. . Biología matemática Históricamente las matemáticas se han desarrollado a través de su participación en el desarrollo de otras ciencias. Cada interacción revitaliza y mejora su campo. Una de las disciplinas científicas que en los últimos años ha presentado un cambio sustancial, por sus nuevos descubrimientos y avanzadas técnicas de investigación es la Biología. En consecuencia, este ha sido un terreno favorable para el incremento del uso de las matemáticas. Una nueva e interesante rama de estudio, tanto para matemáticos como para los biólogos es la biología matemática. Su éxito y desarrollo, en tanto interdisciplinaria, depende de la convergencia de un conocimiento profundo de la biología y de cierta capacidad en modelación matemática. Es innegable el impacto económico que el desarrollo de algunos problemas de salud pública han ocasionado a las poblaciones, por lo que es deseable que la biología matemática, a través de modelos matemáticos sólidamente soportados, sustente la toma de decisiones. En esta unidad se presentan dos ejemplos introductorios, que han impactado históricamente en el desarrollo de la biología matemática principalmente: crecimiento bacteriano y las epidemias, analizados a través de herramientas matemáticas fundamentalmente determinísticas: las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencia.

Epidemiología básica.

Los servicios de salud pública necesitan contar con instrumentos para prepararse y enfrentar eficazmente problemas tales como las epidemias. Los adelantos médicos, tecnológicos, el progreso científico y el conocimiento y análisis de situaciones patológicas, son elementos importantes para adaptar y mejorar los servicios de prevención y corrección para una mejor sanidad de la población. Uno de los instrumentos es el relativo a los “modelos epidemiológicos” que implican una intersección entre los conocimientos matemáticos y biológicos, dando origen a la biología-matemática o biomatemáticas. De sobra se sabe que algunas enfermedades infecciosas, son resultado de una interacción entre un agente patógeno (microorganismos invasores), el huésped y el medio ambiente, y que la supervivencia de aquéllos depende de una eficaz transmisión a un huésped susceptible. La transmisión de estos microorganismos puede ser de manera horizontal directa cuando el huésped infeccioso transmite la enfermedad o infección a un huésped susceptible mediante el contacto físico. La transmisión horizontal indirecta, supone la existencia de un vehículo intermedio vivo o inanimado, que transmite la infección entre un huésped infeccioso y otro susceptible. Los modelos epidemiológicos se definen como una representación matemática de la epidemiología de la transmisión de la enfermedad y de los procesos que van asociados con ella, y constituyen una base de bajo coste para estudiar esas interacciones, evaluar sus impactos y simular las respuestas de posibles intervenciones. Entre la variedad de modelos, existen los cuantitativos deterministas basados en sistemas de ecuaciones diferenciales que son una representación de la dinámica de la transmisión de las enfermedades en una determinada población. Por mucho, la mayoría de los modelos desarrollados son simplificaciones de situaciones más complejas. Para una buena construcción del modelo se requiere conocer con cierta precisión la epidemiología. Se debe contar con datos en cantidad y calidad suficientes, sin embargo, añadir elementos o variables puede aumentar la complejidad sin necesariamente mejorar la calidad o bien no incluirlas, puede no considerar variables explicativas del fenómeno y en consecuencia tener un modelo erróneo.

Crecimiento exponencial de las bacterias.

Un modelo sobre el crecimiento de bacterias, propone que los microorganismos en un medio de cultivo con suficientes nutrientes y condiciones adecuadas se reproducen de formas diversas, entre ellas en forma exponencial. El crecimiento de la población tendería ser infinitamente grande, sin embargo de detiene cuando algún nutriente del medio de cultivo se agota. El crecimiento modelado como exponencial sólo es válido durante la fase inicial del proceso. Durante la fase de crecimiento exponencial, las bacterias tienden a ser grandes y cuando la población se satura y sobrevienen una desaceleración del crecimiento, en el caso, las bacterias son más pequeñas aunque su densidad es mayor. Cuando los nutrientes escaseen más aún, , la población empezará a decrecer. Hay muchos otros modelos que introducen detalles en el proceso de nutrición de las bacterias pero que al mismo tiempo introducen nuevos parámetros libres cuya determinación empírica se vuelve engorrosa. En esta sección el estudiante deberá modelar a través de una ecuación diferencial lineal, el crecimiento exponencial de cualquier microorganismo y analizar el efecto de este modelo a corto y largo plazo. Escherichia Coli La Escherichia coli, también conocida por la abreviación de su nombre, E. coli, Es una bacteria utilizada frecuentemente en experimentos de genética y biología molecular y en consecuencia quizá es uno de los microorganismo más estudiado por el ser humano. Se trata de una enterobacteria que se encuentra generalmente en los intestinos animales, y por ende en las aguas negras, pero se lo puede encontrar en todos lados, dado que es un organismo ubicuo. Fue descrita por primera vez en 1885 por Theordore von Escherich, quien la denominó Bacterium coli. Posteriormente la taxonomía le adjudicó el nombre de Escherichia coli, en honor a su descubridor. Ésta y otras bacterias son necesarias para el funcionamiento correcto del proceso digestivo, además de producir las vitaminas B y K. Aunque la mayoría de las cepas son inocuas y viven en los intestinos de los seres humanos y animales saludables, esta cepa produce una potente toxina y puede ocasionar enfermedades graves. Se sabe de un gran brote epidémico de cerca de 3255 con 33 fallecidos casos producido por el serotipo enterohemorrágico. No obstante el análisis realizado a las heces de los pacientes, se desconoció el origen 10

de la bacteria en toda la cadena hasta el consumidor, desde la producción, el transporte y la distribución, por lo que no se puede descartar la manipulación de productos en Alemania, que ha sido señalada como el país de origen de la intoxicación ocurrida en viajeros que tocaron suelo Alemán. La E. Coli es un organismo unicelular, que tiene dos tipos de reproducción: (i) Asexual, que se realiza por bipartición, en donde el ADN bacteriano se duplica. En algunos casos, las bacterias se dividen cada 20 minutos, dando origen a 109 bacterias en 10 horas. (ii) Reproducción parasexual, que involucra un proceso en el cual las bacterias pueden intercambiar material genético

Bibliografía Pacheco, J. (s/f). ¿Qué es la biología matemática?, http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo35.pdf

Recuperado

Biología matemática (s/f). Wikipedia Recuperado http://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADa_matem%C3%A1tica

de de

“Las peores epidemias que ha experimentado la humanidad”. (2007). Todo interesante. Recuperado de http://todointeresante.wordpress.com/2007/11/02/laspeores-epidemias-que-ha-experimentado-la-humanidad/ III Carnaval de Biología: “El crecimiento exponencial de las bacterias”. (2011). Francis (th)E mule Science's News. Recuperado de http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/04/23/iii-carnaval-de-biologia-elcrecimiento-exponencial-de-las-bacterias/ Ensayo sobre el principio de la población. (s/f). Wikipedia. Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_sobre_el_principio_de_la_poblaci%C3%B3n Ramírez, J., Contreras, G. y Gómez, C. (2005). “La fase estacionaria en la bacteria Escherichia coli”. Recuperado de http://www.medigraphic.com/pdfs/lamicro/mi2005/mi05-3_4f.pdf 11

.Unidad 2. Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Objetivo El objetivo de la siguiente unidad radica en introducir al estudiante en algunos de los principales elementos que componen los Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas.

UMA 1 Epidemias y su impacto socio-político Las epidemias, en la época actual siguen siendo un motivo de preocupación, no sólo en el aspecto de salud pública, sino en lo relativo a los estragos sociales y económicos. Entre las epidemias actuales que están impactando al mundo se encuentran la del cólera y la del VIH/SIDA. En el contexto económico La pobreza agrava las enfermedades y éstas generan pobreza, generando un círculo vicioso que es necesario romper. Limitaciones y/o impuestos a las importaciones de ciertos alimentos. Ha sido obligada intervención del estado para dar terapia antirretroviral de forma gratuita y universal, como elemento esencial para de reducción de daños y de riesgos, sin embargo, aún es necesario un mayor esfuerzo, una mayor inversión y un mayor compromiso en la lucha contra la epidemia. Aún existen desigualdades alarmantes en su tratamiento, pues mientras unos gozan de medicamento y atención otros simplemente carecen de cualquier tipo de apoyo. En el contexto social Se perjudica el capital humano, se genera rechazo y marginación de las poblaciones más vulnerables, en el caso del VIH, discriminación de minorías, afectación a poblaciones de jóvenes de entre 15 y 24 años, orfandad, restricciones en la movilidad de viajeros y daño al turismo. Se requiere de más medidas preventivas, con fuertes programas educativos que a su vez sirvan de apoyo y asistencia a la población, respetando su integridad e identidad. 12

En el contexto de la salud En una región de África, el sida es la causa principal de muerte, con incremento en Europa Oriental y Asia Central. De acuerdo con los datos proporcionados por el ECDC en el 2007, la epidemia está creciendo en Europa, con un predominio de la transmisión sexual, que se ha multiplicado por 3 desde 1998 y a nivel mundial, el número de niños menores de 15 años que viven con el VIH aumentó de 1,6 millones en 2001 a 2 millones en 2007. En esta unidad se presentan los modelos matemáticos sobre epidemias más estudiados, haciendo hincapié en los modelos para la influenza y en el concepto de umbral, como el elemento clave para la declaratoria de una epidemia. UMA 2. Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas De acuerdo con Murray (p. 315) la historia de las epidemias es aún un área fascinante. Una epidemia que ha ejercitado a los estudiosos por largo tiempo es la Plaga de Atenas. Thucydides, (460 395 a.C.) fue un historiador griego y general ateniense en la guerra del Peloponesio, quien al haber sufrido y sobrevivido a la enfermedad fue capaz descrita con gran detalle por incluyendo síntomas y evolución de la enfermedad. Un aspecto relevante en su narración, es que no hace mención del contagio persona a persona, sino que era generalmente aceptado el aire fétido exhalado por el maligno desde la Tierra, lo cual en esa época no era tan grotesca como uno podría suponer. Aún en nuestros días, el VIH es atribuido como una consecuencia del mal en algunos grupos sociales. Fue gracias a los trabajos de Insertar recurso RC02 Jacob Henle, al dar clic en Jacob Henle aparece imagen: Jakob_Henle_uni_2, con texto: (julio de 1809-mayo de1885, fue un médico alemán, patólogo y anatomista que escribió el ensayo "On Miasma [emanación mefítica] and Contagia") Robert Koch, al dar clic en Robert Koch aparece imagen: Robert_Koch_uni_2, con texto: (diciembre de 1843–mayo de 1910, médico y científico alemán, famoso por haber aislado el bacilo de la tuberculosis y considerado uno de los fundadores de la Microbiología y Louis Pasteur, al dar clic en Louis Pasteur aparece imagen: Louis_Pasteur_uni_2 con texto: (diciembre de1822–septiembre de 1895, fue químico y microbiólogo, notable por la creación de las primeras vacunas contra la rabia y el antrax) entre otros, los que describen los mecanismos de transmisión involucrados en una enfermedad, lo que permitió el desarrollo de modelos matemáticos. No obstante, ya había habido intentos de modelación matemática sobre enfermedades, por ejemplo Daniel Bernoulli. al dar clic en Daniel Bernoulli aparece imagen: Daniel_Bernoulli_uni_2 con texto: Matemático suizo nacido el 8 de febrero de 1700 y muerto el 17 de 13

marzo de 1782. Miembro de la familia Bernoulli que dio al mundo once grandes matemáticos, a lo largo de cuatro generaciones y quienes contribuyeron de forma notable a la clasificación de las ecuaciones diferenciales y a su reducción a cuadraturas publicó en 1766 un breve reporte sobre la inoculación de la viruela. UMA 3. Modelos de: Kermack y McKendrick, Ross-MacDonald, SIR Según Lourdes Esteva, en Clásicos de la biología matemática, Hammer en 1906 postulo que el curso de una epidemia depende de la tasa de contactos entre individuos susceptibles e infecciosos, idea que fue precursora de "La ley de acción de masas" insertar recurso RLB 01 con texto , que es uno de los conceptos más importantes en la epidemiología matemática. Al dar clic en La ley de acción de masas aparece el texto: La ley de masas o ley de acción de masas establece que para una reacción química reversible en equilibrio a una temperatura constante, una relación determinada de concentraciones de reactivos y productos, tienen un valor constante. La ley fue enunciada en 1867 por Guldberg y Waage, y debe su nombre al concepto de masa activa, lo que posteriormente se conoció como actividad. En: http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_acci%C3%B3n_de_masas En los modelos clásicos se considera una población total constante, en el cual se introduce un pequeño grupo de individuos infectados dentro de una población suficientemente grande. El problema consiste en describir la propagación de la infección dentro de la población como una función del tiempo. Existen variaciones entre los diferentes modelos, por ejemplo, si un individuo después de recuperarse de la enfermedad adquiere inmunidad o no a ésta. UMA 4 Umbrales en los modelos epidemiológicos Los matemáticos Kermack y McKendrick introdujeron en su modelo un resultado espectacular conocido como el teorema del umbral, el cual postula que la introducción de un individuo infeccioso a una población no necesariamente generará un brote epidémico, a menos que se sobrepase un parámetro, basado en el número de susceptibles, llamado umbral. En otras palabras, puede suscitarse una enfermedad, pero para que se considere epidémica, debe sobrepasar el umbral asociado a la enfermedad y la población susceptible. Este parámetro se puede calcular matemáticamente a partir de datos que se pueden conocer con cierta facillidad.

Para el análisis de la evolución de una epidemia existen algunos indicadores como son: el número reproductivo básico, el número de contactos y el número de reemplazos, cantidades a las que se les suele llamar cantidades umbral. Adicionalmente, existen métodos para determinar el riesgo de la enfermedad, dando origen al concepto denominado razón de prevalencias. Toda vez que se conozcan las cantidades anteriormente señaladas, los modelos matemáticos podrán predecir con cierta aproximación la tendencia de la enfermedad.

Bibliografía Esteva L. “Clásicos de la Biología Matemática” México: Siglo XXI Editores OMS (2013) “Epidemias mundiales e impacto del cólera” , recuperado de http://www.who.int/topics/cholera/impact/es/ Dietz, K., Heesterbeek, J.A.P. () “Daniel Bernoulli’s epidemiological model revisited”recuperado de http://faculty.uml.edu/klevasseur/courses/92.555/Bernoulli_epidemiology.pdf Strogatz S. (1994) “Nonlinear Dynamics and Chaos” Estados Unidos: Westview Press Montecinos OA, Hernandez CM.(2007)“Modelos matemáticos para enfermedades infecciosas” recuperado de http://www.scielo.org.mx/pdf/spm/v49n3/07.pdf Ortega C. “Ecopatología de las Enfermedades Animales” recuperado de http://acteon.webs.upv.es/CONGRESOS/XI%20Reunion%20MG%20PAMPLONA %202002/Docs%20XI/COrtega.pdf Pliego, CE. (2011). “Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas” recuperado de http://fismat2.fcfm.buap.mx/fismat/secacad/tesisLicMat/EmileneCarmelitaPliegoPliego.pdf

Unidad 3. Modelos Poblacionales.

Objetivo:

Introducir al estudiante en algunos de los principales modelos de poblaciones

Modelos de poblaciones Desde el punto de vista matemático, es decir del tipo de herramientas matemáticas a utilizar, podemos hablar de dos tipos de modelos: Deterministas: Son aquellos donde no se tienen en cuenta el azar. En estos modelos, ante unos datos iniciales idénticos siempre se obtiene los mismos resultados. Estocásticos: Son aquellos donde se considera que el azar influye en el proceso. En estos modelos, ante unos mismos datos iniciales se pueden obtenerse diversos resultados. El desarrollo de un modelo supone desarrollar una serie de fases: Formulación del modelo: Implica el diseño del modelo a nivel teórico, de acuerdo a la información que conozcamos acerca del proceso observado. En esta fase lo realmente importante es decidir ”que se desea modelar y porque”, lo que supondrá definir cada elemento que lo integra así como las relaciones entre ellos. Verificación del modelo: El objetivo en esta fase es comprobar si el modelo realiza lo que se piensa que debe hacer. Para ello se diseñan pruebas, como por ejemplo aplicarlo a un caso teórico que se conozca bien.

Validación del modelo: se trata de aplicar el modelo a un caso real conocido para ver si es correcta su formulación. Análisis de Sensibilidad de los parámetros: En esta fase, se trata de modificar los datos correspondientes a los factores importantes para ver como varían los resultados con el modelo. Aplicación del modelo: Una vez completadas las fase anteriores, podemos aplicar el modelo a la situación que queremos estudiar y analizar los resultados obtenidos. El análisis de estos resultados nos va a proporcionar, por ejemplo, datos de si se va a extinguir una enfermedad, datos sobre contagios extraído de “modelos matemáticos de población.

Leyes de Ecología Poblacional De acuerdo con Tim Coulson, al dar clic en Tim Coulson aparece imagen: Tim Coulson, con texto; Ecología de poblaciones. Mi investigación en esta área identifica factores fenotípicos y ambientales que afectan a la edad y la supervivencia específica de un sexo, la fecundidad y la dispersión y el impacto de la variación en estas tasas vitales, y covariación entre ellos, en la variación en el crecimiento de la población. H. Charles J. Godfray, al dar clic en: en H. Charles J. Godfray aparece imagen: Charles J. Godfray, con texto; Hugh Charles Jonathan Godfray CBE FRS (nacido el 27 de octubre 1958) es un zoólogo británico. Él es la esperanza profesor de Zoología en el Colegio Jesús de Oxford. en el capítulo 3 del libro “Theoretical Ecology”, con relación al crecimiento de poblaciones, existen algunas interrogantes por resolver, por ejemplo ¿qué es lo determina la densidad de las diferentes especies de plantas, animales y microorganismos con los cuales compartimos el planeta? ¿por qué ocurren los fluctuaciones y extinciones?, y ¿cómo interactúan las diferentes especies para determinar la abundancia de los demás? Para dar ciertas respuestas, existen algunos modelos matemáticos, quizá sobre simplificados, que tratan con especies cuya dinámica poblacional puede estudiarse sin incluir explícitamente la dinámica de otras especies del ecosistema. La razón de esta sobre reducción es que permite modelar y describir muchos fenómenos con mayor simpleza y claridad y que son sumamente útiles para la

comprensión de las poblaciones reales, especialmente aquellos en ambientes relativamente simples. De un razonamiento muy simple es obvio que la densidad o número de individuos en una población cerrada es aumentado por nacimientos y disminuido por las muertes; si fuese una población abierta entonces se requiere incluir la inmigración y emigración en el cálculo. Si las tasas de nacimiento y mortalidad quedan constantes, entonces el aumento o disminución en número de población ocurre exponencialmente. El cálculo de las tasas de crecimiento exponencial para diferentes tipos de población a pesar basarse en una suposición simplista puede ser muy útil para una variedad de problemas en Biología Aplicada de la población. Los primeros modelos han sido deterministas, ya fuesen discretos o continuos, sin embargo, en los últimos años se han visto alcances positivos en el estudio de las poblaciones que toman en cuenta los efectos estocásticos. Uno de los modelos más reconocidos se debe a Thomas Malthus, quien si bien no fue el primero en apreciar la naturaleza geométrica de crecimiento de la población, pero si lo fue para trabajar a través de sus consecuencias. En su ensayo (de alrededor de 125 cuartillas) sobre el principio de la población de 1798, ilustra claramente el poder de crecimiento geométrico y muestra que si el crecimiento de la población esté descontrolado tomaría pocos años para que el número total de individuos e cualquier especie fuese mayor que la propia Tierra.

Leyes de Malthus y Verhulst Según Gutiérrez y Sánchez (1998) el uso de modelos matemáticos en la ecología proporciona una metodología matemática que puede proporcionar resultados que no se derivan de una metodología estrictamente biológica y que pudiera ser de interés para los no matemáticos. Desde luego que para describir el comportamiento demográfico de una población implica la consideración de una gran variedad de parámetros, más allá del número de nacimientos y muertes, por ejemplo si la población se encuentra espacialmente distribuida en forma homogénea o comprimida o quizá distribuida al azar. Entre los modelos determinísticos se debe considerar las siguientes variantes: si la dinámica de la población responde a generaciones separadas o si las generaciones están traslapadas; la primera sugiere el uso de modelos discretos y la segunda de modelos continuos.

Entre los modelos más sencillos se encuentran: el de Malthus discreto y Malthus continuo, cuya modelación implica ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales respectivamente. Un modelo continuo en el tiempo, que considera más variables es el de Verhulst, algunas veces referenciado como una curva de crecimiento logístico o ecuación logística. Este modelo se puede llevar a una ecuación iterativa cuadrática llamada mapeo logístico.

La función logística, la telaraña y el caos determinístico La teoría del caos dice: “El caos es la complejidad de la supuesta causalidad en la relación entre eventos sin que se observe una traza que relacione la causa con el efecto”. Esto significa que cualquier evento insignificante del universo tiene el poder potencial de desencadenar una ola de eventos que alteren el sistema completo. El espacio fase de una ecuación diferencial escalar que no depende explícitamente del tiempo —sistema dinámico autónomo unidimensional—se manifiesta en una dimensión. La dependencia de parámetros hace que la dinámica de su comportamiento torne significativamente relevante. Esto se debe a que la estructura cualitativa del flujo puede cambiar cuando se varían los parámetros. En particular, los puntos fijos pueden ser creados o destruidos y, en consecuencia, su estabilidad puede cambiar. Esos cambios cualitativos son llamados bifurcaciones y los valores del parámetro en los cuales los cambios ocurren son llamados puntos de bifurcación. Para una determinada ecuación diferencial o en diferencia, el comportamiento de sus bifurcaciones puede sintetizarse en ciertas representaciones llamados diagramas de bifurcación. Las bifurcaciones de puntos fijos que ocurren para flujos sobre una línea, corresponden a los ejemplos más sencillos, los cuales no obstante su simplicidad, logran capturar lo que sucede en casos de dimensión mayor. Las más importantes son: la bifurcación nodo-silla, transcrítica y de horquilla o tridente. La representación gráfica de la ecuación logística, al ir variando el parámetro permite ver una dinámica que para ciertos valores, se origina el caos determinístico. Uno de los autores más relevantes sobre la dinámica de la función logística discreta es Robert M May, al dar clic en Robert M. May aparece imagen: lordrobert-may con texto; Robert McCredie May, el barón de mayo de Oxford, (nacido 19

el 8 de enero de 1938) es un científico australiano que ha sido asesor científico del Gobierno británico, el presidente de la Royal Society, y un profesor en Sydney y Princeton. Imparte cátedra conjunta en Oxford y el Colegio Imperial de Londres. May es miembro del Merton College, Oxford, y un miembro designado por el Consejo de la Asociación Británica de Ciencia. También es miembro del Consejo Asesor de la Campaña para la Ciencia y la Ingeniería. quien desarrolló para las dinámicas poblacionales del reino animal. Fue capaz de lograr grandes avances en el campo de la biología poblacional, a través de la aplicación de técnicas matemáticas. Su trabajo desempeñó un papel clave en el desarrollo de la ecología teórica a través de las décadas de 1970 y 1980 y aplicó estas herramientas para el estudio de las enfermedades y de la diversidad biológica. Bibliografía May, R. & McLean, A. (2007). Theoretical Ecology. New York: Oxford. Malthus: An Overview, February (1996). http://www.cs.hmc.edu/~belgin/Population/malthus.htm.

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Thomas Hillen. Applications and Limitations of the Verhulst Model for Populations. Recuperado de http://www.math.ualberta.ca/pi/issue6/page19-20.pdf y de Logic Equation de la p. May, R. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Recuperado de http://abel.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/may.pdf López M. (s/f). Ecología de Poblaciones. Leyes Ecológicas. Recuperado de https://www.google.com.mx/#hl=en&output=search&sclient=psyab&q=leyes+de+ec ologia+poblacional&oq=leyes+de+ecolog%C3%ADa+&gs_l=hp.1.1.0i22i30l4.1007 8.16207.0.20316.18.16.0.2.2.0.277.2954.0j12j4.16.0...0.0...1c.1.7.psyab.jbZHlKaaI kA&pbx=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.44442042,d.eWU&fp=b2af6b1832676dbe& biw=1252&bih=504 Malthus, T. (1798). An Essay on the Principle of Population. 1998, Electronic Scholarly Publishing Project. Recuperado de http://www.esp.org Allman, E. & Rhodes, J. (2004). Mathematical Models in Biology. Cambridge University,.

New York:

Gutiérrez, j. y Sánchez, F. (1998). Matemáticas para las ciencias naturales. México: Sociedad Matemática Mexicana

Unidad 4. Interacción entre especies.

El objetivo de la siguiente unidad radica en el análisis de los modelos de interacción entre especies.

Modelos de competencia En la ecología, el principio de exclusión competitiva, a veces referido como la ley de exclusión competitiva o simplemente la Ley de Gausse al dar clic en la ley de gause aparece: imagen: G.F.Gausse con texto, Georgii Frantsevich Gause (27 diciembre 1910 hasta 4 mayo 1986), fue un biólogo ruso que propuso el principio de exclusión competitiva, fundamental para la ciencia de la ecología. Se dedicaría la mayor parte de su vida posterior a la investigación de antibióticos, es una propuesta que establece que dos especies que compiten por los mismos recursos no pueden coexistir si otros factores ecológicos son constantes. Cuando una especie tiene la más mínima ventaja o ventaja sobre otra, entonces el uno con la ventaja dominará en el largo plazo. Uno de los dos competidores que siempre superar la otra, que conduce a la extinción de este competidor o un cambio evolutivo o de comportamiento hacia un nicho ecológico diferente. El principio ha sido parafraseada en la máxima "competidores completos no pueden coexistir". A continuación algunos elementos que componen el principio de exclusión competitiva: Bases experimentales Basándose en las observaciones de campo, Joseph Grinnell formuló el principio de exclusión competitiva en 1904: "Dos especies de aproximadamente los mismos hábitos alimenticios no son susceptibles de permanecer mucho tiempo igualado en número en la misma región Uno desplazar a la otra.". La exclusión competitiva es predicho por una serie de modelos matemáticos y teóricos, tales como los modelos de Lotka-Volterra mediante la producción de una mayor concentración de alcohol etílico. Predicción competencia. Sin embargo, por razones poco conocidas, la exclusión competitiva se observa raramente en los ecosistemas naturales, y muchas

comunidades biológicas parecen violar la ley de Gause. El ejemplo más conocido es la paradoja del plancton. Todas las especies de plancton viven en un número muy limitado de los recursos, principalmente la energía solar y minerales disueltos en el agua. De acuerdo con el principio de exclusión competitiva, sólo un pequeño número de especies de plancton debe ser capaz de coexistir en estos recursos. Sin embargo, un gran número de especies de plancton coexisten en pequeñas regiones de mar abierto. Algunas comunidades que sostienen la exclusión competitiva son currucas de MacArthur y los pinzones de Darwin. Rasgos paradójicos Una solución parcial a la paradoja radica en el aumento de la dimensionalidad del sistema. Heterogeneidad espacial, competencia por los recursos múltiples, la competencia-colonización compensaciones y quedarse evitar la exclusión. Sin embargo, tales sistemas tienden a ser analíticamente intratables. Además, muchos pueden soportar teóricamente un número ilimitado de las especies. Una nueva paradoja se crea: La mayoría de los modelos bien conocidos que permiten la convivencia estable permiten un número ilimitado de especies coexistan, sin embargo, en la naturaleza, una comunidad contiene un puñado de especies. Redefinición Estudios recientes que abordan algunos de los supuestos de los modelos de predicción de la exclusión competitiva han demostrado que estos supuestos deben ser reconsideradas. Por ejemplo, una ligera modificación de la hipótesis de cómo se relacionan el crecimiento y tamaño corporal conduce a una conclusión diferente, a saber, que para un determinado ecosistema, un cierto número de especies puede coexistir, mientras que otros se convierten en outcompeted. Una de las principales formas en las especies del lugar de reparto pueden coexistir es la competencia-colonización trade-off. En otras palabras, las especies que son mejores competidores serán especialistas, mientras que las especies que son mejores colonizadores tienen más probabilidades de ser generalistas. Modelos huésped-parásito son formas efectivas de examinar esta relación, mediante eventos de transferencia de acogida. Parece que hay dos lugares en los que la capacidad de colonizar difiere en especies ecológicamente estrechamente relacionados. En los piojos de la pluma, Bush y Clayton siempre algún tipo de verificación de esto mostrando dos géneros estrechamente relacionados de piojos son casi iguales en su capacidad de colonizar nuevas palomas de acogida, una vez transferidos. Harbison continuó esta línea de pensamiento, investigando si los dos géneros difieren en su capacidad para transferir. Esta investigación se centró principalmente en la determinación de cómo se produce la colonización y por qué 22

los piojos de las alas son mejores colonizadores que los piojos del cuerpo. Transferencia vertical es el caso más común, entre padres e hijos, y está bien estudiada y entendida. La transferencia horizontal es difícil de medir, pero en los piojos parece ocurrir a través de foresis o una especie "autostop" en la otra. Harbison encontrado piojos del cuerpo son menos expertos en phoresis y Excel competitivos, mientras que los piojos alas sobresalen en la colonización.

Modelo presa-depredador: Lotka-Volterra En la búsqueda de la explicación de comportamientos oscilatorios (Murray, 2002), en el año 1926, Volterra propuso un modelo simple para la depredación de una especie por otra. Por otro lado, Lotka en 1920 y 1925 estudiando una reacción química derivó el mismo modelo. Al dar clic en Volterra aparece imagen: Vito_Volterra, con texto; Fue profesor de mecánica en Pisa y luego en Turín. En 1900 fue llamado a Roma como profesor de física matemática. Volterra es uno de los fundadores1 de la Sociedad Italiana de Física (1897) y de la Oficina de Inventos e Investigaciones de Roma (1917). Fue presidente de la Sociedad de los XL2 (1919-20), la Accademia Nazionale dei Lincei (1923-26), el Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR) (1923-26), presidió desde 1921 hasta su muerte el Comité Internacional de Pesas y Medidas. Anti-fascista convencido, al negarse en 1931 a realizar el juramento de lealtad al régimen de Mussolini, fue suspendido de la universidad y más adelante también de las instituciones científicas nacionales. Al dar clic en Lotka aparece imagen: Alfred_Lotka, Matemático estadounidense. Especializado en estadística, se le considera el fundador de la demografía matemática. Estudió la evolución de las poblaciones y definió los conceptos de población estable, población estacionaria y tasa de crecimiento natural. Su obra más importante se titula Teoría analítica de las asociaciones biológicas. Aunque fue propuesto el modelo en contextos distintos, actualmente se le conoce como modelo de Lotka-Volterra por sus creadores. Dicho modelo se basa en los supuestos de: poblaciones homogéneas, La depredación es un fenómeno que se presenta cuando interactúan las especies. Puede afectar a la distribución, abundancia y dinámica de las especies en los ecosistemas (May, 2007). Los objetivos de esta unidad son:

explorar los efectos dinámicos de la interacción presa-depredador, con el enfoque determinista, usando la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencia; Mostrar que el modelo no lineal muestra que las interacciones presa-depredador tienen una tendencia inherente a fluctuar y mostrar comportamientos oscilatorios. Extraer información biológicamente relevante de simulaciones matemáticas Si el número de depredadores son inicialmente pocos, entonces el tamaño de la población de la presa puede aumentar. A medida que aumenta el tamaño de la población de la presa, la población de depredadores también comienza a aumentar, lo que a su vez tiene un efecto perjudicial sobre la población de la presa que conduce a una disminución en el número de presas. Como las presas escasean entonces la disminución de tamaño de la población de depredadores también, y el ciclo comienza de nuevo. Modelos más realista de presa depredador El modelo de Lotka-Volterra al ser muy simplificado, resulta un tanto poco realista. Alude a que las interacciones presa-depredador pueden tener un comportamiento periódico, en tanto que la especie depredadora se alimenta de la presa, lo que origina un aumento en la población de los depredadores y una disminución de las presas, lo que originaría una declinación de éstas últimas y si el supuesto es que el depredador sólo se alimenta de una presa determinada, al escasear el alimento, la población de depredadores disminuirá y en consecuencia volverá incrementarse la población de las presas, y el ciclo se repetirá. Los modelos más realistas deben dar solución a ciertos supuestos que no necesariamente son ciertos: las especies depredadoras no se alimentan de una sola especie; las presas pueden ser alimento de más de un depredador; los encuentros entre presa y depredador no siempre implican que uno se coma al otro, como si su hambre fuese infinita; la ausencia de depredadores, no necesariamente permite un crecimiento exponencial en las especie de las presas, pues siempre existirá la limitante de los recursos para su subsistencia. Principio de exclusión competitiva En la sobrevivencia de las especies, es importante considerar el caso de que dos o más especies compitan por una fuente limitada de recursos, teniendo como consecuencia que el crecimiento poblacional de una o más especias, que en principio pueden tener tasas de crecimiento diferentes. Existen modelos para la competencia entre dos especies, en donde cada una de ellas, en ausencia de la 24

otra, presenta un crecimiento logístico. Desde luego, la presencia de una segunda especie tiende a reducir el crecimiento de la primera, así como la primera tiende a reducir el crecimiento de la segunda. La competencia entre especies, implica las siguientes posibilidades: una de ellas es la coexistencia entre especies y la otra, es que una de ellas se imponga sobre la otra, y de acuerdo a las observaciones de la naturaleza, la especie perdedora con el tiempo finalmente se extinguirá. Mutualismo o simbiosis El término simbiosis es una forma de interacción biológica que hace referencia a la relación estrecha y persistente entre organismos de distintas especies. Desde una perspectiva de los costos y los beneficios que obtienen cada uno de los participantes, las relaciones simbióticas en la naturaleza pueden clasificarse entre las de mutualismo (ambas poblaciones se benefician), comensalismo (la relación es benéfica para una especie e indiferente para la otra) y parasitismo (la relación e benéfica para una y dañina para la otra.). Un modelo de competencia en el cual dos poblaciones tienen efectos positivos, en consecuencia de mutualismo, y bastante fácil de reconocer corresponde a de algunas plantas que producen frutos atractivos a ciertas aves, las cuales se alimentarán de aquéllos, pero a su vez, las semillas de las plantas serán más eficientemente dispersadas a través de las heces de los pájaros. Las ecuaciones que modelan este fenómeno implican un crecimiento exponencial de una población en ausencia de otra, pero aún es más interesante que su crecimiento se puede beneficiar por la presencia de la otra especie, por lo que llevaría a un crecimiento exacerbado de ambas poblaciones, lo cual convierte a los modelos en poco realistas, por lo que es necesario incluir los efectos de los recursos limitados Bibliografía Allman, E. & Rhodes, J. (2004). Mathematical Models in Biology an Introduction. New York, Cambridge. Esteva, L. y Falconi, M. (2012). Biología matemática. Un enfoque desde los sistemas dinámicos. México, UNAM: May, R. & McLean, A. (2007). Theoretical Ecology. New York: Oxford. Murray, J. (2002). Mathematical Biology: I. An introduction, Third Edition. New York, Springer.

Unidad 5. Ciclos biológicos y sincronización.

Durante el estudio de la presente unidad podrás conocer aquellos componentes y caracteres que definen y estructuran los ciclos biológicos

Ritmos biológicos Debe ser claro para todos que en la naturaleza existen fenómenos cíclicos como pueden ser las estaciones del año, la caída las hojas de los árboles, los periodos de hibernación de los osos, la migración de las aves, sólo por mencionar algunos. Desde luego el ser humano, al igual que los animales o vegetales, también presenta cierta ritmicidad; sería suficiente verificar la concentración de ciertas hormonas o la temperatura corporal a diferentes horas del día para percatarse de este fenómeno. De acuerdo con Lara-Aparicio (2002) los fenómenos de tipo oscilatorio son frecuentes en la naturaleza y cuyo periodo puede durar desde milisegundos hasta años. La respiración y los latidos del corazón son ejemplos de este tipo de fenómenos biológicos que presentan ciertos seres vivos. Pero no sólo los seres vivos presentan fenómenos oscilatorios, por ejemplo las mareas de los océanos o las fases de la Luna. Si los fenómenos de tipo oscilatorio tienen un periodo o ritmo semejante al día y la noche y cuya señal influye en las funciones de un organismo vivo, se les denomina ritmos circadianos ─del latín circa, que significa alrededor de y dies, que significa día─ y que también son conocidos como ritmos biológicos. Para especies diurnas, en oscilación libre (natural o autosostenible o espontánea), el periodo por lo general es mayor a 24 horas y para las especies nocturnas es menor a 24 horas. Los seres vivos, aún de manera inconsciente, son capaces de percibir los cambios de luminosidad, de temperatura, o de otros estímulos ambientales, respondiendo a ellos mediante una serie de respuestas fisiológicas y de modificación de hábitos de tipo cíclico. El reloj biológico es el encargado de ajustar nuestro organismo a los cambios pero, es necesario dilucidar sobre cómo funciona y si bien es indudable que hoy en día el conocimiento de estos procesos en gran variedad de plantas y animales es bastante amplio aún quedan muchas preguntas por responder.

Los precursores del estudio de los ritmos circadianos, desde el punto de vista biológico, según Lara-Aparicio son Bünning, Aschoff y Pittendrigh; desde el punto de vista matemático Kalmus, Wigglesworth, Wever y Winfree. Sincronización Seguramente usted lector ha presenciado el desplazamiento de ciertos pájaros que parecen volar en una agrupación de perfecta armonía, o ha leído sobre la migración de aves o de ballenas en ciertas épocas del año o ha oído el dicho de que el fruto podrido echa a perder a los otros. Pues bien, estos fenómenos ocurren debido al fenómeno de sincronización. Pero ¿cómo hacen los grandes grupos de aves, de peces o de mariposas para sincronizarse? Fuera del universo de los seres vivos, el profesor Steven Strogatz, es profesor de Mecánica Aplicada y Teórica en la Universidad de Cornell. Es conocido por sus contribuciones el estudio de la sincronización en sistemas dinámicos y en redes complejas. Ha publicado artículos en numerosas áreas de matemáticas aplicadas, incluyendo biología matemática y el fenómeno del "mundo pequeño", en redes. En este campo, publicó en 1998 un artículo fundamental junto a Duncan J. Watts, en la revista Nature, que ha tenido una enorme influencia posterior. Strogatz hizo el doctorado en Matemáticas aplicadas en la Universidad de Harvard, en 1986. Estuvo tres años con una beca postdoctoral en Harvard y la Universidad de Boston. En 1989 pasó al Departamento de Matemáticas del MIT. En 1994 se trasladó a Cornell, donde ahora mismo es director del Centro de Matemáticas aplicadas. ha mostrado la sincronización de metrónomos y ha hecho referencia a situaciones no previstas en el diseño de puentes. En el caso de los seres vivos, pertenecientes por ejemplo a un cardumen o a una parvada, el agruparse les permite defenderse o confundir a sus depredadores y dar continuidad a la especie, lo cual es explicado a través de ciertas reglas que son: Cada individuo es tan solo consciente de los ejemplares que tiene más cercanos. Todos los individuos tienen tendencia a alinearse. Todos los individuos se atraen el uno al otro, pero manteniendo una pequeña distancia entre ellos.

Adicionalmente hay otra regla: en el caso de ataque de un depredador cada individuo del grupo se aparta de éste, para enseguida volver a cumplir las tres reglas anteriores. Modelos matemáticos del movimiento oscilatorio en la biología Un movimiento recibe el nombre de periódico si a intervalos regulares de tiempo, se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Si la trayectoria se recorre en ambas direcciones, entonces el movimiento es oscilatorio y si además su trayectoria es rectilínea y su origen se encuentra en el centro de la misma, se llama vibratorio. Uno de los ejemplos más sencillos de movimientos periódicos es el correspondiente al movimiento armónico simple, también denominado movimiento vibratorio armónico simple, en el que la posición el cuerpo viene dada por una función de la forma En el movimiento armónico simple, se acepta que está dado en ausencia de fricción y que es producido por una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, pero en sentido inverso. El modelo matemático hace explícita la dependencia del tiempo t y por ser periódica, corresponde a una función senoidal (seno o coseno). Dadas las características de periodicidad, se puede escribir el movimiento por la expresión que corresponda a un campo vectorial sobre un círculo, donde corresponde a un punto sobre el círculo y es el vector velocidad de dicho punto. Entre los movimientos oscilatorios y entre ellos los armónicos simples se tienen: el movimiento de una masa en un péndulo, el movimiento de una masa unida a un resorte de masa despreciable cuando éste se estira una a una distancia muy pequeña comprada con la del resorte, el movimiento de las cargas de un circuito RLC ideal. Otros ejemplos oscilatorios no lineales son el encendido de las luces de las luciérnagas, los ciclo sueño-vigilia, día y noche, etc.

Bibliografía Lara-Aparicio, M. (2002). Modelos Matemáticos de los Ritmos Circadianos: de Wiggleswoth a Winfree. En Sánchez, G., Miramontes, P. y Gutiérrez, J. (ed.) Clásicos de la Biología Matemática. México: Siglo XXI. Strogatz, S. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. USA Perseus Books. Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la UNAM. Ritmos circadianos. Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=NXGdSSi1peE Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la UNAM. Temperatura y ritmos biológicos. Recuperado de http://www.youtube.com/watch?v=_mK7kKaQK1E&list=PL06B7533D23CEBE45&i ndex=23 National Institute of General Medical Sciencies. Tick Tock: New Clues About Biological Clocks and Health. Recuperado de http://publications.nigms.nih.gov/insidelifescience/biological-clocks.html TED TALKS. Ideas worth spreading. Steven Strogatz. Recuperado de

Synchronization.

http://video-subtitle.tedcdn.com/talk/podcast/2004/None/StevenStrogatz_2004-lowes.mp4

Unidad 1Introducción a la Biología Matemática

Actividad de inducción Foro "Introducción a la biología matemática" La biología matemática es una disciplina que surge de la necesidad de utilizar las herramientas matemáticas para el modelado de problemas biológicos. Actividad Los alumnos deben investigar en internet, dos ligas sobre biología matemática, cuida ndo que quien suba la liga después de otro no repita ninguna de las anteriores. Deberá escribir una explicación del porqué seleccionó esas ligas en no más de cuatro renglones.

Unidad 1Introducción a la Biología Matemática

Actividad de aprendizaje 1 La Influencia de las matemáticas en la biología En la siguiente actividad el alumno tendrá la oportunidad de introducirse a los conceptos básicos de la asignatura y conocer diversos elementos de la lectura planteada por el profesor. Lectura del libro “Biología matemática” http://lya.fciencias.unam.mx/biomat/pedro/raymundo.pdf Realiza la lectura de la introducción del libro “Biología Matemática” y realiza las siguientes actividades. Menciona los dos ejemplos que se citan sobre cómo la matemática se ha enriquecido a partir de problemas biológicos. Menciona dos de los puntos sobre los cuales descansa una buena modelación matemática. Dado un sistema dinámico, describa brevemente y dé dos ejemplos de:

(i) Una variable de estado; (ii) qué es el espacio fase de un sistema; (iii) la ley de evolución. Realiza tu actividad en un procesador de textos, guárdala en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tu archivo con terminación tipo PDF y ya seleccionado, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 1Introducción a la Biología Matemática

Actividad de aprendizaje 2 Historia de las epidemias Se menciona que el hombre que no conoce su historia tiende a repetirla, nada más importante que conocer la historia de epidemias para no repetir los multiples errores que las convirtieron en eso, en epidemias. Después de documentarse sobre el tema, conteste brevemente, en no más de una cuartilla, las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles han, sido históricamente las epidemias más devastadoras para la humanidad? 2. ¿A qué se le llama la fiebre negra y qué microorganismo la produce? 3. ¿Cuáles cree usted que son las consecuencias de una epidemia en términos de salud pública y en términos económicos? Realiza tu actividad en un procesador de textos, guárdala en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tu archivo con terminación tipo PDF y ya seleccionado , presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 1Introducción a la Biología Matemática

Actividad de aprendizaje 3 Crecimiento exponencial Al realizar la siguente actividad contrastaras los conocimientos teoricos con los prácticos realizando un evidencia de aprendizaje de tipo matemático al relaizar los siguientes requerimientos Después de leer las ligas recomendadas de internet, resuelva una ecuación diferencial de primer orden lineal que describa o modele el crecimiento exponencial asignando una condición inicial arbitraria y una constante de proporcionalidad. Mande el archivo en PDF o escanea la solución si lo hace en manuscrito y suba el archivo respectivo.

Unidad 1Introducción a la Biología Matemática

Actividad de cierre Crecimiento de un organismo unicelular Para terminar con la unidad, realizarás una lectura que constrastará el conocimiento teórico con el práctico, logrando cerrar la primera unidad de estudio. Lectura del libro “Biología matemática” http://lya.fciencias.unam.mx/biomat/pedro/raymundo.pdf Leer las páginas 11 y 12 del libro “Biología matemática”, edición 2012, y resolver la ecuación en diferencias que modela el crecimiento de un organismo unicelular que se duplica cada 10 minutos y determina el tamaño de la colonia después de 10 horas. Realiza tu actividad en un procesador de textos, guárdala en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tu archivo con terminación tipo PDF y ya seleccionado, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de inducción Foro "Enfermedades infecciosas" En esta actividad realizarás una breve investigación introductoria para lo que se revisará a lo largo de la unidad. además llevarás a cabo una participación en un foro, generando varios aspectos de la didáctica de la asignatura: la participación, la síntesis de información y el análisis grupal. Las enfermedades infecciosas han tenido una gran influencia en la historia de la humanidad. Han impactado la salud pública, pero también en el ámbito económico y social. Realiza una investigación en internet sobre dos tipos de enfermedaes infecciosas que hayan alcanzado el grado de devastación histórica, y a través del siguiente foro, participa con tus comentarios sobre ellas. No realices mas de cuatro renglones en tu argumentación, recuerda que esa será tu evidencia de participación. Procura que tus ligas no se repitan con las de los otros alumnos.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de aprendizaje 1 Revisión histórica de las epidemias más devastadoras Con la realización de estas actividades revisarás la repercusión que han tenido las epidemias en la humanidad, así como sus impactos en aspectos sociales, culturales, tecnológicos, políticos y económicos. a) Realiza la Lectura de la página 140 del libro: “Clásicos de la Biología Matemática” de Lourdes Esteva. En el contexto de la biología matemática define lo que se entiende por cada uno de los siguientes términos: epidemiología, epidemia, prevalencia, incidencia. Sube tus respuestas en un archivo en PDF. b) Realiza la revision del artículo de la Organización Mundial de la Salud, “Epidemias mundiales e impacto del cólera”

https://www.who.int/topics/cholera/impact/es/ y realizar un documento en donde hagas una sintesis del articulo y adjunta tu archivo en PDF. c) Revisa la historia sobre los procesos infecciososos de los últimos 50 años, de las epidemias en Rwanda, Bangladesh, Perú y España. Despues describe brevemente, en no más de 10 renglones, el impacto provocado en estos paises. Sube tus respuestas en un archivo en PDF. Realiza tus actividades en un procesador de textos, guárdalos en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tus archivos con terminación tipo PDF y ya seleccionados, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de aprendizaje 2 Primeros modelos matemáticos A través de la realización de esta actividad podrás ententender el impacto que tienen las matemáticas en campos cientificos como la biología y su posible aplicación para el entendimiento de los procesos epidemiológicos que afectan el co ntexto humano. Debes traducir el abstract del artículo “Daniel Bernoulli’s epidemiological model revisited” de Klaus Dietz and J.A.P. Heesterbeek y realizar un breve comentario en no más de tres renglones. Realiza tu actividad en un procesador de textos, guárdala en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tu archivo con terminación tipo PDF y ya seleccionado, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de aprendizaje 3 Modelo de Kermack y Mckendric

Al llevar a cabo la resolución de los ejercicios propuestos, tendrás la posibilidad de contrastar el conocimiento que has adquirido a lo largo de la lectura con los resultados de dichos ejercicios. Realiza la lectura de las paginas 91 y 186 respectivamente del libro Nonlinear Dynamics and Chaos de Steven Strogatz (1994) y resuelve los ejercicios 3.7.6 y 6.5.6. Realiza tu actividad en un procesador de textos, guárdala en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tu archivo con terminación tipo PDF y ya seleccionado, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de aprendizaje 4 Umbrales en los modelos epidemiológicos Reconocer los modelos matemáticos que se utilizan para en tender las enfermedades infecciosas y sus reproducciones, así como revisar aspectos como la ecopatología en animales y algunos modelos infecciosos, claves en el entendimiento de los procesos epidemiológicos revisados en la presente unidad. Realiza la lectura del artículo: “Modelos matemáticos para enfermedades infecciosas” de Montesinos-López y M Hernández-Suárez, y define el parámetro llamado número reproductivo básico, realiza esta actividad en formato tipo PDF. Realiza la lectura de la sección 6 del artículo “Ecopatología de las Enfermedades Animales” de Carmelo Ortega Rodriguez, describa en no más de 8 renglones la forma de predecir el riesgo de una enfermedad. Realiza la lectura de los capítulos 3 y 4 de la tesis “Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas” de Emilene Carmelita Pliego Pliego, reescribe las fórmulas para los parámetros denominados el número de contactos y el número de reemplazos. Realiza tus actividades en un procesador de textos, guárdalos en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tus archivos con terminación tipo PDF y ya seleccionad os, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 2Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas

Actividad de cierre Simulación de un modelo SIR Al realizar una simulación, llevarás a cabo un tipo de práctica del más alto nivel, pues no sólo haces uso de tu aprendizaje, sino que además generarás un concepto que es necesario que esté presente en cualquier aprendizaje significativo: la ‘praxis’, que ayuda a materializar y balancear lo que se aprendió con la práctica del conocimiento recibido. Utilizando un modelo SIR, haz una simulación para calcular los valores umbral y la razón de prevalencias para una supuesta enfermedad. Indica cuáles serían las posibles consecuencias sanitarias y sociales en caso de que la enfermedad evolucione sin control, es decir, si el tiempo tiende a infinito. Realiza tus actividades en un procesador de textos, guárdalos en tu computadora como un archivo tipo PDF o en este caso especifico escanea una imagen de tu ejercicio y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tus archivos con terminación tipo PDF y ya seleccionados, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 3Modelos Poblacionales

Actividad de inducción Foro "Ecología Teórica" La matemática es una herramienta que, además de servir a la comunidad matemática, también ayuda a otras comunidades, entre ellos a los biólogos y ecologistas; su uso puede predecir la dinámica del comportamiento de las poblaciones y su densidad. Permite la toma de decisiones sobre bases sólidas, en tanto los modelos sean congruentes con la realidad. Los alumnos deberán buscar en internet dos ligas sobre modelos de poblaciones, cuidando que quien suba la liga después de otro no repita ninguna de las anteriores. También deberá

redactar una explicación, de no más de cuatro renglones, sobre el porqué de la selección de las ligas.

Unidad 3Modelos Poblacionales

Actividad de aprendizaje 1 Modelo de Malthus A través de la siguiente actividad podrás conocer los aspectos de la teoría demográfica de Malthus, desarrollada durante la revolución industrial; sus repercusiones sociales, políticas y económicas, así como sintetizar tu conocimiento en un resumen que adjuntarás a tu actividad en línea. Realiza la lectura del articulo: La teoría malthusiana y el hambre de hoy http://www.monimbo.us/files/La_Teor_a.pdf

Realiza un ensayo resumido en no más de dos cuartillas y adjunta tu actividad en un archivo tipo PDF.

Referencia. Moninbo...Nueva Nicaragua. (2019).La teoría malthusiana y el hambre de hoy. Los angeles, EU. Recuperado de http://www.monimbo.us/files/La_Teor_a.pdf

Unidad 3Modelos Poblacionales

Actividad de aprendizaje 2 Análisis gráfico del modelo logístico

En la siguiente actividad tendrás la posibilidad de desarrollar un ejercicio matemático que te permitirá desarrollar un balance entre tu conocimiento teórico y práctico. Aplicarás un software especializado con el que podrás analizar ecuaciones de problemas específicos. De la red descarga el programa winplot y realiza las siguientes actvidades. (i) Obtén el campo de pendientes para ecuaciones escalares y el retrato fase de sistemas de ecuaciones diferenciales de 2X2. (ii) Grafica la telaraña de la función logística. Sube un archivo que muestre el dominio del software de winplot.

Unidad 3Modelos Poblacionales

Actividad de aprendizaje 3 Análisis de los modelos de Malthus y Verhulst Durante esta actividad realiza un análisis de lectura herramienta básica en el trabajo que harás a lo largo de la unidad, así como de la asignatura. Realiza un resumen en no más de una cuartilla del artículo “Applications and Limitations of the Verhulst Model for Populations” de Thomas Hillen, en él resalta las ventajas sobre el modelo de Malthus y sus propias limitaciones; también da valores arbitrarios a las constantes y obtén su plano campo de pendientes utilizando el software winplot.

Unidad 3Modelos Poblacionales

Actividad de cierre Dinámica caótica del modelo logístico

Para terminar con la unidad, realizarás una lectura que contrastará el conocimiento teórico con el práctico. Del artículo: “ Simple mathematical models with very complicated dynamics”, de Robert M. May, haz un resumen en no más de tres cuartillas; También reproduce una telaraña para un valor del parámetro de 3 y genera una gráfica que describa el caos determinístico para un valor del parámetro de 3.9. Realiza tus actividades en un procesador de textos, guárdalos en tu computadora como un archivo tipo PDF y una vez que concluyas, presiona el botón Examinar en la misma plataforma. Localiza tus archivos con terminación tipo PDF y ya seleccionados, presiona Subir este archivo para enviarlo a la plataforma.

Unidad 4Interacción entre Especies

Actividad de inducción Foro "Equilibrio de ecosistemas" En esta actividad reconoceras el impacto que genera la inserción del ser humano en la transformación de ecosistemas y el exceso que estas proyectan en la extinción de una especie. El ser humano debe tener clara conciencia de la importancia y el impacto de las interacciones biológicas en el equilibrio de las especies. Desde hace muchos años, los biólogos se han percatado del impacto que tiene modificar los equilibrios entre las especies en determinados los ecosistemas;dado que se puede poner en peligro de extinción algunas de ellas al inducir deliberadamente algún cambio cualitativo o cuantitativo en el ambiente. Despúes de realizar la vizualización del siguiente video responde las preguntas que se te indican y participa en el foro cuidando que tu participació contenga los lineamientos del mismo.

https://www.youtube.com/watch?v=gDU47A2KMq4&feature=emb_logo https://www.youtube.com/watch?v=pNRWyeevQJc&feature=emb_logo Responder a las siguientes preguntas: 1) ¿Cuántas y cuáles son las interacciones biológicas que se mencionan en los vídeos?

2) Define en tus palabras los tipos de interacción biológicas: competencia y depredación. 3) Agrega alguna interacción adicional no mencionada en los vídeos. (Sugerencia realiza búsqueda en internet). Sobre el contenido de las respuestas no realices mas de cuatro renglones en tu argumentación, recuerda que esa será tu evidencia de participación, procura que tus respuestas no se repitan con las de los otros alumnos.

Unidad 4Interacción entre Especies

Actividad de aprendizaje 1 Modelo presa-depredador Lotka-Volterra El proposito de la siguiente actividad es introducirte en los principios del modelo Lotka -Volterra a través de la lectura propuesta por el profesor, seguido de esto realizarás un contraste teorico-práctico con la realización de elementos gráficos especializados, necesarios en el entendimiento de de dicho modelo antes mencionado. De la lectura de las pp. 79-83 del libro de Murray, J. D. (2002), realice lo siguiente: 1) Diga los tipos principales de interacciones entre poblaciones que menciona el autor. 2) Indique el modelo continuo de Lotka-Volterra. 3) Explique brevemente las variables involucradas en el modelo. 4) Usando winplot, obtenga una gráfica de la familia de curvas por el método de adimensionalización descrito en el libro. 5) Usando winplot, obtenga el plano fase del sistema dando algunos valores a los parámetros. 6) Compare las gráficas obtenidas en 4) y 5) y describa sus diferencias 7) Realice la linealización del sistema Lotka-Volterra y haga un análisis local del punto de equilibrio, descrito en el libro. Modelo Discreto De la lectura de las pp. 85-105 del libro de Allman & Rhodes, (2004), realice lo siguiente: 1) Indique el modelo discreto de Lotka-Volterra.

2) Explique brevemente las variables involucradas en el modelo. 3) Usando Excel, realice la simulación numérica del sistema Lotka-Volterra y haga un análisis local del punto de equilibrio, usando el método de las nuloclinas, descrito en el libro. Subir el archivo en formato PDF

Unidad 4Interacción entre Especies

Actividad de aprendizaje 2 Modelo realista de presa-depredador En esta actividad realizarás un proceso de investigación que te permitirá adentrarte más en los contenidos de la unidad. Además podrás realizar una breve justificación del porqué de la información recabada. No olvides que toda investigación se lleva a cabo bajo un protocólo en especifico, no olvides agregar la metodología empleada. Investigue cuales podrían ser dos modelos más realistas al propuesto por Lotka_Volterra. Explique el por qué de su propuesta. Adjunta tu trabajo, así como con el protocolo empleado, en un archivo tipo PDF.

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Actividad de aprendizaje 3 Principio de exclusión competitiva En esta actividad, al igual que en la anterior, realizarás un proceso de investigación, el cuál te permitirá adentrarte más en los contenidos de la unidad. Además podrás realizar una breve justificación del porqué de la información recabada. No olvides que toda investigación se lleva a cabo bajo un protocólo en especifico, no olvides agregar la metodología empleada. Investigue en la red o en la bibliografía propuesta, un modelo diferente al propuesto en la lectura que dé cuenta de las interacciones negativas entre especies. Sugerencia: Analiza el caso: Sistema inmunológico vs. Agentes infecciosos. Adjunta tu trabajo en un archivo tipo PDF junto con el protocolo empleado en tu investigación.

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Actividad de aprendizaje 4 Mutualismo o simbiosis En los procesos vitales que los humanos y humanas atravesamos a lo largo de nuestra, estamos acompañados directamente de herramientas que faciliten nuestro que hacer diario, contamos con computadoras para las distintas actividades que realicemos, teléfonos o dispositivos inteligentes para “comunicarnos” de manera más rápida y eficiente, etc… Esto también ocurre en la naturaleza sólo que distinta manera, algunos seres vivos utilizan herramientas o elementos para facilitar alguna actividad sólo que en lugar de utilizar celulares o computadoras, utilizan a otros seres vivos formando una relación de beneficio mutuo llamada, “simbiosis”, durante la siguiente actividad realizarás una investigación más acerca de este interesante comportamiento natural, recuerda seguir un protocolo especifico para tu investigación. Investigue en Internet o en la bibliografía propuesta, un modelo diferente al propuesto en la lectura que dé cuenta de las interacciones positivas entre especies. Adjunta tu trabajo y el protocolo que seguiste en un archivo tipo PDF

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Actividad de cierre

Aplicación de un modelo presa-depredador Dice un viejo dicho: “para ser el mejor debes juntarte con los mejores”. Pues bien, en la realización de esta actividad pondrás a prueba ese dicho y realizarás una “wiki” con algunos de tus compañeros. Con esta actividad pondrás a prueba todo el conocimiento e imaginación que tu equipo y tú tengan en el área del diseño web, así como en elementos propios de la investigación y algunos valores básicos para todo trabajo de este tipo, tales como: la paciencia, la empatía, la asertividad, etc.… Retomando la información generadas en las UMA 4.1 a 4.4, los alumnos debe rán elaborar una Wiki (en equipos de 4 personas) donde plasmen (i) Un modelo concreto (continuo o discreto) de interacción entre especies (competencia, mutualismo) diferente a los tratados en las UMAS respectivas, (ii) resolver el modelo analítico propuesto con alguna de las herramientas matemáticas desarrolladas (isoclinas, adimensionalización, análisis cualitativo del plano fase, etc.), (iii) Proporcionar la interpretación biológica en base a las especies involucradas en el modelo. Extensión sugerida de la Wiki: De 5 a 8 cuartillas, con una estructura de artículo. Ver ejemplo muestra. Preguntas sugeridas para elaborar la interpretación biológica: ¿Qué parte del modelo matemático modela la interacción de la presa y el depredador? Describe todas las variables del modelo. ¿Qué comportamiento muestra la simulación matemática? ¿Es posible la desaparición de una especie? ¿Si fuera así, porqué? Las poblaciones ¿alcanzan un equilibrio, oscilan o saltan incesantemente? ¿Puede tal sistema de interacción de poblaciones mostrar estabilidad? si es así, ¿bajo qué circunstancias? En otras palabras, ¿se puede predecir la exclusión competitiva por medio del modelo Lotka Volterra? ¿Si deseáramos modelar un ecosistema más realista, el número de interacciones crecería? ¿Se podría modificar el modelo elegido a un modelo más realista? y si así fuera ¿qué parte del modelo cambiaría? ¿Es posible que dos poblaciones experimenten un efecto positivo (o negativo) de la interacción (según sea el caso) elegida en el modelo? Etc.